Пост-квантовые доказательства с нулевым разглашением.
Предположим, что Алиса знает доказательство некоторой теоремы и желает убедить Боба в том, что теорема верна. Конечно, Алиса может просто передать доказательство Бобу на проверку. Но тогда впоследствии Боб сможет сам, без помощи Алисы, доказывать третьим лицам эту теорему. А может ли Алиса убедить Боба так, чтобы он не получил при этом никакой информации, которая помогла бы ему восстановить доказательство теоремы? Этим двум, казалось бы взаимно исключающим требованиям, удовлетворяют протоколы доказательства с нулевым разглашением. Последнее понятие было введено Гольдвассер, Микали и Ракоффом в 1985 г. .
Рассматривается следующая модель протокола. В распоряжении Алисы и Боба имеются вероятностные машины Тьюринга соответственно. Вычислительные ресурсы, которые может использовать Алиса, неограничены, в то время как машина V работает за полиномиальное время. Машины имеют общую коммуникационную ленту для обмена сообщениями. После записи сообщения на коммуникационную ленту машина переходит в состояние ожидания и выходит из него, как только на ленту будет записано ответное сообщение. Машины имеют также общую входную ленту, на которую записано входное слово х. Утверждение, которое доказывает Алиса, суть где некоторый фиксированный (известный и Алисе, и Бобу) язык. Чтобы избежать тривиальности, язык должен быть трудным (например, NP-полным), иначе Боб сможет самостоятельно проверить, что По существу, протокол доказательства состоит в том, что Боб, используя случайность, выбирает некоторые вопросы, задает их Алисе и проверяет правильность ответов. Выполнение протокола завершается, когда машина V останавливается, при этом она выдает 1, если доказательство принято, и 0 - в противном случае.
Пусть две интерактивные, т. е. взаимодействующие через общую коммуникационную ленту, вероятностные машины Тьюринга. Через обозначается случайная величина - выходное слово машины А, когда А к В работают на входном слове х. Через обозначается длина слова х.
Определение 4. Интерактивным доказательством для языка называется пара интерактивных машин Тьюринга такая, что выполняются следующие два условия.
1. (Полнота). Для всех
2. (Корректность). Для любой машины Тьюринга для любого полинома и для всех достаточно большой длины
Полнота означает, что если входное слово принадлежит языку и оба участника, и Алиса, и Боб, следуют протоколу, то доказательство будет всегда принято. Требование корректности защищает Боба от нечестной Алисы, которая пытается обмануть его, «доказывая» ложное утверждение. При этом Алиса может каким угодно образом отклоняться от действий, предписанных протоколом, т. е. вместо машины Тьюринга использовать любую другую машину Требуется, чтобы вероятность обмана была в любом случае пренебрежимо малой.
Определение 5. Интерактивный протокол доказательства для языка называется доказательством с абсолютно нулевым разглашением, если, кроме условий 1 и 2, выполнено еще и следующее условие.
3. (Свойство нулевого разглашения). Для любой полиномиальной вероятностной машины Тьюринга V существует вероятностная машина Тьюринга работающая за полиномиальное в среднем время, и такая, что для всех
Машина называется моделирующей машиной для Предполагается, что математическое ожидание времени ее работы ограничено полиномом от длины х. Это означает, что в принципе может, в зависимости от того, какие значения примут используемые в ее работе случайные переменные, работать достаточно долго. Но вероятность того, что время ее работы превысит некоторую полиномиальную границу, мала. Для каждой машины V строится своя моделирующая машина; последняя может использовать V как подпрограмму. Через обозначается случайная величина - выходное слово машины когда на входе она получает слово х.
Свойство нулевого разглашения защищает Алису от нечестного Боба, который, произвольно отклоняясь от действий, предписанных протоколом (используя V вместо V), пытается извлечь из его выполнения дополнительную информацию. Условие 3 означает, что Боб может при этом получить только такую информацию, которую он смог бы вычислить и самостоятельно выполнения протокола) за полиномиальное время.
Приведем в качестве примера протокол доказательства с абсолютно нулевым разглашением для языка из работы Гольдрайха, Микали и Вигдерсона . Входным словом является пара графов и Здесь множество вершин, которое можно отождествить с множеством натуральных чисел множества ребер такие, что Графы называются изоморфными, если существует перестановка на множестве такая, что тогда и только тогда, когда (обозначается Задача распознавания изоморфизма графов - хорошо известная математическая задача, для которой на данный момент не известно полиномиальных алгоритмов. С другой стороны, неизвестно, является ли эта задача NP-полной, хотя есть веские основания предполагать, что не является.
Протокол IG
Пусть изоморфизм между Следующие четыре шага выполняются в цикле раз, каждый раз с независимыми случайными величинами.
1. Р выбирает случайную перестановку на множестве вычисляет и посылает этот граф
2. V выбирает случайный бит а и посылает его
3. Если то посылает V перестановку в противном случае - перестановку о
4. Если перестановка, полученная V, не является изоморфизмом между то V останавливается и отвергает доказательство. В противном случае выполнение протокола продолжается.
Если проверки п. 4 дали положительный результат во всех циклах, то V принимает доказательство.
Заметим, что если в протоколе IG машина получает изоморфизм в качестве дополнительного входного слова, то ей для выполнения протокола не требуются неограниченные вычислительные ресурсы. Более того, в этом случае может быть полиномиальной вероятностной машиной Тьюринга.
Теорема 2 (). Протокол IG является доказательством с абсолютно нулевым разглашением для языка ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ.
Полнота протокола IG очевидна.
Для доказательства корректности достаточно заметить, что бит а, который V выбирает на шаге 2, указывает для какого из графов - или требуется продемонстрировать изоморфизм с графом Если не изоморфны, то может быть изоморфен, в лучшем случае, одному из них. Поэтому проверка п. 4 даст положительный результат с вероятностью 1/2 в одном цикле и с вероятностью во всех циклах.
