Is de complexe conjugatie-operator lineair? Eigenwaarden en eigenelementen

Laat X een Banachruimte zijn en A een begrensde lineaire operator gedefinieerd op X, met bereik in de Banachruimte Y. Stel x ÎХ en f ÎY*. Vervolgens wordt de waarde van f(Ax) bepaald, en de ongelijkheden | f(Ax)| £ ||f ||?||Bijl|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Deze ongelijkheden laten zien dat de lineaire functionele j(x), gedefinieerd door j(x) = f(Ax), een begrensde functionele is. Met behulp van operator A wordt dus elke lineair begrensde functionele f ОY geassocieerd met een lineaire continue functionele j ОХ*. Door het element f te veranderen zullen we, in het algemeen gesproken, verkrijgen verschillende elementen J; dus krijgen we de operator

gedefinieerd op Y*, met een bereik in de ruimte X*. Deze operator A* is gerelateerd aan operator A door de gelijkheid (A*f)(x) = f(Ax). Als we de in paragraaf 2 geïntroduceerde notatie toepassen voor de lineaire functionele f(x) = (x, f), dan ziet de verbinding tussen de operatoren er symmetrisch uit:

(Bijl, f)=(x, A*f). (1)

De operator A* wordt op unieke wijze bepaald door formule (1) en wordt de operator genoemd die is geconjugeerd aan de operator A.

Als voor alle x en y de gelijkheden gelden

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

dan volgt hieruit, uit gevolgtrekking 4 van de stelling van Hahn-Banach, dat A 1 *y= A*y voor alle y, wat betekent dat A*=A 1 *.

Stelling 11. De adjunct-operator A* is lineair en .

Bewijs. Laten we de additiviteit van de operator A* bewijzen. Als y, z ОY*, dan volgt uit de bovenstaande redenering dat er een uniek element (y + z)* ОX is, zodat (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) voor alle x ОX.

Aan de andere kant hebben we formule (1) gebruikt

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

die. (y+z)* = A*x + A*y, vandaar A*(y+z)=A*y+A*z. Dit bewijst de additiviteit van de operator A*. Ook de uniformiteit is eenvoudig te controleren.

Om de norm van de operator A* te berekenen, voeren we de schattingen uit

Hieruit volgt dat de operator A* begrensd is en .

De operator A* heeft op zijn beurt een adjunct – A**, gedefinieerd door een gelijkheid vergelijkbaar met (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Maar aangezien uit (2) A**x uniek wordt bepaald voor elke xОХ, volgt uit een vergelijking van gelijkheden (1) en (2) dat

(Ax, y) = (A**x, y) "хОХ, "yОY.

Volgens gevolgtrekking 4 van de stelling van Hahn-Banach betekent dit laatste dat A**x=Ax voor alle xÎX, d.w.z. A**= A op de ruimte X. Door de bewezen ongelijkheid voor de norm van de adjunct-operator toe te passen op A* en A**, hebben we , wat de vereiste gelijkheid oplevert: . De stelling is bewezen.

Stelling. 12. Als A en B lineair begrensde operatoren zijn van een Banachruimte X naar een Banachruimte Y, dan

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λA)*= λA*

3. Onder de aanname X = Y is de gelijkheid (AB)*=B*A* waar.

Bewijs. De bovenstaande eigenschappen volgen uit de volgende relaties:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B* )y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y ).

De stelling is bewezen.

Voorbeeld 8. Beschouw in de ruimte L 2 de integraaloperator van Fredholm

met een kernel met een integreerbaar vierkant. We hebben, met behulp van de stelling van Fubini,

, Waar

.

De overgang naar de conjugaatoperator bestaat dus uit het feit dat integratie wordt uitgevoerd over de eerste variabele. Terwijl het bij de oorspronkelijke operator wordt uitgevoerd volgens de tweede.

Meer over onderwerp 6. Conjugaatoperator. Voorwaarden voor het bestaan ​​van de conjugaatoperator. Geslotenheid van de adjunct-operator. Vervoeg operator naar beperkte operator en zijn norm:

1. 2. De stelling van Schauder over de volledige continuïteit van de adjoint-operator. Vergelijkingen van de eerste en tweede soort met volledig continue operatoren. Stelling over de geslotenheid van het waardenbereik van een operator
2. 1. Lineaire operatoren in lineair genormeerde ruimtes. Equivalentie van continuïteit en begrensdheid van een lineaire operator. Het concept van de norm van een beperkte operator. Verschillende formules voor het berekenen van normen. Voorbeelden van lineair begrensde operatoren.
3. 4. Operatorkern. Criterium voor de begrensdheid van een inverse operator. Inverse operatorstellingen
4. 2. De ruimte van lineaire continue operatoren en de volledigheid ervan met betrekking tot uniforme convergentie van operatoren
5. 5. Voorbeelden van inverse operatoren. Inverteerbaarheid van operatoren van de vorm (I - A) en (A - C).
6. 1. Volledig continue operators en hun eigenschappen. Exploitanten van Fredholm en Hilbert-Schmidt
7. 6. Operatorgrafiek en gesloten operatoren. Geslotenheidscriterium. Banach's gesloten grafiekstelling. Open kaartstelling

Een niet-nul element x G V wordt een eigenelement genoemd lineaire operator A: V V, als er een getal A is - de eigenwaarde van de lineaire operator A, zodat Voorbeeld 1. Elke polynoom van graad nul is een eigenelement van de differentiatie-operator, de bijbehorende eigenwaarde is gelijk aan nul: Voorbeeld 2. Differentiatie-operator Eigenwaarden En eigen elementen. Conjugaatoperator. heeft geen eigen elementen. Laat een trigonometrisch polynoom a cos t + 0 sin t na differentiatie proportioneel worden: Dit betekent dat of, wat hetzelfde is, Aan de laatste gelijkheid is voldaan als en slechts als volgt dat a = p = 0 en, Dit betekent dat een polynoom kan alleen maar nul zijn. Stelling 6. Een reëel getal A is een eigenwaarde van een lineaire operator A dan en slechts dan als dit getal de wortel is van zijn karakteristieke polynoom: x(A) = 0. Noodzaak. Laat A de eigenwaarde zijn van de operator A. Dan is er een niet-nul element x waarvoor Ax = Ax. Laat de basis van de ruimte zijn. Dan kan de laatste gelijkheid herschreven worden in een equivalente matrixvorm of, wat hetzelfde is, en aangezien x een eigen element is, volgt hieruit dat de coördinatenkolom x(c) niet nul is. Dit betekent dat lineair systeem (1) een oplossing heeft die niet nul is. Dit laatste is alleen mogelijk onder de voorwaarde dat of, wat hetzelfde is, voldoende is. Een manier om je eigen element te bouwen. Laat A de wortel van de polynoom zijn. Beschouw een homogeen lineair systeem met de matrix A(c) - AI: vanwege voorwaarde (2) heeft dit systeem een ​​oplossing die niet nul is. Laten we een element x construeren volgens de regel: De coördinatenkolom x(c) van dit element voldoet aan de voorwaarde of, wat ook hetzelfde is. Dit laatste komt overeen met het feit dat of, meer gedetailleerd, Daarom, x is een eigenelement van de lineaire operator A, en A is de overeenkomstige eigenwaarde. Opmerking. Om alle eigenelementen te vinden die overeenkomen met een gegeven eigenwaarde A, is het noodzakelijk om de FSR van het systeem (3) te construeren. Voorbeeld 1. Zoek de eigenvectoren van een lineaire operator die volgens de regel werkt (projectie-operator) (Fig. 6). M Laten we de acties van de lineaire operator P bekijken op basisvectoren. We hebben Laten we de matrix van de operator opschrijven: Eigenwaarden en eigenelementen. Conjugaatoperator. Laten we een karakteristieke polynoom construeren en de wortels ervan vinden. We hebben laten we homogeen construeren met matrices: We verkrijgen respectievelijk: Laten we fundamentele oplossingssystemen vinden voor elk van deze systemen. We hebben dus 1. De eigenvectoren van deze projectie-operator zijn dus: de vector k met eigenwaarde 0 en elke vector met eigenwaarde. Voorbeeld 2. Zoek de eigenelementen van de lineaire differentiatie-operator V die werkt in de ruimte Afj van polynomen van maximaal twee graden: Matrix D van de gegeven operator in basis I, t, O heeft de vorm karakteristieke polynoom -A3 heeft precies één wortel A = 0. De oplossing voor het systeem is de verzameling 1,0,0, die overeenkomt met een polynoom van graad nul. §5. Conjugatie-operator In de Euclidische ruimte kan men via lineaire operatoren één actie introduceren: de conjugatie-operatie. Laat V een n-dimensionale Euclidische ruimte zijn. waarbij elke lineaire operator in deze ruimte handelt; Een andere lineaire operator die hieraan is gekoppeld, is van nature geassocieerd. Definitie. Van een lineaire operator (lees: “a met een ster”) wordt gezegd dat hij geconjugeerd is aan de lineaire operator A: V -* V als voor alle elementen x en y uit de ruimte V de gelijkheid is Lineaire operator A*, geconjugeerd aan deze exploitant Ach, het bestaat altijd. Laat c = (et,..., en) de orthobasis zijn van de ruimte V en A = A(c) = (o^) de matrix van de lineaire operator A in deze basis, dat wil zeggen dat we door directe berekeningen kunnen verifiëren dat voor lineaire operator A": V -" V, bepaald door de regel gelijkheid (1), is vervuld voor elke x en y. Bedenk dat het volgens Stelling 1 voldoende is om de actie ervan te specificeren om een ​​lineaire operator te construeren over de basiselementen Voorbeeld Laten we in de lineaire ruimte M\ polynomen introduceren met reële graadcoëfficiënten die niet hoger zijn dan de eerste bewerking van scalaire vermenigvuldiging met.. Laten we daarom aannemen dat M\ een tweedimensionale Euclidische ruimte is. Laat V: M\ - M\ de differentiatieoperator zijn: V(a + d»f) = b. Laten we de conjugaatoperator construeren. De matrix van de operator V in deze basis heeft de vorm. Dan is de matrix van de geconjugeerde operator V, die werkt volgens de regel: Voor een willekeurige polynoom verkrijgen we eigenschappen van de conjugatiebewerking 1. Voor elke lineaire operator is er precies één operator aan geconjugeerd.

Laat B en C operatoren zijn die geconjugeerd zijn aan een gegeven operator A. Dit betekent dat voor alle elementen x en y uit de ruimte V de gelijkheden gelden. Hieruit volgt dat eigenwaarden en eigenelementen gelden. Conjugaatoperator. en verder: vanwege de willekeur van de keuze van element x concluderen we dat het element Wu-Su orthogonaal staat op elk element van de ruimte V en, in het bijzonder, op zichzelf. Dit laatste is alleen mogelijk in het geval dat By - Cy = 0 en dus By = C y. Omdat y een willekeurig element is, verkrijgen we B ~ C. 2. (a.4)* = aL*, waarbij a een willekeurig reëel getal is. Laat A:V -+ V en B:V -+ V lineaire operatoren zijn. Dan volgen eigenschappen 2-5 gemakkelijk uit de uniciteit van de aangrenzende operator. 6. Laat c de orthobasis zijn van de ruimte V. Opdat de operatoren A: VV en B: V -» V onderling geconjugeerd zijn, d.w.z. aan de gelijkheden B = A", A = B* is voldaan, is het noodzakelijk en voldoende dat hun matrices A = A(c) en B = B(c) door transpositie van elkaar worden verkregen. Opmerking: we benadrukken dat eigenschap 6 is alleen geldig voor de matrix die op een orthonormale basis is geconstrueerd. Op willekeurige basis is dit niet waar. 7. Als de lineaire operator A niet-gedegenereerd is, dan is de daaraan geconjugeerde operator A* ook niet-gedegenereerd en geldt de gelijkheid.

Materiaal van Wikipedia - de gratis encyclopedie

Algemene lineaire ruimte $Laten$ E, \, L $-\; lineaire\; ruimtes,\; en$ E^*, \, L^* $Laten$- geconjugeerde lineaire ruimtes (ruimten van lineaire functionelen gedefinieerd op $).\; Dan\; voor\; elke\; lineaire\; operator$ A\dubbelepunt E\tot L $en\; elke\; lineaire\; functionele$ g \in L^* $lineair\; functioneel\; gedefinieerd$ f \in E^* $-\; superpositie$ En $G$: $A$ f(x)=g(A(x)) $.\; Weergave$ g\mapsto f $wordt\; de\; geconjugeerde\; lineaire\; operator\; genoemd\; en\; wordt\; aangegeven$.

A^*\dubbele punt L^* \naar E^* $Kortom,\; dus$(A^*g, x) = (g, Bijl) $,\; Waar$(B,x) $-\; actie\; van\; de\; functionaliteit$ B $naar\; vector$.

X

Algemene lineaire ruimte $Laten$ Topologische lineaire ruimte $-\; lineaire\; ruimtes,\; en$ zijn topologische lineaire ruimtes, en - conjugeer topologische lineaire ruimtes (spaces continu $Laten$ lineaire functionelen gedefinieerd op $).\; Dan\; voor\; elke\; lineaire\; operator$). Voor elke continu lineaire operator $en\; elke\; lineaire\; functionele$ er wordt een continue lineaire functionele gedefinieerd $lineair\; functioneel\; gedefinieerd$ f \in E^* $-\; superpositie$ En $G$: $A$. Het is gemakkelijk om te controleren of de mapping $.\; Weergave$ lineair en continu. Het wordt de conjugaatoperator genoemd en wordt ook wel aangegeven $wordt\; de\; geconjugeerde\; lineaire\; operator\; genoemd\; en\; wordt\; aangegeven$.

Banach-ruimte

Algemene lineaire ruimte $A\backslash dubbele\; X\backslash tot\; en\; met\; Y$ is een continue lineaire operator die werkt vanuit een Banachruimte $X$ naar een Banachruimte $Y$ en laat $X^*,\; Y^*$- Vervoeg spaties. Laten we aanduiden $\backslash vooralle\; x\backslash in\; X,\; f\backslash in\; Y^*\; =f(Ax)$. Als $F$- staat dus vast $$- lineair continu functioneel in $X,\; \backslash in\; X^*$. Dus voor $\backslash vooralle\; f\backslash in\; Y^*$ een lineaire continue functionele wordt gedefinieerd op basis van $X^*$, daarom is de operator gedefinieerd $A^*\backslash dubbele\; punt\; Y^*\backslash tot\; X^*$, zodanig dat $=$.

$EEN^*$ genaamd geconjugeerde operator. Op dezelfde manier kunt u de geconjugeerde operator definiëren als een lineaire onbegrensde operator, maar deze wordt niet voor de gehele ruimte gedefinieerd.

Voor $EEN^*$ de volgende eigenschappen zijn geldig:

• Exploitant $EEN^*$- lineair.
• Als $G$ is dus een lineaire continue operator $EEN^*$ ook een lineaire continue operator.
• Algemene lineaire ruimte $O$ is de nuloperator, en $E$- unit-operator. Dan $O^*=O,\; E^*=E$.
• $(A+B)^*=A^*+B^*$.
• $\backslash forall\backslash alpha\backslash in\backslash mathbb\; C,\; (\backslash alpha\; A)^*=\backslash bar(\backslash alpha)A^*$.
• $(AB)^*=B^*A^*$.
• $(A^(-1))^*=(A^*)^(-1)$.

Hilbert-ruimte

In de Hilbertruimte $H$ De stelling van Riesz identificeert een ruimte met zijn conjugaat, dus voor de operator $A\backslash dubbele\; H\backslash tot\; en\; met\; H$ gelijkwaardigheid $(Bijl,\; y)\; =\; (x,\; A^*y)$ definieert de geconjugeerde operator $A^*\backslash dubbele\; H\; \backslash tot\; H$. Hier $(x,\; y)$- scalair product in de ruimte $H$.

Zie ook

Schrijf een recensie over het artikel "Conjugaatoperator"

Opmerkingen

Literatuur

• Schaefer H. Topologische vectorruimten. - M.: Mir, 1971.
• Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Functionele analyse en zijn toepassingen in de continuümmechanica. - M.: Universiteitsboek, . - 320 sec.
• Trenogin V.A. Functionele analyse. - M.: Wetenschap, . - 495 sec.
• Functionele analyse / redacteur S.G. Crane. - 2e, herzien en uitgebreid. - M.: Wetenschap, . - 544 blz. - (Referentie wiskundige bibliotheek).
• Halmos P. Eindig-dimensionale vectorruimten. - M.: Fizmatgiz, . - 264 sec.
• Shilov G.E. Wiskundige analyse(functies van één variabele), deel 3. - M.: Wetenschap, . - 352 sec.

Fragment dat de conjugaatoperator karakteriseert

Laat een willekeurige lineaire operator gegeven worden in een -dimensionale unitaire ruimte.

Definitie 4. Er wordt gezegd dat een lineaire operator geconjugeerd is ten opzichte van de operator als en slechts als de gelijkheid geldt voor twee willekeurige vectoren uit

. (46)

We zullen bewijzen dat er voor elke lineaire operator een adjointoperator is, en slechts één. Laten we, om dit te bewijzen, een orthonormale basis kiezen. Dan [zie (41)] voor de vereiste operator en er moet aan een willekeurige vector uit de gelijkheid worden voldaan

.

Op grond van (46) kan deze gelijkheid als volgt worden herschreven:

. (47)

Laten we nu gelijkheid (47) nemen als de definitie van de operator .

Het is gemakkelijk om te controleren of de op deze manier gedefinieerde operator lineair is en voldoet aan gelijkheid (46) voor willekeurige vectoren en van . Bovendien bepaalt gelijkheid (47) op unieke wijze de operator . Zo wordt het bestaan ​​en de uniciteit van de conjugaatoperator vastgesteld.

Laat een lineaire operator zijn in een unitaire ruimte, en laat de matrix zijn die correspondeert met deze operator op orthonormale basis. Vervolgens passen we formule (41) toe op de vector die we verkrijgen:

Laten we nu de matrix op dezelfde basis corresponderen met de geconjugeerde operator. Vervolgens volgens formule (48)

Uit (48) en (49) vanwege (46) volgt:

De matrix is ​​getransponeerd en complex geconjugeerd voor . Zo’n matrix wordt gewoonlijk (zie Hoofdstuk I) conjugaat genoemd met betrekking tot .

Op orthonormale basis komen geconjugeerde operatoren dus overeen met geconjugeerde matrices.

De volgende eigenschappen volgen uit de definitie van de geconjugeerde operator:

2. ,

3. ( – scalair),

Laten we nu één belangrijk concept introduceren. Laat een willekeurige deelruimte zijn in . Laten we aanduiden met de verzameling van alle vectoren van , orthogonaal tot . Het is gemakkelijk in te zien dat er ook een deelruimte in zit en dat elke vector op unieke wijze wordt weergegeven als een som, waarbij d.w.z. er vindt splitsing plaats

We verkrijgen deze splitsing door uitbreiding (15) van de vorige sectie toe te passen op een willekeurige vector. heet het orthogonale complement van . Uiteraard zal dit het orthogonale complement zijn van . We schrijven met de betekenis dat elke vector van orthogonaal is op elke vector van .

Nu kunnen we de fundamentele eigenschap van de adjoint-operator formuleren:

5. Als een deelruimte invariant is ten opzichte van , dan zal het orthogonale complement van deze deelruimte invariant zijn ten opzichte van .

Laat het inderdaad zo zijn. Dan volgt van en naar hier tot (46). Omdat een willekeurige vector is van , moest dat bewezen worden.

Laten we de volgende definitie introduceren:

Definitie 5. Twee vectorsystemen worden biorthonormaal if genoemd

waar is het Kronecker-symbool.

Nu bewijzen we de volgende stelling:

6. Als het een lineaire operator is met een eenvoudige structuur, dan heeft de geconjugeerde operator ook een eenvoudige structuur, en u kunt op deze manier kiezen complete systemen eigenvectoren en operatoren en zodat ze gebiorthonormaliseerd zijn:

Laten we inderdaad het volledige systeem van eigenvectoren van de operator zijn. Laten we de notatie introduceren

Laten we het eendimensionale orthogonale complement van de –dimensionale deelruimte bekijken. Dan invariant onder:

Hieruit volgt: , omdat de vector anders gelijk aan nul zou moeten zijn. Vermenigvuldigen met de juiste numerieke factoren, krijgen we:

Uit de biorthonormaliteit van vectorsystemen volgt dat de vectoren van elk van deze systemen lineair onafhankelijk zijn.

Laten we ook dit voorstel noteren:

7. Als operatoren een gemeenschappelijke eigenvector hebben, dan zijn de karakteristieke getallen van deze operatoren die overeenkomen met de gemeenschappelijke eigenvector complex geconjugeerd.

Sterker nog, laat . Dan zullen we, uitgaande van (46), hebben , waar .

8. Laat de eigenvector van de operator zijn en laat het orthogonale complement van de eendimensionale deelruimte zijn. Omdat , volgens Verklaring 5. de deelruimte invariant is onder de operator . Elke lineaire operator in een -dimensionale unitaire ruimte heeft dus een -dimensionale invariante deelruimte en daarom is de operatormatrix bovenste driehoekig. We kwamen tot de volgende stelling:

Voor elke lineaire operator in een -dimensionale unitaire ruimte kan men een orthonormale basis construeren waarin de matrix van deze operator driehoekig is.

Dit voorstel wordt gewoonlijk de stelling van Schur genoemd. Met behulp van de algemene stelling over het reduceren van de operatormatrix tot de Jordan-vorm is het natuurlijk eenvoudig om de stelling van Schur te bewijzen door sequentiële orthogonalisatie van de Jordan-basis. Het bovenstaande bewijs maakt in essentie alleen gebruik van het bestaan ​​van een eigenvector voor een lineaire operator die in een -dimensionale unitaire ruimte werkt.