Сигнал дискретный по времени. Непрерывные и дискретные сигналы
Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы
ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ
Цифровая обработка сигналов (ЦОС или DSP - digital signal processing) является одной из новейших и самых мощных технологий, которая активно внедряется в широкий круг областей науки и техники, таких как коммуникации, метеорология, радиолокация и гидролокация, медицинская визуализация изображений, цифровое аудио- и телевизионное вещание, разведка нефтяных и газовых месторождений и др. Можно сказать, что происходит повсеместное и глубокое проникновение технологий цифровой обработки сигналов во все сферы деятельности человечества. Сегодня технология ЦОС относится к числу базовых знаний, которые необходимы ученым и инженерам всех отраслей без исключения.
Сигналы
Что такое сигнал? В наиболее общей формулировке это зависимость одной величины от другой. Т.е., с математической точки зрения сигнал является функцией. Чаще всего рассматриваются зависимости от времени. Физическая природа сигнала может быть различной. Очень часто это электрическое напряжение, реже – ток.
Формы представления сигнала :
1. временная;
2. спектральная (в частотной области).
Стоимость цифровой обработки данных меньше аналоговой и продолжает снижаться, а производительность вычислительных операций непрерывно возрастает. Немаловажным является и то, что системы ЦОС отличаются высокой гибкостью. Их можно дополнять новыми программами и перепрограммировать на выполнение различных операций без изменения оборудования. Поэтому интерес к научным и к прикладным вопросам цифровой обработки сигналов возрастает во всех отраслях науки и техники.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ
Сущность цифровой обработки состоит в том, что физический сигнал (напряжение, ток и др.) преобразуется в последовательность чисел , которая затем подвергается математическим преобразованиям в ВУ.
Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы
Исходный физический сигнал является непрерывной функцией времени. Такие сигналы, определенные во все моменты t, называются аналоговыми .
Какой сигнал называется цифровым? Рассмотрим некоторый аналоговый сигнал (рис. 1.1 а). Он задан непрерывно на всем рассматриваемом временном интервале. Считается, что аналоговый сигнал абсолютно точен, если не учитывать погрешности при измерении.
Рис. 1.1 а) Аналоговый сигнал
Рис. 1.1 б) Дискретизированный сигнал
Рис. 1.1 в) Квантованный сигнал
Для того, чтобы получить цифровой сигнал, нужно провести две операции – дискретизацию и квантование . Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией, а результат такого преобразования - дискретным сигналом .Т. обр., дискретизация заключается в составлении выборки из аналогового сигнала (рис. 1.1 б), каждый элемент которой, называемый отсчетом , будет отстоять по времени от соседних отсчетов на некотором интервале Т , называемом интервалом дискретизации или (поскольку интервал дискретизации чаще неизменен) – периодом дискретизации . Величина, обратная периоду дискретизации называется частотой дискретизации и определяется как:
(1.1)
При обработке сигнала в вычислительном устройстве его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием . Возникающие при этом ошибки округления называются ошибками или шумами квантования . Т. обр., квантование – это приведение уровней дискретизированного сигнала к некоторой сетке (рис. 1.1 в), чаще обычным округлением в сторону большего. Дискретный во времени и квантованный по уровню сигнал и будет являться цифровым.
Условия, при которых возможно полное восстановление аналогового сигнала по его цифровому эквиваленту с сохранением всей исходно содержавшейся в сигнале информации, выражаются теоремами Найквиста, Котельникова, Шеннона, сущность которых практически одинакова. Для дискретизации аналогового сигнала с полным сохранением информации в его цифровом эквиваленте максимальные частоты в аналоговом сигнале должны быть не менее, чем вдвое меньше, чем частота дискретизации, то есть f max £ (1/2)f d , т.е. на одном периоде максимальной частоты должно быть минимум два отсчета. Если это условие нарушается, в цифровом сигнале возникает эффект маскирования (подмены) действительных частот более низкими частотами. При этом в цифровом сигнале вместо фактической регистрируется "кажущаяся" частота, а, следовательно, восстановление фактической частоты в аналоговом сигнале становится невозможным. Восстановленный сигнал будет выглядеть так, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от частоты (1/2)f d в нижнюю часть спектра и наложились на частоты, уже присутствующие в этой части спектра. Этот эффект называется наложением спектров или алиасингом (aliasing). Наглядным примером алиасинга может служить иллюзия, довольно часто встречающаяся в кино – колесо автомобиля начинает вращаться против его движения, если между последовательными кадрами (аналог частоты дискретизации) колесо совершает более чем пол-оборота.
