Thuis-Browsers-De gemeenschappelijke factor buiten haakjes uitbreiden. We nemen de algemene factor buiten haakjes: Kennishypermarkt

De gemeenschappelijke factor buiten haakjes uitbreiden. We nemen de algemene factor buiten haakjes: Kennishypermarkt

In dit artikel zullen we ons hierop concentreren door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten. Laten we eerst eens kijken waaruit deze expressietransformatie bestaat. Vervolgens zullen we de regel presenteren voor het plaatsen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes en in detail voorbeelden van de toepassing ervan bekijken.

Paginanavigatie.

De termen in de uitdrukking 6 x + 4 y hebben bijvoorbeeld een gemeenschappelijke factor 2, die niet expliciet is opgeschreven. Het kan alleen worden gezien nadat het getal 6 is weergegeven als een product van 2,3, en 4 als een product van 2,2. Dus, 6 x+4 j=2 3 x+2 2 j=2 (3 x+2 j). Nog een voorbeeld: in de uitdrukking x 3 +x 2 +3 x hebben de termen een gemeenschappelijke factor x, die duidelijk zichtbaar wordt na vervanging van x 3 door x x 2 (in dit geval gebruikten we) en x 2 door x x. Nadat we het tussen haakjes hebben verwijderd, krijgen we x·(x 2 +x+3) .

Laten we apart zeggen over het plaatsen van de min tussen haakjes. Feitelijk betekent min tussen haakjes zetten min één tussen haakjes zetten. Laten we bijvoorbeeld de min uit de uitdrukking −5−12·x+4·x·y halen. De originele uitdrukking kan worden herschreven als (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, vanwaar de gemeenschappelijke factor −1 duidelijk zichtbaar is, die we tussen haakjes verwijderen. Als resultaat komen we uit bij de uitdrukking (−1)·(5+12·x−4·x·y) waarin de coëfficiënt −1 eenvoudigweg wordt vervangen door een minteken vóór de haakjes, als resultaat hebben we −( 5+12·x−4·x· y) . Vanaf hier is duidelijk te zien dat wanneer de min tussen haakjes wordt verwijderd, de oorspronkelijke som tussen haakjes blijft staan, waarbij de tekens van al zijn termen in het tegenovergestelde zijn veranderd.

Ter afsluiting van dit artikel merken we op dat het plaatsen van de gemeenschappelijke factor op grote schaal wordt gebruikt. Het kan bijvoorbeeld worden gebruikt om de waarden van numerieke uitdrukkingen efficiënter te berekenen. Door een gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen, kunt u uitdrukkingen weergeven in de vorm van een product; een van de methoden voor het ontbinden van een polynoom is gebaseerd op het tussen haakjes plaatsen.

Referenties.

  • Wiskunde. 6e leerjaar: leerzaam. voor algemeen vormend onderwijs instellingen / [N. Ja. Vilenkin en anderen]. - 22e druk, herz. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.

Definitie 1

Laten we het eerst onthouden Regels voor het vermenigvuldigen van een monomial met een monomial:

Om een ​​monomial met een monomial te vermenigvuldigen, moet je eerst de coëfficiënten van de monomials vermenigvuldigen en vervolgens, met behulp van de regel van het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, de variabelen vermenigvuldigen die in de monomials zijn opgenomen.

Voorbeeld 1

Zoek het product van de monomialen $(2x)^3y^2z$ en $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Oplossing:

Laten we eerst het product van de coëfficiënten berekenen

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ in deze taak gebruikten we de regel voor het vermenigvuldigen van een getal met een breuk - om een ​​geheel getal met een breuk te vermenigvuldigen, heb je nodig om het getal te vermenigvuldigen met de teller van de breuk, en de noemer zonder wijzigingen te plaatsen

Laten we nu de basiseigenschap van een breuk gebruiken: de teller en de noemer van een breuk kunnen worden gedeeld door hetzelfde getal, verschillend van $0$. Laten we de teller en de noemer van deze breuk delen door $2$, dat wil zeggen, deze breuk verkleinen met $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3)(2)$

Het resulterende resultaat bleek een onechte breuk te zijn, dat wil zeggen een breuk waarin de teller groter is dan de noemer.

Laten we deze breuk transformeren door het hele deel te isoleren. Laten we niet vergeten dat om een ​​geheel getal te isoleren, het noodzakelijk is om het onvolledige quotiënt, verkregen door de teller door de noemer te delen, op te schrijven als een geheel getal, de rest van de deling in de teller van het gebroken deel, en de deler in de noemer.

We hebben de coëfficiënt van het toekomstige product gevonden.

Nu gaan we de variabelen $x^3\cdot x^2=x^5$ opeenvolgend vermenigvuldigen,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Hier gebruikten we de regel voor het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Het resultaat van het vermenigvuldigen van monomialen zal dan zijn:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Vervolgens kunt u op basis van deze regel de volgende taak uitvoeren:

Voorbeeld 2

Geef een gegeven polynoom weer als het product van een polynoom en een monomiaal $(4x)^3y+8x^2$

Laten we elk van de monomialen in de polynoom voorstellen als het product van twee monomialen om een ​​gemeenschappelijke monomial te isoleren, die een factor zal zijn in zowel de eerste als de tweede monomial.

Laten we eerst beginnen met de eerste monomial $(4x)^3y$. Laten we de coëfficiënt ontbinden in eenvoudige factoren: $4=2\cdot 2$. We zullen hetzelfde doen met de coëfficiënt van de tweede monomial $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Merk op dat twee factoren $2\cdot 2$ zijn opgenomen in zowel de eerste als de tweede coëfficiënt, wat betekent dat $2\cdot 2=4$ - dit getal zal worden opgenomen in de algemene monomial als een coëfficiënt

Laten we nu opmerken dat er in de eerste monomial $x^3$ is, en in de tweede is er dezelfde variabele tot de macht $2:x^2$. Dit betekent dat het handig is om de variabele $x^3$ als volgt weer te geven:

De variabele $y$ is slechts in één term van de polynoom opgenomen, wat betekent dat deze niet in de algemene monomiaal kan worden opgenomen.

Laten we ons de eerste en tweede monomiaal in de polynoom voorstellen als een product:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Merk op dat de gemeenschappelijke monomial, die een factor zal zijn in zowel de eerste als de tweede monomial, $4x^2$ is.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Nu passen we de distributieve wet van vermenigvuldiging toe, waarna de resulterende uitdrukking kan worden weergegeven als een product van twee factoren. Eén van de vermenigvuldigers is de totale vermenigvuldiger: $4x^2$ en de andere is de som van de resterende vermenigvuldigers: $xy + 2$. Middelen:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Deze methode heet ontbinden door er een gemeenschappelijke factor uit te halen.

De gemeenschappelijke factor in dit geval was de monomial $4x^2$.

Algoritme

Opmerking 1

    Vind de grootste gemene deler van de coëfficiënten van alle monomialen die in de polynoom zijn opgenomen - dit zal de coëfficiënt zijn van de gemeenschappelijke factor-monomiaal, die we tussen haakjes zullen plaatsen

    Een monomial bestaande uit de coëfficiënt uit paragraaf 2 en de variabelen uit paragraaf 3 zal een gemeenschappelijke factor zijn. die als gemeenschappelijke factor tussen haakjes kan worden verwijderd.

Voorbeeld 3

Neem de gemeenschappelijke factor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Oplossing:

    Laten we de ggd van de coëfficiënten vinden; hiervoor zullen we de coëfficiënten ontleden in eenvoudige factoren

    $45=3\cdot 3\cdot 5$

    En we vinden het product van degenen die zijn opgenomen in de uitbreiding van elk:

    Identificeer de variabelen waaruit elke monomiaal bestaat en selecteer de variabele met de kleinste exponent

    $a^3=a^2\cdot a$

    De variabele $b$ is alleen opgenomen in de tweede en derde monomial, wat betekent dat deze niet wordt opgenomen in de gemeenschappelijke factor.