Доказательство свойства нулевого разглашения значительно сложнее. Поэтому мы воспроизводим только основную идею. Прежде всего, заметим, что основная задача машины V - получить максимально возможную информацию об изоморфизме между Естественно предположить, что она, в отличие от V, будет выдавать в качестве выходного слова не один бит, а всю полученную в результате выполнения протокола информацию, включая содержимое своей случайной ленты, графы и перестановки, полученные соответственно на шагах 1 и 3 протокола IG. Моделирующая машина должна уметь строить такие же случайные строки, графы и перестановки, не зная при этом изоморфизм Поэтому пытается угадать тот бит а, который будет запросом машины V на шаге 2. Для этого выбирает случайный бит случайную перестановку и вычисляет Далее запоминает состояние машины V (включая содержимое случайной ленты) и вызывает ее как подпрограмму, подавал ей на вход граф Ответом машины V будет некоторый бит а. Если то моделирование в данном цикле завершено успешно, поскольку может продемонстрировать требуемый изоморфизм. Если же а то восстанавливает ранее сохраненное состояние машины V и повторяет попытку.
Если в определении свойства нулевого разглашения заменить равенство случайных величин требованием, чтобы их распределения вероятностей «почти не отличались», то получится другая разновидность доказательств - доказательства со статистически нулевым разглашением.
Еще один тип - доказательства с вычислительно нулевым разглашением. В этом случае требуется, чтобы моделирующая машина создавала распределение вероятностей, которое неотличимо от никаким полиномиальным вероятностным алгоритмом (неотличимость здесь определяется аналогично тому, как это делалось в определении псевдослучайного генератора).
Подчеркнем особо, что во всех трех определениях нулевого разглашения условия накладываются на действия моделирующей машины только на тех словах, которые принадлежат языку.
Помимо интереса к доказательствам с нулевым разглашением как к нетривиальному математическому объекту, они исследуются также и в связи с практическими приложениями. Наиболее естественный и важный тип таких приложений - протоколы аутентификации (см. главу 3). С помощью такого протокола Алиса может доказать Бобу свою аутентичность.
Предположим, например, что Алиса - это интеллектуальная банковская карточка, в которой реализован алгоритм а Боб - это компьютер банка, выполняющий программу Прежде чем начать выполнение каких-либо банковских операций, банк должен убедиться в подлинности карточки и идентифицировать ее владельца, или, говоря на языке криптографии, карточка должна пройти аутентификацию. В принципе для этой цели можно использовать приведенный выше протокол IG. В этом случае в памяти банковского компьютера хранится пара графов сопоставленная Алисе, а на интеллектуальной карточке - та же пара графов и изоморфизм Предполагается, что, кроме Алисы, этот изоморфизм никто не знает (кроме, быть может, Боба) и поэтому с помощью протокола IG карточка доказывает свою аутентичность. При этом свойство полноты означает, что карточка наверняка докажет свою аутентичность. Свойство корректности защищает интересы банка от злоумышленника, который, не являясь клиентом банка, пытается пройти аутентификацию, используя фальшивую карточку. Свойство нулевого разглашения защищает клиента от злоумышленника, который, подслушав одно или более выполнений протокола аутентификации данной карточки, пытается пройти аутентификацию под именем Алисы. Конечно, в данном случае бессмысленно доказывать, что пара графов принадлежит языку ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ, поскольку она заведомо выбирается из этого языка. Вместо этого Алиса доказывает, что она знает изоморфизм Интерактивные доказательства такого типа называются доказательствами знания.
Для практического применения очень важным свойством протокола IG, как и других протоколов доказательства знания, является то, что алгоритм получивший в качестве дополнительного входа изоморфизм работает за полиномиальное время. Вместо протокола IG можно использовать, вообще говоря, любое другое доказательство с нулевым разглашением, в котором алгоритм обладает этим свойством. Но для реальных приложений протокол IG, как и большинство подобных протоколов, не эффективен: большое количество циклов, слишком длинные сообщения и т. д. Поиск более эффективных доказуемо стойких протоколов - одно из основных направлений исследований в данной области.
Zero-knowledge proof ) - это интерактивный протокол, позволяющий одной из сторон (проверяющему, verifier) убедиться в достоверности какого-либо утверждения (обычно математического), не получив при этом никакой другой информации от второй стороны (доказывающего, prover).Доказательство с нулевым разглашением должно обладать тремя свойствами:
- Полнота : если утверждение действительно верно, то доказывающий убедит в этом проверяющего.
- Корректность : если утверждение неверно, то даже нечестный доказывающий не сможет убедить проверяющего за исключением пренебрежимо малой вероятности.
- Нулевое разглашение : если утверждение верно, то любой даже нечестный проверяющий не узнает ничего кроме самого факта, что утверждение верно.
Общая структура доказательств с нулевым разглашением
Каждый раунд или аккредитация доказательства состоит из трёх этапов. Схематично их можно изобразить следующим образом:
Сначала A выбирает из заранее определенного множества некоторый элемент, который становится её секретом (закрытый ключ). На основе этого элемента вычисляется, а затем публикуется открытый ключ. Знание секрета определяет множество вопросов, на которые А всегда сможет дать правильные ответы. Затем A выбирает случайный элемент из множества, по определенным правилам (в зависимости от конкретного алгоритма) вычисляет доказательство и затем отсылает его B . После этого B выбирает из всего множества вопросов один и просит A ответить на него (вызов ). В зависимости от вопроса, А посылает B ответ . Полученной информации B достаточно, чтобы проверить действительно ли А владеет секретом. Раунды можно повторять сколько угодно раз, пока вероятность того, что A «угадывает» ответы не станет достаточно низкой.
