Gegeven een matrix en het algebraïsche complement is gelijk aan. Algebraïsch complement

Laten we het gesprek over acties met matrices voortzetten. Tijdens de studie van deze lezing leer je namelijk hoe je de inverse matrix kunt vinden. Leren. Zelfs als wiskunde moeilijk is.

Wat is een inverse matrix? Hier kunnen we een analogie trekken met inverse getallen: denk bijvoorbeeld aan het optimistische getal 5 en zijn inverse getal. Het product van deze getallen is gelijk aan één: . Alles is vergelijkbaar met matrices! Het product van een matrix en zijn inverse matrix is gelijk aan – identiteitsmatrix, wat het matrixanaloog is van de numerieke eenheid. Maar eerst: laten we eerst een belangrijk praktisch probleem oplossen, namelijk: leren hoe je deze zeer inverse matrix kunt vinden.

Wat moet je weten en kunnen doen om de inverse matrix te vinden? Je moet kunnen beslissen kwalificatietoernooien. Je moet begrijpen wat het is Matrix en er enkele acties mee kunnen uitvoeren.

Er zijn twee hoofdmethoden om de inverse matrix te vinden:
door het gebruiken van algebraïsche toevoegingen En met behulp van elementaire transformaties.

Vandaag zullen we de eerste, eenvoudigere methode bestuderen.

Laten we beginnen met het meest verschrikkelijke en onbegrijpelijke. Laat ons nadenken vierkant Matrix. De inverse matrix kan worden gevonden met behulp van de volgende formule:

Waar is de determinant van de matrix, is de getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

Het concept van een inverse matrix bestaat alleen voor vierkante matrices, matrices “twee bij twee”, “drie bij drie”, enz.

Benamingen: Zoals je misschien al hebt gemerkt, wordt de inverse matrix aangegeven met een superscript

Laten we beginnen met het eenvoudigste geval: een twee-bij-twee-matrix. Meestal is natuurlijk "drie bij drie" vereist, maar toch raad ik ten zeerste aan een eenvoudiger taak te bestuderen om het algemene principe van de oplossing te begrijpen.

Voorbeeld:

Zoek de inverse van een matrix

Laten we beslissen. Het is handig om de reeks acties punt voor punt op te splitsen.

1) Eerst vinden we de determinant van de matrix.

Als u deze actie niet goed begrijpt, lees dan het materiaal Hoe bereken je de determinant?

Belangrijk! Als de determinant van de matrix gelijk is aan NUL– inverse matrix BESTAAT NIET.

In het beschouwde voorbeeld, zo bleek, betekent dit dat alles in orde is.

2) Zoek de matrix van minoren.

Om ons probleem op te lossen is het niet nodig om te weten wat een minderjarige is, maar het is wel raadzaam om het artikel te lezen Hoe de determinant te berekenen.

De matrix van minoren heeft in dit geval dus dezelfde afmetingen als de matrix.
Het enige dat u nog hoeft te doen, is vier cijfers vinden en deze in plaats van sterretjes plaatsen.

Laten we terugkeren naar onze matrix
Laten we eerst naar het element linksboven kijken:

Hoe je het kunt vinden minderjarige?
En dit gaat als volgt: streep mentaal de rij en kolom door waarin dit element zich bevindt:

Het resterende aantal is minor van dit element, die we in onze minorenmatrix schrijven:

Beschouw het volgende matrixelement:

Streep mentaal de rij en kolom door waarin dit element voorkomt:

Wat overblijft is de minor van dit element, die we in onze matrix schrijven:

Op dezelfde manier beschouwen we de elementen van de tweede rij en vinden we hun minderjarigen:

Klaar.

Het is makkelijk. In de matrix van minoren heb je nodig VERANDER TEKENS twee cijfers:

Dit zijn de cijfers die ik heb omcirkeld!

– matrix van algebraïsche optellingen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

En gewoon...

4) Vind de getransponeerde matrix van algebraïsche optellingen.

– getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

5) Antwoord.

Laten we onze formule onthouden
Alles is gevonden!

De inverse matrix is dus:

Het is beter om het antwoord te laten zoals het is. NIET NODIG deel elk element van de matrix door 2, aangezien het resultaat breuken zijn. Deze nuance wordt in hetzelfde artikel in meer detail besproken. Acties met matrices.

Hoe de oplossing controleren?

U moet matrixvermenigvuldiging uitvoeren of

Inspectie:

Reeds vermeld ontvangen identiteitsmatrix is een matrix met enen door hoofddiagonaal en nullen op andere plaatsen.

De inverse matrix wordt dus correct gevonden.

Als je de actie uitvoert, is het resultaat ook een identiteitsmatrix. Dit is een van de weinige gevallen waarin matrixvermenigvuldiging commutatief is; meer details zijn te vinden in het artikel Eigenschappen van bewerkingen op matrices. Matrix-expressies. Merk ook op dat tijdens de controle de constante (breuk) naar voren wordt gebracht en helemaal aan het einde wordt verwerkt - na de matrixvermenigvuldiging. Dit is een standaardtechniek.

Laten we verder gaan met een meer gebruikelijk geval in de praktijk: de drie-bij-drie-matrix:

Voorbeeld:

Zoek de inverse van een matrix

Het algoritme is precies hetzelfde als voor het geval van “twee bij twee”.

We vinden de inverse matrix met behulp van de formule: , waar is de getransponeerde matrix van algebraïsche complementen van de overeenkomstige elementen van de matrix.

1) Zoek de determinant van de matrix.

Hier wordt de determinant onthuld op de eerste regel.

Vergeet dat ook niet, wat betekent dat alles in orde is: inverse matrix bestaat.

2) Zoek de matrix van minoren.

De matrix van minoren heeft de dimensie “drie bij drie” , en we moeten negen getallen vinden.

Ik zal een aantal minoren nader bekijken:

Beschouw het volgende matrixelement:

MENTEEL doorstreep de rij en kolom waarin dit element zich bevindt:

De overige vier getallen schrijven we in de determinant ‘twee bij twee’.

Deze twee-bij-twee bepalende factor en is de minor van dit element. Het moet worden berekend:

Dat is alles, de minor is gevonden, we schrijven het in onze minorenmatrix:

Zoals je waarschijnlijk al geraden had, moet je negen twee-bij-twee determinanten berekenen. Het proces is natuurlijk vervelend, maar de zaak is niet de meest ernstige, het kan erger zijn.

Nou, om te consolideren – het vinden van een andere minderjarige op de foto’s:

Probeer zelf de resterende minderjarigen te berekenen.

Eindresultaat:
– matrix van minoren van de overeenkomstige elementen van de matrix.

Dat alle minderjarigen negatief bleken te zijn, is puur toeval.

3) Vind de matrix van algebraïsche optellingen.

In de matrix van minoren is het noodzakelijk VERANDER TEKENS strikt voor de volgende elementen:

In dit geval:

We overwegen niet om de inverse matrix te vinden voor een ‘vier bij vier’-matrix, aangezien een dergelijke taak alleen kan worden gegeven door een sadistische leraar (de leerling moet één ‘vier bij vier’-determinant en zestien ‘drie bij drie’-determinanten berekenen). ). In mijn praktijk was er maar één zo'n geval, en de klant van de test betaalde behoorlijk duur voor mijn kwelling =).

In een aantal leerboeken en handleidingen kun je een iets andere benadering vinden voor het vinden van de inverse matrix, maar ik raad aan om het hierboven beschreven oplossingsalgoritme te gebruiken. Waarom? Omdat de kans op verwarring bij berekeningen en tekens veel kleiner is.

Matrix-minoren

Laten we een vierkant geven Matrix A, zoveelste bestelling. Minderjarige een element a ij , determinant van de matrix n-de orde wordt aangeroepen bepalend(n - 1)de orde, verkregen uit de originele door de rij en kolom door te strepen op het snijpunt waarvan het geselecteerde element a ij zich bevindt. Aangeduid met Mij.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld determinant van de matrix 3 - zijn volgorde:

Dan volgens de definitie minderjarige, minderjarige M 12, overeenkomend met element a 12, zal zijn bepalend:

Tegelijkertijd met de hulp minderjarigen kan de rekentaak eenvoudiger maken determinant van de matrix. We moeten het verspreiden matrixdeterminant langs een bepaalde lijn en dan bepalend zal gelijk zijn aan de som van alle elementen van deze lijn door hun minderjarigen. Ontleding determinant van de matrix 3 - de volgorde ziet er als volgt uit:

Het teken voor het product is (-1) n, waarbij n = i + j.

