Buurten van een functie. Functievolgordelimiet

Welke symbolen ken je naast ongelijkheidstekens en modulus?

Uit de algebracursus kennen we de volgende notatie:

– de universele kwantificator betekent “voor iedereen”, “voor iedereen”, “voor iedereen”, dat wil zeggen dat de invoer moet worden gelezen als “voor elke positieve epsilon”;

– existentiële kwantificator, – er is een waarde die tot de verzameling natuurlijke getallen behoort.

– een lange verticale stok luidt als volgt: “zo dat”, “zo dat”, “zo dat” of “zo dat”, in ons geval hebben we het uiteraard over een getal - dus “zo dat”;

– voor alle “en” groter dan ;

– het modulusteken betekent afstand, d.w.z. deze invoer vertelt ons dat de afstand tussen waarden kleiner is dan epsilon.

Het bepalen van de reekslimiet

En laten we eens nadenken: hoe formuleren we een strikte definitie van volgorde? ...Het eerste dat in je opkomt in het licht van een praktische les: "de limiet van een reeks is het getal waartoe de leden van de reeks oneindig dichtbij naderen."

Oké, laten we de reeks opschrijven:

Het is niet moeilijk te begrijpen dat de deelreeks het getal –1 oneindig dichtbij benadert, en dat de termen met even getallen ‘één’ benaderen.

Of zijn er misschien twee grenzen? Maar waarom kan een reeks er dan niet tien of twintig hebben? Je kunt op deze manier ver komen. In dit opzicht is het logisch om aan te nemen dat als een reeks een limiet heeft, deze de enige is.

Let op: de reeks heeft geen limiet, maar er kunnen twee deelreeksen van worden onderscheiden (zie hierboven), die elk hun eigen limiet hebben.

Bovenstaande definitie blijkt dus onhoudbaar. Ja, het werkt voor gevallen als (die ik niet helemaal correct heb gebruikt in de vereenvoudigde uitleg van praktische voorbeelden), maar nu moeten we een strikte definitie vinden.

Poging twee: “de limiet van een reeks is het getal waar ALLE leden van de reeks naar toe naderen, met de mogelijke uitzondering van hun eindige aantal.” Dit is dichter bij de waarheid, maar nog steeds niet helemaal accuraat. De helft van de termen van een reeks benadert dus bijvoorbeeld helemaal geen nul - ze zijn er eenvoudigweg gelijk aan =) Overigens heeft het "knipperlicht" doorgaans twee vaste waarden.

De formulering is niet moeilijk te verduidelijken, maar dan rijst er een andere vraag: hoe schrijf je de definitie in wiskundige symbolen? De wetenschappelijke wereld worstelde lange tijd met dit probleem totdat de situatie werd opgelost door de beroemde maestro, die in wezen de klassieke wiskundige analyse in al zijn nauwkeurigheid formaliseerde. Cauchy stelde voor om in de omgeving te opereren, wat de theorie aanzienlijk bevorderde.

Beschouw een bepaald punt en zijn willekeurige omgeving:

De waarde van ‘epsilon’ is altijd positief, en bovendien hebben we het recht om er zelf voor te kiezen. Laten we aannemen dat er in een bepaalde buurt veel leden (niet noodzakelijk allemaal) van een bepaalde reeks zijn. Hoe schrijf je op dat bijvoorbeeld de tiende termijn in de buurt is? Laat het aan de rechterkant ervan zijn. Dan moet de afstand tussen de punten en kleiner zijn dan “epsilon”: . Als “x tiende” zich echter links van punt “a” bevindt, is het verschil negatief en moet daarom het modulusteken eraan worden toegevoegd: .

Definitie: een getal wordt de limiet van een reeks genoemd als er voor een van zijn buurten (vooraf geselecteerd) een natuurlijk getal bestaat ZONDER dat ALLE leden van de reeks met grotere getallen zich in de buurt zullen bevinden:

Of kort gezegd: als

Met andere woorden, hoe klein de “epsilon”-waarde ook is, vroeg of laat zal de “oneindige staart” van de reeks VOLLEDIG in deze buurt liggen.

De “oneindige staart” van de reeks zal bijvoorbeeld VOLLEDIG in elke willekeurig kleine buurt van het punt gaan. Deze waarde is dus per definitie de limiet van de reeks. Ik wil u eraan herinneren dat een reeks waarvan de limiet nul is, wordt genoemd oneindig klein.

Opgemerkt moet worden dat het voor een reeks niet langer mogelijk is om te zeggen "er zal een eindeloze staart komen" - termen met oneven getallen zijn in feite gelijk aan nul en "zullen nergens heen gaan" =) Dat is de reden waarom het werkwoord "zal verschijnen ” wordt gebruikt in de definitie. En natuurlijk gaan de leden van een reeks als deze ook ‘nergens heen’. Controleer trouwens of het aantal de limiet is.

Nu zullen we laten zien dat de reeks geen limiet heeft. Beschouw bijvoorbeeld een buurt van het punt . Het is absoluut duidelijk dat er niet zo'n getal bestaat waarna ALLE termen in een bepaalde buurt terecht zullen komen - oneven termen zullen er altijd "uitspringen" naar "min één". Om een ​​soortgelijke reden is er op dit punt geen limiet.

Bewijs dat de limiet van de reeks nul is. Geef het getal op waarna alle leden van de reeks zich gegarandeerd binnen een willekeurig kleine buurt van het punt bevinden.

Let op: voor veel reeksen hangt het vereiste natuurlijke getal af van de waarde - vandaar de notatie .

Oplossing: beschouw een willekeurige -buurt van een punt en controleer of er een zodanig getal is dat ALLE termen met hogere getallen binnen deze buurt zullen vallen:

Om het bestaan ​​van het vereiste getal aan te tonen, drukken we dit uit via .

Omdat voor elke waarde van “en” het modulusteken kan worden verwijderd:

We gebruiken “school”-acties met ongelijkheden, die ik herhaalde in de lessen Lineaire ongelijkheden en Domein van een functie. In dit geval is een belangrijke omstandigheid dat “epsilon” en “en” positief zijn:

Omdat we het hebben over natuurlijke getallen aan de linkerkant, en de rechterkant over het algemeen fractioneel is, moet deze worden afgerond:

Let op: soms wordt er voor de zekerheid een eenheid aan de rechterkant toegevoegd, maar in werkelijkheid is dit overdreven. Relatief gesproken, als we het resultaat verzwakken door naar beneden af ​​te ronden, zal het dichtstbijzijnde geschikte getal (“drie”) nog steeds voldoen aan de oorspronkelijke ongelijkheid.

Nu kijken we naar de ongelijkheid en herinneren we ons dat we aanvankelijk een willekeurige buurt beschouwden, d.w.z. "epsilon" kan gelijk zijn aan elk positief getal.

Conclusie : voor elke willekeurig kleine buurt van een punt werd een waarde gevonden zodat voor alle grotere getallen de ongelijkheid . Een getal is dus per definitie de limiet van een reeks. QED

Overigens is uit het verkregen resultaat duidelijk een natuurlijk patroon zichtbaar: hoe kleiner de buurt, hoe groter het getal, waarna ALLE leden van de reeks zich in deze buurt zullen bevinden. Maar hoe klein de ‘epsilon’ ook is, er zal altijd een ‘oneindige staart’ zijn, zowel binnen als buiten – zelfs een groot, maar eindig aantal termen.

Er wordt rekening gehouden met de algemene definitie van een buurt van een punt op de getallenlijn. Definities van epsilon-buurt, linkszijdige, rechtszijdige en lekke buurten van eindige en oneindige punten. Buurteigendom. Een stelling over de gelijkwaardigheid van het gebruik van een epsilon-buurt en een willekeurige buurt bij het bepalen van de limiet van een functie volgens Cauchy is bewezen.

De buurt van een punt bepalen

Buurt van een reëel punt x 0 Elk open interval dat dit punt bevat, wordt genoemd:
.
Hier e 1 en ε 2 - willekeurige positieve getallen.

Epsilon - buurt van punt x 0 is de verzameling punten, de afstand waarvandaan punt x 0 kleiner dan ε:
.

Een lekke buurt van punt x 0 is de omgeving van dit punt waarvan het punt x zelf is uitgesloten 0 :
.

Buurten van eindpunten

Helemaal aan het begin werd een definitie gegeven van de buurt van een punt. Het wordt aangeduid als .
(1) .
Maar je kunt expliciet aangeven dat de buurt afhankelijk is van twee getallen met behulp van de juiste argumenten:

Dat wil zeggen dat een buurt een verzameling punten is die tot een open interval behoren. 1 ε gelijkstellen 2 naar ε
(2) .
, we krijgen epsilon - buurt:
Een epsilon-omgeving is een reeks punten die behoren tot een open interval met op gelijke afstand van elkaar gelegen uiteinden.

Natuurlijk kan de letter epsilon worden vervangen door een andere en denk aan δ - buurt, σ - buurt, enz.

In de limiettheorie kan men een definitie van buurt gebruiken op basis van zowel set (1) als set (2). Het gebruik van een van deze buurten levert gelijkwaardige resultaten op (zie). Maar definitie (2) is eenvoudiger, daarom wordt vaak epsilon gebruikt: de buurt van een punt bepaald uit (2).

De concepten van linkszijdige, rechtszijdige en lekke buurten van eindpunten worden ook veel gebruikt. Hier zijn hun definities. 0 Linkeromgeving van een reëel punt x 0 is een halfopen interval op de reële as links van het x-punt
;
.

, inclusief het punt zelf: 0 Rechtszijdige buurt van een reëel punt x 0 is een halfopen interval op de reële as links van het x-punt
;
.

is een halfopen interval rechts van punt x

Doorboorde buurten van eindpunten 0 Geperforeerde buurten van punt x

- dit zijn dezelfde buurten waarvan het punt zelf is uitgesloten. Ze worden aangegeven met een cirkel boven de letter. Hier zijn hun definities. 0 :
.

Geperforeerde buurt van punt x 0 :
;
.

Doorboorde epsilon - buurt van punt x:
;
.

Doorboorde linkerzijbuurt:
;
.

Lekke rechterzijde nabij

Buurten van punten op oneindig

.
;
;
.

Naast eindpunten wordt ook het concept van een buurt van punten op oneindig geïntroduceerd. Ze zijn allemaal lek omdat er geen reëel getal op oneindig is (het punt op oneindig wordt gedefinieerd als de limiet van een oneindig grote reeks).
.
Het was mogelijk om de buurten van punten op oneindig als volgt te bepalen:

Maar in plaats van M gebruiken we , zodat de buurt met kleinere ε een subset is van de buurt met grotere ε, zoals voor eindpuntbuurten.

Buurteigendom

Vervolgens gebruiken we de voor de hand liggende eigenschap van de buurt van een punt (eindig of op oneindig). Het ligt in het feit dat buurten van punten met kleinere waarden van ε deelverzamelingen zijn van buurten met grotere waarden van ε.
Hier zijn strengere formuleringen.
;
;
;
;
;
;
;
.

Het omgekeerde is ook waar.

Equivalentie van definities van de limiet van een functie volgens Cauchy

Nu zullen we laten zien dat je bij het bepalen van de limiet van een functie volgens Cauchy zowel een willekeurige buurt als een buurt met op gelijke afstand van elkaar gelegen uiteinden kunt gebruiken.

Stelling
Cauchy-definities van de limiet van een functie die willekeurige buurten en buurten met op gelijke afstand van elkaar gelegen uiteinden gebruiken, zijn gelijkwaardig.

Bewijs

Laten we formuleren eerste definitie van de limiet van een functie.
Een getal a is de limiet van een functie op een punt (eindig of op oneindig), als er voor alle positieve getallen getallen zijn die afhankelijk zijn van en die voor iedereen behoren tot de overeenkomstige buurt van het punt a:
.

Laten we formuleren tweede definitie van de limiet van een functie.
Een getal a is de limiet van een functie op een punt als er voor elk positief getal een getal is dat daarvan afhangt voor iedereen:
.

Bewijs 1 ⇒ 2

Laten we bewijzen dat als een getal a de limiet is van een functie volgens de eerste definitie, het ook een limiet is volgens de tweede definitie.

Laat aan de eerste definitie voldaan zijn. Dit betekent dat er functies en zijn, dus voor alle positieve getallen geldt het volgende:
bij, waar.

Omdat de getallen willekeurig zijn, stellen we ze gelijk:
.
Dan zijn er dergelijke functies en , dus voor iedereen geldt het volgende:
bij, waar.

Merk dat op.
Laat het kleinste van de positieve getallen en zijn.
.
Vervolgens, volgens wat hierboven is opgemerkt,

Als, dan.
bij, waar.
Dat wil zeggen, we hebben zo'n functie gevonden, dus voor iedereen geldt het volgende:

Dit betekent dat het getal a de limiet is van de functie volgens de tweede definitie.

Bewijs 2 ⇒ 1

Laten we bewijzen dat als een getal a de limiet is van een functie volgens de tweede definitie, het ook een limiet is volgens de eerste definitie.
.

Laat aan de tweede definitie voldaan zijn. Laten we twee positieve getallen nemen en .
.

En laat het de minste van hen zijn. Dan is er volgens de tweede definitie zo'n functie , zodat voor elk positief getal en voor alles volgt dat
.

Maar volgens,.

Daarom, uit wat volgt

Vervolgens hebben we voor alle positieve getallen en twee getallen gevonden, dus voor alle:
Dit betekent dat het getal a volgens de eerste definitie een limiet is.

De stelling is bewezen.

Gebruikte literatuur:
L.D. Kudryavtsev. Cursus wiskundige analyse. Deel 1. Moskou, 2003.

Als we verdergaan met het onderwerp van dit onderwerp, laten we ons het concept van functie herinneren. De functie is een ander voorbeeld van mapping. We zullen het eenvoudigste geval bekijken
echte functie van één echt argument (wat in andere gevallen moeilijk is, zal later worden besproken). Onder de functie binnen dit onderwerp wordt verstaan:
een wet volgens welke aan elk element van de verzameling waarop de functie is gedefinieerd een of meer elementen worden toegewezen
set, de set functiewaarden genoemd. Als aan elk element van het definitiedomein van de functie één element wordt toegewezen
reeks waarden, dan wordt de functie enkelwaardig genoemd, anders wordt de functie meerwaardig genoemd. Voor de eenvoud zullen we er alleen over praten
eenduidige functies.

Ik zou meteen het fundamentele verschil tussen een functie en een reeks willen benadrukken: de verzamelingen die in deze twee gevallen met elkaar verbonden zijn door een afbeelding zijn significant verschillend.
Om de noodzaak te vermijden om de terminologie van de algemene topologie te gebruiken, zullen we het verschil verduidelijken met behulp van een onnauwkeurige redenering. Bij het bespreken van de limiet
sequenties hadden we het over slechts één optie: onbeperkte groei van het sequentie-elementnummer. Met deze toename in aantal, de elementen zelf
de sequenties gedroegen zich veel diverser. Ze zouden zich kunnen ‘ophopen’ in een kleine buurt met een bepaald aantal; ze konden onbeperkt groeien, enz.
Grof gezegd is het specificeren van een reeks het specificeren van een functie op een discreet “definitiedomein”. Als we het hebben over een functie, waarvan de definitie wordt gegeven
aan het begin van het onderwerp moet het concept van limiet zorgvuldiger worden geconstrueerd. Het is zinvol om over de limiet van de functie te praten wanneer zijn argument neigt naar een bepaalde waarde .
Deze formulering van de vraag was niet logisch met betrekking tot reeksen. Er moeten enkele verduidelijkingen worden aangebracht. Ze zijn allemaal gerelateerd aan
hoe het argument precies naar de betekenis in kwestie streeft.

Laten we een paar voorbeelden bekijken (voor nu kort):


Met deze functies kunnen we verschillende gevallen overwegen. We presenteren hier de grafieken van deze functies voor een grotere duidelijkheid van de presentatie.

Een functie heeft op elk punt in zijn definitiedomein een limiet - dit is intuïtief duidelijk. Welk punt van het definitiedomein we ook nemen,
je kunt meteen zien naar welke waarde de functie neigt als het argument naar de geselecteerde waarde neigt, en de limiet zal eindig zijn als alleen het argument
neigt niet naar het oneindige. De grafiek van de functie heeft een knik. Dit heeft invloed op de eigenschappen van de functie op het breekpunt, maar vanuit het oogpunt van de limiet
dit punt wordt niet benadrukt. De functie is al interessanter: op dit moment is het niet duidelijk welke waarde van de limiet aan de functie moet worden toegewezen.
Als we een punt van rechts benaderen, neigt de functie naar één waarde, als we vanaf links naar een andere waarde neigt. In vorige
daar waren geen voorbeelden van. Wanneer een functie naar nul neigt, hetzij van links, hetzij van rechts, gedraagt ​​deze zich op dezelfde manier, neigend naar oneindig -
in tegenstelling tot de functie, die naar oneindig neigt omdat het argument naar nul neigt, maar het teken van oneindigheid hangt af van waarmee
kant naderen we nul. Ten slotte gedraagt ​​de functie zich volkomen onbegrijpelijk bij nul.

Laten we het concept van een limiet formaliseren met behulp van de "epsilon-delta"-taal. Het belangrijkste verschil met de definitie van een reekslimiet zal de noodzaak zijn
beschrijf de neiging van een functieargument naar een bepaalde waarde. Dit vereist het concept van een limietpunt van een verzameling, dat in deze context een hulpfunctie heeft.
Een punt wordt een limietpunt van een verzameling genoemd als het zich in een bepaalde buurt bevindt bevat talloze punten
behorend tot en verschillend van . Even later zal duidelijk worden waarom een ​​dergelijke definitie nodig is.

Het getal wordt dus de limiet van de functie op het punt genoemd, wat het limietpunt is van de set waarop het is gedefinieerd
functie als

Laten we deze definitie een voor een bekijken. Laten we hier de onderdelen belichten die verband houden met de wens van het argument voor betekenis en de wens van de functie
te waarderen. U dient de algemene betekenis van de schriftelijke verklaring te begrijpen, die grofweg als volgt kan worden geïnterpreteerd.
De functie neigt naar , als we een getal nemen uit een voldoende kleine buurt van het punt , zullen we dat doen
verkrijg de waarde van een functie uit een voldoende kleine buurt van het getal. En hoe kleiner de buurt van het punt waarvan de waarden worden overgenomen
argument, des te kleiner zal de buurt zijn van het punt waarin de overeenkomstige functiewaarden zullen vallen.

Laten we weer terugkeren naar de formele definitie van de limiet en deze lezen in het licht van wat zojuist is gezegd. Een positief getal beperkt de buurt
punt van waaruit we de waarden van het argument zullen nemen. Bovendien komen de waarden van het argument uiteraard uit het domein van de definitie van de functie en vallen ze niet samen met de functie zelf
dot: we schrijven ambitie, geen toeval! Dus als we de waarde van het argument uit de gespecificeerde buurt van het punt halen,
dan zal de waarde van de functie in de buurt van het punt vallen .
Laten we tot slot de definitie samenvatten. Hoe klein we de buurt van het punt ook kiezen, er zal altijd zo'n buurt van het punt zijn,
dat we bij het kiezen van de waarden van het argument daaruit in de buurt van het punt zullen belanden. Uiteraard is de grootte in dit geval de buurt van het punt
hangt af van welke buurt van het punt is opgegeven. Als de buurt van de functiewaarde groot genoeg is, dan is de overeenkomstige spreiding van waarden
het argument zal geweldig zijn. Naarmate de buurt van de functiewaarde afneemt, zal de overeenkomstige spreiding van de argumentwaarden ook afnemen (zie figuur 2).

Er moeten nog enkele details worden verduidelijkt. Ten eerste elimineert de vereiste dat een punt een limiet is, de noodzaak om je zorgen te maken over de vraag of een punt wel of niet een punt is
uit de -buurt behoort doorgaans tot het domein van de definitie van de functie. Ten tweede: deelname aan het bepalen van de grensvoorwaarde middelen
dat een argument zowel links als rechts naar een waarde kan neigen.

Voor het geval dat het functieargument naar oneindig neigt, moet het concept van een limietpunt afzonderlijk worden gedefinieerd. limiet genoemd
punt van de verzameling als voor elk positief getal het interval een ontelbare verzameling bevat
punten uit de set.

Laten we terugkeren naar de voorbeelden. De functie is voor ons niet van bijzonder belang. Laten we andere functies eens nader bekijken.

Voorbeelden.

Voorbeeld 1. De grafiek van de functie heeft een knik.
Functie ondanks de singulariteit op dit punt, heeft het op dit punt een limiet. De bijzonderheid bij nul is het verlies aan gladheid.

Voorbeeld 2. Eenzijdige grenzen.
Een functie op een punt heeft geen limiet. Zoals reeds opgemerkt, is het voor het bestaan ​​van een limiet vereist dat bij het verzorgen
links en rechts neigde de functie naar dezelfde waarde. Dit gaat hier duidelijk niet op. Het concept van een eenzijdige limiet kan echter worden geïntroduceerd.
Als het argument neigt naar een bepaalde waarde vanuit de kant van grotere waarden, dan spreken we van een rechtshandige limiet; als aan de kant van kleinere waarden -
ongeveer de linkergrens.
In geval van functie
- rechtshandige limiet We kunnen echter een voorbeeld geven wanneer eindeloze oscillaties van de sinus het bestaan ​​van een limiet (en een tweezijdige) niet verstoren.
Een voorbeeld hiervan is de functie . De grafiek wordt hieronder gegeven; bouw het om voor de hand liggende redenen in de omgeving tot voltooiing
oorsprong is onmogelijk. De limiet bij is nul.

Opmerkingen.
1. Er is een benadering voor het bepalen van de limiet van een functie die de limiet van een reeks gebruikt - de zogenaamde. Heine's definitie. Daar wordt een reeks punten geconstrueerd die convergeert naar de vereiste waarde
argument - dan convergeert de overeenkomstige reeks functiewaarden naar de limiet van de functie bij deze argumentwaarde. Gelijkwaardigheid van Heine's definitie en de definitie in taal
"epsilon-delta" is bewezen.
2. Het geval van functies van twee of meer argumenten wordt gecompliceerd door het feit dat het voor het bestaan ​​van een limiet op een bepaald punt vereist is dat de waarde van de limiet op dezelfde manier wordt verkregen voor elke manier waarop het argument neigt
tot de vereiste waarde. Als er maar één argument is, kun je van links of van rechts naar de gewenste waarde streven. Met meer variabelen neemt het aantal opties dramatisch toe. Het geval van functies
complexe variabele vereist een aparte discussie.