Funktion raja – määritelmät, lauseet ja ominaisuudet. Äärettömän pienet funktiot

Rajan käsite ja funktion käsite ovat peruskäsitteitä matemaattinen analyysi. Rajan käsitteen tutkiminen aloitettiin alkeismatematiikassa, jossa ympyrän pituus, sylinterin tilavuus, kartio jne. määritetään rajan kohtien avulla. Sitä käytettiin myös määritettäessä äärettömästi pienenevän geometrisen progression summaa. Rajalle siirtyminen on yksi analyysin pääoperaatioista.

Toiminnan tarkoitus (toiminnan raja-arvo) V annettu piste, joka rajoittaa funktion määrittelyaluetta, on arvo, johon tarkasteltavan funktion arvo pyrkii, kun sen argumentti pyrkii tiettyyn pisteeseen.

Toiminnan raja on yleistys sekvenssin rajan käsitteestä: alun perin funktion raja pisteessä ymmärrettiin funktion arvoalueen elementtisarjan rajaksi, joka muodostui funktion pisteiden kuvista. funktion määritelmäalueen elementtien sarja, joka konvergoi tiettyyn pisteeseen (raja, jossa tarkastellaan); jos tällainen raja on olemassa, funktion sanotaan konvergoivan määritettyyn arvoon; jos tällaista rajaa ei ole olemassa, funktion sanotaan poikkeavan.

Yleisin määritelmä toimintoraja muotoiltu ympäröivän alueen kielellä. Se, että funktion rajaa tarkastellaan vain pisteissä, jotka rajoittavat funktion määritelmäaluetta, tarkoittaa, että tietyn pisteen jokaisessa ympäristössä on määritelmäalueen pisteitä; tämä antaa meille mahdollisuuden puhua funktion argumentin taipumuksesta ( kohti tiettyä pistettä). Mutta määritelmäalueen rajapisteen ei tarvitse kuulua itse määritelmäalueeseen: voidaan esimerkiksi tarkastella funktion rajaa sen avoimen aikavälin päissä, jolle funktio määritellään (funktion päät). itse intervalli eivät sisälly määritelmäalueeseen).

SISÄÄN yleinen tapaus on tarpeen osoittaa tarkasti funktion konvergenssimenetelmä, jota varten ns funktion määrittelyalueen osajoukkojen kanta, ja sitten formuloidaan funktion rajan määritelmä (annetusta) kannasta. Tässä mielessä tietyn pisteen lävistettyjen alueiden järjestelmä on erikoistapaus sellainen sarjojen perusta.

Koska laajennetulla reaaliviivalla on mahdollista rakentaa pisteen naapurustojen kanta äärettömään, on mahdollista kuvata funktion rajaa, kun argumentti pyrkii äärettömyyteen, sekä kuvata tilannetta, kun funktio itse pyrkii äärettömään (tietyssä pisteessä). Sekvenssin raja (luonnollisen argumentin funktion rajana) tarjoaa esimerkin konvergenssista perustan "argumentin taipumus äärettömyyteen" yli.

Funktion rajan puuttuminen (tietyssä pisteessä) tarkoittaa, että millä tahansa arvoalueen ennalta määrätyllä arvolla on tämän arvon lähialue niin, että missä tahansa mielivaltaisen pienessä pisteessä, jossa funktio ottaa aseta arvo, on pisteitä, joissa funktion arvo on määritellyn alueen ulkopuolella.

Jos jossain vaiheessa funktion määritelmäalueella on raja ja tämä raja on yhtä suuri kuin funktion arvo tietyssä pisteessä, niin funktio osoittautuu jatkuvaksi (tietyssä pisteessä).

Anna toiminnon on määritelty jossain pisteen a ympäristössä, paitsi ehkä itse piste a.

Lukua B kutsutaan funktion rajaksi kohdassa a (tai klo ), jos millä tahansa argumenttiarvosarjalla , vastaavien funktioarvojen sarja, konvergoi numeroon B

Lukua A kutsutaan funktion rajaksi pisteessä x=x0(tai varten), jos jokin konvergentti x0 sekvenssin (1) argumentin arvo x, erilainen x0, vastaava funktioarvojen sarja (2) konvergoi numeroon A. Osoitettu.

Funktiolla voi olla piste x0 vain yksi raja. Tämä johtuu siitä, että sekvenssillä on vain yksi raja.

