Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen in Excel. Een stelsel vergelijkingen oplossen in Excel met behulp van de Cramer-methode en inverse matrix

RKhTU im. D.B.

Mendeleev Afdeling PCM Methodologische handleiding voor het leren van ExcelBewerkingen met matrices in

Excel

Net als bij getallen kunnen op matrices een aantal bewerkingen worden uitgevoerd, en in het geval van matrices zijn sommige bewerkingen specifiek..

Transponeren

Een matrix (AT) wordt getransponeerd genoemd, waarbij de kolommen van de oorspronkelijke matrix (A) worden vervangen door rijen met de bijbehorende getallen. Voorbeeld

. Laat een matrix van grootte 2x5 invoeren in het celbereik A1:E2. Het is noodzakelijk om een getransponeerde matrix te verkrijgen.

Selecteer met behulp van de muisaanwijzer en druk op de linkerknop het celblok waar de getransponeerde matrix zich zal bevinden. In ons voorbeeld een blok van formaat 5x2 in het bereik A4:B8.

Standaard functie invoegen. Functie-wizard op het werkveld Categorie kiezen Koppelingen en arrays en op het werkveld

Functie

– naam van de TRSP-functie (Fig. 1) Afb.1 Verplaats het TRAP-dialoogvenster dat verschijnt naar de zijkant van de originele matrix met de muis en voer het bereik van de originele matrix A1:E2 in het werkveld in

Array

(met de muisaanwijzer terwijl de linkerknop wordt ingedrukt). Druk vervolgens, zonder op de OK-knop te drukken, op de toetsencombinatie CTRL+SHIFT+ENTER (Fig. 2)

Als de getransponeerde matrix niet in het opgegeven bereik A4:B8 verschijnt, klikt u met de muisaanwijzer in de formulebalk en drukt u nogmaals op CTRL+SHIFT+ENTER.

Als gevolg hiervan zal een getransponeerde matrix verschijnen in het bereik A4:B8.

Afb.2

De determinant van een matrix berekenen

Laat een matrix worden ingevoerd in het bereik A1:C3. Het is noodzakelijk om de determinant van de matrix te berekenen Selecteer met behulp van de muisaanwijzer en druk op de linkerknop het celblok waar de getransponeerde matrix zich zal bevinden. Plaats de tabelcursor in de cel waarin u bijvoorbeeld de waarde van de determinant wilt ophalen. Op A4-formaat. Klik op de werkbalk

knop Standaard functie invoegen. Een functie invoegen op het werkveld In het dialoogvenster dat verschijnt Categorieën Koppelingen en arrays Wiskundig,

en op het werkveld Afb.1– naam van de MOPRED-functie.

Klik daarna op de knop OK.

Verplaats het MOPRED-dialoogvenster dat verschijnt aan de zijkant van de originele matrix met de muis en voer het bereik van de originele matrix A1:C3 in het werkveld in

(met de muisaanwijzer terwijl de linkerknop wordt ingedrukt). Klik vervolgens op OK.

De waarde van de matrixdeterminant verschijnt in cel A4.

knop Standaard functie invoegen. Een functie invoegen op het werkveld In het dialoogvenster dat verschijnt Categorieën Koppelingen en arrays Het vinden van de inverse matrix

Verplaats het MOBR-dialoogvenster dat verschijnt aan de zijkant van de originele matrix met de muis en voer het bereik van de originele matrix A1:C3 in het werkveld in Afb.1(met de muisaanwijzer terwijl de linkerknop wordt ingedrukt). Druk vervolgens, zonder op de OK-knop te drukken, op de toetsencombinatie CTRL+SHIFT+ENTER

Als de inverse matrix niet in het opgegeven bereik A1:C3 verschijnt, klikt u met de muisaanwijzer in de formulebalk en drukt u nogmaals op CTRL+SHIFT+ENTER.

Als resultaat zal er een inverse matrix verschijnen in het bereik A1:C3.

Matrices optellen en aftrekken, een matrix vermenigvuldigen en delen door een getal

Voorbeeld. Laat matrix A worden ingevoerd in het bereik A1:C2, en matrix B in het bereik A4:C5. Het is noodzakelijk om de matrix C, die hun som is, te vinden in het bereik E1:G2.

Plaats de tabelcursor in de linkerbovenhoek van de resulterende matrix – cel E1.

Voer de formule in om het eerste element van de resulterende matrix =A1+A4 te berekenen (installeer vooraf de Engelse toetsenbordindeling)

Kopieer de ingevoerde formule naar de resterende cellen van de resulterende matrix.

Als gevolg hiervan verschijnt er een matrix in de cellen E1:G2 die gelijk is aan de som van de oorspronkelijke matrices.

Het verschil tussen matrices wordt op een vergelijkbare manier berekend, alleen in de formule wordt in plaats van het + teken het - teken geplaatst.

Als het nodig is om de matrix A te vermenigvuldigen (delen) met het getal k, dan ziet de formule er als volgt uit: =A1*k.

Afb.3

Matrixvermenigvuldiging

Het product van twee matrices is gedefinieerd als het aantal kolommen van de eerste productmatrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede productmatrix.

Een matrix (AT) wordt getransponeerd genoemd, waarbij de kolommen van de oorspronkelijke matrix (A) worden vervangen door rijen met de bijbehorende getallen.. Laat de matrix worden ingevoerd in het bereik A1:D3, en matrix B in het bereik A4:B7. Het is noodzakelijk om het product van deze matrices C=AxB te vinden.

Selecteer een blok cellen met de muisaanwijzer terwijl u de linkerknop onder de resulterende matrix ingedrukt houdt. Als matrix A afmetingen 3 x 4 heeft en matrix B afmetingen 4 x 3 heeft, dan heeft de resulterende matrix C afmetingen 3 x 3. Daarom moet ervoor worden gezorgd dat de afmeting van matrix C exact overeenkomt met de definitie van het product van twee matrixen. Stel dat matrix C zich in het bereik F1:G3 bevindt.

knop Standaard functie invoegen. Een functie invoegen op het werkveld In het dialoogvenster dat verschijnt Categorieën Koppelingen en arrays– naam van de MULTIPLE-functie.

Klik daarna op de knop OK. Verplaats het MEERVOUDIGE dialoogvenster dat verschijnt weg van de originele matrix met de muis en voer het bereik van de eerste matrix A1:D3 in het werkveld in Array1 (met de muisaanwijzer terwijl de linkerknop ingedrukt is) en voer het matrixbereik B – A4:B7 in het werkveld in Array2

. Druk vervolgens, zonder op de OK-knop te drukken, op de toetsencombinatie CTRL+SHIFT+ENTER (Fig. 3)

Als het product van matrices niet in het opgegeven bereik A1:C3 voorkomt, klikt u met de muisaanwijzer in de formulebalk en drukt u nogmaals op CTRL+SHIFT+ENTER.

Als resultaat zal er een inverse matrix verschijnen in het bereik F1:G3.

Laten we de determinant van de matrix berekenen met behulp van de functie MOPRED() of in het Engels. MDETERM, rij-/kolomuitbreiding (voor 3 x 3) en per definitie (tot 6e orde).

De matrixdeterminant (det) kan alleen worden berekend voor vierkante matrices, d.w.z. waarbij het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen.

Om de determinant in MS EXCEL te berekenen is er een speciale functie MOPRED(). Het functieargument moet een verwijzing bevatten naar een celbereik (array) dat matrixelementen bevat (zie voorbeeldbestand).

Een array kan bijvoorbeeld niet alleen als een bereik van cellen worden opgegeven A7:B8 , maar ook bijvoorbeeld =MOPRED((5;4:3;2)) . Door te schrijven met behulp van een array van constanten kunt u de elementen niet in afzonderlijke cellen specificeren, maar ze samen met de functie in de cel plaatsen. In dit geval wordt de array regel voor regel gespecificeerd: eerst is de eerste regel bijvoorbeeld 5;4, daarna wordt de volgende regel 3;2 geschreven, gescheiden door een dubbele punt. Elementen worden gescheiden door puntkomma's.

Voor matrices van orde 2 kan de determinant worden berekend zonder de functie MOPRED() te gebruiken. Voor de bovenstaande matrix levert de uitdrukking =A7*B8-B7*A8 bijvoorbeeld hetzelfde resultaat op.

Voor een matrix van orde 3, bijvoorbeeld geplaatst in een bereik A16:C18 , wordt de uitdrukking ingewikkelder =A16*(B17*C18-C17*B18)-B16*(A17*C18-C17*A18)+C16*(A17*B18-B17*A18)(lijnuitbreiding).

In het voorbeeldbestand voor een 3 x 3-matrix wordt de determinant ook berekend via kolomuitbreiding en de regel van Sarrus.

Eigenschappen van de determinant

Nu over enkele eigenschappen van de determinant (zie voorbeeldbestand):

De determinant is gelijk aan de determinant van de oorspronkelijke matrix
Als in een matrix alle elementen van tenminste één van de rijen (of kolommen) nul zijn, is de determinant van zo’n matrix gelijk aan nul
Als u twee rijen (kolommen) omwisselt, zal de determinant van de resulterende matrix tegengesteld zijn aan de oorspronkelijke (dat wil zeggen dat het teken zal veranderen)
Als alle elementen van een van de rijen (kolommen) worden vermenigvuldigd met hetzelfde getal k, dan is de determinant van de resulterende matrix gelijk aan de determinant van de oorspronkelijke matrix vermenigvuldigd met k
Als een matrix rijen (kolommen) bevat die een lineaire combinatie zijn van andere rijen (kolommen), dan is determinant =0
det(A)=1/det(A -1), waarbij A -1 - matrix A (A is een vierkante, niet-singuliere matrix).

Berekening van de determinant van een matrix per definitie (tot en met orde 6)

ADVIES: Dit gedeelte mag alleen worden gelezen door gevorderde MS EXCEL-gebruikers. Bovendien is het materiaal alleen van academisch belang, omdat er is een functie MOPRED() .

Zoals hierboven weergegeven, zijn er vrij eenvoudige formules en regels voor het berekenen van matrices van orde 2 en 3. Om de determinant van matrices van hogere orde te berekenen (zonder de functie MOPRED() te gebruiken), moet u de definitie onthouden:

De determinant van een vierkante matrix van orde n x n is de som die n bevat!

termen (=FEIT(n) ). Elke term is een product van n elementen van de matrix, en elk product bevat een element uit elke rij en uit elke kolom van matrix A. Er verschijnt een coëfficiënt (-1) vóór de k-de term als de elementen van matrix A in het product zijn geordend op rijnummer, en het aantal inversies in de k-de permutatie van de reeks kolomnummers oneven is.

waarbij (α 1,α 2,...,α n) een permutatie is van getallen van 1 tot n, N(α 1,α 2,...,α n) een getal is, is de sommatie over het geheel genomen mogelijk permutaties van orde n.

Laten we deze moeilijke definitie proberen te begrijpen aan de hand van het voorbeeld van een 3x3-matrix.

Voor een 3 x 3 matrix is het aantal termen volgens de definitie 3!=6, en bestaat elke term uit het product van 3 matrixelementen. Hieronder staan alle 6 termen die nodig zijn om de determinant van een 3x3-matrix te berekenen:
a21*a12*a33
a21*a32*a13
a11*a32*a23
a11*a22*a33
a31*a22*a13

a31*a12*a23

a21, a12, enz. zijn de elementen van de matrix. Laten we nu uitleggen hoe de indexen van de elementen werden gevormd, d.w.z. Waarom bestaat er bijvoorbeeld een term a11*a22*a33, maar niet a11*a22*a13.

Laten we naar de bovenstaande formule kijken (zie definitie). Laten we aannemen dat de tweede index van elk element van de matrix (van 1 tot n) overeenkomt met het kolomnummer van de matrix (hoewel dit het rijnummer kan zijn (dit is niet belangrijk omdat de determinanten van de matrix en die van de matrix gelijk zijn) De tweede index van het eerste element in het product is dus altijd gelijk aan 1, voor de tweede - 2, voor de derde - 3. Dan komen de eerste indices van de elementen overeen met het regelnummer en, in overeenstemming met de definitie. , moet worden bepaald uit permutaties van getallen van 1 tot 3, dat wil zeggen uit permutaties van de set (1, 2, 3). Nu is het duidelijk waarom a11*a22*a13 niet tussen de termen staat, omdat volgens de definitie (), elk product bevat een element uit elke rij en elke kolom van matrix A

en onze term bevat niet het element uit regel 3.: Een permutatie van n getallen van een set (zonder herhalingen) is elke ordening van een gegeven set die alleen van elkaar verschilt in de volgorde van de elementen die erin zijn opgenomen. Gegeven bijvoorbeeld een set van 3 getallen: 1, 2, 3. Van deze getallen kun je 6 verschillende permutaties maken: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Zie artikel

Het aantal permutaties van een set van 3 getallen =3!=6 (wat uiteraard gelijk is aan het aantal termen in de uitdrukking voor het berekenen van de determinant, aangezien elke term overeenkomt met zijn eigen permutatie). Voor een 3x3-matrix worden alle permutaties gegeven in de bovenstaande opmerking. Je kunt ervoor zorgen dat in elke term de eerste indices van de elementen gelijk zijn aan de overeenkomstige getallen in de permutatie. Voor de term a21*a12*a33 werd bijvoorbeeld de permutatie (2, 1, 3) gebruikt.

ADVIES: Voor een matrix van de 4e orde zijn er 4! permutaties, d.w.z. 26, wat overeenkomt met 26 termen, die elk het product zijn van vier verschillende elementen van de matrix. Alle 26 permutaties zijn te vinden in het artikel.

Nu we de termen hebben behandeld, gaan we de factor vóór elke term bepalen (deze kan +1 of -1 zijn). De vermenigvuldiger wordt bepaald door de pariteit van het aantal inversies van de overeenkomstige permutatie.

en onze term bevat niet het element uit regel 3.: Over omkeringen van permutaties (en de gelijkmatigheid van het aantal omkeringen) kun je bijvoorbeeld lezen in het artikel

De eerste term komt bijvoorbeeld overeen met de permutatie (2, 1, 3), die 1 inversie heeft (oneven getal) en dienovereenkomstig is -1 tot de macht 1 gelijk aan -1. De tweede term komt overeen met de permutatie (2, 3, 1), die 2 inversies heeft (een even getal) en dienovereenkomstig is -1 tot de macht van 2 gelijk aan 1, enz.

Alle termen optellen: (-1)*(a21*a12*a33)+(+1)*(a21*a32*a13)+(-1)*(a11*a32*a23)+(+1)*(a11 *a22*a33)+(-1)*(a31*a22*a13)+(+1)*(a31*a12*a23) we krijgen de waarde van de determinant.

IN voorbeeldbestand op blad 4+, En Door de volgorde van de matrix te veranderen met behulp van , kunt u de determinant van de matrix berekenen tot en met de 6e orde.

Houd er rekening mee dat bij het berekenen van een matrix van de 6e orde de uitdrukking al 720 termen gebruikt (6!). Voor de 7e bestelling zouden we een tabel moeten maken voor 5040 permutaties en dienovereenkomstig 5040 termen moeten berekenen! Die. Je kunt niet zonder MOPRED() (nou ja, je kunt de determinant ook handmatig berekenen met behulp van de Gauss-methode).

Methode 1

Beschouw de matrix A dimensie 3x4. Laten we deze matrix met het getal vermenigvuldigen k. Wanneer een matrix met een getal wordt vermenigvuldigd, heeft de resulterende matrix dezelfde dimensie als de originele, en elk element van de matrix A vermenigvuldigd met een getal k.

Laten we de matrixelementen in het bereik invoeren B3:E5 en het nummer k- in een cel H4. Binnen bereik K3:N5 bereken de matrix IN, verkregen door matrixvermenigvuldiging A per nummer k: B=EEN*k. Om dit te doen, introduceren we de formule =B3*$H$4 naar cel K3 , Waar B3-element een 11 matrices A.

Opmerking: mobiel adres H4 We voeren het in als een absolute link, zodat bij het kopiëren van de formule de link niet verandert.

Kopieer de celformule met behulp van de markering voor automatisch aanvullen K3 IN.

Dus hebben we de matrix vermenigvuldigd A in Excel en krijg een matrix IN.

Een matrix verdelen A op nummer k in cel K3 laten we de formule introduceren =B3/$H$4 IN.

Methode 2

Deze methode verschilt doordat het resultaat van het vermenigvuldigen/delen van een matrix door een getal zelf een array is. In dit geval kunt u een array-element niet verwijderen.

Om met deze methode een matrix door een getal te delen, selecteert u het bereik waarin het resultaat wordt berekend, voert u het teken “=” in, selecteert u het bereik dat de oorspronkelijke matrix A bevat, drukt u op het vermenigvuldigingsteken (*) op het toetsenbord en selecteert u de cel met het nummer k Ctrl+Verschuiving+Binnenkomen

Om in dit voorbeeld deling uit te voeren, voert u de formule =B3:E5/H4 in het bereik in, d.w.z. verander het “*” teken in “/”.

Matrices optellen en aftrekken in Excel

Methode 1

Opgemerkt moet worden dat matrices met dezelfde dimensie kunnen worden opgeteld en afgetrokken (elke matrix heeft hetzelfde aantal rijen en kolommen). Bovendien is elk element van de resulterende matrix MET zal gelijk zijn aan de som van de overeenkomstige matrixelementen A En IN, d.w.z. met ij =en IJ + Bij.

Laten we de matrices eens bekijken A En IN dimensie 3x4. Laten we de som van deze matrices berekenen. Om dit te doen, in de cel N3 laten we de formule introduceren =B3+H3, Waar B3 En H3- eerste elementen van matrices A En IN respectievelijk. In dit geval bevat de formule relatieve links ( B3 En H3 ), zodat bij het kopiëren van een formule naar het gehele bereik van de matrix MET ze hadden kunnen veranderen.

Kopieer de formule uit de cel met behulp van de markering voor automatisch aanvullen N3 naar beneden en naar rechts over het gehele bereik van de matrix MET.

Een matrix aftrekken IN uit de matrix A (C=A - B) in een cel N3 laten we de formule introduceren =B3 - H3 en kopieer het naar het gehele bereik van de matrix MET.

Methode 2

Deze methode verschilt doordat het resultaat van het optellen/aftrekken van matrices zelf een array is. In dit geval kunt u een array-element niet verwijderen.

Om met deze methode een matrix door een getal te delen, selecteert u het bereik waarin het resultaat wordt berekend, voert u het “=”-teken in en selecteert u het bereik dat de eerste matrix bevat A, druk op het toevoegingsteken (+) op het toetsenbord en selecteer de tweede matrix IN. Druk na het invoeren van de formule op de toetsencombinatie Ctrl+Verschuiving+Binnenkomen zodat het hele bereik gevuld is met waarden.

Matrixvermenigvuldiging in Excel

Opgemerkt moet worden dat matrices alleen kunnen worden vermenigvuldigd als het aantal kolommen van de eerste matrix A gelijk aan het aantal rijen van de tweede matrix IN.

Laten we de matrices eens bekijken A dimensie 3x4 En IN dimensie 4x2. Het vermenigvuldigen van deze matrices resulteert in de matrix MET dimensie 3x2.

Laten we het product van deze matrices berekenen C=A*B met behulp van de ingebouwde functie =MEERDER(). Om dit te doen, selecteert u het bereik L3: M5 — het zal de elementen van de matrix bevatten MET, verkregen als resultaat van vermenigvuldiging. Op het tabblad Formules laten we kiezen Functie invoegen.

In het dialoogvenster Invoegen functies selecteer Categorie Wiskundig- functie MUMNIET — OK.

In het dialoogvenster Functieargumenten selecteer bereiken die matrices bevatten A En IN. Om dit te doen, klikt u tegenover array1 op de rode pijl.

A(de bereiknaam verschijnt in de argumentregel) en klik op de rode pijl.

Voor array2 voeren we dezelfde acties uit. Klik op de pijl tegenover array2.

Selecteer het bereik dat de matrixelementen bevat IN en klik op de rode pijl.

In het dialoogvenster verschijnen naast de regels voor het invoeren van matrixbereiken matrixelementen en onderaan matrixelementen MET. Nadat u de waarden hebt ingevoerd, drukt u op de sneltoets Verschuiving+ Ctrl OK.

BELANGRIJK. Als je gewoon op drukt OK MET.

We krijgen het resultaat van matrixvermenigvuldiging A En IN.

We kunnen de waarden van matrixcellen wijzigen A En IN, matrixwaarden MET zal automatisch veranderen.

Een matrix omzetten in Excel

Matrixtranspositie is een bewerking op een matrix waarbij de kolommen worden vervangen door rijen met overeenkomstige getallen. We duiden de getransponeerde matrix aan BIJ.

Laat de matrix gegeven worden A dimensie 3x4, met behulp van de functie =TRANSP() bereken de getransponeerde matrix BIJ, en de dimensie van deze matrix zal zijn 4x3.

Laten we het bereik selecteren H3:J6 , waarin de waarden van de getransponeerde matrix worden ingevoerd.

Op het tabblad Formules laten we kiezen Functie invoegen selecteer een categorie Categorie- functie TRANSSP — OK.

In het dialoogvenster Functieargumenten geef het bereik van de array aan B3:E5 A Verschuiving+ Ctrl en klik met de linkermuisknop op de knop OK.

BELANGRIJK. Als je gewoon op drukt OK, dan berekent het programma alleen de waarde van de eerste cel van het matrixbereik BIJ.

Klik om te vergroten

We hebben een getransponeerde matrix verkregen.

Het vinden van de inverse matrix in Excel

Matrix Een -1 heet de inverse van een matrix A, Als A EEN-1 = EEN-1 A=E, Waar E is de identiteitsmatrix. Opgemerkt moet worden dat de inverse van een matrix alleen kan worden gevonden voor een vierkante matrix (hetzelfde aantal rijen en kolommen).

Laat de matrix gegeven worden A dimensie 3x3 Laten we de inverse matrix vinden met behulp van de functie =MOBR().

Om dit te doen, selecteert u het bereik G3: I5 , die de elementen van de inverse matrix zal bevatten, op het tabblad Formules laten we kiezen Functie invoegen.

In het dialoogvenster Invoegen functies selecteer een categorie Wiskundig- functie MOBR — OK.

In het dialoogvenster Functieargumenten geef het bereik van de array aan Vraag 3:D5 , met matrixelementen A. Druk op de sneltoets Verschuiving+ Ctrl en klik met de linkermuisknop op de knop OK.

BELANGRIJK. Als je gewoon op drukt OK, dan berekent het programma alleen de waarde van de eerste cel van het matrixbereik Een -1.

Klik om te vergroten

We hebben de inverse matrix.

De determinant van een matrix vinden in Excel

De determinant van een matrix is een getal dat een belangrijk kenmerk is van een vierkante matrix.

Hoe u matrices in Excel kunt vinden en definiëren

Laat de matrix gegeven worden A dimensie 3x3, laten we de determinant ervan berekenen met behulp van de functie =MOPRED().

Om dit te doen, selecteert u de cel H4, wordt de determinant van de matrix daarin berekend, op het tabblad Formules laten we kiezen Functie invoegen.

In het dialoogvenster Invoegen functies selecteer een categorie Wiskundig- functie MOPRED — OK.

In het dialoogvenster Functieargumenten geef het bereik van de array aan Vraag 3:D5 , met matrixelementen A. Klik OK.

Klik om te vergroten

We hebben de determinant van de matrix berekend A.

Laten we tot slot aandacht besteden aan een belangrijk punt. Het betreft die bewerkingen op matrices waarvoor we functies hebben gebruikt die in het programma zijn ingebouwd, en als resultaat hebben we een nieuwe matrix ontvangen (matrixvermenigvuldiging, het vinden van inverse en getransponeerde matrices). In de matrix die het resultaat is van de bewerking, kunnen sommige elementen niet worden verwijderd. Die. als we bijvoorbeeld één element van de matrix selecteren en op drukken Del, dan zal het programma een waarschuwing geven: Je kunt een deel van een array niet wijzigen.

Klik om te vergroten

We kunnen alleen alle elementen van deze matrix verwijderen.

Video-tutorial

Leraar natuurkunde, informatica en ICT, MKOU "Secondary School", p. Savolenka, district Yukhnovsky, regio Kaluga. Auteur en docent van afstandscursussen over de basisprincipes van computervaardigheden en kantoorprogramma's. Auteur van artikelen, video-tutorials en ontwikkelingen.

Een van de gebruikelijke bewerkingen die wordt uitgevoerd bij het werken met matrices is het vermenigvuldigen van de ene met de andere. Excel is een krachtige spreadsheetprocessor die ook is ontworpen voor het werken met matrices. Daarom heeft hij hulpmiddelen waarmee hij ze met elkaar kan vermenigvuldigen. Laten we eens kijken hoe dit op verschillende manieren kan worden gedaan.

Het moet meteen gezegd worden dat niet alle matrices onderling kunnen worden vermenigvuldigd, maar alleen die die aan een bepaalde voorwaarde voldoen: het aantal kolommen van de ene matrix moet gelijk zijn aan het aantal rijen van een andere en omgekeerd. Bovendien is de aanwezigheid van lege elementen in de matrices uitgesloten. In dit geval zal het ook niet mogelijk zijn om de vereiste handeling uit te voeren.

Er zijn nog steeds niet zoveel manieren om matrices in Excel te vermenigvuldigen - slechts twee. En ze omvatten allebei het gebruik van ingebouwde Excel-functies. Laten we elk van deze opties in detail bekijken.

Methode 1: MEERDERE functie

De eenvoudigste en meest populaire optie onder gebruikers is om de functie te gebruiken MUMNIET. Exploitant MUMNIET behoort tot de wiskundige groep van functies. Zijn directe taak is het vinden van het product van twee matrixarrays. Syntaxis MUMNIET ziet er zo uit:

MMULT(matrix1,matrix2)

Deze operator heeft dus twee argumenten, die verwijzen naar de bereiken van de twee matrices die worden vermenigvuldigd.

Laten we nu eens kijken hoe de functie wordt gebruikt MUMNIET op een specifiek voorbeeld. Er zijn twee matrices, waarvan het aantal rijen in de ene overeenkomt met het aantal kolommen in de andere en omgekeerd. We moeten deze twee elementen vermenigvuldigen.

Methode 2: Een samengestelde formule gebruiken

Bovendien is er een andere manier om twee matrices te vermenigvuldigen. Het is complexer dan de vorige, maar verdient ook vermelding als alternatieve optie. Deze methode omvat het gebruik van een samengestelde matrixformule, die uit de functie zal bestaan SOMPRODUCT en de operator die daarin als argument is ingebed TRANSSP.

Selecteer deze keer op het blad alleen het element linksboven van de reeks lege cellen, dat we verwachten te gebruiken om het resultaat weer te geven. Klik op het pictogram "Functie invoegen".

Functie-wizard begint. Verplaatsen naar het operatorblok "Wiskundige", maar deze keer kiezen we een naam SOMPRODUCT. Klik op de knop "OK".

Het argumentvenster voor de bovenstaande functie wordt geopend. Deze operator is ontworpen om verschillende arrays onderling te vermenigvuldigen. De syntaxis is als volgt:
SOMPRODUCT(matrix1,matrix2,...)

Als argumenten uit de groep "Matrix" Er wordt gebruik gemaakt van een verwijzing naar een specifiek bereik dat moet worden vermenigvuldigd. In totaal kunnen er twee tot 255 van dergelijke argumenten worden gebruikt. Maar omdat we in ons geval met twee matrices te maken hebben, hebben we slechts twee argumenten nodig.

Plaats de cursor in het veld "Matrix1". Hier moeten we het adres van de eerste rij van de eerste matrix invoeren. Om dit te doen, houdt u de linkermuisknop ingedrukt en selecteert u deze eenvoudig met de cursor op het blad. De coördinaten van dit bereik worden onmiddellijk weergegeven in het overeenkomstige veld van het argumentenvenster. Hierna moet u de coördinaten van de resulterende link in kolommen vastleggen, dat wil zeggen dat deze coördinaten absoluut moeten worden gemaakt. Om dit te doen, plaatst u een dollarteken voor de letters in de uitdrukking die in het veld is ingevoerd ( $ ). Dit mag niet worden gedaan voordat de coördinaten in cijfers (lijnen) worden weergegeven. Als alternatief kunt u in plaats daarvan de volledige uitdrukking in het veld selecteren en driemaal op de functietoets drukken F4. In dit geval worden alleen de kolomcoördinaten ook absoluut.

Plaats hierna de cursor in het veld "Matrix2". Dit argument zal ingewikkelder zijn, omdat volgens de regels van matrixvermenigvuldiging de tweede matrix moet worden "omgedraaid". Om dit te doen gebruiken we een geneste functie TRANSSP.
Om ernaartoe te gaan, klikt u op het pictogram in de vorm van een driehoek met een scherpe hoek naar beneden gericht, dat zich links van de formulebalk bevindt. Er wordt een lijst met recent gebruikte formules geopend. Als je er een naam in vindt "TRANSP" en klik er vervolgens op. Als u deze operator al heel lang of helemaal nooit gebruikt, dan vindt u de opgegeven naam niet in deze lijst. In dit geval moet u op het item klikken "Andere functies...".

Er gaat een venster open dat ons al bekend is Functiewizards. Deze keer gaan we naar de categorie "Koppelingen en arrays" en selecteer een naam "TRANSP". Klik op de knop "OK".

Het functieargumentenvenster wordt geopend TRANSSP. Deze operator is bedoeld voor het transponeren van tabellen. Dat wil zeggen, simpel gezegd: het verwisselt kolommen en rijen. Dit is wat we moeten doen voor het tweede argument van de operator SOMPRODUCT. Functiesyntaxis TRANSSP uiterst eenvoudig:
TRANSP(array)

Dat wil zeggen dat het enige argument van deze operator een verwijzing is naar de array die moet worden “omgekeerd”. Of beter gezegd, in ons geval niet eens voor de hele array, maar alleen voor de eerste kolom.

Laten we de cursor dus in het veld plaatsen "Matrix" en selecteer de eerste kolom van de tweede matrix op het blad met de linkermuisknop ingedrukt. Het adres verschijnt in het veld. Net als in het vorige geval moet je ook hier bepaalde coördinaten absoluut maken, maar dit keer niet de kolomcoördinaten, maar de rijadressen. Daarom plaatsen we een dollarteken voor de cijfers in de link die in het veld wordt weergegeven. U kunt ook de volledige uitdrukking selecteren en op de sleutel dubbelklikken F4. Nadat de noodzakelijke elementen absolute eigenschappen beginnen te krijgen, drukt u niet op de knop "OK" en gebruik, net als bij de vorige methode, de toetsencombinatie Ctrl+Shift+Enter.

Maar deze keer is het niet de array die gevuld is, maar slechts één cel die we eerder hebben toegewezen bij het bellen Functiewizards.

We moeten een array van dezelfde grootte vullen met gegevens als in de eerste methode. Om dit te doen, kopieert u de in de cel verkregen formule naar een equivalent bereik, dat gelijk is aan het aantal rijen van de eerste matrix en het aantal kolommen van de tweede. In ons specifieke geval krijgen we drie rijen en drie kolommen.
Om te kopiëren, gebruiken we een vulmarkering. Plaats de cursor op de rechter benedenhoek van de cel waarin de formule zich bevindt. De cursor verandert in een zwart kruis. Dit is de vulmarkering. Houd de linkermuisknop ingedrukt en sleep de cursor over het gehele bovenstaande bereik. De eerste cel met de formule zelf zou het element linksboven van deze array moeten worden.

Zoals u kunt zien, is het geselecteerde bereik gevuld met gegevens. Als we ze vergelijken met het resultaat dat we hebben verkregen door de operator te gebruiken MUMNIET, we zullen zien dat de waarden volledig identiek zijn. Dit betekent dat de vermenigvuldiging van twee matrices correct is uitgevoerd.

Zoals we kunnen zien, kunt u, ondanks het feit dat een gelijkwaardig resultaat is verkregen, de functie gebruiken om matrices te vermenigvuldigen MUMNIET veel eenvoudiger dan het gebruik van een samengestelde formule van operatoren voor dezelfde doeleinden SOMPRODUCT En TRANSSP. Maar toch kan deze alternatieve optie ook niet worden genegeerd bij het bestuderen van alle mogelijkheden van het vermenigvuldigen van matrices in Microsoft Excel.

Bereken de waarden van de wortels van het gevormde stelsel vergelijkingen met behulp van twee methoden: de inverse matrix en de Cramer-methode.

Laten we deze waarden invoeren in cellen A2:C4 - matrix A en cellen D2:D4 - matrix B.

Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de inverse matrixmethode

Laten we de matrixinverse van matrix A vinden. Om dit te doen, voeren we in cel A9 de formule =MOBR(A2:C4) in. Selecteer hierna het bereik A9:C11, beginnend bij de cel met de formule. Druk op de F2-toets en druk vervolgens op de toetsen CTRL+SHIFT+ENTER. De formule wordt ingevoegd als een matrixformule. =MOBR(A2:C4).
Laten we het product van matrices A-1 * b vinden. Voer in de cellen F9:F11 de formule in: =MULTIPLE(A9:C11,D2:D4) als matrixformule. Wij krijgen in cellen F9:F11 wortels van de vergelijking:

Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de methode van Cramer

Laten we het systeem oplossen met behulp van de methode van Cramer, hiervoor vinden we de determinant van de matrix.
Laten we de determinanten vinden van de matrices die worden verkregen door één kolom te vervangen door kolom b.

Voer in cel B16 de formule =MOPRED(D15:F17) in,

Voer in cel B17 de formule =MOPRED(D19:F21) in.

Voer in cel B18 de formule =MOPRED(D23:F25) in.

Laten we de wortels van de vergelijking vinden, hiervoor voeren we in cel B21 in: =B16/$B$15, in cel B22 voeren we in: = =B17/$B$15, in cel B23 invoeren we: ==B18/$B$15 .

Laten we de wortels van de vergelijking nemen: