Esimerkki kolmiomaisten pulssien sarjan Fourier-sarjan muodostamisesta. Fourier-sarjan signaalien laajennukset

Piirin analyysi aika-alueella tilamuuttujien menetelmällä jatkuvan vaikutuksen alaisena

4.1 Tietyn jaksollisen pulssisekvenssin Fourier-sarjan laajennus

Kaavio virtapiiri taulukko 1 huomioon ottaen on esitetty kuvassa. 7.

Mikä tahansa jaksollinen funktio f(t), joka täyttää Dirichlet-ehdot, voidaan laajentaa Fourier-sarjaksi. Merkitään funktion jaksoa T:llä ja perustaajuutta _:llä. Fourier-sarja voidaan kirjoittaa kahdella tavalla.

Ensimmäinen ilmoittautumislomake:

Toinen tallennusmuoto:

Molemmissa muodoissa A 0 on sarjan vakiokomponentti; A - kth amplitudi sarja harmoniset; k on k:nnen harmonisen alkuvaihe;

Eulerin kaavasta se seuraa. Siten,

Tämän huomioon ottaen voimme kirjoittaa Fourier-sarjan monimutkaisessa muodossa.

Luodaan lauseke kompleksiselle amplitudille.

Kun tämä otetaan huomioon, saadaan lauseke ajan jaksoittaiselle funktiolle:

Vertaamalla saatua lauseketta kaavaan (12) saadaan:

Tässä suhteessa meidän tapauksessamme on mahdollista saada kertoimet Fourier-sarjan tallennuksen sähköiseen muotoon edellisessä osassa saaduista amplitudi- ja vaihespektrien arvoista. Valitsemme approksimaatiotermien lukumäärän ottaen huomioon tulosignaalin spektrin leveyden.

Diskreetit amplitudi- ja vaihespektrit on esitetty kuvissa 25, 26. Niiden laskelmat on koottu taulukkoon 5.

"right">Taulukko 5.

Amplitudit ja vaiheet vastaavissa harmonisissa

Riisi. 25. Tulosignaalin diskreetti amplitudispektri

Andronov-Hopf haarautuminen

Esitetään järjestelmä: x1=m*x1+ x2+m*x12- x12- x1*x22 x2=- x1+ x22 Bifurkaatioarvon ensimmäinen muunnelma > > Ratkaisun aikana saatiin 4 singulaarista pistettä. määrittää niiden tyyppi. Ensimmäinen yksikköpiste > > > > > Huomasimme, että pisteessä (0...

Diskreetti matematiikka

Olkoon F n muuttujan binäärifunktio. Oletetaan, että F ei ole identtinen nolla. Olkoot T1, T2,…, Tk kaikki sen määritelmän kohdat, joissa F=1. Voidaan todistaa, että seuraava kaava pätee: , missä, j=1,2,…, k...

Hyperbolisten funktioiden differentiaaliset ominaisuudet

Etsitään Taylor-sarjan hyperbolisten pääfunktioiden laajennus pisteen läheisyydestä, ts. Maclaurin-sarjan tyyppisessä sarjassa. Eksponentiaaliset ja hyperboliset funktiot Olkoon, sitten mille tahansa...

Matemaattiset menetelmät design

On suoritettava kohinamallinnus Rayleighin todennäköisyysjakauman lailla ja dispersiolla D=12, missä y=. Kohinan realisaatioiden saamiseksi tietyllä jakautumislailla käytetään käänteisfunktiomenetelmää...

Normaalit tilat

Interpolaatioteorialla on lukuisia sovelluksia Fourier-sarjan teoriassa. Määritelmä. Antaa olla jaksollinen funktio sellainen, että. Normi ​​avaruudessa on luku, ja funktion Fourier-kertoimet ovat lukuja...

Diskreetin matematiikan perusteet

Lause 1. Mikä tahansa looginen toiminto voidaan esittää SDNF:ssä: , (1) missä m, ja disjunktio otetaan yli kaikki 2m muuttujien x1,...xm arvojoukkoa. Funktion f laajenee ensimmäisiin n-muuttujiin...