Преобразование сигнала в цифровую форму выполняется аналого-цифровыми преобразователями (АЦП). Как правило, они используют двоичную систему счисления с определенным числом разрядов в равномерной шкале. Увеличение числа разрядов повышает точность измерений и расширяет динамический диапазон измеряемых сигналов. Потерянная из-за недостатка разрядов АЦП информация невосстановима, и существуют лишь оценки возникающей погрешности «округления» отсчетов, например, через мощность шума, порождаемого ошибкой в последнем разряде АЦП. Для этого используется понятие отношения «сигнал/шум» - отношение мощности сигнала к мощности шума (в децибелах). Наиболее часто применяются 8-, 10-, 12-, 16-, 20- и 24-х разрядные АЦП. Каждый дополнительный разряд улучшает отношение сигнал/шум на 6 децибел. Однако увеличение количества разрядов снижает скорость дискретизации и увеличивает стоимость аппаратуры. Важным аспектом является также динамический диапазон, определяемый максимальным и минимальным значением сигнала.
Обработка цифровых сигналов выполняется либо специальными процессорами, либо на универсальных ЭВМ и компьютерах по специальным программам. Наиболее просты для рассмотрения линейные системы. Линейными называются системы, для которых имеет место принцип суперпозиции (отклик на сумму входных сигналов равен сумме откликов на каждый сигнал в отдельности) и однородность (изменение амплитуды входного сигнала вызывает пропорциональное изменение выходного сигнала).
Если входной сигнал x(t-t 0) порождает однозначный выходной сигнал y(t-t 0) при любом сдвиге t 0 , то систему называют инвариантной во времени . Ее свойства можно исследовать в любые произвольные моменты времени. Для описания линейной системы вводится специальный входной сигнал - единичный импульс (импульсная функция).
Единичный импульс (единичный отсчет) u 0 (n ) (рис. 1.2):
Рис. 1.2. Единичный импульс
В силу свойства суперпозиции и однородности любой входной сигнал можно представить в виде суммы таких импульсов, подаваемых в разные моменты времени и умноженных на соответствующие коэффициенты. Выходной сигнал системы в этом случае представляет собой сумму откликов на эти импульсы. Отклик на единичный импульс (импульс с единичной амплитудой) называют импульсной характеристикой системы h(n). Знание импульсной характеристики позволяет проанализировать прохождение через дискретную систему любого сигнала. Действительно, произвольный сигнал {x(n)} можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов.
Мы рассматривали различные определения понятия "информация" и пришли к выводу, что информация может быть определена множеством разных способов в зависимости от выбранного подхода. Но об одном мы можем говорить однозначно: информация - знания, данные, сведения, характеристики, отражения и т.д. - категория нематериальная . Но мы живем в мире материальном. Следовательно, для существования и распространения в нашем мире информация должна быть связана с какой-либо материальной основой. Без нее информация не может передаваться и сохраняться.
Тогда материальный объект (или среда), с помощью которого представляется та или иная информация будет являться носителем информации
, а изменение какой-либо характеристики носителя мы будем называть сигналом
.
Например, представим равномерно горящую лампочку, она не передает никакой информации. Но, если мы будем включать и выключать лампочку (т.е. изменять ее яркость), тогда с помощью чередований вспышек и пауз мы сможем передать какое-нибудь сообщение (например, посредством азбуки Морзе). Аналогично, равномерный гул не дает возможности передать какую-либо информацию, однако, если мы будем изменять высоту и громкость звука, то сможем сформировать некоторое сообщение (что мы и делаем с помощью устной речи).
При этом сигналы могут быть двух видов: непрерывный
(или аналоговый
) и дискретный
.
В учебнике даны следующие определения.
Непрерывный
сигнал принимает множество значений из некоторого диапазона. Между значениями, которые он принимает, нет разрывов.
Дискретный
сигнал принимает конечное число значений. Все значения дискретного сигнала можно пронумеровать целыми числами.
Немного уточним эти определения.
Сигнал называется непрерывным
(или аналоговым), если его параметр может принимать любое
значение в пределах некоторого интервала.
Сигнал называется дискретным , если его параметр может принимать конечное число значений в пределах некоторого интервала.
