Doelfunctie. Oplossen van met behulp van de lineaire programmeermethode

Oplossen van directe en duale lineaire programmeerproblemen met Python

Invoering

Verklaring van het probleem

Het is echter bekend dat elk lineair programmeerprobleem correspondeert met een zogenaamd gedistingeerd (duaal) probleem. Daarin veranderen rijen, vergeleken met het directe probleem, in kolommen, veranderen ongelijkheden van teken, in plaats van een maximum wordt naar een minimum gezocht (of omgekeerd, in plaats van een minimum wordt naar een maximum gezocht). De taak die tweeledig is ten opzichte van de dubbele taak is de oorspronkelijke taak zelf.

Het oplossen van het dubbele probleem is erg belangrijk voor het analyseren van het gebruik van hulpbronnen. In deze publicatie zal worden bewezen dat de optimale waarden van de objectieve functies in het originele en duale probleem samenvallen (dat wil zeggen, het maximum in het oorspronkelijke probleem valt samen met het minimum in het duale).

De optimale waarden van materiaal- en arbeidskosten zullen worden beoordeeld op basis van hun bijdrage aan de objectieve functie. Het resultaat zullen “objectief bepaalde schattingen” zijn van grondstoffen en arbeid die niet samenvallen met de marktprijzen.

Oplossing van het directe probleem van het optimale productieprogramma

Doelfunctie
maxF(x)=c×x

Beperkingen
A×x≤b

Numerieke waarden van variabelen:
N=5; m=4; b_ub = ; A_ub = [, , ,]; c = .

Taken
1. Zoek x om maximale winst te garanderen
2. Zoek de bronnen die zijn gebruikt bij het uitvoeren van stap 1
3. Zoek de resterende bronnen (indien aanwezig) bij het uitvoeren van stap 1

Om het maximum te bepalen (standaard wordt het minimum bepaald, moeten de coëfficiënten van de objectieve functie worden geschreven met een negatief teken c = [-25, -35,-25,-40,-30] en het minteken negeren voorkant van de winst.

Notaties die worden gebruikt om de resultaten weer te geven:
X– een array van variabele waarden die het minimum (maximum) van de doelfunctie verschaffen;
slap– waarden van aanvullende variabelen. Elke variabele komt overeen met een ongelijkheidsbeperking. Een variabele waarde nul betekent dat de overeenkomstige beperking actief is;
succes– Klopt, als de functie erin slaagt de optimale oplossing te vinden;
status– beslissingsstatus:
0 – de zoektocht naar de optimale oplossing is succesvol afgerond;
1 – de limiet van het aantal iteraties is bereikt;
2 – het probleem kent geen oplossingen;
3 – de objectieve functie is niet beperkt.
neet– aantal uitgevoerde iteraties.

Opsomming van de oplossing voor het directe optimalisatieprobleem

#!/usr/bin/python # -*- codering: utf-8 -*- importeer scipy van scipy.optimize import linprog # laden LP-bibliotheek c = [-25, -35,-25,-40,-30] # lijst met coëfficiënten van de doelfunctie b_ub = # lijst met resourcevolumes A_ub = [, # matrix van specifieke resourcewaarden, , ] d=linprog(c, A_ub, b_ub) # zoeken naar een oplossing voor key,val in d.items(): print(key ,val) # oplossingsuitvoer if key=="x": q=#gebruikte bronnen print("A_ub*x",q) q1= scipy.array(b_ub)-scipy.array (q) #resterende bronnen print(" b_ub-A_ub*x", q1)

Conclusies

1. Het optimale plan voor productsoorten werd gevonden
2. Het daadwerkelijke gebruik van bronnen gevonden
3. De rest van het ongebruikte vierde type hulpbron werd gevonden [ 0, 0 0,0 0,0 90,909]
4. Er zijn geen berekeningen nodig volgens stap 3, omdat hetzelfde resultaat wordt weergegeven in de slack-variabele

Oplossing van het dubbele probleem van het optimale productieprogramma

Laten we een nieuw doel voor de gewenste variabele x introduceren, namelijk een ‘schaduwprijs’ die de waarde van een gegeven hulpbron bepaalt in relatie tot de winst uit de verkoop van gefabriceerde producten.

C – vector van beschikbare hulpbronnen;
b_ub is de winstvector uit de productie van een eenheid van elk type product;
A_ub_T – getransponeerde matrix A_ub.

Doelfunctie
minF(x)=c×x

Beperkingen
A_ub_T ×x≥ b_ub

Numerieke waarden en relaties voor variabelen:
c =; A_ub_T transponeren(A_ub); b_ub = .

Taak:
Zoek x die de waarde voor de producent van elk type hulpbron aangeeft.

Kenmerken van de oplossing met de scipy-bibliotheek. optimaliseren
Om beperkingen van bovenaf te vervangen door beperkingen van onderaf, is het noodzakelijk om beide delen van de beperking met min één te vermenigvuldigen – A_ub_T ×x≥ b_ub... Om dit te doen, schrijft u de originele gegevens in de vorm: b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30]; A_ub_T =- scipy.transpose(A_ub).

