Оценка качества имитационной модели. Оценка качества регрессионной модели

Формально качество модели определяется ее адекватностью и точностью. Эти свойства исследуются на основе анализа ряда остатков (отклонений расчетных значений от фактических):

При этом адекватность является более важной составляющей качества, но сначала рассмотрим характеристики точности и нормальности ряда остатков, так как некоторые из них используются при расчете различных критериев адекватности.

Характеристики точности

Под точностью понимается величина случайных ошибок. Сравнительный анализ точности имеет смысл только для адекватных моделей: среди них лучшей признается модель с меньшими значениями характеристик точности, к которым относятся:

Максимальная ошибка соответствует максимальному отклонению расчетных значений от фактических;

Средняя абсолютная ошибка

показывает, насколько в среднем отклоняются фактические значения от модели;

Средняя относительная ошибка

;

Остаточная дисперсия

Средняя квадратическая ошибка

. (72)

Средняя квадратическая ошибка является наиболее часто используемой характеристикой точности (что объясняется ее связью с остаточной дисперсией, которая играет центральную роль в регрессионном анализе). Значение средней квадратической ошибки всегда несколько больше значения средней абсолютной ошибки, но они имеют схожий смысл – характеризуют среднюю удаленность расчетных значений модели от фактических исходных данных. Обычно точность модели признается удовлетворительной если выполняется условие:

. (73)

К характеристикам точности можно отнести также множественный коэффициент детерминации

, (74) характеризующий долю дисперсии зависимой переменной, объясненной с помощью регрессии, и множественный коэффициент корреляции (индекс корреляции):

Проверка адекватности модели

Проверка значимости осуществляется на основе t – критерия Стьюдента, т.е. проверяется гипотеза о том, что параметр, измеряющий связь, равен нулю.

Средняя ошибка параметра равна:

, (76) а для параметра :

. (77)

Расчетные значения t - критерия вычисляются по формуле:

(78) Параметр считается значимым, если . Значениеопределяетсяпо формуле СТЬЮДЕНТ.ОБР .2 Х(0,95;46) при числе степеней свободы и с вероятностью (Р=1- ) При и. Следовательно, в рассматриваемом примере параметрыявляются значимыми.

Параметр лежит в пределах;,

а параметр-;.

Значимость уравнения регрессии в целом определяется с помощью F – критерия Фишера:

(79)

Расчетное значение F сопоставляется с критическимдля числа степеней свободыпри заданном уровне значимости(например,), где,.

Если , то уравнение считается значимым.

Другой подход к определению значений параметров уравнения парной регрессии и оценке значимости заключается в обращении к режиму “РЕГРЕССИЯ” EXCEL. Следует отметить, что результаты расчётов, приведенные в табл.7-9, получены с меньшими временными затратами и полностью совпадают с результатами “ручного” счёта.

Проверка наличия или отсутствия систематической ошибки

Проверка свойства нулевого среднего.

Рассчитывается среднее значение ряда остатков (табл. 10):

Если оно близко к нулю, то считается, что модель не содержит систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего, иначе – модель неадекватна по данному критерию. Если средняя ошибка не точно равна нулю, то для определения степени ее близости к нулю используется t – критерий Стьюдента. Расчётное значение критерия вычисляется по формуле

и сравнивается с критическим . Если выполняется неравенство , то модель неадекватна по данному критерию.

Проверка случайности ряда остатков.

Осуществляется по методу серий. Серией называется последовательность расположенных подряд значений ряда остатков, для которых разность имеет один и тот же знак, где- медиана ряда остатков.

Если модель хорошо отражает исследуемую зависимость, то она часто пересекает линию графика исходных данных и тогда серий много, а их длина невелика. Иначе – серий мало и некоторые из них включают большое число членов.

В качестве серий рассматриваются расположенные подряд ошибки с одинаковыми знаками. Далее подсчитывается число серий и длина максимальной из них. Полученные значения сравниваются с критическими

(82) (83) (квадратные скобки означают округление вниз до ближайшего целого).

Если выполняется система неравенств:

, (84) то модель признается адекватной по критерию случайности, если хотя бы одно из неравенств нарушено, то модель признается неадекватной по данному критерию.

Проверка независимости последовательных остатков.

Является важнейшим критерием адекватности модели и осуществляется с помощью коэффициента Дарбина-Уотсона:

. (85) Для рядов с тесной взаимосвязью между последовательными значениями остатков значение близко к нулю, что свидетельствует о том, что закономерная составляющая не полностью отражена в модели и частично закономерность присуща ряду остатков, т.е. модель неадекватна исходному процессу.