Графики этих сигналов выглядят следующим образом
Примерами непрерывных сигналов могут быть музыка, речь, изображения, показания термометра (высота столба ртути может быть любой и представляет собой ряд непрерывных значений).
Примерами дискретных сигналов могут быть показания механических или электронных часов, тексты в книгах, показания цифровых измерительных приборов и т.д.
Вернемся к примерам, рассмотренным в начале сообщения - мигающая лампочка и человеческая речь. Какой из этих сигналов является непрерывным, а какой дискретным? Ответьте в комментариях и аргументируйте свой ответ. Можно ли непрерывную информацию преобразовать в дискретную? Если да - приведите примеры.
Человек ежедневно разговаривает по телефону, смотрит передачи различных телеканалов, слушает музыку, бороздит по просторам интернета. Все средства связи и иная информационная среда основываются на передаче сигналов различных типов. Многие задаются вопросами о том, чем отличается аналоговая информация от других видов данных, что такое цифровой сигнал. Ответ на них можно получить, разобравшись в определении различных электросигналов, изучив их принципиальное отличие между собой.
Аналоговый сигнал
Аналоговый сигнал (континуальный) – естественный инфосигнал, имеющий некоторое число параметров, которые описываются временной функцией и беспрерывным множеством всевозможных значений.
Человеческие органы чувств улавливают всю информацию из окружающей среды в аналоговом виде. Например, если человек видит рядом проезжающий грузовик, то его движение наблюдается и изменяется непрерывно. Если бы мозг получал информацию о передвижении автотранспорта раз в 15 секунд, то люди всегда бы попадали под его колеса. Человек оценивает расстояние моментально, и в каждый временной момент оно определено и различно.
То же самое происходит и с иной информацией – люди слышат звук и оценивают его громкость, дают оценку качеству видеосигнала и тому подобное. Соответственно, все виды данных имеют аналоговую природу и постоянно изменяются.
На заметку. Аналоговый и цифровой сигнал учувствует в передаче речи собеседников, которые общаются по телефону, сеть интернет работает на основе обмена этих каналов сигналов по сетевому кабелю. Такого рода сигналы имеют электрическую природу.
Аналоговый сигнал описывается математической временной функцией, похожей на синусоиду. Если совершить замеры, к примеру, температуры воды, периодически нагревая и охлаждая ее, то на графике функции будет отображена беспрерывная линия, которая отражает ее значение в каждый временной промежуток.
Во избежание помех такие сигналы требуется усиливать посредством специальных средств и приборов. Если уровень помех сигнала высокий, то и усилить его нужно сильнее. Этот процесс сопровождается большими затратами энергии. Усиленный радиосигнал, например, нередко сам может стать помехой для иных каналов связи.
Интересно знать. Аналоговые сигналы ранее применялись в любых видах связи. Однако сейчас он повсеместно вытесняется или уже вытеснен (мобильная связь и интернет) более совершенными цифровыми сигналами.
Аналоговое и цифровое телевидение пока сосуществуют вместе, но цифровой тип телерадиовещания с большой скоростью сменяет аналоговый способ передачи данных из-за своих существенных преимуществ.
Для описания этого типа инфосигнала применяются три основных параметра:
- частота;
- протяженность волны;
- амплитуда.
Недостатки аналогового сигнала
Аналоговый сигнал имеют нижеследующие свойства, в которых прослеживается их разница от цифрового варианта:
- Этот вид сигналов характеризуется избыточностью. То есть аналоговая информация в них не отфильтрована – несут много лишних информационных данных. Однако пропустить информацию через фильтр возможно, зная дополнительные параметры и природу сигнала, например, частотным методом;
- Безопасность. Он практически полностью беспомощен перед неавторизированными вторжениями извне;
- Абсолютная беспомощность перед разнородными помехами. Если на канал передачи данных наложена любая помеха, то она будет в неизменном виде передана сигнальным приемником;
- Отсутствие конкретной дифференциации уровней дискретизации – качество и количество передаваемой информации ничем не ограничивается.
Вышеприведенные свойства являются недостатками аналогового способа передачи данных, на основании которых можно считать его полностью себя изжившим.
Цифровой и дискретный сигналы
Цифровые сигналы – искусственные инфосигналы, представленные в виде очередных цифровых значений, которые описывают конкретные параметры предаваемой информации.
Для информации. Сейчас преимущественно применяется простой в кодировании битовый поток – двоичный цифровой сигнал. Именно такой тип может использоваться в двоичной электронике.
Различие цифрового типа передачи данных от аналогового варианта состоит в том, что такой сигнал имеет конкретное число значений. В случае с битовым потоком их два: «0» и «1».
Переход от нулевого значения к максимальному в цифровом сигнале производится резко, что позволяет принимающему оборудованию более четко считывать его. При появлении определенных шумов и помех приемнику будет легче декодировать цифровой электросигнал, чем при аналоговой информационной передаче.
Однако цифровые сигналы отличаются от аналогового варианта одним недостатком: при высоком уровне помех их восстановить невозможно, а из континуального сигнала присутствует возможность извлечения информации. Примером этому может послужить разговор по телефону двух человек, в процессе которого могут пропадать целые слова и даже словосочетания одного из собеседников.
Этот эффект в цифровой среде называется эффектом обрыва, который можно локализовать уменьшением протяженности линии связи или установкой повторителя, какой полностью копирует изначальный вид сигнала и передает его дальше.
Аналоговая информация может передаваться по цифровым каналам, пройдя процесс оцифровки специальными устройствами. Такой процесс именуется аналогово-цифровым преобразованием (АЦП). Данный процесс может быть и обратным – цифро-аналоговое преобразование (ЦАП). Примером устройства ЦАП может послужить приемник цифрового ТВ.
Цифровые системы также отличает возможность шифрования и кодирования данных, которая стала важной причиной оцифровывания мобильной связи и сети интернет.
Дискретный сигнал
Существует и третий тип информации – дискретная. Сигнал такого рода является прерывистым и меняется за момент времени, принимая любое из возможных (предписанных заранее) значений.
Дискретная передача информации характеризуется тем, что изменения происходят по трем сценариям:
- Электросигнал меняется только по времени, оставаясь непрерывным (неизменным) по величине;
- Он изменяется только по уровню величины, оставаясь непрерывным по временному параметру;
- Также он может изменяться одномоментно и по величине, и по времени.
Дискретность нашла применение при пакетной передаче большого объема данных в вычислительных системах.
Дискретность в переводе с латинского языка обозначает прерывистость. Данное понятие применяется в различных отраслях науки, в частности электронике, физике, биологии, математике и так далее. В электронике существует понятие дискретного сигнала, предусматривающее передачу информации в условиях изменения возможных значений передающей среды. Кроме этого прерывистость используется и в других более щепетильных сферах, к примеру, в микроэлектронике. В частности при разработке дискретных схем представляющих собой элементы линий связи.
Как применяется дискретность в электронике
Существующие современные технологии связи, в том числе и разработанные для этого компьютерные программы, обеспечивают передачу голоса, являющегося звуковым потоком. При этом разработчики подобного оборудования и программного обеспечения сталкиваются с тем, что голосовой поток это непрерывная волна, передача которой возможна только на канале с высокой пропускной способностью. Его применение слишком затратно как в плане ресурсов, так и финансово. Эта проблема решается использованием принципов дискретности.
Дискретный сигнал представляет собой вместо стандартной непрерывной волны специальное цифровое выражение, способное ее описать. С установленной частотой параметры волны конвертируются в цифровую информацию и отправляются для приема. Фактически, получается обеспечить связь с минимальным применением ресурсов и энергии.
Дискретность позволяет существенно уменьшить суммарный поток данных, формируя из него пакетную передачу. При этом благодаря тому, что соблюдается выборка волны с промежутками между работой и паузами, то исключается вероятность искажения. Создается гарантия, что отправленная часть пакетных данных будет доставлена по предназначению, а за ней уже передастся следующая часть. В случае же с обыкновенными волнами, возможность помех намного выше.
Примеры простейшей дискретности
Учебники по физике для объяснения понятия дискретности при применении его к сигналу зачастую приводят аналогию с печатной книгой. Так, при ее чтении воспринимается непрерывный поток изложенной информации. При этом фактически вся изложенная в ней информация это код, состоящий из набора букв, пробелов и знаков препинания. Изначально способ общения человека – это голос, но посредством письма возможно записать звук с помощью буквенного кода. При этом, если рассматривать в плане емкости в килобайтах или мегабайтах, то объем напечатанного текста будет занимать меньше места, чем его звуковая запись.