Lijst van de oplossing voor het dubbele optimalisatieprobleem

#!/usr/bin/python # -*- codering: utf-8 -*- importeer scipy van scipy.optimize import linprog A_ub = [, , , ] c= b_ub = [-25, -35,-25,- 40,-30] A_ub_T =-scipy.transpose(A_ub) d=linprog(c, A_ub_T, b_ub) voor sleutel,val in d.items(): print(sleutel,val)

Conclusies

Resultaten van vergelijking van directe en dubbele problemen

1. Het dubbele probleem breidt de mogelijkheden van productplanning uit, maar dan met behulp van scipy. optimize wordt opgelost in tweemaal het aantal directe iteraties.
2. De slack-variabele geeft informatie weer over de activiteit van beperkingen in de vorm van ongelijkheden, die bijvoorbeeld kunnen worden gebruikt om grondstoffenbalansen te analyseren.
3. Het directe probleem is een maximalisatieprobleem, en het duale probleem is een minimalisatieprobleem, en omgekeerd.
4. De coëfficiënten van de objectieve functie in het directe probleem zijn beperkingen in het duale probleem.
5. Beperkingen in het directe probleem worden coëfficiënten van de objectieve functie in het duale probleem.
6. De tekenen van ongelijkheid in beperkingen zijn omgekeerd.
7. De matrix van het systeem van gelijkheid wordt getransponeerd.

Objectieve functie

Een functie die het doel (de variabele die wordt geoptimaliseerd) relateert aan de gecontroleerde variabelen in een optimalisatieprobleem.

Het is belangrijk dat het criterium altijd van buitenaf wordt geïntroduceerd, en pas daarna wordt gezocht naar een beslisregel die de objectieve functie minimaliseert of maximaliseert.

Zie ook

• Burak Ya I., Ogirko I. V. Optimale verwarming van een cilindrische schaal met temperatuurafhankelijke materiaaleigenschappen // Mat. methoden en fysisch-mechanisch velden. - 1977. - Uitgave. 5. - Blz. 26-30

Stichting Wikimedia.

• 2010.
• Centraal Onderzoeksinstituut voor Robotica en Technische Cybernetica

1885 in het theater

Kijk wat "Doelfunctie" is in andere woordenboeken: objectieve functie

- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engels-Russisch woordenboek voor elektrotechniek en energietechniek, Moskou, 1999] objectieve functie Bij extreme problemen: een functie waarvan het minimum of maximum moet worden gevonden. Dit… … Objectieve functie

Kijk wat "Doelfunctie" is in andere woordenboeken:- bij extreme problemen een functie waarvan het minimum of maximum moet worden gevonden. Dit is een sleutelbegrip bij optimaal programmeren. Nadat ik het extremum van C.f. en daarom, na het bepalen van de waarden van de gecontroleerde variabelen die ernaartoe gaan... ... - 3.1.8 Bedrijfsfunctie: Een reeks processen die ervoor zorgen dat een specifiek bedrijfsdoel wordt bereikt. Bron: R 50.1.041 2002: Infor...

Kijk wat "Doelfunctie" is in andere woordenboeken: Woordenboek-naslagwerk met termen van normatieve en technische documentatie

- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engels-Russisch woordenboek voor elektrotechniek en energietechniek, Moskou, 1999] objectieve functie Bij extreme problemen: een functie waarvan het minimum of maximum moet worden gevonden. Dit… …- tikslo funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. objectieve functie vok. Zielfunktion, f rus. doelfunctie, f; objectieve functie, f pranc. functie van de cible, f … Automatikos terminų žodynas - een functie waarvan de extreme waarde wordt gezocht op een toelaatbare set in wiskundige programmeerproblemen (zie Wiskundig programmeren) ...

Grote Sovjet-encyclopedie DOELFUNCTIE - doelfunctie de naam van de functie die wordt geoptimaliseerd bij wiskundige programmeerproblemen...

- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engels-Russisch woordenboek voor elektrotechniek en energietechniek, Moskou, 1999] objectieve functie Bij extreme problemen: een functie waarvan het minimum of maximum moet worden gevonden. Dit… … Wiskundige encyclopedie - (een conventionele naam die relatief correct alleen kan worden toegepast op systemen die door de mens voor een specifiek doel zijn gemaakt), bestaat niet in de objectieve wereld, daar vindt een systeemvormende factor plaats...

Theoretische aspecten en grondslagen van het milieuprobleem: vertolker van woorden en ideomatische uitdrukkingen Consumptie objectieve functie - 1. Deze term, evenals een aantal gelijkwaardige of bijna gelijkwaardige termen (levensstandaardfunctie, welvaartsfunctie, sociale nutsfunctie, consumptiefunctie, etc.) duiden in ... ...

Economisch en wiskundig woordenboek- 1. Deze term, evenals verschillende gelijkwaardige of bijna gelijkwaardige termen (levensstandaardfunctie, welvaartsfunctie, sociale nutsfunctie, consumptiefunctie, enz.) duiden de doelfunctie aan in theoretische studies... ... Handleiding voor technische vertalers

doelfunctie van een geautomatiseerd medisch systeem- AMS-doelfunctie Een reeks acties van een geautomatiseerd medisch systeem dat de effectieve implementatie van een bepaald medisch programma garandeert. [GOST 27878 88] Onderwerpen van medische systemen en complexen Algemene voorwaarden van systemen en... ... Handleiding voor technische vertalers

Boeken

• Een benadering voor het organiseren van een adaptief leermanagementsysteem gebaseerd op het gebruik van informatietechnologie, A. V. Anastasin. De kwestie van het gebruik van informatietechnologie in het onderwijsproces van instellingen voor hoger onderwijs wordt al lange tijd voortdurend besproken op verschillende niveaus. Dit komt door de snelle...

waar zijn de vaste kosten die niet afhankelijk zijn van de verwerkingswijze, min;

Hier - voorbereidend - eindtijd voor de operatie, min;

Batchgrootte van verwerkte onderdelen;

Hulpbedrijfstijd, min;

Onderhoudstijd exclusief gereedschapvervangingstijd, min;

Rusttijd van de werknemer, min;

Tijdkosten die gepaard gaan met het vervangen van een saai stuk gereedschap en de overeenkomstige aanpassing van het technologische systeem;

wanneer is het tijd om het gereedschap en de bijbehorende maataanpassing te vervangen;

Diameter en lengte van de verwerkte as;

Coëfficiënt voor het berekenen van de snijsnelheid;

Snijsnelheid;

Snijdiepte;

Hier zijn de exponenten in de formules voor het berekenen van de snijomstandigheden.

Analyse van de tijdobjectieffunctie maakt het mogelijk om reserves voor extra productiviteitsverhogingen te onthullen en optimale snijomstandigheden te bepalen die minimale kosten voor de bewerking garanderen.

Objectieve kostenfunctie Als we het voorbeeld van schachtverwerking gebruiken, ziet het er als volgt uit:

Hier zijn de kosten van het materiaal;

Uitgaven per tijdseenheid voor respectievelijk de werking van apparatuur, apparaten, lonen, rekening houdend met overheadkosten;

Tijd voor gereedschapsvervanging en passende maataanpassing;

De kosten van de tool gedurende de gebruiksperiode.

Het eerste lid van de uitdrukking bepaalt de vaste kosten van het materiaal, de kosten die verband houden met de voorbereidings- en eindtijd en de servicetijd. De tweede term van de uitdrukking bepaalt de kosten van het snijgereedschap en de uitvaltijd bij vervanging ervan. De derde term van de uitdrukking bepaalt de kosten die rechtstreeks verband houden met het snijproces.

Volumeplanning van technologische machinesystemen

Deze en alle daaropvolgende lezingen zijn gewijd aan de kwesties van wiskundige modellering en optimalisatie van technologische werktuigmachines.

Volumetrische planning van het werk van het mechanische gedeelte wanneer de maximale belasting van technologische apparatuur is bereikt

Verklaring van het probleem. Beschikbaar M– machines ( M– groepen machines) waarop ze kunnen worden vervaardigd N– soorten onderdelen. Complexiteit van verwerking J- details over i– m machine is , uur. De bedrijfstijd van elke machine (groep machines) is bekend - B i. De initiële gegevens voor het oplossen van het probleem zijn weergegeven in Tabel 14.1.

Tabel 14.1. Initiële gegevens voor het oplossen van het probleem, gepresenteerd in algemene vorm

Moet bepalen het aantal onderdelen van elk type, tijdens de verwerking waarvan de maximale belasting van de locatieapparatuur wordt bereikt.

Wiskundig model om het probleem op te lossen zullen we schrijven:

Beperkingen:

Het probleem wordt opgelost met behulp van de lineaire programmeermethode. Houd rekening met het volgende. Het aantal beperkingen van de vorm (14.1) - (14.3) in het wiskundige model moet strikt gelijk zijn aan het aantal machines (groepen machines) van de site. Bij het oplossen van een probleem met een computer is het aantal machines (groepen machines), evenals de soorten onderdelen, vrijwel onbeperkt en wordt alleen bepaald door de mogelijkheden van de computer en het bijbehorende programma. Bij het handmatig oplossen van een probleem met behulp van de grafisch-analytische methode is het aantal typen machines (groepen machines) ook niet beperkt, maar het vergroten ervan zal uiteraard leiden tot een toename van de rekentijd. Het aantal soorten onderdelen mag niet groter zijn dan twee, omdat anders zal het onmogelijk zijn om de noodzakelijke grafische constructies op het vlak uit te voeren.

Voorbeeld. De brongegevens voor het voorbeeld worden gegeven in Tabel 14.2.

Tabel 14.2. Eerste gegevens voor het oplossen van het probleem

Laten we aangeven met het aantal onderdelen van type D 1, met het aantal onderdelen van type D 2.

Wiskundig model om dit probleem op te lossen, wordt als volgt geschreven:

Beperkingen(afhankelijk van de bedrijfstijd van de apparatuur):

Het is vereist om waarden te vinden die voldoen aan de gegeven beperkingen (14.6) – (14.10) en het maximum van de objectieve functie (14.11) te garanderen. De parameters zijn gecontroleerde parameters in een wiskundig model.

Laten we het probleem oplossen met behulp van de grafo-analytische methode (zie les 6). Een grafische illustratie van de oplossing voor het probleem wordt getoond in Fig. 14.1.

