Irrationaalisten funktioiden integrointi. Monimutkaiset integraalit
Muistamme onnellisia kouluvuosia. Matematiikan tunneilla juuria opiskelevat pioneerit tutustuivat ensin neliöjuureen. Jatketaan samalla tavalla.
Esimerkki 1
Etsi epämääräinen integraali
Analysoimalla integrandia tulet surulliseen johtopäätökseen, että se ei muistuta ollenkaan taulukkointegraaleja. Jos kaikki tämä hyvä olisi osoittajassa, se olisi yksinkertaista. Tai pohjassa ei olisi juuria. Tai polynomi. Ei mitään murtolukujen integrointimenetelmät ei auta sekään. Mitä tehdä?
Pääasiallinen tapa ratkaista irrationaaliset integraalit on muuttaa muuttujaa, mikä säästää meidät KAIKISTA juurista integrandissa.
Huomaa, että tämä korvaaminen on hieman erikoinen, sen tekninen toteutus eroaa "klassisesta" korvausmenetelmästä, jota käsitellään oppitunnissa Korvausmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa.
Tässä esimerkissä sinun on vaihdettava x = t 2, eli juuren alla olevan "x":n sijasta meillä on t 2. Miksi vaihto on juuri tällainen? Koska ja vaihdon seurauksena juuri katoaa.
Jos integrandissa meillä olisi neliöjuuren sijaan, olisimme suorittaneet korvauksen. Jos olisin ollut siellä, he olisivat tehneet sen ja niin edelleen.
Okei, meidän tulee muuttua. Mitä tapahtuu polynomille? Ei ole vaikeuksia: jos, niin 
.
Jää selville, millaiseksi ero muuttuu. Tämä tehdään näin:
Otamme vaihto- ja ripustamme tasauspyörästön molempiin osiin:
(kirjoitamme niin yksityiskohtaisesti kuin mahdollista).
Ratkaisun pitäisi näyttää suunnilleen tältä:
.
Korvataan: 
.
.
(1) Suoritamme vaihdon vaihdon jälkeen (miten, mitä ja missä, on jo harkittu).
(2) Siirrä vakio pois integraalista. Pienennä osoittajaa ja nimittäjää t.
(3) Tuloksena oleva integraali on taulukkomuotoinen, valmistelemme sen integrointia varten valitsemalla neliön.
(4) Integroimme taulukon yli kaavan avulla
.
(5) Suoritamme käänteisen vaihdon. Miten se on tehty? Muistamme mistä tanssimme: jos, niin.
Esimerkki 2
Etsi epämääräinen integraali
Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta. Täydellinen ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa.
Jotenkin kävi niin, että esimerkeissä 1, 2 on "alaston" osoittaja yhdellä differentiaalilla. Korjataan tilanne.
Esimerkki 3
Etsi epämääräinen integraali
Integrandin alustava analyysi osoittaa jälleen, että helppoa tapaa ei ole. Siksi sinun on päästävä eroon juuresta.
Korvataan:.
Per tarkoittaa KAIKKI lausekkeet juuren alla... Korvaus aiemmista esimerkeistä ei sovellu tähän (tarkemmin sanottuna se voidaan tehdä, mutta se ei vapauta meitä juurista).
Kiinnitämme tasauspyörästön molempiin osiin:
Kun osoittaja on järjestetty. Mitä tehdä nimittäjällä?
Otamme korvaavamme ja ilmaisemme siitä:.
Jos sitten.
(1) Suoritamme vaihdon suoritetun vaihdon mukaisesti.
(2) Osoittimen kampaus. En halunnut laittaa vakiota integraalimerkin ulkopuolelle (voit tehdä sen näin, se ei ole virhe)
(3) Laajennamme osoittajan summaksi. Suosittelemme jälleen kerran, että luet oppitunnin ensimmäisen kappaleen Joidenkin murtolukujen integrointi... On paljon temppuja, kun osoittaja laajennetaan summaksi irrationaalisissa integraaleissa, on erittäin tärkeää kehittää tämä tekniikka.
(4) Jaa osoittajan termi nimittäjällä.
(5) Käytämme epämääräisen integraalin lineaarisuusominaisuuksia. Toisessa integraalissa valitsemme neliön myöhempää integrointia varten taulukon yli.
(6) Integroimme pöydän yli. Ensimmäinen integraali on melko yksinkertainen, toisessa käytämme korkean logaritmin taulukkokaavaa 
.
(7) Suoritamme käänteisen vaihdon. Jos teimme vaihdon, takaisin:.
Esimerkki 4
Etsi epämääräinen integraali
Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, jos et ole käsitellyt huolellisesti edellisiä esimerkkejä, tee virhe! Täydellinen ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa.
Integraalit useiden kanssa sama juuret kuten
Jne. Ja mitä tehdä, jos integraatiossa ja juuret eri?
Esimerkki 5
Etsi epämääräinen integraali
Palkat ovat siis tulleet alastomille osoittajille. Kun tällainen integraali kohdataan, se yleensä pelottaa. Mutta pelot ovat turhia, sopivan vaihdon jälkeen integrandista tulee yksinkertaisempi. Haasteena on tehdä onnistunut korvaaminen päästäksesi eroon KAIKISTA juurista kerralla.
Kun annetaan erilaiset juuret, on kätevää pysyä tietyssä ratkaisumallissa.