Такая техника называется также «разрезать и выбрать» (cut-and-choose).
Пример
Назовем проверяющую сторону Петей, а доказывающую сторону Димой (в англоязычной литературе обычно используются пары Peggy (от prover ) и Victor (от verifier ). Допустим Диме известен Гамильтонов цикл в большом графе G . Пете известен граф G , но он не знает гамильтонова цикла в нём. Дима хочет доказать Пете, что он знает гамильтонов цикл, не выдавая при этом ни самого цикла, ни какой-либо информации о нём (возможно Петя хочет купить этот гамильтонов цикл у Димы, но перед этим удостовериться, что он у Димы действительно есть).
Для этого Петя и Дима совместно выполняют несколько раундов протокола:
В каждом раунде Петя выбирает новый случайный бит, который неизвестен Диме, поэтому чтобы Дима мог ответить на оба вопроса, нужно чтобы H был в самом деле изоморфен G и Дима должен знать гамильтонов цикл в H (а значит также и в G ). Поэтому после достаточного числа раундов, Петя может быть уверен в том, что у Димы действительно есть гамильтонов цикл в G . С другой стороны, Дима не раскрывает никакой информации о гамильтоновом цикле в G . Более того, Пете сложно будет доказать кому-либо ещё, что он сам или Дима знает гамильтонов цикл в G .
Предположим, что у Димы нет гамильтонова цикла в G и он хочет обмануть Петю. Тогда Диме необходим неизоморфный G граф G" , в котором он всё-таки знает гамильтонов цикл. В каждом раунде он может передавать Пете либо H" - изоморфный G" , либо H - изоморфный G . Если Петя попросит доказать изоморфизм и был передан H , то обман не вскроется. Аналогично, если он просит показать гамильтонов цикл и был передан H" . В таком случае вероятность того, что Дима все-таки обманет Петю после n раундов, равна 1/2 n , что может быть меньше любой заранее заданной величы при достаточном числе раундов.
Предположим, что Петя не узнал гамильтонов цикл, но хочет доказать Васе, что Дима его знает. Если Петя, например, заснял на видео все раунды протокола, Вася едва ли ему поверит. Вася может предположить, что Петя и Дима в сговоре и в каждом раунде Петя заранее сообщал Диме свой выбор случайного бита, чтобы Дима мог передавать ему H для проверок изоморфизма и H" для проверок гамильтонова цикла. Таким образом без участия Димы доказать, что он знает гамильтонов цикл, можно лишь доказав, что во всех раундах протокола выбирались действительно случайные биты.
Злоупотребления
Предложено несколько способов злоупотребления доказательством с нулевым разглашением:
См. также
- Протокол Гиллу-Кискатра
Литература
- A. Menezes, P.van Oorschot, S. Vanstone. Handbook of Applied Cryptography. - CRC Press, 1996. - 816 с. - ISBN 0-8493-8523-7
- Шнайер Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. - М .: Триумф, 2002. - 816 с. - 3000 экз. - ISBN 5-89392-055-4
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Фонвизина, Наталья Дмитриевна
- Чужумово
Смотреть что такое "Доказательство с нулевым разглашением" в других словарях:
доказательство с нулевым разглашением конфиденциальной информации - Непроницаемое доказательство знания; доказательство обладания какой либо информацией, без разглашения этой информации. Тематики защита информации EN zero knowledge proof …
итеративное доказательство с нулевым разглашением конфиденциальной информации - — Тематики защита информации EN zero knowledge iterative proofZKIP … Справочник технического переводчика
не итеративное доказательство с нулевым разглашением конфиденциальной информации - НДНР — [] Тематики защита информации Синонимы НДНР EN non iterative zero knowledge proofNIZK … Справочник технического переводчика
Криптография - Немецкая криптомашина Lorenz использовалась во время Второй мировой войны для шифрования самых секретных сообщений Криптография (от др. греч … Википедия
Список алгоритмов - Эта страница информационный список. Основная статья: Алгоритм Ниже приводится список алгоритмов, группированный по категориям. Более детальные сведения приводятся в списке структур данных и … Википедия
Криптограф - Немецкая криптомашина Lorenz, использовалась во время Второй мировой войны для шифрования самых секретных сообщений Криптография (от греч. κρυπτός скрытый и γράφω пишу) наука о математических методах обеспечения конфиденциальности… … Википедия
Программируемые алгоритмы - Служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы. Данное предупреждение не устанавл … Википедия
SRP - Secure Remote Password Protocol (SRPP) протокол парольной аутентификации, устойчивый к прослушиванию и MITM атаке и не требующий третьей доверенной стороны. SRP содержит некоторые элементы из других протоколов обмена ключами и идентификации … Википедия
Протокол Фиата - Протокол Фиата Шамира это один из наиболее известных протоколов идентификации с нулевым разглашением (Zero knowledge protocol). Протокол был предложен Амосом Фиатом (англ. Amos Fiat) и Ади Шамиром (англ. Adi Shamir) Пусть А… … Википедия
Протокол Фиата-Шамира - Протокол Фиата Шамира это один из наиболее известных протоколов идентификации с нулевым разглашением (Zero knowledge protocol). Протокол был предложен Амосом Фиатом(англ. Amos Fiat) и Ади Шамиром(англ. Adi Shamir) Пусть А знает некоторый… … Википедия
Мы уже рассматривали, что такое Zk-SNARK или протокол доказательства с нулевым разглашением простыми словами, но в данной статье мы хотели бы больше углубиться в техническую часть данного явления.
Протокол доказательства с нулевым разглашением: как это работает?
Итак, напомним, что доказательство с нулевым соглашением позволяет доказать, что вы являетесь владельцем какой-либо информации без раскрытия ее содержания. Для реализации данной концепции потребуется введение сразу 3 алгоритмов, которые обозначим GK, P и V. Рассмотрим их назначение:
- GK – это генератор ключей, который принимает инпут α и программу C, генерируя два ключа: ключ проверки для пруфера PK и ключ верификации для верификации VK. Эти ключи являются открытыми для всех сторон, участвующих в доказательстве.
- P – это пользователей, которому для доказательства необходимо использовать 3 типа входных данных: 1) ключ проверки PK; 2) рандомный инпут X, который будет общедоступным для сторон; 3) заявление, которое необходимо доказать, не раскрывая его значения – W. Сам алгоритм P порождает доказательство Proof, которое будет удовлетворять следующие условия: Proof = P (PK; X; W).
- V – алгоритм верификатора, который возвращает логическую переменную. Она может быть представлена в двух значениях: TRUE (правда) или FALS (ложь). Итак, верификатор принимает следующие входные данные V(VK; X; Proof), на основании которых он определяет правда это или ложь.
Так работает протокол доказательства с нулевым разглашением. Единственное, о чем хотелось бы поговорить отдельно, – значение α, упомянутое в пункте про GK. Дело в том, что данный параметр существенно усложняет использование Zk-SNARK в реальных приложениях, ведь каждый, кто им владеет, может создать ложный Proof, на который система вернет True. С этой проблемой очень долго боролись разработчики ZCash, криптовалюты, которая использует технологию нулевого доказательства.
Использование доказательства с нулевым разглашением конфиденциальной информации можно пояснить на конкретном примере. Предположим, что имеется пещера. Вход в пещеру находится в точке А, а в точке В пещера разветвляется на две половины - С и D. У пещеры есть секрет: только тот, кто знает волшебные слова, может открыть дверь, расположенную между С и D.
Антону волшебные слова известны, Борису - нет. Антон хочет доказать Борису, что знает волшебные слова, но так, чтобы Борис по-прежнему оставался в неведении относительно этих слов. Тогда Антон может воспользоваться следующим протоколом:
1. Борис стоит в точке А.
2. По своему выбору Антон подходит к двери либо со стороны точки С,
либо со стороны точки D.
3. Борис перемещается в точку В.
4. Борис приказывает Антону появиться или через левый проход к двери,
или через правый.
5. Антон подчиняется приказу Бориса, в случае необходимости используя
волшебные слова, чтобы пройти через дверь.
6. Шаги 1-5 повторяются n раз, где n - параметр протокола.
Допустим, что у Бориса есть видеокамера, с помощью которой он фиксирует все исчезновения Антона в недрах пещеры и все его последующие появления. Если Борис покажет записи всех n экспериментов, произведенных им совместно с Антоном, могут ли эти записи послужить доказательством знания Антоном волшебных слов для другого человека (например, для Владимира)?
Вряд ли. Владимир никогда не сможет удостовериться в том, что Антон каждый раз предварительно не сообщал Борису о своих намерениях, чтобы потом Борис приказывал ему выходить именно с той стороны двери, с какой Антон зашел. Или что из сделанной видеозаписи не вырезаны все неудачные эксперименты, в ходе которых Антон не смог выполнить распоряжения Бориса.
Это означает, что Борис не в состоянии убедить Владимира, лично не присутствовавшего при проведении экспериментов в пещере, в том, что Антон действительно подтвердил свое знание секрета. А значит использованный Антоном протокол доказательства характеризуется именно нулевым разглашением конфиденциальной информации. Если Антон не знает волшебные слова, открывающие дверь в пещере, то, наблюдая за Антоном, не сможет ничего узнать и Борис. Если Антону известны волшебные слова, то Борису не поможет даже подробная видеозапись проведенных экспериментов. Во-первых, поскольку при ее просмотре Борис увидит только то, что уже видел живьем. А во-вторых, потому что практически невозможно отличить сфальсифицированную Борисом видеозапись от подлинной.
Протокол доказательства с нулевым разглашением срабатывает в силу того, что не зная волшебных слов, Антон может выходить только с той стороны, с которой зашел. Следовательно лишь в 50% всех случаев Антон сумеет обмануть Бориса, догадавшись, с какой именно стороны тот попросит его выйти. Если количество экспериментов равно n, то Антон успешно пройдет все испытания только в одном случае из 2 n . На практике можно ограничиться n=16. Если Антон правильно исполнит приказ Бориса во всех 16-ти случаях, значит он и правда знает секрет волшебных слов.
Пример с пещерой является наглядным, но имеет существенный изъян. Борису значительно проще проследить, как в точке В Антон поворачивает в одну сторону, а потом появляется с противоположной стороны. Протокол доказательства с нулевым разглашением здесь попросту не нужен.
Поэтому предположим, что Антону известны не какие-то там волшебные слова, типа “Сезам, откройся”. Нет, Антон владеет более интересной информацией - он первым сумел найти решение этой труднорешаемой задачи. Чтобы доказать данный факт Борису, Антону совсем не обязательно всем и каждому демонстрировать свое решение. Ему достаточно применить следующий протокол доказательства с нулевым разглашением конфиденциальной информации:
1. Антон использует имеющуюся у него информацию и сгенерированное
случайное число, чтобы свести труднорешаемую задачу к другой труднорешаемой задаче, изоморфной исходной задаче. Затем Антон решает эту новую задачу.
2. Антон задействует протокол предсказания бита для найденного на
шаге 1 решения, чтобы впоследствии, если у Бориса возникнет необходимость ознакомиться с этим решением, Борис мог бы достоверно убедиться, что предъявленное Антоном решение действительно было получено им на шаге 1.
3. Антон показывает новую труднорешаемую задачу Борису,
4. Борис просит Антона или доказать, что две труднорешаемые задачи
(старая и новая) изоморфны, или предоставить решение, которое Антон должен был найти на шаге 1, и доказать, что это действительно решение задачи, к которой Антон свел исходную задачу на том же шаге.
5. Антон выполняет просьбу Бориса.
6. Антон и Борис повторяют шаги 1-6 n раз, где n - параметр
протокола.
Труднорешаемые задачи, способ сведения одной задачи к другой, а также случайные числа должны по возможности выбираться так, чтобы у Бориса не появилось никакой информации относительно решения исходной задачи даже после многократного выполнения шагов протокола.
Не все труднорешаемые задачи могут быть использованы при доказательстве с нулевым разглашением конфиденциальной информации, однако большинство из них вполне пригодны для таких целей. Примерами могут служить отыскание в связном графе цикла Гамильтона (замкнутого пути, проходящего через все вершины графа только один раз) и определение изоморфизма графов (два графа изоморфны, если они отличаются только названиями своих вершин).
Красивая терминология является одним из достоинств современной криптографии. Названия панк-групп или ников на Tumbl - вот на что похожи криптографические термины, такие, как "трудный предикат" (hard-core predicate), "функция с секретом" (trapdoor function), или "невозможный дифференциальный криптоанализ" (impossible differential cryptanalysis). Мне кажется, что еще более красиво звучит такой термин, как "нулевое разглашение (zero knowledge) ".
Но красота термина "нулевое разглашение" приводит к злоупотреблению им. Людям сразу кажется, что нулевое разглашение становится синонимом слов "очень, очень безопасно". Из-за этого данные слова добавляют к названиям систем безопасности и анонимных сетей – что на самом деле не имеет ничего общего с протоколом "нулевое разглашение".
Всё это мы сказали для того, чтобы подчеркнуть главное: доказательство с нулевым разглашением (zero knowledge proof) является одним из самых мощных инструментов криптографии из когда-либо разработанных. Но, к сожалению, оно относительно мало изучено. Попробуем дать не математическое объяснение того, что делает ZK (zero knowledge) таким особенным. Здесь мы будем говорить о некоторых актуальных протоколах ZK.
Происхождение нулевого разглашения
До Голдвассера и других, большинство работ в этой области фокусировались на системах доказательства правильности. То есть, на случаях, когда злоумышленник - Испытатель пытается провернуть трюк с Контролёром, подсовывая ему ложное значение. Но Голдвассер, Микали и Ракофф рассмотрели противоположную сторону этой проблемы. Вместо того, чтобы беспокоится только об Испытателе, они спросили: что произойдёт, если вы не доверяете Контролёру?
Особо их обеспокоила возможность утечки информации. Конкретно, они задались вопросом, сколько дополнительной информации получит Контролёр в ходе доказательства самого факта, что утверждение верно?
Важно отметить, что это не просто теоретический интерес. Есть реальные, практические приложения, в которых эти вещи важны.
Вот одно из них: представьте, что клиент в реальном мире хочет войти на веб-сервер, используя пароль. Стандартный подход к проблеме "в реальном мире" включает в себя хранение хэшированной версии пароля на сервере. Логин в такой системе рассматривается как вид "подтверждения", что хэш предоставленного пароля это выход хэширующей функции действующего пароля. И, что более важно, как "подтверждение" того, что клиент действительно знает пароль.
Большинство систем в реальном мире реализуют это "подтверждение" наихудшим образом из возможных. Клиент просто передаёт оригинальный пароль на сервер, который повторно вычислят хэш пароля и сравнивает его с сохранённым значением. Проблема здесь очевидна: сервер получает мой пароль в самом притягательном для хакеров виде "чистый текст". А пользователь может только молится о том, что защита сервера не скомпрометирована.
То, что предложили Голдвассер, Микали и Ракофф, стало надеждой на появление новых методов подтверждения. В случае полной реализации, доказательства с нулевым разглашением смогут дать подтверждение в описанной выше задаче. При этом не разгласив ни одного бита информации, которая соответствует тому, что "это утверждение верно".
Пример из "реального мира"
До сих пор мы разговаривали о довольно абстрактных вещах. Давайте пойдём вперёд и приведём реальный пример (слегка безумный) для протокола "нулевое разглашение".
Чтобы мне было проще объяснить этот пример, давайте представим, что я магнат телекоммуникаций и нахожусь в процессе развёртывания новой сотовой сети. Моя сетевая структура представлена ниже на этом графе. Каждая вершина графа представляет собой мобильный передатчик, и соединяющие линии (грани) показывают места, где две соты перекрываются. В этих местах передатчики будут создавать друг другу помехи. Хорошо, что моя сетевая структура позволяет настроить каждую башню в одном из трёх частотных диапазонов, чтобы избежать такого влияния.
Таким образом, задача развёртывания моей сети сводится к тому, чтобы назначить свою полосу для каждой башни таким образом, чтобы клетки не пересекались. Если мы используем цвета для отображения частотных полос, то можем быстро разработать одно решение для этой проблемы:
Конечно, многие из вас уже заметили. То, что я описал здесь - только частный случай знаменитой теоретической проблемы. Она носит название "проблемы раскраски графа в три цвета ". Вы можете также знать об одной очень интересной особенности этой проблемы. Для некоторых графов очень трудно найти решение или даже определить, что такое решение существует. Задача раскраски графа в три цвета (и поиск ответа на вопрос, существует ли такое решение для данного случая), как известно, относятся к разряду NP-полных задач .
Само собой разумеется, что вышеописанные игрушечные загадки решить просто. Но если бы это не было так просто? Например, представьте, что моя сеть сотовой связи была очень большой и сложной. В этом случае мне бы не хватило вычислительной мощности, чтобы найти решение. В этом случае, было бы желательно поручить решение проблемы кому-нибудь ещё. Тому, у кого достаточно вычислительной мощности. Например, я мог бы попросить Google решить эту задачу.