Afb. 14.1. Grafische illustratie van de probleemoplossing

Berekeningen voor het construeren van restricties (14.6) – (14.8):

Door een rechte lijn parallel hieraan te tekenen, vinden we het contactpunt met de ODR-grens ervan - dit is punt A. Om de coördinaten ervan te vinden (de snijpunten van beperkingen 14.7 en 14.8), lossen we het volgende stelsel vergelijkingen op:

Die. Eindelijk

De maximale waarde van de objectieve functie (maximale belasting van de locatieapparatuur) met optimale waarden van de vereiste parameters zal zijn:

Probleem met minimale apparatuurbelasting

Deze en daaropvolgende problemen worden in deze lezing gepresenteerd op het niveau van het stellen van het probleem en het vormen van een wiskundig model om het op te lossen. Ze worden allemaal opgelost met behulp van lineaire programmeermethoden.

Beschikbaar M machines waarop ze kunnen worden vervaardigd N soorten onderdelen. Prestatie i-de machine bij het vervaardigen van een onderdeel J- soort is C ij. Waarden van geplande taken Een j voor productie J- details en tijdbron B ik werk i-de machine worden gegeven in Tabel 14.3.

Tabel 14.3 Initiële gegevens voor het oplossen van het probleem

Het is nodig, rekening houdend met de bedrijfstijdbronnen van elke machine, om taken zodanig over de machines te verdelen dat de totale bedrijfstijd van alle machines minimaal is.

Laten t ij- productietijd J- oh details i- m-machine. Laten we voor elke machine de tijdresourcebeperkingen opstellen:

De oplossing voor het probleem is het minimaliseren van de lineaire objectieve functie (totale tijd)

(14.14)

onder beperkingen (14.12), (14.13) en de voorwaarde dat alle variabelen .

Het probleem van de optimale verdeling van onderdelen over werktuigmachines

Laat een machine bestaan ​​uit verschillende soorten onderdelen, die we nummeren met cijfers. Er zijn verschillende soorten machines en het aantal machines van dit type is gelijk aan . Onderdelen kunnen op verschillende soorten machines worden geproduceerd. De productiviteit van het e type machine bij de productie van het e onderdeel is . Na productie worden de onderdelen verzonden voor montage. Het is vereist om machines zo aan onderdelen te bevestigen dat het maximale aantal machines per tijdseenheid wordt verkregen.

Laat het aantal machines van het e-type zijn waarop het e-onderdeel kan worden geproduceerd. Het is duidelijk dat het aantal machines van het type dat onderdelen van dit type produceert, een bepaald aantal niet mag overschrijden:

Het totale aantal sets onderdelen dat nodig is om een ​​machine te assembleren is gelijk aan het totale aantal van elk onderdeel, met bijvoorbeeld nummer 1. Daarom is de oplossing voor het probleem het maximaliseren van de lineaire functie

(14.17)

onder beperkingen (14.15), (14.16) met de aanvullende voorwaarde dat alle variabelen .

De optimale waarden die voor dit probleem worden gevonden, zijn niet noodzakelijk gehele getallen. Het betekent bijvoorbeeld dat twee machines van het eerste type binnen een tijdseenheid onderdeel nummer 1 zullen produceren, terwijl een derde machine van hetzelfde type slechts de helft van de opgegeven tijd zal werken.

Het probleem van het produceren van producten met beperkte grondstoffenvoorraden

Uit soorten grondstoffen worden verschillende soorten producten geproduceerd. De kosten voor de verkoop van gefabriceerde producten van het e-type bedragen . De voorraad grondstoffen van de e soort voor de planperiode is gelijk aan . De behoefte aan dit soort grondstoffen is . De initiële gegevens voor het oplossen van het probleem zijn weergegeven in Tabel 14.4.

Tabel 14.4 Initiële gegevens voor het oplossen van het probleem

Het is voor elk type product vereist om een ​​dergelijk productievolume te bepalen om de maximale verkoopkosten van gefabriceerde producten te garanderen, op voorwaarde dat de reserves aan beschikbare grondstoffen niet worden overschreden.

De beperkingen op de grondstoffenreserves zijn als volgt:

(14.18)

De taak is om de optimale waarden van parameters (variabelen) te bepalen die de productiekosten maximaliseren, d.w.z. doelfunctie

onder beperkingen (14.18) en aanvullende voorwaarden.

Basisprincipes van wachtrijtheorie

Wachtrijtheorie is een van de takken van de waarschijnlijkheidstheorie. Deze theorie beschouwt probabilistisch problemen en wiskundige modellen (daarvoor beschouwden we deterministische wiskundige modellen). Laten we u eraan herinneren dat:

Deterministisch wiskundig model weerspiegelt het gedrag van een object (systeem, proces) vanuit het perspectief volledige zekerheid in het heden en de toekomst.

Probabilistisch wiskundig model houdt rekening met de invloed van willekeurige factoren op het gedrag van een object (systeem, proces) en evalueert daarom de toekomst vanuit het standpunt van de waarschijnlijkheid van bepaalde gebeurtenissen.

Die. hier wordt, zoals bijvoorbeeld in de speltheorie, rekening gehouden met problemen in omstandigheden van onzekerheid.

Laten we eerst enkele concepten bekijken die ‘stochastische onzekerheid’ kenmerken, wanneer de onzekere factoren in het probleem willekeurige variabelen (of willekeurige functies) zijn, waarvan de probabilistische kenmerken bekend zijn of uit ervaring kunnen worden verkregen. Dergelijke onzekerheid wordt ook wel ‘gunstig’, ‘goedaardig’ genoemd.