    Laten we een monomiaal samenstellen bestaande uit de coëfficiënt gevonden in stap 2, de variabelen gevonden in stap 3, we krijgen: $3a$ - dit zal de gemeenschappelijke factor zijn. Dan:

    $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Onder de verschillende uitdrukkingen die in de algebra worden beschouwd, nemen de sommen van monomialen een belangrijke plaats in. Hier zijn voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

De som van monomialen wordt een polynoom genoemd. De termen in een polynoom worden termen van de polynoom genoemd. Monomialen worden ook geclassificeerd als polynomen, waarbij een monomial wordt beschouwd als een polynoom dat uit één lid bestaat.

Een polynoom bijvoorbeeld
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan worden vereenvoudigd.

Laten we alle termen weergeven in de vorm van monomials van de standaardvorm:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Laten we soortgelijke termen presenteren in de resulterende polynoom:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Het resultaat is een polynoom, waarvan alle termen monomialen van de standaardvorm zijn, en er zijn geen vergelijkbare. Dergelijke polynomen worden genoemd polynomen van standaardvorm.

Voor graad van polynoom van een standaardformulier de hoogste bevoegdheden van haar leden overneemt. De binomiale \(12a^2b - 7b\) heeft dus de derde graad, en de trinominale \(2b^2 -7b + 6\) heeft de tweede.

Typisch worden de termen van polynomen met een standaardvorm die één variabele bevatten, gerangschikt in aflopende volgorde van exponenten van de graad ervan. Bijvoorbeeld:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

De som van verschillende polynomen kan worden omgezet (vereenvoudigd) in een polynoom met standaardvorm.

Soms moeten de termen van een polynoom in groepen worden verdeeld, waarbij elke groep tussen haakjes wordt geplaatst. Omdat haakjes de omgekeerde transformatie zijn van openingshaakjes, is het gemakkelijk te formuleren regels voor het openen van haakjes:

Als er een “+” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes met dezelfde tekens geschreven.

Als er een “-” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen de haakjes met tegengestelde tekens geschreven.

Transformatie (vereenvoudiging) van het product van een monomiaal en een polynoom

Met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging kunt u het product van een monomiaal en een polynoom transformeren (vereenvoudigen) in een polynoom. Bijvoorbeeld:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Het product van een monomiaal en een polynoom is identiek gelijk aan de som van de producten van dit monomiaal en elk van de termen van het polynoom.

Dit resultaat wordt meestal als regel geformuleerd.

Om een ​​monomiaal met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je dat monomiaal vermenigvuldigen met elk van de termen van het polynoom.

We hebben deze regel al verschillende keren gebruikt om met een som te vermenigvuldigen.

Product van polynomen. Transformatie (vereenvoudiging) van het product van twee polynomen

Over het algemeen is het product van twee polynomen identiek gelijk aan de som van het product van elke term van de ene polynoom en elke term van de andere.

Meestal wordt de volgende regel gebruikt.

Om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je elke term van de ene polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere en de resulterende producten bij elkaar optellen.

Verkorte vermenigvuldigingsformules. Somkwadraten, verschillen en verschil in kwadraten

Bij algebraïsche transformaties heb je vaker te maken met sommige uitdrukkingen dan met andere. Misschien wel de meest voorkomende uitdrukkingen zijn \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) en \(a^2 - b^2 \), d.w.z. het kwadraat van de som, het kwadraat van het verschil en het verschil van vierkanten. Je hebt gemerkt dat de namen van deze uitdrukkingen onvolledig lijken te zijn. \((a + b)^2 \) is bijvoorbeeld natuurlijk niet alleen het kwadraat van de som, maar het kwadraat van de som van a en b . Het kwadraat van de som van a en b komt echter in de regel niet vaak voor; in plaats van de letters a en b bevat het verschillende, soms behoorlijk complexe, uitdrukkingen.