Но есть одна проблема.
Предположим, что Google уделит мне столько, сколько нужно вычислительных мощностей для того, чтобы найти решение правильной раскраски моего графа. Я, конечно, не собираюсь платить им, пока не буду уверен в том, что у них есть это решение. В то же время, Google не собирается предоставить мне копию решения до тех пор, пока я не оплачу её. Мы в тупике.
В реальной жизни здравый смысл подсказывает нам ответ на эту дилемму, который включает в себя услуги юристов и эскроу-счета. Но здесь мы говорим не о реальной жизни, а о криптографии. И, если вы когда-нибудь читали работы криптографов, то уже знаете, что единственный способ найти решение проблемы - придумать полностью сумасшедшее техническое решение. Сумасшедшее техническое решение (со шляпами)
Представим, что сотрудники Google проконсультировались у Сильвио Микали из MIT, а он расспросил своих коллег Оде Голдрих (Oded Goldreich) и Ави Виджерсон (Avi Wigderson). Посоветовавшись, они разработали протокол, который настолько красив, что даже не требует компьютеров. Будет использоваться большой склад с запасом цветных карандашей и бумаги. Ещё понадобится большое количество шляп.
Рассмотрим, как это работает
Сначала я войду в помещение склада и застелю пол бумагой, чтобы создать пространство для представления моей сотовой сети. Затем я покину склад. Google теперь может войти, перемешать коллекцию карандашей и выбрать три любых цвета (например, красный / голубой / фиолетовый, как в этом примере), и цвет, которым будет обозначено решение. Заметим, что какой конкретно цвет используется, значения не имеет.
Перед тем, как покинуть склад, Google накрывает каждую вершину шляпой. Когда я вернусь, это всё, что я увижу:
Очевидно, что такой подход отлично защитит секрет Google. Но это совсем не поможет мне. Возможно, Google заполняет цвета в случайном, а значит, в неправильном порядке. А может быть, они вообще не заполняли ничего.
Чтобы убедить меня в том, что задача действительно решалась, Google даёт мне возможность "проверить" их результат раскраски графа. Я имею право выбрать, в случайном порядке, одну грань этого графа (то есть, по одной линии между двумя соседними шляпами). Google будет удалять эти две шляпы, показывая мне небольшую часть решения:
Обратите внимание, что у моего эксперимента есть два возможных исхода:
Если две показанные вершины имеют один и тот же цвет (или же вообще не окрашены!) тогда я точно буду уверен, что Google обманывает меня. В этом случае я не заплачу Google даже цента. Если две показанные вершины имеют различные цвета, значит, Google в этом случае не обманывает меня.
Надеюсь, первое утверждение очевидно. Второе потребует более подробного объяснения. Проблема в том, что если даже эксперимент был успешным, Google по-прежнему может обманывать меня. Всё-таки, я заглянул всего лишь под две шляпы. Если существует E различных рёбер в графе, то Google с большой долей вероятности может предоставить ошибочное решение. Например, после одного теста они обманывают меня с вероятностью (E-1) / E (что для 1000 граней будет составлять 99.9%).
К счастью, у Google есть ответ на этот вопрос. Мы просто запустим протокол снова!
Мы берём чистую бумагу для создания новой копии графа. Google теперь берёт новую случайную перетасовку трёх цветных карандашей. Затем они заполняют граф верным решением, но используя новый случайный набор трёх цветов.
Опять проводим операцию со шляпами. Я возвращаюсь, и в случайном порядке выбираю новые вершины. Ещё раз обратимся к логике, описанной выше. В этот раз, если всё пройдёт хорошо, я буду гораздо более уверен, что Google говорит мне правду. Это связано с тем, что, для того, чтобы обмануть меня, Google должно было повезти два раза.
Такое событие может произойти - но его вероятность будет ещё ниже. Вероятность того, что Google одурачит меня два раза подряд, составляет (E-1) / E * (E-1) / E (или около 99.8% вероятности для нашего примера с 1000 граней).
К счастью, мы не должны останавливаться на двух попытках. Мы будем пробовать снова и снова, пока не убедимся, что Google, с высокой долей вероятности, говорит правду.
Я призываю вас не верить мне на слово. Опробуйте этот Javascript, и убедитесь в этом самостоятельно.
Обратите внимание, что я никогда не уверен полностью, что Google честен – всегда остаётся крошечная вероятность, что они обманывают меня. Но, после большого количества итераций (E ^ 2, как в нашем случае) я в конце концов дойду до точки, в которой Google обманывает меня с пренебрежимо малой вероятностью – достаточной для применения на практике. После этого я спокойно могу отдать деньги Google.
Важно, что Google в этом случае также защищён. Если я попытаюсь узнать что-либо, сохраняя и анализируя заметки между запусками протокола, то потерплю неудачу Это вызвано тем, что Google при каждой итерации использует цвета, выбранные в случайном порядке. Ограниченная информация, которую я могу получить, не даст мне ничего. Для меня не существует способа связать эти данные воедино.
Что делает этот пример "нулевым разглашением"?
Я пытаюсь убедить вас, что этот протокол не позволяет просочиться информации о решении Google. Но вам не нужно верить мне на слово! Первое правило криптографов заключается в том, чтобы никогда не верить таким вещам без доказательств.
Голдвассер, Микали и Ракофф предложили три критерия, которым должен отвечать каждый протокол "нулевое разглашение". Неформально их можно описать так:
Полнота. Если Google говорит мне правду, то я должен получить убедительные доказательства этого (доказательства с высокой вероятностью). Надёжность. Google может убедить меня только в том случае, если действительно говорит правду. "Нулевое разглашение" (этот критерий действительно так и называется). Я не должен узнать ничего больше, кроме полученного решения Google.
Мы уже обсудили аргументы в пользу полноты. Протокол в конечном счёте убедит меня (с пренебрежимо малой вероятностью ошибки), если запустить его достаточное число раз. Надёжность тоже достаточно легко показать. Если Google попытается обмануть меня, я обнаружу это в подавляющем большинстве случаев.
Самым сложным свойством осталось "нулевое разглашение". Чтобы разобраться в нём, сделаем довольно странный мысленный эксперимент.
Мысленный эксперимент с машинами времени
Во-первых, давайте начнём с сумасшедшего предположения. Представим, что инженеры Google вовсе не так умны, как люди думают о них. Они работают над этой проблемой неделю за неделей, и им никак не удаётся найти решение. За двенадцать часов до окончания дедлайна в Google впадают в отчаяние. Они решают обмануть меня, и говорят, что у них есть раскраска для графа (хотя на самом деле её у них нет).
Их идея состоит в том, чтобы заглянуть в мастерскую GoogleX и позаимствовать на время прототип машины времени от Google. Первоначальным планом было отправиться на несколько лет назад и использовать дополнительное рабочее время на поиск новых решений проблемы. К сожалению, как и в случае с многими другими прототипами Google, машина времени имела ряд ограничений. Самое важное: она может отправиться во времени назад только на четыре с половиной минуты.
Таким образом, отпадает использование машины времени для увеличения времени на выполнение работы. Но всё-таки, оказалось, что эта весьма ограниченная технология может использоваться, чтобы обмануть меня.
Я действительно не знаю, что здесь происходит. Но кажется, это кстати.
План оказался дьявольски простым. Если Google не знает, каким образом должен быть окрашен граф, они просто случайным образом окрашивают бумагу, а затем накрывают вершины шляпами. Если, по счастливой случайности, вершины окажутся разных цветов, мы все вздохнём с облегчением и буде продолжать работу, считая, что всё нормально.
Предположим, я снимаю пару шляп и обнаруживаю две вершины одного и того же цвета. Если протокол реализован обычным образом, Google в этом случае потерпит фиаско. Но мы пользуемся машиной времени. Всякий раз, когда Google находит себя в неловком положении, он просто исправляет эту ситуацию. То есть, специально назначенный сотрудник Google дёргает рубильник, время перематывается назад на четыре с половиной минуты, и команда Google раскрашивает граф совершенно новым случайным решением. После этого они перематывают время вперёд и пробуют снова.
По сути, машина времени позволяет Google "починить" любой неудачный вход в протокол таким образом, чтобы я ничего не заподозрил. Так как плохие результаты будут происходить только в 1/3 случаев, ожидаемое время выполнения протокола (с точки зрения Google) только незначительно больше, чем в случае честного выполнения протокола. С моей точки зрения, я даже не знаю, что эти путешествия во времени происходят.
Этот последний пункт является наиболее важным. С моей точки зрения, я одинаково взаимодействую с протоколом, есть машина времени или её нет. И всё же, стоит отметить ещё раз - в версии с машиной времени Google не имеет абсолютно никакой информации о том, как нужно раскрасить граф.
И что же из этого следует?
То, что мы только что показали - теоретический пример. В мире, где время бежит только вперёд, и никто не может обмануть меня с машиной времени, протокол с использованием шляп работает правильно. После E ^ 2 раундов его запуска я должен убедиться (не полностью, но с пренебрежимо малой вероятностью обмана), что граф окрашен правильно и Google обеспечил верную информацию.
Если же временем можно манипулировать (в частности, если Google может "перемотать время"), то он может подделать протокол, даже если вообще не имеет информации о том, как должен быть окрашен граф.
С моей точки зрения, какая разница между этими двумя протоколами? Они имеют одинаковое статистическое распределение и передают одинаковое количество полезной информации.
Верьте или не верьте, это доказывает нечто очень важное.
В частности, предполагается, что я (Контролёр) (Verifier) имею какую-то стратегию, которая позволит "извлечь" полезную информацию о том, как Google производит окрашивание, в случае запуска честного протокола. Тогда моя стратегия должна так же хорошо работать в том случае, если меня дурачат с машиной времени. Запуски протокола, с моей точки зрения, статистически идентичны. Я физически не могу показать разницу.
Таким образом, полностью идентично количество информации, которое я получу в "реальном эксперименте" и "эксперименте с машиной времени". Количество информации, которое Google вкладывает в случае эксперимента с "машиной времени", в точности равно нулю. Следовательно, даже в реальном мире не произойдёт утечки информации. Осталось только показать, что у компьютерщиков есть машина времени (тсс, это секрет).
Как избавиться от шляп и машин времени
Конечно, на самом деле мы не хотели бы запускать протокол, пользуясь шляпами. И даже у Google (скорее всего) нет настоящей машины времени.
Чтобы связать все эти вещи вместе,нам нужно перенести этот протокол в цифровой мир. Для этого нам потребуется цифровой аналог "шляпы": то, что скрывает цифровое значение, и в то же время "связывает" значение и его создателя (создавая "обязательство"), таким образом, чтобы он не мог изменить своё мнение.
К счастью, у нас есть прекрасный инструмент для этого приложения. Он называется цифровой схемой обязательства (digital commitment scheme). Схема обязательства позволяет одной из сторон создать для сообщения "обязательство", сохраняя при этом его в секрете, а позже открыть "обязательство", чтобы посмотреть, что внутри. Они могут быть построены из различных компонентов, в том числе из сильных криптографических функций хэширования.
Получив схему обязательства, мы собрали все компоненты, чтобы запустить в электронном виде протокол нулевого разглашения. Испытатель сначала кодирует окраску вершин в виде набора цифровых сообщений (например, числами 0, 1, 2), затем генерирует цифровые обязательства для каждой. Эти обязательства пересылаются для Контролёра. Когда Контролёр открывает один край, Испытатель показывает значения для обязательств, которые соответствуют двум вершинам.
Так нам удалось избавиться от шляп. Но как мы докажем, что этот протокол имеет нулевое разглашение?
Но мы ведь сейчас находимся в цифровом мире. Поэтому нам не нужна машина времени, чтобы подтвердить то, что протокол работает. Ключевая хитрость заключается в том, что протокол будет работать не между двумя людьми, а между двумя различными компьютерными программами (или, говоря более формально, двумя вероятностными машинами Тьюринга (probabilistic Turing machines.)
Сейчас мы можем доказать следующую теорему: если Контролёр собирается извлечь полезную информацию при обычном запуске протокола, он получит то же количество полезной информации, что и при "обманном" запуске протокола, где Испытатель не вложил никакой информации с самого начала.
Мы с вами говорим о компьютерных программах, а они умеют "возвращаться назад во времени". Например, рассмотрим возможность использования виртуальной машины, которая умеет делать моментальные снимки. Пример "перемотки времени" с использованием виртуальных машин. Первоначально виртуальная машина идёт по одному пути, возвращается к исходному состоянию, затем выполнение разветвляется на новый путь.
Даже если не рассматривать виртуальные машины, любую компьютерную программу можно "перемотать" к предыдущему состоянию, просто запустив программу с самого начала и послав на вход те же самые данные. При условии, что входы, (в том числе ввод случайных чисел), фиксированы, программа всегда будет следовать по одному и тому же пути выполнения. Так мы можем перемотать программу, запустив её со старта и "разветвив" её выполнение, когда программа достигнет некоторой нужной точки.
В конечном счёте, то, что мы получаем, можно представить в виде теоремы. Если для Контролёра существует компьютерная программа, которая успешно извлекает полезную информацию от Испытателя (интерактивно работая с протоколом), то Испытатель может использовать трюк с перемоткой программы, подсовывая Контролёру случайные решения. Используется логика, которую мы уже применяли выше: если Контролёр успешно может извлечь информацию, запустив реальный протокол, значит, он получит то же количество информации, запустив поддельный протокол, основанный на перемотке программы назад. Но так как поддельный протокол не передаёт полезных данных, нет никакой информации, которую можно извлечь. Таким образом, информация, которую может извлечь Контролёр, всегда равняется нулю.
Что же из этого всего следует?
Подытожив, можно сказать, что протокол является полным и надёжным. О надёжности можно говорить в любой ситуации, в которой обе стороны не пытаются обмануть друг друга.
В то же время, протокол имеет нулевое разглашение. Чтобы доказать это, мы показали, что программа, которую запускает Контролёр для извлечения информации, будет в состоянии извлечь данные из программы, в которой нет осмысленных данных. Это приводит к очевидному противоречию, которое говорит нам, что протокол в любой ситуации не имеет утечек информации.
Это даёт нам важные преимущества. Так как любой может создать поддельную запись протокола, (как в примере с Google, когда они пытались убедить меня, что у них есть решение), я не могу переиграть запись протокола, чтобы доказать свою правоту кому-либо ещё (например, судье). Судья скажет, что не уверен в том, что запись сделана честно и не отредактирована (как в примере с Google и использованием машины времени). Это означает, что стенограмма протокола сама по себе не содержит никакой информации. Протокол имеет смысл только, если я сам принимал участие, и могу быть уверенным, что всё происходило в реальном времени.
Доказательства для всех NP!
Для тех, кто добрался до этого момента, у меня есть важные новости. Задача раскраски сотовой сети в три цвета является интересной сама по себе, но это ещё не всё. По-настоящему интересная вещь о задаче раскраски в три цвета - то, что она относится к классу NP-полных. А это значит, что любая другая проблема, которая относится к классу NP, может быть сведена к этой.
Проще говоря, Голдрих, Микали и Виджерсон доказали , что "эффективные" ZK существуют для обширного класса полезных задач. Многие из них являются гораздо более интересными, чем задача о присвоении частот в сотовой сети.
Вы просто находите утверждение (в NP) которое хотите проверить, и переводите его в проблему раскраски графа в три цвета. С этой точки вы можете запустить цифровую версию нашего протокола со шляпами.
Вместо итогов
Конечно, сразу начать использовать этот протокол на практике было бы безумно глупо. Его вычислительная стоимость будет включать в себя общий размер первоначального заявления и свидетельства, плюс стоимость перевода задачи в граф, и ещё E ^ 2 запусков протокола, которые необходимы для того, чтобы убедиться в правильности решения. Теоретически это "эффективно", но так как общая стоимость доказательства будет многочленом от длины входа, на практике это не применимо.
Так что мы пока что доказали только то, что такие доказательства возможны. Осталось найти такие доказательства, которые являются достаточно практичными для реального использования.
Примечания
* Формально, целью интерактивного доказательства является убеждение Контролёра, что определённая строка принадлежит какому-либо языку. Обычно Испытатель в задачах имеет неограниченную мощность, а Контролёр ограничен в возможности расчётов.
** Этот пример основан на оригинальном решении Голдвассера, Микали и Ракофф, и учебном примере с использованием шляп, который разработал Сильвио Микали.
****** Простой пример обязательства может быть построен с использованием примера хэширующей функции. Для создания обязательства значения "x" мы просто генерируем некоторую (достаточно длинную) строку случайных чисел, которую назовём "соль", и выходное обязательство C = хэш (соль || x). Чтобы открыть обязательство, вы просто открываете "x" и "соль". Любой желающий может проверить, что первоначальное обязательство действует, пересчитав хэш повторно. Это безопасный метод при некоторых, умеренно сильных, предположениях о самой функции.