Если последовательные остатки независимы, то близко к 2. Это свидетельствует о хорошем качестве модели и чистой фильтрации закономерной составляющей.

При отрицательной автокорреляции остатков (строго периодичном чередовании их знаков) близко к 4.

Для проверки существенности положительной автокорреляции остатков значение сравнивается сииз табл. 2 Приложения к лекции:

Если , то возникает предположение об отрицательной автокорреляции остатков, и тогда с критическими значениями сравниваются не, аи делаются аналогичные выводы.

Оценка качества модели является завершающим этапом ее разработки и пре­следует две цели:

1) проверить соответствие модели ее предназначению (целям исследования);

2) оценить достоверность и статистические характеристики результатов, полу­чаемых при проведении модельных экспериментов.

При аналитическом моделировании достоверность результатов определяется двумя основными факторами:

1) корректным выбором математического аппарата, используемого для описа­ния исследуемой системы;

2) методической ошибкой, присущей данному математическому методу.

При имитационном моделировании на достоверность результатов влияет целый ряд дополнительных факторов, основными из которых являются:

Моделирование случайных факторов, основанное на использовании датчиков СЧ, которые могут вносить «искажения» в поведение модели;

Наличие нестационарного режима работы модели;

Использование нескольких разнотипных математических методов в рамках одной модели;

Зависимость результатов моделирования от плана эксперимента;

Необходимость синхронизации работы отдельных компонентов модели;

Наличие модели рабочей нагрузки, качество которой зависит, в свою очередь, от тех же факторов.

Пригодность имитационной модели для решения задач исследования характе­ризуется тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойства­ми. Основными из них являются:

Адекватность;

Устойчивость;

Чувствительность.

Оценка адекватности модели. В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реально­му объекту, сколько целям исследования.

Один из способов обоснования адекватности разработанной модели - использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев.

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способа­ми. Наиболее распространенные из них:

По средним значениям откликов модели и системы;

По дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

По максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Оценка устойчивости модели. Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при иссле­довании эффективности системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы. Разработчик вынужден прибегать к методам «для данного случая», частичным тестам и здравому смыслу. Часто бывает по­лезна апостериорная проверка. Она состоит в сравнении результатов моделирования и результатов измерений на системе после внесения в нее изменений. Если результаты моделирования приемлемы, уверенность в устойчивости модели возрастает.

Чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель. Устойчивость результатов моделирования может быть также оценена методами математической статистики .

Оценка чувствительности модели. Достаточно часто возникает задача оценивания чувствительности модели к изменению пара­метров рабочей нагрузки и внутренних параметров самой системы.

Такую оценку проводят по каждому параметру в отдельности. Основана она на том, что обычно диапазон возможных изменений параметра известен. Одна из наиболее простых и распространенных процедур оценивания состоит в следующем.

1) вычисляется величина относительного среднего приращения параметра :

2) проводится пара модельных экспериментов при значениях , и средних фиксированных значениях остальных параметров. Определяются значения отклика модели и ;

3) вычисляются ее относительное приращение наблюдаемой переменной :

В результате для -го параметра модели имеют пару значений , характеризующую чувствительность модели по этому параметру.

Аналогично формируются пары для остальных параметров модели, которые образуют множество .

Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть ис­пользованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внима­ние должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чув­ствительной.

Калибровка модели. Если в результате проведенной оценки качества модели оказалось, что ее целевые свойства не удовлетворяют разработчика, необходимо выполнить ее калибровку, т. е. коррекцию с целью приведения в соответствие предъявляемым требованиям.

Как правило, процесс калибровки носит итеративный характер и состоит из трех основных этапов :

1) глобальные изменения модели (например, введение новых процессов, изме­нение типов событий и т. д.);

2) локальные изменения (в частности, изменение некоторых законов распреде­ления моделируемых случайных величин);

3) изменение специальных параметров, называемых калибровочными.

Целесообразно объединить оценку целевых свойств имитационной модели и ее калибров­ку в единый процесс.

Процедура калибровки состоит из трех шагов, каждый из которых является ите­ративным (рис. 1.11).

Шаг 1. Сравнение выходных распределений.

Цель - оценка адекватности ИМ. Критерии сравнения могут быть различны. В частности, может использоваться величина разности между средними значениями откликов модели и системы. Устранение различий на этом шаге основано на внесении глобальных изменений.

