Kuidas väljendeid leida. Kuidas leida väljendi tähendus

Selles artiklis käsitletakse, kuidas leida matemaatiliste avaldiste väärtusi. Alustame lihtsate numbriliste avaldistega ja kaalume siis juhtumeid, kui nende keerukus suureneb. Lõpus esitame avaldise, mis sisaldab tähesümboleid, sulgudesid, juuri, erilisi matemaatilisi märke, kraade, funktsioone jne. Vastavalt traditsioonile esitatakse kogu teooria rikkalike ja üksikasjalike näidetega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kuidas leida arvulise avaldise väärtus?

Numbrilised väljendid aitavad muu hulgas kirjeldada matemaatilises keeles probleemitingimust. Üldiselt võivad matemaatilised avaldised olla kas väga lihtsad, koosneda paarist arvudest ja aritmeetilistest märkidest, või väga keerukad, sisaldada funktsioone, võimeid, juuri, sulgusid jne. Ülesande raames on sageli vaja leida väljendi tähendus. Kuidas seda teha, arutatakse allpool.

Lihtsamad juhtumid

Need on juhud, kui avaldis ei sisalda muud kui numbreid ja aritmeetilisi toiminguid. Selliste avaldiste väärtuste edukaks leidmiseks vajate teadmisi sulgudes aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorra kohta ning oskust erinevate arvudega toiminguid teha.

Kui avaldis sisaldab ainult numbreid ja aritmeetilisi märke "+", "·", "-", "÷", siis toimingud sooritatakse vasakult paremale järgmises järjekorras: kõigepealt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine. Siin on mõned näidised.

Näide 1. Numbrilise avaldise väärtus

Olgu vaja leida avaldise 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 väärtused.

Teeme kõigepealt korrutamise ja jagamise. Saame:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 \u003d 14 - 30 ÷ 6 - 3 \u003d 14 - 5 - 3.

Nüüd lahutame ja saame lõpptulemuse:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Näide 2. Numbrilise avaldise väärtus

Arvutame: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Esiteks teostame murdude teisendamise, jagamise ja korrutamise:

0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 9.

Nüüd teeme liitmise ja lahutamise. Rühmitame murrud ja toome need ühisnimetajale:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Leiti soovitud väärtus.

Sulgudega väljendid

Kui avaldis sisaldab sulgusid, määravad nad selles avaldises toimingute järjekorra. Kõigepealt tehakse sulgudes olevad toimingud ja seejärel kõik ülejäänud. Näitame seda ühe näitega.

Näide 3. Numbrilise avaldise väärtus

Leidke avaldise 0, 5 · (0, 76 - 0, 06) väärtus.

Avaldis sisaldab sulgusid, nii et kõigepealt teostame sulgudes lahutamisoperatsiooni ja alles seejärel korrutame.

0,5 (0,76 - 0,06) \u003d 0,50,7 \u003d 0,35.

Sulgudes sulge sisaldavate avaldiste tähendus järgib sama põhimõtet.

Näide 4. Numbrilise avaldise väärtus

Arvutame väärtuse 1 + 21 + 21 + 21 - 1 4.

Teostame toiminguid alates sisemistest sulgudest, liikudes edasi välimiste külge.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 \u003d 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 \u003d 1 + 2 1 + 2 2, 5 \u003d 1 + 2 6 \u003d 13.

Sulgudega avaldiste väärtuste leidmisel on peamine jälgida toimingute järjekorda.

Juurdunud väljendid

Matemaatilised avaldised, mille väärtused peame leidma, võivad sisaldada juurmärke. Pealegi võib avaldis ise olla juurmärgi all. Mida tuleks sel juhul teha? Esiteks peate leidma avaldise väärtuse juure alt ja seejärel eraldama saadud numbri juure. Võimaluse korral on parem vabaneda arvuliste avaldiste juurtest, asendades need arvväärtustega.

Näide 5. Numbrilise avaldise väärtus

Arvutame juurtega avaldise väärtuse - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Kõigepealt arvutame välja radikaalsed avaldised.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 \u003d - 6 - 1 + 15 3 \u003d 8 3 \u003d 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 \u003d 2, 2 + 0, 05 \u003d 2, 25 \u003d 1, 5.

Nüüd saate hinnata kogu avaldise väärtust.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 \u003d 2 + 3 1, 5 \u003d 6, 5

Tihti nõuab juurdunud avaldise tähenduse leidmine sageli esmase teisenduse teisendamist. Selgitagem seda veel ühe näitega.

Näide 6. Numbrilise avaldise väärtus

Kui palju on 3 + 1 3 - 1 - 1

Nagu näete, pole meil mingit võimalust asendada juur täpse väärtusega, mis raskendab arvutusprotsessi. Kuid sel juhul saate rakendada lühendatud korrutamisvalemit.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Seega:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Võimuavaldused

Kui avaldis sisaldab volitusi, tuleb nende väärtused arvutada enne kõigi muude toimingute jätkamist. Nii juhtub, et astendaja ise või kraadi alus on avaldised. Sel juhul arvutatakse kõigepealt nende avaldiste väärtus ja seejärel kraadi väärtus.

Näide 7. Numbrilise avaldise väärtus

Leidke avaldise 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 väärtus.

Hakkame arvutama järjekorras.

2 3 4 - 10 \u003d 2 12 - 10 \u003d 2 2 \u003d 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 \u003d 16 * 0, 5 3 \u003d 16 1 8 \u003d 2.

Alles jääb ainult liitmisoperatsiooni teostamine ja avaldise väärtuse väljaselgitamine:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 \u003d 4 + 2 \u003d 6.

Sageli on soovitatav avaldist ka kraadiomaduste abil lihtsustada.

Näide 8. Numbrilise avaldise väärtus

Arvutame järgmise avaldise väärtuse: 2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

Eksponendid on jällegi sellised, et nende täpseid arvväärtusi ei saa. Lihtsustame algse avaldise tähenduse leidmiseks.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 \u003d 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 \u003d 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 \u003d 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 \u003d 2 - 2 + 3 \u003d 1 4 + 3 \u003d 3 1 4

Murru avaldised

Kui avaldis sisaldab murdosa, siis tuleb sellise avaldise arvutamisel esitada kõik selles olevad murdosad tavaliste murdudena ja arvutada nende väärtused.

Kui murdosa loendis ja nimetavas on avaldisi, arvutatakse kõigepealt nende avaldiste väärtused ja kirjutatakse murdosa enda lõplik väärtus. Aritmeetilised toimingud viiakse läbi tavapärasel viisil. Vaatleme näite lahendust.

Näide 9. Numbrilise avaldise väärtus

Leidke fraktsioone sisaldava avaldise väärtus: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Nagu näete, on algses avaldises kolm murdosa. Arvutame kõigepealt nende väärtused.

3, 2 2 \u003d 3, 2 ÷ 2 \u003d 1, 6

7 - 2 3 6 \u003d 7 - 6 6 \u003d 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 \u003d 1 + 2 + 3 9 - 3 \u003d 6 6 \u003d 1.

Kirjutame oma avaldise ümber ja arvutame selle väärtuse:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 \u003d 1, 6 - 0,5 ÷ 1 \u003d 1, 1

Avaldiste väärtuste leidmisel on sageli mugav murde vähendada. On olemas ütlemata reegel: enne selle väärtuse leidmist on kõige parem lihtsustada mis tahes avaldist maksimaalselt, vähendades kõiki arvutusi kõige lihtsamatele juhtumitele.

Näide 10. Numbrilise avaldise väärtus

Arvutagem avaldis 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Me ei saa viit täielikult välja juurida, kuid me saame lihtsustada algset väljendit teisenduste abil.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Algne avaldis on järgmine:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Arvutame selle avaldise väärtuse:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Avaldised logaritmidega

Kui avaldises on logaritmid, arvutatakse nende väärtus võimaluse korral algusest peale. Näiteks võite avaldisse log 2 4 + 2 · 4 kirjutada kohe log 2 4 asemel selle logaritmi väärtuse ja seejärel täita kõik toimingud. Saame: log 2 4 + 2 4 \u003d 2 + 2 4 \u003d 2 + 8 \u003d 10.

Numbrilisi väljendeid võib leida ka logaritmi märgi alt ja selle alusest. Sel juhul leitakse kõigepealt nende väärtused. Võtke avaldis log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Meil on:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 \u003d log 3 27 + 7 \u003d 3 + 7 \u003d 10.

Kui logaritmi täpset väärtust pole võimalik arvutada, aitab avaldise lihtsustamine leida selle väärtuse.

Näide 11. Numbrilise avaldise väärtus

Leidke avaldise log 2 väärtus log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5729 log 0, 2 27 väärtus.

log 2 log 2 256 \u003d log 2 8 \u003d 3.

Logaritmide omadus:

log 6 2 + log 6 3 \u003d log 6 (2-3) \u003d log 6 6 \u003d 1.

Logaritmide omaduste uuesti rakendamine avaldise viimase murdosa jaoks:

log 5 729 log 0, 2 27 \u003d log 5 729 log 1 5 27 \u003d log 5 729 - log 5 27 \u003d - log 27 729 \u003d - log 27 27 2 \u003d - 2.

Nüüd saate jätkata algse avaldise väärtuse arvutamist.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5729 log 0, 2 27 \u003d 3 + 1 + - 2 \u003d 2.

Trigonomeetriliste funktsioonidega avaldised

Juhtub, et avaldis sisaldab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangendi trigonomeetrilisi funktsioone, samuti neile vastupidiseid funktsioone. Väärtused arvutatakse enne kõigi muude aritmeetiliste toimingute tegemist. Vastasel juhul on väljend lihtsustatud.

Näide 12. Numbrilise avaldise väärtus

Leidke avaldise väärtus: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Kõigepealt arvutame avaldis sisalduvate trigonomeetriliste funktsioonide väärtused.

patt - 5 π 2 \u003d - 1

Asendage avaldise väärtused ja arvutage selle väärtus:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Avaldise väärtus on leitud.

Sageli tuleb trigonomeetriliste funktsioonidega avaldise väärtuse leidmiseks see kõigepealt teisendada. Selgitagem näite abil.

Näide 13. Numbrilise avaldise väärtus

Peate leidma avaldise cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 väärtuse.

Ümberkujundamiseks kasutame trigonomeetrilisi valemeid kahekordse nurga koosinuse ja summa koosususe koosinuseks.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 \u003d cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 \u003d cos π 4 cos π 4 - 1 \u003d 1 - 1 \u003d 0.

Numbrilise avaldise üldjuht

Üldiselt võib trigonomeetriline avaldis sisaldada kõiki ülaltoodud elemente: sulgud, astmed, juured, logaritmid, funktsioonid. Sõnastagem selliste reeglite väärtuste leidmiseks üldreegel.

Kuidas leida väljendi tähendus

1. Juured, kraadid, logaritmid jne. asendatakse nende väärtustega.
2. Tehakse sulgudes olevad toimingud.
3. Ülejäänud sammud sooritatakse järjestuses vasakult paremale. Esiteks korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine.

Vaatame ühte näidet.

Näide 14. Numbrilise avaldise väärtus

Arvutage avaldise väärtus - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Väljend on üsna keeruline ja kohmakas. Mitte juhuslikult valisime just sellise näite, püüdes sellesse sobitada kõiki ülalkirjeldatud juhtumeid. Kuidas leiate sellise väljendi tähenduse?

On teada, et keerulise murdvormi väärtuse arvutamisel leitakse kõigepealt murdosa lugeja ja nimetaja väärtused eraldi. Muudame ja lihtsustame seda väljendit järjekindlalt.

Kõigepealt arvutame välja radikaalse avaldise 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 väärtuse. Selleks peate leidma siinuse väärtuse ja avaldise, mis on trigonomeetrilise funktsiooni argument.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 \u003d π 6 + 2 2 π + 3 π 5 \u003d π 6 + 2 5 π 5 \u003d π 6 + 2 π

Nüüd saate teada siinuse väärtuse:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 \u003d sin π 6 + 2 π \u003d sin π 6 \u003d 1 2.

Arvutame radikaalse avaldise väärtuse:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 \u003d 2 1 2 + 3 \u003d 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 \u003d 4 \u003d 2.

Murdosa nimetaja on lihtsam:

Nüüd saame kogu murdosa väärtuse üles kirjutada:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 \u003d 2 2 \u003d 1.

Seda silmas pidades kirjutame kogu avaldise:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Lõpptulemus:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 \u003d 27.

Sel juhul suutsime arvutada juurte, logaritmide, siinuste jms täpsed väärtused. Kui see pole võimalik, võite proovida neist lahti saada matemaatiliste teisenduste abil.

Avaldiste väärtuste arvutamine ratsionaalsetel viisidel

Arvutage arvväärtused järjepidevalt ja täpselt. Seda protsessi saab ratsionaliseerida ja kiirendada, kasutades arvudega toimingute erinevaid omadusi. Näiteks on teada, et korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seda omadust arvesse võttes võime kohe öelda, et avaldis 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 on võrdne nulliga. Sellisel juhul pole toiminguid üldse vaja teha ülaltoodud artiklis kirjeldatud järjekorras.

Samuti on mugav kasutada võrdsete arvude lahutamise omadust. Toiminguid tegemata saate tellida, et avaldise 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 väärtus oleks samuti võrdne nulliga.

Teine tehnika, mis võimaldab teil protsessi kiirendada, on identsete teisenduste kasutamine, näiteks terminite ja tegurite rühmitamine ning ühise teguri sulgudest välja võtmine. Murdudega väljendite arvutamisel on ratsionaalne lähenemisviis, et vähendada lugeja ja nimetaja samu väljendeid.

Võtke näiteks väljend 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Sulgudes olevaid toiminguid tegemata, vaid murdosa vähendades võime öelda, et avaldise väärtus on 1 3.

Muutujaga avaldiste väärtuste leidmine

Tähestikulise avaldise ja muutujatega avaldise väärtus leitakse tähtede ja muutujate konkreetsete täpsustatud väärtuste jaoks.

Muutujaga avaldiste väärtuste leidmine

Sõnasõnalise avaldise ja muutujatega avaldise väärtuse leidmiseks peate asendama määratud tähtede ja muutujate väärtused algse avaldisega ja seejärel arvutama saadud arvulise avaldise väärtuse.

Näide 15. Muutujatega avaldise väärtus

Hinnake avaldise väärtust 0,5 x - y antud x \u003d 2, 4 ja y \u003d 5.

Asendame muutujate väärtused avaldisesse ja arvutame:

0, 5 x - y \u003d 0, 5 2, 4 - 5 \u003d 1, 2 - 5 \u003d - 3, 8.