De uitdrukkingen \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kunnen eenvoudig worden omgezet (vereenvoudigd) in polynomen van de standaardvorm; je bent een dergelijke taak al tegengekomen bij het vermenigvuldigen van polynomen :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Het is nuttig om de resulterende identiteiten te onthouden en toe te passen zonder tussentijdse berekeningen. Korte verbale formuleringen helpen hierbij.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - het kwadraat van de som is gelijk aan de som van de kwadraten en het dubbele product.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - het kwadraat van het verschil is gelijk aan de som der kwadraten zonder het verdubbelde product.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - het verschil tussen de kwadraten is gelijk aan het product van het verschil en de som.

Deze drie identiteiten maken het mogelijk om bij transformaties de linkerdelen te vervangen door rechtse delen, en vice versa: rechterdelen door linkse delen. Het moeilijkste is om de overeenkomstige uitdrukkingen te zien en te begrijpen hoe de variabelen a en b daarin worden vervangen. Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules.

§ 10. Polynomen in factoren ontbinden met behulp van de methode door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten

In groep 6 ontbonden we samengestelde getallen in priemfactoren, dat wil zeggen dat we natuurlijke getallen presenteerden als een product. Bijvoorbeeld 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.

Sommige polynomen kunnen ook als product worden weergegeven. Dit betekent dat deze polynomen kunnen worden ontbonden. Bijvoorbeeld 5a: - 5y - 5(x - y); a 3 en 3a 2 = a 2 (a + 3) en dergelijke.

Laten we eens kijken naar een van de manieren om polynomen in factoren te ontbinden: de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten. Een van de ons bekende voorbeelden van een dergelijke uitbreiding is de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging a(b + c) = ab + ac, indien in omgekeerde volgorde geschreven: ab + ac - a(b + c). Dit betekent dat de polynoom ab + ac werd ontleed in twee factoren a en b + c.

Bij het ontbinden van polynomen met gehele coëfficiënten wordt de factor die tussen haakjes staat zo gekozen dat de termen van de polynoom die tussen haakjes blijft staan ​​geen gemeenschappelijke letterfactor hebben, en dat de modules van hun coëfficiënten geen gemeenschappelijke delers hebben.

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 1. Ontbind de uitdrukking in factoren:

3) 15a 3b - 10a 2b 2.

R een s ik z een n ik.

1) De gemeenschappelijke factor is het getal 4, dus

8m+4= 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) De gemeenschappelijke factor is dus de variabele a

op + 7ap = a(t + 7p).

3) In dit geval is de gemeenschappelijke numerieke factor de grootste gemene deler van de getallen 10 en 15 - het getal 5, en de gemeenschappelijke letterfactor is de monomial a 2 b. Dus,

15a 3 b - 10a 2 b 2 = 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b(3a - 2b).

Voorbeeld 2. Houd rekening met:

1) 2m(b - s) + 3р(b - s);

2) x(y - t) + c(t - c).

R az v ’i z a n n i.

1) In dit geval is de gemeenschappelijke factor de binominale b = c.

Daarom 2m( B - Met) + 3р( B - C) = (b - с)(2m + 3р).

2) De termen hebben factoren in - t en t - in, wat tegengestelde uitdrukkingen zijn. Daarom nemen we in de tweede term de factor -1 tussen haakjes, we krijgen: c(t - в) = -с(у - t).

Daarom geldt x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).

Om de juistheid van de factorisatie te controleren, moet u de resulterende factoren vermenigvuldigen. Het resultaat moet gelijk zijn aan de gegeven polynoom.

Het factoriseren van polynomen vereenvoudigt vaak het proces van het oplossen van een vergelijking.

Voorbeeld 3. Zoek de wortels van de vergelijking 5x 2 - 7x = 0.

R az v ’i z a n n i. Laten we de linkerkant van de vergelijking ontbinden in factoren door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten: x(5x - 7) = 0. Gezien het feit dat het product gelijk is aan nul als en slechts als ten minste één van de factoren gelijk is aan nul, zal hebben: x = 0 of 5x - 7 = 0, vandaar x = 0 of x = 1,4.

Antwoord: 0; 1.4.

Welke transformatie wordt de factorisatie van een polynoom genoemd? Leg aan de hand van het voorbeeld van de polynoom ab + ac uit hoe factorisatie wordt uitgevoerd door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen.

  1. (Mondeling) Zoek de gemeenschappelijke factor in de uitdrukking:
  1. (Mondelinge) factor in:
  1. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:
  1. (Mondeling) correct de factorisaties uitgevoerd:

1) 7a + 7 = 7a;

2) 5m - 5 = 5(m - 5);

3) 2a - 2 = 2(a - 1);

4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);

5) 5 min + miljard = 5 m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

  1. Schrijf het bedrag als product:
  1. Factor het uit:
  1. Factor het uit:

4) 7a + 21ау;

5) 9x 2 - 27x;

6) 3a - 9a 2;

8) 12ax - 4a 2;

9) -18xy + 24v 2;

10) a2b-ab2;

11) rm - p 2 m;

12) -x 2 y 2 - xy.

  1. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

4) 15xy + 5x;

6) 15m - 30m 2 ;

7) 9xy + 6x 2;

9) -p 2 q - pq 2.

  1. Factor het uit:

5) 3b 2 - 9b 3;

7) 4j 2 + 12j 4 ;

8) 5m 5 + 15m 2 ;

9) -16a 4 - 20a.

  1. Factor het uit:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b3 + 7b4;

6) -25m 3 - 20m.

  1. Schrijf de som 6x 2 in + 15x als een product en bepaal de waarde ervan als x = -0,5, y = 5.
  2. Schrijf de uitdrukking 12a 2 b - 8a als een product en bepaal de waarde ervan als a = 2, 6 = .
  3. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

1) een 4 + een 3 - een 2;

2) m9 - m2 + m7;

3) b6 + b5 - b9;

4) - om 7 uur - om 12 uur - om 3 uur.

  1. Presenteer het als een product:

1) p 7 + p 3 - p 4;

2) een 10 - een 5 + een 8;

3) b7 - b5 - b2;

4) -m 8 - m 2 - m 4.

  1. Bereken op een handige manier:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

  1. Los de vergelijking op:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x 2 + 4x = 0.

  1. Zoek de wortels van de vergelijking:

1) x 2 + 3x = 0;

2) x 2 -7x = 0.

1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.

  1. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3.

  1. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;

2) 12a 2b - 18ab 2 + 30ab 3;

3) 8x 2 jaar 2 - 4x 3 in 5 + 12x 4 in 3;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.

  1. Factor de polynoom:

1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;

2) 12b 2 inch - 18b 3 - 30b 4 inch;

3) 16bx 2 - 8b 2x3 + 24b 3x;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5.

  1. Bereken op een handige manier:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

  1. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

1) 4,23 a - a 2, als a = 5,23;

2) x 2 y + x 3, als x = 2,51, b = -2,51;

3) ben 5 - m 6, als = -1, a = -5;

4) -xy - x 2, als x = 2,7, b = 7,3.

  1. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

1) 9,11 a + a 2, als a = -10,11;

2) 5x 2 + 5a 2 x, als a = ; x = .

  1. Factor de polynoom:

1) 2p(x - y) + q(x - y);

2) a(x + y) - (x + y);

3) (a - 7) - b(a - 7);

4) 5(a+1) + (a+1) 2;

5) (x+2) 2 - x(x+2);

6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .

  1. Druk de uitdrukking uit als een product:

1) a(x - y) + b(y - x);

2) g(b - 5) - n(5 - b);

3) 7x - (2b - 3) + 5y(3 - 2b);

4) (x - y) 2 - a(y - x);

5) 5(x - 3) 2 - (3 - x);

6) (a + 1)(2b - 3) - (a + 3)(3 - 2b).

  1. Factor het uit:

1) 3x(b - 2) + y(b - 2);

2) (m2 - 3) - x(m2 - 3);

3) a(b - 9) + c(9 - b);

4) 7(a+2) + (a+2) 2;

5) (s - m) 2 - 5(m - s);

6) -(x + 2y) - 5(x + 2y) 2.

  1. Zoek de wortels van de vergelijking:

1) 4x 2 - x = 0;

2) 7x 2 + 28x = 0;

3) x 2 + x = 0;

4)x 2 - x = 0.

  1. Los de vergelijking op:

1) 12x 2 + x = 0;

2) 0,2 x 2 - 2x = 0;

3) x 2 - x = 0;

4) 1 - x 2 + - x = 0.

  1. Los de vergelijking op:

1) x(3x + 2) - 5(3x + 2) = 0;

2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.

  1. Los de vergelijking op:

1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;

2) 7(x - 3) - 2x(3 - x) = 0.

1) 17 3 + 17 2 is een veelvoud van 18;

2) 9 14 - 81 6 is een veelvoud van 80.

  1. Bewijs dat de betekenis van de uitdrukking is:

1) 39 9 - 39 8 wordt gedeeld door 38;

2) 49 5 - 7 8 wordt gedeeld door 48.

  1. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

1) (5m - 10) 2 ;

2) (18a + 27b) 2 .

  1. Zoek de wortels van de vergelijking:

1) x(x - 3) = 7x - 21;

2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.

  1. Los de vergelijking op:

1) x(x - 2) = 4x - 8;

2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.

  1. Bewijs dat het getal:

1) 10 4 + 5 3 is deelbaar door 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 wordt gedeeld door 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 wordt gedeeld door 25;

4) 21 3 + 14 a - 7 3 wordt gedeeld door 34.

Oefeningen om te herhalen

  1. Vereenvoudig de uitdrukking en vind de betekenis ervan:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4x 2 + 3x 2, als x = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, als m = 7, n = -1.

  1. Schrijf de volgende monomiale coëfficiënten in plaats van sterretjes, zodat de gelijkheid verandert in een identiteit:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;

2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.

  1. De lengte van een rechthoek is drie keer de breedte. Als de lengte van een rechthoek met 5 cm wordt verminderd, neemt de oppervlakte af met 40 cm 2. Zoek de lengte en breedte van de rechthoek.

Interessante taken voor luie studenten

Het is bekend dat A< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| en |b|< |с|?

Algebra les in het 7e leerjaar.

Onderwerp: “De gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.”

Leerboek Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. enz.

Lesdoelen:

Educatief –

    het niveau identificeren van de beheersing van een complex van kennis en vaardigheden door studenten bij het gebruik van vermenigvuldigings- en delingsvaardigheden;

    het vermogen ontwikkelen om de factorisatie van een polynoom toe te passen door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen;

    pas het verwijderen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes toe bij het oplossen van vergelijkingen.

Ontwikkelingsgericht –

    het bevorderen van de ontwikkeling van observatie, het vermogen om te analyseren, vergelijken en conclusies te trekken;

    zelfbeheersingsvaardigheden ontwikkelen bij het uitvoeren van taken.

Educatief -

    het bevorderen van verantwoordelijkheid, activiteit, onafhankelijkheid en objectief zelfrespect.

Lestype: gecombineerd.

Belangrijkste leerresultaten:

    in staat zijn de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten;

    deze methode kunnen toepassen bij het oplossen van oefeningen.

Bewegingles.

1 module (30 min).

1. Organisatorisch moment.

    groeten;

    het voorbereiden van studenten op het werk.

2. Huiswerk controleren.

    Beschikbaarheid controleren (dienst), bespreken van problemen die zich hebben voorgedaan.

3 . Basiskennis bijwerken.

    N Zoek GCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).

    Wat is GCD?

Hoe wordt de verdeling van bevoegdheden met dezelfde grondslagen uitgevoerd?

Hoe wordt de vermenigvuldiging van machten met dezelfde bases uitgevoerd?

Voor deze graden (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Noem de graad met de laagste exponent, dezelfde grondtallen, dezelfde exponenten

Laten we de distributieve wet van vermenigvuldiging herhalen. Schrijf het op in briefvorm

een (b + c) = ab + ac

* - vermenigvuldigingsteken

Mondelinge taken uitvoeren over de toepassing van de distributieve eigendom. (Bereid je voor op het bord).