Ensin kirjoitamme integrandin luonnokseen ja edustamme kaikkia juuria muodossa:
Olemme kiinnostuneita nimittäjiä asteet:
Tässä osiossa tarkastellaan rationaalisten funktioiden integrointimenetelmää. 7.1. Lyhyt tietoa rationaalisista funktioista Yksinkertaisin rationaalinen funktio on ti:nnen asteen polynomi, eli funktio muodossa jossa ovat reaalivakiot, ja a0 Φ 0. Polynomi Qn (x), jonka kerrointa a0 = 1 " kutsutaan pelkistetyksi. Reaalilukua b kutsutaan polynomin Qn (z) juureksi, jos Qn (b) = 0. Tiedetään, että jokainen polynomi Qn (x), jolla on todelliset kertoimet, hajotetaan yksiselitteisesti reaalitekijöiksi, joiden muoto on jossa p, q ovat todellisia kertoimia, ja neliötekijöillä ei ole todellisia juuria, ja siksi ne ovat hajoamattomia todellisiksi lineaarisiksi tekijöiksi. Yhdistämällä samat tekijät (jos sellaisia on) ja olettamalla yksinkertaisuuden vuoksi polynomi Qn (x) pelkistetty, voidaan kirjoittaa sen tekijöiden jakaminen muodossa, jossa ovat luonnolliset luvut. Koska polynomin Qn (x) aste on yhtä suuri kuin n, kaikkien eksponentien a, / 3, ..., A summa, joka on lisätty kaikkien eksponentien ui, ..., q kaksinkertaisella summalla, on yhtä suuri kuin n: Polynomin juurta a kutsutaan yksinkertaiseksi tai yksittäiseksi , jos a = 1, ja moninkertaiseksi, jos a> 1; Lukua a kutsutaan juuren a kerrannaisluvuksi. Sama pätee polynomin muihin juuriin. Rationaalinen funktio f (x) tai rationaalinen murtoluku on kahden polynomin suhde ja oletetaan, että polynomeilla Pm (x) ja Qn (x) ei ole yhteisiä tekijöitä. Rationaalista murtolukua kutsutaan oikeaksi, jos osoittajan polynomin aste on pienempi kuin nimittäjässä olevan polynomin aste, ts. Jos mn, niin rationaalista murtolukua kutsutaan virheelliseksi ja tässä tapauksessa jakamalla osoittaja nimittäjällä polynomien jakosäännön mukaisesti, se voidaan esittää muodossa, jossa on joitain polynomeja, ja ^^ on säännöllinen rationaalinen murtoluku . Esimerkki 1. Rationaalinen murtoluku on epäsäännöllinen murto-osa. Jakamalla "nurkalla", meillä on näin ollen. Tässä. ja säännöllinen murto-osa. Määritelmä. Yksinkertaisimmat (tai alkeis-) murtoluvut ovat seuraavan neljän tyypin rationaalisia murtolukuja: missä ovat reaaliluvut, k on luonnollinen luku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 2, ja neliötrinomilla x2 + px + q ei ole todellisia juuria, joten - 2 _2 on sen diskriminantti Algebrassa todistetaan seuraava lause. Lause 3. Säännöllinen rationaalinen murtoluku todellisilla kertoimilla, jonka nimittäjä Qn (x) on muodoltaan jaettu ainutlaatuisella tavalla alkeismurtolukujen summaksi säännön mukaan Rationaalisten funktioiden integrointi Lyhyt tietoa rationaalisista funktioista Alkuperäisten murtolukujen integrointi Yleinen tapaus Irrationaalisten funktioiden integrointi Eulerin ensimmäinen substituutio Toinen Eulerin substituutio Kolmas Eulerin substituutio Tässä laajennuksessa - joitain reaalivakioita, joista osa voi olla nolla. Näiden vakioiden löytämiseksi yhtälön (I) oikea puoli pelkistetään yhteiseksi nimittäjäksi, ja sitten vasemman ja oikean puolen osoittajien kertoimet samoilla potenssiilla tasataan. Tämä antaa lineaarisen yhtälöjärjestelmän, josta löydetään halutut vakiot. ... Tätä tuntemattomien vakioiden löytämismenetelmää kutsutaan määrittelemättömien kertoimien menetelmäksi. Joskus on kätevämpää käyttää toista tapaa löytää tuntemattomia vakioita, mikä koostuu siitä, että osoittajien yhtälön jälkeen saadaan identiteetti x:n suhteen, jossa argumentille x on annettu joitain arvoja, esim. juurien arvot, minkä seurauksena saadaan yhtälöt vakioiden löytämiseksi. On erityisen kätevää, jos nimittäjällä Q „(x) on vain oikeat yksinkertaiset juuret. Esimerkki 2. Jaa rationaalinen murto yksinkertaisiksi jakeiksi Tämä murtoluku on säännöllinen. Jaamme nimittäjän tekijöiksi ate: Koska nimittäjän juuret ovat todellisia ja erilaisia, niin kaavan (1) perusteella murto-osan hajoaminen alkeisalkioihin on muotoa Tuntemattomat kertoimelle A. 2? , C löytyy kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa. Kertoimien yhtälöiminen samoilla x:n potenssilla, ts. kohdassa (vapaa termi) ja identiteetin vasemmalla ja oikealla puolella saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä tuntemattomien kertoimien A, B, C löytämiseksi: Tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu C Toinen tapa. Tek koska nimittäjän juuret ovat repeytyneet stv:ssä i 0, saadaan 2 = 2A, josta A * 1; r i 1, saamme -1 * -B, josta 5 * 1; x i 2, saamme 2 = 2C. mistä С »1, ja vaadittava hajottelu on muotoa 3. Laajenna ei-alkeisosat, rationaalinen murtoluku 4 Jaamme polynomin, joka seisoo a:ssa, tekijöiksi:. Nimittäjällä on kaksi erilaista kaksoisjuurta: kerrannaisuuden 3 x \ = 0. Siksi tämän murtoluvun laajennus ei ole yksinkertaisin muoto.Pehentämällä oikean puolen yhteiseksi nimittäjäksi saadaan joko Ensimmäinen menetelmä. Kertoimien yhtäläisyys samoilla x:n potenssilla viimeisen identiteetin vasemmalla ja oikealla puolella. saamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän Tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu ja vaadittava laajennus on toinen menetelmä. Tuloksena olevassa identiteetissä, jossa x = 0, saadaan 1 a A2 tai A2 = 1; kenttä * homo x = -1, saamme -3 i B) tai Bj i -3. Korvattaessa kertoimien A \ ja B) a löydetyt arvot, identtisyys saa muotoa tai Olettaen, että x = 0 ja sitten x = -I. huomaamme, että = 0, B2 = 0 ja. joten B \ = 0. Näin saadaan jälleen esimerkki 4. Laajenna rationaalinen murto yksinkertaisiksi murtoluvuiksi 4 Murtoluvun nimittäjällä ei ole todellisia juuria, koska funktio x2 + 1 ei katoa minkään x:n todellisen arvon kohdalla. Siksi laajennuksen yksinkertaisimpiin murtolukuihin tulisi olla muodossa Tästä saamme tai. Yhtälöimällä kertoimet x:n Sshinak-potensseilla viimeisen yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella, saamme selville, mistä löydämme, ja siksi on huomattava, että joissakin tapauksissa laajennukset yksinkertaisiksi murtoluvuiksi voidaan saada nopeammin ja helpommin toimimalla jollain muulla tavalla, käyttämättä epämääräisten kertoimien menetelmää. Esimerkiksi saadaksesi murto-osan laajennuksen esimerkissä 3, voit lisätä ja vähentää osoittajassa Zx2 ja suorittaa jaon alla osoitetulla tavalla. 