Waarom niet-positionele getalsystemen hun betekenis hebben verloren. Het concept van een nummersysteem

In de vroege stadia van de ontwikkeling van de samenleving wisten mensen bijna niet hoe ze moesten tellen. Ze maakten onderscheid tussen sets van twee en drie objecten; elke verzameling die een groter aantal objecten bevatte, werd verenigd in het concept ‘veel’. Bij het tellen werden voorwerpen meestal vergeleken met vingers en tenen. Naarmate de beschaving zich ontwikkelde, werd de menselijke behoefte om te tellen noodzakelijk. Aanvankelijk werden natuurlijke getallen afgebeeld met een bepaald aantal streepjes of stokjes, daarna werden letters of speciale tekens gebruikt om ze weer te geven. In het oude Novgorod werd het Slavische systeem gebruikt, waarbij letters van het Slavische alfabet werden gebruikt; Bij het weergeven van cijfers werd het teken ~ (titel) erboven geplaatst.

De oude Romeinen gebruikten nummering, die tot op de dag van vandaag nog steeds de naam 'Romeinse nummering' draagt, waarbij cijfers worden weergegeven door letters van het Latijnse alfabet. Tegenwoordig wordt het gebruikt om verjaardagen aan te duiden, door bepaalde pagina's van een boek te nummeren (bijvoorbeeld pagina's van het voorwoord), hoofdstukken in boeken, strofen in gedichten, enz. In hun latere vorm zien Romeinse cijfers er als volgt uit:

ik = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000.

Er is geen betrouwbare informatie over de oorsprong van Romeinse cijfers. Het getal V zou oorspronkelijk kunnen dienen als afbeelding van een hand, en het getal X zou uit twee vijven kunnen bestaan. In de Romeinse nummering zijn sporen van het vijfvoudige getalsysteem duidelijk zichtbaar. Alle gehele getallen (tot 5000) worden geschreven door de bovenstaande getallen te herhalen. Bovendien, als een groter getal vóór een kleiner getal komt, worden ze opgeteld, maar als het kleinere getal vóór een groter getal komt (in dit geval kan het niet worden herhaald), dan wordt het kleinere afgetrokken van het grotere). VI = 6, d.w.z. 5 + 1, IV = 4, d.w.z. 5 – 1, XL = 40, d.w.z. 50 – 10, LX = 60, d.w.z. 50 + 10. Hetzelfde getal wordt maximaal drie keer achter elkaar geplaatst: LXX = 70; LXXX = 80; het nummer 90 is geschreven als XC (niet LXXXX).

De eerste 12 cijfers zijn als volgt in Romeinse cijfers geschreven:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Andere getallen worden bijvoorbeeld geschreven als:

XXVIII = 28; ХХХIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen op meercijferige getallen in deze notatie is erg moeilijk. De Romeinse nummering heerste echter tot de 13e eeuw in Italië, en tot de 16e eeuw in andere West-Europese landen.

In het Slavische nummeringssysteem werden alle letters van het alfabet gebruikt om cijfers vast te leggen, zij het met enige schending van de alfabetische volgorde. Verschillende letters betekenden verschillende aantallen eenheden, tientallen en honderden. Het getal 231 werd bijvoorbeeld geschreven als ~ SLA (C – 200, L – 30, A – 1).

Deze systemen worden gekenmerkt door twee nadelen die hebben geleid tot hun verplaatsing door anderen: de behoefte aan een groot aantal verschillende tekens, vooral voor het weergeven van grote getallen, en, nog belangrijker, het ongemak van het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen.

Het handigste en algemeen aanvaarde en meest wijdverspreide is het decimale getallensysteem, dat werd uitgevonden in India, daar door de Arabieren werd geleend en na enige tijd naar Europa kwam. In het decimale getallenstelsel is het grondtal het getal 10.

Er waren calculussystemen met andere bases. In het oude Babylon werd bijvoorbeeld het sexagesimale getalsysteem gebruikt. We vinden de overblijfselen ervan in de verdeling van een uur of graad in 60 minuten, en minuten in 60 seconden, wat tot op de dag van vandaag bewaard is gebleven.

Het duodecimale systeem was ook wijdverspreid in de oudheid, waarvan de oorsprong waarschijnlijk, net als het decimale systeem, verband houdt met het tellen op de vingers: de vingerkootjes (individuele gewrichten) van de vier vingers van één hand, die werden bespeeld met de duim van de dezelfde hand, werden als teleenheid genomen. Overblijfselen van dit nummersysteem zijn tot op de dag van vandaag bewaard gebleven, zowel in mondelinge toespraken als in de gebruiken. Het is bijvoorbeeld bekend de naam van de eenheid van de tweede categorie - het getal 12 - "dozijn". De gewoonte om veel artikelen niet in tientallen, maar in tientallen te tellen, is bewaard gebleven, bijvoorbeeld bestek in een servies of stoelen in een meubelset. De naam van de derdecijferige eenheid in het duodecimale systeem – bruto – is nu zeldzaam, maar in de handelspraktijk aan het begin van de eeuw bestond deze nog steeds. Bijvoorbeeld in een gedicht uit 1928 Plyushkin V.V. Majakovski, die mensen belachelijk maakte die alles achter elkaar kopen, schreef: "...Ik kocht twaalf grote wapenstokken." Een aantal Afrikaanse stammen en in het oude China gebruikten een vijfvoudig getallensysteem. In Midden-Amerika (onder de oude Azteken en Maya's) en onder de oude Kelten die West-Europa bewoonden, was het decimale systeem wijdverspreid. Ze worden allemaal ook geassocieerd met het tellen op de vingers.

Het jongste getallensysteem kan met recht als binair worden beschouwd. Dit systeem heeft een aantal eigenschappen die het zeer voordelig maken voor gebruik in computermachines en moderne computers.

Positionele en niet-positionele nummersystemen.

De verschillende nummersystemen die in het verleden bestonden en die vandaag de dag worden gebruikt, kunnen worden onderverdeeld in niet-positioneel en positioneel. De tekens die worden gebruikt om cijfers te schrijven, worden cijfers genoemd.

Bij niet-positionele getalsystemen is de positie van het cijfer in de notatie van het getal niet afhankelijk van de waarde die het vertegenwoordigt. Een voorbeeld van een niet-positioneel getallensysteem is het Romeinse systeem, dat Latijnse letters als cijfers gebruikt.

In positionele getalsystemen hangt de waarde die wordt aangegeven door een cijfer in een getal af van de positie ervan. Het aantal gebruikte cijfers wordt de basis van het getallenstelsel genoemd. De plaats van elk cijfer in een getal wordt positie genoemd. Het eerste ons bekende systeem gebaseerd op het positionele principe is het Babylonische sexagesimaal. De cijfers erin waren van twee typen, waarvan de ene eenheden aanduidde, de andere tientallen.

Het Indo-Arabische decimale systeem bleek echter het meest gebruikte. De Indiërs waren de eersten die nul gebruikten om de positionele betekenis van een grootheid in een reeks getallen aan te geven. Dit systeem wordt decimaal genoemd , omdat het tien cijfers heeft.

Het verschil tussen positionele en niet-positionele getalsystemen wordt het gemakkelijkst begrepen door twee getallen te vergelijken. In het positionele nummersysteem vindt de vergelijking van twee getallen als volgt plaats: in de beschouwde getallen worden van links naar rechts cijfers op dezelfde posities vergeleken. Een groter getal komt overeen met een grotere getalswaarde. Voor de getallen 123 en 234 is 1 bijvoorbeeld kleiner dan 2, dus 234 is groter dan 123. In een niet-positioneel getalsysteem is deze regel niet van toepassing. Een voorbeeld hiervan is de vergelijking van twee getallen IX en VI. Ook al is I kleiner dan V, IX is groter dan VI.

Positionele nummersystemen.

De basis van het getalsysteem waarin een getal wordt geschreven, wordt meestal aangegeven met een subscript. 555 7 is bijvoorbeeld een getal geschreven in het decimale getalsysteem. Als een getal in het decimale systeem wordt geschreven, wordt de grondtal meestal niet aangegeven. De basis van het systeem is ook een getal, en we zullen dit in het gebruikelijke decimale systeem aangeven. Over het algemeen het aantal X kan worden weergegeven in een systeem met een basis P, Hoe X = een· p.n+een- 1· p.n–1 + A 1· P 1 + A 0· P 0, waar een...A 0 – cijfers in de weergave van een bepaald getal. Bijvoorbeeld,

1035 10 =1·10 3 + 0,10 2 + 3,10 1 + 5,10 0 ;

1010 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 10.

De grootste interesse bij het werken op een computer zijn de getalsystemen met grondtal 2, 8 en 16. Over het algemeen zijn deze getalsystemen meestal voldoende voor het volwaardige werk van zowel een persoon als een computer, maar soms, als gevolg van verschillende omstandigheden , moet je je nog steeds wenden tot andere systeemnummersystemen, zoals ternair, septaal of grondtal 32.

Als u wilt werken met getallen die in dergelijke niet-traditionele systemen zijn geschreven, moet u er rekening mee houden dat ze fundamenteel niet verschillen van het gebruikelijke decimale systeem. Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen daarin worden volgens hetzelfde schema uitgevoerd.

Waarom worden er geen andere nummersystemen gebruikt? Vooral omdat mensen in het dagelijks leven gewend zijn aan het gebruik van het decimale getalsysteem, en er is geen ander vereist. In computers wordt het binaire getalsysteem gebruikt, omdat het vrij eenvoudig is om te werken met getallen die in binaire vorm zijn geschreven.

Het hexadecimale systeem wordt vaak gebruikt in de informatica, omdat het schrijven van getallen daarin veel korter is dan het schrijven van getallen in het binaire systeem. De vraag kan rijzen: waarom zouden we niet een getallensysteem gebruiken, bijvoorbeeld grondtal 50, om zeer grote getallen te schrijven? Een dergelijk getallensysteem vereist 10 gewone cijfers plus 40 tekens, wat overeenkomt met de getallen 10 tot en met 49, en het is onwaarschijnlijk dat iemand met deze veertig tekens zou willen werken. Daarom worden in het echte leven nummersystemen gebaseerd op bases groter dan 16 praktisch niet gebruikt.

Getallen omzetten van het ene getalsysteem naar het andere.

De meest voorkomende getalsystemen zijn binair, hexadecimaal en decimaal. Hoe verhouden de representaties van getallen in verschillende getalstelsels zich tot elkaar? Er zijn verschillende manieren om getallen van het ene getalsysteem naar het andere te converteren met behulp van specifieke voorbeelden.

Laten we zeggen dat we het getal 567 moeten converteren van decimaal naar binair. Eerst wordt de maximale macht van twee bepaald, zodat twee tot deze macht kleiner is dan of gelijk is aan het oorspronkelijke getal. In dit geval is het 9, omdat 2 9 = 512 en 2 10 = 1024, wat groter is dan het startnummer. Dit geeft het aantal cijfers in het resultaat; het is gelijk aan 9 + 1 = 10, dus het resultaat ziet eruit als 1 xxxxxxxxxxxx, waar in plaats daarvan X Dit kunnen alle binaire cijfers zijn. Het tweede cijfer van het resultaat wordt als volgt gevonden: twee wordt verheven tot de macht 9 en afgetrokken van het oorspronkelijke getal: 567 - 2 9 = 55. De rest wordt vergeleken met het getal 2 8 = 256. Omdat 55 kleiner is dan 256, het negende cijfer is nul, d.w.z. het resultaat ziet eruit als 10 xxxxxxxxxxx. Laten we de achtste categorie eens bekijken. Omdat 2 7 = 128 > 55, zal het ook nul zijn.

Het zevende cijfer blijkt ook nul te zijn. De vereiste binaire representatie van het getal heeft de vorm 1000 xxxxxxxx. 2 5 = 32 xxxxx). Voor de rest 55 – 32 = 23 geldt de volgende ongelijkheid: 2 4 = 16

567 = 1,2 9 + 0,2 8 + 0,2 7 + 0,2 6 + 1,2 5 + 1,2 4 + 0,2 3 + 1,2 2 + 1,2 1 + 1,2 0

Een andere methode voor het converteren van getallen maakt gebruik van de kolomdelingsbewerking. Als je hetzelfde getal 567 neemt en door 2 deelt, krijg je het quotiënt 283 en de rest is 1. Dezelfde bewerking wordt uitgevoerd met het getal 283. Het quotiënt is 141, de rest is 1. Opnieuw wordt het resulterende quotiënt gedeeld met 2, enzovoort, totdat het quotiënt niet kleiner is dan de deler. Om nu een getal in het binaire getalsysteem te krijgen, volstaat het om het laatste quotiënt op te schrijven, d.w.z. 1, en voeg daaraan in omgekeerde volgorde alle residuen toe die tijdens het delingsproces zijn verkregen.

Het resultaat is uiteraard niet veranderd: 567 in het binaire getalsysteem wordt geschreven als 1.000.110.111.

Deze twee methoden zijn van toepassing bij het converteren van een getal van het decimale systeem naar een systeem met een willekeurig grondtal. Wanneer u bijvoorbeeld het getal 567 omzet naar grondtal 16, wordt het getal eerst uitgebreid naar machten van het grondtal. Het vereiste nummer bestaat uit drie cijfers, omdat 16 2 = 256 xx, waar in plaats daarvan X Dit kunnen alle hexadecimale cijfers zijn. Rest ons nog het nummer 55 te verdelen over de volgende cijfers (567 – 512). 3 16 = 48

De tweede methode bestaat uit een opeenvolgende verdeling in een kolom, met als enige verschil dat je niet door 2, maar door 16 moet delen, en het delingsproces eindigt wanneer het quotiënt strikt kleiner wordt dan 16.

Om een ​​getal in hexadecimaal te schrijven, moet je natuurlijk 10 vervangen door A, 11 door B, enzovoort.

De bewerking van het converteren naar het decimale systeem ziet er veel eenvoudiger uit, omdat elk decimaal getal kan worden weergegeven als X = A 0· p.n + A 1· p.n–1 +... + een-1· P 1 + een· P 0, waar A 0 ... een– dit zijn de cijfers van een bepaald getal in een getalsysteem met grondtal P.

Zo kunt u bijvoorbeeld het getal 4A3F omzetten naar het decimale systeem. Per definitie is 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. Als we A vervangen door 10 en F door 15, krijgen we 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007 .

De eenvoudigste manier om getallen van het binaire systeem om te zetten naar systemen met een grondtal gelijk aan machten van twee (8 en 16), en omgekeerd. Om een ​​geheel binair getal in het grondtal 2-talsysteem te schrijven N, moet je dit binaire getal van rechts naar links in groepen verdelen N- nummers in elk; als de laatste linkergroep minder dan n cijfers bevat, tel dan nullen op bij het vereiste aantal cijfers; beschouw elke groep als N-bit binair getal, en vervang het door het overeenkomstige cijfer in het grondtal 2 getalsysteem N .

De beroemde Franse astronoom, wiskundige en natuurkundige Pierre Simon Laplace (1749–1827) schreef over de historische ontwikkeling van getalsystemen: “Het idee om alle getallen uit te drukken met negen tekens, waardoor ze, naast betekenis in vorm, ook betekenis krijgen op zijn plaats, is zo eenvoudig dat het achter deze eenvoud moeilijk te begrijpen is hoe verbazingwekkend het is. Hoe moeilijk het was om tot deze methode te komen, zien we in het voorbeeld van de grootste genieën van de Griekse wetenschap, Archimedes en Apollonius, voor wie dit idee verborgen bleef.”

Door het decimale getalsysteem te vergelijken met andere positionele systemen konden wiskundigen en ontwerpingenieurs de verbazingwekkende mogelijkheden van moderne niet-decimale getalsystemen onthullen, die de ontwikkeling van computertechnologie garandeerden.

Anna Chugainova

Notatie - dit is een manier om getallen weer te geven en de bijbehorende regels voor het werken met getallen. De verschillende nummersystemen die in het verleden bestonden en die vandaag de dag worden gebruikt, kunnen worden onderverdeeld in niet-positioneel En positioneel. Tekens die worden gebruikt bij het schrijven van cijfers, worden genoemd in cijfers.

IN niet-positionele nummersystemen de betekenis van een cijfer hangt niet af van zijn positie in het getal.

Een voorbeeld van een niet-positioneel getallensysteem is het Romeinse systeem (Romeinse cijfers). In het Romeinse systeem worden Latijnse letters als cijfers gebruikt:

Voorbeeld 1. Het getal CCXXXII bestaat uit twee honderdtallen, drie tientallen en twee eenheden en is gelijk aan tweehonderdtweeëndertig.

Bij Romeinse cijfers worden de cijfers in aflopende volgorde van links naar rechts geschreven. In dit geval worden hun waarden bij elkaar opgeteld. Als aan de linkerkant een kleiner getal wordt geschreven en aan de rechterkant een groter getal, worden hun waarden afgetrokken.

Voorbeeld 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Voorbeeld 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

IN positionele nummersystemen de waarde die wordt aangegeven door een cijfer in een getalnotatie hangt af van de positie ervan. Het aantal gebruikte cijfers wordt de basis van het positionele nummersysteem genoemd.

Het getalsysteem dat in de moderne wiskunde wordt gebruikt, is positioneel decimaal systeem. Het grondtal is tien, omdat Alle getallen worden geschreven met tien cijfers:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

De positionele aard van dit systeem is gemakkelijk te begrijpen aan de hand van het voorbeeld van een meercijferig nummer. In het getal 333 betekenen de eerste drie bijvoorbeeld driehonderden, de tweede - drie tientallen, de derde - drie eenheden.

Getallen schrijven in een positioneel systeem met een radix N Hebbeding alfabet van N cijfers Meestal hiervoor N < 10 используют N de eerste Arabische cijfers, en wanneer N> Er worden 10 letters toegevoegd aan tien Arabische cijfers. Hier zijn voorbeelden van alfabetten van verschillende systemen:

Als u de basis van het systeem moet aangeven waartoe een nummer behoort, wordt aan dit nummer een subscript toegewezen. Bijvoorbeeld:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

In een getalstelsel met grondtal Q (Q-air getalsysteem) de eenheden van cijfers zijn opeenvolgende machten van een getal Q. Q eenheden van een willekeurige categorie vormen een eenheid van de volgende categorie. Om een ​​getal in te schrijven Q-air nummersysteem vereist Q verschillende tekens (cijfers) die de cijfers 0, 1, ..., Q– 1. Een nummer schrijven Q V Q-air getallensysteem heeft de vorm 10.

Uitgebreide vorm van het schrijven van een getal

Laten Aq- nummer in het basissysteem Q, ai - cijfers van een bepaald nummersysteem aanwezig in het nummerrecord A, N+ 1 - het aantal cijfers van het gehele deel van het getal, M- aantal cijfers van het fractionele deel van het getal:

Uitgebreide vorm van het nummer A wordt een record genoemd in de vorm:

Voor een decimaal getal bijvoorbeeld:

De volgende voorbeelden tonen de uitgebreide vorm van hexadecimale en binaire getallen:

In elk getalsysteem wordt het grondtal geschreven als 10.

Als alle termen in de uitgebreide vorm van een niet-decimaal getal worden weergegeven in het decimale systeem en de resulterende uitdrukking wordt berekend volgens de regels van de decimale rekenkunde, dan wordt een getal in het decimale systeem verkregen dat gelijk is aan het gegeven getal. Dit principe wordt gebruikt om van het niet-decimale systeem naar het decimale systeem te converteren. Het converteren van de hierboven geschreven getallen naar het decimale systeem gaat bijvoorbeeld als volgt:

Decimale getallen omzetten naar andere getalsystemen

Conversie van gehele getallen

Geheel decimaal getal X moet worden omgezet naar een systeem met een basis Q: X = (A N A n-1 …A 1 A 0)q. We moeten de significante cijfers van het getal vinden: . Laten we het getal in uitgebreide vorm weergeven en de identieke transformatie uitvoeren:

Hieruit blijkt duidelijk dat A 0 er is een rest bij het delen van een getal X per nummer Q. De uitdrukking tussen haakjes is het gehele quotiënt van deze deling. Laten we het aanduiden met X 1. Als we soortgelijke transformaties uitvoeren, krijgen we:

Vandaar, A 1 is de rest van de deling X 1 per Q. Als we de deling met de rest voortzetten, krijgen we een reeks cijfers van het gewenste getal. Nummer een in deze keten van divisies zal het laatste quotiënt zijn, hoe kleiner Q.

Laten we de resulterende regel formuleren: daarom om een ​​geheel decimaal getal om te zetten naar een getalsysteem met een ander grondtal, heb je nodig:

1) druk de basis van het nieuwe getallensysteem uit in het decimale getalsysteem en voer alle daaropvolgende acties uit volgens de regels van de decimale rekenkunde;

2) deel het gegeven getal en de resulterende onvolledige quotiënten opeenvolgend door de basis van het nieuwe getalsysteem totdat we een onvolledig quotiënt verkrijgen dat kleiner is dan de deler;

3) de resulterende saldi, die cijfers zijn van een getal in het nieuwe getallenstelsel, in overeenstemming brengen met het alfabet van het nieuwe getallenstelsel;

4) stel een getal samen in het nieuwe getalsysteem en schrijf het op, beginnend bij het laatste quotiënt.

Voorbeeld 1. Converteer het getal 37 10 naar binair.

Om cijfers in een getal aan te duiden gebruiken we symboliek: A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0

Vanaf hier: 37 10 = l00l0l 2

Voorbeeld 2. Converteer het decimale getal 315 naar octale en hexadecimale systemen:

Hieruit volgt: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Bedenk dat 11 10 = B 16.

Decimale fractie X < 1 требуется перевести в систему с основанием Q: X = (0, A –1 A –2 … A–m+1 A–m) q. We moeten de significante cijfers van het getal vinden: A –1 ,A –2 , …, A-M. Laten we ons het getal in uitgebreide vorm voorstellen en het vermenigvuldigen Q:

Hieruit blijkt duidelijk dat A–1 X per nummer Q. Laten we aanduiden met X 1 deel van het product en vermenigvuldig dit met Q:

Vandaar, A –2 er is een heel deel van het werk X 1 per nummer Q. Als we doorgaan met vermenigvuldigen, krijgen we een reeks getallen. Laten we nu een regel formuleren: om een ​​decimale breuk om te zetten naar een getalsysteem met een ander grondtal, heb je nodig:

1) vermenigvuldig achtereenvolgens het gegeven getal en de resulterende fractionele delen van de producten met de basis van het nieuwe getalsysteem totdat het fractionele deel van het product gelijk wordt aan nul of de vereiste nauwkeurigheid voor het weergeven van het getal in het nieuwe getalsysteem is bereikt;

2) de resulterende gehele delen van de werken, die cijfers zijn van het nummer in het nieuwe nummersysteem, in overeenstemming brengen met het alfabet van het nieuwe nummersysteem;

3) creëer het fractionele deel van het getal in het nieuwe getalsysteem, beginnend bij het gehele deel van het eerste product.

Voorbeeld 3. Converteer decimale breuk 0,1875 naar binaire, octale en hexadecimale systemen.

Hier bevat de linkerkolom het gehele deel van de getallen en de rechterkolom het breukgedeelte.

Dus: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Gemengde getallen converteren met gehele en gebroken delen wordt in twee fasen uitgevoerd. De gehele en fractionele delen van het oorspronkelijke getal worden afzonderlijk vertaald met behulp van geschikte algoritmen. Bij de uiteindelijke opname van een getal in het nieuwe getalsysteem wordt het gehele gedeelte gescheiden van het breukgedeelte door een komma (punt).

Binaire berekeningen

Volgens het principe van John von Neumann voert een computer berekeningen uit in het binaire getalsysteem. In het kader van de basiscursus volstaat het om ons te beperken tot het beschouwen van berekeningen met binaire gehele getallen. Om berekeningen met getallen met meerdere cijfers uit te voeren, moet u de regels voor het optellen en vermenigvuldigen van getallen met één cijfer kennen. Dit zijn de regels:

Het principe van commutabiliteit van optellen en vermenigvuldigen werkt in alle getalsystemen. De technieken voor het uitvoeren van berekeningen met meercijferige getallen in het binaire systeem zijn vergelijkbaar met het decimale systeem. Met andere woorden, de procedures van optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met een “kolom” en delen door een “hoek” in het binaire systeem worden op dezelfde manier uitgevoerd als in het decimale systeem.

Laten we eens kijken naar de regels voor het aftrekken en delen van binaire getallen. De werking van aftrekken is het omgekeerde van optellen. Uit de bovenstaande opteltabel volgen de aftrekkingsregels:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Hier is een voorbeeld van het aftrekken van getallen met meerdere cijfers:

Het verkregen resultaat kan worden gecontroleerd door het verschil met de aftrekker op te tellen. Het resultaat zou een afnemend getal moeten zijn.

Delen is de omgekeerde bewerking van vermenigvuldigen. In geen enkel getallenstelsel kun je niet delen door 0. Het resultaat van deling door 1 is gelijk aan het deeltal. Als u een binair getal deelt door 10 2, wordt de decimale plaats één plaats naar links verplaatst, vergelijkbaar met de decimale deling door tien. Bijvoorbeeld:

Door te delen door 100 wordt de komma 2 plaatsen naar links verplaatst, enz. In de basiscursus hoef je geen rekening te houden met complexe voorbeelden van het delen van meercijferige binaire getallen. Hoewel bekwame studenten ermee om kunnen gaan, kunnen ze de algemene principes begrijpen.

Het weergeven van informatie die in het computergeheugen is opgeslagen in zijn echte binaire vorm is behoorlijk omslachtig vanwege het grote aantal cijfers. Dit verwijst naar het vastleggen van dergelijke informatie op papier of het weergeven ervan op het scherm. Voor deze doeleinden is het gebruikelijk om gemengde binair-octale of binair-hexadecimale systemen te gebruiken.

Er bestaat een eenvoudige relatie tussen binaire en hexadecimale weergave van een getal. Bij het omzetten van een getal van het ene systeem naar het andere komt één hexadecimaal cijfer overeen met een binaire code van vier cijfers. Deze correspondentie wordt weerspiegeld in de binair-hexadecimale tabel:

Binaire hexadecimale tabel

Deze verbinding is gebaseerd op het feit dat 16 = 2 4 en het aantal verschillende viercijferige combinaties van de getallen 0 en 1 16 is: van 0000 tot 1111. Daarom conversie van getallen van hexadecimaal naar binair en omgekeerd gebeurt via formele conversie volgens binaire hexadecimale tabel.

Hier is een voorbeeld van het converteren van 32-bits binair naar hexadecimaal:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Als er een hexadecimale weergave van interne informatie wordt gegeven, is deze eenvoudig om te zetten in binaire code. Het voordeel van hexadecimale weergave is dat deze vier keer korter is dan binaire weergave. Het is raadzaam dat leerlingen de binair-hexadecimale tabel uit het hoofd leren. Dan zal voor hen de hexadecimale representatie inderdaad gelijkwaardig worden aan de binaire representatie.

In het binaire octale systeem komt elk octaal cijfer overeen met een drietal binaire cijfers. Met dit systeem kunt u de binaire code drie keer verkleinen.

Laboratoriumwerk nr. 16

Nummersystemen

Theoretisch gedeelte

IN basis

<10 используют n первых арабских цифр, а при n>

Laten we naar de cijfers kijken:

Conversie van decimaal getalsysteem naar andere

Voorbeeld: Laten we het getal 75 omzetten van het decimale systeem naar binair, octaal en hexadecimaal:

Antwoord: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Conversie naar decimaal getalsysteem

De conversie van gehele getallen van het getalsysteem met grondtal q (niet-decimaal systeem) naar het decimale getalsysteem wordt uitgevoerd volgens de regel: als alle termen in de uitgebreide vorm van een niet-decimaal getal worden weergegeven in het decimale systeem en de resulterende uitdrukking wordt berekend volgens de regels van de decimale rekenkunde, waarna een getal in het decimale systeem wordt verkregen dat gelijk is aan gegeven. Laten we naar voorbeelden kijken:

112 3 = 1 3 2 + 1 3 1 + 2 3 0 = 9 + 3 + 2 = 14 10

101101 2 = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 = 45 10

15FC 16= 1 16 3 + 5 16 2 + 15(F) 16 1 + 12(C) 16 0 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10

Uitgebreide vorm van het nummer

Uitgebreide vorm van het schrijven van een getal– dit is een opname in de vorm van cijfertermen, geschreven met behulp van de graad van het overeenkomstige cijfer en de basis van de graad.

Laten we naar voorbeelden kijken:

32478 10 = 3 10000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 =

3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0

112 3 = 1,3 2 + 1,3 1 + 2,3 0

101101 2 = 1,2 5 + 0,2 4 + 1,2 3 + 1,2 2 + 0,2 1 + 1,2 0

15FC 16 = 1 16 3 + 5 16 2 + 15 16 1 + 12 16 0

Toevoeging

Optellingstabellen zijn eenvoudig te maken met behulp van de telregel.

Berekening

Voorbeeld 4. Trek één af van de getallen 10 2, 10 8 en 10 16

Voorbeeld 5. Trek één af van de getallen 100 2, 100 8 en 100 16.

Voorbeeld 6. Trek het getal 59,75 af van het getal 201,25.

Antwoord: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D.8 16.

Inspectie. Laten we de resulterende verschillen omzetten in decimale vorm:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

Vermenigvuldiging

Bij het vermenigvuldigen van getallen met meerdere cijfers in verschillende positiegetallensystemen kunt u het gebruikelijke algoritme gebruiken voor het vermenigvuldigen van getallen in een kolom, maar de resultaten van het vermenigvuldigen en optellen van getallen met één cijfer moeten worden ontleend aan de tabellen van vermenigvuldiging en optelling die overeenkomen met het systeem in vraag.

DIVISIE

Deling in elk positioneel getalsysteem wordt uitgevoerd volgens dezelfde regels als deling door hoek in het decimale systeem. In het binaire systeem is delen bijzonder eenvoudig, omdat het volgende cijfer van het quotiënt slechts nul of één kan zijn.
Voorbeeld 9. Deel het getal 30 door het getal 6.

Antwoord: 30: 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8 .

Voorbeeld 10. Deel het getal 5865 door het getal 115.

Octaal: 13351 8:163 8

Antwoord: 5865: 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8 .
Inspectie.
110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6 . 8 1 + 3 . 8 0 = 51.

Voorbeeld 11. Deel het getal 35 door het getal 14.

Octaal: 43 8: 16 8

Antwoord: 35: 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8 .

Inspectie. Laten we de resulterende quotiënten omzetten in decimale vorm:

10,1 2 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;

2,4 8 = 2 . 8 0 + 4 .

Octale en hexadecimale getalsystemen

Het binaire systeem, handig voor computers, is lastig voor mensen vanwege zijn omvang en ongebruikelijke notatie.

De conversie van getallen van het decimale systeem naar het binaire systeem en omgekeerd wordt uitgevoerd door een machine. Om een ​​computer professioneel te gebruiken, moet u echter het woord machine leren begrijpen. Dit is de reden waarom de octale en hexadecimale systemen zijn ontwikkeld.

Getallen in deze systemen zijn bijna net zo gemakkelijk te lezen als decimale getallen; ze vereisen respectievelijk drie (octaal) en vier (hexadecimaal) keer minder cijfers dan in het binaire systeem (de getallen 8 en 16 zijn tenslotte respectievelijk de getallen 8 en 16). derde en vierde macht van het getal 2) .

Bijvoorbeeld:

Bijvoorbeeld,

Hoe converteer je een juiste decimale breuk naar een ander positioneel getalsysteem?

Voorbeeld. Laten we het getal 0,36 omzetten van het decimale systeem naar binair, octaal en hexadecimaal:

Praktisch werk.

1. Converteer dit getal van het decimale getalsysteem naar binaire, octale en hexadecimale getalsystemen.

c) 712,25 (10);

d) 670,25 (10);

2. Converteer dit getal naar het decimale getalsysteem.

a) 1001110011 (2) ;

b) 1001000 (2) ;

c) 1111100111.01 (2) ;

d) 1010001100.101101 (2) ;

e) 413,41 (8);

e) 118,8°C (16) .

3. Voeg de cijfers toe.

a) 1100001100 (2) +1100011001 (2) ;

b) 110010001 (2) +1001101 (2) ;

c) 111111111.001 (2) +1111111110.0101 (2) ;

d) 1443,1 (8) +242,44 (8) ;

e) 2B4,C (16) +EA,4 (16) .

Laboratoriumwerk nr. 16

Nummersystemen

Theoretisch gedeelte

Positionele nummersystemen

IN positionele nummersystemen de waarde die wordt aangegeven door een cijfer in een getalnotatie hangt af van de positie ervan. Het aantal gebruikte cijfers wordt opgeroepen basis positioneel nummersysteem.

Het getalsysteem dat in de moderne wiskunde wordt gebruikt, is positioneel decimaal systeem. Het grondtal is 10, omdat Getallen worden geschreven met 10 cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

De positionele aard van dit systeem is gemakkelijk te begrijpen aan de hand van het voorbeeld van een meercijferig nummer. In het getal 333 betekent de eerste 3 bijvoorbeeld 3 honderdtallen, de tweede – 3 tientallen, de derde – 3 eenheden (de betekenis van elk cijfer hangt af van de plaats die dit cijfer inneemt).

Om getallen in het basispositiesysteem n te schrijven, heb je een alfabet van n cijfers nodig. Meestal voor dit doel wanneer n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>Er worden 10 letters toegevoegd aan tien Arabische cijfers. Hier zijn voorbeelden van alfabetten van verschillende systemen:

Als u de basis van het systeem moet aangeven waartoe een nummer behoort, dan wordt het toegewezen met een subscript voor dit nummer: 101101 2, 3671 8, 3B8F 16

Laten we de eerste 17 getallen in binaire en octale getalsystemen schrijven:

Niet-positionele nummersystemen

Naast positionele zijn er nog andere: niet-positionele getalsystemen, gebouwd op andere principes.

Bij niet-positionele getalsystemen is de positie van het cijfer in de notatie van het getal niet afhankelijk van de waarde die het vertegenwoordigt. Een bekend voorbeeld van een dergelijk systeem is het Romeinse systeem (Romeinse cijfers). In het Romeinse systeem worden Latijnse letters als cijfers gebruikt:

Als een kleiner getal aan de linkerkant en een groter getal aan de rechterkant wordt geschreven, worden hun waarden afgetrokken:

Laten we naar de cijfers kijken:

a) LXXXVII = (50 + 30) + (5 + 2) = 87. In dit voorbeeld betekent het getal X, dat 3 keer deelneemt, elke keer dezelfde waarde: 10 eenheden.

b) MCMXCVI = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + (5 + 1) = 1996

Romeinse cijfers zien we ook nu nog vaak bijvoorbeeld op op wijzerplaten, in boeken bij het nummeren van hoofdstukken, in de aanduiding van eeuwen. Ze worden echter niet gebruikt in de wiskundige praktijk. Positionele systemen zijn handig omdat u hiermee grote getallen kunt schrijven met een relatief klein aantal tekens. Een nog belangrijker voordeel van positionele systemen is de eenvoud en het gemak waarmee rekenkundige bewerkingen op getallen kunnen worden uitgevoerd. Probeer ter vergelijking twee getallen van drie cijfers te vermenigvuldigen door ze in Romeinse cijfers te schrijven.

IN niet-positionele nummersystemen de hoeveelheid die een cijfer aanduidt, is niet afhankelijk van de positie ervan in het getal. Bovendien kan het systeem beperkingen opleggen aan de rangschikking van nummers, Bijvoorbeeld zodat de getallen in aflopende volgorde zijn gerangschikt.

Er zijn de volgende niet-positionele nummersystemen:

Eenheidsnummersysteem,

Vijfvoudig getalsysteem (tellen op hakken),

Oud-Egyptisch getalsysteem,

Babylonisch getalsysteem,

Alfabetische nummersystemen,

Joods nummersysteem

Grieks nummersysteem,

Romeins getalsysteem,

Maya-getalsysteem

Inca quipu,

Laten we enkele van de hierboven gegeven getalsystemen eens bekijken.

Eenheidsnummersysteem.

Vanaf de eerste pogingen om te leren tellen, begonnen mensen getallen op te schrijven. In het begin was het gemakkelijk: een inkeping of streepje op welk oppervlak dan ook was verantwoordelijk voor één object. Zo ontstond het eerste getallensysteem - enkel.

Nummer binnen eenheidsnummersysteem is een reeks streepjes (stokjes), waarvan het aantal gelijk is aan de waarde van een bepaald getal. Een oogst van 100 dadels is dus gelijk aan een getal bestaande uit 100 streepjes.

Om de perceptie van grote aantallen te vereenvoudigen, werden deze tekens op een later tijdstip gegroepeerd in groepen van drie of vijf. Vervolgens werden groepen tekens met een gelijk volume vervangen door een nieuw teken - zo ontstonden de prototypes van moderne cijfers.

Dit systeem heeft aanzienlijke nadelen: hoe groter het aantal, hoe langer de reeks stokken. Bovendien is de kans groot dat u een getal schrijft door een stokje te missen of per ongeluk toe te voegen.

Aanvankelijk werden bij het tellen vingers gebruikt, dus de eerste tekens verschenen voor groepen van 5 en 10 stuks (eenheden). Dit alles maakte het mogelijk om handiger systemen te creëren voor het opnemen van nummers.

Oud-Egyptisch decimaal getalsysteem.

Het oude Egypte gebruikte zijn eigen symbolen (cijfers) om getallen weer te geven 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 . Hier zijn er een aantal:

Waarom noemen we het decimaal? Zoals hierboven vermeld, begonnen mensen symbolen te groeperen. In Egypte besloten ze zich te groeperen per 10, waarbij het getal “1” ongewijzigd bleef. Hier wordt het getal 10 genoemd decimale basis, en alle symbolen zijn tot op zekere hoogte een weergave van het getal 10.

Nummers binnen oud Egyptisch getalsysteem werden opgeschreven in de vorm van combinaties van dergelijke symbolen, en ze werden allemaal niet meer dan 9 keer herhaald. Het resultaat was de som van de elementen van het getal. Deze methode om een ​​waarde te verkrijgen is kenmerkend voor elk niet-positioneel getalsysteem. Kijk bijvoorbeeld eens naar de vermelding voor het nummer 345:

Babylonisch sexagesimaal getalsysteem.

IN Babylonisch getalsysteem Er werden slechts 2 symbolen gebruikt: een “rechte” wig voor eenheden en een “liggende” wig voor tientallen. Om de waarde van een getal te bepalen, moet je de afbeelding van het getal van rechts naar links in cijfers verdelen. Een nieuwe ontlading begint met het verschijnen van een rechte wig na een liggende wig. Laten we bijvoorbeeld naar het getal 32 kijken:

Het getal 60 en al zijn krachten worden ook aangegeven met een rechte wig, zoals “1”. Daarom werd het Babylonische getallenstelsel genoemd sexagesimaal getalsysteem.

De Babyloniërs schreven alle getallen van 1 tot en met 59 in het niet-positionele decimale systeem, en waarden groter dan 59 in het positionele systeem. basis 60. Bijvoorbeeld het getal 92:

De registratie van het nummer was niet specifiek, aangezien er geen cijfer was dat nul zou aangeven. Nummerweergave 92 kan niet alleen betekenen 92=60+32 , maar ook bijvoorbeeld 3632=3600+32 . Om de absolute waarde van een getal te bepalen, introduceerden ze een nieuw symbool om de ontbrekende zestigvoudige plaats aan te geven, wat overeenkomt met de weergave van het getal 0 in de decimale notatie:

Het getal 3632 wordt dus als volgt geschreven:

Babylonisch sexagesimaal systeem- het eerste nummersysteem dat mede gebaseerd is op het positionele principe. Dit nummersysteem wordt nog steeds gebruikt. Bijvoorbeeld Om de tijd te bepalen, bestaat een uur uit 60 minuten en een minuut uit 60 seconden.

Romeins nummersysteem.

Romeins nummersysteem een beetje vergelijkbaar met de Egyptische. Hier om cijfers aan te duiden 1, 5, 10, 50, 100, 500 En 1000 gebruik Latijnse hoofdletters Ik, V, X, L, C, D En M respectievelijk. Nummer binnen Romeins getalsysteem is een reeks opeenvolgende getallen.

Manieren om de waarde van een getal te bepalen:

• De waarde van een getal komt overeen met de som van de waarden van zijn cijfers. Bijvoorbeeld, nummer 32 in het Romeinse cijfersysteem wordt het zo geschreven XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
• Als er links van een groter getal een kleiner getal staat, is de waarde het verschil tussen de grotere en kleinere getallen. Bovendien kan het linkercijfer maximaal 1 orde van grootte kleiner zijn dan het rechter: d.w.z. voor L(50) En C(100) van de “jongere” kan alleen maar zijn X(10), voor D(500) En M(1000)- alleen C(100), voor V(5)- alleen ik(1); Het getal 444 in het Romeinse cijfersysteem ziet er als volgt uit:

CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.

• De waarde is gelijk aan de som van de waarden van groepen en getallen die niet in de punten 1 en 2 passen.

Terwijl ik coderingen bestudeerde, realiseerde ik me dat ik getalsystemen niet goed genoeg begreep. Niettemin gebruikte ik vaak 2-, 8-, 10-, 16-de systemen, converteerde ik de ene naar de andere, maar alles gebeurde "automatisch". Nadat ik veel publicaties had gelezen, was ik verrast door het ontbreken van één enkel artikel in eenvoudige taal over dergelijk basismateriaal. Daarom besloot ik mijn eigen boek te schrijven, waarin ik probeerde de basisprincipes van getalsystemen op een toegankelijke en overzichtelijke manier te presenteren.

Invoering

Wat betekent dit? Je ziet bijvoorbeeld meerdere bomen voor je. Jouw taak is om ze te tellen. Om dit te doen, kunt u uw vingers buigen, inkepingen maken in een steen (één boom - één vinger/inkeping), of 10 bomen matchen met een voorwerp, bijvoorbeeld een steen, en een enkel exemplaar met een stok, en deze plaatsen op de grond terwijl u telt. In het eerste geval wordt het getal weergegeven als een reeks gebogen vingers of inkepingen, in het tweede geval - een compositie van stenen en stokken, waarbij stenen aan de linkerkant zijn en stokken aan de rechterkant

Nummersystemen zijn onderverdeeld in positioneel en niet-positioneel, en positioneel op hun beurt in homogeen en gemengd.

Niet-positioneel- de oudste, daarin heeft elk cijfer van een getal een waarde die niet afhankelijk is van zijn positie (cijfer). Dat wil zeggen, als u 5 regels heeft, dan is het aantal ook 5, aangezien elke regel, ongeacht zijn plaats in de regel, slechts met 1 item overeenkomt.

Positioneel systeem- de betekenis van elk cijfer hangt af van zijn positie (cijfer) in het getal. Het ons bekende 10e getallensysteem is bijvoorbeeld positioneel. Laten we het getal 453 bekijken. Het getal 4 geeft het aantal honderden aan en komt overeen met het getal 400, 5 - het aantal tientallen en is vergelijkbaar met de waarde 50, en 3 - eenheden en de waarde 3. Zoals je kunt zien, is de Hoe groter het cijfer, hoe hoger de waarde. Het uiteindelijke getal kan worden weergegeven als de som 400+50+3=453.

Homogeen systeem- voor alle cijfers (posities) van een getal is de set geldige tekens (cijfers) hetzelfde. Laten we als voorbeeld het eerder genoemde 10e systeem nemen. Wanneer u een getal in een homogeen 10e systeem schrijft, kunt u in elk cijfer slechts één cijfer van 0 tot 9 gebruiken, dus het getal 450 is toegestaan ​​(1e cijfer - 0, 2e - 5, 3e - 4), maar 4F5 niet. omdat het teken F niet is opgenomen in de reeks cijfers 0 tot en met 9.

Gemengd systeem- in elk cijfer (positie) van een getal kan de set geldige tekens (cijfers) verschillen van de sets andere cijfers. Een sprekend voorbeeld is het tijdmeetsysteem. In de categorie seconden en minuten zijn er 60 verschillende symbolen mogelijk (van “00” tot “59”), in de categorie uren – 24 verschillende symbolen (van “00” tot “23”), in de categorie dag – 365, enz.

Niet-positionele systemen

Eenheidsnummersysteem

Voor het gemak begonnen mensen de stokjes in 3, 5 en 10 stukken te groeperen. Tegelijkertijd correspondeerde elke groep met een specifiek teken of object. Aanvankelijk werden vingers gebruikt om te tellen, dus de eerste tekens verschenen voor groepen van 5 en 10 stuks (eenheden). Dit alles maakte het mogelijk om handiger systemen te creëren voor het opnemen van nummers.

Oud Egyptisch decimaal systeem

Waarom heet het decimaal? Zoals hierboven vermeld, begonnen mensen symbolen te groeperen. In Egypte kozen ze voor een groepering van 10, waarbij het getal “1” ongewijzigd bleef. In dit geval wordt het getal 10 het decimale basisstelsel genoemd, en elk symbool is tot op zekere hoogte een weergave van het getal 10.

Getallen in het oude Egyptische getalsysteem werden geschreven als een combinatie hiervan
karakters, die elk niet meer dan negen keer werden herhaald. De uiteindelijke waarde was gelijk aan de som van de elementen van het getal. Het is vermeldenswaard dat deze methode voor het verkrijgen van een waarde kenmerkend is voor elk niet-positioneel getalsysteem. Een voorbeeld is het nummer 345:

Babylonisch sexagesimaal systeem

Het Babylonische sexagesimale systeem is het eerste getallenstelsel dat gedeeltelijk gebaseerd is op het positionele principe. Dit getallensysteem wordt nog steeds gebruikt, bijvoorbeeld bij het bepalen van de tijd: een uur bestaat uit 60 minuten en een minuut bestaat uit 60 seconden.

Romeins systeem

Methoden voor het bepalen van de waarde van een getal:

1. De waarde van een getal is gelijk aan de som van de waarden van zijn cijfers. Het getal 32 in het Romeinse cijfersysteem is bijvoorbeeld XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Als er links van het grotere cijfer een kleiner cijfer staat, is de waarde gelijk aan het verschil tussen het grotere en kleinere cijfer. Tegelijkertijd kan het linkercijfer maximaal één orde van grootte kleiner zijn dan het rechtercijfer: onder de “laagste” cijfers kan bijvoorbeeld alleen X(10) vóór L(50) en C(100) verschijnen. , en alleen vóór D(500) en M(1000) C(100), vóór V(5) - alleen I(1); het getal 444 in het beschouwde getalsysteem zal worden geschreven als CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. De waarde is gelijk aan de som van de waarden van groepen en getallen die niet in de punten 1 en 2 passen.

Positionele nummersystemen

Decimaal getalsysteem

Laten we bijvoorbeeld het getal 503 nemen. Als dit getal in een niet-positioneel systeem zou worden geschreven, dan zou de waarde 5+0+3 = 8 zijn. Maar we hebben een positioneel systeem en dat betekent dat elk cijfer van het getal moet zijn vermenigvuldigd met de grondtal van het systeem, in dit geval het getal “10”, verheven tot een macht gelijk aan het cijfer. Het blijkt dat de waarde 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 is. Om verwarring te voorkomen bij het werken met meerdere getalsystemen tegelijk, wordt de grondtal aangegeven als een subscript. Dus 503 = 503 10.

Naast het decimale systeem verdienen de 2-, 8- en 16e systemen speciale aandacht.

Binair getalsysteem

Het binaire positienummersysteem heeft een grondtal van 2 en gebruikt 2 symbolen (cijfers) om getallen te schrijven: 0 en 1. In elk cijfer is slechts één cijfer toegestaan: 0 of 1.

Een voorbeeld is het getal 101. Het is vergelijkbaar met het getal 5 in het decimale getalsysteem. Om van 2 naar 10 te converteren, moet je elk cijfer van een binair getal vermenigvuldigen met het grondtal ‘2’, verheven tot een macht gelijk aan de plaatswaarde. Dus het getal 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

Welnu, voor machines is het 2e cijfersysteem handiger, maar we zien en gebruiken vaak getallen in het 10e systeem op de computer. Hoe bepaalt de machine dan welk nummer de gebruiker invoert? Hoe vertaalt het een getal van het ene systeem naar het andere, aangezien het maar twee symbolen heeft: 0 en 1?

Om een ​​computer met binaire getallen (codes) te laten werken, moeten deze ergens worden opgeslagen. Om elk afzonderlijk cijfer op te slaan, wordt een trigger, een elektronisch circuit, gebruikt. Het kan zich in 2 toestanden bevinden, waarvan er één overeenkomt met nul, de andere met één. Om een ​​enkel getal te onthouden, wordt een register gebruikt: een groep triggers, waarvan het aantal overeenkomt met het aantal cijfers in een binair getal. En de set registers is RAM. Het nummer in het register is een machinewoord. Rekenkundige en logische bewerkingen met woorden worden uitgevoerd door een rekenkundige logische eenheid (ALU). Om de toegang tot registers te vereenvoudigen, zijn ze genummerd. Het nummer wordt het registeradres genoemd. Als u bijvoorbeeld twee cijfers moet toevoegen, volstaat het om de nummers aan te geven van de cellen (registers) waarin ze zich bevinden, en niet de nummers zelf. Adressen worden geschreven in octale en hexadecimale systemen (ze zullen hieronder worden besproken), omdat de overgang van deze naar het binaire systeem en terug vrij eenvoudig is. Om van de 2e naar de 8e over te gaan, moet het nummer worden verdeeld in groepen van 3 cijfers van rechts naar links, en om naar de 16e - 4 te gaan. Als er niet genoeg cijfers in de meest linkse groep cijfers staan, worden deze gevuld van links met nullen, die leidend worden genoemd. Laten we het getal 101100 2 als voorbeeld nemen. In octaal is het 101 100 = 54 8, en in hexadecimaal is het 0010 1100 = 2C 16. Geweldig, maar waarom zien we decimale cijfers en letters op het scherm? Wanneer u op een toets drukt, wordt een bepaalde reeks elektrische impulsen naar de computer verzonden en heeft elk symbool zijn eigen reeks elektrische impulsen (nullen en enen). Het toetsenbord- en schermstuurprogramma heeft toegang tot de tekencodetabel (bijvoorbeeld Unicode, waarmee u 65536 tekens kunt coderen), bepaalt met welk teken de resulterende code overeenkomt en geeft deze op het scherm weer. Zo worden teksten en cijfers in binaire code in het computergeheugen opgeslagen en programmatisch omgezet in afbeeldingen op het scherm.

Octaal getalsysteem

Een voorbeeld van een octaal getal: 254. Om te converteren naar het 10e systeem moet elk cijfer van het oorspronkelijke getal worden vermenigvuldigd met 8 n, waarbij n het cijfer is. Het blijkt dat 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

Hexadecimaal getalsysteem

Laten we het getal 4F5 16 als voorbeeld nemen. Om naar het octale systeem te converteren, converteren we eerst het hexadecimale getal naar binair getal en vervolgens, door het in groepen van 3 cijfers te verdelen, naar octaal. Om een ​​getal naar 2 te converteren, moet je elk cijfer voorstellen als een 4-bits binair getal. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Maar in de groepen 1 en 3 zijn er niet genoeg cijfers, dus laten we ze allemaal vullen met voorloopnullen: 0100 1111 0101. Nu moet je het resulterende getal verdelen in groepen van 3 cijfers van rechts naar links: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 Laten we elke binaire groep omzetten naar het octale systeem, waarbij we elk cijfer vermenigvuldigen met 2 n, waarbij n het cijfer is: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2). 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Naast de beschouwde positionele nummersystemen zijn er nog andere, bijvoorbeeld:
1) Drie-eenheid
2) Kwartair
3) Duodecimaal

Positionele systemen zijn onderverdeeld in homogeen en gemengd.

Homogene positienummersystemen

Gemengde nummersystemen

Op basis van de stelling kunnen we regels formuleren voor de overdracht van de P-de naar de Q-de systemen en omgekeerd:

1. Om van het Q-de naar het P-de te converteren, moet je het getal in het Q-de systeem verdelen in groepen van n cijfers, te beginnen met het juiste cijfer, en elke groep vervangen door één cijfer in het P-de systeem .
2. Om van P-th naar Q-th te converteren, is het noodzakelijk om elk cijfer van een getal in het P-th-systeem om te zetten naar Q-th en de ontbrekende cijfers te vullen met voorloopnullen, met uitzondering van de linker, zodat elk getal in het systeem met grondtal Q bestaat uit n cijfers.

Gemengde nummersystemen zijn bijvoorbeeld ook:
1) Factorieel
2) Fibonacci

Conversie van het ene nummersysteem naar het andere

Conversie naar decimaal getalsysteem

Voorbeeld: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Conversie van decimaal getalsysteem naar andere

1. We delen achtereenvolgens het gehele deel van het decimale getal door de basis van het systeem waarnaar we converteren, totdat het decimale getal gelijk is aan nul.
2. De resten die tijdens de deling worden verkregen, zijn de cijfers van het gewenste getal. Het getal in het nieuwe systeem wordt geschreven vanaf de laatste rest.

1. We vermenigvuldigen het fractionele deel van het decimale getal met de basis van het systeem waarnaar we willen converteren. Scheid het hele onderdeel. We blijven het fractionele deel vermenigvuldigen met de basis van het nieuwe systeem totdat het gelijk is aan 0.
2. Getallen in het nieuwe systeem zijn opgebouwd uit hele delen van vermenigvuldigingsresultaten in de volgorde die overeenkomt met hun productie.

Nadat we alle resten van onder naar boven hebben opgeschreven, krijgen we het uiteindelijke getal 17. Daarom 15 10 = 17 8.

Converteren van binair naar octaal en hexadecimaal

Laten we het getal 1001 2 als voorbeeld nemen: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Om naar hexadecimaal te converteren, verdelen we het binaire getal in groepen van 4 cijfers van rechts naar links, en dan vergelijkbaar met de conversie van 2e naar 8e.

Converteren van octaal en hexadecimaal naar binair

Beschouw bijvoorbeeld het getal 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Vertaling van de 16e naar de 2e - we zetten elk cijfer van een hexadecimaal getal om in een binair getal van 4 cijfers door te delen door 2, waarbij we de ontbrekende buitenste cijfers vullen met voorloopnullen.

Het fractionele deel van elk getalsysteem omzetten naar decimaal

De conversie wordt op dezelfde manier uitgevoerd als voor gehele delen, behalve dat de cijfers van het getal worden vermenigvuldigd met het grondtal tot de macht “-n”, waarbij n begint vanaf 1.

Voorbeeld: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Het fractionele deel van binair getal omzetten naar 8e en 16e

Voorbeeld: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Het fractionele deel van het decimale systeem naar een ander systeem converteren

Laten we bijvoorbeeld 10.625 10 naar binair converteren:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Als we alle resten van boven naar beneden opschrijven, krijgen we 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2