Esimerkkejä erikokoisten matriisien kertomisesta. Matematiikka nukkeille

Poistamme jatkuvasti tuntemattomat. Tätä varten jätämme järjestelmän ensimmäisen yhtälön ennalleen ja toisen ja kolmannen muunnamme:

1) toiseen yhtälöön lisätään ensimmäinen kerrottuna –2 ja saatetaan muotoon –3 x 2 –2x 3 = –2;

2) lisätään kolmanteen yhtälöön ensimmäinen, kerrottuna - 4, ja tuodaan muotoon –3 x 2 – 4x 3 = 2.

Tämän seurauksena tuntematon jätetään toisen ja kolmannen yhtälön ulkopuolelle x 1 ja järjestelmä tulee muotoon

Kerromme järjestelmän toisen ja kolmannen yhtälön -1: llä, saamme

Kerroin 1 ensimmäisessä yhtälössä ensimmäiselle tuntemattomalle NS 1 kutsutaan johtava elementti ensimmäinen askel poistaminen.

Toisessa vaiheessa ensimmäinen ja toinen yhtälö pysyvät muuttumattomina, ja samaa menetelmää muuttujan poistamiseksi sovelletaan kolmanteen yhtälöön x 2 . Johtava elementti toinen vaihe on kerroin 3. Kolmanteen yhtälöön lisätään toinen kerrottuna -1, sitten järjestelmä muutetaan muotoon

(1.2)

Järjestelmän (1.1) pelkistämistä muotoon (1.2) kutsutaan suoraksi menetelmän kulkua Gauss.

Järjestelmän (1.2) ratkaisumenettelyä kutsutaan käänteinen. Viimeisestä yhtälöstä, jonka saamme NS 3 = –2. Korvaamalla tämä arvo toiseen yhtälöön saadaan NS 2 = 2. Sen jälkeen ensimmäinen yhtälö antaa NS 1 = 1. Täten on järjestelmän (1.1) ratkaisu.

Matriisikonsepti

Harkitse järjestelmään (1.1) sisältyviä määriä. Yhdeksän numeerisen kertoimen joukko yhtälöissä ennen tuntemattomia muodostaa taulukon numeroista, joita kutsutaan matriisi:

Taulukon numeroita kutsutaan elementtejä matriisit. Elementit muodostavat rivit ja sarakkeet matriisit. Rivien ja sarakkeiden määrä muodostuu ulottuvuus matriisit. Matriisi A sen koko on 3´3 ("kolme kolme"), jossa ensimmäinen numero osoittaa rivien määrän ja toinen sarakkeiden lukumäärän. Usein matriisia merkitään osoittamalla sen ulottuvuus A (3 ´ 3). Koska matriisin rivien ja sarakkeiden määrä A sama, matriisia kutsutaan neliö. Neliömatriisin rivien (ja sarakkeiden) määrää kutsutaan sen järjestyksessä, siksi A- matriisi kolmas tilaus.

Yhtälöiden oikeat puolet muodostavat myös numerotaulukon, ts. matriisi:

Tämän matriisin jokainen rivi muodostuu siis yhdestä elementistä B(3 ´ 1) kutsutaan sarake-matriisi, sen koko on 3´1. Joukko tuntemattomia voidaan ajatella myös sarakematriisina:

Neliömatriisin kertominen sarakematriisin kanssa

Matriiseilla voidaan suorittaa erilaisia ​​toimintoja, joista keskustellaan tarkemmin myöhemmin. Tässä analysoimme vain sääntöä neliömatriisin kertomiseksi sarakematriisilla. Lähettäjä määritelmä, matriisin kertomisen tulos A(3 ´ 3) saraketta kohden V(3 ´ 1) on sarake D(3 ´ 1), jonka elementit ovat yhtä suuret kuin matriisin rivien elementtien tulojen summat A sarakeelementteihin V:

2)toinen sarake -elementti D on yhtä suuri kuin elementtien tulojen summa toinen matriisirivit A sarakeelementteihin V:

Se voidaan nähdä yllä olevista kaavoista, jotka kertovat matriisin sarakkeella V on mahdollista vain, jos matriisin sarakkeiden määrä A on yhtä suuri kuin sarakkeen elementtien määrä V.

Tarkastellaan vielä kahta numeerista esimerkkiä matriisin kertomisesta (3 '3) saraketta kohti (3' 1):

Esimerkki 1.1

AB =
.

Esimerkki 1.2

AB= .

1. vuosi, korkeampi matematiikka, opiskelemme matriisit ja perustoimet niihin. Tässä järjestelmämme matriiseilla suoritettavat perustoiminnot. Mistä aloittaa tutustuminen matriiseihin? Tietenkin yksinkertaisimmista - määritelmät, peruskäsitteet ja yksinkertaisimmat toiminnot. Vakuutamme, että matriisit ymmärretään kaikille, jotka käyttävät niihin ainakin vähän aikaa!

Määritelmä matriisi

Matriisi On suorakulmainen elementtitaulukko. No, jos yksinkertaisesti sanottuna - numerotaulukko.

Yleensä matriisit on merkitty latinalaisilla isoilla kirjaimilla. Esimerkiksi matriisi A , matriisi B jne. Matriisit voivat olla erikokoisia: suorakulmaisia, neliömäisiä, on myös rivimatriiseja ja sarakematriiseja, joita kutsutaan vektoreiksi. Matriisin koko määräytyy rivien ja sarakkeiden lukumäärän mukaan. Kirjoitetaan esimerkiksi suorakulmainen matriisi m päällä n , missä m - rivien lukumäärä ja n - sarakkeiden lukumäärä.