Mõnikord saate avaldise nii muuta, et saaksite selle väärtuse, olenemata selles sisalduvate tähtede ja muutujate väärtustest. Selleks tuleks võimalusel vabaneda avaldise tähtedest ja muutujatest, kasutades identset teisendust, aritmeetiliste tehete omadusi ja kõiki muid võimalikke meetodeid.

Näiteks avaldisel x + 3 - x on ilmselgelt väärtus 3 ja selle väärtuse arvutamiseks ei pea te teadma x väärtust. Selle avaldise väärtus on võrdne kolmega kõigi muutuja x väärtuste korral selle kehtivate väärtuste vahemikust.

Üks näide veel. Avaldise x x väärtus võrdub kõigi positiivsete x väärtustega.

Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage klahvikombinatsiooni Ctrl + Enter

Numbriline avaldis Kas mõni arvude, aritmeetiliste märkide ja sulgude kirje. Numbriline avaldis võib koosneda ainult ühest numbrist. Tuletame meelde, et peamised aritmeetilised toimingud on „liitmine“, „lahutamine“, „korrutamine“ ja „jagamine“. Need toimingud vastavad märkidele "+", "-", "∙", ":".

Muidugi, selleks, et saaksime arvulise avaldise, peab arvude ja aritmeetiliste märkide tähistamine olema tähendusrikas. Nii ei saa näiteks sellist tähistust 5: + ∙ nimetada numbriliseks avaldiseks, kuna tegemist on juhusliku tähemärkide kogumiga, millel pole tähendust. Vastupidi, 5 + 8 ∙ 9 on juba reaalne arvuline avaldis.

Numbrilise avaldise väärtus.

Ütleme kohe, et kui sooritame arvulises avaldises näidatud toimingud, siis saame tulemuseks ka arvu. Sellele numbrile helistatakse numbrilise avaldise väärtus.

Proovime arvutada, mida saame meie näite toimingute tegemise tulemusena. Aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorra järgi sooritame kõigepealt korrutamise. Korrutage 8 arvuga 9. Saage 72. Nüüd lisage 72 ja 5. Saage 77.
Nii 77 - väärtus numbriline avaldis 5 + 8 ∙ 9.

Numbriline võrdsus.

Võite kirjutada nii: 5 + 8 ∙ 9 \u003d 77. Siin kasutasime kõigepealt märki "\u003d" ("Võrdne"). Sellist tähistust, kus kaks arvulist avaldist eraldatakse tähisega "\u003d", nimetatakse arvuline võrdsus... Veelgi enam, kui võrdsuse vasaku ja parema poole väärtused langevad kokku, siis nimetatakse võrdsust truu... 5 + 8 ∙ 9 \u003d 77 - tõeline võrdsus.
Kui kirjutame 5 + 8 ∙ 9 \u003d 100, siis see juba on vale võrdsus, kuna selle võrdsuse vasaku ja parema poole väärtused ei lange enam kokku.

Tuleb märkida, et sulgudes võime kasutada ka arvulist avaldist. Sulgudes mõjutatakse toimingute sooritamise järjekorda. Nii et modifitseerime näiteks oma näidet sulgude lisamisega: (5 + 8) first 9. Nüüd peate kõigepealt lisama 5 ja 8. Saame 13. Ja korrutame 13 arvuga 9. Saame 117. Seega, ( 5 + 8) ∙ 9 \u003d 117.
117 – väärtus arvuline avaldis (5 + 8) ∙ 9.

Avaldise õigeks lugemiseks peate määrama, milline toiming antud arvulise avaldise väärtuse arvutamiseks viiakse läbi viimati. Niisiis, kui viimane toiming on lahutamine, siis väljendit nimetatakse "erinevuseks". Vastavalt sellele, kui viimane toiming on summa - "summa", jagamine - "jagatis", korrutamine - "toode", tõstmine astmele - "kraad".

Näiteks numbriline avaldis (1 + 5) (10-3) kõlab järgmiselt: "numbrite 1 ja 5 summa korrutis arvude 10 ja 3 vahega".

Numbriliste avaldiste näited.

Siin on näide keerulisemast numbrilisest avaldisest:

\\ [\\ vasakule (\\ frac (1) (4) +3,75 \\ paremale): \\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ keskpunkt 0,5) \\]

Sulgudes on meil avaldis $ \\ frac (1) (4) + 3,75 $. Teisendage kümnendkoht 3,75 murdosaks.

3,75 dollarit \u003d 3 \\ frac (75) (100) \u003d 3 \\ frac (3) (4) $

Niisiis, $ \\ frac (1) (4) + 3,75 \u003d \\ frac (1) (4) +3 \\ frac (3) (4) \u003d 4 $

Edasi murdosa lugeja \\ [\\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ keskpunkt 0,5) \\] meil on avaldis 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Selle väljendi lihtsustamiseks rakendame liitmise nihkeseadust, mis ütleb: "Summa ei muutu terminite kohtade muutumisest." See tähendab, et 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 \u003d 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 \u003d 6 + 2 \u003d 8.

Murdosa nimetavas väljend $ 4 \\ centerdot 0.5 \u003d 4 \\ centerdot \\ frac (1) (2) \u003d 4: 2 \u003d 2 $

Saame $ \\ left (\\ frac (1) (4) +3.75 \\ right): \\ frac (1.25 + 3.47 + 4.75-1.47) (4 \\ centerdot 0.5) \u003d 4: \\ frac (8) (2) \u003d 4: 4 \u003d 1 $

Millal on arvulised väljendid mõttetud?

Võtame veel ühe näite. Murdosa nimetavas $ \\ frac (5 + 5) (3 \\ centerdot 3-9) $ avaldise $ 3 \\ centerdot 3-9 $ väärtus on 0. Ja nagu teame, on nulliga jagamine võimatu. Seetõttu pole murdosal $ \\ frac (5 + 5) (3 \\ centerdot 3-9) $ väärtust. Numbrilised väljendid, millel pole tähendust, on väidetavalt "mõttetud".

Kui kasutame numbrilises avaldises lisaks numbritele ka tähti, siis saame juba

Vanemadena puutute oma lapse õpetamise käigus rohkem kui üks kord kokku vajadusega abi matemaatika, algebra ja geomeetria koduprobleemide lahendamisel. Ja üks põhilisi oskusi, mida peate õppima, on see, kuidas leida väljendi tähendus. Paljud jõuavad tupikusse, sest mitu aastat on möödas sellest, kui õppisime 3.-5. Palju on juba unustatud, kuid midagi pole õpitud. Matemaatiliste toimingute reeglid on lihtsad ja need jäävad teile lihtsalt meelde. Alustame matemaatilise avaldise põhitõdedest.

Avaldise määratlus

Matemaatiline avaldis - arvude kogum, tegevusmärgid (\u003d, +, -, *, /), sulgud, muutujad. Lühidalt - see on valem, mille väärtus tuleb leida. Selliseid valemeid leidub matemaatikakursusel juba kooliajast saadik ja seejärel jälitatakse õpilasi, kes on endale valinud täppisteadustega seotud erialad. Matemaatilised avaldised jagunevad trigonomeetrilisteks, algebralisteks ja nii edasi, me ei jookse päris "džunglisse".

1. Tehke esmalt mustandile arvutused ja kirjutage need siis töövihikusse. Seega väldite tarbetut kriipsutamist ja mustust;
2. Arvutage avaldises uuesti läbi matemaatika koguarv. Pange tähele, et reeglite kohaselt tehakse kõigepealt sulgudes olevad toimingud, seejärel jagamine ja korrutamine ning kõige lõpus lahutamine ja liitmine. Soovitame kõik toimingud pliiatsiga esile tõsta ja panna tegevuste kohale numbrid nende täitmise prioriteetsuse järjekorras. Sellisel juhul on teil ja lapsel lihtsam orienteeruda;
3. Alustage arvutuste tegemist rangelt järgides toimingute sooritamise järjekorda. Lase lapsel, kui arvutus on lihtne, proovida seda teha oma mõtetes, kuid kui see on keeruline, siis pane pliiatsisse arv, mis vastab avaldise järjekorranumbrile, ja tee arvutus valemi all kirjalikult;
4. Reeglina pole lihtsa avaldise tähenduse leidmine keeruline, kui kõik arvutused tehakse vastavalt reeglitele ja õigele järjekorrale. Enamik on avaldise väärtuse leidmise etapis silmitsi probleemiga, seega olge ettevaatlik ja ärge tehke vigu;
5. Keelake kalkulaator. Matemaatikavalemid ja ülesanded ise ei pruugi teie lapsele elus kasulikud olla, kuid see pole aine õppimise eesmärk. Peamine on loogilise mõtlemise arendamine. Kui kasutate kalkulaatoreid, kaotatakse kõige tähendus;
6. Teie ülesanne vanemana ei ole lapse jaoks probleemide lahendamine, vaid tema aitamine selles, tema suunamine. Las ta teeb kõik arvutused ise ja veenduge, et ta ei teeks vigu, selgitage, miks peate seda tegema, mitte muul viisil.
7. Kui olete avaldisele vastuse leidnud, kirjutage see märgi "\u003d" järele üles;
8. Avage oma matemaatikaõpetuse viimane leht. Tavaliselt on raamatus iga harjutuse kohta vastused. Pole valus kontrollida, kas kõik on õigesti arvutatud.

Avaldise tähenduse leidmine on ühelt poolt lihtne protseduur, peamine on meeles pidada põhireegleid, mille me kooli matemaatikakursusel läbisime. Kuid teisest küljest, kui peate oma lapsel aitama valemitega ja probleemide lahendamisega hakkama saada, muutub see probleem keerulisemaks. Lõppude lõpuks ei ole te nüüd mitte õpilane, vaid õpetaja ja tulevase Einsteini kasvatus lasub teie õlul.

Loodame, et meie artikkel aitas teil leida vastuse küsimusele, kuidas väljendi tähendust leida, ja saate hõlpsalt välja selgitada mis tahes valemi!

Mina Avaldisi, milles numbreid, aritmeetilisi märke ja sulge saab kasutada koos tähtedega, nimetatakse algebralisteks avaldisteks.

Näited algebralistest avaldistest:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Kuna algebralises avaldises olevat tähte saab asendada mõne erineva arvuga, nimetatakse tähte muutujaks ja algebralist avaldist ise muutujaga väljendiks.

II. Kui algebralises avaldises asendatakse tähed (muutujad) nende väärtustega ja viiakse läbi näidatud toimingud, siis saadud arvu nimetatakse algebralise avaldise väärtuseks.

Näited. Leidke avaldise väärtus:

1) a + 2b -c, kui a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5.

2) | x | + | y \u200b\u200b| - | z | juures x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Otsus.

1) a + 2b -c, kui a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5. Asendame muutujate asemel nende väärtused. Saame:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | y \u200b\u200b| - | z | juures x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Asendage näidatud väärtused. Pidage meeles, et negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne selle vastandarvuga ja positiivse arvu absoluutväärtus võrdub selle numbri endaga. Saame:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Tähe (muutuja) väärtusi, mille jaoks on mõistlik algebraline avaldis, nimetatakse tähe (muutuja) kehtivateks väärtusteks.

Näited. Milliste muutuja väärtuste jaoks pole avaldusel mõtet?

Otsus. Me teame, et nulliga jagamine on võimatu, seetõttu pole kõigil nendel avaldistel mõtet tähe (muutuja) väärtusega, mis muudab murdosa nimetaja nulliks!

Näites 1) on see väärtus a \u003d 0. Tõepoolest, kui a asendatakse 0, siis tuleb number 6 jagada 0-ga, kuid seda ei saa teha. Vastus: avaldisel 1) pole a \u003d 0 jaoks mõtet.

Näites 2) nimetaja x - 4 \u003d 0 x \u003d 4 korral, seega seda väärtust x \u003d 4 ja seda ei saa võtta. Vastus: avaldis 2) pole mõistlik x \u003d 4 jaoks.

Näites 3) nimetaja x + 2 \u003d 0 x \u003d -2 juures. Vastus: avaldisel 3) pole mõtet x \u003d -2 korral.

Näites 4) nimetaja on 5 - | x | \u003d 0 | x | jaoks \u003d 5. Ja kuna | 5 | \u003d 5 ja | -5 | \u003d 5, siis ei saa võtta x \u003d 5 ja x \u003d -5. Vastus: avaldis 4) on mõttetu, kui x \u003d -5 ja kui x \u003d 5.
IV. Kaks avaldist öeldakse olevat identsed, kui muutujate lubatavate väärtuste korral on nende avaldiste vastavad väärtused võrdsed.

Näide: 5 (a - b) ja 5a - 5b on võrdselt võrdsed, kuna võrdsus 5 (a - b) \u003d 5a - 5b kehtib kõigi a ja b väärtuste puhul. Võrdsus 5 (a - b) \u003d 5a - 5b on identiteet.

Identiteet Kas võrdsus kehtib kõigi selles sisalduvate muutujate lubatavate väärtuste puhul? Näited juba tuttavatest identiteetidest on näiteks liitmise ja korrutamise omadused, jaotuse omadus.

Ühe avaldise asendamist teisega, mis on sellega võrdselt võrdne, nimetatakse identiteedi teisenduseks või lihtsalt avaldise teisenduseks. Muutujaga väljendite identsed teisendused viiakse läbi numbritele tehtud toimingute omaduste põhjal.

Näited.

a) teisendage avaldis korrutise jaotuse omaduse abil võrdselt võrdseks:

1) 10 * (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 * (a -2b + 4c); 3) a (6m -2n + k).

Otsus... Tuletame meelde korrutamise jaotuse omadust (seadust):

(a + b) c \u003d a c + b c (korrutamise jaotusseadus liitmise suhtes: kahe numbri summa kolmanda arvuga korrutamiseks võite iga termini korrutada selle arvuga ja lisada saadud tulemused).
(a-b) c \u003d a c-b c (korrutamise jaotusseadus lahutamise suhtes: kahe numbri erinevuse korrutamiseks kolmanda numbriga saate korrutada selle arvuga, mida vähendatakse ja lahutatakse eraldi, ning teisest lahutatakse esimesest tulemusest).

1) 10 * (1,2x + 2,3y) \u003d 10 * 1,2x + 10 * 2,3y \u003d 12x + 23a.

2) 1,5 * (a -2b + 4c) \u003d 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) \u003d 6am -2an + ak.

b) teisendage avaldis võrdselt võrdseks, kasutades liitmise nihke- ja kombinatsiooniomadusi (seadusi):

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Otsus. Rakendame täiendamise seadusi (omadusi):

a + b \u003d b + a (ülekantav: summa ei muutu terminite permutatsioonist).
(a + b) + c \u003d a + (b + c) (kombineeritud: kolmanda numbri lisamiseks kahe termini summale saate lisada teise ja kolmanda summa esimesele numbrile).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 \u003d (x + 2x) + (4,5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 \u003d 3a + (2,1 + 7,8) \u003d 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s \u003d (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) \u003d 3,1s -5,5.

sisse) teisendage avaldis võrdselt võrdseks, kasutades korrutamise nihke- ja kombinatsiooniomadusi (seadusi):

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2a · (üks); 9) 3a · (-3) · 2c.

Otsus. Rakendame korrutamise seadusi (omadusi):

a b \u003d b a (ülekantav: toode ei muutu tegurite permutatsioonist).
(a b) c \u003d a (b c) (kombineeritud: kahe arvu korrutise korrutamiseks kolmanda numbriga saate esimese arvu korrutada teise ja kolmanda korrutisega).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2a · (-1) \u003d 7a.

9) 3a · (-3) · 2s \u003d -18ac.

Kui algebraline avaldis antakse tühistatava murdena, siis murdosa tühistamise reeglit kasutades saab seda lihtsustada, s.t. asendada lihtsama väljendiga, mis on sellega identne.

Näited. Lihtsustage murdude vähendamise abil.

Otsus. Murdosa vähendamine tähendab selle lugeja ja nimetaja jagamist sama arvuga (avaldisega), mis erineb nullist. Murdosa 10) vähendatakse 3b; murdosa 11) saab vähendada ja ja murdosa 12) saab vähendada 7n... Saame:

Valemite koostamiseks kasutatakse algebralisi väljendeid.

Valem on algebraline avaldis, mis on kirjutatud võrdsena ja väljendab kahe või enama muutuja suhet. Näide: teekonna valem, mida teate s \u003d v t (s - läbitud vahemaa, v - kiirus, t - aeg). Pidage meeles, milliseid muid valemeid te teate.

Lehekülg 1/1 1

Valem

Liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine on aritmeetilised toimingud (või aritmeetilised toimingud). Aritmeetiliste toimingute märgid vastavad järgmistele aritmeetilistele toimingutele:

+ (loe " pluss") - liitmisoperatsiooni märk,

- (loe " miinus") - lahutamisoperatsiooni märk,

∙ (loe " korrutada") on korrutustoimingu märk,

: (loe " lõhenema") on jagamisoperatsiooni märk.

Nimetatakse aritmeetiliste tehete märkidega ühendatud numbritest koosnev kirje numbriline avaldis. Numbriline avaldis võib sisaldada ka sulgusid. Näiteks kirje 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) on arvuline avaldis.

Numbrilises numbrilises tegevuses toimingute sooritamise tulemust nimetatakse numbrilise avaldise väärtus... Nende toimingute tegemist nimetatakse numbrilise avaldise väärtuse hindamiseks. Enne numbrilise avaldise väärtuse kirjutamist pange võrdusmärk "\u003d". Tabelis 1 on toodud arvuliste avaldiste ja nende tähenduste näited.

Ladina tähestiku numbritest ja väikestest tähtedest koosnevat kirjet, mis on omavahel ühendatud aritmeetiliste tehete märkidega, nimetatakse sõnasõnaline väljend... See kirje võib sisaldada sulgusid. Näiteks kirje a +b - 3 ∙con sõnasõnaline väljend. Tähtede asemel võib mitu numbrit asendada sõnasõnalise avaldisega. Sel juhul võib tähtede tähendus muutuda, seetõttu kutsutakse ka sõnu otseses väljendis olevaid tähti muutujad.

Asendades sõna otseses avaldises tähtede asemel numbrid ja arvutades saadud arvulise avaldise väärtuse, leiavad nad sõnasõnalise avaldise väärtus, arvestades tähtede väärtusi (muutujate antud väärtuste jaoks). Tabelis 2 on toodud täheväljendite näited.

Sõnasõnaline avaldis võib olla mõttetu, kui täheväärtuste asendamise tulemuseks on arvuline avaldis, mille loomulike arvude väärtust ei leita. Sellist arvulist väljendit nimetatakse vale looduslike arvude jaoks. Samuti öeldakse, et sellise väljendi “ määratlemata " loodusarvude ja avaldise enda jaoks "Pole mõtet"... Näiteks sõnasõnaline väljend a - b pole oluline a \u003d 10 ja b \u003d 17 korral. Naturaalsete arvude puhul ei saa vähenenud arv olla lahutatust väiksem. Näiteks kui teil on ainult 10 õuna (a \u003d 10), ei saa te neist 17 ära anda (b \u003d 17)!

Tabelis 2 (veerg 2) on toodud tähestikulise avaldise näide. Täitke tabel analoogia põhjal täielikult.

Looduslike arvude puhul on avaldis 10–17 vale (pole mõtet), s.t. vahet 10 -17 ei saa väljendada loodusliku arvuna. Teine näide: te ei saa jagada nulliga, seega ühegi loodusliku arvu b korral jagatis b: 0 määratlemata.

Matemaatilised seadused, omadused, mõned reeglid ja seosed kirjutatakse sageli sõnasõnalises vormis (s.o täheväljendina). Nendel juhtudel nimetatakse otsest väljendit valem... Näiteks kui kuusnurga küljed on võrdsed a,b,c,d,e,f,g, siis valem (sõnasõnaline avaldis) selle ümbermõõdu arvutamiseks lk tundub, et:

p \u003da +b +c +d +e +f +g

Kui a \u003d 1, b \u003d 2, c \u003d 4, d \u003d 5, e \u003d 5, f \u003d 7, g \u003d 9, siis on kuusnurga ümbermõõt p \u003d a + b + c + d + e + f + g \u003d 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 \u003d 33.

Kui a \u003d 12, b \u003d 5, c \u003d 20, d \u003d 35, e \u003d 4, f \u003d 40, g \u003d 18, on teise seitsmnurga ümbermõõt p \u003d a + b + c + d + e + f + g \u003d 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 \u003d 134.

Plokk 1. Sõnastik

Koostage lõigust uute terminite ja määratluste sõnastik. Selleks sisestage tühjadesse lahtritesse sõnad allolevast terminiloendist. Tabelis (ploki lõpus) \u200b\u200bnäidake terminite arv vastavalt kaadrite numbritele. Enne sõnastiku lahtrite täitmist on soovitatav lõik hoolikalt läbi vaadata.

1. Toimingud: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine.

2. Märgid "+" (pluss), "-" (miinus), "∙" (korrutada, " : "(Jagama).

3. Kirje, mis koosneb arvudest, mis on seotud aritmeetiliste märkidega ja milles võivad olla ka sulgud.

4. Numbritele numbriliste toimingute sooritamise tulemus.

5. Märk enne arvulise avaldise väärtust.

6. Ladina tähestiku numbritest ja väikestest tähtedest koosnev kirje, mis on omavahel ühendatud aritmeetiliste toimingute märkidega (võivad olla ka sulgud).

7. Tähtede üldnimetus otseses väljendis.

8. Numbrilise avaldise väärtus, mis saadakse muutujate asendamise teel.liitrises avaldises.

9. Numbriline avaldis, mille väärtust looduslike arvude järgi ei leita.

10. Numbriline avaldis, mille väärtuse looduslike arvude korral saab leida.

11. Matemaatilised seadused, omadused, mõned reeglid ja seosed, kirjutatud kirja kujul.

12. Tähestik, mille väiketähti kasutatakse tähestikuliste avaldiste kirjutamiseks.

Blokk 2. Pange kirjavahetus

Sobitage vasakus veerus olev üksus paremal asuva lahendiga. Kirjutage vastus kujul: 1a, 2d, 3b ...

Blokeeri 3. tahkude test. Numbrilised ja sõnasõnalised väljendid

Facet-testid asendavad matemaatika probleemkogumeid, kuid nendega võrreldakse soodsalt, kuna neid saab arvutis lahendada, lahendusi kontrollida ja töö tulemust kohe ära tunda. See test sisaldab 70 probleemi. Kuid saate probleeme lahendada valikuliselt, selleks on olemas hindamistabel, kus on ära toodud lihtsad ja keerulisemad ülesanded. Allpool on test.

1. Antud kolmnurk külgedega c,d,m,väljendatud cm-des
2. Antud nelinurk külgedega b,c,d,mväljendatud m
3. Sõiduki kiirus km / h on b, sõiduaeg tundides on d
4. Turisti läbitud vahemaa aastal m tundi on koos km
5. Kiirusel liikuva turisti läbitud vahemaa m km / h on b km
6. Kahe numbri summa on 15 võrra suurem kui teine
7. Erinevus on väiksem kui vähendatud 7-ga
8. Reisilaeval on kaks tekki, millel on sama arv reisijakohti. Igas tekireas m istmed, ridad tekil peal n rohkem kui kohti järjest
9. Petya on m aastane Masha on n aastane ja Katya on k aastat noorem kui Petya ja Masha koos
10. m \u003d 8, n \u003d 10, k \u003d 5
11. m \u003d 6, n \u003d 8, k \u003d 15
12. t \u003d 121, x \u003d 1458

1. Selle väljendi tähendus
2. Perimeetri otsene väljend on
3. Perimeeter sentimeetrites
4. Autoga kaetud tee valem
5. V kiiruse valem, turistide liikumine
6. Aja valem t, turistide liikumine
7. Autoga läbitud vahemaa kilomeetrites
8. Turisti kiirus kilomeetrites tunnis
9. Turistide reisi aeg tundides
10. Esimene number on ...
11. Lahutatud on….
12. Väljend maksimaalsest reisijate arvust, mida liinilaev saab vedada k lennud
13. Suurim reisijate arv, mida liinilaev saab vedada k lennud
14. Kirja väljend Katya vanuse kohta
15. Katya vanus
16. Punkti B koordinaat, kui punkti C koordinaat on t
17. Punkti D koordinaat, kui punkti C koordinaat on t
18. Punkti A koordinaat, kui punkti C koordinaat on t
19. BD segmendi pikkus numbril
20. Segmendi CA pikkus arvkiirel
21. Segmendi DA pikkus numbril