Het concept van een willekeurig proces

Strikt genomen zijn willekeurige verstoringen inherent aan elk proces. Het is gemakkelijker om voorbeelden te geven van een willekeurig proces dan van een “niet-willekeurig” proces. Zelfs bijvoorbeeld het proces van het laten lopen van een klok (het lijkt een strikt gekalibreerd werk te zijn - "werkt als een klok") is onderhevig aan willekeurige veranderingen (vooruitgaan, achterblijven, stoppen). Maar zolang deze verstoringen onbeduidend zijn en weinig effect hebben op de parameters die voor ons van belang zijn, kunnen we ze verwaarlozen en het proces als deterministisch en niet-willekeurig beschouwen.

Laat er een systeem zijn S(technisch apparaat, groep van dergelijke apparaten, technologisch systeem - machine, locatie, werkplaats, onderneming, industrie, enz.). In het systeem S lekt willekeurig proces, als het zijn toestand in de loop van de tijd verandert (van de ene toestand naar de andere gaat), bovendien op een voorheen onbekende willekeurige manier.

Voorbeelden: 1. Systeem S– technologisch systeem (machinegedeelte). Machines gaan af en toe kapot en worden gerepareerd. Het proces dat in dit systeem plaatsvindt, is willekeurig.

2. Systeem S- een vliegtuig dat op een bepaalde hoogte langs een specifieke route vliegt. Storende factoren - weersomstandigheden, fouten van de bemanning, enz., gevolgen - hobbeligheid, overtreding van het vluchtschema, enz.

Markov willekeurig proces

Een willekeurig proces dat in een systeem plaatsvindt, wordt genoemd Markovsky, al is het maar voor een moment T De probabilistische kenmerken van een proces in de toekomst hangen alleen af ​​van de toestand ervan op dat moment T 0 en zijn niet afhankelijk van wanneer en hoe het systeem deze status heeft bereikt.

Stel dat het systeem zich op het moment t 0 in een bepaalde toestand bevindt S 0 . We kennen de kenmerken van de toestand van het systeem in het heden en alles wat er in de loop van de tijd is gebeurd T < T 0 (procesgeschiedenis). Kunnen we de toekomst voorspellen (voorspellen), d.w.z. wat zal er wanneer gebeuren T > T 0? Niet precies, maar er kunnen in de toekomst enkele probabilistische kenmerken van het proces worden gevonden. Bijvoorbeeld de kans dat het systeem na enige tijd S zal kunnen S 1 of zal in staat blijven S 0, enz.

Voorbeeld. Systeem S- een groep vliegtuigen die deelnemen aan luchtgevechten. Laten X– aantal “rode” vliegtuigen, j– aantal “blauwe” vliegtuigen. Tegen de tijd T 0 aantal overgebleven (niet neergeschoten) vliegtuigen, respectievelijk - X 0 , j 0 . Wij zijn geïnteresseerd in de waarschijnlijkheid dat op een bepaald moment de numerieke superioriteit aan de kant van de ‘rode’ zal liggen. Deze waarschijnlijkheid hangt af van de staat waarin het systeem zich op dat moment bevond T 0, en niet over wanneer en in welke volgorde de neergeschotenen stierven tot op dat moment T 0 vliegtuigen.

In de praktijk kom je Markov-processen in hun pure vorm doorgaans niet tegen. Maar er zijn processen waarbij de invloed van de ‘prehistorie’ kan worden verwaarloosd. En bij het bestuderen van dergelijke processen kunnen Markov-modellen worden gebruikt (de wachtrijtheorie houdt geen rekening met Markov-wachtrijsystemen, maar het wiskundige apparaat dat ze beschrijft is veel complexer).

In operationeel onderzoek zijn Markov-willekeurige processen met discrete toestanden en continue tijd van groot belang.

Het proces wordt genoemd discreet staatsproces, als het mogelijke toestanden zijn S 1 , S 2, ... kan van tevoren worden bepaald, en de overgang van het systeem van staat naar staat vindt vrijwel onmiddellijk ‘in een sprong’ plaats.

Het proces wordt genoemd continu tijdsproces, als de momenten van mogelijke overgangen van toestand naar toestand niet van tevoren vastliggen, maar onzeker en willekeurig zijn en op elk moment kunnen plaatsvinden.

Voorbeeld. Technologisch systeem (sectie) S bestaat uit twee machines die elk op een willekeurig moment kunnen falen (failen), waarna direct de reparatie van de eenheid begint, die ook voor een onbekende, willekeurige tijd doorgaat. De volgende systeemtoestanden zijn mogelijk:

S 0 - beide machines werken;

S 1 - de eerste machine wordt gerepareerd, de tweede werkt;

S 2 - de tweede machine wordt gerepareerd, de eerste werkt;

S 3 - beide machines worden gerepareerd.

Systeemovergangen S van staat tot staat vindt vrijwel onmiddellijk plaats, op willekeurige momenten waarop een bepaalde machine uitvalt of een reparatie is voltooid.

Bij het analyseren van willekeurige processen met discrete toestanden is het handig om een ​​geometrisch schema te gebruiken - staat grafiek. De hoekpunten van de grafiek zijn de toestanden van het systeem. Grafiekbogen – mogelijke overgangen van staat naar

Afb. 15.1. Systeemstatusgrafiek

staat. Voor ons voorbeeld wordt de toestandsgrafiek getoond in figuur 15.1.