Fourier-muunnos ja jotkin sen sovellukset

(1) Fourier-integraalikaava. Ensin esittelemme integraalin pääarvon käsitteen. Olkoon funktio integroitavissa mihin tahansa lukujonon segmenttiin. Määritelmä 1.1. Jos on rajallinen raja, (1...

Mietitäänpä järjestelmää. Rakennamme järjestelmän tietyllä parillisella osalla. Kerro meille parillinen osa. Käytetään kaavaa ja muunnetaan se. Siksi voimme kirjoittaa Täältä tietäen, missä on järjestelmän heijastava funktio...

Trigonometriset yhtälöt

Pelistämme yhtälön muotoon f(x)=0 ja esitämme vasen puoli yhtälöt tulon muodossa f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Sitten tämä yhtälö pelkistetään yhtälöjoukoksi: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0. Se pitäisi muistaa...

Trigonometriset yhtälöt ja epäyhtälöt

Tekijöintimenetelmä on seuraava: jos sitten jokainen yhtälön ratkaisu on yhtälöjoukon ratkaisu Käänteinen väite on yleisesti ottaen väärä: jokainen joukon ratkaisu ei ole yhtälön ratkaisu.

Elliptiset Jacobi-funktiot

Koska argumenttien todellisille arvoille Jacobi-funktiot snu, cnu, dnu täyttävät Dirichlet-lauseen ehdot, niille voidaan muodostaa vastaava Fourier-sarja. Funktio f(x) täyttää Dirichletin ehdot välillä (?l,l)...

SIGNAALIEN LAAJENTAMINEN FOURIER-SARJAAN

Tehtävän tarkoitus

Tutustu esimerkkeihin signaalien hajottamisesta Fourier-sarjoiksi ja toteuta käytännössä erilaisten signaalien hajottaminen MatLab-järjestelmässä.

Ongelman muotoilu

Kullekin vaihtoehdolle ja jokaiselle signaalityypille määritetään seuraavat parametrit:

suorakulmaisten pulssien sarjalle – amplitudi, toistojakso ja pulssin kesto;

meanderille sahahammassignaali ja kolmiopulssien sarja – pulssien amplitudi ja toistojakso.

Kaikille signaalityypeille on määritetty nollasta poikkeavien harmonisten määrä.

Laadi ohjelmia MatLabissa ja rakenna kuvaajia.

Ohjeita

Fourier-sarja

Fourier-sarjaa voidaan käyttää edustamaan paitsi jaksolliset signaalit, mutta myös rajallisen kestoisia signaaleja. Tässä tapauksessa määritellään aikaväli, jolle Fourier-sarja muodostetaan, ja muina aikoina signaalin katsotaan olevan nolla. Sarjan kertoimien laskemiseksi tämä lähestymistapa tarkoittaa itse asiassa signaalin jaksoittaista jatkumista tarkasteltavan aikavälin rajojen yli.

Sini-kosinin muoto

Tässä
– ympyrätaajuus, joka vastaa signaalin toistojaksoa, joka on yhtä suuri . Kaavaan sisältyvät taajuudet ovat sen kerrannaisia
kutsutaan harmonisiksi, harmoniset numeroidaan indeksin mukaan ; taajuus
jota kutsutaan signaalin :nneksi harmoniseksi. Sarjan kertoimet Ja lasketaan kaavoilla:

,

.

Vakio laskenut yleinen kaava. Tämä termi itsessään edustaa signaalin keskiarvoa ajanjaksolla:

.
Jos
on parillinen funktio, silloin kaikki ovat yhtä suuria kuin nolla ja Fourier-sarjan kaavassa on vain kosinitermit. Jos on pariton funktio, niin päinvastoin, kosinikertoimet ovat nolla ja vain sinitermit jäävät kaavaan.

NELIKULMINEN PULSSIJÄRJESTELMÄ

Suorakulmaisten pulssien sarja amplitudineen , kesto ja toistojakso.

Riisi. 1 Suorakulmaisten pulssien jaksollinen sarja
Tämä signaali on parillinen funktio, joten sen esittämiseksi on kätevämpää käyttää Fourier-sarjan sini-kosinin muotoa - se sisältää vain kosinitermejä, jotka ovat yhtä suuria kuin

.

Jakson suhdetta pulssin kestoon kutsutaan pulssisekvenssin käyttöjakso ja merkitty kirjaimella :
.

Suorakaiteen muotoisten pulssien sekvenssin esitys Fourier-sarjan muodossa:

.

Sarjan harmonisten termien amplitudit riippuvat harmonisesta luvusta.

MUTKITELLA

Edellisen signaalin erikoistapaus on mutkitella– suorakulmaisten pulssien sarja, jonka toimintajakso on kaksi, kun pulssien kestot ja niiden väliset aikavälit ovat yhtä suuret (kuva 2).

Riisi. 2 mutkitella

klo
, saamme

Tässä m on mielivaltainen kokonaisluku.

Kun laajennetaan Fourier-sarjaan, jopa komponentit puuttuvat.

RAMPIN SIGNAALI

Riisi. 3. Ramppisignaali
Tämä signaali on pariton funktio, joten sen Fourier-sarja sini-kosinin muodossa sisältää vain sinitermejä:

.

Fourier-sarja itse sahanhammassignaalille näyttää tältä:

KOLMIOMAINEN PULSSIJÄRJESTELMÄ

Kuva 4. Kolmion muotoinen pulssisekvenssi
Signaali on parillinen funktio, joten kosinikomponentteja tulee olemaan.

Lasketaan Fourier-sarjan kertoimet:

Itse Fourier-sarjalla on seuraava muoto:

Kuten näette, toisin kuin suorakulmaisten ja sahahampaisten pulssien sarjoissa, kolmiomaisessa jaksollisessa signaalissa harmonisten amplitudit pienenevät suhteessa harmonisten lukujen toiseen potenssiin.

Ohjelmakoodi meanderille

t = -1:0,01:1; % aikavektori

A = 1; % amplitudi

harmoniset = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am = 2/pi./nh; % harmoninen amplitudi

Am(2:2:loppu) = -Am(2:2:loppu); % merkkien vaihto

s1 = harmoniset .* repmat(Am", 1, pituus(t));

% strings - harmonisten osittaiset summat

s2 = cumsum(s1);

k=1:N, osakuvaaja(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), loppu

R
ohjelman tulos

Kommentit : repmat– lohkomatriisin tai moniulotteisen lohkotaulukon luominen identtisistä lohkoista. repmat(Am", 1, pituus(t)) – matriisi koostuu 1 lohkosta pystysuunnassa ja pituus(t) lohkoista vaakasuunnassa, jokainen lohko on matriisi Am".

Cumsum– elementtien osittaisten summien laskeminen.

Sivujuoni (Rivit, Cols, N) – komento näyttää useita kaavioita. Graafinen ikkuna on jaettu soluihin matriisin muodossa Rivit– linjat, Cols– sarakkeet ja N– solu muuttuu ajankohtaiseksi.

Vaihtoehdot

Missä , - perusharmonisen taajuus;

() – korkeammat harmoniset; (mukaan lukien ) ja ovat Fourier-kertoimia.

On kätevää laskea funktion vakiokomponentti (keskiarvo) käyttämällä erillistä lauseketta, joka saadaan seuraavista:

On selvää, että jos signaali on ajan parillinen funktio, niin Fourier-sarjan trigonometrisessa esityksessä (1.14) jää jäljelle vain kosinikomponentit, koska kertoimet menevät nollaan. Parittoman ajan funktion määrittelemän signaalin kertoimet päinvastoin muuttuvat nollaan ja sarja sisältää sinimuotoisia komponentteja

Usein on kätevää esittää lauseke (1.15) toisessa, vastaavassa Fourier-sarjan muodossa:

missä , on amplitudi, - alkuvaihe - oh harmonisia.

Kuvassa Kuva 1.10 esittää kaavioita, jotka havainnollistavat suorakaiteen muotoisten pulssien jaksollisen sekvenssin esittämistä Fourier-sarjan äärellisellä määrällä termejä ().

Toiminnon (kuva 1.10) laajennuksella on muoto

Suorakaiteen muotoisten pulssien jaksollinen sarja esitetään vakiokomponentin ja taajuuksilla varustettujen sinimuotoisten signaalien lisäämisen tuloksena, ja sinimuotoisen taajuuden jakso osuu yhteen pulssisekvenssin jakson kanssa. Mukavuuden vuoksi se voidaan esittää muodossa .

Funktion Fourier-sarjan laajennuksen kaikkien harmonisten komponenttien joukkoa kutsutaan funktion spektriksi.

Spektrin yksittäisten harmonisten komponenttien läsnäolo ja amplitudien suuruus voidaan osoittaa selkeästi spektridiagrammin avulla (kuva 1.11), jossa vaaka-akseli toimii taajuusakselina ja pystyakseli amplitudiakselina.

Taajuusakselin pisteet näyttävät funktiolaajennuksen vastaavien harmonisten komponenttien amplitudit.

On helppo huomata, että kahden ensimmäisen laajennusosan summan kuvaaja (1.16) toistaa funktion kuvaajan muodon hyvin karkeasti, vain pääpiirteissään. Kolmannen termin huomioiminen parantaa merkittävästi summan yhteensopivuutta funktion kanssa. Siten, kun harmonisten yliaaltojen lukumäärä otetaan huomioon, esityksen tarkkuus kasvaa.

Käytännössä spektrikaavioita kutsutaan lyhyemmin - amplitudispektri, vaihespektri. Useimmiten kiinnostaa amplitudispektri(Kuva 1.11). Sen avulla voidaan arvioida yliaaltojen prosenttiosuutta, spektrin yksittäisten harmonisten komponenttien läsnäoloa ja tasoja.

Esimerkki 1.1. Laajennetaan Fourier-sarjaksi jaksollinen suorakaiteen muotoisten videopulssien sarja tunnetuilla parametreilla (, , ) (kuva 1.12), jopa suhteessa pisteeseen:

.

Tämän signaalin esittämiseksi käytämme Fourier-sarjan muotoa muodossa (1.12). Suorakulmaisten pulssien sekvenssin spektriesitystä varten on suositeltavaa ottaa referenssipiste pulssin keskeltä. Todellakin, tässä tapauksessa vain kosinikomponentit jäävät laajennukseen, koska parittomien funktioiden integraalit jakson aikana ovat yhtä kuin nolla bk=0.

Kaavojen (1.14) avulla löydämme kertoimet:

, ,

antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa Fourier-sarjan:

,

missä on pulssisekvenssin toimintajakso.

Luodaksemme spektrikaavioita tietyille numeerisille tiedoille oletamme ja laskemme harmoniset kertoimet. Spektrin kahdeksan ensimmäisen komponentin laskemisen tulokset kohdissa , , ja 8 on yhteenveto taulukossa. 1.1 ja rakennetut spektrikaaviot kuvassa 1.13.

Taulukko 1.1. Spektrikomponenttien amplitudit jaksoittaiselle suorakulmaisten pulssien sarjalle

Yllä olevasta esimerkistä seuraa, että käyttöjakson kasvaessa spektrikomponenttien lukumäärä kasvaa ja niiden amplitudit pienenevät.

Spektrikomponenttien lukumäärän valinta riippuu signaalin muodosta ja sen esittämisen tarkkuudesta Fourier-sarjalla. Tasainen aaltomuodon muutos vaatii vähemmän harmonisia samaan esitystarkkuuteen kuin äkillinen aaltomuoto. Suorakaiteen muotoisten pulssien likimääräiseen esitykseen käytännössä katsotaan yleensä, että kolmesta viiteen harmonista riittää.

Jaksottaiset signaalit laajenevat Fourier-sarjoiksi. Kuten edellä mainittiin, voidaan esittää minkä tahansa muotoinen jaksollinen funktio, joka on määritelty yhden jakson T = b-a aikavälillä ja joka täyttää Dirichletin ehdot tälle intervallille (rajoitettu, paloittain jatkuva, äärellisellä määrällä 1. tyyppisiä epäjatkuvuuksia). Fourier-sarjana:

s(t) = S n exp(jnDwt), S n = S(nDw), Dw = 2p/T, (1)

jossa sarjan painotuskertoimet S n määritetään kaavalla:

Sn = (1/T) s(t) exp(-jnDwt) dt. (2)

Fourier-sarja on monimutkaisten eksponentiaalien kokonaisuus exp(jnDwt) taajuuksilla, jotka muodostavat aritmeettisen progression. Painotustoiminto S(nDw) kutsutaan yleensä jaksollisen signaalin kompleksiseksi spektriksi tai funktion s(t) Fourier-muunnokseksi. Jaksottaisen signaalin spektri on diskreetti funktio, koska se määritellään vain n:n kokonaislukuarvoille, joiden taajuusaskel on käänteinen ajanjaksolle: Dw = 2p/T(tai Df = 1/T). Spektrin ensimmäinen taajuuskomponentti, kun n = 1, yhtä suuri kuin w 1 = 1 × Dw = 2 p/T(tai f 1 = 1/T), kutsutaan perus signaalin taajuus (ensimmäinen harmoninen), diskreetin spektrin jäljellä olevat taajuudet nw 1 kun n>1 kutsutaan signaalin harmonisiksi. Arvot S(nDw) n:n positiiviset ja negatiiviset arvot ovat kompleksikonjugaatti.

Puhtaasti matemaattisesta näkökulmasta monia toimintoja exp(jnDwt), -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис lineaarinen avaruus L 2 ortogonaaliset sini-kosinifunktiot ja kertoimet S n kohdan (2) mukaisesti edustavat signaalin s(t) projektiota näihin kantafunktioihin. Vastaavasti Fourier-sarjan (1) muodossa oleva signaali s(t) on ääretön vektori avaruudessa L 2, piste, jonka koordinaatit ovat S n avaruuden exp(jnDwt) perusakseleita pitkin. Eksponentiaalisen funktion integrandi lausekkeessa (2) käyttäen Eulerin identiteettiä

exp(±jwt) = cos(wt) ± j×sin(wt)

voidaan hajottaa kosini- ja sinikomponentteihin ja ilmaista kompleksispektri reaali- ja imaginaariosan muodossa:

Sn = (1/T) s(t) dt = An - jBn. (3)

A n ≡ A(nDw) = (1/T) s(t) cos(nDwt) dt, (4)

B n ≡ B(nDw) = (1/T) s(t) sin(nDwt) dt. (5)

Kuvassa Kuvassa 4 on esimerkki jaksollisesta signaalista (välissä (1-3.3) toistuva suorakaiteen muotoinen pulssi, joka toistuu jaksolla T=40) ja sen spektrin reaali- ja imaginaariosan muodosta. Huomaa, että spektrin reaaliosa on parillinen funktio A(nDw) = A(-nDw) suhteessa nollaan, koska laskettaessa A(nDw):n arvoja kaavalla (4) parillinen kosinifunktio cos (nDwt) = cos(-nDwt) käytetään ). Spektrin imaginaarinen osa on pariton funktio B(nDw) = -B(-nDw), koska sen laskemiseen käytetään (5) paritonta sinifunktiota sin(nDwt) = - sin(-nDwt).

Riisi. 4. Signaali ja sen kompleksispektri.

Monimutkaiset luvut diskreetit funktiot (3) voidaan esittää moduulien ja monimutkaisten argumenttien muodossa. eksponentti, joka antaa seuraavalla lomakkeella monimutkaiset spektrin tietueet:

S n = R n exp(jj n), (3")

R n 2 ≡ R 2 (nDw) = A2 (nDw) + B 2 (nDw), j n ≡ j(nDw) = arctan(-B(nDw)/A(nDw)).

Riisi. 5. Spektrin moduuli ja argumentti.

Spektrimoduulia R(nDw) kutsutaan signaalin kaksipuoleiseksi amplitudispektriksi tai taajuusvasteeksi, ja spektrin argumenttia (vaihekulmien sarja j(nDw)) kutsutaan kaksipuoleiseksi vaihespektriksi tai vaihevasteeksi. . Amplitudispektri on aina parillinen funktio: R(nDw) = R(-nDw), ja vaihespektri on pariton funktio: j(nDw) = -j(-nDw). Esimerkki spektristä amplitudi- ja vaiheesityksenä kuvassa 2 esitetylle signaalille. 4, joka on esitetty kuvassa. 5. Vaihespektriä tarkasteltaessa tulee ottaa huomioon kulmataajuuden 2p jaksollisuus (kun vaihearvo laskee -p:tä pienempään arvoon, -2p-arvo nollataan).

Jos funktio s(t) on parillinen, niin kaikki B(nDw):n arvot kohdan (5) mukaan ovat nolla, koska jopa toimintoja ortogonaalinen siniharmoniset ja integrandin tulo s(t)·sin(nDwt) antaa nollaintegraalin. Näin ollen funktion spektriä edustavat vain todelliset kertoimet. Päinvastoin, jos funktio s(t) on pariton, kaikki kertoimien A(nDw) arvot (parittomat funktiot ortogonaalisille kosiniharmonisille) nollataan ja spektri on puhtaasti kuvitteellinen. Tämä tekijä ei riipu rajojen valinnasta funktion jakson määrittämiseksi numeerisella akselilla. Kuvassa Kuvasta 6(A) näet selvästi sinin ensimmäisen harmonisen ja parillisen funktion ortogonaalisuuden, ja kuvassa 6(B), vastaavasti kosini ja pariton funktio yhden jakson sisällä. Kun otetaan huomioon seuraavien harmonisten taajuuskerroin spektrin ensimmäiseen harmoniseen nähden, ortogonaalisuus säilyy kaikille Fourier-sarjan harmonisille.

Riisi. 6. Funktioiden ortogonaalisuus.

Kun n = 0, meillä on B o = 0 ja saadaan signaalin vakiokomponentti:

S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1/T) s(t) dt.

2.5. Fourier-sarjan trigonometrinen muoto .

Yhdistämällä monimutkaisia ​​konjugaattikomponentteja (sarjan jäseniä, jotka ovat symmetrisiä S 0 -sarjan keskiosan suhteen), voimme siirtyä Fourier-sarjaan trigonometrisessa muodossa:

s(t) = A o +2 (A n cos(nDwt) + B n sin(nDwt)), (6)
s(t) = A o +2 Rn cos(nDwt + j n). (6")

A n:n, Bn:n arvot lasketaan kaavoilla (4-5), R n:n ja jn:n arvot lasketaan kaavoilla (3").

Sarja (6) edustaa jaksollisen signaalin s(t) hajoamista todellisten perusharmonisten funktioiden (kosini ja sini) summaksi painokertoimilla, joiden kaksinkertaiset arvot (eli arvot 2×A n, 2×B n) eivät ole mitään muuta , koska vastaavien harmonisten värähtelyjen amplitudit taajuuksilla nDw. Näiden harmonisten amplitudiarvojen joukko muodostaa signaalin yksipuolisen fyysisesti todellisen (vain positiivisille taajuuksille nDw) spektrin. Kuvan signaalille. Esimerkiksi kuviossa 4 se toistaa kokonaan kuvan oikean puolen kuvassa esitetyistä spektreistä kaksinkertaisilla amplitudiarvoilla (lukuun ottamatta A o:n arvoa nollataajuudella, joka, kuten (6) seuraa, ei kaksinkertaistu ). Mutta tällaista spektrien graafista näyttöä käytetään melko harvoin (paitsi puhtaasti teknisissä sovelluksissa). Kaavaa (6") käytetään laajemmin fyysisesti todellisten spektrien näyttämiseen. Tällaisessa näytössä kosiniharmonisten amplitudien spektriä kutsutaan signaalin amplitudi-taajuuskoostumukseksi ja harmonisten vaihekulmien spektriä on vaiheominaisuus. signaalin muoto toistaa vastaavan kaksipuolisen spektrin oikean puolen (ks. kuva 5) myös kaksinkertaisilla amplitudiarvoilla. vastaavasti parittomille signaaleille ±p/2.

Fourier-sarja mielivaltaisia ​​analogisia jaksollisia signaaleja voi sisältää äärettömän määrän suuri määrä jäsenet. Yksi Fourier-muunnoksen tärkeistä eduista on kuitenkin se, että kun Fourier-sarjaa rajoitetaan (typistetään) mihin tahansa sen termien äärelliseen määrään, saadaan paras approksimaatio alkuperäiseen funktioon keskineliövirheen suhteen (esim. annettu määrä jäsenet).

Kuvan 7 ylempi kaavio esittää rekonstruoitua signaalia kohdassa N = 8 (spektrin ensimmäisen huipun harmoniset, jonka keskipiste vastaa signaalin pääharmonista ja sarjatermiä n = w s /Dw), N = 16 (kahden ensimmäisen piikin harmoniset) ja N = 40 (ensimmäiset viisi spektrin huippua). Luonnollisesti mitä lisää jäseniä rekonstruktioon sisältyvä sarja, sitä lähempänä rekonstruoitu signaali on alkuperäisen signaalin muotoa. Peräkkäisen approksimoinnin periaate alkuperäiseen muotoon näkyy selvästi kuvan alemmassa kaaviossa. Siinä voit myös nähdä syitä sykkien esiintymiseen funktioiden hyppyjen rekonstruoinnissa, joita kutsutaan ns. Gibbsin efekti. Kun sarjan summattujen termien lukumäärä muuttuu, Gibbs-ilmiö ei katoa. Pulsaatioiden suhteellinen amplitudi (suhteessa hypyn amplitudiin) ja suhteellinen vaimennus (pulsaatioiden amplitudin peräkkäisen laskun kertoimella suhteessa maksimipiikkiin) eivät myöskään muutu pulsaatiot, joka määräytyy viimeisten yhteenlaskettujen harmonisten taajuuden mukaan, muuttuvat.

Gibbs-ilmiö esiintyy aina, kun toimintojen monotonisuus rikkoo jyrkästi. Hevoskilpailuissa vaikutus on suurin kaikissa muissa tapauksissa, pulsaatioiden amplitudi riippuu toiminnon monotonisuuden rikkomisen luonteesta.

Välillä (a,b) määritetty mielivaltainen ei-jaksollinen funktio (rajoitettu, leikattu pois toisesta signaalista jne.) voidaan myös laajentaa Fourier-sarjaksi, jos emme ole kiinnostuneita sen käyttäytymisestä tämän intervallin ulkopuolella. On kuitenkin muistettava, että kaavojen (1-6) käyttö tarkoittaa automaattisesti tämän funktion jaksoittaista jatkumista tietyn aikavälin jälkeen (kumpaankin suuntaan siitä) jaksolla T = b-a. Kuitenkin samaan aikaan Gibbs-ilmiö voi esiintyä intervallin reunoilla, jos signaalitaso reunoilla ei ole sama ja signaalihyppyjä muodostuu sen jaksoittaisen toiston aikana, kuten kuvasta 13 voidaan nähdä. 8. Laajennettaessa alkuperäistä funktiota rajoitetuksi Fourier-sarjaksi ja prosessoitaessa sitä taajuusalueella, itse asiassa ei käsitellä alkuperäistä funktiota, vaan rajoitetusta Fourier-sarjasta rekonstruoitua funktiota. Kun Fourier-sarjat katkaistaan, funktioissa on aina tietty vääristymä. Mutta pienellä osalla signaalin katkaisuosan energiaa (funktioiden spektrien nopealla vaimenemisella) tämä vaikutus voi olla vain vähän havaittavissa. Selvimmin se ilmenee hyppyissä ja toimintokatkoissa.

Riisi. 7. Signaalin rekonstruktio (palautus).

Riisi. 8. Gibbs-ilmiön ilmentyminen

Liittyviä tietoja.

Työn tavoite: jaksollisten funktioiden spektrikuvaukseen tutustuminen Fourier-sarjan avulla.

Tarvittavat teoreettiset tiedot. Fourier-sarjan laajennus

Ensimmäinen tarkasteltava signaali on sarja suorakaiteen muotoisia pulsseja, joilla on amplitudi A , kesto ja toistojakso T . Otetaan aikareferenssipiste pulssin keskelle (kuva 1).

Kuva 1. - Suorakaiteen muotoisten pulssien jaksollinen sarja

Tämä signaali on parillinen funktio, joten sen esittämiseen on kätevämpää käyttää Fourier-sarjan sini-kosini-muotoa, sillä se sisältää vain kosinitermejä , yhtä suuri

Esittelemme käyttömäärä
tuloksena olevaan Fourier-sarjan kertoimien kaavaan, ja sitten vähennämme kaavan muotoon
.

Suorakaiteen muotoisten pulssien sekvenssin esittäminen Fourier-sarjan muodossa on muotoa:

Sarjan harmonisten termien amplitudit riippuvat lain mukaan harmonisesta luvusta
(katso kuva 2).
on terälehtinen luonne. Joten keilojen leveys harmonisten lukumääränä mitattuna on yhtä suuri kuin sekvenssin toimintajakso (at
meillä on
, Jos
). Tämä merkitsee suorakaiteen muotoisten pulssien sekvenssin spektrin tärkeää ominaisuutta - se ei sisällä (jolla on nolla amplitudia) harmonisia luvuilla, jotka ovat toimintajakson kerrannaisia.

Riisi. 2 - Fourier-sarjan kertoimet suorakulmaisten pulssien sarjalle.

Taajuusetäisyys vierekkäisten harmonisten välillä on yhtä suuri kuin pulssin toistotaajuus -
. Spektrikeilojen leveys taajuusyksiköissä mitattuna on yhtä suuri kuin
, eli se on kääntäen verrannollinen pulssien kestoon, ts. Mitä lyhyempi signaali, sitä laajempi sen spektri.

Tärkeä edellisen signaalin erikoistapaus on mutkitella(Kuva 3) - suorakaiteen muotoisten pulssien sarja, jonka toimintajakso on yhtä suuri kuin
, kun pulssien kestot ja niiden väliset intervallit ovat yhtä suuret.

Riisi. 3 - mutkitteleva

,

Missä m– mielivaltainen kokonaisluku.

Siten meander-spektrissä on vain parittomat harmoniset. Fourier-sarjan muodossa oleva meanderin esitys tämä huomioon ottaen voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Harmonisten komponenttien, jotka muodostavat meanderin, amplitudit ovat kääntäen verrannollisia harmonisiin lukuihin ja vuorotteleviin etumerkkeihin. Epäjatkuvuuden viereisillä alueilla Fourier-sarjan summa antaa havaittavia pulsaatioita. Tätä ilmiötä, joka on ominaista Fourier-sarjalle kaikille signaaleille, joissa on ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuksia (hyppyjä), kutsutaan Gibbsin efekti. Voidaan osoittaa, että ensimmäisen (suurimman) aallon amplitudi on noin 9 % hypyn suuruudesta.

Kuva 4. Gibbsin efekti.

Rampin muotoinen signaali (kuva 5). jakson sisällä kuvataan lineaarisella funktiolla:

,
.

Tämä signaali on pariton funktio, joten sen Fourier-sarja sini-kosinin muodossa sisältää vain sinitermejä:

Fourier-sarja itse sahanhammassignaalille näyttää tältä:

Riisi. 5 - Ramppisignaali.

Kolmiomaisten pulssien jaksollinen sekvenssi on muodoltaan symmetrinen (kuva 6):

,
.

Riisi. 6 - Kolmiopulssien sekvenssi.

Fourier-sarjalla on seuraava muoto:

Tarkastellaan ohjelmaa, joka toteuttaa suorakaiteen muotoisen pulssisekvenssin Fourier-sarjan laajennuksen.

HARJOITUS 1.