1). Toiminto =с=vakio on raja jokaisessa kohdassa x0 numeroviiva, ts.

gif" name="object9" align=absmiddle width=63 height=29>

2). Toiminto = x on jossain vaiheessa x0 numerorivin raja on yhtä suuri kuin x0, eli

Määritelmä 2. Määrä A kutsutaan funktion rajaksi pisteessä x=x0, jos jollakin luvulla on sellainen luku, että epäyhtälö pätee kaikille, jotka tyydyttävät eriarvoisuuden. rajafunktion numeerinen tekijä

Ensimmäinen määritelmä perustuu käsitteeseen lukujonon raja, joten sitä kutsutaan usein määritelmäksi "sekvenssien kielellä" tai Heinen (1821-1881 - saksalainen matemaatikko) määritelmäksi. Toista määritelmää kutsutaan määritelmäksi kielellä "" tai määritelmäksi Cauchyn (1789-1857 - ranskalainen matemaatikko) mukaan.

Voidaan todistaa, että molemmat määritelmät funktion rajasta pisteessä x0 ovat vastaavia, mikä tarkoittaa, että voit käyttää mitä tahansa niistä riippuen siitä, kumpi on kätevämpi ratkaista tiettyä ongelmaa.

Tarkastelun käsitteen funktion rajasta at lisäksi on olemassa myös käsite funktion rajasta at.

Määritelmä. Määrä A kutsutaan funktion rajaksi jos minkään E>0 voit määrittää tällaisen positiivisen luvun N, joka kaikille arvoille x, joka tyydyttää epätasa-arvon, eriarvoisuus täyttyy.

Tietosanakirja YouTube

1 / 5

Tiedemiehet käyttivät intuitiivista käsitettä kulkemisen rajoittamisesta Muinainen Kreikka laskettaessa eri pinta-aloja ja tilavuuksia geometriset kuviot. Arkhimedes kehitti pääasiassa menetelmiä tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi.

Differentiaali- ja integraalilaskua luodessaan 1600-luvun matemaatikot (ja ennen kaikkea Newton) käyttivät myös eksplisiittisesti tai implisiittisesti rajan kulkemisen käsitettä. Rajan käsitteen määritelmä esiteltiin ensimmäisen kerran Wallisin teoksessa "Äärettömien määrien aritmetiikka"(XVII vuosisata), mutta historiallisesti tämä käsite ei muodostanut differentiaali- ja integraalilaskennan perustaa.

Varsinkin 1800-luvun jälkipuoliskolla rajateorian avulla perusteltiin äärettömien sarjojen käyttö analyysissä, jotka olivat kätevä laitteisto uusien funktioiden rakentamiseen.

Jakson raja

Pääartikkeli: Sekvenssirajoitus

Määrä a (\displaystyle a) kutsutaan sekvenssin rajaksi a n = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (\displaystyle a_(n)=\(x_(1),x_(2),...,x_(n)\)) , Jos ϵ > 0 (\displaystyle \epsilon >0) , ∃ (\displaystyle \exists ) N (ϵ) (\displaystyle N(\epsilon)) , ∀ (\displaystyle \forall ) n > N (ϵ) (\displaystyle n>N(\epsilon)): | a n − a |< ϵ {\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon } . Jakson rajaa ilmaisee lim n → + ∞ a n (\displaystyle \lim _(n\to +\infty )a_(n)). Mihin se oikein tähtää? n (\displaystyle n), ei voida määrittää, koska n (\displaystyle n) ∈ N (\displaystyle \in \mathbb (N) ), se voi vain taipua + ∞ (\displaystyle +\infty ).

Ominaisuudet:

Jos sarjarajoitus on olemassa, se on ainutlaatuinen.
lim c = c (\displaystyle \lim c=c) , c − c o n s t (\displaystyle ,c-const)
lim (x n + y n) = lim x n + lim y n (\displaystyle \lim(x_(n)+y_(n))=\lim x_(n)+\lim y_(n))
lim (q x n) = q lim x n (\displaystyle \lim(qx_(n))=q\lim x_(n)) , q − c o n s t (\displaystyle ,q-const)
lim (x n y n) = lim x n lim y n (\displaystyle \lim(x_(n)y_(n))=\lim x_(n)\lim y_(n))(jos molemmat rajat ovat olemassa)
lim (x n / y n) = lim x n / lim y n (\displaystyle \lim(x_(n)/y_(n))=\lim x_(n)/\lim y_(n))(jos molemmat rajat ovat olemassa ja oikean puolen nimittäjä ei ole nolla)
Jos a n > x n > b n ∀ n (\näyttötyyli a_(n)>x_(n)>b_(n)\kaikki n) Ja lim a n = lim b n (\displaystyle \lim a_(n)=\lim b_(n)), Tuo lim x n = lim a n = lim b n (\displaystyle \lim x_(n)=\lim a_(n)=\lim b_(n))("kerrossekvenssiteoreema", joka tunnetaan myös "kahden poliisin lauseena")

Toiminnan raja

Pääartikkeli: Toiminnon raja

Lukua b kutsutaan funktion f(x) rajaksi pisteessä a if ∀ ϵ > 0 (\displaystyle \forall \epsilon >0) olemassa δ > 0 (\displaystyle \delta >0), sellaista ∀ x , 0< | x − a | < δ {\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } suoritettu | f (x) − b |< ϵ {\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon } .

Toimintojen rajoissa pätevät samanlaiset ominaisuudet kuin sekvenssien rajoissa, esim. lim x → x 0 (f (x) + g (x)) = lim x → x 0 f (x) + lim x → x 0 g (x) (\displaystyle \lim _(x\to x_(0)) )(f(x)+g(x))=\lim _(x\to x_(0))f(x)+\lim _(x\to x_(0))g(x)), jos kaikki jäsenet ovat olemassa.

Yleinen käsite sarjan rajasta

Antaa X (\displaystyle X)- joukko, jossa määritellään naapuruston käsite U (\displaystyle U)(esimerkiksi metriavaruus). Antaa x i ∈ X (\displaystyle x_(i)\in X)- tämän tilan pisteiden (elementtien) sarja. He sanovat että x ∈ X (\displaystyle x\in X) tällä sekvenssillä on raja, jos se on missä tahansa pisteen ympäristössä x (\displaystyle x) melkein kaikki sekvenssin ehdot ovat valheita ∀ U (x) ∃ n ∀ i > n x i ∈ U (x) (\näyttötyyli \kaikki U(x)\olemassa n\kaikki i>nx_(i)\in U(x))

Rajat aiheuttavat kaikille matematiikan opiskelijoille paljon vaivaa. Rajan ratkaisemiseksi joudut joskus käyttämään monia temppuja ja valitsemaan useista ratkaisumenetelmistä juuri se, joka sopii tiettyyn esimerkkiin.

Tässä artikkelissa emme auta sinua ymmärtämään kykyjesi rajoja tai ymmärtämään hallinnan rajoja, mutta yritämme vastata kysymykseen: kuinka ymmärtää korkeamman matematiikan rajoja? Ymmärtäminen tulee kokemuksen myötä, joten annamme samalla useita yksityiskohtaisia esimerkkejä rajojen ratkaisemisesta selitysten kera.

Rajan käsite matematiikassa

Ensimmäinen kysymys kuuluu: mikä on tämä raja ja minkä raja? Voimme puhua numeeristen sekvenssien ja funktioiden rajoista. Meitä kiinnostaa funktion rajan käsite, sillä juuri sitä opiskelijat kohtaavat useimmiten. Mutta ensin yleisin rajan määritelmä:

Oletetaan, että siinä on jokin muuttuva arvo. Jos tämä arvo lähestyy muutosprosessissa rajattomasti tiettyä numeroa a , Tuo a – tämän arvon raja.

Tietyllä aikavälillä määritellylle funktiolle f(x)=y tällaista lukua kutsutaan rajaksi A , johon funktio pyrkii milloin X , pyrkii tiettyyn pisteeseen A . Piste A kuuluu väliin, jolle funktio määritellään.

Se kuulostaa hankalalta, mutta se on kirjoitettu hyvin yksinkertaisesti:

Lim- englannista raja- raja.

Rajan määrittämiselle on myös geometrinen selitys, mutta tässä emme syvenny teoriaan, koska meitä kiinnostaa enemmän asian käytännön kuin teoreettinen puoli. Kun sanomme niin X pyrkii johonkin arvoon, tämä tarkoittaa, että muuttuja ei ota luvun arvoa, vaan lähestyy sitä äärettömän lähellä.

Otetaan konkreettinen esimerkki. Tehtävänä on löytää raja.

Tämän esimerkin ratkaisemiseksi korvaamme arvon x=3 funktioksi. Saamme:

Muuten, jos olet kiinnostunut, lue erillinen artikkeli tästä aiheesta.

Esimerkeissä X voi taipua mihin tahansa arvoon. Se voi olla mikä tahansa luku tai ääretön. Tässä esimerkki, kun X taipumus äärettömyyteen:

Intuitiivisesti mitä suurempi luku nimittäjässä on, sitä pienemmän arvon funktio ottaa. Siis rajattomalla kasvulla X merkitys 1/x vähenee ja lähestyy nollaa.

Kuten näet, rajan ratkaisemiseksi sinun tarvitsee vain korvata tavoite arvo funktioon X . Tämä on kuitenkin yksinkertaisin tapaus. Usein rajan löytäminen ei ole niin ilmeistä. Rajojen sisällä on tyypin epävarmuustekijöitä 0/0 tai ääretön / ääretön . Mitä tehdä tällaisissa tapauksissa? Turvaudu temppuihin!

