Fourier-reeksuitbreiding van een driehoekige signaalreeks. Spectra van periodieke niet-harmonische signalen

Algemene beschrijvingen

De Franse wiskundige Fourier (J.B.J. Fourier 1768-1830) verkondigde een nogal gewaagde hypothese voor zijn tijd. Volgens deze hypothese is er geen functie die niet kan worden uitgebreid tot een trigonometrische reeks. Helaas werd een dergelijk idee destijds echter niet serieus genomen. En het is natuurlijk. Fourier zelf was niet in staat overtuigend bewijs te leveren, en het is erg moeilijk om intuïtief in de Fourier-hypothese te geloven. Het is vooral moeilijk voor te stellen dat bij het toevoegen van eenvoudige functies, vergelijkbaar met trigonometrische functies, worden functies gereproduceerd die er volledig van verschillen. Maar als we aannemen dat de Fourier-hypothese correct is, dan kan een periodiek signaal van elke vorm worden ontleed in sinusoïden met verschillende frequenties, of omgekeerd, door op de juiste manier sinusoïden toe te voegen met verschillende frequenties het is mogelijk om een signaal van elke vorm te synthetiseren. Daarom, als deze theorie correct is, kan zijn rol in signaalverwerking erg groot zijn. In dit hoofdstuk zullen we eerst proberen de juistheid van het Fourier-vermoeden te illustreren.

Overweeg de functie

f(t)= 2sin t- zonde 2t

Eenvoudige trigonometrische reeks

De functie is de som van trigonometrische functies, met andere woorden, het wordt gepresenteerd als een trigonometrische reeks van twee leden. Laten we één term toevoegen en maken nieuwe rij drie leden

Als we weer een paar termen toevoegen, krijgen we een nieuwe trigonometrische reeks van tien termen:

We duiden de coëfficiënten van deze trigonometrische reeks aan als b k , waar k - hele getallen. Als je goed naar de laatste verhouding kijkt, kun je zien dat de coëfficiënten kunnen worden beschreven door de volgende uitdrukking:

Dan kan de functie f(t) als volgt worden weergegeven:

Kansen b k - dit zijn de amplitudes van sinusoïden met hoekfrequentie tot. Met andere woorden, ze bepalen de grootte van de frequentiecomponenten.

Gezien het geval waarin het superscript tot is gelijk aan 10, d.w.z. M= 10. De waarde verhogen M tot 100, krijgen we de functie f(t).

Deze functie, die een trigonometrische reeks is, benadert een zaagtandsignaal in vorm. En het lijkt erop dat het vermoeden van Fourier volkomen juist is met betrekking tot: fysieke signalen waarmee we te maken hebben. In dit voorbeeld is de golfvorm ook niet vloeiend, maar bevat deze breekpunten. En het feit dat de functie zelfs op breekpunten wordt gereproduceerd, ziet er veelbelovend uit.

BIJ fysieke wereld Er zijn inderdaad veel verschijnselen die kunnen worden weergegeven als de som van trillingen van verschillende frequenties. Een typisch voorbeeld van deze verschijnselen is licht. Het is de som van elektromagnetische golven met een golflengte van 8000 tot 4000 angstrom (van rood tot paars). Natuurlijk weet je dat als wit Licht passeren een prisma, dan zal een spectrum van zeven pure kleuren verschijnen. Dit komt omdat de brekingsindex van het glas waaruit het prisma is gemaakt varieert met de lengte. elektromagnetische golf. Dit is precies het bewijs dat wit licht de som is van lichtgolven van verschillende lengtes. Dus door licht door een prisma te laten gaan en het spectrum ervan te verkrijgen, kunnen we de eigenschappen van licht analyseren door kleurencombinaties te onderzoeken. Evenzo kunnen we door het ontvangen signaal te ontleden in zijn verschillende frequentiecomponenten, te weten komen hoe het oorspronkelijke signaal tot stand kwam, welk pad het volgde, of uiteindelijk welke externe invloed hij werd blootgesteld. Kortom, we kunnen informatie krijgen om de oorsprong van het signaal te achterhalen.

Vergelijkbare methode: analyse heet spectrale analyse of Fourier-analyse.

Beschouwen volgende systeem orthonormale functies:

Functie f(t) kan in dit systeem van functies op het interval [-π, π] als volgt worden uitgebreid:

Coëfficiënten α k,β k , zoals eerder getoond, kan worden uitgedrukt in termen van scalaire producten:

Over het algemeen is de functie: f(t) kan als volgt worden weergegeven:

Coëfficiënten α 0 , α k,β k heet Fourier-coëfficiënten, en zo'n representatie van een functie heet uitbreiding in een Fourierreeks. Soms wordt deze weergave genoemd Geldig expansie in een Fourier-reeks, en de coëfficiënten zijn de echte Fourier-coëfficiënten. De term "echt" wordt geïntroduceerd om de gepresenteerde uitbreiding te onderscheiden van de uitbreiding in de Fourier-reeks in complexe vorm.

Zoals eerder vermeld, kan een willekeurige functie worden uitgebreid in termen van een systeem van orthogonale functies, zelfs als de functies uit dit systeem niet worden weergegeven als een trigonometrische reeks. Gewoonlijk betekent expansie in een Fourierreeks expansie in een trigonometrische reeks. Als de Fourier-coëfficiënten worden uitgedrukt in termen van α 0 , α k,β k krijgen we:

sinds voor k = 0 kostuum= 1, dan is de constante een 0 /2 drukt uit algemene vorm coëfficiënt een k Bij k= 0.

In relatie (5.1), de oscillatie van de grootste periode, weergegeven door de som omdat t en zonde t heet de oscillatie van de grondfrequentie of eerste harmonische. Een oscillatie met een periode gelijk aan de helft van de hoofdperiode wordt de tweede genoemd mondharmonica. Een oscillatie met een periode gelijk aan 1/3 van de hoofdperiode heet derde harmonische enz. Zoals blijkt uit relatie (5.1) a 0 is constante waarde de gemiddelde waarde van de functie uitdrukken f(t). Als de functie f(t) is een elektrisch signaal een 0 vertegenwoordigt zijn constante component. Daarom drukken alle andere Fourier-coëfficiënten de variabele componenten uit.

Op afb. 5.2 toont het signaal en de uitbreiding ervan in een Fourier-reeks: in een constante component en harmonischen van verschillende frequenties. In het tijdsdomein, waar variabele is de tijd, het signaal wordt uitgedrukt door de functie f(t), en in het frequentiedomein, waar de variabele frequentie is, wordt het signaal weergegeven door de Fourier-coëfficiënten (ak, bk).

De eerste harmonische is een periodieke functie met periode 2 Andere harmonischen hebben ook een periode die een veelvoud is van 2 π . Op basis hiervan krijgen we bij het vormen van een signaal uit de componenten van de Fourier-reeks natuurlijk een periodieke functie met een periode 2 . En als dit zo is, dan is de expansie in een Fourierreeks in feite een manier om periodieke functies weer te geven.

Laten we het signaal van een veel voorkomend type uitbreiden tot een Fourierreeks. Denk bijvoorbeeld aan de eerder genoemde zaagtandcurve (Figuur 5.3). Een signaal van deze vorm op een segment - π < t < π i wordt uitgedrukt door de functie f( t)= t, dus de Fourier-coëfficiënten kunnen als volgt worden uitgedrukt:

voorbeeld 1

Fourier-reeksuitbreiding van een zaagtandsignaal

f(t) = t,

Fourier-expansie kan worden toegepast op periodieke signalen. Bovendien worden ze weergegeven als een som van harmonische functies, of complexe exponentiëlen met frequenties die een rekenkundige progressie vormen. Om zo'n decompositie te laten bestaan, moet een signaalfragment met een duur van één periode voldoen aan de Dirichlet-voorwaarden:

1. Er mogen geen discontinuïteiten van de tweede soort zijn (waarbij takken van de functie naar oneindig gaan).

2. Het aantal pauzes van de eerste soort (sprongen) moet eindig zijn.

Het aantal extrema moet eindig zijn.

De Fourier-reeks kan worden gebruikt om niet alleen periodieke signalen weer te geven, maar ook signalen van eindige duur. In dit geval wordt het tijdsinterval gespecificeerd waarvoor de Fourier-reeks is geconstrueerd en op andere momenten wordt het signaal als gelijk aan nul beschouwd. Om de coëfficiënten van de reeks te berekenen, betekent deze benadering eigenlijk een periodieke voortzetting van het signaal buiten de grenzen van het beschouwde interval.

Fourier-methoden worden gebruikt om lineaire circuits of systemen te analyseren: om de reactie (respons) van het systeem te voorspellen; om de overdrachtsfunctie te bepalen; testresultaten te evalueren.

Een willekeurig periodiek signaal wordt uitgedrukt in een oneindig aantal harmonischen met toenemende frequenties:



			kernleden;
			harmonische termen (voor n > 1, is n een geheel getal);
			harmonische coëfficiënten;
			constante term of gelijkstroomcomponent.

Functieperiode
zou gelijk moeten zijn 2π of een veelvoud; naast de functie
moet ondubbelzinnig zijn.De Fourier-reeks kan worden beschouwd als een "recept voor het bereiden" van elk periodiek signaal van sinusoïdale componenten. Om deze reeks van praktisch belang te laten zijn, moet deze convergeren, d.w.z. de deelsommen van de reeks moeten een limiet hebben.

Het proces van het creëren van een willekeurig periodiek signaal uit de coëfficiënten die het mengen van harmonischen beschrijven, wordt synthese genoemd. Het omgekeerde proces van het berekenen van coëfficiënten wordt analyse genoemd. De berekening van de coëfficiënten wordt vergemakkelijkt door het feit dat het gemiddelde van de kruisproducten van een sinusoïde en een cosinusgolf (en vice versa) 0 is.

Laten we een basis introduceren in de Hilbertruimte:
Voor de eenvoud nemen we aan dat het orthonormaal is.

dan elke functie
uit Hilbert-ruimte kan worden weergegeven in termen van projecties vector X op de basisas door de gegeneraliseerde Fourierreeks:

Fourierreeksen zijn vooral nuttig bij het beschrijven van willekeurige periodieke signalen met een eindige energie in elke periode. Bovendien kunnen ze worden gebruikt om niet-periodieke signalen te beschrijven die een eindige energie hebben over een eindig interval. In de praktijk wordt de Fourierintegraal gebruikt om dergelijke signalen te beschrijven.

conclusies

1. De Fourier-reeks wordt veel gebruikt om periodieke signalen te beschrijven. De Fourier-integraal wordt gebruikt om niet-periodieke signalen te beschrijven.

Conclusie

1. Berichten, signalen en interferentie als vectoren (punten) in lineaire ruimte kan worden beschreven in termen van een reeks coördinaten in een bepaalde basis.

2. Voor TES is het grootste belang bij het weergeven van signalen de n-dimensionale ruimte van Euclides
, oneindige Hilbertruimte
en de discrete Hamming-ruimte 2 n. In deze ruimten wordt het concept van het scalaire product van twee vectoren geïntroduceerd (x, ja) .

3. Elke continue functie tijd als een element kan worden weergegeven door een gegeneraliseerde Fourierreeks in een bepaalde orthonormale basis.

Literatuur

Hoofd:

Theorie van elektrische communicatie: Proc. Voor universiteiten / A.G. Zyuko, D.D. Klovsky, V.I. Korzhik, M.V. Nazarov; Ed. D.D. Klovsky. - M.: Radio en communicatie, 1998. - 433 p.

Aanvullend:

Prokis J. Digitale communicatie: Per. van Engels. / red. DD Klovski. - M.: Radio en communicatie, 2000. - 800 p.

Bernard Sklar. Digitale communicatie. Theoretische onderbouwing en praktische toepassing: Per. van Engels. - M.: Uitgeverij"Williams", 2003. - 1104 d.

Sukhorukov A.S. Theorie van elektrische communicatie: hoorcolleges. Deel 1. - M.: MTUCI, CENTRUM NAAR, 2002. - 65 p.

Sukhorukov A.S. Theorie digitale communicatie: Zelfstudie. Deel 2. - M.: MTUSI, 2008. - 53 p.

Inleidende opmerkingen

BIJ deze sectie de representatie van periodieke signalen met behulp van een Fourier-reeks zal worden overwogen. Fourier-reeksen vormen de basis van de theorie van spectrale analyse, omdat, zoals we later zullen zien, de Fourier-transformatie van een niet-periodiek signaal kan worden verkregen als de limietovergang van de Fourier-reeks met een oneindige herhalingsperiode. Hierdoor zijn de eigenschappen van de Fourierreeks ook geldig voor de Fouriertransformatie van niet-periodieke signalen.

We zullen de uitdrukkingen voor de Fourierreeks in trigonometrische en complexe vormen beschouwen, en ook aandacht besteden aan de Dirichlet-voorwaarden voor de convergentie van de Fourierreeks. Daarnaast zullen we uitgebreid ingaan op de uitleg van een concept als de negatieve frequentie van het signaalspectrum, dat vaak problemen geeft bij het kennismaken met de theorie van spectrale analyse.

Periodiek signaal. Trigonometrische Fourier-reeks

Laat er een continu-tijd periodiek signaal zijn, dat zich herhaalt met een periode c, d.w.z. , waarbij een willekeurig geheel getal is.

Als voorbeeld toont figuur 1 een reeks rechthoekige pulsen met duur c, herhaald met een periode van c.

Figuur 1. Periodieke volgorde

Rechthoekige pulsen

Van de cursus wiskundige analyse het is bekend dat het stelsel van goniometrische functies

met meerdere frequenties, waarbij rad/s een geheel getal is, vormt een orthonormale basis voor de uitbreiding van periodieke signalen met een periode die voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden.

De Dirichlet-voorwaarden voor de convergentie van de Fourier-reeks vereisen dat een periodiek signaal op het segment wordt gegeven, terwijl aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:

Bijvoorbeeld de periodieke functie voldoet niet aan de Dirichlet-voorwaarden, omdat de functie heeft discontinuïteiten van de tweede soort en neemt oneindige waarden aan voor , waarbij een willekeurig geheel getal is. Dus de functie kan niet worden weergegeven door een Fourierreeks. Je kunt ook een voorbeeld van een functie geven , die begrensd is, maar ook niet voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden, omdat het een oneindig aantal extreme punten heeft als het nul nadert. Functie Grafiek weergegeven in figuur 2.

Figuur 2. Grafiek van de functie :

A - twee herhalingen; b - in de buurt

Figuur 2a toont twee herhalingsperioden van de functie , en in figuur 2b is het gebied in de buurt van . Het is te zien dat bij het naderen van nul de oscillatiefrequentie oneindig toeneemt, en een dergelijke functie kan niet worden weergegeven door een Fourier-reeks, omdat deze niet stuksgewijs monotoon is.

Opgemerkt moet worden dat er in de praktijk geen signalen zijn met oneindige waarden van stroom of spanning. Functies met een oneindig aantal extrema van het type ook in toegepaste taken niet voldoen. Alle echte periodieke signalen voldoen aan de Dirichlet-voorwaarden en kunnen worden weergegeven door een oneindige trigonometrische Fourier-reeks van de vorm:

In uitdrukking (2) specificeert de coëfficiënt de constante component van het periodieke signaal.

Op alle punten waar het signaal continu is, convergeert de Fourier-reeks (2) naar de waarden van het gegeven signaal, en op discontinuïteitspunten van de eerste soort, naar de gemiddelde waarde, waar en zijn de limieten links en rechts respectievelijk van het discontinuïteitspunt.

Uit de loop van de wiskundige analyse is ook bekend dat het gebruik van een afgeknotte Fourierreeks die alleen de eerste termen bevat in plaats van een oneindige som, leidt tot een benadering van het signaal:

wat zorgt voor de minimale gemiddelde kwadratische fout. Figuur 3 illustreert de benadering van een periodieke blokgolfreeks en een periodieke zaagtandgolfvorm met gebruikmaking van verschillende aantallen Fourier-reekstermen.

Figuur 3. Benadering van signalen door een afgeknotte Fourier-reeks:

A - rechthoekige pulsen; b - zaagtandsignaal

Fourierreeks in complexe vorm

In de vorige paragraaf hebben we de trigonometrische Fourier-reeks overwogen voor de uitbreiding van een willekeurig periodiek signaal dat voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden. Met behulp van de Euler-formule kunnen we laten zien:

Dan de trigonometrische Fourierreeks (2) rekening houdend met (4):

Een periodiek signaal kan dus worden weergegeven door de som van een DC-component en complexe exponenten die roteren met frequenties met coëfficiënten voor positieve frequenties, en voor complexe exponenten die roteren met negatieve frequenties.

Beschouw de coëfficiënten voor complexe exponenten die roteren met positieve frequenties:

Uitdrukkingen (6) en (7) vallen samen, bovendien kan de constante component ook worden geschreven in termen van de complexe exponentiële nulfrequentie:

Dus (5), rekening houdend met (6)-(8), kan worden weergegeven als een enkele som wanneer geïndexeerd van min oneindig tot oneindig:

Expressie (9) is een Fourierreeks in complexe vorm. De coëfficiënten van de Fourierreeks in complexe vorm zijn gerelateerd aan de coëfficiënten en van de reeks in trigonometrische vorm, en zijn gedefinieerd voor zowel positieve als negatieve frequenties. De index in de frequentienotatie geeft het nummer van de discrete harmonische aan, met negatieve indices die overeenkomen met negatieve frequenties.

Uit uitdrukking (2) volgt dat voor een reëel signaal de coëfficiënten en van reeksen (2) ook reëel zijn. (9) wijst echter aan een echt signaal een reeks complexe geconjugeerde coëfficiënten toe, gerelateerd aan zowel positieve als negatieve frequenties.

Enkele verklaringen voor de Fourierreeks in complexe vorm

In de vorige paragraaf hebben we de overgang gemaakt van de trigonometrische Fourierreeks (2) naar de Fourierreeks in complexe vorm (9). Als gevolg hiervan kregen we in plaats van periodieke signalen uit te breiden in de basis van echte trigonometrische functies, een uitbreiding in de basis van complexe exponenten, met complexe coëfficiënten, en zelfs negatieve frequenties verschenen in de uitbreiding! Omdat de deze vraag vaak verkeerd begrepen wordt, is het nodig enige uitleg te geven.

Ten eerste is het werken met complexe exponenten in de meeste gevallen gemakkelijker dan het werken met goniometrische functies. Bij het vermenigvuldigen en delen van complexe exponentiëlen is het bijvoorbeeld voldoende om de exponenten op te tellen (af te trekken), terwijl de formules voor het vermenigvuldigen en delen van trigonometrische functies omslachtiger zijn.

Het differentiëren en integreren van exponenten, zelfs complexe, is ook gemakkelijker dan trigonometrische functies, die voortdurend veranderen bij het differentiëren en integreren (een sinus wordt een cosinus en vice versa).

Als het signaal periodiek en reëel is, dan lijkt de trigonometrische Fourierreeks (2) meer illustratief, omdat alle uitzettingscoëfficiënten reëel blijven. Men heeft echter vaak te maken met complexe periodieke signalen (bijvoorbeeld bij modulatie en demodulatie wordt een kwadratuurrepresentatie van de complexe omhullende gebruikt). In dit geval zullen bij gebruik van de trigonometrische Fourierreeks alle coëfficiënten en expansies (2) complex worden, terwijl bij gebruik van de Fourierreeks in complexe vorm (9) dezelfde expansiecoëfficiënten worden gebruikt voor zowel reële als complexe ingangssignalen .

En tot slot is het noodzakelijk om stil te staan bij de verklaring van de negatieve frequenties die in (9) verschenen. Deze vraag wordt vaak verkeerd begrepen. BIJ Alledaagse leven we komen geen negatieve frequenties tegen. We stemmen onze radio bijvoorbeeld nooit af op een negatieve frequentie. Laten we eens kijken naar de volgende analogie uit de mechanica. Laat er een mechanische veerslinger zijn die vrij oscilleert met een bepaalde frequentie. Kan een slinger oscilleren met een negatieve frequentie? Natuurlijk niet. Net zoals er geen radiostations zijn die met negatieve frequenties de lucht in gaan, zo kan de frequentie van de slinger niet negatief zijn. Maar een veerslinger is een eendimensionaal object (de slinger oscilleert langs één rechte lijn).

We kunnen ook een andere analogie uit de mechanica geven: een wiel dat draait met een frequentie van . Het wiel draait, in tegenstelling tot de slinger, d.w.z. een punt op het oppervlak van het wiel beweegt in een vlak en oscilleert niet alleen langs een enkele rechte lijn. Om de rotatie van het wiel uniek in te stellen, is het daarom niet voldoende om de rotatiefrequentie in te stellen, omdat het ook noodzakelijk is om de rotatierichting in te stellen. Dit is precies waar we het frequentieteken voor kunnen gebruiken.

Dus als het wiel draait met een frequentie van rad / s tegen de klok in, dan beschouwen we dat het wiel met een positieve frequentie draait, en als het met de klok mee draait, dan is de rotatiefrequentie negatief. Dus om een rotatie te specificeren, is een negatieve frequentie niet langer onzin en geeft hij de rotatierichting aan.

En nu het belangrijkste dat we moeten begrijpen. De oscillatie van een eendimensionaal object (bijvoorbeeld een veerslinger) kan worden weergegeven als de som van de rotaties van de twee vectoren die worden weergegeven in figuur 4.

Figuur 4. Oscillatie van een veerslinger

Als de som van rotaties van twee vectoren

op het complexe vlak

De slinger oscilleert langs de reële as van het complexe vlak met een frequentie volgens de harmonische wet. De beweging van de slinger wordt weergegeven als een horizontale vector. De bovenste vector roteert in het complexe vlak met een positieve frequentie (tegen de klok in) en de onderste vector roteert met een negatieve frequentie (met de klok mee). Figuur 4 illustreert duidelijk de bekende relatie uit de cursus trigonometrie:

De Fourierreeks in complexe vorm (9) stelt dus periodieke eendimensionale signalen voor als de som van vectoren op het complexe vlak dat roteert met positieve en negatieve frequenties. Tegelijkertijd merken we op dat in het geval van een echt signaal, volgens (9), de uitzettingscoëfficiënten voor negatieve frequenties complex geconjugeerd zijn met de overeenkomstige coëfficiënten voor positieve frequenties. In het geval van een complex signaal geldt deze eigenschap van de coëfficiënten niet vanwege het feit dat ze ook complex zijn.

Spectrum van periodieke signalen

De Fourierreeks in complexe vorm is de uitbreiding van een periodiek signaal in een som van complexe exponentiëlen die roteren met positieve en negatieve frequenties in veelvouden van rad/s met de bijbehorende complexe coëfficiënten, die het spectrum van het signaal bepalen. De complexe coëfficiënten kunnen worden weergegeven door de Euler-formule als , waarbij − amplitude spectrum, a is het fasespectrum.

Aangezien periodieke signalen alleen worden uitgebreid tot een reeks op een vast frequentieraster, is het spectrum van periodieke signalen lijn (discreet).

Figuur 5. Spectrum van een periodieke reeks

Rechthoekige pulsen:

A is het amplitudespectrum; b - fasespectrum

Figuur 5 toont een voorbeeld van het amplitude- en fasespectrum van een periodieke reeks rechthoekige pulsen (zie figuur 1) voor c, pulsduur c en pulsamplitude B.

Het amplitudespectrum van het oorspronkelijke reële signaal is symmetrisch ten opzichte van de nulfrequentie, terwijl het fasespectrum antisymmetrisch is. Tegelijkertijd merken we op dat de waarden van het fasespectrum en corresponderen met hetzelfde punt in het complexe vlak.

Er kan worden geconcludeerd dat alle uitzettingscoëfficiënten van het gereduceerde signaal puur reëel zijn en dat het fasespectrum komt overeen met negatieve coëfficiënten.

Merk op dat de afmeting van het amplitudespectrum samenvalt met de afmeting van het signaal. Als de verandering in spanning in de tijd wordt beschreven, gemeten in volt, dan hebben de amplitudes van de harmonischen van het spectrum ook de afmeting van volt.

conclusies

In deze sectie beschouwen we de weergave van periodieke signalen met behulp van de Fourier-reeks. Uitdrukkingen voor de Fourierreeks in trigonometrische en complexe vormen worden gegeven. We hebben speciale aandacht besteed aan de Dirichlet-voorwaarden voor de convergentie van de Fourierreeks en gaven voorbeelden van functies waarvoor de Fourierreeks divergeert.

We stonden in detail stil bij de uitdrukking van de Fourier-reeks in complexe vorm en toonden aan dat periodieke signalen, zowel reëel als complex, worden weergegeven door een reeks complexe exponentiëlen met positieve en negatieve frequenties. In dit geval zijn de uitzettingscoëfficiënten ook complex en karakteriseren ze het amplitude- en fasespectrum van een periodiek signaal.

In de volgende sectie zullen we de eigenschappen van de spectra van periodieke signalen in meer detail bekijken.

Software-implementatie in de DSPL-bibliotheek

Dech, G. Gids praktische toepassing Laplace transformeert. Moskou, Nauka, 1965, 288 d.

Doelstelling: vertrouwd raken met de spectrale beschrijving van periodieke functies met behulp van Fourierreeksen.

Noodzakelijke theoretische informatie. Fourier-expansie

Het eerste signaal dat wordt overwogen, is een reeks rechthoekige pulsen met een amplitude MAAR , duur en herhalingsperiode T . Laten we het begin van de tijdtelling nemen zoals deze zich in het midden van de puls bevindt (Fig. 1).

Fig 1. - Periodieke reeks rechthoekige pulsen

Dit signaal is een even functie, dus voor de weergave ervan is het handiger om de sinus-cosinusvorm van de Fourier-reeks te gebruiken - het zal alleen cosinustermen bevatten , gelijk aan

Laten we voorstellen arbeidscyclus
in de resulterende formule voor de coëfficiënten van de Fourierreeks, en dan reduceren we de formule tot de vorm
.

De weergave van een reeks rechthoekige pulsen in de vorm van een Fourierreeks heeft de vorm:

De amplitudes van de harmonische termen van de reeks zijn afhankelijk van het harmonische getal volgens de wet
(Zie Afb. 2) Functiegrafiek
heeft een bloembladkarakter. Dus de breedte van de bloembladen, gemeten in het aantal harmonischen, is gelijk aan de duty cycle van de reeks (met
wij hebben
, als
). Dit impliceert een belangrijke eigenschap van het spectrum van een reeks rechthoekige pulsen - het mist (heeft nul amplitudes) harmonischen met getallen die veelvouden zijn van de duty cycle.

Rijst. 2 - Fourierreekscoëfficiënten voor een reeks rechthoekige pulsen.

De frequentieafstand tussen aangrenzende harmonischen is gelijk aan de pulsherhalingsfrequentie -
. De breedte van de spectrumlobben, gemeten in frequentie-eenheden, is gelijk aan
, dat wil zeggen, het is omgekeerd evenredig met de duur van de pulsen, d.w.z. hoe korter het signaal, hoe breder het spectrum.

Een belangrijk speciaal geval van het vorige signaal is: dwalen(Afb. 3) - een reeks rechthoekige pulsen met een duty cycle gelijk aan
wanneer de duur van de pulsen en de intervallen ertussen gelijk worden.

Rijst. 3 - Meander

waar m is een willekeurig geheel getal.

Er zijn dus alleen oneven harmonischen aanwezig in het meanderspectrum. De weergave van de meander in de vorm van een Fourierreeks, hiermee rekening houdend, kan als volgt worden geschreven:

De harmonische componenten waaruit de meander bestaat, hebben amplituden die omgekeerd evenredig zijn met de harmonische getallen en wisselende tekens. In de gebieden grenzend aan de discontinuïteit geeft de som van de Fourierreeks merkbare pulsaties. Dit fenomeen, dat inherent is aan Fourier-reeksen voor signalen met discontinuïteiten van de eerste soort (sprongen), heet het Gibbs-effect. Er kan worden aangetoond dat de amplitude van de eerste (grootste) piek ongeveer 9% van de sprongwaarde is.