7.2. Alkuperäisten murtolukujen integrointi. Kuten edellä mainittiin, mikä tahansa epäsäännöllinen rationaalinen murtoluku voidaan esittää tietyn polynomin ja säännöllisen rationaalisen murtoluvun summana (§7), ja tämä esitys on ainutlaatuinen. Polynomin integrointi ei ole vaikeaa, joten harkitsemme säännöllisen rationaalisen murtoluvun integrointia. Koska mikä tahansa säännöllinen rationaalinen murtoluku voidaan esittää yksinkertaisimpien murtolukujen summana, sen integrointi pelkistetään yksinkertaisimpien murtolukujen integraatioon. Tarkastellaanpa nyt kysymystä niiden integroinnista. III. Löytääksemme kolmannen tyypin yksinkertaisimman murtoluvun integraalin, valitaan binomiaalin täydellinen neliö neliötrinomista: Toisesta termistä lähtien asetamme sen arvoksi a2, missä ja sitten teemme substituution. Sitten, ottaen huomioon integraalin lineaariset ominaisuudet, saadaan: Esimerkki 5. Etsi integraali 4 Integrandi on kolmannen tyypin yksinkertaisin murto-osa, koska neliötrinomilla x1 + Ax + 6 ei ole todellisia juuria (sen diskriminantti on negatiivinen:, ja osoittaja sisältää ensimmäisen asteen polynomin, joten toimimme seuraavasti: 1) valitsemme nimittäjästä kokonaisen neliön 2) korvaamme (tässä 3) * yhdellä integraalilla Löytääksemme integraalin neljännen tyypin yksinkertaisin murto-osa, laitamme, kuten edellä,. Sitten saadaan oikealta puolelta integraali, merkitään se A:lla ja muunnetaan se seuraavasti: Integroimme oikean puolen integraalin osien mukaan, asettamalla tai rationaalisten funktioiden integrointi Lyhyt tietoa rationaalisista funktioista Yksinkertaisten funktioiden integrointi murtoluvut Yleinen tapaus Irrationaalisten funktioiden integrointi Ensimmäinen Euler-substituutio Toinen Euler-substituutio Kolmas substituutio Euler Olemme saaneet ns. toistuvan kaavan, jonka avulla voimme löytää integraalin Jk mille tahansa k = 2, 3 ,:lle. ... Todellakin, integraali J \ on taulukkomuotoinen: Asettamalla toistuvassa kaavassa löydämme tietäen ja asettamalla A = 3, voimme helposti löytää Jj, ja niin edelleen. Lopputuloksena korvaamalla kaikkialla t:n ja a:n sijaan niiden lausekkeet x:n ja kertoimien p ja q suhteen, saadaan alkuintegraalille sen lauseke x:n ja annettujen lukujen M, AH, p, q suhteen. Esimerkki 8. Neyti-integraali ”Integroitava funktio on neljännen tyypin yksinkertaisin murto-osa, koska neliötrinomin diskriminantti on negatiivinen, eli näin ollen nimittäjällä ei ole todellisia juuria, ja osoittaja on 1. asteen polynomi. 1) Varaa nimittäjään täysi neliö 2) Teemme korvauksen: Integraali saa muodon: Olettaen toistuvassa kaavassa * = 2, a3 = 1. meillä on, ja siksi vaadittu integraali on rvven Returning muuttujaan x saadaan lopulta 7.3. Yleinen tapaus pp. Tämän osan kohdista 1 ja 2 seuraa välittömästi tärkeä lause. Lause! 4. Minkä tahansa rationaalisen funktion epämääräinen integraali on aina olemassa (väleillä, joissa murtoluvun Qn (x) nimittäjä φ 0) ja se ilmaistaan äärellisenä lukumääränä alkeisfunktioita, eli se on algebrallinen summa. rationaaliset murtoluvut, luonnolliset logaritmit ja arctangentit. Joten murto-osan rationaalisen funktion epämääräisen integraalin löytämiseksi tulee edetä seuraavalla tavalla: 1) jos rationaalinen murtoluku on väärä, niin osoittajan jakaminen nimittäjällä valitsee koko osan, eli tämä funktio esitetään muodossa polynomin ja säännöllisen rationaalisen murtoluvun summa; 2) sitten saadun oikean murto-osan nimittäjä jaetaan lineaaristen ja neliöllisten kertoimien tuloksi; 3) tämä säännöllinen murto-osa jaetaan yksinkertaisimpien murto-osien summaksi; 4) integraalin lineaarisuutta ja kohdan 2 kaavoja käyttäen löydetään kunkin termin integraalit erikseen. Esimerkki 7. Etsi integraali М Koska nimittäjä on kolmannen askeleen polynomi, integrandi on epäsäännöllinen murtoluku. Erottelemme siinä koko osan: Siksi meillä on. Säännöllisen murtoluvun nimittäjällä on phi eri todellisia juuria: ja siksi sen laajeneminen yksinkertaisiksi murtoluvuiksi on muotoa Tästä löydämme. Antamalla argumentille x arvot, jotka ovat yhtä suuria kuin nimittäjän juuret, saamme tästä identiteetistä, että: Näin ollen vaadittu integraali on yhtä suuri kuin esimerkki 8. Etsi integraali 4 Integrandi on säännöllinen murtoluku, jonka nimittäjä on kaksi erilaista todellista juuria: х - О kerrannaisuudessa 1 ja х = 1 kertolaskussa 3. Siksi integrandin laajennus yksinkertaisimpiin murtolukuihin on muotoa, joka tuo tämän yhtälön oikean puolen yhteiseen nimittäjään ja kumoaa sen molemmat puolet. tasa-arvo tällä nimittäjällä, saamme tai. Yhdistämme kertoimet samoilla x-asteilla tämän identiteetin vasemmalla ja oikealla puolella: Täältä löydämme. Korvaamalla kerrointen löydetyt arvot laajennuksessa, meillä on Integrointi, löydämme: Esimerkki 9. Etsi integraali 4 Murtoluvun nimittäjällä ei ole todellisia juuria. Siksi laajennus integrandin yksinkertaisimpiin murtolukuihin on muotoa Näin ollen tai Equating kertoimet samoilla x:n potenssilla tämän identiteetin vasemmalla ja oikealla puolella, meillä on mistä löydämme ja siksi huomautuksen. Esitetyssä esimerkissä integrandi voidaan esittää alkeismurtolukujen summana yksinkertaisemmalla tavalla, nimittäin murtoluvun osoittajassa valitaan binomiaali nimittäjästä ja sitten suoritetaan termi jako: § 8. Irrationaalisten funktioiden integrointi Reaalivakioiden muodon funktio ja Esimerkki 1, Funktio on muuttujien z ja y rationaalinen funktio, koska se edustaa sekä kolmannen asteen polynomin että viidennen asteen polynomin ja funktio ei ole marjakuusi. Siinä tapauksessa, että muuttujat puolestaan ovat muuttujan x funktioita: silloin funktiota] kutsutaan Esimerkkifunktioiden rationaaliseksi funktioksi. Funktio on rationaalinen funktio r:stä ja pvdikvlv rivistä 3. Muodon funktio ei ole x:n ja radikaalin y / r1 + 1 rationaalinen funktio, vaan se on funktioiden rationaalinen funktio. Kuten esimerkit osoittavat, irrationaalisten funktioiden integraalit niitä ei aina ilmaista perusfunktioina. Esimerkiksi sovelluksissa usein esiintyviä integraaleja ei ilmaista alkeisfunktioina; näitä integraaleja kutsutaan ensimmäisen ja toisen tyyppisiksi elliptisiksi integraaleiksi. Tarkastellaanpa niitä tapauksia, joissa irrationaalisten funktioiden integraatio voidaan pelkistää joidenkin substituutioiden avulla rationaalisten funktioiden integraatioksi. 1. Oletetaan, että on löydettävä integraali, jossa R (x, y) on sen argumenttien x ja y rationaalinen funktio; m £ 2 - luonnollinen luku; a, 6, c, d ovat reaalivakioita, jotka täyttävät ehdon ad - bc> 0 (jos ad - be = 0 kertoimet a ja b ovat verrannollisia kertoimiin c ja d, joten suhde ei riipu x:stä; siis , tässä tapauksessa integrandi on muuttujan x rationaalinen funktio, jonka integrointia käsiteltiin aiemmin). Tehdään muuttujan muutos tässä integraalissa asettamalla Näin ollen muuttuja x ilmaistaan uudella muuttujalla. Meillä on x = - t:n rationaalinen funktio. Lisäksi löydämme, tai yksinkertaistamisen jälkeen, Siksi, missä A1 (t) on *:n rationaalinen funktio, koska rationaalisen funktion rationaalinen funktio, samoin kuin rationaalisten funktioiden tulo, ovat rationaalisia funktioita. Osaamme integroida rationaalisia toimintoja. Olkoon Sitten vaadittu integraali on yhtä suuri kuin At. IVit integraali 4 Integrandin * funktio on rationaalinen funktio. Siksi asetetaan t = Sitten Rationaalisten funktioiden integrointi Lyhyt tietoa rationaalisista funktioista Alkulukujen integrointi Yleinen tapaus Irrationaalisten funktioiden integrointi Ensimmäinen Euler-korvaus Toinen Euler-substituutio Kolmas Euler-substituutio Siten saadaan Primar 5. Etsi integraali, jota funktio voidaan esittää muodossa 1 _ 1_, josta voidaan nähdä, että se on rationaalinen funktio: Kun tämä otetaan huomioon, laitamme. Näin ollen 2. Tarkastellaan intefps-muotoa, jossa osaintefaalinen funktio on sellainen, että korvaamalla siinä oleva radikaali \ / ax2 + bx + c y:llä, saadaan funktio R (x) y) - rationaalinen sekä argumenttien x että argumenttien suhteen. y. Tämä integraali pelkistetään toisen muuttujan rationaalisen funktion integraaliksi Eulerin substituutioilla. 8.1. Eulerin ensimmäinen substituutio Olkoon kerroin a> 0. Laitamme tai Siten löydämme x:n rationaalisena funktiona ja siten, Siten osoitettu substituutio ilmaisee rationaalisesti *:n kautta. Siksi meillä on missä huomautus. Ensimmäinen Euler-substituutio voidaan ottaa myös muodossa Esimerkki 6. Etsi integraali Meillä on siis dx Eulerin substituutio, osoita, että Y 8.2. Eulerin toinen substituutio Olkoon trinomilla ax2 + bx + c eri reaalijuuret λ] ja x2 (kertoimella voi olla mikä tahansa etumerkki). Tässä tapauksessa oletetaan Koska siitä lähtien saamme Koska x, dxn y / ax2 + be + c ilmaistaan rationaalisesti t:llä, alkuperäinen integraali pelkistetään rationaalisen funktion integraaliksi, eli missä Ongelma. Osoita ensimmäistä Euler-substituutiota käyttämällä, että se on t:n rationaalinen funktio. Esimerkki 7. Neyti-integraali dx M -funktio] - x1:llä on erilaiset reaalijuuret. Siksi käytämme toista substituutiota Euleriin. Täältä löydämme Löydetyt leikkaukset korvataan kentällä Given? In * gyvl; saamme 8.3. Eulerin kolmas ala-asema Olkoon kerroin c> 0. Muuta muuttuja asettamalla. Huomaa, että ensimmäinen ja toinen Euler-substituutio ovat riittäviä vähentämään integraalin rationaalisen funktion integraaliksi. Todellakin, jos diskriminantti b2 -4ac> 0, niin neliötrinomin ax + bx + c juuret ovat reaalisia, ja tässä tapauksessa voidaan soveltaa toista Euler-substituutiota. Jos sitten trinomin etumerkki ax2 + bx + c osuu yhteen kertoimen a etumerkin kanssa ja koska trinomin on oltava positiivinen, niin a> 0. Tässä tapauksessa ensimmäinen Euler-substituutio on sovellettavissa. Yllä mainitun tyyppisten integraalien löytämiseksi ei aina ole suositeltavaa käyttää Eulerin substituutioita, koska niille on mahdollista löytää muita integrointimenetelmiä, jotka johtavat tavoitteeseen nopeammin. Tarkastellaan joitain näistä integraaleista. 1. Löytääksesi muodon integraalit, valitse pitkä neliö :nnen trinomin neliöstä: missä Tämän jälkeen tee substituutio ja saat missä kertoimilla a ja P on eri etumerkit tai ne ovat molemmat positiivisia. For, ja myös a> 0 ja integraali pelkistetään logaritmiin, jos toisaalta arsiniksi. klo. Etsi imtegrel 4 Joten jotain sellaista. olettaen, että saamme Prmmar 9. Etsi. Laita x -, meillä on 2. Muodon integraali pelkistetään integraaliksi y kohdasta 1 seuraavasti. Ottaen huomioon, että derivaatta () "= 2, valitsemme sen osoittajassa: 4 Paljastamme osoittajassa radikaalilausekkeen derivaatan. Koska (x, meillä on esimerkin 9 tulos huomioon ottaen, 3 Integraalit, joiden muoto on P„ (x) on polynomin n-as aste, voidaan löytää määrittelemättömien kertoimien menetelmällä, joka on seuraava: Oletetaan, että yhtälö pätee Esimerkki 10. Mahtava integraali missä Qn-i (s ) on (n - 1) asteen polynomi määrittelemättömillä kertoimilla: Tuntemattomien kertoimien löytämiseksi | erotamme (1) molemmat puolet: Sitten yhtälön (2) oikea puoli vähennetään yhteiseksi nimittäjäksi, joka on yhtä suuri kuin vasemman puolen nimittäjä, eli jonka molemmat puolet ovat n-asteisia polynomeja. Kun yhtälöt (3) vasemmalla ja oikealla puolella olevat kertoimet samoilla potenssilla x, saadaan n + 1 yhtälöt, joista saamme etsi tarvittavat kertoimet j4 * (fc = 0,1,2, ..., n Korvaamalla niiden arvot (1):n oikealle puolelle ja löytämällä integraalin + с, saadaan vastaus tämä integraali. Esimerkki 11. Etsi integraali Erottelemme yhtäläisyyden molemmat puvut, jolloin pelkistetään oikea puoli yhteiseksi nimittäjäksi ja kumotaan molemmat puolet, saadaan identiteetti tai. Yhtälöimällä kertoimet samoilla x:n potenssilla saadaan yhtälöjärjestelmä, josta löydämme = Sitten löydämme yhtälön (4) oikealta puolelta integraalin: Näin ollen vaadittu integraali on yhtä suuri
Monimutkaiset integraalit
Tämä artikkeli täydentää aiheen epämääräisistä integraaleista ja sisältää integraalit, jotka ovat mielestäni melko vaikeita. Oppitunti syntyi vierailijoiden toistuvista pyynnöstä, jotka toivoivat, että myös vaikeampia esimerkkejä analysoitaisiin sivustolla.
Tämän tekstin lukijan oletetaan olevan hyvin valmistautunut ja osaa soveltaa integroinnin perustekniikoita. Nukkejen ja ihmisten, jotka eivät ole kovin varmoja integraaleista, tulisi viitata aivan ensimmäiseen oppituntiin - Epämääräinen integraali. Esimerkkejä ratkaisuista, jossa voit hallita aihetta käytännössä tyhjästä. Kokeneemmat opiskelijat voivat tutustua integraatiotekniikoihin ja -menetelmiin, joita artikkeleissani ei ole vielä tavattu.
Mitkä integraalit otetaan huomioon?
Ensin tarkastellaan integraaleja, joissa on juuret, joiden ratkaisuun käytämme peräkkäin muuttuva vaihto ja integrointi osilla... Eli yhdessä esimerkissä kaksi tekniikkaa yhdistetään kerralla. Ja vielä enemmän.
Sitten tutustumme mielenkiintoiseen ja omaperäiseen menetelmä pelkistää integraali itseensä... Ei niin vähän integraaleja ratkaista tällä tavalla.
Ohjelman kolmas numero menee monimutkaisten murtolukujen integraaleihin, jotka lensivät edellisissä artikkeleissa lipputulon ohi.
Neljänneksi analysoidaan trigonometristen funktioiden lisäintegraaleja. Erityisesti on olemassa menetelmiä, joilla vältetään aikaa vievä yleinen trigonometrinen korvaaminen.
(2) Integrandissa jaetaan osoittaja termillä nimittäjä termillä.
(3) Käytämme epämääräisen integraalin lineaarisuusominaisuutta. Viimeisessä integraalissa välittömästi tuomme funktion erotusmerkin alle.
(4) Ota loput integraalit. Huomaa, että logaritmissa voidaan käyttää sulkeita, ei moduulia, koska.