Возвращаясь к примеру с книгой получается, что ее автор создает определенный дискретный сигнал, разбивая звуковой поток на блоки и излагая их определенным способом кодирования, то есть письменным языком. Сам читатель открывающий книгу посредством своих знаний в кодировании и мысли объединяет дискретные буквы в непрерывный информационный поток. Данный пример весьма удачно помогает упрощенным языком объяснить зачем нужна дискретность и почему она так тесно связана с сигналами, применяемыми в электронике.
Простым примером визуальной дискретности можно назвать старые рисованные мультфильмы. Их кадр состоял из десятков картинок, которые шли друг за другом с небольшими паузами. Каждая последующая картинка немного изменяется, поэтому глазу человека кажется, что персонажи на экране двигаются. Именно благодаря дискретности вообще возможно формировать движущееся изображение.
Пример с рисованными мультфильмами отображает лишь часть свойства дискретности. Аналогичная технология применяется и при создании видео. Стоит вспомнить диафильмы или старые кинопленки, когда на одной длинной ленте идет множество маленьких картинок, при изменении которых создается эффект движения на экране. Хотя современные технологии и отошли от материальных носителей кадров такого плана, но по-прежнему используется принцип дискретности, хотя и видоизмененный.
Дискретный сигнал
Данное понятие позволяет отобразить противоположное явления непрерывному сигналу. При использовании непрерывности одним из проявлений выступает звуковая волна с определенной амплитудой и частотой, которая транслируется постоянно без пауз. Хотя и существует несколько вполне эффективных способов обработки непрерывного или так называемого аналогового сигнала, позволяющих уменьшить объем информационного потока, но они не так действенны. Использование дискретной переработки позволяет делать оборудование менее объемным и отказаться от дорогостоящих коммуникаций. В электронике понятие дискретный и цифровой сигнал это практически одно и то же.
К неоспоримым достоинствам дискретного сигнала можно отнести:
- Возможность избежать искажения информации.
- Обеспечение высокой помехоустойчивости, что возможно в результате применения кодирования информации.
- Возможность архивирования данных для сохранения ресурсов носителей.
- Обеспечение возможности трансляции информации из различных источников по единому каналу.
- Наличие упрощенного математического описания.
Не лишена дискретность и недостатков. При ее использовании требуется применение высоких технологий, в связи с чем ответственные детали электронных механизмов теряют возможность проведения кустарного ремонта. При серьезной поломке требуется замена отдельных агрегатов. Кроме этого возможна частичная потеря информации, которая заключена в дискретном сигнале.
Способы реализации дискретности при работе с сигналами
Как уже было выяснено, дискретный сигнал представляет собой последовательность цифровых закодированных значений. Существуют различные способы кодирования, но одним из самых популярных считаются двоичные цифровые сигналы. Они используются практически во всех электронных устройствах, поскольку легко кодируются и декодируются.
Дискретный цифровой сигнал имеет два значения «1» и «0». Для передачи данных создается импульсное напряжение. После генерации импульса принимающее его устройство воспринимает часть сигнала как «1», а последующую после этого паузу как «0». Декодирующая аппаратура оценивает частоту подаваемых импульсов и проводит их восстановление в изначальные данные. Если рассматривать график дискретного сигнала, можно увидеть, что переход между нулевым и максимальным значением происходит мгновенно. График состоит из прямоугольных углов, когда линия между верхним и нижним значением не имеет плавного перехода. Благодаря этому принимающая аппаратура считывает информацию четко, тем самым исключаются помехи, поскольку даже слабо принятый импульс будет читаться как максимум, то есть «1», а пауза как «0».
Хотя дискретность и способна значительно уменьшить образование помех, но не может исключить их полное отсутствие. Если имеется большой уровень шума цифрового потока, то восстановить данные из полученных сигналов невозможно. В случае же с непрерывными аналоговыми сигналами можно применять различные фильтры, чтобы убрать искажения и восстановить информацию. Именно поэтому принцип дискретности применяется далеко не всегда.
Техническая реализация принципов дискретности
Дискретные сигналы используются для записи на известные носители, такие как CD, DVD и так далее. Их читают цифровые проигрыватели, мобильные телефоны, модемы и практически любое техническое оборудование, которым все пользуются ежедневно. Все мультимедийные технологии состоят из устройств сжатия, кодировки и декодировки, что и позволяет работать с дискретными сигналами.
Даже те сферы, которые изначально использовали непрерывные технологии передачи данных, начинают отказываться от такого способа и внедряют дискретность. Вся современная аудиотехника работает именно по такому способу. Также происходит постепенный отказ от аналового телевещания. Отсутствие резкого перехода с одной технологии на вторую наблюдается благодаря тому, что дискретный сигнал можно обратно конвертировать в аналоговый. Это обеспечивает определенную совместимость разных систем.
Если рассматривать еще примеры оборудования, где применяются принципы дискретности, то к таким примерам можно отнести:
- Звуковые карты.
- Электронные музыкальные инструменты.
- Навигаторы.
- Цифровые фотоаппараты.
Сфера применения принципа дискретности очень обширна. В связи с этим оборудование, где он внедряется, значительно прогрессирует, при этом удобство применения такой аппаратуры многократно возрастает.
Лекция № 1
«Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы.»
Двумя самыми фундаментальными понятиями в данном курсе являются понятия сигнала и системы.
Под сигналом понимается физический процесс (например, изменяющееся во времени напряжение), отображающий некоторую информацию или сообщение. Математически сигнал описывается функцией определенного типа.
Одномерные сигналы описываются вещественной или комплексной функцией , определенной на интервале вещественной оси (обычно – оси времени) . Примером одномерного сигнала может служить электрический ток в проводе микрофона, несущий информацию о воспринимаемом звуке.
Сигнал x (t ) называется ограниченным если существует положительное число A , такое, что для любого t .
Энергией сигнала x (t ) называется величина
,(1.1)
Если , то говорят, что сигнал x (t ) имеет ограниченную энергию. Сигналы с ограниченной энергией обладают свойством
Если сигнал имеет ограниченную энергию, то он ограничен.
Мощностью сигнала x (t ) называется величина
,(1.2)
Если , то говорят, что сигнал x (t ) имеет ограниченную мощность. Сигналы с ограниченной мощностьюмогут принимать ненулевые значения сколь угодно долго.
В реальной природе сигналов с неограниченной энергией и мощностью не существует. Большинство сигналов, существующих в реальной природе являются аналоговыми.
Аналоговые
сигналы
описываются непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией , причем сама функция и аргумент
t
могут принимать любые
значения на некоторых интервалах 
. На рис. 1.1
а представлен пример
аналогового сигнала, изменяющегося во времени по закону , где . Другой пример аналогового сигнала, показанный на рис 1.1б,
изменяется во времени по закону .
Важным примером аналогового сигнала является сигнал, описываемый т.н. «единичной функцией» , которая описывается выражением
(1.3),
где
.
График единичной функции представлен на рис.1.2.
 |
Функцию 1(t ) можно рассматривать как предел семейства непрерывных функций 1(a , t ) при изменении параметра этого семейства a .
(1.4).
Семейство графиков 1(a , t ) при различных значениях a представлено на рис.1.3.
 |
В этом случае функцию 1(t ) можно записать как
(1.5).
Обозначим производную от 1(a , t ) как d (a , t ).
(1.6).
Семейство графиков d (a , t ) представлено на рис.1.4.
 |
Площадь под кривой d (a , t ) не зависит от a и всегда равна 1. Действительно
(1.7).
Функция
(1.8)
называется импульсной функцией Дирака или d - функцией. Значения d - функции равны нулю во всех точках, кроме t =0. При t =0 d -функция равна бесконечности, но так, что площадь под кривой d - функции равна 1. На рис.1.5 представлен график функции d (t ) и d (t - t ).
 |
Отметим некоторые свойства d - функции:
1. (1.9).
Это следует из того, что только при t = t .
2. (1.10) .
В интеграле бесконечные пределы можно заменить конечными, но так, чтобы аргумент функции d (t - t ) обращался в нуль внутри этих пределов.
(1.11).
3. Преобразование Лапласа d -функции
(1.12).
В частности , при t =0
(1.13).
4. Преобразование Фурье d - функции. При p = j v из 1.13 получим
(1.14)
При t =0
(1.15),
т.е. спектр d - функции равен 1.
Аналоговый сигнал f (t ) называется периодическим если существует действительное число T , такое, что f (t + T )= f (t ) для любых t . При этом T называется периодом сигнала. Примером периодического сигнала может служить сигнал, представленный на рис.1.2а, причем T =1/ f . Другим примером периодического сигнала может служить последовательность d - функций, описываемая уравнением
(1.16)
график которой представлен на рис.1.6.
 |
Дискретные сигналы отличаются от аналоговых тем, что их значения известны лишь в дискретные моменты времени.Дискретные сигналы описываются решетчатыми функциями – последовательностями – x д (nT ), где T = const – интервал (период) дискретизации, n =0,1,2,…. Сама функция x д (nT ) может в дискретные моменты принимать произвольные значения на некотором интервале. Эти значения функции называются выборками или отсчетами функции. Другим обозначением решетчатой функции x (nT ) является x (n ) или x n . На рис. 1.7а и 1.7б представлены примеры решетчатых функций и . Последовательность x (n ) может быть конечной или бесконечной, в зависимости от интервала определения функции.
 |
Процесс преобразования аналогового сигнала в дискретный называется временная дискретизация. Математически процесс временной дискретизации можно описать как модуляцию входным аналоговым сигналом последовательности d - функций d T (t )
(1.17)
Процесс восстановления аналогового сигнала из дискретного называется временная экстраполяция.
Для дискретных последовательностей также вводятся понятия энергии и мощности. Энергией последовательности x (n ) называется величина
,(1.18)
Мощностью последовательности x (n ) называется величина
,(1.19)
Для дискретных последовательностей сохраняются те же закономерности, касающиеся ограничения мощности и энергии, что и для непрерывных сигналов.
Периодической называют последовательность x (nT ), удовлетворяющую условию x (nT )= x (nT + mNT ), где m и N – целые числа. При этом N называют периодом последовательности. Периодическую последовательность достаточно задать на интервале периода, например при .
Цифровые сигналы представляют собой дискретные сигналы, которые в дискретные моменты времени могут принимать лишь конечный ряд дискретных значений – уровней квантования. Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называется квантованием по уровню. Цифровые сигналы описываются квантованными решетчатыми функциями x ц (nT ). Примеры цифровых сигналов представлены на рис. 1.8а и 1.8б.
Связь между решетчатой функцией x д (nT ) и квантованной решетчатой функцией x ц (nT ) определяется нелинейной функцией квантования x ц (nT )= F k (x д (nT )). Каждый из уровней квантования кодируется числом. Обычно для эих целей используется двоичное кодирование, так, что квантованные отсчеты x ц (nT ) кодируются двоичными числами с n разрядами. Число уровней квантования N и наименьшее число двоичных разрядов m , с помощью которых можно закодировать все эти уровни, связаны соотношением
,(1.20)
где int (x ) – наименьшее целое число, не меньшее x .
Т.о., квантование дискретных сигналов состоит в представлении отсчета сигнала x д (nT ) с помощью двоичного числа, содержащего m разрядов. В результате квантования отсчет представляется с ошибкой, которая называется ошибкой квантования
.(1.21)
Шаг квантования Q определяется весом младшего двоичного разряда результирующего числа
.(1.22)
Основными способами квантования являются усечение и округление.
Усечение до
m
-разрядного двоичного числа состоит в
отбрасывании всех младших разрядов числа кроме
n
старших. При этом ошибка усечения
. Для положительных чисел прилюбом способе кодирования 
. Для отрицательных чисел при использовании прямого кода
ошибка усечения неотрицательна , а при использовании дополнительного кода эта ошибка неположительна
. Таким образом, во всех случаях абсолютнок
значение ошибки усечения не превосходит шага квантования:
.(1.23)
График функции усечения дополнительного кода представлен на рис.1.9, а прямого кода – на рис.1.10.
 |
|||
 |
|||
Округление отличается от
усечения тем, что кроме отбрасывания младших разрядов числа модифицируется и
m
-й
(младший неотбрасываемый
)
разряд числа. Его модификация заключается в том, что он либо остается
неизменным или увеличивается на единицу в зависимости от того, больше или
меньше отбрасываемая часть числа величины . Округление можно практически выполнить путем прибавления
единицы к (m
+1) – муразряду
числа с
последующим усечением полученного числа до
n
разрядов. Ошибка округления
при всех способах кодирования лежит в пределах 
и, следовательно,
.(1.24)
График функции округления представлен на рис. 1.11.
Рассмотрение и использование различных сигналов предполагает возможность измерения значения этих сигналов в заданные моменты времени. Естественно возникает вопрос о достоверности (или наоборот, неопределенности) измерения значения сигналов. Этими вопросами занимается теория информации , основоположником которой является К.Шеннон. Основная идея теории информации состоит в том, что с информацией можно обращаться почти также, как с такими физическими величинами как масса и энергия.
Точность измерений мы обычно характеризуем числовыми значениями полученных при измерении или предполагаемых погрешностей. При этом используются понятия абсолютной и относительной погрешностей. Если измерительное устройство имеет диапазон измерения от x 1 до x 2 , с абсолютной погрешностью ± D , не зависящей от текущего значения x измеряемой величины, то получив результат измерения в виде x n мы записываем его как x n ± D и характеризуем относительной погрешностью .
Рассмотрение этих же самых действий с позиции теории информации носит несколько иной характер, отличающийся тем, что всем перечисленным понятиям придается вероятностный, статистический смысл, а итог проведенного измерения истолковывается как сокращение области неопределенности измеряемой величины. В теории информации тот факт, что измерительный прибор имеет диапазон измерения от x 1 до x 2 означает , что при использовании этого прибора могут бытьполучены показания только в пределах от x 1 до x 2 . Другими словами, вероятность получения отсчетов, меньших x 1 или больших x 2 , равна 0. Вероятность же получения отсчетв где-то в пределах от x 1 до x 2 равна 1.
Если предположить, что все результаты измерения в пределах от x 1 до x 2 равновероятны, т.е. плотность распределения вероятности для различных значений измеряемой величины вдоль всей шкалы прибора одинакова, то с точки зрения теории информации наше знание о значении измеряемой величины до измерения может быть представлено графиком распределения плотности вероятности p (x ).
Поскольку полная вероятность получить отсчет где-то в пределах от x 1 до x 2 равна 1, то под кривой должна быть заключена площадь, равная 1, а это значит, что
(1.25).
После проведения измерения получаем показание прибора, равное x n . Однако, вследствие погрешности прибора, равной ± D , мы не можем утверждать, что измеряемая величина точно равна x n . Поэтому мы записывает результат в виде x n ± D . Это означает, что действительное значение измеряемой величины x лежит где-то в пределах от x n - D до x n + D . С точки зрения теории информации результат нашего измерения состоит лишь в том, что область неопределенности сократилась до величины 2 D и характеризуется намного большей плотностью ве5роятности
(1.26).
Получение каой-либо информации об интересующей нас величине заключается, таким образом, в уменьшении неопределенности ее значения.
В качестве характеристики неопределенности значения некоторой случайной величины К.Шеннон ввел понятие энтропии величины x , которая вычисляется как
(1.27).
Единицы измерения энтропии зависят от выбора основания логарифма в приведенных выражениях. При использовании десятичных логарифмов энтропия измеряется в т.н. десятичных единицах или дитах . В случае же использования двоичных логарифмов энтропия выражается в двоичных единицах или битах .
В большинстве случаев неопределенность знания о значении сигнала определяется действием помех или шумов. Дезинформационное действие шума при передаче сигнала определяется энтропией шума как случайной величины. Если шум в вероятностном смысле не зависит от передаваемого сигнала, то независимо от статистики сигнала шуму можно приписывать определенную величину энтропии, которая и характеризует его дезинформационное действие. При этом анализ системы можно проводить раздельно для шума и сигнала, что резко упрощает решение этой задачи.
Теорема Шеннона о количестве информации . Если на вход канала передачи информации подается сигнал с энтропией H ( x ), а шум в канале имеет энтропию H( D ) , то количество информации на выходе канала определяется как
(1.28).
Если кроме основного канала передачи сигнала имеется дополнительный канал, то для исправления ошибок, возникших от шума с энтропией H (D ), по этому каналу необходтмо передать дополнительное количество информации, не меньшее чем
(1.29).
Эти данные можно так закодировать, что будет возможно скорректировать все ошибки, вызванные шумом, за исключением произвольно малой доли этих ошибок.
В нашем случае, для равномерно распределенной случайной величины, энтропия определяется как
(1.30),
а оставшаяся или условная энтропия результата измерения после получения отсчета x n равна
(1.31).
Отсюда полученное количество информации равное разности исходной и оставшейся энтропии равно
(1.32).
При анализе систем с цифровыми сигналами ошибки квантования рассматриваются как стационарный случайный процесс с равномерным распределением вероятности по диапазону распределения ошибки квантования. На рис. 1.12а, б и в приведены плотности вероятности ошибки квантования при округлении дополнительного кода, прямого кода и усечении соответственно.
Очевидно, что квантование является нелинейной операцией. Однако, при анализе используется линейная модель квантования сигналов, представленная на рис. 1.13.
 |
|||
|
| |||
(1.33)