Opmerking. Overgang van staat S 0 inch S 3 is niet aangegeven in de figuur, omdat Er wordt aangenomen dat de machines onafhankelijk van elkaar uitvallen. We verwaarlozen de mogelijkheid van gelijktijdig falen van beide machines.

Gebeurtenisstreams

Gebeurtenisstroom– een opeenvolging van homogene gebeurtenissen die elkaar op willekeurige momenten opvolgen.

In het vorige voorbeeld is dit een stroom van mislukkingen en een stroom van restauraties. Andere voorbeelden: de stroom van oproepen bij een telefooncentrale, de stroom van klanten in een winkel, enz.

De stroom van gebeurtenissen kan visueel worden weergegeven door een reeks punten op de tijdas Ot- rijst. 15.2.

Afb. 15.2. Weergave van de stroom van gebeurtenissen op de tijdas

De positie van elk punt is willekeurig en hier wordt slechts één implementatie van de stroom weergegeven.

Intensiteit van de gebeurtenisstroom () is het gemiddelde aantal gebeurtenissen per tijdseenheid.

Laten we eens kijken naar enkele eigenschappen (typen) van gebeurtenisstromen.

De stroom van gebeurtenissen wordt opgeroepen stationair, als de probabilistische kenmerken niet afhankelijk zijn van tijd.

Met name de intensiteit van de stationaire stroming is constant. De stroom van gebeurtenissen heeft onvermijdelijk condensaties of zeldzaamheden, maar deze zijn niet regelmatig van aard, en het gemiddelde aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is constant en niet afhankelijk van de tijd.

De stroom van gebeurtenissen wordt opgeroepen stromen zonder gevolgen, als voor twee niet-overlappende tijdsperioden (zie figuur 15.2) het aantal gebeurtenissen dat op de ene valt, niet afhangt van het aantal gebeurtenissen dat op de andere valt. Met andere woorden: dit betekent dat de gebeurtenissen die de stroom vormen, op bepaalde tijdstippen verschijnen onafhankelijk van elkaar en worden elk veroorzaakt door hun eigen oorzaken.

De stroom van gebeurtenissen wordt opgeroepen normaal, als gebeurtenissen er één voor één in verschijnen, en niet in groepen van meerdere tegelijk.

De stroom van gebeurtenissen wordt opgeroepen eenvoudigste (of stationaire Poisson), als het drie eigenschappen tegelijk heeft: 1) stationair, 2) gewoon, 3) heeft geen gevolgen.

De eenvoudigste stroom heeft de eenvoudigste wiskundige beschrijving. Het speelt bij stromen dezelfde bijzondere rol als de wet van de normale verdeling onder andere distributiewetten. Door een voldoende groot aantal onafhankelijke, stationaire en gewone stromen (in intensiteit vergelijkbaar met elkaar) over elkaar heen te leggen, wordt namelijk een stroom verkregen die dicht bij de eenvoudigste ligt.

Voor de eenvoudigste stroom met intensiteitsinterval T tussen aangrenzende evenementen heeft een zogenaamde exponentiële distributie met dichtheid

Omdat het gecentraliseerd is, vervult het de volgende functies: de functie van het reguleren van prijzen tussen nieuwe en seriële producten; ondernemingen die in verschillende mate betrokken zijn bij de ontwikkeling van nieuwe apparatuur.  

Wat de staatsuitgaven betreft, deze vertegenwoordigen trustfondsen van middelen die door de staat worden toegewezen en daadwerkelijk worden gebruikt om zijn taken uit te voeren. De belangrijkste functies van gerichte uitgaven zijn onder meer:  

Laten we nu verder gaan met de beschrijving van de objectieve functies. PM-objectieve functie  

Doelfunctie. De objectieve functie definieert het probleem dat moet worden opgelost tijdens het optimalisatieproces. In dit hoofdstuk houden we ons bijvoorbeeld bezig met het minimaliseren van het risico van een activaportefeuille. Een typische objectieve functie voor een portefeuille met risicovolle activa zou zijn:  

OBJECTIEVE FUNCTIE is een functie die het doel (de variabele die wordt geoptimaliseerd) en de gecontroleerde variabelen in het optimalisatieprobleem verbindt.  

De eerste uitdrukking wordt de objectieve functie genoemd (gelijk aan het product van de winst per eenheid product c, - door de output van dit product Xj). De overige vergelijkingen vormen lineaire beperkingen, wat betekent dat het verbruik van grondstoffen, halffabrikaten, productkwaliteit, macht, dat wil zeggen initiële hulpbronnen, de vooraf bepaalde waarden / / niet mag overschrijden. Coëfficiënten a,7 zijn constante waarden die het hulpbronnenverbruik voor / en product weergeven. Het probleem kan worden opgelost als de variabelen niet-negatief zijn en het aantal onbekenden groter is dan het aantal beperkingen. Als niet aan de laatste voorwaarde wordt voldaan, is het probleem inconsistent.  

Als objectieve functie nemen we de productie van A-76-benzine  

De doelfunctie heeft de vorm  

Omdat variabele kosten afhankelijk zijn van het productievolume, moet het verschil tussen prijs en variabele kosten worden gemaximaliseerd. Voorwaardelijk vaste kosten (afschrijvingen, kosten voor lopende reparaties, lonen met overlopende posten, algemene winkel- en fabriekskosten) zijn niet in het model opgenomen en worden afgetrokken van de op de computer verkregen objectieve functie. Als de bedrijfsduur van de installatie voor elke optie als onbekend wordt beschouwd, worden de variabele kosten berekend voor één dag van gebruik.  

Voorwaarde (4.56) karakteriseert de objectieve functie, het maximale verschil tussen de groothandelsprijs en de kosten van commerciële benzine.  

De objectieve functie voor het oplossen van dit probleem kan de maximale winst voor de onderneming zijn (4.52) of het maximale productievolume van verhandelbare producten in termen van waarde (4.53).  

Het gegeven model voor het berekenen van de kosten is tegelijkertijd een model voor het berekenen van de winst van de onderneming. Het belangrijkste effect van het implementeren van kostenberekeningen op een computer is echter de mogelijkheid om de resultaten van deze berekening te gebruiken om het productieprogramma van de onderneming te optimaliseren. In dit geval kan de maximale winst uit de productverkoop als objectieve functie worden genomen. Bij het optimaliseren van een productieprogramma is het noodzakelijk om een ​​functie van de vorm te maximaliseren  

De voor- en nadelen van een klantgerichte structuur zijn over het algemeen dezelfde als die van een productstructuur, gezien de verschillen die verband houden met verschillende objectieve functies.  

Omdat de integrale energie-intensiteit wordt bepaald rekening houdend met de directe en indirecte energiekosten (via materiële, technische en arbeidsmiddelen), wordt de vermindering van de energie-intensiteit van elk van de verbruikte en gebruikte hulpbronnen ook in aanmerking genomen in de totale economische besparingen. De energie-intensiteit van elk doeleffect (product, dienst) wordt berekend als de som van de energie-intensiteit in de stadia van zijn vorming. De energie-intensiteit van een pijp bestaat bijvoorbeeld uit de energie-intensiteit van de ertswinning, het smelten van staal, het walsen van platen en de productie van pijpen zelf, en wordt gemeten in kilogram standaardbrandstof per 1 roebel. zijn waarde. De bestaande boekhoudvormen en de voorgestelde methodologie maken het mogelijk om deze indicatoren voor elk product, dienst, enz. te bepalen. Om energie te besparen is het dus noodzakelijk om het verbruik van alle soorten productiemiddelen te verminderen en tegelijkertijd een bepaald doeleffect te bereiken. Deze middelen en het uiteindelijke doeleffect worden in geld uitgedrukt. De kosten ervan zijn afhankelijk van de schaal van de gebruikte technologie, het niveau van verfijning van de technische middelen waarmee de belangrijkste doelfunctie wordt geïmplementeerd - het beoogde technologische proces, het aantal schalen en vertakkingen van de hulpfuncties die de implementatie garanderen van de hoofdfunctie, evenals het niveau van de gebruikte technologie en apparatuur.  

Expressie (I) wordt meestal genoemd het oorspronkelijke systeem van vergelijkingen en ongelijkheden, en uitdrukking (II) - de functionele van het lineaire programmeerprobleem of de doelfunctie. De objectieve functie is een optimaliteitscriterium. De eerste groep ongelijkheden van het systeem (I) maakt het mogelijk om bij de berekening rekening te houden met de beperkingen in de bestaande capaciteiten van brandstofproductiebedrijven aan het begin van de planningsperiode. Er wordt rekening gehouden met de tweede groep ongelijkheden  

Aan M. m. in het westen. En. omvatten de volgende secties van toegepaste wiskunde, wiskundig programmeren, speltheorie, wachtrijtheorie, planningstheorie, voorraadbeheertheorie en de theorie van slijtage en vervanging van apparatuur. Wiskunde (of optimaal) programmeren ontwikkelt de theorie en methoden voor het oplossen van conditionele extreme problemen, dat is het belangrijkste. onderdeel van het formele apparaat voor het analyseren van verschillende management-, plannings- en ontwerpproblemen. Speelt een speciale rol bij optimalisatieproblemen van buitenplanning. kh-va en management nronz-vom. Problemen met economische planning en technologiemanagement komen meestal neer op het kiezen van een reeks getallen (de zogenaamde controleparameters) die het optimale bieden van een specifieke functie (objectieve functie of oplossingskwaliteitsindicator) onder beperkingen van het soort gelijkheden en ongelijkheden dat wordt bepaald. door de bedrijfsomstandigheden van het systeem. Afhankelijk van de eigenschappen van de functies die de kwaliteitsindicator bepalen en de beperkingen van het probleem, wiskundig. programmeren is verdeeld in lineair en niet-lineair. Problemen waarbij de objectieve functie lineair is en de voorwaarden zijn geschreven in de vorm van lineaire gelijkheden en ongelijkheden, vormen het onderwerp van een lineair programma. Problemen waarbij de kwaliteitsindicator van de oplossing of sommige van de functies die de beperkingen bepalen niet-lineair zijn, behoren tot niet-lineaire programma's [) op een p go. Niet-lineaire programmering is op zijn beurt onderverdeeld in convexe en niet-convexe programmering. Afhankelijk van het feit of de initiële parameters die de omstandigheden van het probleem karakteriseren, in de wiskunde goed gedefinieerde getallen of willekeurige variabelen zijn. Bij het programmeren zijn er verschillen in management- en planningsmethoden onder omstandigheden van volledige en onvolledige informatie. Methoden voor het vaststellen en oplossen van conditionele extreme problemen, waarvan de omstandigheden willekeurige parameters bevatten, zijn het onderwerp van stochastische programmering.  