(5) Suoritamme käänteisen substituution, joka ilmaisee suorasta korvauksesta "te":
Masokistiset opiskelijat voivat erottaa vastauksen ja saada alkuperäisen integrandin, kuten minä juuri tein. Ei, ei, tein tarkistuksen oikeassa mielessä =)
Kuten näette, ratkaisun aikana jouduttiin käyttämään jopa enemmän kuin kahta ratkaisumenetelmää, joten tällaisten integraalien käsittelyyn tarvitaan luotettavia integrointitaitoja eikä pienintäkään kokemusta.
Käytännössä neliöjuuri on tietysti yleisempi, tässä on kolme esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta:
Esimerkki 2
Etsi epämääräinen integraali
Esimerkki 3
Etsi epämääräinen integraali
Esimerkki 4
Etsi epämääräinen integraali
Nämä esimerkit ovat samantyyppisiä, joten artikkelin lopussa oleva täydellinen ratkaisu on vain esimerkille 2, esimerkeissä 3-4 - yksi vastaus. Mitä korvaamista ratkaisujen alussa käytetään, mielestäni on ilmeistä. Miksi otin esimerkkejä samanlaisista? He tapaavat usein roolissaan. Useammin ehkä vain jotain sellaista 
.
Mutta ei aina, kun lineaarifunktion juuri löytyy arktangentin, sinin, kosinin, eksponenttifunktion ja muiden funktioiden alta, useita menetelmiä on käytettävä kerralla. Monissa tapauksissa on mahdollista "nousta pois helposti", eli heti vaihdon jälkeen saadaan yksinkertainen integraali, joka voidaan ottaa alkeellisella tavalla. Helpoin yllä ehdotetuista tehtävistä on esimerkki 4, jossa vaihdon jälkeen saadaan suhteellisen yksinkertainen integraali.
Vähentämällä integraali itseensä
Nerokas ja kaunis menetelmä. Katsotaanpa heti genren klassikoita:
Esimerkki 5
Etsi epämääräinen integraali
Juuren alla on neliönmuotoinen binomi, ja kun tätä esimerkkiä yritetään integroida, vedenkeitin voi kärsiä tuntikausia. Tällainen integraali otetaan pala palalta ja pelkistyy itsestään. Periaatteessa ei vaikeaa. Jos tiedät kuinka.
Merkitään tarkasteltavana olevaa integraalia latinalaisella kirjaimella ja aloitetaan ratkaisu: 
Integroimme pala palalta: 
(1) Valmistele integrandifunktio termijakoa varten.
(2) Jaamme integrandin termillä. Ehkä kaikki eivät ymmärrä, kirjoitan tarkemmin:
(3) Käytämme epämääräisen integraalin lineaarisuusominaisuutta.
(4) Ota viimeinen integraali ("pitkä" logaritmi).
Katsomme nyt ratkaisun alkua: 
Ja lopuksi: 
Mitä tapahtui? Manipulaatioidemme seurauksena integraali on pelkistynyt itsestään!
Verrataan alku ja loppu: 
Siirry vasemmalle merkin muutoksella: 
Ja me kannamme kakkosta oikealle puolelle. Tuloksena: 
Tarkkaan ottaen vakio olisi pitänyt lisätä aiemmin, mutta lisätä se loppuun. Suosittelen lämpimästi, että luet mitä tiukkaa tässä on:
Huomautus:
Tarkemmin sanottuna ratkaisun viimeinen vaihe näyttää tältä:
Täten:
Vakio voidaan nimetä uudelleen nimellä. Miksi voit nimetä uudelleen? Koska se hyväksyy silti minkä tahansa arvot, ja tässä mielessä vakioiden ja välillä ei ole eroa.
Tuloksena:
Samanlaista jatkuvaa uudelleensuunnittelutemppua käytetään laajalti differentiaaliyhtälöt... Ja siellä olen tiukka. Ja tässä sallin sellaisen vapauden vain, jotta en hämmennä sinua tarpeettomilla asioilla ja keskittyä itse integraatiomenetelmään.
Esimerkki 6
Etsi epämääräinen integraali
Toinen tyypillinen integraali itsenäiselle ratkaisulle. Täydellinen ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa. Ero edellisen esimerkin vastaukseen on!
Jos neliöjuuren alla on neliötrinomi, niin ratkaisu joka tapauksessa pelkistyy kahteen analysoituun esimerkkiin.
Harkitse esimerkiksi integraalia 
... Sinun tarvitsee vain etukäteen valitse täysi neliö:
.
Lisäksi suoritetaan lineaarinen korvaus, joka jätetään "ilman seurauksia":
, jolloin tuloksena on integraali. Jotain tuttua, eikö?
Tai tällainen esimerkki neliöbinomiaalilla:
Valitse kokonainen neliö:
Ja lineaarisen korvauksen jälkeen saamme integraalin, joka myös ratkaistaan jo harkitun algoritmin mukaan.
Harkitse kahta tyypillisempää esimerkkiä integraalin pelkistämisestä itselleen:
- eksponentin integraali kerrottuna sinillä;
Onko eksponentin integraali kerrottuna kosinilla.
Luetteloiduissa integraaleissa osittain meidän on integroitava jo kaksi kertaa:
Esimerkki 7
Etsi epämääräinen integraali
Integrandi on eksponentti kertaa sini.
Integroimme osittain kahdesti ja vähennämme integraalin itseensä: 
Osien kaksoisintegroinnin seurauksena integraali pelkistyi itsestään. Yhdistetään ratkaisun alku ja loppu:
Siirry vasemmalle merkin muutoksella ja ilmaise integraalimme: 
Valmis. Matkan varrella on suositeltavaa kammata oikea puoli, ts. laita eksponentti sulkeiden ulkopuolelle ja järjestä sini ja kosini suluissa "kauniiseen" järjestykseen.
Palataanpa nyt esimerkin alkuun tai pikemminkin osien integrointiin: 
Olemme nimenneet näytteilleasettajan. Herää kysymys, tarkalleen eksponenttia tulisi aina merkitä? Ei välttämättä. Itse asiassa katsotussa integraalissa pohjimmiltaan ei haittaa, mitä tarkoittaa, oli mahdollista mennä toiseen suuntaan: 
Miksi tämä on mahdollista? Koska eksponentti muuttuu itsestään (sekä differentioinnin että integraation aikana), sini ja kosini muuntuvat keskenään (jälleen sekä differentioinnin että integroinnin aikana).
Eli voit määrittää myös trigonometrisen funktion. Mutta tarkasteltavassa esimerkissä tämä ei ole yhtä järkevää, koska murtoluvut ilmestyvät. Jos haluat, voit yrittää ratkaista tämän esimerkin toisella tavalla, vastausten on oltava samat.
Esimerkki 8
Etsi epämääräinen integraali
Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta. Ennen kuin teet päätöksen, mieti, mikä tässä tapauksessa on kannattavampaa osoittaa, eksponentti vai trigonometrinen funktio? Täydellinen ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa.
Ja tietysti muista, että useimmat tämän oppitunnin vastauksista ovat riittävän helppoja erottaa toisistaan!
Esimerkkejä ei pidetty vaikeimpana. Käytännössä integraalit ovat yleisempiä, joissa vakio on sekä trigonometrisen funktion eksponenttissa että argumentissa, esimerkiksi:. Monet ihmiset joutuvat eksymään sellaiseen integraaliin, ja itsekin hämmenän usein. Tosiasia on, että liuoksessa on suuri todennäköisyys murto-osien ilmestymiselle, ja on erittäin helppoa menettää jotain huomaamattomuudesta. Lisäksi etumerkeissä on suuri virhetodennäköisyys, huomaa, että eksponentti on miinusmerkki, ja tämä aiheuttaa lisävaikeuksia.
Viimeisessä vaiheessa se osoittautuu usein seuraavanlaiseksi:
Jo ratkaisun lopussa sinun tulee olla äärimmäisen varovainen ja käsitellä fraktioita asiantuntevasti: 
Yhdistelmäfraktioiden integrointi
Olemme hitaasti lähestymässä oppitunnin päiväntasaajaa ja alamme harkita murtolukujen integraaleja. Jälleen, kaikki eivät ole kovin monimutkaisia, vain syystä tai toisesta esimerkit olivat hieman "off-topic" muissa artikkeleissa.
Jatketaan juurten teemaa
Esimerkki 9
Etsi epämääräinen integraali
Nimittäjässä juuren alla on neliötrinomi plus juuren ulkopuolella "lisäys" muodossa "x". Tällainen integraali ratkaistaan käyttämällä standardikorvausta.
Me päätämme: 
Vaihto on yksinkertainen: 
Katsomme elämää vaihdon jälkeen: 
(1) Korvauksen jälkeen tuomme juuren alla olevat termit yhteiseksi nimittäjäksi.
(2) Otamme juuren alta.
(3) Pienennä osoittajaa ja nimittäjää. Samaan aikaan juuren alle järjestin ehdot uudelleen sopivaan järjestykseen. Kokemuksella vaiheet (1), (2) voidaan ohittaa suorittamalla kommentoitavat toiminnot suullisesti.
(4) Tuloksena oleva integraali, kuten muistat oppitunnilta Joidenkin murtolukujen integrointi, ratkaistu koko neliön valintamenetelmällä... Valitse täydellinen neliö.
(5) Integrointi saa tavallisen "pitkän" logaritmin.
(6) Suoritamme käänteisen vaihdon. Jos ensin, niin takaisin:.
(7) Viimeinen toimenpide tähtää tuloksen hiustyyliin: juuren alle tuodaan termit taas yhteiseen nimittäjään ja otetaan ne juuren alta.
Esimerkki 10
Etsi epämääräinen integraali 
Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta. Tässä yksinäiseen X:ään on lisätty vakio, ja korvaus on melkein sama: 
Ainoa asia, joka on tehtävä lisäksi, on ilmaista "x" korvauksesta: 
Täydellinen ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa.
Joskus tällaisessa integraalissa juuren alla voi olla neliöbinomi, tämä ei muuta ratkaisua, se on vielä yksinkertaisempi. Tunne erilaisuus:
Esimerkki 11
Etsi epämääräinen integraali
Esimerkki 12
Etsi epämääräinen integraali
Lyhyet ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa. On huomattava, että esimerkki 11 on täsmälleen binomi integraali, jonka ratkaisutapaa käsiteltiin oppitunnilla Irrationaalisten funktioiden integraalit.
2-asteisen hajoamattoman polynomin integraali asteina
(polynomi nimittäjässä)
Harvinaisempi, mutta käytännön esimerkeissä kuitenkin tavattu integraalin muoto.
Esimerkki 13
Etsi epämääräinen integraali
Mutta takaisin esimerkkiin onnennumerolla 13 (rehellisesti sanottuna, en arvannut oikein). Tämä integraali kuuluu myös niiden kategoriaan, joilla voit melko paljon piinata itseäsi, jos et tiedä kuinka ratkaista se.
Ratkaisu alkaa keinotekoisella muutoksella: 
Luulen, että kaikki ymmärtävät jo kuinka osoittaja jaetaan nimittäjätermillä termillä.
Tuloksena oleva integraali otetaan pala palalta: 
Muodon integraalille (on luonnollinen luku), toistuva Tutkinnon vähennyskaava:
, missä 
- astetta pienempi integraali.
Varmistetaan tämän kaavan pätevyys ratkaistulle integraalille.
Tässä tapauksessa:,, käytämme kaavaa: 
Kuten näet, vastaukset ovat samat.
Esimerkki 14
Etsi epämääräinen integraali
Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta. Näyteliuoksessa käytetään yllä olevaa kaavaa kahdesti peräkkäin.
Jos alle tutkinnon on hajoamaton neliötrinomi, sitten ratkaisu pelkistetään binomiiksi valitsemalla täydellinen neliö, esimerkiksi:
Entä jos osoittajassa on ylimääräinen polynomi? Tässä tapauksessa käytetään määrittelemättömien kertoimien menetelmää ja integrandi laajennetaan murtolukujen summaksi. Mutta minun käytännössä tällaisen esimerkin koskaan tavannut, joten ohitin tämän tapauksen artikkelissa Murtolukuisen rationaalisen funktion integraalit, ohitan sen nyt. Jos tällainen integraali esiintyy edelleen, katso oppikirja - kaikki on siellä yksinkertaista. En pidä tarkoituksenmukaisena sisällyttää aineistoon (edes yksinkertaisia), joiden kohtaamisen todennäköisyys on yleensä nolla.
Monimutkaisten trigonometristen funktioiden integrointi
Useimmissa esimerkeissä adjektiivi "vaikea" on jälleen suurelta osin ehdollinen. Aloitetaan tangenteista ja kotangenteista korkeissa asteissa. Tangentin ja kotangentin ratkaisemiseen käytettyjen menetelmien näkökulmasta ne ovat lähes sama asia, joten puhun tangentista lisää, mikä tarkoittaa, että esitetty integraalin ratkaisumenetelmä pätee myös kotangentille.
Yllä olevassa oppitunnissa tarkastelimme universaali trigonometrinen substituutio tietynlaisten trigonometristen funktioiden integraalien ratkaisemiseen. Universaalin trigonometrisen substituution haittana on, että sitä käytettäessä syntyy usein hankalia integraaleja, joissa on vaikea laskea. Ja joissakin tapauksissa universaali trigonometrinen korvaaminen voidaan välttää!
Harkitse toista kanonista esimerkkiä, ykseyden integraalia jaettuna sinillä:
Esimerkki 17
Etsi epämääräinen integraali
Täällä voit käyttää yleistä trigonometristä korvaamista ja saada vastaus, mutta on olemassa järkevämpi tapa. Tarjoan täydellisen ratkaisun kommentteineen jokaiselle vaiheelle:
(1) Käytämme kaksoiskulmasinitrigonometristä kaavaa.
(2) Suoritamme keinotekoisen muunnoksen: jaa ja kerro nimittäjässä.
(3) Muutamme murto-osan tangentiksi nimittäjässä olevan kaavan mukaan.
(4) Tuomme funktion differentiaalin merkin alle.
(5) Ota integraali.
Pari yksinkertaista esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta:
Esimerkki 18
Etsi epämääräinen integraali
Huomautus: Ensimmäinen askel on käyttää heittokavaa 
ja suorita huolellisesti edellisen esimerkin kaltaiset vaiheet.
Esimerkki 19
Etsi epämääräinen integraali
No, tämä on hyvin yksinkertainen esimerkki.
Täydelliset ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa.
Luulen, että nyt kenelläkään ei ole ongelmia integraalien kanssa: 
jne.
Mikä on menetelmän idea? Ideana on järjestää integrandissa vain tangentit ja tangentin derivaatta muunnoksilla, trigonometrisilla kaavoilla. Eli puhumme korvaamisesta: 
... Esimerkeissä 17-19 itse asiassa käytimme tätä korvausta, mutta integraalit olivat niin yksinkertaisia, että asia käsiteltiin vastaavalla toimenpiteellä - funktio tuomalla differentiaalimerkin alle.
Samanlainen päättely, kuten jo mainitsin, voidaan suorittaa kotangentille.
Yllä olevan korvauksen soveltamiselle on myös muodollinen ehto:
Kosinin ja sinin potenssien summa on negatiivinen parillinen kokonaisluku, esimerkiksi:
integraalille - negatiivinen parillinen kokonaisluku.
! Huomautus : jos integrandissa on VAIN sinin tai VAIN kosinin, niin integraali otetaan myös negatiiviselle parittomaksi asteelle (yksinkertaisimmat tapaukset ovat esimerkeissä 17, 18).
Harkitse muutamaa merkityksellisempää tehtävää tälle säännölle:
Esimerkki 20
Etsi epämääräinen integraali
Sinin ja kosinin asteiden summa: 2 - 6 = -4 on negatiivinen kokonaisluku PARILLINEN luku, mikä tarkoittaa, että integraali voidaan pelkistää tangenteiksi ja sen derivaatiksi: 
(1) Muunna nimittäjä.
(2) Tunnetun kaavan mukaan saamme.
(3) Muunna nimittäjä.
(4) Käytämme kaavaa 
.
(5) Tuomme funktion differentiaalin merkin alle.
(6) Suoritamme vaihdon. Kokeneemmat opiskelijat eivät välttämättä suorita vaihtoa, mutta on silti parempi korvata tangentti yhdellä kirjaimella - sekaannusten riski on pienempi.
Esimerkki 21
Etsi epämääräinen integraali
Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta.
Odota, mestarikierrokset alkavat =)
Usein integrandissa on "hodgepodge":
Esimerkki 22
Etsi epämääräinen integraali 
Tämä integraali sisältää aluksi tangentin, joka herättää välittömästi jo tutun ajatuksen:
Keinotekoinen muutos aivan alussa ja loput vaiheet jätän kommentoimatta, koska kaikki on jo sanottu edellä.
Pari luovaa esimerkkiä itseratkaisuun:
Esimerkki 23
Etsi epämääräinen integraali 
Esimerkki 24
Etsi epämääräinen integraali 
Kyllä, niissä voit tietysti alentaa sinin, kosinin asteita, käyttää universaalia trigonometristä substituutiota, mutta ratkaisu on paljon tehokkaampi ja lyhyempi, jos se suoritetaan tangenttien kautta. Täydellinen ratkaisu ja vastaukset oppitunnin lopussa
Muuttujan irrationaalinen funktio on funktio, joka muodostetaan muuttujasta ja mielivaltaisista vakioista rajallisella määrällä yhteen-, vähennys-, kerto- (kokonaislukupotenssiin korotus), jako- ja juurien erotusoperaatioita. Irrationaalinen funktio eroaa rationaalisesta funktiosta siinä, että irrationaalinen funktio sisältää operaatioita juurien erottamiseksi.
Irrationaalisia funktioita on kolme päätyyppiä, joiden epämääräiset integraalit pelkistetään rationaalisten funktioiden integraaleiksi. Nämä ovat integraaleja, jotka sisältävät mielivaltaisten kokonaislukujen juuret lineaarisesta murto-osafunktiosta (juuret voivat olla eriasteisia, mutta samasta lineaarisesta murto-osafunktiosta); differentiaalibinomiaalin integraalit ja integraalit neliötrinomin neliöjuurella.
Tärkeä muistiinpano. Juuret ovat epäselviä!
Kun lasketaan juuria sisältäviä integraaleja, tulee usein vastaan lausekkeita muodossa, jossa on jokin integroinnin muuttujan funktio. Se on syytä pitää mielessä. Eli t>:lle 0, | t | = t... Klo t< 0, | t | = - t. Siksi tällaisia integraaleja laskettaessa on tarpeen tarkastella erikseen tapauksia t> 0 ja T< 0 ... Tämä voidaan tehdä kirjoittamalla kylttejä tai tarvittaessa. Olettaen, että ylempi merkki viittaa tapaukseen t> 0 , ja alempi - tapaukseen t< 0 ... Lisämuutoksen jälkeen nämä merkit pääsääntöisesti kumoavat toisensa.
Myös toinen lähestymistapa on mahdollinen, jossa integrandi ja integroinnin tulos voidaan pitää monimutkaisten muuttujien kompleksisina funktioina. Silloin et voi seurata merkkejä radikaaleissa ilmaisuissa. Tätä lähestymistapaa voidaan soveltaa, jos integrandi on analyyttinen, toisin sanoen kompleksisen muuttujan differentioituva funktio. Tässä tapauksessa sekä integrandi että sen integraali ovat moniarvoisia funktioita. Siksi integraation jälkeen numeroarvoja korvattaessa on valittava integrandin yksiarvoinen haara (Riemannin pinta) ja sitä varten valittava integrointituloksen vastaava haara.
Murtoluku lineaarinen irrationaalisuus
Nämä ovat integraaleja, joilla on saman lineaarisen murtofunktion juuret:
,
missä R on rationaalinen funktio, ovat rationaalilukuja, m 1, n 1, ..., m s, n s ovat kokonaislukuja, α, β, γ, δ ovat reaalilukuja.
Sellaiset integraalit pelkistetään rationaalisen funktion integraaliksi substituutiolla:
, jossa n on lukujen r 1, ..., r s yhteinen nimittäjä.
Juuret eivät välttämättä ole lineaarisesta murtofunktiosta, vaan myös lineaarisesta (γ = 0, δ = 1), tai integroinnin muuttujalla x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Tässä on esimerkkejä tällaisista integraaleista:
,
.
Differentiaalibinomien integraalit
Differentiaalibinomiaalien integraalit ovat:
,
missä m, n, p ovat rationaalilukuja, a, b ovat reaalilukuja.
Tällaiset integraalit pelkistyvät rationaalisten funktioiden integraaleiksi kolmessa tapauksessa.
1) Jos p on kokonaisluku. Korvaus x = t N, missä N on murtolukujen m ja n yhteinen nimittäjä.
2) Jos - kokonaisena. Korvaus a x n + b = t M, missä M on p:n nimittäjä.
3) Jos - kokonaisena. Korvaus a + b x - n = t M, missä M on p:n nimittäjä.
Muissa tapauksissa tällaisia integraaleja ei ilmaista alkeisfunktioina.
Joskus tällaisia integraaleja voidaan yksinkertaistaa käyttämällä vähennyskaavoja:
;
.
Neliötrinomin neliöjuuren sisältävät integraalit
Tällaiset integraalit ovat muotoa:
,
jossa R on rationaalinen funktio. Jokaiselle tällaiselle integraalille on olemassa useita ratkaisumenetelmiä.
1)
Johda muunnosten avulla yksinkertaisempiin integraaleihin.
2)
Käytä trigonometrisiä tai hyperbolisia korvauksia.
3)
Käytä Euler-korvauksia.
Katsotaanpa tarkemmin näitä menetelmiä.
1) Integrandin muunnos
Käyttämällä kaavaa ja suorittamalla algebrallisia muunnoksia tuomme integrandin muotoon:
,
missä φ (x), ω (x) ovat rationaalisia funktioita.
Tyyppi I
Lomakkeen integraali:
,
missä P n (x) on n-asteinen polynomi.
Sellaiset integraalit löydetään määrittelemättömien kertoimien menetelmällä käyttämällä identiteettiä:
.
Erottamalla tämä yhtälö ja tasoittamalla vasen ja oikea puoli saadaan kertoimet A i.
II tyyppi
Lomakkeen integraali:
,
missä P m (x) on m-asteinen polynomi.
Korvaus t = (x - a) -1 tämä integraali pienennetään edelliseen tyyppiin. Jos m ≥ n, niin koko murto-osa tulee valita.
III tyyppi
Tässä teemme vaihdon:
.
Sitten integraali saa muodon:
.
Lisäksi vakiot α, β on valittava siten, että kertoimet kohdassa t häviävät nimittäjästä:
B = 0, B 1 = 0.
Sitten integraali hajoaa kahden tyyppisten integraalien summaksi:
,
,
jotka on integroitu korvauksilla:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.
2) Trigonometriset ja hyperboliset substituutiot
Muodon integraaleille a > 0
,
meillä on kolme pääkorvaa:
;
;
;
Integraaleille a > 0
,
meillä on seuraavat vaihdot:
;
;
;
Ja lopuksi integraaleille a > 0
,
vaihdot ovat seuraavat:
;
;
;
3) Euler-korvaukset
Integraalit voidaan myös pelkistää yhden kolmesta Euler-substituutiosta rationaalisten funktioiden integraaleiksi:
, kun a> 0;
, kun c> 0;
, jossa x 1 on yhtälön a x 2 + b x + c = 0 juuri. Jos tällä yhtälöllä on todelliset juuret.
Elliptiset integraalit
Lopuksi harkitse muodon integraaleja:
,
jossa R on rationaalinen funktio,. Tällaisia integraaleja kutsutaan elliptisiksi. Yleensä niitä ei ilmaista perusfunktioina. Kuitenkin on tapauksia, joissa kertoimien A, B, C, D, E välillä on suhteita, joissa tällaiset integraalit ilmaistaan alkeisfunktioina.
Alla on esimerkki palautuspolynomeista. Tällaisten integraalien laskenta suoritetaan käyttämällä korvauksia:
.
Esimerkki
Laske integraali:
.
Ratkaisu
Teemme vaihdon.
.
Täällä x> 0
(u> 0
) otamme ylemmän merkin ′ + ′. x:lle< 0
(u< 0
) - alempi ' - '.
.
Vastaus
Viitteet:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, "Lan", 2003.
Ei ole olemassa universaalia tapaa ratkaista irrationaalisia yhtälöitä, koska niiden luokkien lukumäärä eroaa. Artikkelissa tuodaan esiin tyypillisiä yhtälötyyppejä substituutiolla integrointimenetelmällä.
Suoran integrointimenetelmän käyttämiseksi on tarpeen laskea ∫ k x + b p d x -tyyppiset epämääräiset integraalit, joissa p on rationaalinen murtoluku, k ja b reaalikertoimia.
Esimerkki 1
Etsi ja laske funktion y = 1 3 x - 1 3 antiderivaatat.
Ratkaisu
Integrointisäännön mukaan on tarpeen soveltaa kaavaa ∫ f (kx + b) dx = 1 k F (kx + b) + C, ja antiderivaatataulukko osoittaa, että tähän funktioon on olemassa valmis ratkaisu . Me ymmärrämme sen
∫ dx 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 dx = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C
Vastaus:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C.
On tapauksia, joissa voit käyttää erotusmerkin alle tuomista. Tämä ratkaistaan periaatteella löytää epämääräiset integraalit muotoa ∫ f "(x) · (f (x)) p d x, kun p:n arvoa pidetään rationaalisena murtolukuna.
Esimerkki 2
Etsi epämääräinen integraali ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x.
Ratkaisu
Huomaa, että d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Sitten on summattava differentiaalimerkin alle käyttämällä antiderivaatataulukoita. Saamme, että
∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) dx = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 p (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 dz = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C
Vastaus:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C.
Epämääräisten integraalien ratkaisu tarjoaa muotoa ∫ d x x 2 + p x + q olevan kaavan, jossa p ja q ovat reaalikertoimia. Sitten on tarpeen valita täydellinen neliö juuren alta. Me ymmärrämme sen
x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4
Käyttämällä epämääräisten integraalien taulukossa olevaa kaavaa, saamme:
∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C
Sitten lasketaan integraali:
∫ dxx 2 + px + q = ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + px + q + C
Esimerkki 3
Etsi muodon ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 epämääräinen integraali.
Ratkaisu
Laskeaksesi sinun on poistettava numero 2 ja asetettava se radikaalin eteen:
∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2
Valitse radikaalilausekkeesta täydellinen neliö. Me ymmärrämme sen
x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16
Sitten saadaan epämääräinen integraali muotoa 1 2 ∫ dxx 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ dxx + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 12 + C
Vastaus: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
Irrationaalisten funktioiden integrointi tapahtuu samalla tavalla. Koskee muotoa y = 1 - x 2 + p x + q olevia funktioita.
Esimerkki 4
Etsi epämääräinen integraali ∫ d x - x 2 + 4 x + 5.
Ratkaisu
Ensin sinun on johdettava lausekkeen nimittäjän neliö juuren alta.
∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ dx - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ dx - x - 2 2 - 9 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9
Taulukkointegraali on muotoa ∫ dxa 2 - x 2 = arc sin xa + C, niin saadaan, että ∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9 = arc sin x - 23 + C
Vastaus:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C.
Prosessi, jossa etsitään muotoa y = M x + N x 2 + px + q olevia irrationaalisten funktioiden antiderivaatat, joissa käytettävissä olevat M, N, p, q ovat todellisia kertoimia ja ne ovat samanlaisia kuin yksinkertaisimpien murtolukujen integrointi. kolmas tyyppi. Tässä muutoksessa on useita vaiheita:
summaamalla differentiaali juuren alle, korostamalla lausekkeen koko neliö juuren alla käyttämällä taulukkokaavoja.
Esimerkki 5
Etsi antijohdannaiset y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.
Ratkaisu
Ehdosta saamme, että d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) dx ja x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, sitten (x + 2) dx = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 dx = 1 2 pv (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 dx.
Laske integraali: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 dx = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ dxx 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ dxx - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C
Vastaus:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.
Funktion ∫ x m (a + b x n) p d x epämääräisten integraalien haku suoritetaan korvausmenetelmällä.
Sen ratkaisemiseksi sinun on otettava käyttöön uusia muuttujia:
- Kun luku p on kokonaisluku, niin x = z N ja N on m:n, n:n yhteinen nimittäjä.
- Kun m + 1 n on kokonaisluku, a + b x n = z N ja N on p:n nimittäjä.
- Kun m + 1 n + p on kokonaisluku, sinun on syötettävä muuttuja a x - n + b = z N, ja N on p:n nimittäjä.
Etsi määrällinen integraali ∫ 1 x 2 x - 9 d x.
Ratkaisu
Saamme, että ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x. Tästä seuraa, että m = - 1, n = 1, p = - 1 2, jolloin m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 on kokonaisluku. Voit syöttää uuden muuttujan muodossa - 9 + 2 x = z 2. On välttämätöntä ilmaista x - z. Lähdöistä saamme sen
9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z
Annetussa integraalissa on tehtävä korvaus. Meillä se on
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C
Vastaus:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C.
Irrationaalisten yhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi käytetään perusintegrointimenetelmiä.
Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter
