Numerieke functie van één variabele. Een functie van één variabele definiëren

Laten we eerst eens kijken naar het concept van een variabele hoeveelheid, of eenvoudigweg een variabele.

Variabele waarde X wordt bepaald door de reeks waarden die het in het onderhavige geval kan aannemen. Dit is veel X laten we het gebied van verandering van variabele waarden noemen X.

Het hoofdonderwerp van de wiskunde in de wiskunde is echter niet de verandering in één variabele op zichzelf, maar de relatie tussen twee of meer variabelen wanneer deze samen veranderen. In veel gevallen kunnen variabelen geen enkel paar waarden uit hun bereik aannemen; als aan de een een specifieke betekenis wordt gegeven, dan bepaalt dit al de betekenis van de ander. Dan wordt de eerste gebeld onafhankelijk , en de tweede – afhankelijk variabel.

Laat twee variabelen gegeven worden X En j met veranderingsgebieden X En Y. Als elk element X X volgens een bepaalde regel Féén enkel element komt overeen j Y, dan zeggen ze dat op de set X gegeven functie j = F(X).

Het is duidelijk dat in dit geval de variabele X is de onafhankelijke variabele. Ze wordt vaak gebeld argument functies.

Variabel j is de afhankelijke variabele en wordt de waarde van de functie genoemd, of eenvoudigweg functie.

Veel X genaamd domein van definitie functies en een set Y - regio haar waarden .

Bestaat een aantal manieren functie opdrachten:

A) de eenvoudigste - analytisch methode, d.w.z. het specificeren van een functie in de vorm van een formule. Als het domein van een functie X niet is aangegeven, dan onder X meerdere betekenissen impliciet X, waarvoor de formule zinvol is;

B) grafisch manier. Deze methode is bijzonder duidelijk. Voor een functie van één variabele j= F(X) het coördinatenvlak wordt gebruikt ( xy).

Verzameling van punten j, corresponderend gegeven waarden X, bepaalt de grafiek van de functie op het vlak ( xy);

V) tabelvormig manier. Het wordt vaak gebruikt als de onafhankelijke variabele X neemt slechts een eindig aantal waarden aan.

5.2. Basiseigenschappen van functies

Laten we eens kijken naar de belangrijkste eigenschappen van functies die hun onderzoek vereenvoudigen:

Pariteit. Functie j = F(X) wordt genoemd zelfs , als het voor welke waarde dan ook is X, behorend tot het domein van de definitie van de functie X, betekenis (- X) hoort er ook bij X en tegelijkertijd wordt het uitgevoerd

F(-X) =F(X).

De grafiek van een even functie is symmetrisch ten opzichte van de ordinaat.

Functie j = F(X) wordt genoemd vreemd , eventueel X X volgt (– X) X en tegelijkertijd

F(-X) = –F(X).

De grafiek van een oneven functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

Als de functie j = F(X) is noch even noch oneven, zo wordt vaak genoemd algemene functie .

Monotoon. Functie j = F(X) wordt genoemd toenemend op een bepaald moment ( A, B), eventueel X 1 , X 2 (A, B), zo een

Wat X 1 < X 2, volgt hieruit F(X 1) < F(X 2), en afnemend , Als F(X 1) >F(X 2).

Toenemend en afnemend op het interval ( een, b) functies worden aangeroepen eentonig op dit interval, en het interval zelf ( een, b) - het interval van monotoniciteit van deze functies.

In sommige leerboeken worden dergelijke functies genoemd strikt eentonig, A eentonig een functie die niet-afnemend en niet-toenemend is op het beschouwde interval wordt aangeroepen (in plaats van strikte ongelijkheden voor functies worden niet-strikte ongelijkheden geschreven).

Beperking. Functie y = f(X) wordt genoemd beperkt op het interval ( A, B), als een dergelijk nummer bestaat MET> 0, wat voor iedereen geldt X (A, B) zou moeten |f(X)| < C , en anders onbeperkt, d.w.z. voor elk nummer C> 0 dergelijke bestaat X (A, B), Wat |f(X)| > C. In afb. Figuur 5.1 toont een grafiek van een functie begrensd op het interval ( A, B).

Een soortgelijke definitie van begrensdheid kan voor elk type interval worden gegeven.

Periodiciteit. Functie j = F(X) wordt genoemd periodiek, als een dergelijk nummer bestaat T dat voor iedereen X X rennen

F(x+t)= f(X).

Het kleinste van deze getallen T genaamd periode van de functie en wordt aangewezen T.

Een karakteristiek kenmerk De periodiciteit van functies is de aanwezigheid van trigonometrische functies in hun samenstelling.

5.3. Elementaire functies en hun grafieken

Basisfuncties omvatten:

A) de eenvoudigste elementaire functies

1. Constantj = C, Waar Met- een constant reëel getal voor een gegeven functie, hetzelfde voor alle waarden X.

2. Power-functie, waarbij elk constant reëel getal behalve nul is. Type functiegrafiek voor enkele positieve gehele getallen ( = N), negatieve gehele getallen ( = – N) en fractioneel ( = 1/ N) waarden worden hieronder weergegeven.

4. Logaritmische functie j=logboek een x (A > 0; A 1).

5. Trigonometrische functies: j= zonde X, j=cos X, j= tg X, j=ctg X.

6. Inverse trigonometrische functies.

j= arcsin x y= arccos X

j= arctan x y= arcctg X

B) complexe functies

Naast de vermelde eenvoudigste elementaire functies argument X Onder elementaire functies vallen ook functies waarvan de argumenten ook elementaire functies zijn, evenals functies die worden verkregen door het uitvoeren van een eindig getal rekenkundige bewerkingen boven elementaire functies. De functie bijvoorbeeld

is ook een elementaire functie.

Er worden functies aangeroepen waarvan de argumenten geen onafhankelijke variabelen zijn, maar andere functies complexe functies of superposities van functies. Laat twee functies gegeven worden: j= zonde X En z= logboek 2 j. Dan kan een complexe functie (superpositie van functies) de vorm hebben

z= log 2(zonde X).

Je kunt het concept ook introduceren omgekeerde functie .Laten j = F(X) wordt gegeven in het domein van de definitie X, A Y- de vele betekenissen. Laten we een waarde kiezen j= j 0 en gebruik deze om te vinden X 0 dus dat j 0 was gelijk F(X 0). Soortgelijke waarden X Er kunnen meerdere 0 zijn.

Dus voor elke waarde j van Y er worden een of meer waarden toegekend X. Als een dergelijke waarde X slechts één ding, dan in de omgeving Y een functie kan worden gedefinieerd X= G(j), dat wordt genoemd achteruit voor functie j = F(X).

Laten we bijvoorbeeld de inverse functie voor de exponentiële functie vinden j = een x. Uit de definitie van logaritme volgt dat als de waarde wordt gegeven j en vervolgens de waarde X, die aan de voorwaarde voldoet j = een x, wordt gevonden door de formule X=logboek een y. Dat wil zeggen, iedereen j van Y kan aan één specifieke waarde worden toegewezen X=logboek een y.

Daarom de functie X=logboek een y is het omgekeerde van de functie j = een x op sets X En Y. Omdat het gebruikelijk is om de onafhankelijke variabele van elke functie aan te duiden X, dan zeggen ze dat in dit geval j = F(X) En j= G(X) zijn inverse functies.

Functiegrafieken j = F(X) en zijn inverse functie j= G(X) zijn symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van de eerste en derde coördinaathoek.

een functie is een correspondentie tussen elementen van twee sets, vastgesteld volgens de regel dat elk element van de ene set geassocieerd is met een element uit een andere set.

de grafiek van een functie is de geometrische verzameling punten in het vlak waarvan de abscis (x) en de ordinaat (y) verband houden met de opgegeven functie:

een punt bevindt zich (of bevindt zich) op de grafiek van een functie dan en slechts dan als .

De functie kan dus adequaat worden beschreven door de grafiek.

Tabellarische methode. Een vrij gebruikelijke methode is het specificeren van een tabel individuele waarden argument en de bijbehorende functiewaarden. Deze methode voor het definiëren van een functie wordt gebruikt wanneer het domein van de definitie van de functie een discrete eindige verzameling is.

Met de tabellarische methode voor het specificeren van een functie is het mogelijk om bij benadering de waarden te berekenen van de functie die niet in de tabel staat, overeenkomend met tussenliggende waarden argument. Gebruik hiervoor de interpolatiemethode.

De voordelen van de tabellarische methode voor het specificeren van een functie zijn dat het mogelijk is om bepaalde specifieke waarden onmiddellijk te bepalen, zonder aanvullende metingen of berekeningen. In sommige gevallen definieert de tabel de functie echter niet volledig, maar alleen voor sommige waarden van het argument en biedt deze geen visuele weergave van de aard van de verandering in de functie, afhankelijk van de verandering in het argument.

Grafische methode. De grafiek van de functie y = f(x) is de verzameling van alle punten op het vlak waarvan de coördinaten voldoen aan de gegeven vergelijking.

De grafische methode voor het specificeren van een functie maakt het niet altijd mogelijk om de numerieke waarden van het argument nauwkeurig te bepalen. Maar dat heeft hij wel gedaan groot voordeel vóór andere methoden - zichtbaarheid. In techniek en natuurkunde wordt vaak een grafische methode gebruikt om een ​​functie te specificeren, en een grafiek is hiervoor de enige beschikbare manier.

Om de grafische toewijzing van een functie vanuit wiskundig oogpunt volledig correct te laten zijn, is het noodzakelijk om het exacte geometrische ontwerp van de grafiek aan te geven, dat meestal wordt gespecificeerd door een vergelijking. Dit leidt tot volgende methode functie opdrachten.

Analytische methode. Meestal wordt de wet die het verband legt tussen een argument en een functie gespecificeerd door middel van formules. Deze methode voor het specificeren van een functie wordt analytisch genoemd.

Deze methode maakt het voor elke numerieke waarde van het argument x mogelijk om de corresponderende numerieke waarde van de functie y exact of met enige nauwkeurigheid te vinden.

Als de relatie tussen x en y wordt gegeven door een formule die is opgelost met betrekking tot y, d.w.z. de vorm y = f(x) heeft, dan zeggen we dat de functie van x expliciet gegeven is.

Als de waarden x en y gerelateerd zijn door een vergelijking van de vorm F(x,y) = 0, d.w.z. de formule wordt niet opgelost ten opzichte van y, wat betekent dat de functie y = f(x) impliciet wordt gegeven.

Een functie kan worden gedefinieerd door verschillende formules in verschillende delen van zijn domein.

De analytische methode is de meest gebruikelijke manier om functies te specificeren. Compactheid, beknoptheid, het vermogen om de waarde van een functie te berekenen voor een willekeurige waarde van het argument uit het definitiedomein, het vermogen om het apparaat op een gegeven functie toe te passen wiskundige analyse- de belangrijkste voordelen van de analytische methode voor het specificeren van een functie. De nadelen zijn onder meer het gebrek aan zichtbaarheid, dat wordt gecompenseerd door de mogelijkheid om een ​​grafiek op te bouwen en de noodzaak om soms zeer omslachtige berekeningen uit te voeren.

Verbale methode. Deze methode bestaat erin functionele afhankelijkheid in woorden uit te drukken.

Voorbeeld 1: functie E(x) is het gehele deel van x. Over het algemeen geeft E(x) = [x] het grootste gehele getal aan dat x niet overschrijdt. Met andere woorden, als x = r + q, waarbij r een geheel getal is (kan negatief zijn) en q tot het interval = r behoort. De functie E(x) = [x] is constant op het interval = r.

Voorbeeld 2: functie y = (x) - fractioneel deel cijfers. Nauwkeuriger gezegd: y =(x) = x - [x], waarbij [x] het gehele deel van het getal x is. Deze functie is gedefinieerd voor alle x. Als x een willekeurig getal is, representeer het dan als x = r + q (r = [x]), waarbij r een geheel getal is en q in het interval ligt.
We zien dat het toevoegen van n aan het argument x de waarde van de functie niet verandert.
Het kleinste getal dat niet nul is in n is , dus de periode is sin 2x .

De argumentwaarde waarbij de functie gelijk is aan 0 wordt aangeroepen nul (wortel) functies.

Een functie kan meerdere nullen hebben.

De functie bijvoorbeeld y = x (x + 1)(x-3) heeft drie nullen: x = 0, x = - 1, x = 3.

Geometrisch gezien is het nulpunt van een functie de abscis van het snijpunt van de functiegrafiek met de as X .

Figuur 7 toont een grafiek van een functie met nullen: x = a, x = b en x = c.

Als de grafiek van een functie een bepaalde lijn voor onbepaalde tijd nadert terwijl deze zich van de oorsprong verwijdert, wordt deze lijn genoemd asymptoot.

Inverse functie

Laat een functie y=ƒ(x) gegeven worden met een definitiedomein D en een reeks waarden E. Als elke waarde yєE overeenkomt met een enkele waarde xєD, dan wordt de functie x=φ(y) gedefinieerd met a. domein van definitie E en een reeks waarden D (zie figuur 102).

Zo'n functie φ(y) wordt de inverse van de functie ƒ(x) genoemd en wordt in de volgende vorm geschreven: x=j(y)=f -1 (y). =φ(y) wordt gezegd dat ze onderling invers zijn. Om de functie x=φ(y) te vinden, omgekeerd aan de functie y=ƒ (x), volstaat het om de vergelijking ƒ(x)=y voor x op te lossen (indien mogelijk).

1. Voor de functie y=2x is de inverse functie de functie x=y/2;

2. Voor de functie y=x2 xє is de inverse functie x=√y; merk op dat voor de functie y=x 2 gedefinieerd op het segment [-1; 1] bestaat het omgekeerde niet, aangezien één waarde van y overeenkomt met twee waarden van x (dus als y = 1/4, dan x1 = 1/2, x2 = -1/2).

Uit de definitie van een inverse functie volgt dat de functie y=ƒ(x) een inverse heeft als en slechts als de functie ƒ(x) een één-op-één correspondentie specificeert tussen de verzamelingen D en E. Hieruit volgt dat elke strikt monotone functie heeft een inverse. Bovendien, als een functie toeneemt (afneemt), neemt de inverse functie ook toe (afname).

Merk op dat de functie y=ƒ(x) en zijn inverse x=φ(y) worden weergegeven door dezelfde curve, dat wil zeggen dat hun grafieken samenvallen. Als we het erover eens zijn dat, zoals gebruikelijk, de onafhankelijke variabele (d.w.z. argument) wordt aangegeven met x, en de afhankelijke variabele met y, dan wordt de inverse functie van de functie y=ƒ(x) geschreven in de vorm y=φ( X).

Dit betekent dat punt M 1 (x o;y o) van de curve y=ƒ(x) punt M 2 (yo;x o) van de curve y=φ(x) wordt. Maar de punten M 1 en M 2 zijn symmetrisch ten opzichte van de rechte lijn y=x (zie figuur 103). Daarom zijn de grafieken van de onderling inverse functies y=ƒ(x) en y=φ(x) symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van de eerste en derde coördinaathoeken.

Complexe functie

Laat de functie y=ƒ(u) gedefinieerd worden op de verzameling D, en de functie u= φ(x) op de verzameling D 1, en voor  x D 1 de corresponderende waarde u=φ(x) є D. Vervolgens wordt op de set D 1 de functie u=ƒ(φ(x)) aangeroepen complexe functie van x (of superpositie gespecificeerde functies, of een functie van een functie).

De variabele u=φ(x) wordt een tussenargument van een complexe functie genoemd.

De functie y=sin2x is bijvoorbeeld een superpositie van twee functies y=sinu en u=2x. Een complexe functie kan meerdere tussenargumenten hebben.

4. Elementaire basisfuncties en hun grafieken.

De volgende functies worden de belangrijkste elementaire functies genoemd.

1) Exponentiële functie y=a x,a>0, a ≠ 1. In Fig. 104 toont grafieken van exponentiële functies die overeenkomen met verschillende machtsbases.

2) Machtsfunctie y=x α, αєR. In de figuren worden voorbeelden gegeven van grafieken van machtsfuncties die overeenkomen met verschillende exponenten.

3) Logaritmische functie y=log a x, a>0,a≠1; Grafieken van logaritmische functies die overeenkomen met verschillende bases worden getoond in Fig. 106.

4) Trigonometrische functies y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafieken van trigonometrische functies hebben de vorm weergegeven in figuur 1. 107.

5) Inverse trigonometrische functies y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. In afb. 108 toont grafieken van inverse trigonometrische functies.

Een functie die wordt gegeven door een enkele formule die is samengesteld uit elementaire basisfuncties en constanten met behulp van een eindig getal rekenkundige bewerkingen(optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) en bewerkingen voor het overnemen van een functie uit een functie worden een elementaire functie genoemd.

Voorbeelden van elementaire functies zijn de functies

Voorbeelden van niet-elementaire functies zijn de functies

5. Concepten van limiet van volgorde en functie. Eigenschappen van limieten.

Functielimiet (grenswaarde van de functie) op een bepaald punt, dat het domein van de definitie van een functie beperkt, is de waarde waarnaar de waarde van de betreffende functie neigt, terwijl het argument naar een bepaald punt neigt.

In de wiskunde limiet van de reeks elementen van een metrische ruimte of topologische ruimte zijn een element van dezelfde ruimte dat de eigenschap heeft elementen van een bepaalde reeks aan te trekken. De limiet van een reeks elementen van een topologische ruimte is een zodanig punt dat elke buurt ervan alle elementen van de reeks bevat, beginnend bij een bepaald aantal. IN metrische ruimte buurten worden gedefinieerd via de afstandsfunctie, dus het concept van een limiet wordt geformuleerd in de taal van afstanden. Historisch gezien was de eerste het concept van de limiet van een numerieke reeks, dat naar voren komt in de wiskundige analyse, waar het dient als basis voor een systeem van benaderingen en dat veel wordt gebruikt bij de constructie van differentiaal- en integraalrekening.

Aanduiding:

(leest: de limiet van de x-n-de reeks terwijl en naar oneindig neigt, is a)

De eigenschap van een reeks met een limiet wordt genoemd convergentie: als een reeks een limiet heeft, dan wordt er gezegd dat deze reeks convergeert; anders (als de reeks geen limiet heeft) wordt gezegd dat de reeks dat is wijkt af. In een Hausdorff-ruimte, en in het bijzonder een metrische ruimte, convergeert elke deelreeks van een convergente reeks, en valt de limiet ervan samen met de limiet van de oorspronkelijke reeks. Met andere woorden: een reeks elementen van een Hausdorff-ruimte kan geen twee verschillende grenzen hebben. Het kan echter voorkomen dat de reeks geen limiet heeft, maar dat er een deelreeks (van de gegeven reeks) is die wel een limiet heeft. Als uit een reeks punten in de ruimte een convergente deelreeks kan worden geïdentificeerd, dan zeggen we dat ruimte gegeven heeft de eigenschap van opeenvolgende compactheid (of simpelweg compactheid, als compactheid uitsluitend in termen van reeksen wordt gedefinieerd).

Het concept van een limiet van een reeks houdt rechtstreeks verband met het concept van een limietpunt (set): als een set een limietpunt heeft, dan is er een reeks elementen gegeven set, convergerend naar een bepaald punt.

Definitie

Laat een topologische ruimte en een reeks worden gegeven. Dan, als er een zodanig element is

waar is een open verzameling die bevat, dan wordt dit de limiet van de reeks genoemd. Als de ruimte metrisch is, kan de limiet worden gedefinieerd met behulp van de metriek: als er een element is dat zodanig is

waar is de metriek, dit wordt de limiet genoemd.

· Als de ruimte is uitgerust met een anti-discrete topologie, zal de limiet van elke reeks elk element van de ruimte zijn.

6. Limiet van een functie op een punt. Eenzijdige grenzen.

Functie van één variabele. Bepaling van de limiet van een functie op een punt volgens Cauchy. Nummer B heet de limiet van de functie bij = F(X) bij X, streven naar A(of op het punt A), als er voor elk positief getal  een positief getal  bestaat zodat voor alle x ≠ a, zodat | X – A | < , выполняется неравенство
| F(X) – A | <  .

Bepaling van de limiet van een functie op een punt volgens Heine. Nummer B heet de limiet van de functie bij = F(X) bij X, streven naar A(of op het punt A), als voor een willekeurige reeks ( X n ), convergerend naar A(gericht op A, met een limietnummer A), en tegen elke waarde n x n ≠ A, vervolg ( j n= F(X n)) convergeert naar B.

Deze definities gaan ervan uit dat de functie bij = F(X) is gedefinieerd in een bepaalde buurt van het punt A, behalve misschien het punt zelf A.

De definities van Cauchy en Heine van de limiet van een functie op een punt zijn gelijkwaardig: als het getal B geldt voor de ene als limiet, dan geldt dit ook voor de tweede.

De opgegeven limiet wordt als volgt aangegeven:

Geometrisch gezien betekent het bestaan ​​van een limiet van een functie op een punt volgens Cauchy dat het voor elk getal > 0 mogelijk is om op het coördinatenvlak zo'n rechthoek aan te geven met basis 2 > 0, hoogte 2 en middelpunt op punt ( A; B) dat alle punten van de grafiek van een bepaalde functie op het interval ( A– ; A+ ), met de mogelijke uitzondering van het punt M(A; F(A)), liggen in deze rechthoek

Eenzijdige grens in wiskundige analyse de limiet van een numerieke functie, wat impliceert dat het limietpunt aan één kant wordt ‘benadert’. Dergelijke limieten worden dienovereenkomstig genoemd linker limiet(of begrenzing naar links) En rechter limiet (begrenzing naar rechts). Laat een numerieke functie worden gegeven op een bepaalde numerieke set en het getal is het limietpunt van het definitiedomein. Er zijn verschillende definities voor eenzijdige grenzen van de functie op het punt, maar ze zijn allemaal gelijkwaardig.

Beschouw twee getallensets X En Y. F Regel , volgens welk elk nummer xI X komt overeen met het enkelvoudige getal yI Y , genaamd numerieke functie X, gedefinieerd op de set Y.

en meerdere betekenissen aannemen

Het definiëren van een functie betekent dus dat u drie objecten specificeert: X 1) ingesteld

(functiedefinitiedomein); Y 2) instellen

(functiebereik); F 3) matchingregel

(de functie zelf). Laten we bijvoorbeeld elk getal aan zijn kubus koppelen. Wiskundig gezien kan dit worden geschreven als y=x3 F. In dit geval de regel X is het verhogen van een getal tot de derde graad. IN algemeen geval X, als iedereen F volgens de regel j komt overeen met de enige , schrijven ze y = f(x). X Hier " " telefoongesprek onafhankelijke variabele argument of j" -, A " afhankelijke variabele (aangezien een uitdrukking als x 3 X heeft zelf geen specifieke numerieke waarde totdat een waarde is opgegeven functie) of X van X En j. Over hoeveelheden X er wordt gezegd dat ze verband houden door functionele afhankelijkheid. Alle betekenissen kennen F en de regel bij je kunt alle waarden vinden . Bijvoorbeeld als x=2 en vervolgens de functie f(x) =x3 neemt de waarde y aan.

= f(2) =2 3 =8

Analytische methode. Functie F wordt gegeven als een formule y=f(x). Bijvoorbeeld, y=3cos(x)+2x 2. Deze methode is dominant in wiskundig onderzoek en wordt in detail besproken in de klassieke wiskundecursus. In geografische studies wordt de correspondentie tussen X variabele hoeveelheden j En Het is niet altijd mogelijk om het als een formule op te schrijven. In veel gevallen is de formule onbekend.

Dan voor de uitdrukking functionele afhankelijkheid andere methoden worden gebruikt. Grafische methode. Op meteorologische stations kunt u op elk moment van de dag de werking observeren van recorders die de atmosferische druk, luchttemperatuur en vochtigheid registreren. Uit de resulterende grafiek kunt u op elk moment de waarden van deze hoeveelheden bepalen. Functie grafiek

y=f(x) is de verzameling van alle punten van het vlak met coördinaten ( x, f(x)). X De grafiek bevat alle informatie over de functie. Als we een grafiek voor ons hebben, lijken we “de functie te zien”.

. Deze methode is de eenvoudigste. Alle waarden van het argument (getal) worden in de ene rij van de tabel geschreven, en in de andere - de waarden f(x), laboratoriumanalyses, periodieke metingen van atmosferische of andere fysische parameters. Helaas kun je met behulp van de tabel alleen die functiewaarden vinden waarvan de argumentwaarden in de tabel beschikbaar zijn. Tegelijkertijd doen zich vaak problemen voor waarbij de waarde van een functie moet worden gevonden voor de waarde van een argument dat niet in de tabel is opgenomen.

Bovendien geeft deze methode geen voldoende duidelijk beeld van de aard van de verandering in de functie bij een verandering in de onafhankelijke variabele.

Grafieken die zijn verkregen als resultaat van de werking van automatische apparaten kennen dit nadeel niet, maar een grafische taak is mogelijk niet altijd voldoende voor verder onderzoek.

Om het verloop van een natuurlijk proces te bestuderen moet een dergelijke functie soms bijvoorbeeld worden onderworpen aan een aantal wiskundige bewerkingen, waaronder differentiatie of integratie. In veel gevallen is het dus belangrijk om de analytische specificatie van een functie te kennen. Omdat er geen exacte analytische specificatie bestaat van de functie die is verkregen als resultaat van experimenteel werk, wordt voor de doeleinden van het onderzoek de volgende techniek gebruikt: een functie gespecificeerd in een tabel (een grafisch gespecificeerde functie kan altijd in tabelvorm worden weergegeven) op een bepaald segment vervangen door een andere functie die eenvoudiger is, in zekere zin dichter bij het gegeven ligt en een analytische uitdrukking heeft. Er zijn twee hoofdmethoden voor een dergelijke vervanging: interpolatie en benadering van een tabelfunctie.

Differentieel

En integraalfunctieberekening Eén variabele

Goedgekeurd door de redactieraad

universiteit als

leermiddel

Recensenten: Doctor in de Technische Wetenschappen, hoogleraar aan de genoemde Russische Chemisch-Technologische Universiteit. D. I. Mendelejev L. S. Gordeev

Kandidaat voor fysische en wiskundige wetenschappen, universitair hoofddocent aan de Moskouse Automobiel- en Highway State Universiteit

technische universiteit

(MADI) S.A. Izotova Differentiaal- en integraalrekening van een functie van één

D50

variabele:

leerboek handleiding / E.G. Rudakovskaya, M.F. Rushailo,

M.A. Meladze, E.L. Gordeeva, V.V. Osipchik; bewerkt door E.G. Rudakovskaja,

M.F. Rushailo. M.: RKhTU im. D.I. Mendelejev,

2012. – 108 blz. ISBN 978-5-7237-0993-5 gewijd aan de analyse van voorbeelden over de onderzochte onderwerpen die betekenis hebben gehad voor andere disciplines.

Ontworpen voor eerstejaarsstudenten van alle faculteiten en hogescholen van de genoemde Russische Chemische Technische Universiteit. D. I. Mendelejev.

UDC 517 (075)

ISBN 978-5-7237-0993-5 © Russische chemische technologie

Universiteit vernoemd naar DI Mendeleeva, 2012

HOOFDSTUK 1. DIFFERENTIEELBEREKENING VAN EEN FUNCTIE VAN ÉÉN VARIABELE.. 3

§ 1. FUNCTIE VAN ÉÉN VARIABELE, BASISBEGRIPPEN. 3

1. Definitie van een functie van één variabele. 3

2. Methoden voor het specificeren van een functie. 3

3. Complexe en omgekeerde functies. 3

4. Elementaire functies. 3

§ 2. FUNCTIEGRENZEN. 3

1. Functielimiet in eindpunt X 0 3

2. Eenzijdige grenzen.. 3

3. Limiet van een functie op oneindig. 3

4. Oneindig klein en oneindig geweldige eigenschappen. 3

5. Basisstellingen over eindige limieten. 3

6. De eerste prachtige limiet. 3

7. De tweede opmerkelijke grens. 3

§ 3. CONTINUÏTEIT VAN DE FUNCTIE. 3

1. Continuïteit van een functie op een punt en op een interval. 3

2. Functiebreekpunten en hun classificatie. 3

§ 4. DIFFERENTIATIE VAN DE FUNCTIE VAN EEN VARIABELE. 3

1. Definitie van een afgeleide, de geometrische en mechanische betekenis ervan. …….3

2. Voorbeelden van afleiding van afgeleiden van enkele elementaire functies. 3

3. Tabel met afgeleiden van elementaire basisfuncties. 3

4. Differentieerbaarheid van de functie. Het verband tussen differentiatie en het bestaan ​​van een afgeleide en continuïteit van een functie. 3

5. Differentiatieregels. 3

6. Differentiatie van een impliciet gespecificeerde functie. 3

7. Afgeleiden van exponentiële en machtsfuncties. 3

8. Afgeleiden van inverse trigonometrische functies. 3

9. Differentiële functie. 3

10. Derivaten en verschillen van hogere orde. 3

§ 5. EIGENSCHAPPEN VAN FUNCTIES DIE VOORLOPIG ZIJN OP EEN INTERVEL......37

1. Stelling van Rolle. 3

2. Stelling van Lagrange. 3

3. Stelling van Cauchy. 3

4. De regel van L'Hopital. 3

§ 6. STUDIE VAN HET GEDRAG VAN FUNCTIES. 3

1. Asymptoten van een vlakke curve. 3

2. Monotoniciteit van de functie. 3

3. Extrema van de functie. 3

4. Convexiteit, concaviteit en buigpunten van de grafiek van een functie. 3

5. Grootste en kleinste waarde functies op een segment. 3

6. Schema van het functieonderzoek. Een grafiek bouwen. 3

HOOFDSTUK 2. INTEGRALE BEREKENING VAN EEN FUNCTIE VAN ÉÉN VARIABELE 3

§ 1. ONBEPAALDE INTEGRAAL.. 3

1. Antiderivatieve functie en zijn eigenschappen. 3

2. Het concept is dat niet bepaalde integraal. 3

3. Eigenschappen van de onbepaalde integraal. 3

4. Hoofdtabel onbepaalde integralen. 3

§ 2. INTEGRATIEMETHODEN. 3

1. Directe integratie. 3

2. Integratie door vervanging. 3

3. Gedeeltelijke integratie. 3

4. Integratie van rationale breuken. 3

5. Integratie van trigonometrische uitdrukkingen. 3

6. Integratie van sommige soorten irrationele uitdrukkingen. 3

§ 3. DEFINITIEVE INTEGRAAL.. 3

1. Probleem dat tot een bepaalde integraal leidt. 3

2. Eigenschappen van de bepaalde integraal. 3

3. Berekening van een bepaalde integraal. Newton-Leibniz-formule. …....3

4. Methoden voor het integreren van een bepaalde integraal. 3

5. Toepassingen van een bepaalde integraal. 3

§ 4. ONJUISTE INTEGRALS. 3

1. Integralen met oneindige limieten. 3

2. Integralen van discontinue functies. 3

HOOFDSTUK 1. DIFFERENTIEELBEREKENING VAN EEN FUNCTIE VAN ÉÉN VARIABELE

FUNCTIE VAN ÉÉN VARIABELE, BASISCONCEPTEN

Een functie van één variabele definiëren

Definitie. Laat er twee sets gegeven worden X En Y. Als elk element X van velen X volgens een bepaalde regel F komt overeen met een enkel element j van velen Y, dan zeggen ze dat op de set X bepaald functie y = f(X) met domein X= D(F) En veranderingsgebied Y= E(F). Tegelijkertijd X beschouwd als een onafhankelijke variabele, of argument functies, en j– afhankelijke variabele of functie.

Partiële waarde van de functie y = f(X) voor een vaste argumentwaarde x = x0 genaamd j 0 = f(x 0).

Grafiek van de functie y = f(X) wordt de puntenverzameling genoemd M(x;f(X)) in het vliegtuig Oxy, Waar X Î D(F) En F(X) Î E(F).

Methoden voor het opgeven van een functie

1) Analytische methode– een manier om een ​​functie te specificeren met behulp van een formule.

Er zijn verschillende manieren om een ​​functie analytisch te definiëren:

a) De functie is gegeven blijkbaar formule j= F(X).

Bijvoorbeeld: waar D(j) = (– ∞;1) (1;+∞).

b) De functie is gegeven impliciet vergelijking met betrekking X En j: F(X;j) = 0.

Bijvoorbeeld: – vergelijking van een cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal R. Als we uit deze vergelijking uitdrukken j door X, dan krijg je twee functies:

En ,

die een reikwijdte hebben , en het bereik van waarden van deze functies zal zijn: voor de eerste - , voor de tweede - .

c) De functie is gegeven parametrisch met behulp van een parameter T, en de argumentatie X en functie j afhankelijk van deze parameter:

U kunt bijvoorbeeld een cirkel definiëren met behulp van parametervergelijkingen:

2) Tabellarische methode voor het specificeren van een functie– Bradis-tabellen definiëren bijvoorbeeld functies j= zonde X, j=cos X enz.

3) Grafische manier om een ​​functie te specificeren, wanneer de afhankelijkheid van een functie van zijn argument grafisch wordt gespecificeerd.

Complexe en omgekeerde functies

Definitie 1. Laat de functie j= F(U) is gedefinieerd op de set D(F), en de functie U = G(X) is gedefinieerd op D(G), En E(G) D(F).

Dan de functie j= F(X) = F(G(X)) wordt genoemd complexe functie(of een functie van een functie, of superpositie functies F En G).

Definitie 2. Laat de functie gegeven worden j= F(X) één-op-één toewijzing van de set X = D(F) tot een set Y=E(F).

Dan de functie X= G(j) wordt genoemd achteruit functioneren j= F(X), d.w.z. iedereen j E(F) komt overeen met een enkele waarde X D(F), waarvoor de gelijkheid geldt j= F(X).

Opmerking. Functiegrafieken j= F(X) En X= G(j) vertegenwoordigen dezelfde curve. Als we de onafhankelijke variabele van de inverse functie aanduiden X, en afhankelijk j, dan de grafieken van de functies j= F(X) En j= G(X) zal symmetrisch zijn ten opzichte van de bissectrice van de eerste en derde coördinaathoek.

Elementaire functies

Basis elementaire functies:

j= const (constante functie ), D(j) = R; E(j) = C.

(lineaire functie), D(j) = R; E(j) = R.

j= (machtsfunctie), α Î R, E(j), D(j) zijn afhankelijk van α.

j= (exponentiële functie), A > 0, A ≠ 1, D(j) = R, E(j) = (0;+∞).

j= (logaritmische functie)), A > 0, A ≠ 1, D(j) = (0;+∞), E(j) = R.

Trigonometrische functies:

j= zonde X, D(j) = R, E(j) = .

j=cos X, D(j) = R, E(j) = .

j= tg X, D(j) = , E(j) = R.

j=ctg X, D(j) = , E(j) = R.

Inverse trigonometrische functies:

j= arcsin X, D(j) = , E(j) = .

j= arccos X, D(j) = , E(j) = .

j= arctan X, D(j) = R, E(j) = .

j= arcctg X, D(j) = R, E(j) = .

Elementaire functie is een functie die is samengesteld uit elementaire basisfuncties die een eindig aantal optel-, aftrekkings-, vermenigvuldigings-, delings- en superpositiebewerkingen gebruiken.

Bijvoorbeeld: – elementaire functie.

Grafieken van inverse trigonometrische functies:

. en de gelijkheid is waar:

Opmerking 2. Als F(X) heeft op het punt X 0 rechter en linker limieten zijn gelijk aan elkaar, dan op het punt de functie F(X) heeft een limiet gelijk aan het aantal:

Opmerking 3. Als F(X) heeft op het punt X 0 rechter en linker grenzen, maar ze zijn niet gelijk aan elkaar, dan op het punt X 0 functie F(X) kent geen limiet.