Эквивалентные преобразования электрических цепей. Методы расчета линейных электрических цепей Доказательство методом эквивалентных преобразований

Сущность эквивалентных преобразований заключается в том, что часть электрической цепи заменяется более простой схемой: либо с меньшим количеством ветвей и сопротивлений, либо с меньшим числом узлов или контуров. Преобразование считается эквивалентным , если токи и напряжения непреобразованной части схемы остаются прежними, то есть одинаковыми в исходной и преобразованной схемах. Сами по себе эквивалентные преобразования не являются методом расчёта, однако способствуют упрощению расчётов.

Часто используются следующие эквивалентные преобразования:

1. Замена последовательного соединения сопротивлений r 1 , r 2 , … r n одним эквивалентным r Э = .

2. Замена параллельного соединения пассивных ветвей с проводимостями g 1 , g 2 , … g n одной эквивалентной g Э = .

3. Замена смешанного соеди-нения сопротивлений рис. 1.35,а одним эквивалентным (рис. 1.35,б), где r Э = r 1 + , что следует из поэтапного применения п.2 и п.1 настоящих рекомендаций.

4. Эквивалентные преобразования пассивных трёхполюсников – треугольника (рис. 1.36,а) и звезды (рис.1.36,б). При этом сопротивления эквивалентного треугольника

r 12 = r 1 + r 2 + , r 23 = r 2 + r 3 + , r 31 = r 3 + r 1 + ,

а сопротивления эквивалентной звезды r 1 = , r 2 = , r 3 = ,

5. При дальнейшем изучении курса ТОЭ будут представлены формулы эквивалентных замен пассивных четырёхполюсников Т- и П-схемами, замен цепей с распределёнными параметрами эквивалентными четырёхполюсни-ками, устранение индуктивной связи в цепях и др.

Особенно удобно пользоваться методом эквивалентных преобразований при расчёте входных и взаимных сопротивлений или входных и взаимных проводимостей схем, коэффициентов передачи напряжений и токов, поступающих на вход схемы при передаче сигнала в нагрузку, когда на схему воздействует только один источник энергии.

Решение

Проверяем условие равновесия моста:

r 2 ×r 3 = 40×60 = 2400; r 1 ×r 4 = 20×30 = 600.

Так как r 1 ×r 4 ¹r 2 ×r 3 , то мост неуравновешен, все его токи отличны от нуля.

Заменим треугольник сопротивлений r 2 -r 4 -r 5 эквивалентным соединением в звезду, получим схему рис. 1.37, для которой

r a = = = 9 Ом ,

r b = = = 12 Ом ,

r c = = = 12 Ом .

Входное сопротивление схемы по отношению к зажимам источника ЭДС

r вх = r + + r b =

10 + + 12 =

43,86 Ом .

Входной ток мостовой схемы

I 0 = = = 9,12 А .

Токи параллельных ветвей схемы рис. 1.37

I 1 = I 0 × = 9,12× = 6,23 А ,

I 2 = I 0 × = 9,12× = 2,89 А .

Напряжение U 43 = I 1 ×r с + I 0 ×r b = 6,23×12 + 9,12×12 = 184,2 B .

Возвращаемся к исходной схеме и рассчитываем токи треугольника сопротивлений: I 2 = = = 4,61 А ,

I 4 = I 0 – I 2 = 9,12 – 4,61 = 4,51 А ,

I 5 = I 2 – I 1 = 4,61 – 6,23 = -1,62 А .

ЗАДАЧА 1.36. Определить токи в схеме рис. 1.38,а, используя эквива-лентные преобразования, если входное напряжение схемы U вх = 400 В , а пара-метры r 1 = 10 Ом , r 2 = 60 Ом , r 3 = 20 Ом , r 4 = 100 Ом , сопротивление нагруз-ки, подключенной на выходе схемы (выход четырёхполюсника), r 5 = 50 Ом .

Решение. Вариант 1

Заменим смешанное соединение сопротивлений r 3 , r 4 , r 5 эквивалентным сопротивлением (рис. 1.38,б) r ac :

r ac = r 3 + = 20 + = 53,33 Ом .

Входное сопротивление схемы:

r вх = r 1 + = 10 + = 38,24 Ом .

Входной ток схемы: I вх = I 1 = = = 10,46 А .

Напряжение на разветвлении схемы рис. 1.38,б:

U ad = I 1 × = 10,46× = 295,4 B ,

а токи I 2 = = = 4,92 А , I 3 = = = 5,54 А .

Напряжение на разветвлении правого участка схемы рис. 1.38,а со смешанным соединением U bc = U вых = I 3 × = 5,54× = 184,6 B ,

а токи параллельных ветвей I 4 = = = 1,85 А ,

I 5 = I вых = = = 3,69 А .

Коэффициент передачи напряжения k U = = = 0,462.

Коэффициент передачи тока k I = = = 0,353.

Решение. Вариант 2

Схемы с одним источником питания (это имеет место всегда при изуче-нии вопросов, связанных с передачей сигнала со входа схемы в нагрузку) удобно рассчитывать методом пропорциональных величин . При этом задаются произвольным значением тока или напряжения самого удалённого от источника питания участка – в нашем случае примем ток I 5 = 10 А .

Затем с помощью законов Кирхгофа рассчитывают напряжение на входе (так называемое воздействие ), которое на выходе создаёт ток I 5 (так называемая реакция цепи ), который равен принятому значению:

U 5 = I 5 ×r 5 = 10×50 = 500 B ,

I 4 = = = 5 A , I 3 = I 5 + I 4 = 10 + 5 = 15 A ,

U ad = I 3 ×r 3 + I 5 ×r 5 = 15×20 + 500 = 800 B ,

I 2 = = = 13,33 A , I 1 = I 2 + I 3 = 13,33 + 15 = 28,33 A ,

U вх = I 1 ×r 1 + U ad = 28,33×10 + 800 = 1083 B .

Находят коэффициент пропорциональности k = = = 0,369, на

который необходимо умножить все ранее полученные выражения, чтобы получить искомые значения при заданном напряжении U вх = 400 В .

Получаем I 1 = I 1 ×k = 28,33×0,369 = 10,46 А ,

I 2 = I 2 ×k = 13,33×0,369 = 4,92 А , I 3 = I 3 ×k = 15×0,369 = 5,54 А ,

I 4 = I 4 ×k = 5×0,369 = 1,85 А , I 5 = I 5 ×k = 10×0,369 = 3,69 А ,

U ad = U ad ×k = 800×0,369 = 295,4 B , U 5 = U вых = U 5 ×k = 500×0,369 = 185 B ,

что совпадает с решением по варианту 1.

ЗАДАЧА 1.38. Определить токи в ветвях схемы, приведенной на рис. 1.39, заменив треугольник сопротивлений r ab -r bc -r ca эквивалентной звездой, если: E A = 50 В , E B = 30 В , E C = 100 В ,

r A = 3,5 Ом , r B = 2 Ом , r C = 7 Ом , r ab = 6 Ом , r bc = 12 Ом , r ca = 6 Ом .

Ответы : I A = -0,4 A , I B = -4,4 A , I C = 4,8 A ,

I ab = 2,1 A , I bc = -2,3 A , I ca = 2,5 A .

ЗАДАЧА 1.39. Рассчитать токи в схеме рис. 1.40 методом преобразования электрической цепи, проверить БМ, если: r 1 = r 2 = 6 Ом ,

r 3 = 3 Ом , r 4 = 12 Ом , r 5 = 4 Ом , j = 6 А .

Ответы : I 1 = 1 A , I 2 = 1 A , I 3 = 2 A ,

I 4 = 1 A , I 5 = 3 A .

ЗАДАЧА 1.40. Решить задачу 1.19 с помощью эквивалентных преобразований цепи.

ЗАДАЧА 1.41. В цепи рис. 1.41 j = 50 мА , E = 60 В , r 1 = 5 кОм , r 2 = 4 кОм , r 3 = 16 кОм , r 4 = 2 кОм , r 5 = 8 кОм . Вычислить ток ветви с сопротивлением r 5 , пользуясь преобразованием схем с источниками тока в эквивалентные схемы с источниками ЭДС и наоборот.

Решение. Вариант 1

Перерисуем схему рис. 1.41 в виде рис. 1.42,а. Эквивалентность исходной и новой схем очевидна: к соответствующим узлам обеих схем подходят одинаковые токи. В частности, результирующий ток, подводимый к узлу а , равен нулю. Преобразуем источники тока j последней схемы в источники с ЭДС Е 1 и Е 3 (рис. 1.42,б):

Е 1 = jr 1 = 50·10 -3 ·5·10 3 = 250 В ;

Е 3 = jr 3 = 50·10 -3 ·16·10 3 = 800 В .

Складывая соответствующие элементы ветвей, приводим рис. 1.42,б к виду рис. 1.42,в, для которого Е 6 = Е – Е 1 = 60 – 250 = -190 В ;

r 6 = r 1 + r 2 = 9 кОм ; r 7 = r 3 + r 4 = 18 кОм .

Преобразуем схему рис. 1.42,в в схему с источниками тока рис. 1.42,г:

j 6 = = - = -21,2 мА ; j 7 = = = 44,4 мА .

Сложив параллельные элементы, получим схему рис. 1.42,д:

j ЭКВ = j 6 + j 7 = -21,1 + 44,4 = 22,3 мА ; r ЭКВ = = = 6 кОм .

I 5 = j ЭКВ · = 23,3· = 10 мА .

Метод эквивалентных преобразований заключается в том, что электрическую цепь или ее часть заменяют более простой по структуре электрической цепью. При этом токи и напряжения в непреобразованной части цепи должны оставаться неизменными. В любое последовательное соединение может входить произвольное число сопротивлений (резисторов) и источников ЭДС, а также не более одного источника тока.

Наличие более одного источника тока в соединении исключается вследствие логического противоречия, т.к. в последовательном соединении через все элементы протекает одинаковый ток и этот ток равен току источника. Если же источников тока несколько, то они должны формировать несколько различных токов, что невозможно по характеру их соединения. Присутствие источника в соединении означает лишь то, что ток в этом соединении задан, поэтому без ущерба для общности выводов источник тока можно вынести за пределы соединения и не рассматривать. Тогда в общем случае в соединение будут входитьm сопротивлений и n источников ЭДС (рис а). Не изменяя режима работы соединения, их можно переместить так, чтобы образовались две группы элементов: сопротивления и источники ЭДС (рис. б). Для этой цепи можно написать уравнение Кирхгофа в виде:

U=IR1+IR2+…+IRm+E1+…-En-1+En=I(R1+R2+…Rm)+E1…-En-1+En=IR+E

Таким образом, любое последовательное соединение элементов можно представить последовательным соединением одного сопротивленияR и одного источника ЭДС E Причем, общее сопротивление соединения равно сумме всех сопротивлений

а общая ЭДС – алгебраической сумме

6.Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчеты электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно зазамлить, т. е.принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю I1+I2+I3+…+In=0

7.Метод двух узлов

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Схема имеет два узла. Потенциал точки 2 примем равным нулю φ2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

φ1(g1+g2+g3)- φ2(g1+g2+g3)=E1g1-E3g3

U12= φ1- φ2= φ1= (E1g1-E3g3)/g1+g2+g3, где

g1=1/R1, g2=1/R2, g3=1/R3 – проводимости ветвей

В общем виде

В знаменателе формулы - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком "плюс", если она направлена к узлу 1, и со знаком "минус", если направлена от узла 1.После вычисления величины потенциала φ1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

8 .Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схмы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Т. о., метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было составить для схемы по второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.I1R1+I2R2=E1+E2

Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно. Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид: I11(R1+Ri1)+I11R3-I22R3=E1,

I22(Ri2-R2)+I22R3-I11R3=-E2 Перегруппируем слагаемые в уравнениях I11(R1+Ri1+R3)-I22R3=E1=E11, -I11R3+I22(Ri2+R2+R3)=-E2=E22 Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура. Cобственные сопротивления контуров схемы R11=R1+Ri1+R3, R22=Ri2+R2+R3 Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров. R12=R21=R3 где R12 - общее сопротивление между первым и вторым контурами;R21 - общее сопротивление между вторым и первым контурами.E11 = E1 и E22 = E2 - контурные ЭДС.В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом I11R11+I22R12=E11, I11R21+I22R22=E22 Собственные сопротивления всегда имеют знак "плюс".

Общее сопротивление имеет знак "минус", если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак "плюс", если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению. Решая уравнения совместно, находим контурные токи I11 и I22 , затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. I1=I11, I2=I22,I3=I11-I22.

9.Метод наложения. Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается

соотношением:Здесь- комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях;- комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом, что непосредственно вытекает из свойства взаимности. Аналогично определяются коэффициенты передачи тока, которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например, то получим(2),где

-определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов;- алгебраическое дополнение определителя.Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один-й контур, т.е. контурный токбудет равен действительному токуh-й ветви, то принцип наложения справедлив для токовлюбых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

2.2. Параллельное соединение элементов
электрических цепей

На рис. 2.2 показана электрическая цепь с параллельным соединением сопротивлений.

Рис. 2.2

Токи в параллельных ветвях определяются по формулам:

где - проводимости 1-й, 2-й и n-й ветвей.

В соответствии с первым законом Кирхгофа, ток в неразветвленной части схемы равен сумме токов в параллельных ветвях.

Эквивалентная проводимость электрической цепи, состоящей из n параллельно включенных элементов, равна сумме проводимостей параллельно включенных элементов.
Эквивалентным сопротивлением цепи называется величина, обратная эквивалентной проводимости

Пусть электрическая схема содержит три параллельно включенных сопротивления.
Эквивалентная проводимость

Эквивалентное сопротивление схемы, состоящей из n одинаковых элементов, в n раз меньше сопротивлений R одного элемента

Возьмем схему, состоящую из двух параллельно включенных сопротивлений (рис. 2.3). Известны величины сопротивлений и ток в неразветвленной части схемы. Необходимо определить токи в параллельных ветвях.

Рис. 2.3 Эквивалентная проводимость схемы

,

а эквивалентное сопротивление

Напряжение на входе схемы

Токи в параллельных ветвях

Аналогично

Ток в параллельной ветви равен току в неразветвленной части схемы, умноженному на сопротивление противолежащей, чужой параллельной ветви и деленному на сумму сопротивлений чужой и своей параллельно включенных ветвей.

2.3.Преобразование треугольника сопротивлений
в эквивалентную звезду

Встречаются схемы, в которых отсутствуют сопротивления, включенные последовательно или параллельно, например, мостовая схема, изображенная на рис. 2.4. Определить эквивалентное сопротивление этой схемы относительно ветви с источником ЭДС описанными выше методами нельзя. Если треугольник сопротивлений R1-R2-R3, включенных между узлами 1-2-3 заменить трехлучевой звездой сопротивлений, лучи которой расходятся из точки 0 в те же узлы 1-2-3, эквивалентное сопротивление полученной схемы легко определяется.

Рис. 2.4 Сопротивление луча эквивалентной звезды сопротивлений равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений всех сторон треугольника.
В соответствии с указанным правилом, сопротивления лучей звезды определяются по формулам:

Эквивалентное соединение полученной схемы определяется по формуле

Сопротивления R0 и Rλ1 включены последовательно, а ветви с сопротивлениями Rλ1 + R4 и Rλ3 + R5 соединены параллельно.

2.4.Преобразование звезды сопротивлений
в эквивалентный треугольник

Иногда для упрощения схемы полезно преобразовать звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник.
Рассмотрим схему на рис. 2.5. Заменим звезду сопротивлений R1-R2-R3 эквивалентным треугольником сопротивлений RΔ1-RΔ2-RΔ3, включенных между узлами 1-2-3.

2.5. Преобразование звезды сопротивлений
в эквивалентный треугольник

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника сопротивлений равно сумме сопротивлений двух прилегающих лучей звезды плюс произведение этих же сопротивлений, деленное на сопротивление оставшегося (противолежащего) луча. Сопротивления сторон треугольника определяются по формулам:

Эквивалентное сопротивление преобразованной схемы равно

НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира

30.12.2019 - 19:19: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 19:18: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 16:46: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 14:54: -> - Карим_Хайдаров. 29.12.2019 - 16:19: -> - Карим_Хайдаров. 26.12.2019 - 07:09: -> - Карим_Хайдаров. 23.12.2019 - 07:44: -> - Карим_Хайдаров. 23.12.2019 - 07:39:

Если электрическая цепь содержит несколько резисторов, то для подсчёта её основных параметров (силы тока, напряжения, мощности) удобно все резистивные устройства заменить на одно эквивалентное сопротивление цепи. Только для него должно выполняться следующее требование: его сопротивление должно быть равным суммарному значению сопротивлений всех элементов, то есть показания амперметра и вольтметра в обычной схеме и в преобразованной не должны измениться. Такой подход к решению задач называется методом свёртывания цепи.

Внимание! Расчёт эквивалентного (общего или суммарного) сопротивления в случае последовательного или параллельного подключения выполняется по разным формулам.

Последовательное соединение элементов

В случае последовательного подключения все приборы соединяются последовательно друг с другом, а собранная цепь не имеет разветвлений.

При таком подключении сила тока, проходящая через каждый резистор, будет одинаковая, а общее падение напряжения складывается из суммарных падений напряжения на каждом из приборов.

Чтобы определить суммарное значение в этом случае, воспользуемся законом Ома, который записывается следующим образом:

Из вышестоящего выражения получаем значение R :

Поскольку при последовательном соединении:

• I = I1 = I2 =…= IN (2),
• U = U1 + U2 +…+ UN (3),

формула для расчёта эквивалентного сопротивления (R общ или R экв ) из (1) – (3) будет иметь вид:

• Rэкв = (U1 + U2 + …+ UN)/I,
• Rэкв = R1 + R2 + … + RN (4).

Таким образом, если имеется N последовательно соединённых одинаковых элементов, то их можно заменить на одно устройство, у которого:

Rобщ = N·R (5).

При таком подключении входы от всех устройств соединены в одной точке, выходы – в другой точке. Эти точки в физике и электротехнике называются узлами. На электрических схемах узлы представляют собой места разветвления проводников и обозначаются точками.

Расчет эквивалентного сопротивления также выполняем с помощью закона Ома.

В этом случае общее значение силы тока складывается из суммы сил токов, протекающих по каждой ветви, а величина падения напряжения для каждого устройства и общее напряжение одинаковые.

Если имеются N резистивных устройств, подключенных таким образом, то:

I = I1 + I2 + … + IN (6),

U = U1 = U2 = … = UN (7).

Из выражений (1), (6) и (7) имеем:

• Rобщ = U/(I1 + I2 + …+ IN),
• 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 +…+ 1/RN (8).

Если имеется N одинаковых резисторов, имеющих подключение данного типа, то формула (8) преобразуется следующим образом:

Rобщ = R · R / N·R = R / N (9).

Если соединены несколько катушек индуктивности, то их суммарное индуктивное сопротивление рассчитывается так же, как и для резисторов.

Расчёт при смешанном соединении устройств

В случае смешанного подключения присутствуют участки с последовательным и параллельным подключениями элементов.

При решении задачи используют метод сворачивания цепи (метод эквивалентных преобразований). Его используют для вычисления параметров в том случае, если есть один источник энергии.

Предположим, задана следующая задача. Электрическая схема (см. рис. ниже) состоит из 7 резисторов. Рассчитайте токи на всех резисторах, если имеются следующие исходные данные:

• R1 = 1Ом,
• R2 = 2Ом,
• R3 = 3Ом,
• R4 = 6Ом,
• R5 = 9Ом,
• R6 = 18Ом,
• R7 = 2,8Ом,
• U = 32В.

Из закона Ома имеем:

где R – суммарное сопротивление всех приборов.

Его будем находить, воспользовавшись методом сворачивания цепи.

Элементы R 2 и R 3 подключены параллельно, поэтому их можно заменить на R 2,3 , величину которого можно рассчитать по формуле:

R2,3= R2·R3 / (R2+R3).

R 4 , R 5 и R 6 также включены параллельно, и их можно заменить на R 4,5,6 , которое вычисляется следующим образом:

1/R4,5,6 = 1/R4+1/R5+1/R6.

Таким образом, схему, изображённую на картинке выше, можно заменить на эквивалентную, в которой вместо резисторов R2, R3 и R4, R5, R6 используются R2,3 и R4,5,6.

Согласно картинке выше, в результате преобразований получаем последовательное соединение резисторов R1, R2,3, R4,5,6 и R7.

R общ может быть найдено по формуле:

Rобщ = R1 + R2,3 + R4,5,6 + R7.

Подставляем числовые значения и рассчитываем R для определённых участков:

• R2.3 = 2Ом·3Ом / (2Ом + 3Ом) = 1,2Ом,
• 1/R4,5,6 = 1/6Ом + 1/9Ом + 1/18Ом = 1/3Ом,
• R4,5,6 = 3Ом,
• Rэкв = 1Ом + 1,2Ом + 3Ом + 2,8Ом= 8Ом.

Теперь, после того, как нашли R экв , можно вычислять значение I :

I = 32В / 8Ом = 4А.

После того, как мы получили величину общего тока, можно вычислить силу тока, протекающую на каждом участке.

Поскольку R 1 , R2,3, R 4,5,6 и R 7 соединены последовательно, то:

I1 = I2,3 = I4,5,6 = I7 = I = 4А.

• U2,3 = I2,3·R2,3,
• U2,3 = 4А·1,2Ом = 4,8В.

Поскольку R2 и R3 подключены параллельно, то U 2,3 = U 2 = U 3 , следовательно:

• I2 = U2 / R2,
• I2 = 4,8В / 2Ом = 2,4А,
• I3 = U3 / R3,
• I3 = 4,8В / 3Ом = 1,6А.

• I2,3 = I2 + I3,
• I2,3 = 2,4А + 1,6А = 4А.

• U4,5,6 = I4,5,6·R4,5,6,
• U4,5,6 = 4А·3Ом = 12В.

Так как R4, R5, Rб подключены параллельно друг к другу, то:

U4,5,6 = U4 = U5 = U6 = 12В.

Вычисляем I4, I5, I6:

• I4 = U4 / R4,
• I4 = 12В / 6Ом = 2А,
• I5 = U5 / R5,
• I5 = 12В / 9Ом » 1,3А,
• I6 = U6 / R6,
• I5 = 12В / 18Ом » 0,7А.

Проверяем правильность решения:

I4,5,6 = 2А + 1,3А + 0,7А = 4А.

Чтобы автоматизировать выполнение расчётов эквивалентных значений для различных участков цепи, можно воспользоваться сервисами сети Интернет, которые предлагают на их сайтах выполнить онлайн вычисления нужных электрических характеристик. Сервис обычно имеет встроенную специальную программу – калькулятор, которая помогает быстро выполнить расчет сопротивления цепи любой сложности.

Таким образом, использование метода эквивалентных преобразований при расчёте смешанных соединений различных устройств позволяет упростить и ускорить выполнение вычислений основных электрических параметров.

Видео

Довольно часто при анализе линейных резистивных цепей приходится применять метод упрощения. Этот метод состоит в том, что участки электрической цепи заменяются более простыми по структуре, при этом токи и напряжения в не преобразованной части цепи не должны изменяться. При этом необходимо уметь преобразовывать последовательно и параллельно соединенные резистивные элементы, а также соединения треугольником и звездой.

2.1 Последовательное соединение резистивных элементов .

Ток во всех последовательно соединенных элементах один и тот же. Для схемы на рис. 2.1 можно записать

U = (R1 + R2 +...+ RN)I = R Э I, (2.1)

где R Э – эквивалентное сопротивление. .

Как видно из формулы, оно определяется как сумма всех последовательно включенных сопротивлений.

R Э = R1+R2+…+RN. (2.2)

2.2 Параллельное соединение резистивных элементов.

В схеме (рис. 2.2) ко всем элементам приложено одно и то же напряжение U, а ток разветвляется (I = I 1 + I 2 +...+ I n), поэтому можно записать:

(2.3)

Вводя понятие проводимости G=1/R, получим:

I = U(G 1 + G 2 +...+ G n) = UG э. (2.4)

Таким образом, эквивалентная проводимость G э параллельно включенных резистивных элементов равна сумме их проводимостей. В частном случае, если параллельно соединены два резистора, их эквивалентное сопротивление

2.3. Соединения треугольником и звездой

Во многих случаях оказывается целесообразным также преобразование сопротивлений, соединенных треугольником (рис.2.3) и эквивалентной звездой (рис.2.4).

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Сопротивления лучей эквивалентной звезды определяют по формулам:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

где R 1 , R 2 , R 3 – сопротивления лучей эквивалентной звезды сопротивлений, а R 12 , R 23 , R 31 – сопротивления сторон эквивалентного треугольника сопротивлений.

При замене звезды сопротивлений эквивалентным треугольником сопротивлений, сопротивления сторон треугольника рассчитывают по следующим формулам:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

2.4 Примеры решения задач

2.1. Для электрической цепи постоянного тока с параллельным соединением резисторов R 1 , R 2 , R 3 (рис.2.5)определить ток I в неразветвленной её части и токи в отдельных ветвях: I 1 , I 2 , I 3 . Сопротивления резисторов: R 1 =5Ом, R 2 =10Ом, R 3 =15Ом, напряжение питающей сети U =110В.

Рис. 2.5

Решение. Эквивалентную проводимость всей цепи определим следующим образом:

Ток в неразветвленной части электрической цепи:

Токи в ветвях схемы:

2.2. Для условий задачи 2.1 ток в неразветвленной части цепи I =22A. Определить токи I 1 , I 2 , I 3 в ветвях резисторов R 1 , R 2 , R 3 .

Решение. Проводимости отдельных участков электрической цепи:

.

Эквивалентная проводимость цепи:

Напряжение между узловыми точками:

Токи в ветвях резисторов:

2.3. Для цепи постоянного тока, приведенной на рис.2.6, определить общий ток I и токи I 1 , I 2 , I 3 , I 4 в ветвях резисторов R 1 …R 4 . к цепи подведено напряжение U =240В, сопротивления резисторов R 1 =20Ом, R 2 =15Ом, R 3 =10Ом, R 4 =5Ом.

Решение. Эквивалентное сопротивление участка электрической цепи с резисторами R 1 и R 2 :

Эквивалентное сопротивление участка цепи с резисторами R 3 и R 4 :

Общее сопротивление цепи:

Общий ток в цепи:

Рис.2.6

Падение напряжения на параллельных участках цепи:

,

Токи в ветвях соответствующих резисторов:

2.4. Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления R 12 , R 13 , R 24 , R 34 включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

В мостовой схеме сопротивления R 13 , R 12 , R 23 и R 24 , R 34 , R 23 соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R 24 R 34 R 23 звездой R 2 R 3 R 4 (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:

; ; .

Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:

; ; .

После проведенных преобразований (рис. 1.13) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)

.

2.5. Задачи для самостоятельного решения

2.4. Для электрической цепи постоянного тока (рис.2.7) определить токи I 1 , I 2 , I 3 при напряжении U =240В и сопротивление резистора R 1 . Сопротивление резисторов: R 2 =10Ом, R 3 =15Ом. Мощность потребляемая цепью, измеряемая ваттметром W , равна 7,2кВт.

Рис.2.7

2.5. Для разветвленной электрической цепи постоянного тока, представляемой на рис.2.7, определить токи I 1 , I 2 , I 3 при напряжении питающей сети U =80В. Сопротивление резисторов: R 1 =10Ом, R 2 =15Ом, R 3 =10Ом.

2.6. Контрольное задание

Определить эквивалентное сопротивление R экв электрической цепи постоянного тока (рис.2.8) и распределение токов в ветвях. Положение выключателя S 1 , величины сопротивлений резисторов R 1 …R 12 и питающего напряжения U для каждого из вариантов задания приведены в таблице 2.1.

Рис. 2.8

Таблица 2.1

Продолжение таблицы 2.1