Elementit, joille i = j (a11, a22, .. ) muodostavat matriisin päälävistäjän, ja niitä kutsutaan diagonaaliksi.

Mitä voit tehdä matriiseilla? Lisää / vähennä, kerrotaan luvulla, lisääntyä keskenään, saattaa osaksi kansallista lainsäädäntöä... Nyt kaikista näistä matriisien perustoiminnoista järjestyksessä.

Matriisin summaus- ja vähennysoperaatiot

Varoitamme sinua heti, että voit lisätä vain samankokoisia matriiseja. Tuloksena on samankokoinen matriisi. Matriisien lisääminen (tai vähentäminen) on helppoa - lisää vain niiden elementit ... Annetaan esimerkki. Lisätään kaksi matriisia A ja B, kaksi kerrallaan.

Vähennys suoritetaan analogisesti, vain vastakkaisella merkillä.

Mikä tahansa matriisi voidaan kertoa mielivaltaisella luvulla. Tehdä tämä, sinun on kerrottava jokainen sen elementti tällä numerolla. Kerrotaan esimerkiksi matriisi A ensimmäisestä esimerkistä numerolla 5:

Matriisin kertolasku

Kaikkia matriiseja ei voi kertoa keskenään. Meillä on esimerkiksi kaksi matriisia - A ja B. Ne voidaan kertoa toisilla vain, jos matriisin A sarakkeiden määrä on yhtä suuri kuin matriisin B rivien lukumäärä. jokainen tuloksena olevan matriisin elementti, joka seisoo i: nnessä rivissä ja j: nnessä sarakkeessa, on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän i: nnen rivin ja j: nnen sarakkeen vastaavien elementtien tulojen summa toinen... Tämän algoritmin ymmärtämiseksi kirjoitetaan muistiin, kuinka kaksi neliömatriisia kerrotaan:

Ja esimerkki todellisilla numeroilla. Kerrotaan matriisit:

Matriisin transponointitoiminto

Matriisin transponointi on toiminto, jossa vastaavat rivit ja sarakkeet vaihdetaan. Transponoidaan esimerkiksi matriisi A ensimmäisestä esimerkistä:

Matriisin determinantti

Determinantti, mutta determinantti on yksi lineaarisen algebran peruskäsitteistä. Kerran ihmiset keksivät lineaarisia yhtälöitä ja niiden takana oli keksittävä determinantti. Tämän seurauksena sinun on käsiteltävä tämä kaikki, joten viimeinen spurtti!

Determinantti on neliömatriisin numeerinen ominaisuus, jota tarvitaan monien ongelmien ratkaisemiseksi.
Yksinkertaisimman neliömatriisin determinantin laskemiseksi sinun on laskettava pää- ja toissijaisten diagonaalien elementtien tulojen välinen ero.

Ensimmäisen kertaluvun matriisin eli yhden elementin determinantti on yhtä suuri kuin tämä elementti.

Entä jos matriisi on kolme kolme? Täällä se on jo monimutkaisempaa, mutta voit selviytyä.

Tällaisessa matriisissa determinantin arvo on yhtä suuri kuin päälävistäjän elementtien tulojen summa ja niiden elementtien tulojen summa, jotka sijaitsevat kolmioilla, joiden reuna on päälävistäjän suuntainen, ja josta alkioiden tulo sivuhalkaisija ja kolmioissa olevien elementtien tulo, joilla on yhdensuuntaisen sivuviivan sivu, vähennetään.

Onneksi on harvoin tarpeen laskea käytännössä suurten matriisien determinantteja.

Tässä olemme käsitelleet matriisien perustoiminnot. Tietysti tosielämässä et ehkä koskaan edes löydä vihjeitä matriisiyhtälöjärjestelmästä tai päinvastoin - kohdataksesi paljon vaikeampia tapauksia, joissa sinun on todella murtettava pääsi. Tällaisissa tapauksissa on ammattimainen opiskelijapalvelu. Pyydä apua, hanki laadukas ja yksityiskohtainen ratkaisu, nauti akateemisesta menestyksestäsi ja vapaa-ajastasi.

Matriisien lisääminen:

Matriisien vähentäminen ja lisääminen pienennetään vastaaviin toimintoihin niiden elementeissä. Matriisin lisääminen käyttöön vain matriisit samaa kokoa, esim matriisit, jossa rivien ja sarakkeiden lukumäärä on vastaavasti. Matriisien summa A ja B kutsutaan matriisi C, jonka elementit ovat yhtä suuret kuin vastaavien elementtien summa. С = А + В c ij = a ij + b ij matriisien ero.

Matriisin kertominen luvulla:

Matriisin kertolasku (jako) mikä tahansa koko mielivaltaisella luvulla pienennetään kunkin elementin kertomiseksi (jakamiseksi) matriisit tuolla numerolla. Matriisin tuote Ja numero k kutsutaan matriisi B, sellainen

b ij = k × a ij. В = k × A b ij = k × a ij. Matriisi- A = (-1) × A kutsutaan päinvastaiseksi matriisi A.

Matriisin lisääminen ja matriisin kerto -ominaisuudet:

Matriisin lisäysoperaatiot ja matriisin kertolasku numerolla on seuraavat ominaisuudet: 1. A + B = B + A; 2.A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5,1 × A = A; 6. α × (A + B) = aA + aB; 7. (a + β) × A = aA + pA; 8. a × (pA) = (aβ) × A; , missä А, В ja С ovat matriiseja, α ja β ovat numeroita.

