Systemen en elementen van systemen. ACS-classificatie

Modellen, modeltypes en hun gebruik

Een van de belangrijkste elementen die nodig zijn om complexe problemen effectief op te lossen, is de constructie en het juiste gebruik van het model. Model is een weergave van een object of systeem in een of andere vorm, verschillend van de vorm van hun werkelijke bestaan.

Modellen kunnen uiteraard veel verschillende vormen aannemen en met verschillende mate van wiskundig detail worden geschreven. De keuze van het complexiteitsniveau dat het model bruikbaar maakt, wordt bepaald door het beoogde gebruik.

In de dagelijkse praktijk gebruiken ze bij het werken met systemen speculatieve (subjectieve) modellen, waarin helemaal geen wiskunde is. Voorbeelden van dergelijke modellen zijn functionerende algoritmen, regels voor systeembesturing, enz.

Om de eigenschappen van sommige objecten en systemen te beschrijven, zijn numerieke tabellen en (of) grafieken geschikt. Dergelijke beschrijvingen worden gewoonlijk grafische patronen genoemd. Lineaire automatische controlesystemen (ACS) kunnen bijvoorbeeld worden weergegeven door hun impulsreacties, reacties op een eenheidssprong of frequentiekarakteristieken. De bijbehorende grafische voorstellingen worden veel gebruikt bij het ontwerp en onderzoek van ACS.

In complexere toepassingen worden wiskundige modellen gebruikt waarin relaties die de relaties tussen objectvariabelen beschrijven, worden gespecificeerd in de vorm van specifieke vergelijkingen. Daarom worden dergelijke modellen soms analytische modellen genoemd. Wiskundige modellen zijn geformaliseerde wiskundige beschrijvingen die met de vereiste nauwkeurigheid de processen weergeven die plaatsvinden in het object dat wordt bestudeerd. Wiskundige modellen kunnen worden uitgerust met een reeks verklarende bijvoeglijke naamwoorden (lineair, niet-lineair, discreet, continu, deterministisch, stochastisch, enz.), Afhankelijk van het type vergelijkingen dat wordt bestudeerd.

Bij computermodellering is het model van het systeem een \u200b\u200bcomputerprogramma. Een programma dat het gedrag van complexe systemen beschrijft, kan een verzameling interacterende routines en opzoektabellen zijn. Het formaliseren van zo'n set in de vorm van een of ander wiskundig model kan een moeilijke taak zijn. Dergelijke geautomatiseerde weergaven worden programma- (of machine-) modellen genoemd. Dergelijke modellen spelen momenteel een belangrijke rol bij het nemen van optimale beslissingen in complexe systemen.

Modellen kunnen op verschillende manieren worden ingedeeld. Geen van hen is echter volledig bevredigend, hoewel ze elk een specifiek doel dienen. Hier zijn enkele typische alternatieve groepen modellen:

Fysiek (volledig) en wiskundig (symbolisch);

Statisch en dynamisch;

Deterministisch en stochastisch;

Discreet en continu;

Lineair en niet-lineair;

Gericht en gedistribueerd;

Stationair en niet-stationair.

Fysieke modellen zijn modellen waarin de eigenschappen van een reëel object worden weergegeven door een eigenschap van hetzelfde object (layout) of een andere eigenschap van een object dat qua gedrag vergelijkbaar is.

Wiskundige modellen zijn modellen die symbolen gebruiken in plaats van fysieke apparaten om een \u200b\u200bproces weer te geven.

Het wiskundige model kan worden weergegeven als een reeks grootheden die het proces van functioneren van een echt object beschrijven:

a) een reeks gecontroleerde invoeracties op het object

b) een reeks ongecontroleerde inputinvloeden

c) een set interne (intrinsieke) parameters van het object

d) een reeks uitvoerkarakteristieken van het object (toestandsvariabelen)

De structuur van het gesimuleerde object heeft de vorm die wordt getoond in Fig. 4.1

Inputvariabelen zijn onafhankelijk (exogeen) en outputvariabelen zijn afhankelijke (endogene) variabelen.

Het proces van het functioneren van een object wordt in de tijd beschreven door de operator F, die onafhankelijke variabelen omzet in afhankelijk

(4.1)

De reeks afhankelijkheden van de uitvoerkarakteristieken van het object in de tijd wordt het uitvoertraject genoemd.

Afhankelijkheid (1.1) wordt de wet van het functioneren van objecten genoemd. In het algemene geval kan de wet van het functioneren van een object worden gespecificeerd in de vorm van een functie, functionele, logische voorwaarden, in algoritmische en tabelvorm, of in de vorm van een verbale correspondentieregel.

Heel belangrijk voor de beschrijving en studie van het object is functionerend algoritme concept, die wordt opgevat als de methode om de outputkenmerken te verkrijgen, rekening houdend met de inputacties.

Het is duidelijk dat een en dezelfde functioneringswet op verschillende manieren kan worden geïmplementeerd, d.w.z. met behulp van veel verschillende bedieningsalgoritmen.

Relaties (1.1) zijn een wiskundige beschrijving van het gedrag van het modelleerobject in tijd t, d.w.z. weerspiegelen zijn dynamische eigenschappen. Daarom worden dergelijke wiskundige modellen genoemd dynamisch ... Ze beschrijven veranderingen in parameters in de tijd, bijvoorbeeld:

(4.2)

Een ingenieur heeft heel vaak te maken met dergelijke modellen bij het ontwikkelen van nieuwe technologische processen, producten, tools en automatische besturingssystemen. In wezen komt elk ontwerpprobleem dat verband houdt met het berekenen van energiestromen of lichaamsbeweging uiteindelijk neer op het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

Statisch modellen beschrijven processen die niet in de tijd veranderen, d.w.z. objectgedrag in stabiele toestand

(4.3)

Statische modellen worden in de regel gebruikt voor ontwerpoptimalisatie van een object.

Typisch wordt een dynamisch model gespecificeerd in de vorm van differentiaalvergelijkingen en een statisch model in de vorm van algebraïsche of transcendentale.

Modellen met een starre relatie tussen variabelen worden genoemd deterministisch ... Dergelijke modellen bevatten geen willekeurige factoren en de waarden van de outputvariabelen worden uniek bepaald door de waarden van de inputvariabelen.

Stochastisch Het (probabilistische) model weerspiegelt de impact van willekeurige factoren. Er is dus geen functionele afhankelijkheid (deterministisch model) tussen de input- en outputvariabelen, maar een probabilistische. Gewoonlijk worden de toestandsvariabelen van een object geschat in termen van de wiskundige verwachting en de invoeracties - door probabilistische verdelingswetten.

Continu het model beschrijft continue veranderingen in objectvariabelen gedurende een bepaalde periode, bijvoorbeeld:

Discreet het model beschrijft de relatie tussen de variabelen van het object op discrete tijdstippen, bijvoorbeeld: waar is het begin van de j-de fase van objectmodellering; - het einde, d.w.z. de toestand van het object op het moment van de tijd wordt bepaald door zijn bekende toestand op dat moment, mits zijn bekend en blijven constant.

Hebben lineair model is er een evenredige relatie tussen de input- en outputvariabelen. Modellen die niet aan deze voorwaarde voldoen wel niet-lineair .

Een dynamisch model dat de verandering in objectvariabelen alleen in de tijd beschrijft, wordt een dynamisch model genoemd gefocust parameters (de vereiste waarde hangt af van slechts één variabele).

Deze modellen bevatten een of meer afgeleiden van toestandsvariabelen en zijn gewone differentiaalvergelijkingen. Ze kunnen worden geschreven als:

Het complete wiskundige model, samen met de differentiaalvergelijking (1.4) bij het oplossen van praktische problemen, bevat ook enkele aanvullende voorwaarden (bijvoorbeeld de waarden van de gezochte variabelen y ) op het eerste moment t0gebeld begincondities :

Bij veel praktische problemen hangt de gewenste waarde af van meerdere variabelen. In dit geval bevat het wiskundige model partiële afgeleiden en wordt het aangeroepen gedistribueerd parametermodel .

Als tijd t een van de onafhankelijke variabelen is, dan geeft zo'n model een beschrijving van de dynamiek van het proces zowel in tijd als in ruimte. Een compleet wiskundig model bevat partiële differentiaalvergelijking, beginvoorwaarden en randvoorwaarden als het wiskundig model in een beperkte ruimte wordt gedefinieerd. Een voorbeeld van zo'n model is het warmtegeleidings- of diffusiemodel (parabolische vergelijking):

, (4.5)

waarbij y een toestandparameter is (temperatuur of concentratie); t is tijd; x - ruimtelijke coördinaat (materiaaldikte); a - constante voor gegeven begin- en randvoorwaarden.

Op dit moment is het moeilijk om een \u200b\u200bgebied van menselijke activiteit te noemen waarin modellen en modelleringsmethoden in de een of andere mate niet zouden worden gebruikt. Dit geldt met name voor het beheer van verschillende systemen, waarbij de belangrijkste processen besluitvorming op basis van de ontvangen informatie zijn.

Het idee om een \u200b\u200bobject of systeem weer te geven met behulp van een model is zo algemeen dat het moeilijk is om een \u200b\u200bvolledige classificatie te geven van alle functies van het model. Er zijn in ieder geval de volgende redenen voor het toepassingsgebied van modellen in de technische praktijk:

Beheer van complexe objecten en systemen (technisch, economisch, sociaal, etc.);

Ontwerp van technische objecten en systemen;

Voorspellingen en diagnostiek met behulp van het objectmodel;

Creatie van leer- en opleidingsinstrumenten;

Numerieke experimenten opzetten op een simulatiemodel van een object.

Wiskundige modellering is een integraal onderdeel van alle technische en natuurwetenschappelijke disciplines. De belangrijkste taak van technologie is inderdaad het vinden van een goede ontwerpoplossing, optimaal facilitair beheer, de beste toewijzing van middelen, een optimaal productieplan, enz. Met behulp van een wiskundig model.

Wiskundige modellen zijn ook een krachtig hulpmiddel voor het oplossen van simulatieproblemen en het voorspellen (voorspellen) van het gedrag van gesimuleerde objecten in verschillende situaties, die vaak niet alleen in de technologie voorkomen, maar ook in economie, ecologie, biologie en andere kennisgebieden. Modellen worden veel gebruikt als middel om mensen op te leiden en op te leiden die met allerlei ongevallen moeten kunnen omgaan voordat zich een echte kritieke situatie voordoet. Er zijn algemeen bekende toepassingen van modellen zoals mock-ups op ware grootte of modellen van ruimtevaartuigen die worden gebruikt voor het trainen van astronauten, simulatoren voor het trainen van chauffeurs, zakelijke spellen voor het trainen van besluitvormend personeel.

Het gebruik van modellen maakt het mogelijk om gecontroleerde experimenten uit te voeren in situaties waarin experimenteren met echte objecten praktisch onmogelijk of economisch onpraktisch is. Wanneer we experimenteren met een model van een complex systeem, kunnen we vaak meer te weten komen over de interne wisselwerkingsfactoren dan we zouden kunnen leren door te experimenteren met een echt systeem. Dit wordt mogelijk dankzij de observeerbaarheid van de variabele structurele elementen van het model, omdat we het gedrag ervan onder verschillende externe invloeden kunnen beheersen, is het gemakkelijk om de parameters ervan te wijzigen.

Als we het bovenstaande samenvatten, merken we op dat een model kan dienen om een \u200b\u200bvan de twee hoofddoelen te bereiken: ofwel beschrijvend, als het model dient om het object uit te leggen en (of) beter te begrijpen, ofwel prescriptief, wanneer het model het mogelijk maakt de kenmerken van het object te voorspellen en (of) te reproduceren die bepalen zijn gedrag.

Computerwetenschappen, cybernetica en programmeren

Modellen die worden gebruikt bij het beheer. Soorten modellen. Tijdschaal van dynamische modellen. Continue modellen van dynamische systemen. Vergelijkingen van de staat. Niet-lineaire systemen. Numerieke modellering van dynamische systemen. Stap te groot probleem. Discrete Dynamo's

Modellen die worden gebruikt bij het beheer. Soorten modellen. Tijdschaal van dynamische modellen... Continue modellen van dynamische systemen. Vergelijkingen van de staat. Niet-lineaire systemen. Numerieke modellering van dynamische systemen. Stap te groot probleem. Discrete modellen van dynamische systemen. Controleerbaarheid, evaluatie en observeerbaarheid. Fuzzy-systemen

Het procesmodel is de basis van management. Elke controlestrategie is gebaseerd op enig begrip van hoe een fysiek proces reageert op een ingangssignaal. Daarom is het vermogen om de dynamiek van het systeem te analyseren en te modelleren de belangrijkste voorwaarde voor succesvol beheer.

Modeltypes

Er zijn veel manieren om systemen met modellen te beschrijven. De keuze hangt af van de informatie die eerder beschikbaar was, de mogelijkheid om gegevens te verzamelen over het proces terwijl het zich ontwikkelt en, belangrijker nog, het doel van de modellering. In tegenstelling tot de wetenschap, waar het doel van modellering is om diep in de essentie van het systeem door te dringen, wordt het model in technische zin als adequaat beschouwd als de corresponderende besturingsprocessen op een voorspelbare manier werken, dat wil zeggen, er is een stabiele output met kleine afwijkingen van de ingestelde waarde, reproduceerbaarheid van de respons op het ingangssignaal, en enzovoort.

1. Tijd-continue (analoge) beschrijving. Het systeem wordt beschreven door lineaire of niet-lineaire differentiaalvergelijkingen voor de balans van massa, energie, krachten of momenten. In veel gevallen kunnen niet-lineaire vergelijkingen worden gelineariseerd en daardoor het werk ermee vereenvoudigen.
2. Tijddiscrete beschrijving(bemonsterde tijdbeschrijving). Fysische eigenschappen worden beschreven door lineaire of niet-lineaire differentievergelijkingen. Deze benadering houdt in dat informatie over het systeem alleen op bepaalde, discrete tijden beschikbaar is. Dit type beschrijving is eigenlijk bijna onvermijdelijk bij digitale besturing, omdat computers gebaseerd op de meest voorkomende von Neumann-architectuur (von Neumann ), voer de instructies opeenvolgend uit. Het bepalen van het bemonsteringsinterval, dat wil zeggen de frequentie van het bijwerken of herberekenen van gegevens, is het belangrijkste element van een dergelijke modellering.
3. Modellen van systemen gebaseerd op discrete evenementen(model voor discrete gebeurtenissen) of op opeenvolgingen van gebeurtenissen(sequencing-systeem). Een voorbeeld van de volgorde van gebeurtenissen werd gegeven in paragraaf 2.2.1. In deze beschrijving zijn de invoer- en uitvoerwaarden van het systeem discreet in de tijd en zijn meestal binaire aan / uit-signalen. Veel sequentiesystemen kunnen worden omschreven als wachtrijsystemen en gemodelleerd door zogenaamde Markov-ketens of Markov-processen.
4. Modellen van systemen met onzekerheden(systeem met onzekerheden). Zowel de aangestuurde systemen zelf als de metingen worden vaak beïnvloed door ongewenste geluiden en storingen. In sommige gevallen kunnen storingen en onvolledige kennis van het technische proces statistisch worden geïnterpreteerd. In andere kunnen onzekerheidsfactoren in plaats van kwantitatieve kenmerken worden beschreven door taalkundige en logische uitdrukkingen. Een voorbeeld van zo'n beschrijving zijn de regels van "als-dan-anders" expertsystemen. Een ander middel om onzekerheden te beschrijven is de zogenaamde fuzzy(vage) algebra.

Tijdschaal van dynamische modellen

De tijdschaal is een van de belangrijkste kenmerken van een dynamisch proces. De meeste technische systemen en industrieën bevatten verschillende processen die aanzienlijk verschillen in responstijd. Daarom is het bij het beschrijven van het proces belangrijk om een \u200b\u200btijdschaal te kiezen die overeenkomt met het doel.

Laten we dit illustreren met het voorbeeld van industriële productie. Beheertaken kunnen worden onderverdeeld in verschillende niveaus. Gebeurtenissen op machineniveau vinden plaats in fracties van een seconde, zoals bij het besturen van een robotarm of een werktuigmachine. Op het volgende hogere controleniveau, op siteniveau, is het doel om verschillende mechanismen te synchroniseren, bijvoorbeeld om te beslissen wanneer een robot een onderdeel tussen twee machines moet verplaatsen. De tijdschaal is hier al in de orde van seconden tot minuten. Op siteniveau wordt aangenomen dat de taak van het besturen van een bepaalde werktuigmachine al op een lager niveau is opgelost. De tijdschaal op locatieniveau wordt bepaald door de taken om de machine van werkstukken te voorzien, te bepalen of de robot vrij is om een \u200b\u200bnieuw onderdeel te pakken, enz. Op een nog hoger niveau wordt de productie als geheel gepland, dat wil zeggen wat te produceren en met welke specifieke kenmerken. De oplossing voor dergelijke problemen kan dagen of weken duren, en ter vergelijking wordt de dynamiek van één machine als eenmalig beschouwd.

Modellering van dynamische systemen

Er zijn zowel bekende als lang bestudeerde processen, en processen waarover zeer weinig bekend is en die moeilijk kwantitatief te beschrijven zijn. De dynamiek van vliegtuigen en kernreactoren is bijvoorbeeld zeer grondig bestudeerd en er zijn vrij nauwkeurige, zij het zeer complexe, modellen van deze processen. Er zijn processen die moeilijk te kwantificeren zijn. Zo kan bijvoorbeeld een laboratoriumproces voor de fermentatie van één type micro-organisme in een welbepaald voedingsmedium zeer nauwkeurig worden beschreven. Het biologische afvalwaterzuiveringsproces daarentegen bevat een complex mengsel van organismen in een omgeving die moeilijk te beschrijven is. Een dergelijk proces kan slechts gedeeltelijk worden beschreven door conventionele kwantitatieve modellen. Wanneer kwantitatieve modellen niet volstaan \u200b\u200bof ze te complex zijn, worden semantische (linguïstische) modellen gebruikt om de processen te beschrijven. Andere voorbeelden van gedeeltelijk bestudeerde processen zijn metaalproductie, scheiding van vloeistoffen en vaste stoffen, veel biochemische processen en de werking van cirkelovens.

Processen waarvan de parameters in de loop van de tijd veranderen, worden gekenmerkt door hun eigen specifieke problemen. In een biologisch systeem kan de toevoeging van een nieuw substraat aan een proces bijvoorbeeld een mutatie van micro-organismen veroorzaken, wat zal leiden tot een significante verandering in de dynamiek van het hele proces.

Het modelleren van een complex systeem is doorgaans moeilijk, duur en tijdrovend, vooral als experimentele verificatie vereist is. In principe zijn er twee manieren om een \u200b\u200bmodel te ontwikkelen. Met de fysieke benadering wordt het model gevormd op basis van fysieke relaties en balansvergelijkingen. Een andere manier om een \u200b\u200bdynamisch model te bouwen, is gebaseerd op experimentele gegevens. Storingen worden in het technische proces geïntroduceerd in de vorm van verschillende soorten ingangssignalen, en vervolgens wordt de analyse van een reeks invoer- en uitvoergegevens uitgevoerd met behulp van een procedure genaamdidentificatie van parameters. Als de analyse in realtime wordt uitgevoerd, d.w.z. met een snelheid die vergelijkbaar is met de snelheid van het proces, wordt een dergelijke procedure genoemdrecursieve evaluatie.

In de praktijk wordt meestal een combinatie van fysieke modellering en parameteridentificatie gebruikt. Met een diepere studie van de basiseigenschappen van het proces, wordt het gemakkelijker om een \u200b\u200bnauwkeurige dynamische beschrijving te verkrijgen. Maar zelfs zorgvuldig ontworpen modellen op basis van een fysieke benadering vereisen experimentele verificatie.

De parameters van veel processen en systemen veranderen niet alleen in de tijd, maar ook in de ruimte, bijvoorbeeld de concentratie van een vloeistof in een tank. De fysieke balans van dergelijke systemen wordt beschreven door partiële differentiaalvergelijkingen. In procesbesturingssystemen worden deze vergelijkingen meestal benaderd door eindige verschillen in ruimtelijke variabelen, zodat het systeem kan worden beschreven door gewone differentiaalvergelijkingen.

Continue modellen van dynamische systemen. Vergelijkingen van de staat

Differentiaalvergelijkingen die een fysisch proces beschrijven, kunnen altijd worden omgezet in een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. In dit geval zeggen ze dat deze beschrijving in het formulier staattoestandsvergelijkingenof in toestandsruimte. Het belangrijkste voordeel van deze notatie is dat numerieke methoden kunnen worden gebruikt om deze vergelijkingen op te lossen. Bovendien wordt de fysieke essentie van het proces duidelijk getraceerd, met name de relatie tussen interne variabelen en externe in- en uitgangssignalen. Evenzo is de studie van regelsystemen met meer dan één input en output gemakkelijker in de vorm van toestandsvergelijkingen. De basis van het wiskundige apparaat voor toestandsruimtemodellen is voornamelijk lineaire algebra - vector- en matrixnotaties vereenvoudigen de beschrijving aanzienlijk. Lineaire algebra-technieken zijn echter niet vereist om een \u200b\u200bbasiskennis te krijgen van de dynamica van een systeem.

Toestandsvergelijkingen zijn een praktische en gemakkelijke manier om dynamische systemen te beschrijven. Een toestand is een verzameling van alle variabelen - de zogenaamdetoestandsvariabelen, afgeleiden van de eerste orde waarvan zijn opgenomen in de vergelijkingen die het dynamische systeem beschrijven. Het concept van toestandsvergelijkingen is fundamenteel. Als de huidige toestand van het systeem (toestandsvariabelen) en ingangssignalen bekend zijn, kan het verdere gedrag ervan worden voorspeld. In dit geval is de prehistorie, d.w.z. hoe de huidige staat werd bereikt, is niet nodig om te weten. Met andere woorden, een toestand is de minimale hoeveelheid informatie over een systeem die nodig is om zijn toekomstige gedrag te voorspellen.

Staat x kan worden weergegeven als een kolomvector waarvan de componenten statusvariabelen zijn

Alle toestandsvariabelen kunnen in zeldzame gevallen direct worden gemeten, d.w.z. er zijn interne variabelen die niet kunnen worden bewaakt door sensoren. Daarom wordt de beschrijving in de toestandsruimte ook wel genoemdinterne beschrijving. Uitvoerhoeveelheden - metingen, aangegeven doory 1, y 2, ..., y p en vorm de vectorbij

Over het algemeen het aantal sensorenr, procesgerelateerd, minder toestandsvariabelenp. Daarom is de berekeningx tot y Is een niet-triviale taak.

Elk technisch systeem wordt beïnvloed door twee soorten ingangssignalen: signalen die handmatig of automatisch kunnen worden gewijzigd met technische middelen, en signalen die niet kunnen worden bestuurd. Signalen van het eerste type worden stuursignalen of stuurvariabelen genoemd.U 1, U 2 make-up vectorU

Ingangssignalen van het tweede type kunnen het systeem beïnvloeden, maar kunnen niet worden bestuurd. De grootte van deze signalen weerspiegelt de invloed van de externe omgeving op het systeem, bijvoorbeeld een verandering (storing) in de belasting veroorzaakt door temperatuur, straling, ongewenste magnetische invloeden ("pickups"), etc. Al deze signalen worden aangeduid met een vectorv

Het doel van het regelsysteem is om op basis van de beschikbare metingen dergelijke regelsignalen te berekenen en zodat ondanks de invloed van storingenv voerde het technische systeem de opgedragen taken uit. Het bestuurde systeem kan worden weergegeven in de vorm van een blokschema (Fig.3.13), dat stuursignalen, storingen en uitgangsvariabelen toont

Afb. 2.1 Blokschema van het gecontroleerde systeem

Reikwijdte van lineaire modellen

Er zijn dynamische verschijnselen die niet kunnen worden beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Laten we eens kijken naar de invloed van niet-lineariteit op voorbeelden. De hieronder beschreven systemen gedragen zich lineair bij kleine waarden van de ingangssignalen, en bij grote waarden treedt niet-lineariteit op.

Signaalbeperkingen

In het echte leven zijn alle signalen beperkt. Veel technische systemen gebruiken kleppen als laatste bedieningselementen. Omdat de klep niet meer dan 100% geopend kan worden, kan een wiskundig berekend stuursignaal soms simpelweg niet gerealiseerd worden (Fig. 2.2). Dit veroorzaakt bepaalde problemen bij het beheer.

Een ander voorbeeld van signaalbeperking is de rotorstroom van een elektromotor. De stroom moet beperkt zijn, anders zal de motor doorbranden. Dienovereenkomstig kan het motorregelsysteem niet lineair zijn, vooral niet bij hoge acceleraties en koppels, wanneer de stroom ook groot moet zijn.

Figuur 2.2 Uitvoer van een beperkte actuator

Niet-lineaire systemen

De beschreven systemen zijn niet-lineair, maar onder sommige aannames kunnen ze worden benaderd door lineaire vergelijkingen. Andere soorten niet-lineariteit kunnen niet worden herleid tot een lineaire beschrijving. Het meest voorkomende voorbeeld zijn relaissystemen. De relais genereren aan / uit binaire signalen; Een ideaal relais voor elke positieve ingang heeft een vaste positieve uitgang en een overeenkomstige vaste negatieve uitgang voor elke negatieve ingang. Zo'n systeem voldoet uiteraard niet aan het superpositieprincipe

Voorbeelden van systemen met significante niet-lineariteiten:

1. verschillende soorten relais (met dode band, hysterese, enz.);
2. kleppen (dode zones, verzadiging);
3. niet-lineaire vervormingen van mechanische veren;
4. drukval in de vernauwing van de buis;
5. wrijvingskrachten;
6. aerodynamische weerstand;
7. stoom eigenschappen;
8. gelijkstroommotoren met seriële veldwikkeling (koppel is een functie van het kwadraat van de rotorcircuitstroom);

aC-motoren

Niet-lineaire systemen kunnen als volgt worden beschreven

waar n toestandsvariabelen en g-ingangen, of in compacte vectorvorm

Numerieke simulatie van dynamische systemen

In de meeste gevallen worden numerieke methoden gebruikt om niet-lineaire differentiaalvergelijkingen op te lossen. De belangrijkste methode voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen is de benadering van tijdsafgeleiden door eenvoudige differentievergelijkingen. Deze methode wordt Euler's opwaartse differentiatiebenadering genoemd

Als de beginvoorwaarden x (0) bekend zijn, dan zijn de toestanden x (t + h), x (t +2 h), x (t +3 h ), ..., die soms benaderingen zijn van de exacte oplossingt + h, t +2 uur, t +3 uur enzovoort. Het is hier erg belangrijk om te kiezenintegratie stap h, die in principe zo klein mogelijk zou moeten zijn, maar in de praktijk wordt gekozen voor een bepaalde compromiswaarde. Een te kleine stap leidt tot een onredelijk lange rekentijd (die uiteraard nog steeds sterk afhangt van de complexiteit van de berekeningen, het soort vergelijkingen, het aantal variabelen en het processorkracht). Aan de andere kant, te veel waardeh veroorzaakt convergentieproblemen en leidt tot ongewenste resultaten. Het effect van een verkeerd gekozen stap kan erg groot zijn, vooral als het gesimuleerde systeem zowel snelle als langzame dynamische processen omvat.

Stap te groot probleem

Beschouw om het probleem van een te grote stap te illustreren een eenvoudig systeem dat wordt beschreven door de vergelijking van de eerste orde

waarbij x (0) \u003d 1 en a\u003e 0. De vergelijking heeft een analytische oplossing

Aan de andere kant kan de differentiaalvergelijking numeriek worden opgelost door de methode van Euler. Wanneer benaderd door een afgeleide door een eindig verschil

In afb. 2.3. er wordt getoond wat er gebeurt bij verschillende waarden van de staph. Over het algemeen voor grote waardenh - zodanig dat h\u003e 2 / a, de oplossing x zal een oscillerend karakter hebben met een verandering in teken en een toename in amplitude. Het probleem van oscillatie als gevolg van een te grote integratiestap wordt numerieke instabiliteit genoemd. Deze instabiliteit heeft niets met het systeem zelf te maken en wordt alleen veroorzaakt door een te ruwe benadering bij het berekenen van de oplossing.

Er zijn veel methoden voor numerieke integratie, elk met zijn eigen voor- en nadelen; de meest voorkomende methoden zijn Runge-Kutta. Bij de meeste integratiemethoden is een variabele stapgrootte mogelijk die automatisch wordt geselecteerd om te voldoen aan een vooraf bepaald foutcriterium

Discrete modellen van dynamische systemen

Een digitale computer kan geen constant veranderende analoge gegevens verwerken. Dienovereenkomstig vindt zowel het verzamelen van gegevens als het genereren van stuursignalen alleen plaats op bepaalde tijdstippen. De situatie verandert niet fundamenteel met toenemende processorsnelheid. Een snellere processor werkt volgens hetzelfde principe als een langzamere: hij verwerkt gewoon meer gegevens in dezelfde hoeveelheid tijd, maar de gegevens blijven discreet.

Het volgende is een model van een fysiek proces dat geschikt is voor computerbesturingstoepassingen. Volgens het beschouwde model worden de gemeten procesgegevens met regelmatige tussenpozen verzameld. Deze intervallen hoeven niet hetzelfde te zijn, maar de beschrijving van een discreet dynamisch model wordt gemakkelijker met een constant interval. Dit proces wordt genoemdbemonstering, bemonstering(bemonstering) of kwantisering, interval lengte -tijd (periode, interval) bemonstering, bemonstering(bemonsteringstijd) of kwantisering. Een andere vereenvoudiging die wordt gebruikt bij de ontwikkeling van discrete-tijd procesmodellen is dat de gemeten data en stuursignalen constant blijven tijdens het bemonsteringsinterval. In feite werken de bemonsterings- en opslagcircuits van de computerinterface op dezelfde manier.

Beschrijving van de ruimte van de staat

Een niet-lineair proces kan worden benaderd door de differentievergelijking

waar h - steekproefintervalkh - het serienummer;f (x, u ) Is de tijdsafgeleide van de systeemstatusvector x. De benadering is geldig alsh klein genoeg en de afgeleide is "glad". De verschilvergelijking is in wezen hetzelfde als bij numerieke simulatie. Een lineair systeem met constante coëfficiënten in discrete vorm wordt als volgt weergegeven

In matrixnotatie kan dit worden geschreven

Voor een lineair of gelineariseerd systeem is een benadering niet nodig. Omdat lineaire differentiaalvergelijkingen analytisch kunnen worden opgelost, kunnen de overeenkomstige vergelijkingen voor de discrete weergave uit de oplossing worden verkregen. Aangenomen wordt dat het stuursignaalu (t) blijft constant tussen bemonsteringstijden, dat wil zeggen dat het systeem een \u200b\u200bbewaarschema bevat. Het discrete model kan in matrixvorm worden geschreven

waarbij Ф een matrix van dimensie isn x n, en Г is een matrix van dimensien x l. De relatie tussen matrices A en B en matrices Ф en Г is als volgt

waar ik Is de identiteitsmatrix.

Conversie tussen matrices voor continue en discrete modellen kan worden uitgevoerd met behulp van standaardprogramma's. Benadering door eindige verschillen neigt naar een exacte oplossing voor kleine waarden van het bemonsteringsintervalh. Omdat metingen periodiek plaatsvinden, is de vergelijking voor het discrete model alleen geldig op bemonsteringsmomenten

De oplossing van de vergelijkingen van het discrete model op een digitale computer is vrij eenvoudig: oplossingen x (kh ) op opeenvolgende tijdstippen worden stap voor stap berekend op basis van de differentievergelijkingen

Controleerbaarheid, evaluatie en observeerbaarheid

Elk technisch systeem heeft verschillende fundamentele kenmerken die speciale aandacht vereisen.

Beheersbaarheid - het is een kenmerk van het systeem dat aangeeft of het systeem over voldoende instelbare parameters beschikt om het op de gewenste manier te regelen. Een systeem is grofweg bestuurbaar als het mogelijk is om dergelijke stuuracties te selecteren en zodat het systeem een \u200b\u200bbepaalde toestand x bereikt. Alleen als het systeem bestuurbaar is, kunnen de polen (of eigenwaarden) willekeurig worden verplaatst met behulp van feedback.

Als het proces onbeheersbaar is, betekent dit dat delen van het systeem fysiek zijn losgekoppeld van de stuursignalen..

Stuursignalen beïnvloeden elke toestandsvariabele afzonderlijk. In een gecontroleerd systeem zijn alle elementen van matrix B niet nul, anders kunnen de toestandsvariabelen die overeenkomen met nulelementen van matrix B niet worden bestuurd door stuursignalen. De waarden van dergelijke variabelen worden alleen bepaald door de eigenschappen van het systeem.

De bestuurbaarheid van een lineair systeem op basis van een continu en discreet model kan worden gecontroleerd met wiskundige methoden. Geen enkele hoeveelheid wiskundige methoden kan echter het begrip van de ontwerpingenieur van de fysieke aard van het proces vervangen. Het komt bijvoorbeeld vaak voor dat sommige parameters slecht controleerbaar zijn, dat wil zeggen dat de waarden van de overeenkomstige coëfficiënten P klein zijn. En hoewel het systeem formeel controleerbaar is, is het onmogelijk om een \u200b\u200bechte regelaar te creëren die geschikt is voor praktisch gebruik.

Conditiebeoordeling op basis van metingen

Het tweede kenmerk van het systeem betreft meten en observeren. Maakt de bestaande set sensoren het mogelijk om voldoende informatie te verkrijgen over de toestand van het systeem? Is het mogelijk om indirect de volledige huidige toestandsvector te berekenenx (t), als de huidige en vorige waarden van het uitgangssignaal y (0) bekend zijn, wordt deze eigenschap genoemdwaarneembaarheid.

In de meeste gevallen wordt de toestand van het systeem niet direct gemeten, dat wil zeggen dat het aantal sensoren kleiner is dan het aantal toestandsvariabelen. Het is echter vaak belangrijk om de volledige vector van toestand x te kennen, zelfs als er geen geschikte sensoren bestaan \u200b\u200bof simpelweg te duur zijn. Onder bepaalde voorwaarden kunt u de toestandsvector berekenenx gebaseerd op metingenbij ... In het volgende geeft x de berekende toestandsvector aan, aangezien deze kan verschillen van de echte.

Om niet-gemeten toestandsvariabelen te berekenen, kunt u de procedure gebruikenschattingen (schatter), bovendien voor zowel continue als discrete modellen. Een schattingsalgoritme voor een discreet model wordt hier beschouwd, aangezien het direct kan worden toegepast in computerbesturing. Toestandsbeoordeling is eigenlijk een beschrijving van het technische proces door middel van differentievergelijkingen, waarin een extra term wordt geïntroduceerd om de geschatte variabelen aan te passen op basis van metingen van y

Matrix D in de meeste gevallen is het nul. Als het systeem maar één sensor heeft, dan is K een vector, anders is het een matrix. Met een "uitstekende" schatting vallen x en x samen en is de laatste term in de vergelijking gelijk aan nul, aangezien y \u003d C x. De schatting volgt dezelfde dynamische vergelijking als de ware toestandsvector x. Voor zoverx verschilt van x, wordt de laatste term, dat wil zeggen het verschil tussen de werkelijke meting van y en zijn schatting C * x, gebruikt om de fout te corrigeren. De K-matrix is \u200b\u200been weegfactor die de kwaliteit van de beoordeling bepaalt.

Fuzzy-systemen

Veel systemen zijn niet alleen niet-lineair en niet-stationair (verandering in de tijd), maar zijn over het algemeen slecht gedefinieerd. Ze kunnen niet worden gemodelleerd door vergelijkingen of worden weergegeven door een reeks duidelijke als-dan-anders-logische regels. Om dergelijke problemen op te lossen, heeft de Amerikaanse wetenschapper Lotfi A.Zadeh (Tegen Lotfi A. Zadeh ) ontwikkelde vage logica(vage logica). De term "vaag" wordt eigenlijk niet helemaal correct gebruikt, aangezien logica stevig is gebaseerd op wiskundige theorie.

Fuzzy logic kan worden gezien als een discrete controlemethodologie die het menselijk denken imiteert, waarbij een dergelijke eigenschap die inherent is aan alle fysieke systemen als onnauwkeurigheid wordt gebruikt. In traditionele logica en computers worden deterministische sets gebruikt, dat wil zeggen dat je altijd kunt zeggen of een element tot een set behoort of niet. Gewone - binaire - logica werkt alleen met tegengestelde toestanden - "snel / langzaam", "open / gesloten", "warm / koud". In overeenstemming met deze logica kan een temperatuur van 25 ° C als "heet" worden beschouwd, en is 24,9 ° C nog steeds "koud", en zal de temperatuurregelaar dienovereenkomstig reageren.

Fuzzy logic daarentegen werkt door harde binaire variabelen - warm / koud, snel / langzaam, open / gesloten - om te zetten in zachte gradaties met variabelemate van verbondenheid — warm / koel, vrij snel / enigszins traag. Een temperatuur van 20 ° C kan zowel "warm" als "koel" betekenen. Dergelijke gradaties worden genegeerd door normale logica, maar dienen als de hoeksteen van vage logica. De mate van lidmaatschap wordt bepaaldvertrouwen (vertrouwen) of vertrouwen (zekerheid) (uitgedrukt als een getal van 0 tot 1) dat een bepaald element tot een fuzzy set behoort.

Fuzzy-systemen werken hun oplossingen uit op basis van inputinformatie in de vorm van linguïstische variabelen, dat wil zeggen termen van gewone taal, zoals "heet", "langzaam" of "donker". Deze variabelen worden verwerkt door if-then-else-regels, en als resultaat worden een of meer conclusies gegenereerd, afhankelijk van welke uitspraken waar zijn. De output van elke regel wordt gewogen op basis van het vertrouwen of de mate van verbondenheid van de inputwaarden.

Er is enige analogie tussen de als-dan-regelskunstmatig intelligentie en fuzzy logic, hoewel kunstmatige intelligentie het proces is van het verwerken van symbolen, en fuzzy logic niet. Bij kunstmatige intelligentie is een neuraal netwerk een verzameling gegevens en conclusies in de vorm van speciale structuren. Aan elk ingevoerd aantal wordt een relatieve, discrete weegfactor toegekend. Gewogen gegevens vormen een netwerk voor besluitvorming op een nauwkeurig gedefinieerde manier. In fuzzy logic daarentegen worden gewichtsfuncties continu gedefinieerd op basis van de set lidmaatschapswaarden.

Fuzzy logic houdt zich vaak bezig met variabelen die eerder worden waargenomen dan gemeten. Fuzzy logic-besturing heeft nog een significant verschil in vergelijking met de traditionele. Dit laatste is gebaseerd op een wiskundig model van het systeem, dat uitgaat van gedetailleerde kennis van de relevante variabelen. Fuzzy logic-modellering behandelt input / output-relaties waarin veel parameters bij elkaar worden gebracht. Met deze controle helpt het vervangen van een groot aantal waarden door een kleiner aantal lidmaatschapsklassen om het aantal variabelen waarop de toezichthouder moet werken, te verminderen. Dienovereenkomstig zijn er minder regels nodig, aangezien er minder parameters moeten worden geschat, en in veel gevallen kan een fuzzy logic-controller sneller oplossingen genereren dan een expertsysteem op basis van if-then-regels. Op experimentele prototypes werd aangetoond dat fuzzy logic een goed hulpmiddel is voor onvoldoende hoeveelheden informatie.

De automatische treinsnelheidsregelaar dient als een eenvoudige illustratie van fuzzy logic-toepassingen. Het criterium voor de controller is de optimalisatie van de reistijd onder bekende beperkingen. De inputs zijn de huidige snelheid, acceleratie en afstand tot de bestemming, op basis waarvan de gouverneur het motorvermogen regelt

De lidmaatschapsfunctie kent taalkundige waarden toe aan de gemeten waarden. In dit geval heeft versnelling de betekenis van "vertraging" als gevolg van een sterke stijging. Snelheid behoort tot de set van "langzaam" (gewicht 0,8) en "te langzaam" (gewicht 0,2), en afstand is "zeer dicht bij bestemming" met gewicht 0,65 en "dichtbij" met gewicht 0,35

Verschillende regels kunnen een idee geven van de besturingslogica:

1. als snelheid "te langzaam" is en versnelling is "vertraging", dan moet het vermogen "aanzienlijk worden verhoogd";
2. als de snelheid "langzaam" is en de versnelling is "vertraging", dan moet het vermogen "enigszins worden verhoogd";
3. als de afstand "dichtbij" is, dan moet het vermogen "enigszins verminderd" worden.

Welke regel moet worden gekozen? De output heeft ook een zekere mate van vertrouwen, die afhangt van de mate van vertrouwen (d.w.z. het gewicht) van de input. De uiteindelijke keuze in dit voorbeeld is om het vermogen "iets te verhogen". Zelfs als de snelheid te laag is, is de trein al dicht bij zijn bestemming.

Er is geen garantie dat fuzzy logic met succes kan omgaan met complexe systemen. Een regulator op basis van fuzzy logic is praktisch een beoordeling van de toestand van het systeem, die niet op een specifiek model is gebaseerd. Het is erg moeilijk om de stabiliteit van een dergelijke regelaar te bewijzen.

DYNAMISCHE SIMULATIE VAN DE INSTALLATIE

Hoofdstuk 9 Onderzoek, technologiebeoordeling en modellering Aan het begin van elk uitdagend project is het verleidelijk om beslissingen te nemen over nieuwe technologieën, componenten en platforms op basis van algemene aannames. Prestaties, schaalbaarheid en zelfs het milieu