Шаг 2. Балансировка модели.

Основная задача - оценка устойчивости и чувствительности модели. По его резуль­татам, как правило, производятся локальные изменения (но возможны и глобальные).

Шаг 3. Оптимизация модели.

Цель этого этапа - обеспечение требуемой точности результатов. Здесь возмож­ны три основных направления работ: дополнительная проверка качества датчиков случайных чисел; снижение влияния переходного режима; применение специальных методов понижения дисперсии.

Помимо наиболее очевидных качеств, необходимых для того, чтобы стать моделью (рост, раз-мер, красота и здоровье), существуют и не столь явные, менее ощутимые факторы, которые тоже принимаются в расчет. Они значительно более субъективны, и мнение одного модельного агентства может существенно отличаться от мне-ния другого. Став же профес-сиональной моделью, регулярно посещающей кастинги, вы обнаружите, что это в равной степе-ни, относится и к потенциальным работодателям.

Фотогеничность

Каждый, кто фотографировал, знает, что одни люди получаются на снимке хорошо, а другие нет. От того, насколько вы фотогеничны, зави-сит то, каким объектив «видит» вас.

Ваш успех как модели зависит от того, как вы получаетесь на фотографии, - То, как вы выглядите на самом деле, вовсе не самое главное.

Если у вас действительно есть это качество, оно обязательно проявится на снимке. Ваша мама способна сделать весьма льстящую вам фото-графию и при помощи дешевой камеры. Вы можете потратить всего доллар в кабинке моментального фото и получить полоску вели-колепных снимков.

Фактор хамелеона

«Когда я только начинала карьеру модели, мой агент сказал: «Вы выглядите великолепно, и у вас все получиться, но вы никогда не станете «супер-моделью», - вспоминает модель Джоди Келли . -Он сказал так потому, что я была как хамелеон и на каждом фото выглядела по-разному».

«Для того чтобы стать «супермоделью» в девя-ностых годах, - добавляет она, - необходимо было выглядеть так, чтобы, взглянув на ваши фотографии, можно быль сказать: «Это Синди Кроуфорд, а вот опять она, и опять».

Повезло Джоди Келли в другом - модели, кото-рым присущ «фактор хамелеона», обычно имеют более продолжительную карьеру. И она подтвердила это личным примером, проработав профессиональной моделью более 10 лет.

Терпение

Одним из наиболее важных качеств модели является терпение. Звучит это очевидно, но это не простая банальность.

«Некоторым моделям не требуется это каче-ство, поскольку у них ежедневные фотосессии, они загружены работой, - комментирует один визажист. - Некоторые из них уже не полу-чают от работы удовольствие. Они работают долгие часы, и это плохо как для них самих, так и для качества их фото».

«Если вы не обладаете терпением, просто становитесь моделью, - подчеркивает Сэм, менеджер по ангажементу Ford Models. - Вы просто не выживете. Вы не продержитесь долго. И вообще у вас ничего не получится. В этом бизнесе необходимо иметь терпение».

«Мне кажется, что в наши дни люди, особенно молодое поколение, стали забывать о том, что не все приходит сразу, - добавляет он. Можно обойти всех потенциальных заказчиков в городе и оставаться без работы на протяжении полугода... и вдруг, раз, и вы получаете ее. Вот, что такое истинное терпение».
«Это означает, в конечном итоге, оказаться в правильном месте и в правильное время - наконец-то, после того,как миллион раз вы оказывались не в месте и в неподходящее время!»

Даже после того как вы получили работу, приходится проводить время в ожидании. «Прическа и макияж при подготовке к съемкам обычно занимают 3-4 часа.Как только вы полностью одеты и вошли в образ - вы попадаете на фотосессию и это истинно пленительный момент. Но, поверьте мне, путь к нему - вовсе нет!»

История фотографа для каталога Avon

Модель Джоди Келли работала над фото, и то, как она это делала, ярко иллюстрирует, какими качествами должна обла-дать хорошая модель.

Был сделан заказ на фото в зимней одежде на природе для каталога Avon . Проблема заключалась в том, что, согласно плану, съемки обычно проводились за шесть месяцев до выхо-да каталога. Был как раз разгар июля- пик страшной жары.

Зная, что снимать придется в тяжелых условиях, фотограф выбирал модель, исходя их трех критериев:

1. Ее облик должен был таким, как это принято в каталогах Avon - обязательна обворожительная, счастливая улыбка.

2; Она никогда не жалуется на трудность и всецело отдает себя работе.