Het doel van het model is om het totale verdisconteerde netto-inkomen (tot aan de winst) voor een reeks velden en gaspijpleidingsystemen te maximaliseren onder gegeven technologische en economische beperkingen. Het model maakt het gebruik van alternatieve criteria mogelijk: het minimaliseren van de gewogen som van afwijkingen van een gegeven waarde van de doelfunctie (doelprogrammering kan worden uitgevoerd voor een bepaald investeringsniveau, voor een bepaald productieniveau, voor een gegeven); waarde van de DPV.  

Het succes van zo'n zakenvrouw hangt af van hoe goed de administratie mogelijke domeinen herkent die werkplezier kunnen opleveren. Het is opgevallen dat vrouwen goed omgaan met functies die communicatie met mensen vereisen, maar als dit ook een intellectuele activiteit is - leraar, journalist, reisleider, enz. - dan zullen de hoge efficiëntie van hun werk en hun positieve beoordeling vrijwel zeker samenvallen. . In Japan zijn vrouwen zelden in staat een technische en natuurwetenschappelijke opleiding te volgen, vooral in moderne, meest veelbelovende specialismen. Hun opname in de wijdverbreide mobiele doelgroepen voor het oplossen van niet-standaardproblemen blijkt echter productief te zijn. De vindingrijkheid van de vrouwelijke geest wordt al heel lang en in alle landen opgemerkt. Als ze hier een duidelijk bewijs van willen leveren, denken ze in Japan aan de wedstrijd die is aangekondigd door het beroemde bedrijf “Aji no Moto”. Ze loofde een grote geldprijs uit voor tips over hoe ze de verkoop van haar specerij, die op zout lijkt en wordt verkocht in de vorm van zoutvaatjes, kunt vergroten. Mensen schreven verhandelingen en brachten allerlei wetenschappelijke kennis binnen. Maar de winnaar was een huisvrouw, wier antwoord in één zin paste: “Maak de gaten in het zoutvaatje groter.”  

) om een ​​optimalisatieprobleem op te lossen. De term wordt gebruikt in wiskundig programmeren, operationeel onderzoek, lineair programmeren, statistische beslissingstheorie en andere gebieden van de wiskunde die voornamelijk van toegepaste aard zijn, hoewel het doel van optimalisatie ook de oplossing van een wiskundig probleem zelf kan zijn. Naast de doelfunctie in het optimalisatieprobleem kunnen beperkingen worden opgegeven voor variabelen in de vorm van een stelsel van gelijkheden of ongelijkheden. Over het algemeen kunnen de argumenten van de doelfunctie worden gespecificeerd op willekeurige sets.

Voorbeelden

Gladde functies en stelsels van vergelijkingen

kan worden geformuleerd als een probleem van het minimaliseren van de objectieve functie

$S\; =\; \backslash sum\_(j=1)^N\; F\_j^2(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_M)\; \backslash qquad\; (1)$

Als de functies vloeiend zijn, kan het minimalisatieprobleem worden opgelost met behulp van gradiëntmethoden.

Voor elke soepele objectieve functie kan dit worden gelijkgesteld $0$ partiële afgeleiden met betrekking tot alle variabelen. Het optimale van de objectieve functie zal een van de oplossingen zijn voor een dergelijk systeem van vergelijkingen. In geval van functie $(1)$ dit zal een systeem van kleinste kwadratenvergelijkingen (LSM) zijn. Elke oplossing van het oorspronkelijke systeem is een oplossing van het kleinste kwadratenstelsel. Als het oorspronkelijke systeem inconsistent is, stelt het kleinste kwadratensysteem, dat altijd een oplossing heeft, ons in staat een benaderende oplossing van het oorspronkelijke systeem te verkrijgen. Het aantal vergelijkingen in het kleinste kwadratensysteem valt samen met het aantal onbekenden, wat soms de oplossing van gezamenlijke initiële systemen vergemakkelijkt.

Lineaire programmering

Een ander bekend voorbeeld van een objectieve functie is een lineaire functie, die ontstaat bij lineaire programmeerproblemen. In tegenstelling tot de kwadratische doelfunctie is optimalisatie van een lineaire functie alleen mogelijk als er beperkingen zijn in de vorm van een systeem van lineaire gelijkheden of ongelijkheden.

Combinatorische optimalisatie

Een typisch voorbeeld van een combinatorische objectieve functie is de objectieve functie van het handelsreizigerprobleem. Deze functie is gelijk aan de lengte van de Hamiltoniaanse cyclus in de grafiek. Het wordt gedefinieerd op basis van een reeks permutaties $n-1$ hoekpunten van de grafiek en wordt bepaald door de matrix van randlengten van de grafiek. De exacte oplossing voor dergelijke problemen komt vaak neer op het opsommen van opties.

Schrijf een recensie over het artikel "Doelfunctie"

Opmerkingen

Zie ook

Literatuur

• Burak Ya I., Ogirko I. V. Optimale verwarming van een cilindrische schaal met temperatuurafhankelijke materiaaleigenschappen // Mat. methoden en fysisch-mechanisch velden. - 1977. - Uitgave. 5. - Blz. 26-30

Een fragment dat de objectieve functie karakteriseert