Построить линии уровня функции. Простой класс для построения линий уровня двумерной сеточной функции

∙ проходит через одну точку на плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости.

Пример построения прямой на плоскости (Рис. 3.12):








Рис. 3.12 Задача: построить на плоскости АВС прямую, заданную
		фронтальной проекцией

3.4 Главные линии плоскости

Для решения многих задач начертательной геометрии используют линии частного положения – линии уровня .

Линии уровня , это линии на плоскости, параллельные ПП. Линия, параллельная горизонтальной ПП –горизонтал ь, Фронтальной –фронталь , Профильной ПП –профильная лин ия.

Так как линии уровня параллельны своим плоскостям проекций, на других ПП их проекции будут параллельны осям координат. Например, фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х 12 .

Примеры построения линий уровня: ∙ Горизонталь h (Рис. 3.13);

h 11 1

Рис. 3.13 Горизонталь на плоскости

Если плоскость задана следами, линии уровня h иf будут параллельны следам на своих плоскостях проекции: горизонтали горизонтальным следам, фронтали фронтальным следам и т.д. (Рис. 3.14). По сути, след плоскости является линией уровня, бесконечно близкой плоскости проекции.




			f 1≡ h 2

Рис. 3.14 Линии уровня плоскости, заданной следами

3.5 Точка на плоскости

Точка лежит на плоскости, если она принадлежит любой прямой на этой плоскости. Таким образом, для построения точи на плоскости необходимо сначала построить вспомогательную прямую на плоскости такую, чтобы она проходила через заданную проекцию искомой точки и, затем, найти точку на построенной вспомогательной линии вдоль линии связи.

Примеры построения точки на плоскости (Рис. 3.15):







		D1 - ?
		D1 - ?


	D1 - ?

Рис. 3.15 Точка на плоскости

Построение точки на плоскости, заданной следами.

Если плоскость задан следами, в качестве линий, принадлежащих плоскости, с помощью которых проверяется принадлежность точки плоскости, используются линии уровня, которые легко строить, проводя параллельно заданным следам (Рис. 3.16). При этом следует помнить, что проекция точки, принадлежащей следу плоскости, на другой плоскости проекций окажется на оси, разделяющей плоскости проекций (см. (.)1 ).




				f 1≡ h 2

Рис. 3.16 Использование линий уровня для построения очки на плоскости, заданной следами

Тема 4 Взаимное положение геометрических фигур: прямая и плоскость, две плоскости.

Прямая и плоскость, а также две плоскости могут быть:

∙ параллельны друг другу,

∙ пересекаться,

∙ перпендикулярны друг другу.

4.1 Параллельные фигуры

4.1.1 Прямая, параллельная плоскости

Пример 1 (Рис. 4.1). Есть плоскость Σ(a Ç b).

Задана (.)A и фронтальная проекцияl 2 прямой. Провести через(.)A прямую, параллельную плоскостиΣ

A 2l 2

Рис. 4.1 Построение прямой, параллельной плоскости

Пример 2. Через (.)А провести горизонталь, параллельную плоскости

Σ(ABC) (Рис. 4.2).

Рис. 4.2 Горизонталь, параллельная плоскости

4.1.2 Взаимно параллельные плоскости

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (Рис. 4.3).

a // d
	ý Þ a // d
	ý Þ a // d
a 2// d 2þ
a 2// d 2þ
b // c		Þ b// c
		Þ b// c
b 2// c 2þ
пл .Q (a Ç b ) //пл .D (с //в )
пл .Q (a Ç b ) //пл .D (с //в )

Рис. 4.3 Взаимно параллельные плоскости

В качестве пересекающихся линий могут быть выбраны линии
частного положения. Отсюда:
Если одноименные следы двух плоскостей параллельны. То
параллельны сами плоскости.


			пл .S (f Ç h ) //пл .T (f "Ç h ")

		h ′

Рис. 4.4 Параллельные плоскости,
	заданные следами
Пример 4.3: Через (.)А провести плоскостьΘ параллельно плоскости
Γ , заданной двумя параллельными прямыми (Рис. 4.5).



















	Рис. 4.5 Параллельные плоскости

Техника построения:

1. На плоскости Г, используя прямуюа выбирается произвольная вспомогательная точка1 .

2. Через (.) 1 проводятся две произвольные прямыеl иk так, чтобы они пересекли другую прямую, задающую плоскость – линиюb .

3. Через заданную точку А проводят две прямыеm иn , параллельные соответственно вспомогательным прямымl иk . Эти две

пересекающиеся прямые l иk зададут искомую плоскостьQ , параллельную заданной плоскостиГ .

Пример 4.4: Через (.)А провести

плоскость

параллельно

фронтально-проектирующей плоскостиΣ (m ||n ) (Рис. 4.6).

≡ l 2

Рис. 4.6 Параллельные плоскости

Техника построения:

1. На фронтальной ПП через фронтальную проекцию А 2 заданной точкиА проводится прямаяА 2 С 2 ||m 2 ≡ n 2 . Эта прямая будет фронтальным следом искомой плоскостиD . Плоскость, параллельная фронтально-проектирующей плоскости должна быть сама фронтально-проектирующей плоскостью!

2. На горизонтальной ПП выбираются произвольно две точки В 1 и

С1 .

3. Фронтальные проекции В 2 иС 2 точекВ иС ищутся вдоль линий связи на построенном следе искомой плоскостиD .

NB ! Несмотря на то, что точкиВ иС были выбраны на горизонтальной ПП произвольно, плоскость, задаваемая точкамиАВС будет параллельной заданной фронтально-проектирующей плоскости потому, что на фронтальной ПП точкиАВС располагаются на одной линии, параллельной фронтальному следу заданной плоскостиΣ .

4.2 Пересечение прямой и плоскости. Точка пересечения

Рассмотрим частный случай, когда необходимо найти (.)K пересечения прямой общего положенияl и горизонтальнопроектирующей плоскостиΣ .

Пример 4.9: Построить точку пересечения прямой l c горизонтальнопроектирующей плоскостьюΣ (Рис. 4.7):


	å ^ П 1
	å ^ П 1

Рис. 4.7 Пересечение прямой с проектирующей плоскостью

Построение весьма простое. Так как проектирующая плоскость Σ обладает собирательным свойством, точка ее пересечения с линиейl

находится как точка пересечения горизонтального следа Σ 1 плоскости и горизонтальной проекцииl 1 линии. Фронтальная проекция точки пересечение найдена вдоль линии связи.

Для построения точки пересечения произвольной прямой с плоскостью общего положения в качестве вспомогательного элемента следует использовать вспомогательные проектирующие плоскости.

Пример 4.10: Построить точку пересечения прямой m с плоскостью

(a Ç b) (Рис. 4.8).

å ^ П 2 ; å º m

å Ç D(aÇb) => l

l1 11

Рис. 4.8 Пересечения прямой с плоскостью

Для построения использована вспомогательная фронтальнопроектирующая плоскость Σ , проходящая через линиюm .

Линия l пересечения плоскостейΣ Ç лежит в одной плоскости с прямойm , так как вспомогательная плоскость специально была проведена через прямуюm . Следовательно, находясь в одной плоскости, прямыеl иm , если они пересекутся, дадут точку, которая будет искомой точкой пересечения заданных прямойm и плоскости

Если прямые l иm окажутся параллельными, это будет означать, что заданные прямаяm и плоскость – параллельны.

	Пересечение двух плоскостей.
Для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно
найти две любые точки этой линии, либо одну точку и направление
линии пересечения.
Если ищется линия пересечения двух плоскостей, одна из которых
проектирующая, линия пересечения определяется простейшими
построениями.
Пример 4.5: Построить линию пересечения плоскости			Заданной
двумя прямыми l \|\|m и горизонтальной плоскостью уровняΣ (Рис.



		S 2≡ S 2






	Рис. 4.9 Пересечение плоскостей

NB ! Линия пересечения принадлежит горизонтальной плоскости уровняΣ , поэтому является горизонталью.

Простота построения линии пересечения плоскостей общего положения с плоскостями частного положения дает удобный инструмент построения линии пересечения двух плоскостей общего положения.

Рис. 4.10 Вспомогательные секущие плоскости

Таким инструментом являются вспомогательные секущие плоскости частного положения, например, плоскости уровня (Рис. 4.10).

Для построения линии пересечения плоскостей Φ иΘ использованы две горизонтальные плоскостиГ" иГ"" . Точки пересеченияM иN

пар линий a"

S "X lX m

Рис. 4.11 Построение линии пересечения плоскостей

Для построения использованы горизонтальные плоскости Σ" иΣ"".

Пример 4.7: Построить линию пересечения плоскости Φ(ABC) 6

5 1X 6 1

Рис. 4.12 Построение линии пересечения плоскостей

Для построения используются вспомогательные фронтально проектирующие плоскости " и"" , которые на фронтальной ПП проходят по фронтальным проекциям параллельных прямыхl иm , задающих плоскостьТ . Вспомогательная плоскость" пересекает заданную плоскостьΦ(ABC) по линии12 . Горизонтальная проекция этой прямой пересекает горизонтальную проекцию прямойl в точкеЕ 1 . Эта точка ищется на фронтальной ПП вдоль линии связи. ТочкаЕ является общей для плоскостиΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Таким образом, эта точка является одной из точек линии пересечения плоскостейΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Также найдена точкаF пересечения плоскости"" с прямойm . ТочкаF также является точкой линии пересечения плоскостейΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Соединение полученных точекЕ и

h"1 M 1 h 1

Рис. 4.13 Построение линии пересечения плоскостей

Точки линии пересечения, это (.)M пересечения горизонтальных следовh иh" заданных плоскостей и (.)N пересечения фронтальных следовf иf" . Соединение этих точек на соответствующих плоскостях проекций дает проекции линии пересечения заданных плоскостей.

При обработке данных в предметных областях, связанных с научной деятельностью, часто возникает необходимость в построении и визуализации функции двух независимых переменных. Типичным примером является необходимость визуального представления результатов решения двумерных дифференциальных уравнений в частных производных, получаемых в виде так называемых сеточных функций.

Предлагается простой класс для построения линий уровня (изолиний) функции: Z=F(X,Y) в виде линий на плоскости X-Y, удовлетворяющих уравнениям Z=const (где const - набор заданных значений).

Предполагается, что функция Z задана в виде массива z на произвольной сетке с четырехугольными ячейками. Сетка задается двумя массивами x, y, где J и K размеры сетки.

Значения функции определены в углах четырехугольной ячейки. В каждой ячейке проверяется прохождение рассчитываемой линии уровня через ее грани и, при условии, что линия проходит через ячейку, вычисляются координаты пересечения линии уровня с гранями. Внутри ячейки линия проводится прямолинейным отрезком.

Исходный текст снабжен подробными комментариями.

Файл LinesLevels.cs:

Using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Windows; namespace WpfLinesLevels { public class LinesOfLevels { private int J, K; private double[,] X; private double[,] Y; private double[,] Z; // Список изолиний public List Lines { get; set; } ///

/// Подготовка ///

/// Массив уровней /// Координаты X области /// Координаты Y области /// Сеточная функция public LinesOfLevels(double _levels, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z) { Lines = new List(_levels.Count()); foreach (double l in _levels) { Lines.Add(new LineLevel(l)); } X = _x; Y = _y; Z = _z; J = X.GetLength(0); K = X.GetLength(1); } ///

/// Расчет изолиний. ///

public void Calculate() { for (int j = 0; j < J - 1; j++) for (int k = 0; k < K - 1; k++) { Ceil ir = new Ceil(j, k, X, Y, Z); for (int l = 0; l < Lines.Count(); l++) ir.AddIntoLineLevel(Lines[l]); } } } ///

/// Одна изолиния ///

public class LineLevel { // Список точек изолинии в виде пар точек // принадлежащих одной четырехугольной ячеейке public ListPairs { get; set; } // Уровень изолинии public double Level { get; set; } public LineLevel(double _level) { Level = _level; Pairs = new List(); } } ///

/// Пара точек изолинии, принадлежащая одной ячейке ///

public class PairOfPoints { public ListPoints { get; set; } public PairOfPoints() { Points = new List(); } } ///

/// Угол ячейки. /// Индексы для определения одного угла четырехугольной ячейки ///

internal struct Dot { internal int j { get; set; } internal int k { get; set; } internal Dot(int _j, int _k) { j = _j; k = _k; } } ///

/// Четырехугольная ячейка сетки. Определяет текущую ячейку. /// Рассчитывает отрезки изолиний в ячейке ///

internal class Ceil { // Углы ячейки private Dot d = new Dot; // Координатные точки углов private Point r = new Point; // Массивы координат всей области private double[,] X; private double[,] Y; // Массив сеточной функции private double[,] Z; ///

/// Определение ячейки /// Определяется левым нижним углом. Циклы перебора индексов должны быть на 1 меньше размерностей J,K массивов ///

/// j - индекс левого нижнего угла /// k - индекс левого нижнего угла /// Массив X /// Массив Y /// Массив сеточной функции Z internal Ceil(int _j, int _k, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z) { d = new Dot(_j, _k); d = new Dot(_j + 1, _k); d = new Dot(_j + 1, _k + 1); d = new Dot(_j, _k + 1); X = _x; Y = _y; Z = _z; r = dotPoint(d); r = dotPoint(d); r = dotPoint(d); r = dotPoint(d); } ///

/// Определение координатной точки Point угла ///

/// Угол, заданный стуктурой Dot /// private Point dotPoint(Dot _d) { return new Point(X[_d.j, _d.k], Y[_d.j, _d.k]); } ///

/// Определение функции в заданном углу ///

/// Угол, заданный стуктурой Dot /// private double dotZ(Dot _d) { return Z[_d.j, _d.k]; } ///

/// Определение пары точек, через которые проходит линия уровня /// Точки на границах ячейки определяются линейной интераоляцией. ///

/// Значение уровня функции /// private PairOfPoints ByLevel(double _l) { PairOfPoints p = new PairOfPoints(); // Ребро 0 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); } // Ребро 1 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); if (p.Points.Count == 2) return p; } // Ребро 2 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); if (p.Points.Count == 2) return p; } // Ребро 3 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); } return p; } ///

/// Добавление пары точек в линию уравня ///

/// Линия уровня internal void AddIntoLineLevel(LineLevel _lL) { PairOfPoints lp = ByLevel(_lL.Level); if (lp.Points.Count > 0) _lL.Pairs.Add(lp); } } }
Для демонстрации работы класса предлагается небольшое тестовое приложение WPF, которое строит линии уровня для функции вида: z = x^2 + y^2 на сетке 10 на 10.

Файл MainWindow.xaml:

И файл кода MainWindow.xaml.cs:

Using System.Linq; using System.Windows; using System.Windows.Controls; using System.Windows.Media; using System.Windows.Shapes; namespace WpfLinesLevels { ///

/// Логика взаимодействия для MainWindow.xaml ///

public partial class MainWindow: Window { private double Xmax; private double Xmin; private double Ymax; private double Ymin; private double xSt; private double ySt; public MainWindow() { InitializeComponent(); // Определение уровней, которые будут отображаться double levels = { 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 }; double[,] X = new double; double[,] Y = new double; double[,] Z = new double; // Переменные для пересчета физических координат в экранные Xmax = 10; Xmin = 0; Ymax = 10; Ymin = 0; xSt = 525 / (Xmax - Xmin); ySt = 525 / (Ymax - Ymin); // Определение массивов координат и функции for (int k = 0; k < 10; k++) for (int j = 0; j < 10; j++) { X = j; Y = k; Z = j * j + k * k; } // Создание изолиний LinesOfLevels lol = new LinesOfLevels(levels, X, Y, Z); // Их расчет lol.Calculate(); // Построение DrowLevelLine(lol, X, Y); } ///

/// Метод построения изолиний ///

/// Расчитанный объект с изолиниями /// массив X координат /// массив Y координат private void DrowLevelLine(LinesOfLevels lL, double[,] x, double[,] y) { Canvas can = new Canvas(); foreach (LineLevel l in lL.Lines) { foreach (PairOfPoints pp in l.Pairs) { if (pp.Points.Count() == 2) { Line pl = new Line(); pl.Stroke = new SolidColorBrush(Colors.BlueViolet); pl.X1 = xCalc(pp.Points.X); pl.X2 = xCalc(pp.Points.X); pl.Y1 = yCalc(pp.Points.Y); pl.Y2 = yCalc(pp.Points.Y); can.Children.Add(pl); } } } can.Margin = new Thickness(10, 10, 10, 10); can.VerticalAlignment = VerticalAlignment.Stretch; can.HorizontalAlignment = HorizontalAlignment.Stretch; grid1.Children.Add(can); } ///

/// Пересчет физической координаты X в экранную ///

/// Физическая кордината X /// Экранная координата X private double xCalc(double _x) { return xSt * (_x - Xmin); } ///

/// Пересчет физической координаты Y в экранную ///

/// Физическая кордината Y /// Экранная координата Y private double yCalc(double _y) { return ySt * (Ymax - _y); } } }
Результат работы тестового примера представлен на рисунке.

До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция зависит от единственного аргумента . Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где – аргументы или независимые переменные . Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .

Функцией двух переменных называется закон , по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом:

Либо , или же другой стандартной буквой:

Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости , то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.

Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:

Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения .

Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение .

Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть . Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .

Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:

Как двух переменных?

Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!

Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:

Пример 1

Найти область определения функции

Решение : так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Ответ : вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой

Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж .

Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.

Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.

Пример 2

Найти область определения функции

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Ответ : полуплоскость

Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость . Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.

Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!

Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти область определения функции

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем разминаться:

Пример 4

И изобразить её на чертеже

Решение : легко понять, что такая формулировка задачи требует выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств .

Сначала чертим линию , которую задаёт соответствующее равенство . Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое , то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром .

Теперь берём произвольную точку плоскости, не принадлежащую окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :

Получено неверное неравенство , таким образом, точка не удовлетворяет неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:

Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг с центром в начале координат, радиуса .

Ответ : внешняя часть круга

Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция представляет собой следующую поверхность :

На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над плоскостью (ближний и дальний от нас октанты) , местами – под плоскостью (левый и правый относительно нас октанты) . Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения . Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет») , о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.

Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс , гиперболу или параболу .

Идём на повышение:

Пример 6

Найти область определения функции

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .

С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства : чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое , то сама прямая также будет являться решением.

Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.

Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:

Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.

Ответ : область определения:

К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.

Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства . Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.

Пример 7

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:

Пример 8

Найти область определения функции

Решение : используя формулу разности квадратов , разложим подкоренное выражение на множители: .

Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба множителя неотрицательны: ИЛИ когда оба неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств и ОБЪЕДИНИТЬ полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)

Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь верхний «уголок». Штрихуем.

Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь правый «уголок» не является решением системы .

Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.

И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.

В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!

Ответ : область определения представляет собой объединение решений систем .

Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.

А это ваш орешек:

Пример 9

Найти область определения функции

Хороший студент всегда скучает по логарифмам:

Пример 10

Найти область определения функции

Решение : аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .

Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .

Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду . В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.

Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом и его соседями:

Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:

мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе приведение высшей математики…

Ответ :

Следующий логарифм ваш:

Пример 11

Найти область определения функции

В ходе решения придётся построить параболу , которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.

Решение, чертёж и ответ в конце урока.

Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:

Пример 12

Найти область определения функции

Решение : аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:

Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств :

Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:

Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.

Ответ : область определения представляет собой решение системы

Пример 13

Найти область определения функции

В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.

На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу . Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид , «внутренность» параболического цилиндра и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук) , и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.

Линии уровня

Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой : чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.

Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня ? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .

Определение : линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .

Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:

Пример 14

Найти и построить несколько линий уровня графика функции

Решение : исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:

Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна) . Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).

Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.

Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :

Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку .

Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности) :

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса .

Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!

Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность (подставляем в уравнение поверхности) :

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .

И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :

– окружность с центром в точке радиуса 3 .

Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:

Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)

Ответ : линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида

Примечание : при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)

Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты . Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:

На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.

Определение . Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х х , х 2 ,..., х п ) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (х х , х 2 ,..., х п ) .

Переменные х х , х 2 ,..., х п называются независимыми переменными или аргументами, z - зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у) . Тогда ее область определения X есть подмножество координатной плоскости Оху .

Окрестностью точки
называется круг, содержащий точку
(см. рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.

При изучении функций нескольких переменных используется математический аппарат: любой функции z = f (x , у) можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х=х 0 функцию z =
и при фиксированном значении у=у 0 функцию z = f (x , у 0 ).

Графиком функции двух переменных z =
называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z =
.

Для построения графика функции z=f(x, у) полезно рассматривать функции одной переменной z = f (x , у 0 ) и z =
, представляющие сечения графика z = f (x , у) плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz , т.е. плоскостями у= у 0 и х=х 0 .

Пример 1. Построить график функции
.

Решение. Сечения поверхности
=
плоскостями, параллельными координатным плоскостямOyz и Oxz , представляют параболы (например, при х = 0
, при у = 1
и т.д.). В сечении поверхности кординатной плоскостьюОху , т.е. плоскостью z=0 , получается окружность
График функции представляет поверхность, называемую параболоидом (см. рис. 2)

Определение . Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис.3 изображены линии уровня, соответствующие значениям С=1 и С=2. Как видно, линия уровня состоит из двух непересекающихся кривых. Линия– самопересекающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе - это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм - линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции
.

Решение. Линия уровня z = C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х 2 + у 2 - 2у = С или х 2 + (у - I) 2 = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом
(рис. 4).

Точка (0; 1) - это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z =-1 и достигающемуся в точке (0; 1). Линии уровня - концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z = C , причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.

Частные производные

Дадим аргументу х приращение ∆х, аргументу у - приращение ∆у. Тогда функция z получит наращенное значение f(х+∆х, у+∆у). Величина ∆ z = f (x +∆ x , y +∆ y )- f { x , у) называется полным приращением функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргумента x или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции соответственно иназываютсячастными.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е.

Пример 15.6. Найти частные и полное приращения функции z = xy .

Решение. ;;.

Получили, что

Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так:
или
, или
.

Для нахождения производной
надо считать постоянной переменную у, а для нахождения
-переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирования.

Пример. Найти частные производные функции:

a) z = x ln y + .

Решение: Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Таким образом,
. Аналогично, дифференцируя по у, считаем х постоянной величиной, т.е
.

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

dz =
. (1)

Учитывая, что для функций f(х, у)=х, g (x , у)=у согласно (1) df = dx =∆ x ; dg = dy =∆ y формулу дифференциала (1) можно записать в виде dz = z " x dx + z " y dy (2) или

Определение. Функция z = f (x , у) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде (3), где dz - дифференциал функции, – ,бесконечно малые при
.

Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.

Теорема. Если частные производные функции z " v (x , у) существуют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z = f { x , у) дифференцируема в этой точке.