Matriisin kertolasku (Matrix -tuote):

Kahden matriisin kertominen esitetään vain siinä tapauksessa, että ensimmäisen sarakkeiden määrä matriisit on yhtä suuri kuin toisen rivin lukumäärä matriisit. Matriisin tuote Ja m × n päällä matriisi N × p: ssä sitä kutsutaan matriisi Kun m × p niin, että kun ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk, eli löydä i-luvun rivien elementtien tulojen summa matriisit Ja j-nnen sarakkeen vastaavista elementeistä matriisit B. Jos matriisit A ja B ovat samankokoisia neliöitä, jolloin tuotteet AB ja BA ovat aina olemassa. On helppo osoittaa, että A × E = E × A = A, missä A on neliö matriisi, E - yksikkö matriisi samaa kokoa.

Matriisin kerto -ominaisuudet:

Matriisin kertolasku ei kommutoiva, ts. AB ≠ BA, vaikka molemmat teokset on määritelty. Kuitenkin jos jokin matriisit suhde AB = BA on tyytyväinen, niin sellainen matriisit kutsutaan permutaatioksi. Tyypillisin esimerkki on sinkku matriisi joka on muunnettavissa minkä tahansa muun kanssa matriisi samaa kokoa. Permutaatio voi olla vain neliö matriisit sama järjestys. A × E = E × A = A

Matriisin kertolasku sillä on seuraavat ominaisuudet: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (aA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = AT + BT;

2. Toisen ja kolmannen luokan determinantit. Määrittävät ominaisuudet.

Matriisin determinantti toinen tilaus tai määräävä tekijä Toista kertaluokkaa kutsutaan numeroksi, joka lasketaan kaavalla:

Matriisin determinantti kolmas tilaus tai määräävä tekijä kolmannen kertaluvun numero kutsutaan, joka lasketaan kaavalla:

Tämä luku edustaa kuuden termin algebrallista summaa. Jokainen termi sisältää täsmälleen yhden elementin kustakin rivistä ja jokaisesta sarakkeesta matriisit... Jokainen termi koostuu kolmen tekijän tulosta.

Merkit, joiden kanssa jäsenet matriisin determinantti sisältyvät kaavaan matriisin determinantin löytäminen kolmas järjestys voidaan määrittää käyttämällä yllä olevaa kaaviota, jota kutsutaan kolmioiden sääntöksi tai Sarrus -sääntöön. Kolme ensimmäistä termiä on merkitty plusmerkillä ja ne määritetään vasemmasta kuvasta, ja seuraavat kolme termiä otetaan miinusmerkillä ja määritetään oikeasta kuvasta.

Määritä löydettävien termien määrä matriisin determinantti, algebrallisessa summassa voimme laskea kertoimen: 2! = 1 × 2 = 23! = 1 × 2 × 3 = 6

Matriisin determinanttien ominaisuudet

Matriisin determinanttien ominaisuudet:

Kiinteistö # 1:

Matriisin determinantti ei muutu, jos sen rivit korvataan sarakkeilla, jokaisella rivillä sarake, jolla on sama numero, ja päinvastoin (Transponoi). | A | = | A | T

Seuraus:

Sarakkeet ja rivit matriisin determinantti ovat samat, joten rivien ominaisuudet täyttyvät myös sarakkeissa.

Kiinteistö # 2:

Kun vaihdat 2 riviä tai saraketta matriisin determinantti kääntää merkin pitäen samalla absoluuttisen arvon, eli:

Kiinteistö # 3:

Matriisin determinantti kaksi identtistä riviä on nolla.

Kiinteistö # 4:

Yhteinen tekijä minkä tahansa rivin elementeille matriisin determinantti voidaan ottaa pois merkistä määräävä tekijä.

Ominaisuuksien # 3 ja # 4 seuraukset:

Jos tietyn rivin (rivin tai sarakkeen) kaikki elementit ovat verrannollisia rinnakkaisen rivin vastaaviin elementteihin, niin sellaisia matriisin determinantti on nolla.

Kiinteistö # 5:

matriisin determinantti yhtä suuri kuin nolla, sitten itse matriisin determinantti on nolla.

Kiinteistö # 6:

Jos minkä tahansa rivin tai sarakkeen kaikki elementit määräävä tekijä esitetään kahden termin summana määräävä tekijä matriisit voidaan esittää summana 2 määrääviä tekijöitä kaavan mukaan:

Kiinteistö # 7:

Jos mihin tahansa riviin (tai sarakkeeseen) määräävä tekijä lisää sitten toisen rivin (tai sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna samalla numerolla matriisin determinantti ei muuta kokoaan.

Esimerkki ominaisuuksien soveltamisesta laskentaan matriisin determinantti:

Joten edellisessä oppitunnissa keskustelimme matriisien lisäämisen ja vähentämisen säännöistä. Nämä ovat niin yksinkertaisia ​​toimintoja, että useimmat opiskelijat ymmärtävät ne kirjaimellisesti lennossa.

Iloit kuitenkin aikaisin. Ilmaistarjous on ohi - siirrytään kertolaskuun. Varoitan sinua heti: kahden matriisin kertominen ei lainkaan kerro lukuja soluilla, joilla on samat koordinaatit, kuten luulisi. Täällä kaikki on paljon hauskempaa. Ja sinun on aloitettava alustavilla määritelmillä.

Johdonmukaiset matriisit

Yksi matriisin tärkeimmistä ominaisuuksista on sen koko. Olemme puhuneet tästä jo sata kertaa: merkintä $ A = \ left [m \ times n \ right] $ tarkoittaa, että matriisi sisältää täsmälleen $ m $ riviä ja $ n $ saraketta. Olemme jo keskustelleet siitä, miten ei sekoiteta rivejä sarakkeisiin. Nyt jotain muuta on tärkeää.

Määritelmä. Lomakkeen $ A = \ vasen [m \ kertaa n \ oikea] $ ja $ B = \ vasen [n \ kertaa k \ oikea] $ matriisit, joissa ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrä on sama kuin rivien määrää toisessa, kutsutaan johdonmukaisiksi.

Jälleen kerran: ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrä on yhtä suuri kuin rivien määrä toisessa! Tästä saamme kaksi johtopäätöstä kerralla:

1. Matriisien järjestys on meille tärkeä. Esimerkiksi matriisit $ A = \ vasen [3 \ kertaa 2 \ oikeaa] $ ja $ B = \ vasen [2 \ kertaa 5 \ oikeaa] $ ovat johdonmukaisia ​​(2 saraketta ensimmäisessä matriisissa ja 2 riviä toisessa), mutta päinvastoin - matriisit $ B = \ vasen [2 \ kertaa 5 \ oikeaa] $ ja $ A = \ vasen [3 \ kertaa 2 \ oikeaa] $ - eivät enää vastaa (5 ensimmäisen sarakkeen saraketta ovat kuin 3 riviä) toisessa).
2. Johdonmukaisuus on helppo tarkistaa, jos kirjoitat kaikki mitat peräkkäin. Esimerkiksi edellisestä kappaleesta: "3 2 2 5" - samat numerot keskellä, joten matriisit ovat johdonmukaisia. Mutta "2 5 3 2" - eivät ole johdonmukaisia, koska keskellä on erilaisia ​​numeroita.

Lisäksi ilmeisyyden kapteeni näyttää vihjaavan, että samankokoiset neliömäiset matriisit $ \ vasen [n \ kertaa n \ oikea] $ ovat aina johdonmukaisia.

Matematiikassa, kun esineiden luettelointijärjestys on tärkeä (esimerkiksi yllä olevassa määritelmässä matriisien järjestys on tärkeä), puhutaan usein järjestetyistä pareista. Tapasimme heidät jo koulussa: Mielestäni on turhaa, että koordinaatit $ \ left (1; 0 \ right) $ ja $ \ left (0; 1 \ right) $ asettavat eri pisteet tasossa.

Joten: koordinaatit ovat myös järjestettyjä pareja, jotka koostuvat numeroista. Mutta mikään ei estä tällaisen matriisiparin laatimista. Sitten voimme sanoa: "Järjestetty matriisipari $ \ left (A; B \ right) $ on johdonmukainen, jos ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrä on sama kuin toisen rivin lukumäärä."

No, mitä sitten?

Määritelmä kertolasku

Harkitse kahta vastaavaa matriisia: $ A = \ left [m \ times n \ right] $ ja $ B = \ left [n \ times k \ right] $. Ja määritä heille kertolasku.

Määritelmä. Kahden vastaavan matriisin tulo $ A = \ left [m \ times n \ right] $ ja $ B = \ left [n \ times k \ right] $ on uusi matriisi $ C = \ left [m \ times k \ oikea] $, jonka elementit lasketaan kaavalla:

\ [\ aloita (kohdista) & ((c) _ (i; j)) = ((a) _ (i; 1)) \ cdot ((b) _ (1; j)) + ((a) _ (i; 2)) \ cdot ((b) _ (2; j)) + \ ldots + ((a) _ (i; n)) \ cdot ((b) _ (n; j)) = \\ & = \ summa \ rajat_ (t = 1) ^ (n) (((a) _ (i; t)) \ cdot ((b) _ (t; j))) \ loppu (kohdista) \]

Tällainen tuote on merkitty tavanomaisella tavalla: $ C = A \ cdot B $.

Niillä, jotka näkevät tämän määritelmän ensimmäistä kertaa, on kaksi kysymystä kerralla:

1. Mikä tämä raju peli on?
2. Miksi se on niin vaikeaa?

No, ensin asiat. Aloitetaan ensimmäisestä kysymyksestä. Mitä kaikki nämä indeksit tarkoittavat? Ja kuinka olla erehtymättä, kun työskentelet todellisten matriisien kanssa?

Ensinnäkin, huomaa, että pitkä jono $ ((c) _ (i; j)) $ laskemiseksi (laitoin erityisesti puolipisteen indeksien väliin, jotta sekaannusta ei tapahdu, mutta yleensä niitä ei tarvitse laittaa - Itse kyllästyin kaavan kirjoittamiseen määritelmään) itse asiassa yksinkertainen sääntö:

1. Ota $ i $ th rivi ensimmäisestä matriisista;
2. Ota toisen matriisin $ j $ th -sarake;
3. Saamme kaksi numerosarjaa. Kerrotaan näiden sekvenssien elementit samoilla numeroilla ja lisätään sitten syntyneet tuotteet.

Tämä prosessi on helppo ymmärtää kuvasta:

Vielä kerran: korjaamme rivin $ i $ ensimmäisessä matriisissa, sarakkeen $ j $ toisessa matriisissa, kerromme elementit samoilla numeroilla ja lisäämme sitten tuloksena olevat tuotteet - saamme $ ((c) _ (ij) )) $. Ja niin kaikille $ 1 \ le i \ le m $ ja $ 1 \ le j \ le k $. Nuo. tällaisia ​​"perversioita" tulee yhteensä $ m \ kertaa k $.

Itse asiassa olemme jo kohdanneet matriisin kertomisen koulun opetussuunnitelmassa, vain hyvin lyhennettynä. Anna vektorit:

\ [\ aloita (kohdista) & \ vec (a) = \ vasen (((x) _ (a)); ((y) _ (a)); ((z) _ (a)) \ oikea); \\ & \ overrightarrow (b) = \ left (((x) _ (b)); ((y) _ (b)); ((z) _ (b)) \ ​​right). \\ \ loppu (kohdista) \]

Sitten heidän skalaarituotteensa on täsmälleen paritulojen summa:

\ [\ overrightarrow (a) \ times \ overrightarrow (b) = ((x) _ (a)) \ cdot ((x) _ (b)) + ((y) _ (a)) \ cdot ((y ) _ (b)) + ((z) _ (a)) \ cdot ((z) _ (b)) \]

Itse asiassa silloin, kun puut olivat vihreämpiä ja taivas kirkkaampi, kerroimme yksinkertaisesti rivivektorin $ \ overrightarrow (a) $ sarakevektorilla $ \ overrightarrow (b) $.

Mikään ei ole muuttunut tänään. Nyt vain on enemmän näitä rivi- ja sarakevektoreita.

Mutta tarpeeksi teoriaa! Katsotaanpa tosielämän esimerkkejä. Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta - neliömäisistä matriiseista.

Neliömatriisien kertolasku

Tehtävä 1. Suorita kertolasku:

\ [\ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Ratkaisu. Meillä on siis kaksi matriisia: $ A = \ left [2 \ times 2 \ right] $ ja $ B = \ left [2 \ times 2 \ right] $. On selvää, että ne ovat johdonmukaisia ​​(samankokoiset neliömäiset matriisit ovat aina johdonmukaisia). Siksi suoritamme kertomisen:

\ [\ aloita (kohdista) & \ vasen [\ aloita (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot \ vasen (-2 \ oikea) +2 \ cdot 3 & 1 \ cdot 4 +2 \ cdot 1 \\ -3 \ cdot \ left (-2 \ right) +4 \ cdot 3 & -3 \ cdot 4 + 4 \ cdot 1 \\\ end (array) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end (array) \ right]. \ end (kohdista) \]

Siinä kaikki!

Vastaus: $ \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end (array) \ right] $.

Tehtävä 2. Suorita kertolasku:

\ [\ vasen [\ aloita (matriisi) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] \ cdot \ vasen [\ aloita (matriisi) (* (35) (r)) 9 ja 6 \\ -3 & -2 \\\ end (array) \ right] \]

Ratkaisu. Jälleen osuvat matriisit, joten suoritamme seuraavat toiminnot: \ [\]

\ [\ aloita (kohdista) & \ vasen [\ aloita (matriisi) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] \ cdot \ vasen [\ aloita (array) (* (35) ( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot 9 + 3 \ cdot \ vasen (-3 \ oikea) & 1 \ cdot 6 + 3 \ cdot \ vasen (-2 \ oikea) \\ 2 \ cdot 9 + 6 \ cdot \ left (-3 \ right) & 2 \ cdot 6 + 6 \ cdot \ left (-2 \ right) \\\ end (array) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end (matrix) \ right] ... \ end (kohdista) \]

Kuten näette, meillä on matriisi täynnä nollia

Vastaus: $ \ vasen [\ aloita (matriisi) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] $.

Annettujen esimerkkien perusteella on selvää, että matriisin kertolasku ei ole niin vaikea operaatio. Ainakin 2 x 2 neliömatriisille.

Laskelmien aikana koottiin välimatriisi, johon kirjoitimme suoraan, mitkä numerot sisältyvät tähän tai toiseen soluun. Tämä on täsmälleen se, mitä sinun pitäisi tehdä, kun ratkaiset todellisia ongelmia.

Matriisituotteen perusominaisuudet

Pähkinänkuoressa. Matriisin kertolasku:

1. Ei-kommutoiva: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $ yleensä. Tietenkin on olemassa erityisiä matriiseja, joiden yhtäläisyys $ A \ cdot B = B \ cdot A $ (esimerkiksi jos $ B = E $ on identiteettimatriisi), mutta useimmissa tapauksissa tämä ei toimi ;
2. Liittyvä: $ \ vasen (A \ cdot B \ oikea) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $. Tässä ei ole vaihtoehtoja: vierekkäiset matriisit voidaan kertoa murehtimatta siitä, mikä on näiden kahden matriisin vasemmalla ja oikealla puolella.
3. Jakelija: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $ ja $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $ (tuotteen ei -kommutativiteetin vuoksi meidän on kirjoitettava erikseen jakautuma oikealle ja vasemmalle.

Ja nyt - kaikki on sama, mutta yksityiskohtaisemmin.

Matriisin kertolasku on paljon kuin klassinen lukujen kertolasku. Mutta on eroja, joista tärkein on se matriisin kertolasku ei yleensä ole kommutoiva.

Harkitse uudelleen tehtävän 1 matriiseja. Tiedämme jo niiden suoran tuotteen:

\ [\ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end (array) \ right] \]

Mutta jos vaihdamme matriisit, saamme täysin erilaisen tuloksen:

\ [\ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ end (matrix ) \ oikein] \]

On käynyt ilmi, että $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $. Lisäksi kertolasku on määritelty vain matriiseille $ A = \ left [m \ times n \ right] $ ja $ B = \ left [n \ times k \ right] $, mutta kukaan ei takaa, että ne pysyvät yhtenäisinä jos vaihdat ne. Esimerkiksi matriisit $ \ left [2 \ times 3 \ right] $ ja $ \ left [3 \ times 5 \ right] $ ovat melko yhteensopivia ilmoitetussa järjestyksessä, mutta samat matriisit $ \ left [3 \ times 5 \ oikea] $ ja $ \ vasen [2 \ kertaa 3 \ oikea] $, kirjoitettu päinvastaisessa järjestyksessä, eivät enää vastaa toisiaan. Surullisuus. :(

Tietyn kokoisten $ n $ neliömatriisien joukossa on aina niitä, jotka antavat saman tuloksen sekä kerrottuna eteen- että taaksepäin. Kaikkien tällaisten matriisien kuvaaminen (ja kuinka monta yleensä) on erillisen oppitunnin aihe. Emme puhu siitä tänään. :)

Matriisin kertolasku on kuitenkin assosiatiivinen:

\ [\ vasen (A \ cdot B \ oikea) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) \]

Siksi, kun sinun on kerrottava useita matriiseja kerrallaan, ei ole ollenkaan tarpeen tehdä se läpi: on täysin mahdollista, että jotkut vierekkäiset matriisit antavat mielenkiintoisen tuloksen kerrottuna. Esimerkiksi nollamatriisi, kuten yllä käsitelty tehtävä 2.

Todellisissa ongelmissa useimmiten on tarpeen kertoa neliömatriisit, joiden koko on $ \ left [n \ times n \ right] $. Kaikkien tällaisten matriisien joukkoa merkitään $ ((M) ^ (n)) $ (eli merkinnät $ A = \ left [n \ times n \ right] $ ja \ tarkoittavat samaa asiaa) ja se täytyy sisältää matriisi $ E $, jota kutsutaan identiteettimatriisiksi.

Määritelmä. Koko $ n $ identiteettimatriisi on sellainen matriisi $ E $, että minkä tahansa neliömatriisin $ A = \ vasen [n \ kertaa n \ oikea] $ kohdalla seuraava tasa -arvo pätee:

Tällainen matriisi näyttää aina samalta: päälävistäjällä on niitä ja kaikissa muissa soluissa nollia.

\ [\ begin (align) & A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C; \\ & \ vasen (A + B \ oikea) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C. \\ \ end (kohdista) \]

Toisin sanoen, jos sinun on kerrottava yksi matriisi kahden muun summalla, voit kertoa sen jokaisella näistä "kahdesta muusta" ja lisätä sitten tulokset. Käytännössä meidän on yleensä suoritettava päinvastainen operaatio: huomaamme saman matriisin, asetamme sen sulkeiden ulkopuolelle, suoritamme lisäyksen ja yksinkertaistamme siten elämäämme. :)

Huomaa: jakautuvuuden kuvaamiseksi meidän oli kirjoitettava kaksi kaavaa: missä summa on toisessa tekijässä ja missä summa on ensimmäisessä. Tämä johtuu nimenomaan siitä, että matriisin kertolasku ei ole kommutoiva (ja yleensä ei-kommutoivassa algebrassa on paljon kaikenlaisia ​​vitsejä, jotka eivät edes tule mieleen työskenneltäessä tavallisilla numeroilla). Ja jos sinun on esimerkiksi kuvattava tämä ominaisuus kokeessa, muista kirjoittaa molemmat kaavat, muuten opettaja voi olla hieman vihainen.

Okei, nämä olivat kaikki neliömäisen matriisin satuja. Entä suorakulmaiset?

Suorakulmaisten matriisien tapaus

Ja ei mitään - kaikki on sama kuin neliöillä.

Tehtävä 3. Suorita kertolasku:

\ [\ vasen [\ alku (matriisi) \ aloita (matriisi) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ loppu (matriisi) & \ alku (matriisi) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ loppu (matriisi) \ \\ loppu (matriisi) \ oikea] \ cdot \ vasen [\ aloita (array) (* (35) (r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end (array) \ right] \]

Ratkaisu. Meillä on kaksi matriisia: $ A = \ left [3 \ times 2 \ right] $ ja $ B = \ left [2 \ times 2 \ right] $. Kirjoitetaan riville kokoja osoittavat numerot:

Kuten näette, kaksi keskeistä numeroa osuvat yhteen. Tämä tarkoittaa, että matriisit ovat johdonmukaisia ​​ja ne voidaan kertoa. Ja tulostuksessa saamme matriisin $ C = \ left [3 \ times 2 \ right] $:

\ [\ aloita (kohdista) & \ vasen [\ aloita (matriisi) \ aloita (matriisi) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ loppu (matriisi) & \ aloita (matriisi) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \ end (matriisi) \\\ end (matriisi) \ oikea] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end (array) \ oikea] = \ vasen [\ aloita (array) (* (35) (r)) 5 \ cdot \ vasen (-2 \ oikea) +4 \ cdot 3 & 5 \ cdot 5 + 4 \ cdot 4 \\ 2 \ cdot \ left (-2 \ right) +5 \ cdot 3 & 2 \ cdot 5 + 5 \ cdot 4 \\ 3 \ cdot \ left (-2 \ right) +1 \ cdot 3 & 3 \ cdot 5 + 1 \ cdot 4 \\\ end (array) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ end (array) \ right]. \ end (kohdista) \]

Kaikki on selvää: lopullisessa matriisissa on 3 riviä ja 2 saraketta. Melko $ = \ vasen [3 \ kertaa 2 \ oikea] $.

Vastaus: $ \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) \ begin (array) (* (35) (r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\ end (array) & \ begin (matriisi) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ end (matriisi) \\\ end (array) \ right] $.

Tarkastellaanpa nyt yhtä parhaista koulutustehtävistä niille, jotka ovat vasta aloittamassa matriisien käyttöä. Siinä on tarpeen paitsi kertoa kaksi taulukkoa, mutta ensin määrittää: onko tällainen kertolasku sallittu?

Tehtävä 4. Etsi kaikki mahdolliset matriisien pareittain tulot:

\\]; $ B = \ vasen [\ aloita (matriisi) \ aloita (matriisi) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\ loppu (matriisi) & \ aloita (matriisi) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ end (matriisi) \\\ end (matriisi) \ oikea] $; $ C = \ vasen [\ alku (matriisi) 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] $.

Ratkaisu. Kirjoitetaan ensin matriisien koot:

\; \ B = \ vasen [4 \ kertaa 2 \ oikea]; \ C = \ vasen [2 \ kertaa 2 \ oikea] \]

Saamme tietää, että matriisi $ A $ voidaan yhdistää vain matriisiin $ B $, koska $ A $: n sarakkeiden määrä on 4 ja vain $ B $: lla on tämä määrä rivejä. Siksi voimme löytää tuotteen:

\\ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ end (array) \ right] = \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) - 10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ end (array) \ right] \]

Suosittelen lukijaa suorittamaan välivaiheet itsenäisesti. Huomaan vain, että on parempi määrittää tuloksena olevan matriisin koko etukäteen, jo ennen laskelmia:

\\ cdot \ left [4 \ times 2 \ right] = \ left [2 \ times 2 \ right] \]

Toisin sanoen poistamme yksinkertaisesti "siirtokerroimet", jotka varmistivat matriisien johdonmukaisuuden.

Mitä muita vaihtoehtoja on? Tietenkin voit löytää $ B \ cdot A $, koska $ B = \ left [4 \ times 2 \ right] $, $ A = \ left [2 \ times 4 \ right] $, joten tilattu pari $ \ vasen (B; A \ oikea) $ on johdonmukainen, ja tuotteen mitat ovat:

\\ cdot \ left [2 \ times 4 \ right] = \ left [4 \ times 4 \ right] \]

Lyhyesti sanottuna tulos on matriisi $ \ left [4 \ times 4 \ right] $, jonka kertoimet on helppo laskea:

\\ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ end (array) \ right] = \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ end (array) \ right] \]

On selvää, että voit sovittaa yhteen toisen $ C \ cdot A $ ja $ B \ cdot C $ - siinä kaikki. Siksi kirjoitamme yksinkertaisesti tuloksena olevat teokset:

Se oli helppoa. :)

Vastaus: $ AB = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ end (array) \ right] $; $ BA = \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ end (array) \ right] $; $ CA = \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\ end (array) \ right] $; $ BC = \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\ end (array) \ right] $.

Yleensä suosittelen tekemään tämän tehtävän itse. Ja vielä yksi samanlainen tehtävä, joka on kotitehtävissä. Nämä näennäisen yksinkertaiset ajatukset opastavat sinua matriisin kertomisen kaikkien keskeisten vaiheiden läpi.

Mutta tarina ei pääty tähän. Siirrytään erityisiin kertolaskuihin. :)

Rivi- ja sarakevektorit

Yksi yleisimmistä matriisitoiminnoista on kertominen matriisilla, jossa on yksi rivi tai yksi sarake.

Määritelmä. Sarakevektori on $ \ vasen [m \ kertaa 1 \ oikea] $ -matriisi, ts. joka koostuu useista riveistä ja vain yhdestä sarakkeesta.

Rivivektori on $ \ vasen [1 \ kertaa n \ oikea] $ -matriisi, ts. joka koostuu yhdestä rivistä ja useista sarakkeista.

Itse asiassa olemme jo tavanneet nämä kohteet. Esimerkiksi tavallinen kolmiulotteinen vektori stereometriasta $ \ overrightarrow (a) = \ left (x; y; z \ right) $ ei ole muuta kuin rivivektori. Teoreettisesta näkökulmasta rivien ja sarakkeiden välillä ei ole juuri mitään eroa. Sinun on oltava varovainen vain koordinoidessasi ympäröivien kerroinmatriisien kanssa.

Tehtävä 5. Suorita kertolasku:

\ [\ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ end (array) \ right] \]

Ratkaisu. Edessämme on sovitettujen matriisien tulos: $ \ left [3 \ times 3 \ right] \ cdot \ left [3 \ times 1 \ right] = \ left [3 \ times 1 \ right] $. Etsitään tämä työ:

\ [\ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) ) (r)) 2 \ cdot 1+ \ left (-1 \ right) \ cdot 2 + 3 \ cdot \ left (-1 \ right) \\ 4 \ cdot 1 + 2 \ cdot 2 + 0 \ cdot 2 \ \ -1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 2 + 1 \ cdot \ left (-1 \ right) \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) (r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ end (array) \ right] \]

Vastaus: $ \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) - 3 \\ 8 \\ 0 \\\ end (array) \ right] $.

Tehtävä 6. Suorita kertolasku:

\ [\ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ end (array) \ right] \]

Ratkaisu. Jälleen kaikki on sovittu: $ \ vasen [1 \ kertaa 3 \ oikea] \ cdot \ vasen [3 \ kertaa 3 \ oikea] = \ vasen [1 \ kertaa 3 \ oikea] $. Laskemme työn:

\ [\ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ end (array) \ right] = \ left [\ begin (array) (* (35) ( r)) 5 & -19 & 5 \\\ end (array) \ right] \]

Vastaus: $ \ vasen [\ alku (matriisi) 5 & -19 & 5 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] $.

Kuten näette, kun kerrotaan rivi- ja sarakevektori neliömatriisilla, saamme aina samankokoisen rivin tai sarakkeen tulosteeseen. Tällä tosiasialla on monia sovelluksia - lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta kaikenlaisiin koordinaattimuunnoksiin (jotka lopulta myös supistuvat yhtälöjärjestelmiksi, mutta älkäämme puhuko surullisista asioista).

Mielestäni kaikki oli selvää täällä. Siirrymme tämän päivän oppitunnin viimeiseen osaan.

Matriisin eksponointi

Kaikista kertolaskuoperaatioista eksponentia ansaitsee erityistä huomiota - silloin kerrotaan sama kohde itsestään useita kertoja. Matriisit eivät ole poikkeus, niitä voidaan myös nostaa eri asteisiin.

Tällaiset työt ovat aina johdonmukaisia:

\\ cdot \ vasen [n \ kertaa n \ oikea] = \ vasen [n \ kertaa n \ oikea] \]

Ja ne on merkitty samalla tavalla kuin tavalliset asteet:

\ [\ begin (align) & A \ cdot A = ((A) ^ (2)); \\ & A \ cdot A \ cdot A = ((A) ^ (3)); \\ & \ alipaine (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (n) = ((A) ^ (n)). \\ \ loppu (kohdista) \]

Ensi silmäyksellä kaikki on yksinkertaista. Katsotaanpa miltä se näyttää käytännössä:

Tehtävä 7. Nosta matriisi ilmoitettuun tehoon:

$ ((\ \ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea]) ^ (3)) $

Ratkaisu. No OK, rakennetaan. Ensin neliöidään:

\ [\ begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (2)) = \ left [\ begin (matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 1 \\ 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 & 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot 1 \\\ end (array) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ end (array) \ right] \ end (align) \]

\ [\ begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) = ((\ left [\ begin (matriisi) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end ( matriisi) \ oikea] = \\ & = \ vasen [\ aloita (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [ \ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \ end (align) \]

Siinä kaikki.:)

Vastaus: $ \ vasen [\ aloita (matriisi) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] $.

Tehtävä 8. Nosta matriisi ilmoitettuun tehoon:

\ [((\ \ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea]) ^ (10))]

Ratkaisu. Älä vain itke nyt siitä, että "tutkinto on liian suuri", "maailma ei ole vain" ja "opettajat ovat menettäneet rantansa". Itse asiassa kaikki on helppoa:

\ [\ begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (10)) = ((\ left [\ begin (matriisi) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (3)) \ cdot ((\ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea]) ^ (3)) \ cdot ((\ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea]) ^ (3)) \ cdot \ left [\ begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left (\ left [\ begin (matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] \ cdot \ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] \ oikea) \ cdot \ vasen (\ vasen [ \ alku (matriisi) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] \ cdot \ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea ] \ oikea) = \\ & = \ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] \ cdot \ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\ end (matriisi) \ oikea] = \\ & = \ vasen [\ aloita (matriisi) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] \ loppu (kohdista) \ ]

Huomaa, että toisella rivillä käytimme assosiatiivista kertomista. Itse asiassa käytimme sitä edellisessä tehtävässä, mutta siellä se oli epäsuoraa.

Vastaus: $ \ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] $.

Kuten näette, ei ole mitään vaikeaa nostaa matriisia voimaan. Viimeisen esimerkin voi tiivistää:

\ [((\ \ vasen [\ alku (matriisi) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ loppu (matriisi) \ oikea]) ^ (n)) = \ vasen [\ alku (taulukko) (* (35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ end (array) \ right] \]

Tämä tosiasia on helppo todistaa matemaattisen induktion tai suoran kertolaskun avulla. Tällaisia ​​malleja ei kuitenkaan ole aina mahdollista saada kiinni, kun he nousevat valtaan. Siksi ole varovainen: usein on helpompaa ja nopeampaa kertoa useita matriiseja "suoraan eteenpäin" kuin etsiä joitain säännöksiä.

Yleensä älä etsi korkeinta merkitystä siellä, missä sitä ei ole. Lopuksi, harkitse korottamista suurempana matriisina - jopa $ \ vasen [3 \ kertaa 3 \ oikea] $.

Tehtävä 9. Nosta matriisi ilmoitettuun tehoon:

\ [((\ \ vasen [\ aloita (matriisi) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ loppu (matriisi) \ oikea]) ^ (3)) \]

Ratkaisu. Älkäämme etsikö malleja. Teemme kovasti töitä:

\ [((\ \ vasen [\ alku (matriisi) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ loppu (matriisi) \ oikea]) ^ (3)) = ((( \ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right]) ^ (2)) \ cdot \ left [\ begin (matriisi) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matriisi) \ oikea] \]

Neliöidään ensin tämä matriisi:

\ [\ begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right]) ^ ( 2)) = \ vasen [\ aloita (matriisi) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] \ cdot \ vasen [\ alku (matriisi) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin (array) (* (35) (r) )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ end (array) \ right] \ end (align) \]

Kuutataan nyt:

\ [\ begin (align) & ((\ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right]) ^ ( 3)) = \ vasen [\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ end (array) \ right] \ cdot \ left [\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (matrix) \ right] = \\ & = \ left [\ begin ( taulukko) (* (35) (r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ end (array) \ right] \ end (align) \]

Siinä kaikki. Ongelma on ratkaistu.

Vastaus: $ \ vasen [\ aloita (matriisi) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ loppu (matriisi) \ oikea] $.

Kuten näette, laskelmien määrä on kasvanut, mutta merkitys ei ole muuttunut ollenkaan. :)

Tämä oppitunti voidaan lopettaa. Seuraavalla kerralla tarkastelemme käänteistä toimintaa: etsimme alkuperäisiä tekijöitä nykyisen tuotteen avulla.

Kuten luultavasti jo arvasit, puhumme käänteisestä matriisista ja menetelmistä sen löytämiseksi.