Как найти вычисления значения выражения. Нахождение значения выражения, примеры, решения

Вы, как родители, в процессе обучения своего ребенка, не раз столкнетесь с необходимостью помощи в решении домашних задач по математике, алгебре и геометрии. И одно из базовых умений, которое необходимо усвоить — как найти значение выражения. Многие заходят в тупик, ведь сколько лет прошло с того момента, как мы учились в 3-5 классах? Многое уже забылось, а что-то не училось. Сами правила математических действий - просты и вы легко их вспомните. Начнем с самых основ, что такое математическое выражение.

Определение выражения

Математическое выражение - совокупность чисел, знаков действий (=, +,-, *, /), скобок, переменных. Кратко - это формула, значение которой нужно будет найти. Такие формулы как раз встречаются в курсе математики еще со школы, а потом преследуют и студентов, которые выбрали для себя специальности, связанные с точными науками. Математические выражения разделяются на тригонометрические, алгебраические и так далее, не будем забегать в самые «дебри».

Делайте любые вычисления сначала на черновике, а после переписывайте в рабочую тетрадь. Таким образом вы избежите лишних перечеркиваний и грязи;
Пересчитайте общее количество математических действий, которые нужно будет выполнить в выражении. Обратите внимание, что согласно правилам, вначале выполняются действия в скобках, потом деление и умножение и в самом конце вычитание и сложение. Рекомендуем выделить все действия карандашом и поставить цифры над действиями в порядке очередности их выполнения. В этом случае и вам и ребенку будет легче сориентироваться;
Начинайте производить расчеты строго придерживаясь порядка выполнения действий. Пусть ребенок, если расчет простой, старается выполнять его в уме, если же это сложно, то ставьте карандашом цифру, соответствующую порядковому номеру выражения и выполняйте вычисление в письменном виде под формулой;
Как правило, найти значение простого выражения не составляет труда, если все расчеты выполнены в соответствии с правилами и правильным порядком. Большинство сталкиваются с проблемой именно на данном этапе нахождения значения выражения, потому будьте внимательны и не допускайте ошибок;
Запрещайте калькулятор. Сами математические формулы и задачи в жизни вашему ребенка может и не пригодятся, но не в этом цель изучения предмета. Главное - развитие логическое мышления. Если пользоваться калькуляторами, то смысл всего будет потерян;
Ваша задача как родителя - не решать за ребенка задачи, а помогать ему в этом, направлять. Пусть он сам производит все вычисления, а вы следите за тем, чтобы он не допускал ошибок, объясняйте, почему нужно делать так, а не иначе.
После того, как ответ на выражение найден, запишите его после знака «=»;
Откройте последнюю страницу учебника по математике. Обычно, там есть ответы под каждое упражнение в книге. Не мешает свериться, верно ли все посчитано.

Найти значение выражения - с одной стороны, простая процедура, главное вспомнить основные правила, которые мы проходили в школьном курсе математики. Однако, с другой стороны, когда вам нужно помочь малышу справиться с формулами и решением задач, вопрос осложняется. Ведь вы теперь не ученик, а учитель и на ваших плечах лежит воспитание будущего Эйнштейна.

Надеемся, что наша статья помогла вам найти ответ на вопрос, как найти значение выражения, и вы с легкостью раскусите любую формулу!

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление - арифметические действия (или арифметические операции ). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем "плюс ") - знак операции сложения,

- (читаем "минус ") - знак операции вычитания,

∙ (читаем "умножить ") - знак операции умножения,

: (читаем "разделить ") - знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения . Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением . В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a + b - 3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными .

Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла» . Например, буквенное выражение a - b не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)!

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла) , т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b: 0 не определено.

Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой . Например, если стороны семиугольника равны a, b, c, d, e, f, g , то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:

p = a + b + c + d + e + f + g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить, «: » (разделить).

3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.

4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.

6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

7. Общее название букв в буквенном выражении.

8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m , выраженными в м
Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
Сумма двух чисел больше второго числа на 15
Разность меньше уменьшаемого на 7
Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m мест, рядов на палубе на n больше, чем мест в ряду
Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
m = 8, n = 10, k = 5
m = 6, n = 8, k = 15
t = 121, x = 1458

Значение данного выражения
Буквенное выражение для периметра имеет вид
Периметр, выраженный в сантиметрах
Формула пути s, пройденного автомобилем
Формула скорости v, движения туриста
Формула времени t, движения туриста
Путь, пройденный автомобилем в километрах
Скорость туриста в километрах в час
Время движения туриста в часах
Первое число равно…
Вычитаемое равно….
Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
Буквенное выражение для возраста Кати
Возраст Кати
Координата точки В, если координата точки С равна t
Координата точки D, если координата точки С равна t
Координата точки А, если координата точки С равна t
Длина отрезка BD на числовом луче
Длина отрезка CА на числовом луче
Длина отрезка DА на числовом луче

Числовые выражения составляются из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Если в таком выражении присутствуют переменные, оно будет называться алгебраическим. Тригонометрическим является выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций. Задачи на определение значений числового, тригонометрического, алгебраического выражений часто встречаются в школьном курсе математики.

Инструкция

Чтобы найти значение числового выражения, определите порядок действий в заданном примере. Для удобства обозначьте его карандашом над соответствующими знаками. Выполните все указанные действия в определенном порядке: действия в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание. Полученное число и будет значением числового выражения.

Пример. Найдите значение выражения (34 10+(489–296) 8):4–410. Определите порядок действий. Первое действие выполните во внутренних скобках 489–296=193. Затем, умножьте 193 8=1544 и 34 10=340. Следующее действие: 340+1544=1884. Далее выполните деление 1884:4=461 и затем вычитание 461–410=60. Вы нашли значение данного выражения.

Чтобы найти значение тригонометрического выражения при известном угле?, предварительно . Для этого примените соответствующие тригонометрические формулы. Вычислите заданные значения тригонометрических функций, подставьте их в пример. Выполните действия.

Пример. Найдите значение выражения 2sin 30? cos 30? tg 30? ctg 30?. Упростите данное выражение. Для этого воспользуйтесь формулой tg ? ctg ?=1. Получите: 2sin 30? cos 30? 1=2sin 30? cos 30?. Известно, что sin 30?=1/2 и cos 30?=?3/2. Следовательно, 2sin 30? cos 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. Вы нашли значение данного выражения.

Значение алгебраического выражения зависит от значения переменной. Чтобы найти значение алгебраического выражения при заданных переменных, упростите выражение. Подставьте вместо переменных определенные значения. Выполните необходимые действия. В итоге вы получите число, которое и будет значением алгебраического выражения при заданных переменных.

Пример. Найдите значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10. Упростите данное выражение, получите: a–2y. Подставьте соответствующие значения переменных и вычислите: a–2y=21–2 10=1. Это и есть значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10.

Обратите внимание

Существуют алгебраические выражения, не имеющие смысла при некоторых значениях переменных. Например, выражение x/(7–a) не имеет смысла, если a=7, т.к. при этом знаменатель дроби обращается в нуль.

В среде Lazarus можно также вычислять значения сложных математических выражений. К примеру, таких как нижеследующее выражение:

Все, что нам необходимо сделать, это правильно составить формулу, чтобы Lazarus смог скомпилировать ее, а затем и решить.

Рис. 4 – Программа «вычисление значения выражений» до запуска

Для начала при составлении программы между «procedure» и «begin» вводим команду var alfa………y:real; она необходима для расчета десятичных чисел. Также нужно ввести команду «math» в «uses», иначе некоторые функции в программе работать не будут.

Вот так выглядит код программы «вычисление значения выражений» в Lazarus-е:

procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);

var x,y: Single;

x:= StrToFloat (Edit1.Text);

y:= ((sin(x))/2)+3;

Label3.Caption:=FloatToStr(y);

Рис. 5 – Программа «Вычисление выражений» после запуска.

Программа составлена правильно, интерпретация прошла успешно. Сейчас, для того, чтобы рассчитать функцию «y», необходимо задать в формулу свои значения.

Вычисление сумм ряда чисел.

С помощью суммы рядов чисел можно: - разложить функцию в степенной ряд; - выполнить приближенные вычисления значений функции; - выполнить вычисления пределов; - выполнить вычисление определенных интегралов; - выполнить вычисление логарифмов; - выполнить интегрирование дифференциальных уравнений; - решить уравнение первого порядка итерационным методом.

Итерация – это повторяемое выполнение некоторого действия до тех пор, пока не будет удовлетворено некоторое условие. Ряд считается заданным, если дан закон, по которому можно вычислить любой член ряда, и известен порядковый номер этого числа. Среди рядов есть сходящиеся ряды и расходящиеся. Если значение частичных сумм Sn при неограниченном возрастании n стремится к некоторому числу А, ряд называется сходящимся, а число А при этом называют суммой. Таким образом, при неограниченном возрастании n значение Sn сколь угодно мало отличается от А, т.е. число А предел последовательности Sn.

Рис. 6 – Программа «Вычисление сумм ряда чисел» до запуска

Код программы «Вычисление сумм ряда чисел» будет выглядеть следующим образом:

Classes, SysUtils, FileUtil, LResources, Forms, Controls, Graphics, Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Math;

TForm1 = class (TForm)

Button1: TButton;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

{ private declarations }

{ public declarations }

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var n, factorial: integer; x, y, s: real;

x:=StrToFloat(Edit1.Text);

for n:=1 to 25 do

s:=s + power(x,(n-1))/factorial;

factorial:=factorial*(n+1);

Label4.Caption:=FloatToStr(s);

y:=(power(2.76,x)-1)/x;

Label5.Caption:=FloatToStr(y);

Рис. 7 – Программа «Вычисление сумм ряда чисел» после запуска

Программа составлена правильно, компилирование объекта прошло успешно. Сейчас, для того, чтобы вычислить сумму ряда чисел, необходимо задать в формулу свои значения, и, созданная программа, аналогично калькулятору, рассчитает ответ.

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение .

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.

Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

Примеры. Упростите, используя сокращение дробей.

Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b ; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n . Получаем:

Алгебраические выражения применяют для составления формул.

Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.

Страница 1 из 1 1