Epävarmuus sisällä

Epävarmuus muodosta ääretön/ääretön

Olkoon raja:

Jos yritämme korvata funktion äärettömän, saamme äärettömän sekä osoittajaan että nimittäjään. Yleisesti ottaen kannattaa sanoa, että tällaisten epävarmuustekijöiden ratkaisemisessa on tietty taiteen elementti: pitää huomata, kuinka funktiota voi muuttaa siten, että epävarmuus katoaa. Meidän tapauksessamme jaamme osoittajan ja nimittäjän X ylimmässä tutkinnossa. Mitä tapahtuu?

Edellä jo käsitellystä esimerkistä tiedämme, että termit, jotka sisältävät x:n nimittäjässä, ovat yleensä nolla. Sitten ratkaisu rajaan on:

Tyyppiepävarmuuksien ratkaisemiseksi ääretön / ääretön jaa osoittaja ja nimittäjä X korkeimmalle tasolle.

Muuten! Lukijoillemme on nyt 10 % alennus

Toinen epävarmuustyyppi: 0/0

Kuten aina, arvojen korvaaminen funktioon x = -1 antaa 0 osoittajassa ja nimittäjässä. Katsokaa hieman tarkemmin ja huomaatte, että osoittajassa on toisen asteen yhtälö. Etsitään juuret ja kirjoitetaan:

Vähennetään ja saadaan:

Joten jos kohtaat tyypin epävarmuutta 0/0 – kerro osoittaja ja nimittäjä.

Esimerkkien ratkaisemisen helpottamiseksi esittelemme taulukon joidenkin funktioiden rajoituksista:

L'Hopitalin sääntö sisällä

Toinen tehokas tapa poistaa molemmat epävarmuudet. Mikä on menetelmän ydin?

Jos rajassa on epävarmuutta, ota osoittajan ja nimittäjän derivaatta, kunnes epävarmuus katoaa.

L'Hopitalin sääntö näyttää tältä:

Tärkeä pointti : raja, jossa osoittajan ja nimittäjän johdannaisten on oltava osoittajan ja nimittäjän sijasta.

Ja nyt - todellinen esimerkki:

Tyypillistä epävarmuutta on 0/0 . Otetaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat:

Voila, epävarmuus selviää nopeasti ja tyylikkäästi.

Toivomme, että pystyt soveltamaan näitä tietoja hyödyllisesti käytännössä ja löytämään vastauksen kysymykseen "miten ratkaista rajoja korkeammassa matematiikassa". Jos sinun on laskettava sarjan tai funktion raja jossain pisteessä, eikä tähän työhön ole lainkaan aikaa, ota yhteyttä nopean ja yksityiskohtaisen ratkaisun saamiseksi.

Reaalilukuteorian alkuperä ja luominen

3 Rajateorian muodostuminen

Reaaliluvun käsitteen tiukka matemaattinen rakentaminen tuli mahdolliseksi rajateorian ansiosta.

Nykyaikaisen matemaattisen koulutuksen saanut henkilö voi tuskin kuvitella differentiaali- ja integraalilaskentaa ilman rajateorian laitteistoa. Kuitenkin historiallisesti johdannainen ilmestyi ennen rajaa. Tämän ilmiön syyt selittyvät 1600-luvun luonnontieteen kiireellisellä tarve differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmille.

1600-luvulla infinitesimaalisiin menetelmiin liittyvät ajatukset alkoivat kehittyä nopeasti. Tässä on syytä huomata sellaiset matemaatikot kuin Descartes, Fermat, Pascal, Torricelli, Cavalieri, Roberval, Barrow. Antiikin aikana kehitetty kvadratuurimenetelmä on löytänyt laajan sovelluksen ja kehityksen. Tangenttien kysymystä tutkittiin - annettiin määritelmä, joka oli yleisempi kuin muinainen, ja rakennettiin menetelmiä tangenttien löytämiseksi. Johdannaista on yritetty ottaa käyttöön. Havaittiin jopa, että tangentin löytämisen ongelma on käänteinen kvadratuuriongelmalle.

Huolimatta kurinalaisuudesta, "...matemaatikot ovat saavuttaneet yhä enemmän infinitesimaalisen laskennan taustalla olevien käsitteiden hallintaa."

Äärettömän pienet menetelmät ovat saamassa suosiota matemaatikoiden keskuudessa, ja niitä käytetään ja parannetaan yhä enemmän. Integraali- ja differentiaalilaskentaa formalisoivat ja yleistävät vähitellen sellaiset tiedemiehet kuin Newton (1643-1727) ja Leibniz (1646-1716). Näin ollen Newton loi yhteyden derivaatan ja integraalin välille ja ehdotti uutta menetelmää yhtälöiden ratkaisemiseksi derivaatta käyttämällä. Hän kehitti fluxion-menetelmän, joka liitti derivaatan hetkelliseen nopeuteen ja kiihtyvyyteen. Tällä menetelmällä hän kehitti integraali- ja differentiaalilaskennan. Newton ehdotti myös algoritmia funktion derivaatan löytämiseksi, joka perustuu rajateorian varhaiseen muotoon. Fluxion-menetelmän perusta ja tehokas työkalu oli funktioiden laajentaminen sarjoiksi, vaikkakaan ilman kunnollista perustetta niiden lähentymiselle.

Olemme Leibnizille velkaa suuren määrän käteviä ja kauniita merkintöjä integraali- ja differentiaalilaskennassa. Leibniz päätyi tuloksiinsa Newtonista riippumatta. Hän kehitti kombinatoriikasta saatua tietoa käyttäen muodollisen menetelmän integraalien laskemiseen. Leibniz esitteli differentiaalin käsitteen määrittelemällä sen tangenttien avulla, löysi joitain sääntöjä kompleksisen funktion differentiaalin löytämiseksi ja esitteli myös korkeamman asteen differentiaalit. Leibniz kehitti myös menetelmiä ääripisteiden ja käännepisteiden etsimiseen. Leibnizin teorian vahvuus käytännön laskelmien kannalta oli sen algoritminen luonne ja muodollisuus.

Sekä Newton että Leibniz ratkaisivat monia käytännössä tärkeitä ongelmia käyttämällä äärettömän pienten suureiden käsitteitä. Siten Newton käyttää fluxiomenetelmää differentiaaliongelmien ratkaisemiseen ja Leibniz käyttää differentiaaleja. Newton pitää integraatiota käänteisenä differentiaatioongelmana (käsitteillämme antiderivaatan löytäminen), ja Leibniz pitää integraalia äärettömän pienten suorakulmioiden pinta-alojen summana. On aivan luonnollista, että nämä kaksi käsitettä kilpailivat keskenään.

Newton ja Leibniz, jotka käyttivät infinitesimaaleja laskelmissaan, eivät voineet selittää niiden luonnetta, koska he eivät kuvitelleet pientä määrää, joka olisi sekä äärellinen että erilainen kuin 0. Molemmat tutkijat pääsivät lähelle rajan käsitettä, mutta "...kapea Lukukäsite, joka ei sallinut tiettyjen suhteiden tunnistamista numeroiden kanssa, oli osittain syynä siihen, että rajan käsite ei voinut "purkaa" Newtonin tai Leibnizin teorioissa." Matemaatikot käyttivät intuitiivisia ja geometrisia näkökohtia. Funktiot ymmärrettiin jollain liikkeellä saatuina käyrinä (niin kuin muinaiset kreikkalaiset pitivät niitä). "Ensimmäiset analyysin luojat ja heidän seuraajansa pitivät itsestäänselvyytenä kahden perusajatuksen pätevyydestä avaruudesta ja mekaanisesta liikkeestä." Luultavasti tästä syystä jatkuvuuden ja erilaisuuden välistä yhteyttä on pitkään pidetty lähes synonyyminä.

Infinitesimaalimenetelmä osoitti kuitenkin hedelmällisyytensä ja välttämättömyytensä matematiikassa, mikä teki integraali- ja differentiaalilaskennan perustan ongelmasta entistä akuutimman. Keskustelu ei ollut vain matemaatikoiden keskuudessa; Kaikkeen matematiikkaan kohdistui vakavia hyökkäyksiä, esimerkiksi teologi D. Berkeley. Tätä matematiikan XVII-XVII tilaa kutsuttiin matematiikan toiseksi kriisiksi.

Newtonin ja Leibnizin jälkeen Euler, d'Alembert ja Lagrange yrittivät määritellä äärettömän pienen määrän käsitettä. Näitä yrityksiä ei voida kutsua turhiksi, nämä teokset vahvistivat matematiikan funktioiden käsitettä, joka vaikutti rajateorian etsintään. Ei kuitenkaan ollut mahdollista rakentaa johdonmukaista ja loogisesti perusteltua teoriaa.

Niinpä 1800-luvulle mennessä matematiikassa oli kehittynyt paradoksaalinen tilanne. Matemaattisten tieteiden luonnontieteissä oli kiistattomia menestyksiä, sarjojen käsittelyyn, eriyttämiseen ja integrointiin kehitettiin metodologiaa, monia tärkeitä ongelmia ratkaistiin, mutta ei ymmärrystä, mihin matemaattinen analyysi perustuu. Tarve ymmärtää uuden matematiikan perusta on tullut yleismaailmalliseksi ja kiireelliseksi.

Olemme Augustin Louis Cauchyn (1789-1857) velkaa harmonisen ja tiukan infinitesimaalien teorian rakentamisen. On myönnettävä, että Cauchy ei ollut ensimmäinen matemaatikko, joka keksi tämän ajatuksen, mutta historiallisesti hänen työllään oli keskeinen rooli matemaattisen analyysin kehityksessä. Cauchy antoi rajan yleisen määritelmän kuvailevassa muodossa: ”Jos samalle muuttujalle peräkkäin määritetyt arvot lähestyvät kiinteää arvoa ilman rajaa, niin että ne loppujen lopuksi eroavat siitä mahdollisimman vähän, niin jälkimmäinen on ns. kaikkien muiden raja." Lainaus otettu. Tämän määritelmän näkökulmasta kävi selväksi, että äärettömän pieni määrä on vain suure, jonka raja on 0, sitten Cauchy määritteli derivaatan käsitteen ja osoitti tämän määritelmän yhteyden Leibnizin differentiaaleihin. Hän rakensi myös ensimmäisen tiukan integraatioteorian ja osoitti integraation ja erilaistumisen välisen yhteyden.

Cauchyn panosta matematiikkaan on vaikea yliarvioida. Hänen työnsä avasivat uuden aikakauden matematiikassa, "...kaiken matematiikan niin kutsuttu "aritmetisointi" alkaa." Cauchyn työn ansiosta matemaattinen analyysi oli lujasti ja ansaitusti yksi matematiikan pääpaikoista. Cauchyn menetelmät yleistyivät ja niitä käytettiin ja kehitettiin koko 1800-luvun. Nykyajan matemaatikot käyttävät ja yleistävät Cauchyn ajatuksia ja menetelmiä hedelmällisesti.

Aksiomaattinen menetelmä

Historiallinen kehitysprosessi näkemysten matematiikan olemuksesta tieteenä johti aksiomaattisen menetelmän peruskäsitteen ja aksiomaattisen teorian käsitteen muodostumiseen. Niiden olemus on seuraava...

Hyperbolisten funktioiden differentiaaliset ominaisuudet

Lause 1. Jos pisteen tietylle pisteytetylle alueelle on olemassa ja koko ehto täyttyy, niin pisteessä on kompleksisen funktion raja ja on totta, että rajan määritelmän mukaan funktiot ja määritellään vastaavasti ja...

Andrei Nikolajevitš Kolmogorovin elämä ja tieteellinen toiminta

Kun Andrei Kolmogorov vuonna 1920 alkoi miettiä yliopistoon pääsyä, hänen eteensä nousi ikuinen kysymys: mihin hänen pitäisi omistautua, mihin liiketoimintaan? Se oli nälkäistä ja ahdistunutta aikaa. Nuori mies halusi hankkia paitsi tietoa myös ammatin, käsityön...

Lineaarinen ohjelmointi

Joka päivä, huomaamatta sitä, jokainen ihminen ratkaisee ongelman saada suurin vaikutus käyttämällä rajallisia varoja. Valitettavasti varat ja resurssit ovat aina rajalliset, meidän on toimittava erittäin harkiten ja vastuullisesti...

Matematiikka nykymaailmassa

Deduktiivisen tai aksiomaattisen menetelmän luominen tieteen rakentamiseen on yksi matemaattisen ajattelun suurimmista saavutuksista. Se vaati monen sukupolven tiedemiesten työtä...

Matemaattiset menetelmät ja mallit taloustieteen ongelmien ratkaisemisessa

Etsi ratkaisu peliin annetulla matriisilla: Pelin alempi hinta: Pelin ylempi hinta: Pelin matriisissa on satulapiste V = 4. Yhtälöjärjestelmistä: Näin...

Rajan käsite on matemaattisen analyysin peruskäsite. Geometrinen merkitys rajan käsitteen: tiedetään, että epätasa-arvo< е задает часть числовой оси, лежащую между точками a - е и a + е...

Johdonmukaisuuden raja. Stolzin lause ja sen sovellus

Lause 1. Konvergenttijonolla on yksilöllinen raja. Todiste. Anna sekvenssin xn konvergoida. Oletetaan, että sen raja ei ole ainutlaatuinen, eli että seuraavat yhtäläisyydet ovat yhtä aikaa tosia: xn = b ja xn = c, missä bc...

Johdonmukaisuuden raja. Stolzin lause ja sen sovellus

numeerinen sekvenssiraja Stolz Esimerkki 1. Todista, että = . Ratkaisu. Tarkastellaan sekvenssiä an = -. Meillä on = =. Koska = on äärettömän pieni jono. Tämä tarkoittaa, että = . Vastaus: =. Esimerkki 2: Laske raja. Ratkaisu...

Johdonmukaisuuden raja. Stolzin lause ja sen sovellus

Tunnemme rajateorian sovellukset geometriassa. Esimerkiksi ympyrän pinta-ala, sylinterin tilavuus, kartio ja pallo määritettiin ja laskettiin sitten vastaaviksi raja-arvoiksi. Osoittakaamme toinen tapa käyttää rajan käsitettä ongelmien ratkaisemisessa...

Diskreetin matematiikan menetelmien soveltaminen taloustieteessä

Erilaisia määritelmiä Riemannin integraalista ja niiden vertailut

Joukon M osiota kutsutaan yleensä sen osajoukkojen joukoksi, jolla on seuraavat ominaisuudet: 1) ; 2) . Seuraavassa joukon Mu roolia esittää intervalli, ja tarkastelemme vain tietyntyyppisiä osioita. Nimittäin...

Todennäköisyysteoria

Kahden tapahtuman A ja B summa on tapahtuma AB (A+B), joka koostuu siitä, että ainakin yksi tapahtumista A tai B tapahtuu (joko tapahtuma A tai tapahtuma B tai A ja B samaan aikaan)...

Numerointiteoria

Vaikuttaa toivottavalta, että kaikki algoritmien teorian ja sen sovellusten tutkimus tehdään "yhteisen nimittäjän" - kaikkien osittain rekursiivisten funktioiden - luokan perusteella...

Tässä luvussa tutkitaan rajalle siirtymisen toimintaa - matemaattisen analyysin päätoimintoa. Tarkastellaan ensin luonnollisen argumentin funktion rajaa, koska kaikki rajateorian päätulokset näkyvät selvästi tässä yksinkertaisessa tilanteessa. Seuraavaksi tarkastellaan rajaa reaalimuuttujan funktion pisteessä.

2.1 Sekvenssirajoitus

2.1.1 Määritelmä ja esimerkit

Määritelmä 2.1. Funktiota f: N → X, jonka alue on luonnollisten lukujen joukko, kutsutaan sekvenssiksi.

F(n), n N:n arvoja kutsutaan sekvenssin termeiksi. Niitä merkitään yleensä sen joukon elementin symbolilla, johon kartoitus tapahtuu, antaen symbolille vastaavan indeksin (funktion f argumentti): xn = f(n). Elementtiä xn kutsutaan sekvenssin n:nneksi jäseneksi. Tässä suhteessa sekvenssiä merkitään usein symbolilla (xn) tai (xn)+ n=1 ∞, ja se kirjoitetaan myös muodossa x1, x2,. . . , xn , . . . .

Myöhemmin tässä luvussa tarkastellaan vain reaalilukujen sarjaa f: N → R.

Määritelmä 2.2. Väliä, joka sisältää pisteen R, kutsutaan tämän pisteen lähialueeksi. Väliä (a − δ, a + δ), δ > 0, kutsutaan pisteen a δ -naapurialueeksi ja sitä merkitään U a (δ) tai V a (δ) (kirjoitetaan usein lyhyesti: U a tai V a ).

Määritelmä 2.3. Lukua a R kutsutaan numeerisen sekvenssin (x n ) rajaksi, jos jollakin pisteen a lähistöllä on luku N N siten, että kaikki sekvenssin alkiot x n, joiden numerot ovat suurempia kuin N, sisältyvät U a:een. Samalla he kirjoittavat

n lim→∞ xn = aor lim xn = aor xn → aas n → ∞.

Loogisessa symboliikassa määritelmä 2.3 näyttää tältä:

a R. a = lim xn Ua N = N(Ua )N: n > N xn Ua .

Koska Ua (ε) = (a − ε, a + ε) = (x R: |x − a|< ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения2.3

Määritelmä 2.4. Lukua kutsutaan lukujonon (x n) rajaksi, jos mille tahansa positiiviselle luvulle ε on lukuN = N(ε) siten, että kaikki sekvenssin jäsenet, joiden numerotn > N täyttävät epäyhtälön|x n − a|< ε .

Vastaavasti loogisessa symboliikassa tämä määritelmä on muotoa: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a|< ε

Kommentti. Jakson ensimmäiset termit eivät vaikuta rajan olemassaoloon ja suuruuteen, jos se on olemassa.

Seuraava sekvenssin rajan määritelmän 2.3 geometrinen tulkinta on joskus hyödyllinen:

Lukua a kutsutaan sekvenssin (x n) rajaksi, jos pisteen a minkä tahansa lähialueen ulkopuolella ei ole enempää kuin äärellinen määrä sekvenssin (x n) jäseniä.

On selvää, että jos jonkin pisteen a lähialueen ulkopuolella on ääretön luku termit (xn), silloin a ei ole (xn) raja.

Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki 2.1. Jos (xn) : xn = c, niin lim xn = c, koska kaikki sekvenssin termit ensimmäisestä alkaen kuuluvat mihin tahansa naapurustoon

Esimerkki 2.2. Osoitetaan, että sekvenssi (xn) : xn =

on raja ja lim xn = 0.

Korjataan ε > 0. Koska

≤ n

< ε для n >

Sitten, olettaen N = max(1, ), saamme:

|xn | ≤

Siksi ε > 0 N = max(1, ) N: n > N |xn |< ε.

Kommentti. Samalla todistimme, että lim

Esimerkki 2.3. Näytämme se lim

0, jos q > 1.

Koska q > 1, niin q = 1 + α, missä α > 0. Siksi n > 1 Newtonin binomikaavalla

qn = 1 + nα +n(n − 1) α2 + · · · + αn > nα.



Seuraa, että							N > 1. Kiinnitetään ε > 0 ja asetetaan

N = max(1, ) ja saamme sen

Joten ε > 0 N = max(1, ) N: n > N |1/qn |< ε.

Esimerkki 2.4. Osoitetaan, että jonolla (xn) : xn = (−1)n ei ole rajaa.

Mille tahansa luvulle a osoitamme naapuruston, jonka ulkopuolella on ääretön joukko tietyn sekvenssin termejä. Tätä varten kiinnitämme pisteen a R ja tarkastelemme sen yksikkönaapuria Ua (1) = (a − 1, a + 1). Koska x2k = 1, x2k+1 = −1, k N ja ainakin yksi luvuista +1 tai −1 ei kuulu Ua:hen (1), niin Ua:n (1) ulkopuolella on ääretön määrä termejä sekvenssi (xn). Siksi luku a ei ole sen raja. Johtuen luvun a mielivaltaisuudesta, päättelemme, että @ lim xn.

Määritelmä 2.5. Lukusarjaa, jonka raja on luku, kutsutaan konvergentiksi. Kaikkia muita sekvenssejä kutsutaan divergentteiksi.

Loogisessa symboliikassa määritelmän 2.5 muoto on: (xn) konvergoi R:n: lim xn = a.

divergentti, ja sekvenssi ((−1)n) on divergentti.

2.1.2 Konvergenttien sekvenssien ominaisuudet

Lause 2.1. Sarjalla ei voi olla kahta eri rajaa.

Olkoon lukujonolla (xn) kaksi eri rajaa a ja b. Varmuuden vuoksi oletetaan, että a< b. Положим

ε = b − 2 a. Jakson rajan määritelmän 2.4 perusteella löydämme N1 ja

n−

sellasta

n > N, eli

| n−

Sitten n > N = max(N1 , N2 )

< xn <

Mitä ei voi tapahtua.

Määritelmä 2.6. Numerosarja(xn) kutsutaan ylärajaksi (vastaavasti alapuolelle tai rajatuksi), jos joukko X = (x n | n N) on rajoitettu ylhäältä (alhaalta tai rajoitettu). Jos X on rajoittamaton joukko, niin(xn) kutsutaan rajoittamattomaksi sekvenssiksi.

Kun otetaan huomioon määritelmät 2.1 ja 2.2, meillä on:

(xn ) rajoittuu M R:n yläpuolelle: n N xn ≤ M, (xn ) rajoittuu M R:n alapuolelle: n N xn ≥ M, (xn ) rajoitettu M > 0: n N |xn | ≤ M,

(xn ) ei ole rajoitettu M > 0 n N: |xn | > M.

Lause 2.2. Konvergenttisekvenssi on rajoitettu.

Olkoon jono (xn) suppeneva ja lim xn = d. Jos oletetaan ε = 1 määritelmässä 2.4, saadaan luku N siten, että |xn − d|< 1, n >N eli d − 1< xn < d + 1, n >N. Otetaan käyttöön seuraava merkintä:

a = min(x1, x2,..., xN, d-1), b = max(x1, x2,..., xN, d + 1).

Sitten a ≤ xn ≤ b, n N.

Kommentti. Sekvenssin rajallisuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto konvergenssille (katso esimerkki 4) .

Lause 2.3. Jos numerosarja(x n) konvergoi ja lim x n = a , sitten sarja(|x n |) konvergoi ja lim |x n | = |a|.

Koska a = lim xn , niin ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a|< ε.

Tästä seuraa, että n > N ||xn | − |a|| ≤ |xn − a|< ε.

Huomautus 1. Lauseesta 2.3 ja esimerkistä 3 seuraa, että |q|:lle > 1

lim q n = 0.

Huomautus 2. Lauseen 2.3 käänteinen ei päde.