Algebraïsche toevoegingen:

Algebraïsch complement element a ij wordt zijn genoemd minderjarige, genomen met een "+" teken als de som (i + j) een even getal is, en met een "-" teken als deze som een oneven getal is. Aangeduid met A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.

Dan kunnen we de hierboven genoemde eigenschap herformuleren. Matrixbepalende factor gelijk aan de som van het product van de elementen van een bepaalde rij (rij of kolom) matrices naar hun overeenkomstige algebraïsche toevoegingen. Voorbeeld:

4. Inverse matrix en de berekening ervan.

Laat A vierkant zijn Matrix nde bestelling.

Vierkant Matrix A wordt niet-gedegenereerd genoemd als matrixdeterminant(Δ = det A) is niet nul (Δ = det A ≠ 0). Anders (Δ = 0) Matrix A wordt gedegenereerd genoemd.

Matrix, gelieerd aan Matrix Ah, het heet Matrix

Waar A ij - algebraïsch complement element a ij gegeven matrices(het wordt op dezelfde manier gedefinieerd als algebraïsch complement element determinant van de matrix).

Matrix Er wordt een -1 gebeld omgekeerde matrix A, als aan de voorwaarde is voldaan: A × A -1 = A -1 × A = E, waarbij E eenheid is Matrix dezelfde volgorde als Matrix A. Matrix A -1 heeft dezelfde afmetingen als Matrix A.

omgekeerde matrix

Als er vierkant is matrices X en A, die voldoen aan de voorwaarde: X × A = A × X = E, waarbij E de eenheid is Matrix van dezelfde orde dus Matrix X wordt gebeld omgekeerde matrix aan de matrix A en wordt aangegeven met A -1. Elke niet-gedegenereerde Matrix Het heeft omgekeerde matrix en bovendien slechts één, d.w.z. om vierkant te zijn Matrix Een gehad omgekeerde matrix, het is daarvoor noodzakelijk en voldoende bepalend verschilde van nul.

Voor het krijgen omgekeerde matrix gebruik de formule:

Waar M ji extra is minderjarige element a ji matrices A.

5. Matrixrang. Rang berekenen met behulp van elementaire transformaties.

Beschouw een rechthoekige matrix mхn. Laten we enkele k rijen en k kolommen in deze matrix selecteren, 1 £ k £ min (m, n) . Uit de elementen die zich op het snijpunt van de geselecteerde rijen en kolommen bevinden, stellen we een determinant van de k-de orde samen. Al dergelijke determinanten worden matrixminoren genoemd. Voor een matrix kun je bijvoorbeeld tweede orde minoren samenstellen en eerste orde minoren 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Definitie. De rang van een matrix is de hoogste orde van de niet-nul minor van deze matrix. Geef de rangorde van de matrix r(A) aan.

In het gegeven voorbeeld is de rangorde van de matrix twee, omdat deze bijvoorbeeld klein is

Het is handig om de rangorde van een matrix te berekenen met behulp van de methode van elementaire transformaties. Elementaire transformaties omvatten het volgende:

1) herschikking van rijen (kolommen);

2) het vermenigvuldigen van een rij (kolom) met een ander getal dan nul;

3) het toevoegen aan de elementen van een rij (kolom) van de overeenkomstige elementen van een andere rij (kolom), eerder vermenigvuldigd met een bepaald getal.

Deze transformaties veranderen de rangorde van de matrix niet, omdat bekend is dat 1) wanneer de rijen opnieuw worden gerangschikt, de determinant van teken verandert en, als deze niet gelijk aan nul was, dit niet langer het geval zal zijn; 2) bij het vermenigvuldigen van een string van een determinant met een getal dat niet gelijk is aan nul, wordt de determinant vermenigvuldigd met dit getal; 3) de derde elementaire transformatie verandert de determinant helemaal niet. Door elementaire transformaties op een matrix uit te voeren, kan men dus een matrix verkrijgen waarvan het gemakkelijk is de rangorde ervan en dus ook de rangorde van de oorspronkelijke matrix te berekenen.

Definitie. Een matrix verkregen uit een matrix met behulp van elementaire transformaties wordt equivalent genoemd en wordt aangegeven A IN.

Stelling. De rangorde van de matrix verandert niet tijdens elementaire matrixtransformaties.

Met behulp van elementaire transformaties kun je de matrix terugbrengen tot de zogenaamde stapvorm, waarbij het berekenen van de rangorde niet moeilijk is.

Matrix wordt stapsgewijs genoemd als het de vorm heeft:

Het is duidelijk dat de rangorde van de echelonmatrix gelijk is aan het aantal rijen die niet nul zijn , omdat er is een minor van orde die niet gelijk is aan nul:

MinorM ij element een IJ bepalend N -de orde wordt de ordedeterminant genoemd ( n-1 ), verkregen uit een gegeven determinant door de rij en kolom door te strepen waarin dit element zich bevindt ( i -de lijn en J e kolom).

Algebraïsch complement element een IJ wordt gegeven door de uitdrukking:

Determinanten van orde N>3 worden berekend met behulp van de stelling over de uitbreiding van de determinant naar de elementen van een rij of kolom:

Stelling. De determinant is gelijk aan de som van de producten van de elementen van een willekeurige rij of kolom door de algebraïsche complementen die met deze elementen overeenkomen, d.w.z.

Voorbeeld.

Bereken de determinant door deze te ontleden in elementen van een rij of kolom:

Oplossing

1. Als er in een rij of kolom slechts één ander element dan nul voorkomt, is het niet nodig om de determinant te transformeren. Anders transformeren we deze, voordat we de stelling over de ontbinding van de determinant toepassen, met behulp van de volgende eigenschap: als we aan de elementen van een rij (kolom) de overeenkomstige elementen van een andere rij (kolom) toevoegen, vermenigvuldigd met een willekeurige factor, dan de waarde van de determinant zal niet veranderen.

Van de elementen van regel 3 trekken we de overeenkomstige elementen van regel 2 af.

Trek van de elementen van kolom 4 de overeenkomstige elementen van kolom 3 af, vermenigvuldigd met 2.

We breiden de determinant uit naar de elementen van de derde rij

2. De resulterende determinant van de derde orde kan worden berekend met behulp van de driehoeksregel of de regel van Sarrus (zie hierboven). De elementen van de determinant zijn echter vrij grote getallen, dus laten we de determinant uitbreiden door deze eerst te transformeren:

Trek van de elementen van de tweede regel de overeenkomstige elementen van de eerste regel af, vermenigvuldigd met 3.

Van de elementen van de eerste regel trekken we de overeenkomstige elementen van de derde regel af.

Aan de elementen van regel 1 voegen we de overeenkomstige elementen van regel 2 toe

De nulrijdeterminant is 0.

Dus de volgordedeterminanten N>3 worden berekend:

· het transformeren van de determinant naar een driehoekige vorm met behulp van de eigenschappen van determinanten;

· ontleding van de determinant in termen of kolomelementen, waardoor de volgorde ervan wordt verlaagd.

Matrix-rang.

De rangorde van een matrix is een belangrijk numeriek kenmerk. Het meest typische probleem dat het vinden van de rangorde van een matrix vereist, is het controleren van de consistentie van een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen.

Laten we de matrix nemen A volgorde P X N . Laten k – een natuurlijk getal dat het kleinste getal niet overschrijdt P En N , dat is,

Kleine k-de bestelling matrices A wordt de determinant van een vierkante matrix van orde genoemd k X k , samengesteld uit matrixelementen A , die vooraf zijn geselecteerd k lijnen en k kolommen en de rangschikking van matrixelementen A wordt opgeslagen.

Beschouw de matrix:

Laten we een aantal eerste-orde minors van deze matrix opschrijven. Als we bijvoorbeeld de derde rij en tweede kolom van de matrix selecteren A , dan komt onze keuze overeen met de eerste orde minor det(-4)=-4. Met andere woorden, om deze minor te verkrijgen hebben we de eerste en tweede rij, evenals de eerste, derde en vierde kolom uit de matrix verwijderd A , en uit het resterende element vormden ze een determinant.

De eerste-orde minors van een matrix zijn dus de matrixelementen zelf.

Laten we een aantal tweede-orde minderjarigen laten zien. Selecteer twee rijen en twee kolommen. Neem bijvoorbeeld de eerste en tweede rij, en de derde en vierde kolom. Met deze keuze hebben we een tweedegraads minor
.

Nog een minor van de tweede orde van de matrix A is klein

Op dezelfde manier kunnen derde-orde minoren van de matrix worden gevonden A . Sinds in de matrix A Er zijn slechts drie regels. Selecteer ze allemaal. Als we de eerste drie kolommen van deze rijen selecteren, krijgen we een minor van de derde orde:

Een andere derde orde minor is:

Voor een gegeven matrix A sindsdien zijn er geen minderjarigen van hogere orde dan de derde

Hoeveel minderjarigen zijn er? k -Wauw matrixvolgorde A volgorde P X N ? Best veel!

Aantal minderjarigen van orde k kan worden berekend met de formule:

Matrix-rang wordt de hoogste orde van een niet-nul minor van een matrix genoemd.

Matrix-rang A aangeduid als rang (A). Uit de definities van matrixrang en matrix-minor kunnen we concluderen dat de rangorde van een nulmatrix gelijk is aan nul, en de rangorde van een niet-nulmatrix niet minder dan één.

De eerste methode om de rangorde van een matrix te vinden is dus: manier om minderjarigen te tellen . Deze methode is gebaseerd op het bepalen van de rangorde van de matrix.

Laten we de rangorde van de matrix vinden A volgorde P X N .

Als er ten minste één element van de matrix is dat verschilt van nul, dan is de rangorde van de matrix minimaal gelijk aan één (aangezien er een minor van de eerste orde is die niet gelijk is aan nul).

Vervolgens kijken we naar de tweede orde minoren. Als alle tweedegraads minoren gelijk zijn aan nul, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan één. Als er minstens één niet-nul minderjarige van de tweede orde is, gaan we verder met het opsommen van de minderjarigen van de derde orde, en de rangorde van de matrix is minstens gelijk aan twee.

Op dezelfde manier, als alle minderjarigen van de derde orde nul zijn, is de rangorde van de matrix twee. Als er minstens één minor van de derde orde is, anders dan nul, dan is de rangorde van de matrix minimaal drie, en gaan we verder met het opsommen van minoren van de vierde orde.

Merk op dat de rangorde van de matrix het kleinste getal niet kan overschrijden P En N .

Voorbeeld.

Zoek de rangorde van de matrix
.

Oplossing.

1. Omdat de matrix niet nul is, is de rangorde ervan niet minder dan één.

2. Een van de tweede orde minors
verschilt van nul, vandaar de rangorde van de matrix A tenminste twee.

3. Minderjarigen van de derde orde

Alle minoren van de derde orde zijn gelijk aan nul. Daarom is de rangorde van de matrix twee.

rang(A) = 2.

Er zijn andere methoden om de rangorde van een matrix te bepalen, waarmee u het resultaat met minder rekenwerk kunt verkrijgen.

Eén zo'n methode is edge minor methode . Met deze methode worden de berekeningen enigszins verminderd, maar ze zijn nog steeds behoorlijk omslachtig.

Er is een andere manier om de rangorde van een matrix te vinden: met behulp van elementaire transformaties (Gaussiaanse methode).

De volgende matrixtransformaties worden genoemd elementair :

· herschikking van rijen (of kolommen) van de matrix;

· het vermenigvuldigen van alle elementen van een willekeurige rij (kolom) van een matrix met een willekeurig getal k, verschillend van nul;

· het toevoegen aan de elementen van een willekeurige rij (kolom) van de overeenkomstige elementen van een andere rij (kolom) van de matrix, vermenigvuldigd met een willekeurig getal k.

Matrix B wordt equivalent aan matrix A genoemd, Als IN afgeleid van A met behulp van een eindig aantal elementaire transformaties. Matrixequivalentie wordt aangegeven door het symbool « ~ » , dat wil zeggen, is geschreven A~B.

Het vinden van de rangorde van een matrix met behulp van elementaire matrixtransformaties is gebaseerd op de uitspraak: if the matrix IN verkregen uit matrix A met behulp van een eindig aantal elementaire transformaties R ang(A) = belde(B) , d.w.z. de rangen van gelijkwaardige matrices zijn gelijk .

De essentie van de methode van elementaire transformaties is om de matrix, waarvan we de rangorde moeten vinden, terug te brengen tot een trapeziumvormige (in een bepaald geval tot een bovenste driehoekige) met behulp van elementaire transformaties.

De rangorde van matrices van dit type is heel gemakkelijk te vinden. Het is gelijk aan het aantal regels dat ten minste één element bevat dat niet nul is. En aangezien de rangorde van de matrix niet verandert bij het uitvoeren van elementaire transformaties, zal de resulterende waarde de rangorde van de oorspronkelijke matrix zijn.

Voorbeeld.

Gebruik de methode van elementaire transformaties om de rangorde van de matrix te vinden

Oplossing.

1. Verwissel de eerste en tweede rij van de matrix A , sinds het element een 11 =0 en het element een 21 niet-nul:

In de resulterende matrix is het element gelijk aan één. Anders moest je de elementen van de eerste rij vermenigvuldigen met . Laten we alle elementen van de eerste kolom, behalve de eerste, nul maken. In de tweede regel staat al een nul, aan de derde regel voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met 2:

Het element in de resulterende matrix verschilt van nul. Vermenigvuldig de elementen van de tweede rij met

De tweede kolom van de resulterende matrix heeft de gewenste vorm, omdat het element al gelijk is aan nul.

Omdat , A , verwissel vervolgens de derde en vierde kolom en vermenigvuldig de derde rij van de resulterende matrix met:

De oorspronkelijke matrix is teruggebracht tot trapeziumvormig, de rangorde is gelijk aan het aantal rijen dat ten minste één niet-nul element bevat. Er zijn drie van dergelijke rijen, daarom is de rangorde van de originele matrix drie. R ang(A)=3.

Inverse matrix.

Laten we een matrix hebben A .

Matrix omgekeerd aan matrix A , wordt een matrix genoemd A-1 zoals dat EEN -1 EEN = EEN EEN -1 = E .

Een inverse matrix kan alleen bestaan voor een vierkante matrix. Bovendien heeft het zelf dezelfde dimensie als de oorspronkelijke matrix.

Om een vierkante matrix een inverse te laten hebben, moet deze niet-singulier zijn (dat wil zeggen Δ ≠0 ). Deze voorwaarde is ook voldoende voor het bestaan A-1 naar de matrix A . Elke niet-singuliere matrix heeft dus een inverse en bovendien een unieke.

Algoritme voor het vinden van de inverse matrix met behulp van het voorbeeld van een matrix A :

1. Zoek de determinant van de matrix. Als Δ ≠0 en vervolgens de matrix A-1 bestaat.

2. Laten we een matrix B maken van algebraïsche optellingen van elementen van de oorspronkelijke matrix A . Die. in de matrix IN element i - oh lijnen en J - de e kolom zal het algebraïsche complement zijn Een IJ element een IJ originele matrix.

3. Transponeer de matrix IN en wij krijgen B T .

4. Vind de inverse matrix door de resulterende matrix te vermenigvuldigen B T per nummer .

Voorbeeld.

Zoek voor een gegeven matrix de inverse en controleer:

Oplossing

Laten we het eerder beschreven algoritme gebruiken om de inverse matrix te vinden.

1. Om het bestaan van een inverse matrix vast te stellen, is het noodzakelijk om de determinant van deze matrix te berekenen. Laten we de driehoeksregel gebruiken:

De matrix is niet-singulier en daarom omkeerbaar.

Laten we de algebraïsche complementen van alle matrixelementen vinden:

Uit de gevonden algebraïsche toevoegingen wordt de matrix samengesteld:

en wordt omgezet

Door elk element van de resulterende matrix te delen door zijn determinant, verkrijgen we een matrix die omgekeerd is aan de oorspronkelijke:

De controle wordt uitgevoerd door de resulterende matrix te vermenigvuldigen met de oorspronkelijke matrix. Als de inverse matrix correct wordt gevonden, is het resultaat van de vermenigvuldiging de identiteitsmatrix.

Om de inverse matrix voor een bepaalde matrix te vinden, kun je de Gauss-methode gebruiken (je moet er natuurlijk eerst voor zorgen dat de matrix omkeerbaar is), die ik laat voor onafhankelijk werk.

©2015-2019 website
Alle rechten behoren toe aan hun auteurs. Deze site claimt geen auteurschap, maar biedt gratis gebruik.
Aanmaakdatum van de pagina: 12-10-2017

bepalend voor elementen van een rij of kolom

Verdere eigenschappen houden verband met de concepten van mineur en algebraïsch complement

Definitie. Minderjarige element wordt een determinant genoemd die bestaat uit elementen die overblijven na het doorstrepeni-de afvoeren enJde kolom op het snijpunt waarvan dit element zich bevindt. Minor van het element van de determinant N-de bestelling heeft bestelling ( N- 1). We zullen het aangeven met .

Voorbeeld 1. Laten , Dan .

Deze minor verkrijg je bij A door de tweede rij en derde kolom door te strepen.

Definitie. Algebraïsch complement element wordt de overeenkomstige minor genoemd, vermenigvuldigd met nat.e , Waari–regelnummer enJ-kolommen op het snijpunt waarvan dit element zich bevindt.

VІІІ. (Ontbinding van de determinant in elementen van een bepaalde string). De determinant is gelijk aan de som van de producten van de elementen van een bepaalde rij en hun overeenkomstige algebraïsche complementen.

Voorbeeld 2. Laat het dan zo zijn

Voorbeeld 3. Laten we de determinant van de matrix vinden door deze uit te breiden naar de elementen van de eerste rij.

Formeel zijn deze stelling en andere eigenschappen van determinanten alleen van toepassing op determinanten van matrices van niet hoger dan de derde orde, aangezien we geen andere determinanten hebben overwogen. Met de volgende definitie kunnen we deze eigenschappen uitbreiden tot determinanten van elke orde.

Definitie. Bepalend matrices A De n-de orde is een getal dat wordt berekend door opeenvolgende toepassing van de uitbreidingsstelling en andere eigenschappen van determinanten.

U kunt controleren of het resultaat van de berekeningen niet afhankelijk is van de volgorde waarin bovenstaande eigenschappen worden toegepast en voor welke rijen en kolommen. Met behulp van deze definitie wordt de determinant uniek gevonden.

Hoewel deze definitie geen expliciete formule bevat voor het vinden van de determinant, maakt ze het wel mogelijk deze te vinden door deze te reduceren tot de determinanten van matrices van lagere orde. Dergelijke definities worden genoemd terugkerend.

Voorbeeld 4. Bereken de determinant: .

Hoewel de factorisatiestelling kan worden toegepast op elke rij of kolom van een bepaalde matrix, worden er minder berekeningen verkregen door te factoriseren langs de kolom die zoveel mogelijk nullen bevat.

Omdat de matrix geen nulelementen bevat, verkrijgen we deze met behulp van eigenschap 7). Vermenigvuldig de eerste regel opeenvolgend met de getallen (–5), (–3) en (–2) en tel deze op bij de tweede, derde en vierde regel en krijg:

Laten we de resulterende determinant langs de eerste kolom uitbreiden en het volgende krijgen:

(we nemen (–4) van de 1e regel, (–2) van de 2e regel, (–1) van de 3e regel volgens eigenschap 4)

(aangezien de determinant twee proportionele kolommen bevat).

§ 1.3. Sommige soorten matrices en hun determinanten

Definitie. Vierkant m een matrix met nul elementen onder of boven de hoofddiagonaal(=0 bij i J, of =0 bij i J) genaamddriehoekig .