1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5

2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)

3) een*(4 + x) 6) -2*(c – a)

De taken worden op een gesloten bord geschreven, de jongens lossen het op en schrijven het resultaat op het bord. Problemen bij het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom.

Om te beginnen geef ik je een voorbeeld van het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom:

2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 y – 6x Niet wassen!

Schrijf de regel voor het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom in de vorm van een diagram.

Er verschijnt een opmerking op het bord:

Ik kan deze eigenschap schrijven als:

In dit formulier hebben we al notatie gebruikt voor een eenvoudige manier om uitdrukkingen te evalueren.

a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

De rest is mondeling, controleer de antwoorden:

e) 55*682 – 45*682 = 6820

g) 7300*3 + 730*70 = 73000

h) 500*38 – 50*80 = 15000

Welke wet heeft u geholpen een eenvoudige manier te vinden om te berekenen? (Verdeling)

De distributieve wet helpt inderdaad uitdrukkingen te vereenvoudigen.

4 . Het doel en het onderwerp van de les bepalen. Mondeling tellen. Raad het onderwerp van de les.

Werk in paren.

Kaarten voor koppels.

Het blijkt dat het in factoren ontbinden van een uitdrukking de omgekeerde bewerking is van term-voor-term vermenigvuldiging van een monomiaal met een polynoom.

Laten we naar hetzelfde voorbeeld kijken dat de leerling heeft opgelost, maar dan in omgekeerde volgorde. Factoring houdt in dat je de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zet.

2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).

Vandaag zullen we in de les kijken naar de concepten van het ontbinden van een polynoom en het tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor, en we zullen leren deze concepten toe te passen bij het doen van oefeningen.

Algoritme om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten

    De grootste gemene deler van de coëfficiënten.

    Dezelfde lettervariabelen.

    Voeg de kleinste graad toe aan de verwijderde variabelen.

    Vervolgens worden de resterende monomialen van de polynoom tussen haakjes geschreven.

De grootste gemene deler werd gevonden in de lagere klassen, de gemeenschappelijke variabele in de kleinste mate is onmiddellijk zichtbaar. En om snel de polynoom tussen haakjes te vinden, moet je nummer 657 oefenen.

5. Basisonderwijs met hardop spreken.

Nr. 657 (1 kolom)

Module 2 (30 min).

1. Het resultaat van de eerste 30 minuten.

A) Welke transformatie wordt factorisatie van een polynoom genoemd?

B) Welke eigenschap is gebaseerd op het wegnemen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes?

V) Hoe wordt de gemeenschappelijke factor tussen haakjes verwijderd?

2. Primaire consolidatie.

Uitdrukkingen worden op het bord geschreven. Vind eventuele fouten in deze gelijkheden en corrigeer ze.

1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8 x + 12 j = 4 (2 x - 3 j).

4) een 6 – een 2 = een 2 (een 2 – 1).

5) 4 -2a = – 2 (2 – a).

3. Eerste controle op begrip.

Werken met zelftest. 2 personen aan de achterzijde

Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

Mondeling controleren door vermenigvuldigen.

4. Studenten voorbereiden op algemene activiteiten.

Laten we de polynomiale factor tussen haakjes zetten (uitleg van de leraar).

Ontbind de polynoom in factoren.

In deze uitdrukking zien we dat er één en dezelfde factor is, die tussen haakjes kan worden gezet. Dus we krijgen:

De uitdrukkingen en zijn tegengesteld, dus in sommige gevallen kun je deze gelijkheid gebruiken . We veranderen het bord twee keer! Ontbind de polynoom in factoren

Er zijn hier tegenovergestelde uitdrukkingen en als we de vorige identiteit gebruiken, krijgen we de volgende invoer: .

En nu zien we dat de gemeenschappelijke factor tussen haakjes kan worden verwijderd.



Gerelateerde publicaties: