Lineaire zelf-adjunct-operatoren in de Euclidische ruimte. Algebra

Laat S een Euclidische ruimte zijn en laat de complexiteit ervan zijn. Laten we het scalaire product in S introduceren met behulp van de formule:

We moeten de juistheid van deze definitie controleren. Additiviteit in het eerste argument met een vast tweede argument ligt voor de hand. Om de lineariteit met betrekking tot het eerste argument te controleren, volstaat het om ervoor te zorgen dat het mogelijk is om uit het eerste argument een complexe factor af te leiden. De bijbehorende berekening is niet moeilijk, maar eerder omslachtig. Precies:

De symmetrie met involutie is duidelijk: bij het omkeren van plaatsen verandert het reële deel van het scalaire product niet, maar verandert het imaginaire deel van teken.

Tenslotte, als. De complexiteit van de Euclidische ruimte S wordt dus een unitaire ruimte.

Merk ook op dat het scalaire product van een paar vectoren en het scalaire product van een paar complexe geconjugeerde vectoren complex geconjugeerd zijn. Dit volgt rechtstreeks uit de definitie van het scalaire product in .

2. Operatoren in de Euclidische ruimte en hun voortzetting van de complexiteit.

In de Euclidische ruimte wordt de geconjugeerde operator voor een operator bepaald door dezelfde formule voor elke x en y als in de unitaire ruimte. Het bewijs van het bestaan ​​en de uniciteit van de conjugaatoperator verschilt niet van soortgelijke bewijzen voor een unitaire ruimte. De operatormatrix op de orthonormale basis wordt eenvoudigweg getransponeerd met de operatormatrix. Wanneer onderling geconjugeerde operatoren worden uitgebreid van S naar, blijven ze geconjugeerd.

Echt,

3. Normale operatoren in de Euclidische ruimte.

Een normale operator in een Euclidische ruimte S blijft normaal als deze wordt uitgebreid tot een complexificatie van de ruimte S. Daarom bestaat er in S een orthonormale basis van eigenvectoren, die de matrix van de operator A diagonaliseert.

Voor echte eigenwaarden kunnen we echte eigenvectoren nemen, dat wil zeggen diegene die in S liggen. De coördinaten van de eigenvectoren ten opzichte van de basis worden inderdaad bepaald uit lineaire homogene vergelijkingen met reële coëfficiënten in het geval van een echte eigenwaarde.

Complexe eigenwaarden verschijnen in paren van conjugaten met dezelfde veelheid. Nadat een orthonormale basis is gekozen uit de eigenvectoren die tot een bepaalde eigenwaarde behoren, kan de basis van de eigenvectoren voor de eigenwaarde worden ontleend aan de vectoren die zijn geconjugeerd aan de vectoren van de eigenwaardebasis voor X. Een dergelijke basis zal orthonormaal zijn. Laten we nu een tweedimensionale complexe deelruimte op elk paar uitrekken en vectoren conjugeren.

Al deze deelruimten zijn invariant, orthogonaal ten opzichte van elkaar en ten opzichte van de reële eigenvectoren die overeenkomen met de reële eigenwaarden.

De complexe ruimte die wordt opgespannen door de vectoren u valt duidelijk samen met de complexe deelruimte die wordt opgespannen door de reële vectoren u en y, en is daarom een ​​complexering van de echte deelruimte die wordt opgespannen door .

omdat in een Euclidische ruimte S het scalaire product symmetrisch is.

Uit deze gelijkheid volgt dat , dat wil zeggen, de vectoren en en v orthogonaal zijn, evenals . Laten we ons nu herinneren dat de vector genormaliseerd is, dat wil zeggen vanwege de orthogonaliteit van en en . Daarom worden de vectoren en en v niet genormaliseerd, maar genormaliseerd na vermenigvuldiging met

Voor een normale operator die in een Euclidische ruimte S handelt, is er dus een orthonormale basis die bestaat uit eigenvectoren die tot de reële eigenwaarden behoren, en vermenigvuldigd met de reële en imaginaire delen van de eigenvectoren die tot de complexe eigenwaarden behoren. Eendimensionale deelruimten die worden opgespannen door reële eigenvectoren en tweedimensionale deelruimten die worden opgespannen door componenten van complexe eigenvectoren zijn invariant, dus de operatormatrix in de geconstrueerde basis is quasi-diagonaal en samengesteld uit diagonale blokken van de eerste en tweede orde. Blokken van de eerste orde zijn reële eigenwaarden. Laten we blokken van de tweede orde vinden. Laat en een eigenvector zijn die bij de eigenwaarde hoort. Dan

Exact dezelfde relaties blijven behouden na vermenigvuldiging van de vectoren met De blokken van de tweede orde hebben dus de vorm

Merk ook op dat deze blokken verschijnen uit de deelruimte die wordt omspannen door de geconjugeerde eigenvectoren die behoren tot de geconjugeerde eigenwaarden, zodat het naast het blok geschreven met behulp van de eigenwaarde niet nodig is om het blok op te nemen dat overeenkomt met de eigenwaarde.

4. Zelf-adjuncte operatoren in de Euclidische ruimte.

Een normale operator in een Euclidische ruimte is zelfadjunct als en slechts als al zijn eigenwaarden reëel zijn. Een zelf-adjuncte operator in een Euclidische ruimte blijft inderdaad zelf-adjunct in complexificatie. Daarom is er een orthonormale basis in de Euclidische ruimte zelf, waarin de matrix diagonaal is. In termen van matrices betekent dit dat er voor elke echte symmetrische matrix A een orthogonale matrix C bestaat, zodat deze diagonaal is. Deze omstandigheid werd verduidelijkt in hoofdstuk. V in verband met de orthogonale transformatie van een kwadratische vorm naar een canonieke vorm. Het nauwe verband tussen de theorie van zelf-adjunct-operatoren in de Euclidische ruimte en de theorie van kwadratische vormen is duidelijk zichtbaar uit het feit dat het scalaire product wordt uitgedrukt via de coördinaten van een vector op orthonormale basis in de vorm van een kwadratische vorm met een matrix gelijk aan de matrix van de operator M op dezelfde basis, en met een orthogonale transformatie van de coördinaten worden de matrixoperator en de matrix met kwadratische vorm op dezelfde manier getransformeerd:

omdat voor een orthogonale matrix

Voor zelf-adjuncte operatoren in de Euclidische ruimte gelden dezelfde eigenschappen die werden opgemerkt voor zelf-adjuncte operatoren in een unitaire ruimte, en hun bewijzen verschillen niet van die in het geval van een unitaire ruimte.

Daarom zullen we ons beperken tot het opsommen ervan.

Een zelfadjunct-operator is positief-definitief als en slechts als zijn eigenwaarden positief zijn.

Een positief bepaalde vierkantswortel kan worden geëxtraheerd uit een zelfadjuncte positief bepaalde operator.

Elke niet-gedegenereerde operator kan worden weergegeven als een product van een positief bepaalde zelf-adjunct-operator en een orthogonale operator, beide in één, toch? en in een andere volgorde.

Een orthogonale projectie-operator is een zelf-adjuncte idempotente operator, en omgekeerd is een zelf-adjuncte idempotente operator een orthogonale projectie-operator.

5. Orthogonale operatoren.

Een orthogonale operator heeft een orthogonale matrix op elke orthonormale basis. Omdat de orthogonale operator normaal is, is er een orthonormale basis waarin de matrix van de operator blokdiagonaal is en bestaat uit reële getallen op de diagonaal en blokken met de vorm van orthogonaliteit van een dergelijke matrix. Hieruit volgt dat in elk blok van de operator tweede orde (Dit blijkt ook uit het feit dat de orthogonale operator unitair wordt wanneer deze wordt uitgebreid tot complexificatie, en daarom zijn al zijn eigenwaarden modulo 1.)

Je kunt het plaatsen. Een operator op een vlak met een matrix is ​​een operator voor het roteren van het vlak over een hoek.

Een orthogonale operator wordt correct orthogonaal genoemd als de determinant van zijn matrix gelijk is aan 1; als de determinant gelijk is aan -1, wordt de operator onjuist orthogonaal genoemd. De volgorde van de basisvectoren kan zo worden gekozen dat de diagonaal eerst 1, dan -1 en vervolgens blokken van de tweede orde volgt. Als de operator feitelijk orthogonaal is, is het aantal diagonale elementen gelijk aan -1 even. Een matrix van de tweede orde wordt beschouwd als een blok van de tweede orde, wat geometrisch een rotatie van het vlak betekent.

De actie van de orthogonale operator zelf betekent dus geometrisch het volgende. De ruimte is verdeeld in een orthogonale som van deelruimten, waarvan er één wordt opgespannen door eigenvectoren die behoren tot eigenwaarde 1 - dit is een deelruimte van vaste vectoren, en verschillende tweedimensionale deelruimten, die elk over een bepaalde hoek worden geroteerd (in het algemeen gesproken , verschillende vlakken onder verschillende hoeken).

In het geval van een onjuist orthogonale operator is er nog een basisvector die onder invloed van de operator in de tegenovergestelde verandert.

Les 13 (Fdz 14).

Orthogonale operatoren in de Euclidische ruimte.

Conjugaat en symmetrische lineaire operatoren in de Euclidische ruimte.

13.1. Orthogonale operator en zijn eigenschappen.

13.2. Geconjugeerde lineaire operator

13.3. Symmetrische (zelf-adjuncte) lineaire operator. Bestaan ​​en bepaling van een orthonormale eigenbasis van een symmetrische lineaire operator.

13.1. Een lineaire operator gedefinieerd in een Euclidische ruimte met een inproduct wordt genoemd orthogonale operator, als , waar .

De orthogonale operator verandert de lengtes van vectoren en de hoeken ertussen niet, d.w.z.

.

Op willekeurige basis ruimte

, (1)

waar is de matrix van de orthogonale operator, is de Gram-matrix, zijn de coördinaten van de vectoren in de basis . In het geval van een orthonormale basis wordt en gelijkheid (1) vervangen door gelijkheid

Bijgevolg heeft de orthogonale operator in elke orthonormale ruimtebasis een orthogonale matrix.

Voorbeeld 1. Beschouw een tweedimensionale Euclidische ruimte die alle vectoren in het Cartesische vlak bevat met het standaard puntproduct . Laat een lineaire operator zijn voor het roteren van vectoren rond de oorsprong gespecificeerde hoek. Bewijs dat dit een orthogonale operator is.

Vanuit geometrisch oogpunt is de orthogonaliteit van de gegeven operator duidelijk.

Laten we een rigoureus bewijs uitvoeren.

- eenheidsvectoren van assen. Deze vectoren vormen een standaard orthonormale basis van de ruimte, waaraan het standaard scalaire product is gekoppeld.

Laten we twee willekeurige vectoren bekijken.

Omdat , concluderen we: - orthogonale operator.

Laten we naast het bovenstaande bewijs ook de orthogonaliteit van de operatormatrix op orthonormale basis controleren. Uit formules (3), (2) vinden we

, - orthogonale matrix.

Voorbeeld 2 . We moeten uitzoeken of de operator een orthogonale operator is.

Laten we de gelijkheid controleren.

- Grammatrix in de basis.

Het is geen orthogonale operator.

13.2. Laat twee lineaire operatoren worden gegeven in de Euclidische ruimte met scalair product. De telefoniste wordt gebeld geconjugeerde operator exploitant als, waar .

Als zowel de matrices van een operator als de geconjugeerde operator ervan in de basis staan

Door de aangegeven verbinding tussen de matrices kan men de matrix vinden als de matrix bekend is, en omgekeerd, om de matrix te vinden als de matrix bekend is.

Op een orthonormale basis, waarbij gelijkheid (4) zal worden vervangen door gelijkheid .

Opgemerkt moet worden dat de geconjugeerde operator aan de operator dezelfde is als de operator. Daarom worden de operators gebeld onderling verweven.

Voorbeeld 3. Beschouw een tweedimensionale Euclidische ruimte met een scalair product in de basis. Laten we een lineaire operator zijn met een matrix als basis . We moeten de matrix van de geconjugeerde operator in een gegeven basis vinden. Controleer ook of de matrix van de operator geconjugeerd aan de operator samenvalt met de matrix van de operator.

- Grammatrix in de basis.

Uit matrixgelijkheid (5) leiden we af: .

Laten we nu zoeken naar de matrix van de operator. Volgens formule (5) leiden we af:

13.3. Laten we een lineaire operator zijn die in de Euclidische ruimte werkt met een scalair product. De telefoniste wordt gebeld zelf-adjunct of symmetrisch, als , waar .

If is de matrix van de operator in de basis space , en is dan de Gram-matrix van het scalaire product op deze basis

Op een orthonormale basis (waarin ) zal deze gelijkheid worden vervangen door de gelijkheid

Bijgevolg heeft een symmetrische operator op orthonormale basis een symmetrische matrix.

Belangrijke eigenschappen van de symmetrische operator worden als volgt vastgelegd: stelling .

Alle eigenwaarden van een symmetrische operator zijn reëel, en de eigenvectoren die overeenkomen met verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal.

Uit de eigenvectoren van een symmetrische operator kan men niet alleen een eigenbasis vormen, maar zelfs een orthonormale eigenbasis. Daarom is elke symmetrische operator een operator eenvoudig soort(zie les 7).

Voorbeeld 4. Vind een goede orthonormale basis voor een symmetrische operator die in de tweedimensionale Euclidische ruimte werkt als de operator een matrix in de orthonormale basis heeft .

1. Uit de karakteristieke vergelijking vinden we de eigenwaarden van de operator.

2. Laten we nu de eigenvectoren vinden.

Een eigenvector met een eigenwaarde.

Op orthonormale basis wordt het scalaire product gegeven door de formule

, Waar - coördinaten van vectoren in deze basis.

Orthogonale vectoren (wat consistent is met de conclusies van de bovenstaande stelling) - lineair onafhankelijk systeem. Omdat De Euclidische ruimte is tweedimensionaal, we komen tot de conclusie: - orthogonale eigenbasis.

Om een ​​orthonormale eigenbasis te verkrijgen, moet u de vectoren normaliseren.

Dus, - juiste basis van de symmetrische operator.

Voorbeeld 5. Vind een goede orthonormale basis voor een symmetrische operator die in de driedimensionale Euclidische ruimte werkt als de operator een matrix in de orthonormale basis heeft

.

Laten we de eigenwaarden en vinden eigenmatrices exploitant

Een eigenvector met een eigenwaarde.

Een eigenvector met een eigenwaarde.

Een eigenvector met een eigenwaarde.

De eigenvectoren komen overeen met verschillende eigenwaarden. Het is dus een orthogonaal systeem van vectoren en tegelijkertijd een goede orthogonale basis van de operator. Laten we, om onze eigen orthonormale basis te verkrijgen, de vectoren normaliseren.

Voorbeeld 6. Vind een goede orthonormale basis voor een symmetrische operator die in de driedimensionale Euclidische ruimte werkt als de operator een matrix in de orthonormale basis heeft.

Oplossing. Laten we de eigenwaarden en eigenmatrices van de operator vinden.

Omdat , en het drievoudige van vectoren in de basis

§ 5. Lineaire zelf-adjunct-operatoren
in de Euclidische ruimte .

1. Het concept van de conjugaatoperator. We zullen lineaire operatoren beschouwen in een eindig-dimensionale Euclidische ruimte V. Definitie 1. Van een operator A* uit L(V, V) wordt gezegd dat hij geconjugeerd is met de lineaire operator A als voor elke x en y uit V de relatie

(Bijl, y) = (x, A*y). (5,51)

Het is gemakkelijk te verifiëren dat de operator A*, geconjugeerd aan de lineaire operator A, zelf een lineaire operator is. Dit volgt uit de voor de hand liggende relatie

geldig voor alle elementen x, y 1, y 2 en alle complexe getallen α en β.

Laten we de volgende stelling bewijzen.

Stelling 5.12. Elke lineaire operator A heeft een unieke adjunct.

Bewijs. Het is duidelijk dat het scalaire product (Ax, y) een sesquilineaire vorm is (zie Hoofdstuk 4, § 3, paragraaf 1 en de definitie van een sesquilineaire vorm). Volgens Stelling 5.11 is er een unieke lineaire operator A* zodat deze vorm kan worden weergegeven in de vorm (x, A*y). Dus (Ax, y) = x, A*y.
Bijgevolg is de operator A* de conjugaat van de operator A. Het unieke karakter van de operator A* volgt uit de uniciteit van de representatie van een sesquilineaire operator in de vorm E.44). De stelling is bewezen.

In wat volgt zal het symbool A* de operator aanduiden die geconjugeerd is met operator A.
Laten we de volgende eigenschappen van geconjugeerde operatoren noteren:

De bewijzen van de 1°-4° eigenschappen zijn elementair en laten we aan de lezer over. Laten we een bewijs geven van de 5°-eigenschap. Volgens de definitie van het product van operatoren is de relatie (AB)x = A(Bx) geldig. Met behulp van deze gelijkheid en de definitie van de geconjugeerde operator verkrijgen we de volgende keten van relaties:

((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y) .

Dus ((AB)x, y) = (x, (B*A*)y). Met andere woorden: de operator B*A* is geconjugeerd aan de operator AB. De geldigheid van de 5°-eigenschap is vastgesteld.

Opmerking. Het concept van een geconjugeerde operator voor een reële ruimte wordt op een volledig vergelijkbare manier geïntroduceerd. De conclusies van dit punt en de eigenschappen van geconjugeerde operatoren gelden ook voor dit geval (in dit geval is eigenschap 3° als volgt geformuleerd: (λA)* = λA*).

2. Zelf-adjunct-operatoren. Basiseigenschappen.
Definitie 2. Een lineaire operator A uit L(V, V) wordt zelfadjunct genoemd als de gelijkheid

EEN* =EEN.

Een zelf-adjunct-operator in een echte ruimte wordt op dezelfde manier gedefinieerd.
Het eenvoudigste voorbeeld van een zelfadjunct-operator is de identiteitsoperator I (zie eigenschap 1° van adjoint-operatoren in de vorige paragraaf).
Met behulp van zelf-adjuncte operatoren kunt u een speciale representatie van willekeurige lineaire operatoren verkrijgen. De volgende bewering is namelijk waar.

Stelling 5.13. Laat A een lineaire operator zijn die in de complexe Euclidische ruimte V werkt. Dan de representatie EEN = EEN R + iA Ik, waar A R en A Ik ben zelf-adjunct-operatoren, respectievelijk de reële en imaginaire delen van operator A genoemd.

Bewijs. Volgens de eigenschappen van de geconjugeerde operatoren van 2°, 3° en 4° (zie de vorige paragraaf van deze paragraaf), zijn de operatoren A R = (A + A*)/2 en A I = (A - A*)/2i- zelf-adjunct.

Blijkbaar, EEN = EEN R + iA I De stelling is bewezen.

De volgende stelling verduidelijkt de voorwaarden voor de zelf-adjunctheid van een product van zelf-adjuncte operatoren. We zullen zeggen dat exploitanten A en B pendelen als AB = BA.

Stelling 5.14. Opdat het product AB van zelf-adjunct-operatoren A en B een zelf-adjoint-operator zou zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat zij pendelen.
Bewijs. Aangezien A en B zelf-adjuncte operatoren zijn, gelden, volgens de eigenschap van 5° geconjugeerde operatoren (zie paragraaf 1 van deze sectie), de volgende relaties:
(AB)* = B*A* = BA (5,52)

Daarom, als AB = BA, Dat ( AB)* = AB, d.w.z. operator AB is zelfadjunct. Als AB een zelfadjunct-operator is, dan AB = (AB)*, en vervolgens, gebaseerd op (5.52), AB = BA. De stelling is bewezen.
De volgende stellingen leggen een aantal belangrijke eigenschappen vast van zelfadjunct-operatoren.
Stelling 5.15. Als operator A zelfadjunct is, dan voor elke X ϵ V puntproduct (Ah, x)- reëel getal.
Bewijs. De geldigheid van de stelling volgt uit de volgende eigenschap van het scalaire product in de complexe Euclidische ruimte en definities van een zelfadjunct-operator (Bedenk dat als een complex getal gelijk is aan zijn conjugaat, dan
dit nummer is echt.)

Stelling 5.16. De eigenwaarden van een zelfadjunct-operator zijn reëel.
Bewijs. Laat λ - eigenwaarde zelf-geadjuncteerde operator A. Volgens de definitie van de eigenwaarde van operator A (zie Definitie 2 § 3 van dit hoofdstuk) is er een vector x die niet nul is
zodat Ax = λx. Uit deze relatie volgt dat het reële (op grond van Stelling 5.15) scalaire product (Ax, x) kan worden weergegeven in de vorm 2)

( 2) Bedenk dat het symbool ||x|| geeft de norm van element x aan.)

Sinds ||x|| en (Ax, x) reëel zijn, dan is λ uiteraard een reëel getal. De stelling is bewezen.

De volgende stelling verduidelijkt de orthogonaliteitseigenschap van eigenvectoren van een zelfadjunct-operator.
Stelling 5.17. Als A een zelfadjunct-operator is, dan zijn de eigenvectoren die overeenkomen met verschillende eigenwaarden van deze operator orthogonaal.

Bewijs. Laat λ 1 en λ 2 verschillende eigenwaarden zijn (λ 1 ≠ λ 2) van de zelf-adjunct-operator A, en laat x 1 en x 2 de overeenkomstige eigenvectoren zijn. Dan gelden de relaties Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Daarom zijn de scalaire producten (Ax 1, x 2) en (x 1, Ax 2) respectievelijk gelijk aan de volgende uitdrukkingen 3):

3) Omdat de eigenwaarden van een zelfadjunct-operator reëel zijn

Omdat de operator A zelfadjunct is, zijn de scalaire producten (Ax 1, x 2) en (x 1, Ax 2) gelijk, en daarom verkrijgen we uit de laatste relaties door aftrekking de gelijkheid

Omdat λ 1 ≠ λ 2 volgt uit de laatste gelijkheid dat het scalaire product (x 1* x 2) gelijk is aan nul, d.w.z. orthogonaliteit van eigenvectoren x 1 en x 2 De stelling is bewezen.

3. Norm van een lineaire operator. Laat A een lineaire operator zijn die de Euclidische ruimte V in dezelfde ruimte in kaart brengt. Laten we het concept van de norm van operator A introduceren.
Definitie 3. De norm || A || lineaire operator A is het getal gedefinieerd door de relatie 1)

1) Laten we ons herinneren dat hieruit volgt dat dit vertegenwoordigt continue functie x, die op de gesloten verzameling ||x|| = 1 bereikt de uiteindelijke grootste waarde.

Uit de definitie van de norm van een lineaire operator volgt de volgende duidelijke ongelijkheid:

(Om het te bewijzen is het voldoende om de relatie Ax = te gebruiken

Uit relatie E.54) volgt dat als ||A|| = O, dan is operator A nul.

De norm van een zelfadjunct-operator A kan ook op een andere manier worden bepaald. De volgende bewering is namelijk waar:

Als A een zelfadjunct-operator is, dan is de hierboven geïntroduceerde norm ||A|| operator A is gelijk aan

Bewijs. Voor elke x uit V is de Cauchy-Bunyakovsky-ongelijkheid geldig (zie paragraaf 2, §3, hoofdstuk 4)

Hieruit en uit de ongelijkheid (5.54) verkrijgen we de volgende ongelijkheid:

Daarom het nummer

voldoet aan de relatie

Merk op dat van de gelijkheid

en de definitie van het getal μ (zie 5.56)) volgt de volgende ongelijkheid:

Laten we nu naar de volgende voor de hand liggende identiteit kijken:

(in deze identiteit geeft het symbool Re (Ax, y) het reële deel aan complex getal(Ax, y), de identiteit zelf volgt gemakkelijk uit de eigenschappen van het scalaire product, zie paragraaf 1 §3 hoofdstuk 4). Links en rechts nemen
delen van deze identiteitsmodulo, met behulp van de eigenschap van de modulus van een som en ongelijkheid E.58), verkrijgen we de volgende relaties 1) :

1 ) We gebruikten de definitie van de norm van een element in de complexe Euclidische ruimte.

Dus voor ||x|| = ||j|| = 1 we krijgen de ongelijkheid

Aangenomen in deze ongelijkheid (uiteraard ||у|| = 1) en rekening houdend met het feit dat het getal (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 is echt (zo krijgen we

Vanaf hier vinden we volgens ongelijkheid (5.53).

Om het bewijs te vervolledigen, moeten we de resulterende ongelijkheid nog vergelijken met ongelijkheid (5.57) en de definitie van het getal µ gebruiken (zie 5.56)).

4. Verdere eigenschappen van zelf-adjunct-operatoren. In deze sectie zullen we een aantal belangrijke eigenschappen van lineaire operatoren bewijzen die verband houden met het concept van norm. Ten eerste stellen we een noodzakelijke en voldoende voorwaarde vast voor de operator om zelfadjunct te zijn. Laten we de volgende stelling bewijzen.
Stelling 5.18. Om een ​​lineaire operator A zelf-adjunct te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat 2)

2 ) Het symbool Im (Ax, x) geeft het denkbeeldige deel van het complexe getal (Ax, x) aan. De gelijkheid Im (Ax, x) = 0 betekent dat het getal (Ax, x) reëel is.

Bewijs. Volgens Stelling 5.13 kan een willekeurige lineaire operator A worden weergegeven als

zelf-adjunct-operatoren. Dat is waarom

Bovendien zijn volgens Stelling 5.15 voor elke x de getallen en reëel. Bijgevolg zijn deze getallen respectievelijk gelijk aan de reële en imaginaire delen van het complexe getal (Ax, x):

Laten we aannemen dat A een zelfadjunct-operator is. Volgens Stelling 5.15 is in dit geval (Ax, x) een reëel getal,
en daarom is Im(Ax, x) = 0. De noodzaak van de voorwaarden van de stelling is bewezen.

Laten we de toereikendheid van de voorwaarden van de stelling bewijzen.

Laat Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. Hieruit volgt dat ||A I || = 0, d.w.z. A I = 0. Daarom A = AR, waarbij AR een zelf-adjunct-operator is.
De stelling is bewezen.
De volgende uitspraken verduidelijken enkele eigenschappen van de eigenwaarden van zelfadjunct-operatoren.

Lemma. Elke eigenwaarde X van een willekeurige lineaire zelf-adjunct-operator A in de Euclidische ruimte is gelijk aan het scalaire product (Ax, x), waarbij x een vector is, handig
voldoen aan de voorwaarde ||x|| = 1:

Bewijs. Omdat λ de eigenwaarde is van de operator A, bestaat er een vector z die niet nul is, zodat

Ervan uitgaande dat x = z/||z|| (uiteraard ||x|| = 1), herschrijven we 5.60) als volgt: Ax = λ x, ||x|| = 1. Vanaf hier verkrijgen we de relaties, d.w.z. 5.59) plaatsvindt. Het lemma is bewezen.
Gevolg. Laat A een zelfadjunct-operator zijn en λ een eigenwaarde van deze operator. Laat verder

De volgende ongelijkheden zijn geldig:

Opmerking 1. Omdat het scalaire product (Ax, x) een continue functie is van x, geldt voor de gesloten verzameling ||x|| = 1 deze functie is begrensd en bereikt de exacte randen m en M.
Opmerking 2. Volgens Stelling 5.16 zijn de eigenwaarden van een zelfadjunct-operator reëel. Daarom zijn ongelijkheden 5.62) zinvol.
Bewijs van het onderzoek. Omdat elke eigenwaarde λ voldoet aan relatie (5.59), bevindt elke eigenwaarde zich uiteraard tussen de exacte randen m en M van het scalaire product (Ax, x). Daarom zijn ongelijkheden (5.62) geldig.
We zullen bewijzen dat de getallen m en M gedefinieerd door relaties (5.61) respectievelijk de kleinste en grootste eigenwaarden zijn van de zelf-adjunct-operator A. Laten we eerst de geldigheid van de volgende bewering verifiëren.

Stelling 5.19. Laat A een zelfadjunct-operator zijn en bovendien (Ax, x) ≥ O voor elke x. Dan de norm ||A|| gelijk aan de grootste eigenwaarde van deze operator 1)

1 ) Omdat er een eindig aantal eigenwaarden is en deze reëel zijn, kan de grootste daarvan worden aangegeven.

Bewijs. We hebben dat al opgemerkt (zie de verklaring in de vorige paragraaf).

Aangezien (Ax, x) ≥ O, dan volgens opmerking 1 van deze paragraaf voor sommigen

Als we ons wenden tot de definitie van de norm en de zojuist geschreven gelijkheden gebruiken, verkrijgen we relaties 2)

Dit is dus, of anders, de eigenwaarde van de operator A. Het feit dat λ de grootste eigenwaarde is, volgt uit het zojuist vastgestelde uitvloeisel van het lemma van deze paragraaf. De stelling is bewezen.

Laten we nu bewijzen dat de getallen m en M (zie 5.61)) de kleinste en grootste eigenwaarden zijn van de zelfadjunct-operator A.

Stelling 5.20. Laat A een zelf-adjunct-operator zijn, en m en M zijn exacte vlakken (Ax, x) op de verzameling ||x|| = 1. Deze getallen vertegenwoordigen de kleinste en grootste eigenwaarden van operator A.
Bewijs. Het is uiteraard voldoende om te bewijzen dat de getallen m en M eigenwaarden zijn van de operator A. Dan volgt uit ongelijkheden 5.62) onmiddellijk dat m en M respectievelijk de kleinste en grootste eigenwaarden zijn.
Laten we eerst bewijzen dat M een eigenwaarde is. Om dit te doen, moet u rekening houden met de zelfadjunct-operator B = A - mI. Omdat

dan voldoet operator B aan de voorwaarden van Stelling 5.19, en dus aan de norm ||B|| van deze operator is gelijk aan de grootste eigenwaarde. Aan de andere kant,

(M - m) is dus de grootste eigenwaarde van de operator B. Bijgevolg bestaat er een vector x 0 die niet nul is, zodat

Omdat

Door deze uitdrukking Bx 0 te vervangen door de linkerkant van gelijkheid (5.63), verkrijgen we na eenvoudige transformaties de relatie Ax 0 = Mx 0 - M is dus de eigenwaarde van de operator A. Laten we er nu voor zorgen dat het getal M is ook een eigenwaarde van operator A.
Beschouw de zelf-adjunct-operator B = -A. Dat is duidelijk

Volgens het zojuist uitgevoerde bewijs is dat het geval M vertegenwoordigt de eigenwaarde van operator B. Omdat B = -A, zal m de eigenwaarde van operator A zijn. De stelling is bewezen.

De volgende stelling verduidelijkt een belangrijke eigenschap van de eigenvectoren van een zelfadjunct-operator.

Stelling 5.21. Voor elke zelf-geadjuncteerde lineaire operator A die inwerkt N -dimensionale Euclidische ruimte V, er is N lineair onafhankelijke paarsgewijze orthogonale en eenheidseigenvectoren.

Bewijs. Laten λ 1 - maximale eigenwaarde van de operator

Laten we met e 1 de eigenvector aangeven die overeenkomt met λ 1 en die voldoet aan de voorwaarde ||e 1 || = 1 (de mogelijkheid van zijn keuze volgt uit het bewijs van het lemma van deze sectie).
Laten we met V 1 (n - 1)-dimensionale deelruimte van de ruimte V aangeven, orthogonaal op e 1. Het is duidelijk dat V 1 een invariante deelruimte is van de operator A (dat wil zeggen: als x ϵ V 1, dan Ax ϵ V 1. Inderdaad , zij x ϵ V 1 (dat wil zeggen (x,e 1 =0). Dan 1)

1 ) We gebruikten de zelf-toegevoegde eigenschap van de operator (Ax, e 1 ) = (x, Ae 1 ) en het feit dat e 1 - eigenvector van de operator:

Daarom is Ax een element van V 1 , en daarom v 1 is de invariante deelruimte van operator A. Dit geeft ons het recht om operator A in de deelruimte V te beschouwen 1 . In deze deelruimte zal A een zelfadjunct-operator vertegenwoordigen. Er is dus een maximale eigenwaarde A2 van deze operator, die kan worden gevonden met behulp van de relatie 1 )

1 ) Het symbool geeft de orthogonaliteit van vectoren aan, e 1 en e 2

Bovendien kunt u een vector zo specificeren dat

Als we verder kijken naar de (n - 2)-dimensionale deelruimte V 2, orthogonaal op de vectoren e 1 en e 2, en de bovenstaande redenering herhalen, construeren we een eigenvector е з, ||е з || = 1, orthogonaal e 1 en e 2. Als we op dezelfde manier verder redeneren, zullen we achtereenvolgens n onderling orthogonale eigenvectoren e 1, e 2,..., e n vinden, die aan de voorwaarde voldoen
Opmerking 1. In de toekomst zullen we overeenkomen om de eigenwaarden van een zelfadjunct-operator in aflopende volgorde te nummeren, rekening houdend met herhalende, d.w.z. meerdere eigenwaarden. Tegelijkertijd

en de overeenkomstige eigenvectoren e 1, e 2,..., en kunnen als onderling orthogonaal worden beschouwd en voldoen aan de voorwaarde

Dus,

Opmerking 2. Uit de redenering in het bewijs van de stelling volgt dit

Deze relatie kan ook in de vorm worden geschreven

lineaire spanwijdte van vectoren e 1, e 2,..., e m. De geldigheid van de opmerking volgt uit het feit dat (x, x) = ||x|| 2 en daarom

waarbij de norm van het element x/||x|| gelijk aan 1.

Laten ∑ m is de verzameling van alle m-dimensionale deelruimten van de ruimte V. De volgende belangrijke minimax-eigenschap van eigenwaarden is waar.
Stelling 5.22. Laat A een zelfadjunct-operator zijn en zijn de eigenwaarden ervan, genummerd in de volgorde aangegeven in Opmerking 1. Dan

220400 Algebra en meetkunde Tolstikov A.V.

Hoorcollege 15. Lineaire operatoren in Euclidische ruimten

Plan

1. Conjugaatoperatoren van Euclidische ruimten en hun eigenschappen.

2. Zelf-adjunct-operatoren.

3. Orthogonale matrices en hun eigenschappen.

4. Orthogonale operatoren en hun eigenschappen.

1. Cursus analytische meetkunde en lineaire algebra. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementen van lineaire algebra en analytische meetkunde. 1997.

3. Voevodin V.V. Lineaire algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Verzameling van problemen voor hogescholen. Lineaire algebra en grondbeginselen wiskundige analyse. Ed. Efimova AV, Demidovich BPM: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Lineaire algebra in vragen en problemen. M.: Fizmatlit, 2001.

6. Voevodin V.V. Lineaire algebra. M.: Nauka, 1980.

1. Vervoeg operatoren van Euclidische ruimten en hun eigenschappen. Laten E- Euclidische ruimte over het veld van reële getallen R , waarop het scalaire product van vectoren ( A ,B ), A ,B Î E.

Definitie 1. Lineaire operator A* Euclidische ruimte E genaamd conjugeren lineaire operator A* ruimte E, indien voor vectoren A ,B Î E aan de voorwaarde is voldaan:

(Aa ,B ) = (A ,A*b ). (1)

Lemma 1.Als het product van een bepaalde stringU naar een willekeurige kolomY is nul, dan is de lijnU nul. Als het product van een willekeurige stringX T op gegeven kolom U is gelijk aan nul, dan is de kolomnul.

Bewijs. Laten U= (u 1 , u 2 ,…,u n), Y= (j 1 , j 2 ,…,j n)T. Volgens de voorwaarden van de stelling, voor alle getallen j 1 , j 2 ,…,j n U Y= (u 1 , u 2 ,…,u n)(j 1 , j 2 ,…,j n)T = u 1 j 1 + u 2 j 2 +…+u n y n=0. Als alle cijfers j 1 , j 2 ,…,j n zijn gelijk aan 0, behalve y j, welke =1, dan krijgen we dat jij j (i = 1,2,…,N). Dat is waarom U=0. De tweede bewering van de stelling wordt op een vergelijkbare manier bewezen. 

Stelling 1.Laten v = (v 1 , v 2 ,…, v N) - basis van de Euclidische ruimteE, A - lineaire operatormatrix A ten opzichte van de basis v, G = (g ij) - basis Grammatrix v. Indien voor de lineaire operatorA er is een geconjugeerde operatorA * , dan is aan de gelijkheid voldaan

Bij t G = G EEN*. (2)

Bewijs. Laten X En Y vectorcoördinatenkolommen A ,B Î E ten opzichte van de basis v, A En A* lineaire operatormatrices A En A * ten opzichte van de basis v. Dan

(Aa , B ) =(v(BIJL), vY) = (BIJL) T G.Y., (A ,A*b ) = X T G EEN * Y.(3)

Vanaf hier verkrijgen we met behulp van formule (1) de gelijkheid ( BIJL) T G.Y.= X T G EEN * Y, geldig voor elke vector van kolommen X En Y. Sinds vectoren A ,B willekeurig zijn, dan verkrijgen we door Lemma 1 Bij t G = G EEN*.

Stelling 2.Als basisv = (v 1 , v 2 ,…, v N) Euclidische ruimteE orthonormaal dus matrixEen* geconjugeerde lineaire operatorA* wordt getransponeerd naar de matrixEen operator A ;

Bij = A*. (4)

Bewijs. Omdat de Gram-matrix van de orthonormale basis identiteit is, G = E, dan volgt (4) uit (2) . 

Gevolg 1. Voor elke exploitantA gelijkheid is waar (A* ) * = A .

Bewijs. Volgens formule (4) voor matrices van lineaire operatoren ( A* ) * En A op orthonormale basis hebben we ( A*) * = (Bij)T = A. Daarom ( A* ) * = A .

Gevolg 2. Voor elke exploitantA , B gelijkheid is waar (AB ) * = B*A* .

Bewijs. Volgens formule (4) voor matrices van lineaire operatoren A ,B En A* , B* op orthonormale basis hebben we ( AB) * = (AB)T = B t Een t = B * A*. Daarom ( AB ) * = B*A* .

Gevolg 3. Eigenwaarden van lineaire operatorenA EnA* overeenkomst.

Bewijs. Omdat de karakteristieke polynomen van de matrices samenvallen, vallen de eigenwaarden van de lineaire operatoren die de wortels van de karakteristieke vergelijking vormen samen . 

Stelling 3. Voor elke lineaire operatorA Euclidische ruimteE er is een unieke geconjugeerde lineaire operatorA* .

Bewijs. Laten v = (v 1 , v 2 ,…, v n) orthonormale basis van de Euclidische ruimte E, A - lineaire operator met matrix A ten opzichte van de basis v. Laten we eens overwegen E lineaire operator B met matrix Bij opzichte van deze basis. Exploitant B er is er maar één. De rechterkanten van gelijkheden (3) zijn gelijk aan: ( BIJL) T G.Y. = X T G EEN * Y. Daarom zijn de linker ook gelijk ( Aa , B ) = (A ,BB ). Daarom de exploitant B - gekoppeld aan de operator A . 

2. Zelf-adjunct-operatoren.

Definitie 1. Lineaire operator A Euclidische ruimte E genaamd zelf-adjunct of symmetrisch, Als A = A* , d.w.z. voor elke vector van twee A ,B Î E aan de voorwaarde is voldaan:

(Aa , B ) = (A ,Ab ). (1)

Stelling 1. Lineaire operatorA Euclidische ruimteE is zelfadjunct als en slechts als de matrixEen lineaire operatorA in de orthogonale basis is er een symmetrische matrix, d.w.z.. A = A * .

In deze sectie zullen we laten zien hoe de definities en resultaten van de voorgaande secties van toepassing zijn op het geval van echte Euclidische ruimtes.

1. Algemene opmerkingen.

Beschouw een willekeurig-dimensionale reële Euclidische ruimte V en de operator A die in V werkt.

Het concept van een lineaire operator voor het geval van een echte lineaire ruimte is volledig analoog geformuleerd met het overeenkomstige concept voor een complexe ruimte.

Definitie 1. Een operator A wordt lineair genoemd als voor alle elementen van reële getallen a en P de gelijkheid is

In volledige analogie met de complexe ruimte wordt het concept van de eigenwaarde en eigenvector van een operator geïntroduceerd.

Het is belangrijk op te merken dat de eigenwaarden de wortels zijn van de karakteristieke vergelijking van de operator.

De omgekeerde verklaring in het reële geval is alleen waar als de overeenkomstige wortel van de karakteristieke vergelijking reëel is. Alleen in dit geval zal de aangegeven wortel de eigenwaarde zijn van de lineaire operator in kwestie.

In dit opzicht is het normaal om een ​​klasse van lineaire operatoren in de echte Euclidische ruimte uit te lichten, waarvan alle wortels van de karakteristieke vergelijkingen reëel zijn.

In het hierboven bewezen Stelling 5.16 werd vastgesteld dat alle eigenwaarden van een zelfadjunct-operator reëel zijn. Bovendien speelde het concept van een zelfadjunct-operator belangrijke rol in de conclusies van § 6 van dit hoofdstuk over kwadratische vormen. Het is daarom logisch om het concept van een zelf-adjunct-operator uit te breiden naar het geval van een echte ruimte.

Laten we eerst het concept introduceren van een operator A die is geconjugeerd aan de operator A. Er wordt namelijk gezegd dat de operator A geconjugeerd is aan A als voor elke x en y uit V de gelijkheid

Stelling 5.12 over het bestaan ​​en de uniciteit van de conjugaatoperator kan zonder problemen worden overgedragen naar het geval van echte ruimte.

Bedenk dat het bewijs van Stelling 5.12 berust op het concept van een sesquilineaire vorm. In het echte geval zou u in plaats van de sesquilineaire vorm de bilineaire vorm moeten gebruiken

Bij deze gelegenheid is in paragraaf 2 § 4 hfst. 5 werd een overeenkomstige opmerking gemaakt.

Laten we in dit verband de definitie in herinnering brengen van een bilineaire vorm in elke reële, niet noodzakelijkerwijs Euclidische, lineaire ruimte. Laat B een functie zijn die een reëel getal associeert met elk geordend paar vectoren

Definitie 2. Een functie wordt een bilineaire vorm genoemd, gedefinieerd als voor alle vectoren uit en elk reëel getal X aan de volgende relaties is voldaan:

Een belangrijke rol in deze sectie zal worden gespeeld door een speciale weergave van de bilineaire vorm in de vorm

waarbij A een lineaire operator is. De overeenkomstige stelling (Stelling 5.11) over een soortgelijke representatie van een sesquilineaire vorm in een complexe ruimte was gebaseerd op de conclusies van Lemma § 4 van dit hoofdstuk over een speciale representatie van een lineaire vorm. Aan het eind van deze paragraaf werd opgemerkt dat dit lemma ook geldt in de reële ruimte. We merken alleen op dat bij het bewijs van het lemma de keuze van de elementen niet volgens formule (5.41) moet worden gemaakt, maar met behulp van de formule waarbij de gegeven waarde is lineaire vorm in de echte ruimte.

In § 6 van dit hoofdstuk werden Hermitische vormen geïntroduceerd. Een Hermitische vorm is een sesquilineaire vorm in een complexe ruimte, gekenmerkt door de relatie (de balk boven B betekent dat de complexe conjugaat van B wordt genomen).

In het geval van de echte ruimte dienen symmetrische bilineaire vormen als een analoog van Hermitische vormen. Deze vorm wordt gekenmerkt door de verhouding

Een bilineaire vorm gedefinieerd op een lineaire ruimte wordt scheef-symmetrisch genoemd als voor alle vectoren uit de relatie wordt voldaan. Uiteraard voor elke bilineaire vorm van de functie

zijn respectievelijk symmetrische en scheef-symmetrische bilineaire vormen. Want dan krijgen we de volgende stelling:

Elke bilineaire vorm kan worden weergegeven als de som van een symmetrische en een scheef-symmetrische bilineaire vorm.

Het is gemakkelijk in te zien dat een dergelijke weergave uniek is.

We zullen de volgende stelling bewijzen op symmetrische bilineaire vormen (deze stelling dient als analoog van Stelling 5.25 op Hermitische vormen).

Stelling 5.33. Om een ​​bilineaire vorm gedefinieerd op alle mogelijke vectoren x en y van een echte Euclidische ruimte V symmetrisch te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de lineaire operator A die in representatie (5.113) verschijnt, zelfadjunct is.

Bewijs. Als A een zelfadjunct-operator is, verkrijgen we met behulp van de eigenschappen van het scalaire product

Er is dus voldaan aan relatie (5.114), dat wil zeggen dat de bilineaire vorm symmetrisch is.

Als de vorm symmetrisch is, zijn de relaties geldig

Daarom is operator A zelfadjunct. De stelling is bewezen.

Laten we het concept introduceren van een matrix van een lineaire operator A. Laten we een basis zijn in een -dimensionale reële lineaire ruimte. Laten we zeggen

Dan is het, net als in het complexe geval, niet moeilijk om aan te tonen dat als dan . De vectorcomponenten hebben de volgende weergave:

De matrix wordt in de basis de matrix van de lineaire operator A genoemd

Op dezelfde manier als in § 2 van dit hoofdstuk is gedaan, kan worden bewezen dat de hoeveelheid niet afhangt van de keuze van de basis en dat de determinant van de operator A dus correct is ingevoerd.

De karakteristieke vergelijking die overeenkomt met operator A is de vergelijking van de polynoom aan de linkerkant van deze vergelijking, de karakteristieke polynoom van operator A genoemd.

Laten we nu de stelling bewijzen over de wortels van de karakteristieke polynoom van een zelf-adjunct-operator in een echte Euclidische ruimte.

Stelling 5.34. Alle wortels van de karakteristieke polynoom van een zelf-adjuncte lineaire operator A in de Euclidische ruimte zijn reëel.

Bewijs. Laat de wortel zijn van de karakteristieke vergelijking

zelf-adjunct-operator A.

We leggen een basis vast in V en geven aan met - de elementen van de matrix van operator A in deze basis (merk op dat - reële getallen zijn).

We zullen zoeken naar een oplossing die niet nul is voor het volgende systeem van lineaire homogene vergelijkingen met betrekking tot

Omdat de determinant van systeem (5.116) gelijk is aan (bedenk dat de determinant van de matrix lineaire transformatie niet afhankelijk is van de keuze van de basis en volgens (5.115 is deze determinant gelijk aan nul), dan is het systeem (5.116) van homogene lineaire vergelijkingen heeft een oplossing die niet nul is

Door deze oplossing te vervangen door de rechter- en linkerkant van het systeem (5.116), daarmee rekening houdend en vervolgens de reële en imaginaire delen van de resulterende relaties te scheiden, ontdekken we dat de verzamelingen reële getallen voldoen aan volgende systeem vergelijkingen:

Beschouw in deze basis respectievelijk de vectoren x en y met coördinaten. Vervolgens kunnen relaties (5.117) in de vorm worden herschreven

Laten we de eerste van de verkregen relaties scalair vermenigvuldigen met y, en de tweede met x. Het is duidelijk dat we de gelijkheden krijgen

Omdat de operator A zelfadjunct is, verkrijgen we door het aftrekken van relaties (5.118) de gelijkheid

Maar (als de oplossing dus nul zou zijn, terwijl deze oplossing door de constructie niet nul is). Daarom is a sinds het denkbeeldige deel van de wortel van de karakteristieke vergelijking (5.115), en is het uiteraard een reëel getal. De stelling is bewezen.

Net als in het complexe geval is voor een zelfadjunct-operator het bestaan ​​van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren van deze operator waar (analoog aan Stelling 5.21). Laten we deze bewering bewijzen.

Stelling 5.35. Elke zelf-adjuncte lineaire operator A die in een n-dimensionale reële Euclidische ruimte V werkt, heeft een orthonormale basis van eigenvectoren.

Bewijs. Laat de reële eigenwaarde van de operator A zijn, en laat de eenheidseigenvector zijn die overeenkomt met deze eigenwaarde

Laten we met de -dimensionale deelruimte van de ruimte V, orthogonaal op Uiteraard - de invariante deelruimte van de ruimte V aanduiden (dat wil zeggen, als dan ). Laten we inderdaad, omdat de operator A zelfadjunct is - de eigenwaarde van A verkrijgen we