3. Она не потеет так сильно, как обычные люди. «Джоди до ненормальности суха! - шутит Эрик. - Однако именно это каче-ство позволило ей получить данный заказ».

Для съемок рабочая группа выбрала питомник новогодних елок в Нью-Джерси, и фотограф, модель, визажист и стилист отпра-вились туда в арендованном фургончике-рефрижераторе.

На ветки деревьев напылили снег. Обширное полотно, растянутое над моделью, подобно облаку, превратило прямые солнечные лучи в рассеянные. Джоди была в пальто, шапочке, рукавицах и шарфе, и это при температуре свыше 30 градусов по Цельсию.

Все члены группы просто обливались потом, и приходилось часто прерываться, чтобы попить воды. Все это время она вела себя как стойкий боец, ни разу не пожаловавшись на сложив-шуюся ситуацию.

«Мне не на что было жаловаться, - комментирует Джоди тяже-лые условия съемок. - Всю свою жизнь я мечтала быть моделью. И вот я получила эту работу, и мне еще платят за осу-ществление моей мечты! Даже несмотря на погоду, я чувство-вала себя счастливой».

Грациозность

«Грациозность движений должна исходить изнутри, - объясняет один представитель модельного бизнеса. - Это то, с чем вы либо были рождены, либо нет. Ее невозможно отто-чить при помощи балета, спорта и других заня-тий. Она либо есть у вас, либо ее нет, и это хорошо видно на снимке».

Без комплексов

В этом бизнесе нельзя быть излишне скром-ной в том, что касается вашего тела. «Вы дол-жны чувствовать себя абсолютно комфортно, что бы ни делали с вашим телом, - говорит модель Джоди Келли . - Во время выступле-ния на подиуме необходимо одеваться и раз-деваться как можно быстрее, и не остается времени на то, чтобы еще как-то при этом прикрываться».

При съемках для журнала, - добавляет она, -на вас будут прикалывать что-то булавками, вас будут трогать руками, наносить грим на ваше лицо, шею, тело. Вас будут тянуть, дер-гать за волосы и ворошить их. При этом никто не посягает на вас и не переходит границы, просто все эти манипуляции необходимы и всё делать нужно очень быстро».

Уверенность в себе

Уверенность в себе и ощущение комфорта являются теми скрытыми качествами, кото-рые крайне необходимы модели. Если вы чувствуете себя неуклюжей, застенчивой или неловкой или же вы просто расстроены тем, что на лице выскочил прыщик, - ваша не-уверенность в себе обязательно проявится на фото.

Открытость

С какими бы людьми вам не приходилось работать в модельном бизнесе, вы не дол-жны испытывать предубеждения по отноше-нию к ним. Вы должны уметь успешно сотрудничать с любым человеком из любых слоев общества.

«Большое» фото

И наконец, вам необходимо прийти к понима-нию того, что модельный бизнес - это «боль-ше, чем просто фотография», а это может дать только опыт. Это сложно для молодой модели, которая находится под воздействием чар романтики и которая насмотрелась плохих фильмов и прочитала слишком много статей в бульварной прессе.

При этом модель не осознаёт того, что творче-ский план, возможно, разрабатывался на про-тяжении нескольких недель и что все компе-тентные инстанции уже одобрили каждый его пункт, а также то, что решения принимались значительно более опытными людьми, чем она.

Становится грустно, когда видишь, как модель пытается изменить грим, прическу или элементы наряда, поскольку она думает, что знает, как выглядеть более выигрышно.

Если вы не доверяете мнению творческой группы или же пытаетесь объяснить вашему работодателю, что лучше для него, вы не только вызовите их гнев, но и потеряете все то, что вам может дать их творческая мысль. Закончится это тем, что ваш портфолио будет заполнен однобокими, неинтересными фото.

Всегда следует помнить, что вы всего лишь одна из частей, которые составляют одну «большую» фотографию. Необходимо с пониманием относиться к тому, что делают остальные люди, окружающие вас, поскольку у них есть свой, возможно, отличный от вашего, взгляд на позы, выражение лица, одежду и свет. Таким образом, абсолютно необходимо осмы-слить и понять их творческий замысел в комплек-се, чтобы реализовать то, что они ожидают от вас.

Выбор критерия оценки качества модели

Различные алгоритмы порождают необходимость определиться с множеством различных критериев. В частности, необходимо выбрать критерий включения переменных в модель и их исключения, критерий останова алгоритма и критерий оценки окончательной модели.

Общий принцип останова шаговых алгоритмов структурной идентификации следующий: расчеты надо прекращать, когда дальнейшая работа алгоритма не приводит к улучшению качества модели. Отсюда следует общность критериев останова и качества модели.

Критерий оценки качества модели зависит от ее назначения. Например, если предполагается использовать модель для управления или прогнозирования, то необходима высокая прогностическая способность модели - на одни и те же входные воздействия модель и объект должны давать близкие результаты на выходе. Если модель используется в системе измерений, то целью является минимум максимального отклонения значений модели и объекта. Если необходимо построить распознающую систему, то в качестве критерия берут ошибку распознавания - отношение правильных ответов к общему их числу.

Если ограничиться задачей управления, то в основу искомого критерия останова можно заложить требование близости значений выхода модели у м и объекта у при одинаковых значениях входных переменных где Х – рабочая область изменения входных переменных:

Наиболее распространен следующий критерий оценки качества модели:

В приведенном виде среднеквадратичная ошибка отклонения рассчитывается в процентах от среднего значения

Все критерии останова, алгоритмов структурной идентификации (они же критерии качества модели), за исключением критерия достижения заданного числа входных переменных в модели и ему подобных, можно разбить на две группы: внутренние и внешние. Внутренние критерии вычисляются на основании данных, участвующих в построении модели, а внешние - на основании дополнительных данных.

К внутренним критериям, в первую очередь, следует отнести остаточную ошибку модели - сумму отклонений (абсолютных или квадратов разностей) значений выходных переменных объекта и модели. Далее следует назвать коэффициент детерминации (квадрат множественного коэффициента корреляции R 2), приведенную остаточную ошибку, приведенный R 2 и критерий Марллоуса С р, а также другие критерии.

Более надежным представляется использование нескольких выборок данных: по одним выборкам строится модель, а по другим - оценивается ее качество.

В ряде работ дополнительные экспериментальные данные (экзаменационные точки) предлагается применять для оценки качества готовых моделей. Таким образом, предлагается из множества экспериментальных данных выделять часть точек в качестве контрольных. Среднеквадратичная ошибка на этих точках может служить в качестве критерия останова алгоритмов структурной идентификации.

Если наблюдать поведение модели на дополнительных экспериментальных точках, то можно заметить, что, начиная с некоторого шага, модель начинает удаляться от этих точек (в случае неустойчивости это удаление начинается с первого же шага). Исходя из этого, предлагается определять момент останова алгоритма по ошибке на контрольных точках - расчеты прекращаются в момент достижения первого минимума ошибки по шагам алгоритма.

на котором проверяются достоверность и адекватность модели. Созданная модель должна быть адекватна реальному экономическому процессу. При неудовлетворительном качестве модели возвращаются ко второму этапу моделирования.

7. Этап интерпретации результатов моделирования.

Рис. 2.1. Основные этапы эконометрического моделирования

прогноз экономических показателей, характеризующих изучаемый процесс (явление, объект);

моделирование поведения процесса (явления, объекта) при различных значениях факторных переменных;

формирование управленческих решений.

Количество переменных, включенных в эконометрическую модель, не должно быть слишком большим и должно быть теоретически обоснованным. В модели должна отсутствовать функциональная или тесная корреляционная связь между факторными переменными, что может привести к явлению мультиколлинеарности .

При формировании исходной информации для эконометрической модели чрезвычайно важной проблемой является выбор показателей, адекватных сущности исследуемых явлений. Часто эконометрическая модель строится именно для выражения закономерности, существующей между явлениями. Следует обратить внимание на определенную подмену понятий, которая обычно происходит на первом этапе построения модели при переходе от содержательного анализа явлений к формированию отражающих их уровни количественных характеристик (показателей). В ходе содержательного анализа явление часто рассматривается на качественном уровне. Однако при построении модели используется исходная информация, наборы показателей, которые выражают эти явления, их свойства, тенденции в виде количественных характеристик.

Для традиционных направлений исследований проблема обоснования состава показателей обычно считается решенной. Например, в исследованиях производительности труда, макроэкономическом анализе обычно рассматриваются уже устоявшиеся наборы

показателей, значения которых публикуются в статистических сборниках, научных отчетах и т.п. Их примером являются выработка на одного работающего как показатель, выражающий явление «производительность труда», объемы ВВП (показатель результативности экономики), объем основных фондов (показатель уровня материальной обеспеченности производственного процесса, экономики) и т.д. Вместе с тем в ряде областей эконометрических исследований такие системы показателей не могут сформированы столь однозначно. Часто одно и то же явление может быть выражено альтернативными вариантами показателей. В отсутствие объективных данных в эконометрических исследованиях допускается замена одного показателя другим, косвенно отражающим то же явление. Например, среднедушевой доход как показатель материального уровня жизни может быть заменен на среднегодовой товарооборот на одного жителя региона и т.п. Неправильный выбор показателя, представляющего рассматриваемое явление в модели, может существенно повлиять на ее качество, в связи с чем к проблеме обоснования состава показателей (переменных) эконометрической модели на практике следует относиться с предельным вниманием.

Рассматривая проблему выбора конкретного вида функции , следует отметить, что в практике эконометрических исследований используется достаточно широкий круг функциональных зависимостей между переменными, наиболее часто используются: линейная , правая полулогарифмическая , степенная , гиперболическая , логарифмическая гиперболическая , обратная линейная (функция Торнквиста) , функция с постоянной эластичностью замены , экспоненциальная функция . На практике могут встретиться и комбинации рассмотренных выше зависимостей, например,

Большинство функций
с помощью определенного набора преобразований могут быть приведены к линейной форме. Например, еслии связаны зависимостью
(7), то введя переменные
, получим выражение (4) с точностью до преобразования исходных факторов.

В практических исследованиях часто, используя преобразование
и
, степенную модель (6) преобразуют к линейному виду, связывающему логарифмы переменныхи. Однако следует заметить, что в данном случае, с точки зрения математики, такое преобразование не совсем корректно из-за аддитивности ошибки в выражении (6), поэтому значения коэффициентов линейной (относительно логарифмов переменных) модели нельзя в общем случае полагать равными соответствующим значениям степенного аналога.

На примере линейной эконометрической модели можно представить еще одну форму моделей такого типа – моделей, в которых отсутствует свободный коэффициент :

Во многих практических исследованиях строгие теоретические концепции, предварительные допущения о содержательных сторонах взаимодействия между явлениями отступают на второй план. Для них главное – построение уравнения, достаточно точно выражающего взаимосвязи, адекватные тенденциям изменения переменных и на временном интервале (1,Т) . Более того, часто именно удачная форма уравнения эконометрической модели кладется в основу разрабатываемой теоретической концепции, которая затем находит свое применение в последующем анализе. Очевидно, что наиболее «подходящая» форма обеспечивает наилучшее приближение теоретических (расчетных) частот значений
к действительным значениям .

Обычно выбор формы зависимости осуществляется на основе графического анализа тенденций развития соответствующих процессов. Например, если переменная и переменная изменялись во времени согласно графикам, представленным на рис. 2.2, то логично предположить, что зависимость гиперболическая
. Для графиков, представленных на рис. 2.3, характерна логарифмическая зависимость
.

Рис. 2.2. Гиперболическая зависимость

Рис. 2.3. Логарифмическая зависимость

Оптимальный состав факторов , включаемых в эконометрическую модель, одно из основных условий ее хорошего качества, понимаемого и как соответствие формы модели теоретической концепции, выражающей содержание взаимосвязей между рассматриваемыми переменными и как точность предсказания на рассматриваемом интервале времени (1, Т) наблюдаемых значений переменной уравнением
. В общем случае на этапе обоснования эконометрической модели исследователи могут столкнуться с проблемой выбора наиболее предпочтительного состава независимых факторов среди ряда альтернативных вариантов.

Можно выделить два основных подхода к решению этой проблемы:

первый предполагает априорное (до построения модели) исследование характера и силы взаимосвязей между рассматриваемыми переменными, по результатам которого в модель включаются факторы, наиболее значимые по своему непосредственному влиянию на зависимую переменную . И, наоборот, из модели исключаются факторы, которые либо малозначимы, с точки зрения силы своего влияния на переменную , либо их сильное влияние на нее можно трактовать как индуцированное взаимосвязями с другими экзогенными переменными;

второй подход к отбору независимых факторов – можно назвать апостериорным – предполагает первоначально включить в модель все отобранные на основе содержательного анализа факторы. Уточнение их состава в этом случае производится на основе анализа характеристик качества построенной модели, одной из групп которых являются и показатели, выражающие силу влияния каждого фактора на зависимую переменную .

В основе «априорного» подхода лежат следующие предположения: 1) сильное влияние фактора на зависимую переменную должно подтверждаться и определенными количественными характеристиками, важнейшей из которых является их парный линейный коэффициент корреляции
.Логика использования коэффициента парной корреляции при отборе значимых факторов на практике состоит в следующем. Если его значение достаточно велико (≥0,5÷0,6), то можно говорить о наличии существенной

5-парной корреляции при отбор(0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 линейной связи между переменными иили о достаточно сильномвлиянии на . Чем больше абсолютное значение парного линейного коэффициента корреляции, тем сильнее этовлияние (положительное или отрицательное, в зависимости от знака ).Значение парного линейного коэффициента корреляции должно рассчитываться с учетом формы преобразования и в модели. Например, если
, то и коэффициент корреляцииопределяется между и
, и т.п.;2) если два и более факторов выражают одно и то же явление, то как правило, между ними также должна существовать достаточно сильная взаимосвязь. На это может указать значение парного линейного коэффициента корреляции
. На практике взаимосвязь между факторами признается существенной, если
. В таких ситуациях один из этих факторов целесообразно исключить из модели, чтобы одна и та же причина не учитывалась дважды. Следует отметить, что приведенные рубежные значения (в первом случае 0,5÷0,6, во втором 0,8÷0,9 достаточно условны. В каждом конкретном случае они устанавливаются индивидуально. При их выборе существенную роль играет интуиция исследователя.

Обычно считается: если для фактора
, то при большом числе других достаточно значимых факторов, информацией, которую содержит в себе факторотносительно изменчивости переменной, можно пренебречь. Иногда же, наоборот, если состав факторов не слишком широк и фактор выражает существенное с точки зрения теории явление, то исследователь, стремясь не потерять информацию о закономерностях изменчивости переменной, может оставить его в модели и при меньшем значении выборочного парного линейного коэффициента корреляции (0,3 ÷ 0,4). При таком отборе, основанном на эмпирике и интуиции, обычно не принимается во внимание точность оценки выборочных коэффициентов корреляции, которая растет с увеличением выборки. При фиксированной численности выборки точность оценок всех коэффициентов примерно одинакова. Логика такого отбора в большей степени ориентирована на содержательную сторону проблемы учета взаимосвязей между переменными модели. Значительно усложняет проблему отбора факторов явление ложной корреляции , т.е. большие значения парных коэффициентов корреляции могут иметь место и в тех случаях, когда тенденции рассматриваемых процессов совпали случайно, при отсутствии между ними логически обоснованной взаимосвязи. Ложная корреляция может помешать при построении «правильной» модели по двум причинам. Во-первых, в модель случайно могут быть введены незначимые с содержательной точки зрения факторы, характеризующиеся значимыми величинами парного линейного коэффициента корреляции. Во-вторых, из модели могут быть исключены значимые с точки зрения влияния на факторы, в отношении которых ошибочно признана гипотеза о том, что они выражают то же явление, что и другой фактор (факторы), уже включенный в эту модель. Среди основных причин включения в модель переменных с ложной корреляцией часто называют ненадежность информации, используемой при определении значений факторов в различные моменты времени, трудности формализации факторов, имеющих качественный характер, неустойчивость тенденций изменения рассматриваемых переменных, неправильную форму взаимосвязи между ними и т.п.

Основной путь, придерживаясь которого можно избежать ошибок, связанных с понятием «ложной корреляции», связан с проведением качественного анализа проблемы, направленного на обоснование адекватного ей содержания и формы модели. При этом можно предложить и некоторые общие рекомендации, которых целесообразно придерживаться, следуя этим путем: 1) число факторов, включаемых в модель, не должно быть слишком велико. Их увеличение может свести к минимуму ее практическую ценность, так как в этом случае модель начинает отражать не закономерность развития на фоне случайности, а саму случайность; 2) простота модели в значительной степени гарантирует ее адекватность, поскольку более сложные зависимости часто априорно трудноуловимы на ограниченном временном интервале, но в то же время они допускают аппроксимацию достаточно простыми функциями. Иными словами, сложная модель может в большей степени выражать второстепенные взаимосвязи между переменными в ущерб основным.

При апостериорном подходе уточнение состава факторов эконометрической модели осуществляется на основе анализа значений ряда качественных характеристик уже построенного ее варианта. Одну из групп таких характеристик, наиболее важных при отборе факторов, образуют значения критерия Стьюдента , рассчитываемые для коэффициентов при каждом из факторов модели. С помощью этого критерия проверяется гипотеза о значимости влияния фактора на зависимую переменную. Окончательное решение о целесообразности оставления фактора или его удаления из модели принимается наоснове анализа всего комплекса

Таким образом, для практики можно предложить следующую по­этапную процедуру построения окончательного варианта модели на ос­нове апостериорного подхода : 1) в исходный вариант модели включаются все факторы, отобранные в ходе содержательного анализа проблемы. Для этого варианта рассчи­тываются значения оценок коэффициентов модели, их среднеквадратические ошибки и значения критериев Стьюдента; 2) из модели удаляют незначимый фактор, характеризующийся наи­меньшим значением наблюдаемым значением критерия Стьюдента, (при условии, что наблюдаемое значение не больше табличного), и таким образом форми­руют новый вариант модели с уменьшенным на один числом факторов. Заметим, что в модели может быть несколько незначимых факторов. Однако все их одновременно удалять не следует. Возможно, что незна­чимость большинства из них обусловлена влиянием «наихудшего»из не­значимых факторов и на следующем шаге расчетов эти факторы ока­жутся значимыми; 3) процесс отбора факторов можно считать законченным, когда остающиеся в модели факторы являются значимыми, если полученный вариант модели удовлетворяет и другим критериям ее качества,то, процесс построения модели можно считать завершенным в целом. В противном случае целесообразно попытаться сформировать другой альтернативный вариант модели, отличающийся от предыдущего либо со­ставом факторов, либо формой их взаимосвязи с зависимой переменной у .

Каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки. «Априорный» путь отбора факторов не обладает достаточной обосно­ванностью. Он в большей степени использует «прямые» количественные индикаторы «силы» взаимосвязей между рассматриваемыми величинами и не принимает во внимание в полной мере особенности комплексного влия­ния независимых факторов на переменную , т.е. своеобразные эффекты «эмерджентности» такого влияния. Вместе с тем использование априорного подхода часто позволяет уточнить некоторые предварительные альтернативные варианты наборов независимых факторов, проверить исходные предпосылки модели отно­сительно правильности выбора формы взаимосвязей между ними.

«Апостериорный» подход к отбору факторов, на первый взгляд, пред­почтительнее как раз из-за того, что целесообразность включения каждо­го из факторов в эконометрическую модель определяется на основании всего комплекса взаимосвязей между вошедшими в модель переменными. Однако когда общее количество факторов достаточно велико, нет ника­ких гарантий, что множество несущественных, а то и ложных взаимосвя­зей между ними не будет превалировать над основными. В результате может оказаться, что в числе первых кандидатов на исключение будут «названы» наиболее важные, значимые с точки зрения влияния на пере­менную у, факторы. Поэтому в сложных случаях, т.е. при наличии боль­шого числа отобранных для включения в модель на этапе содержатель­ного анализа факторов, специалисты рекомендуют сочетать при формировании их «оптимального» состава оба подхода – «априорный» и «апостериорный».

Согласно этим рекомендациям с помощью методов «априорного» отбора, используя при этом и содержательный анализ, формируются альтернативные варианты включаемых в модель наборов факторов. Далее, с помощью методов «апостериорного» отбора, эти наборы уточняются, соответствующие им варианты моделей сопоставляются по ряду характеристик их качества. Предполагается, что лучший из вариантов модели содержит и «оптимальный» набор факторов. В результате процедура отбора факторов в эконометрическую модель превращается в перебор некоторого множества их приемлемых сочетаний, сформированных на базе «априорного» подхода. Перебирая различные варианты составов независимых факторов, рассматривая возможные виды их взаимосвязей с зависимой переменной исследователь формирует и разные варианты (модификации) эконометрической модели для описания рассматриваемых процессов. В этом случае возникает проблема выбора «оптимального» или наиболее «рационального» среди них. Обычно эта проблема решается на основе аналитического сопоставления статистических характеристик качества построенных вариантов, рассчитываемых уже при известных значениях оценок их параметров.

В общем случае «качество» эконометрической модели оценивается по двум группам характеристик. В первую группу входят показатели, критерии, выражающие степень соответствия построенной модели основным закономерностям описываемого ею процесса. Во вторую – показатели и критерии, в большей степени оценивающие точность ее аппроксимации наблюдаемых значений . К критериям первой группы может быть отнесенкритерий Стьюдента , используемый для оценки значимости влияния каждого фактора на зависимую переменную . Вторую группу критериев образуют широко используемые в статистике и эконометрикекоэффициент множественной корреляции , коэффициент детерминации и критерий Фишера-Снедекора .