Найти оригинал по изображению калькулятор с решением. Как найти похожую картинку, фотографию, изображение в интернет
Задача 1. Найти оригинал для изображения
при помощи разложения на простейшие дроби.
Решение.
Разложим
на сумму простейших дробей
.
Найдем неопределенные коэффициенты A , B , C , D . Так как
то, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях
,
получаем
,
,
,
.
Таким образом,
Свертка оригиналов.
Пусть
и
- функции-ориентиры и
,
.
По определению, сверткой оригиналов
называется интеграл
(3.1)
По теореме сложения изображений свертки
оригиналов
соответствует произведение изображений
Задача 2.
Найти свертку функций
и
.
Решение. Имеем
Задача 3.
Восстановить оригинал по
изображению
при помощи свертки.
Решение.
Представим
как произведение двух функций и используя
теорему умножения, запишем
.
(см. задачу 2)
4. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем при заданных начальных условиях. Предлагаем, что искомое решение, его производные и правая часть дифференциального уравнения являются оригиналами.
Схема решения дифференциального уравнения.
Искомая функция, ее производные, входящие в данное уравнение, правая часть уравнения заменяются их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.
Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.
Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.
Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение
,
если
,
Решение.
Пусть
- искомое решение.
.
Запишем операторное уравнение
Находим A
,
B
,
C
.
,
,
.
Задача 2. Найти решение системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее начальным условиям
,
,
,
Решение.
Пусть
,
.
Тогда
;
;
;
.
Преобразованная система имеет вид
Определяем
,
по правилу Крамера
;
Вычислим
получим
Вычислим
получим
Рассмотрим решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях с использованием интеграла Дюамеля.
Интеграл Дюамеля.
Если
и
,
то
(4.1)
(4.1 ’)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффицентами
то получим
или
,
где
-
многочленn-ой степени;
(4.2)
Если рассмотреть ещё одно дифференциальное уравнение, у которого правая часть равна единице,
то при тех же нулевых начальных условиях в изображениях получим уравнение
Отсюда
(4.3)
Подставим (4.3) в (4.2), получим
(4.4)
Используя интеграл Дюамеля (4.1’) для
и учитывая, что
,
получаем
Итак, достаточно решить уравнение с правой частью равной единице, чтобы при помощи интеграла (4.5) получить решения при различных правых частях.
Задача 3.
Найти частное решение дифференциального уравнения, используя интеграл Дюамеля:
(4.7)
Пусть
,
тогда
Получим уравнение для изображения
Возвращаясь к первоначальному уравнению
для
,
Запишем
Следует отметить, что преимущество операционного метода решения дифференциальных уравнений состоит в том, что благодаря этому методу мы заменяем решение дифференциального уравнения на решение алгебраического уравнения, что сильно упрощает вычисление.
Применение методов операционного исчисления в
задачах электротехники .
Методы операционного исчисления широко используются в решениях специальных задач электротехники.
Задача1.
Включение дополнительного источника ЭДС в цепь с ненулевыми начальными условиями.
Рассмотрим электрическую цепь с ненулевыми начальными условиями (рис. 5.1), где r- сопротивление;L- индуктивность;C– ёмкость конденсатора;k– выключатель.
Эта цепь характеризуется тем, что при отключении ЭДС Е в цепи происходит арядка конденсатора. После зарядки конденсатора ток в цепи становится равным нулю. Требуется найти ток i(t) после подключения к цепи дополнительной ЭДС е(t).
По второму закону Кирхгофа (алгебраическая
сумма падения напряжения на сопротивлениях
равна алгебраической сумме действующих
в цепи ЭДС) для момента времени
имеем
,
(5.1)
где
- напряжение на конденсаторе;
(0)
– начальное напряжение на конденсаторе,
обусловленное тем, что конденсатор уже
был ранее заряжен.
Решение.
Применяя к интегро-дифяфференциальному уравнению (5.1) преобразование Лапласа, запишем
где
-
начальный ток в цепи. Используя указанные
соотношения, получаем алгебраическое
уравнение в изобржениях
где неизвестной величиной является
.
Остальные величины известныИз (5.2) получаем
(5.3)
Рассмотрим конкретный пример. Пусть
Применяя преобразование Лапласа,
получаем
следовательно,
С учётом этих условий из (5.3) получаем
Замечание.
Из полученного решения
(5.4) следует, что
,
при
,
т.е.
Это означает что за некоторое время
конденсатор дополнительно зарядится
и ток станет равным нулю.
Задача 2.
Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления rи конденсатора С, если в моментt=0 цепь подсоединяется к источнику ЭДС (рис 5.2) в виде треугольного импульса (рис 5.3).
рис 5.2 рис 5.3
В задаче задано
Решение.
Используя второй закон Кирхгофа, получим интегральное уравнение для рассматриваемого контура
(5.5)
Решение уравнения (5.5) выразим при помощи интеграла Дюамеля (4.1)
(5.6)
где
- решение вспомогательного уравнения
(5.7)
Применяя преобразование Лапласа, имеем
Уравнение (5.7) преобразуется к алгебраическому уравнению для нахождения J(p)
откуда
(5.8)
Подставляя найденное решение (5.8) вспомогательного уравнения (5.7) в интеграл Дюамеля (5.6) получаем решение исходного уравнения (5.5)
Пример контрольной работы по операционному исчислению
и комплексным числам.
Вариант 1.
3. Найти все значения корней
5. Найти изображение оригинала, заданного графически
6. Решить систему
Вариант 2.
Найти изображение функции:
3. Найти все значения корней
6. Решить систему
Вариант 3.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
4. Представить в алгебраической форме:
6. Решить систему
Вариант 4.
Найти изображение функции:
Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
4. Представить в алгебраической форме:
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 5.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 6.
Найти изображение функции:
Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 7.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 8.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 9.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 10.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
6. Решить систему
Вариант 11.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 12.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 13.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:
6. Решить систему
Вариант 14.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 15.
1. Восстановить оригинал по изображению
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 16.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Введение.
Комплексные числа.
Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.
Нахождение оригинала по изображению.
Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
Применение методов операционного исчисления в задачах электротехники.
Пример контрольной работы по операционному исчислению и комплексным числам.
Литература.
Литература.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981, 448с.
Сборник задач по математике для втузов. Ч.З. Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. М.: издательства физико-математической литературы, 2002. 576с.
Краснов М.Л., Киселев А.Н., Макаренко Г.Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 304с.
Глатенок И.В., Заварзина И.Ф. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. М.: Московский энергетический институт, 1989. 48с.
Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости Rep = а > s0 равномерно относительно arg Отыскание оригинала по изображению 2) интеграл а-«сю сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F(p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2. Найти оригинал для функции М Запишем F(p) в виде Отсюда / 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }
