Hoe te converteren van binaire code naar decimaal. Nummersystemen

| 6e leerjaar | Lessen plannen voor het schooljaar | Binaire getallen omzetten naar een decimaal getalsysteem

Les 5
Binaire getallen omzetten naar een decimaal getalsysteem
Werken met de Rekenmachine-applicatie

Het omzetten van gehele decimale getallen naar binair

Methode 1

Laten we proberen het getal 1409 voor te stellen als de som van de termen van de tweede rij.

Laten we de verschilmethode gebruiken. Laten we de term van de tweede rij nemen die het dichtst bij het oorspronkelijke getal ligt, maar deze niet overschrijdt, en het verschil goedmaken:

1409 - 1024 = 385.

Laten we de term van de tweede rij nemen die het dichtst bij het resulterende verschil ligt, maar dit niet overschrijdt, en het verschil samenstellen:

385 - 256 = 129.

Laten we het verschil op dezelfde manier maken: 129 - 128 = 1.

Als resultaat krijgen we:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

We zien dat elk lid van de tweede rij óf niet in de som kan worden opgenomen, óf er slechts één keer in kan worden opgenomen.

De getallen 1 en 0, waarmee de termen van de tweede reeks worden vermenigvuldigd, vormen ook het oorspronkelijke getal 1409, maar in een andere, binaire notatie: 10110000001.

Het resultaat wordt als volgt geschreven:

1409 10 = 10110000001 2 .

We schreven het oorspronkelijke getal met 0 en 1, met andere woorden, we ontvingen de binaire code van dit getal, of vertegenwoordigden het getal in het binaire getalsysteem.

Methode 2

Deze methode voor het verkrijgen van de binaire code van een decimaal getal is gebaseerd op het schrijven van de resten van het delen van het oorspronkelijke getal en de resulterende quotiënten door 2, voortgezet totdat het volgende quotiënt gelijk is aan 0.

Voorbeeld:

De eerste cel van de bovenste regel bevat het oorspronkelijke getal en elke volgende cel bevat het resultaat van de gehele deling van het vorige getal door 2.

De cellen in de onderste rij bevatten de resten van het delen van de getallen in de bovenste rij door 2.

De laatste cel van de onderste rij blijft leeg. De binaire code van het oorspronkelijke decimale getal wordt verkregen door alle resten opeenvolgend te registreren, beginnend bij het laatste: 1409 10 = 10110000001 2.

De eerste 20 termen van de natuurlijke reeks in het binaire getalsysteem zijn als volgt geschreven: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,1111, 10000. 10001. 10010. 1. 10100. 

Gehele getallen omzetten van binair naar decimaal

Methode 1

Laat er een nummer 111101 2 zijn. Het kan als volgt worden weergegeven:

Methode 2

Laten we hetzelfde nummer 111101 2 nemen. Laten we de eenheid van het 6e cijfer (het eerste aan de linkerkant in de getalnotatie) omzetten in eenheden van het 5e cijfer, waarvoor we 1 met 2 vermenigvuldigen, omdat de eenheid van het 6e cijfer in het binaire systeem 2 eenheden bevat van het 5e cijfer.

Aan de ontvangen 2 eenheden van de 5e categorie voegen wij de bestaande eenheid van de 5e categorie toe. Laten we deze 3 eenheden van het 5e cijfer omzetten naar het 4e cijfer en de bestaande eenheid van het 4e cijfer toevoegen: 3 2 + 1 = 7.

Laten we 7 eenheden van de 4e categorie omzetten naar de 3e categorie en de bestaande eenheid van de 3e categorie toevoegen: 7 2 + 1 = 15.

Laten we 15 eenheden van het derde cijfer omzetten naar het tweede cijfer: 15 2 = 30. In het oorspronkelijke getal staan ​​er geen eenheden in het tweede cijfer.

Laten we 30 eenheden van het tweede cijfer omzetten naar het eerste cijfer en de daar aanwezige eenheid optellen: 30 2 + 1 = 61. We hebben ontdekt dat het oorspronkelijke getal 61 eenheden van het eerste cijfer bevat.

Het is handig om schriftelijke berekeningen als volgt te ordenen:

Met behulp van de applicatie kunt u gehele getallen converteren van het decimale getalsysteem naar het binaire getalsysteem en terug Rekenmachine.

Laten we een klein experiment doen .

1. Start de Rekenmachine-applicatie en voer de opdracht uit [View-Engineering]. Let op een groep schakelaars die het nummersysteem definiëren:

2. Zorg ervoor dat de rekenmachine is geconfigureerd om in te werken decimale nummer systeem. Voer met behulp van het toetsenbord of de muis een willekeurig getal van twee cijfers in het invoerveld in. Activeer de schakelaar Bak en bekijk de veranderingen in het invoervenster. Keer terug naar het decimale getalsysteem. Maak het invoerveld leeg.

3. Herhaal stap 2 meerdere keren voor andere decimale getallen.

4. Stel de rekenmachine zo in dat deze in het binaire getalsysteem werkt. Let op welke knoppen Rekenmachine en de cijfertoetsen van het toetsenbord zijn voor u beschikbaar. Voer de binaire codes van de 5e, 10e en 15e term van de natuurlijke reeks één voor één in en gebruik de schakelaar dec converteer ze naar het decimale getalsysteem.

Het kortste getallensysteem is binair. Ze is volledig gebaseerd op positionele vorm nummers opnemen. Het belangrijkste kenmerk is het principe cijfers verdubbelen bij het uitvoeren van een overgang van een bepaalde positie naar de volgende. Van het ene nummersysteem naar het andere kunt u converteren met een speciaal programma of handmatig.

Historische erkenning

De verschijning van binaire SS in de geschiedenis wordt geassocieerd met de wetenschapper wiskundige V.G. Leibniz. Hij was het die voor het eerst sprak over de regels voor het uitvoeren van bewerkingen met dit soort numerieke waarden. Maar aanvankelijk bleef dit principe bestaan niet geclaimd. Het algoritme kreeg wereldwijde erkenning en toepassing aan het begin van computers.

Gemak en eenvoud het uitvoeren van bewerkingen leidde tot de behoefte aan een meer gedetailleerde studie van dit onderdeel van de rekenkunde, dat onmisbaar werd bij de ontwikkeling van computertechnologie met software. Voor het eerst verschenen dergelijke mechanismen op de Duitse en Franse markt.

Aandacht! Een specifiek punt over de superioriteit van het binaire systeem ten opzichte van het decimale systeem, juist in deze branche, werd in 1946 gesteld en onderbouwd in een artikel van A. Bex, H. Goldstein en J. Von Neumann.

Een getal converteren van het decimale getalsysteem naar binair.

Kenmerken van binaire rekenkunde

Alle binaire CC is alleen gebaseerd op de toepassing van twee karakters, die zeer nauw aansluiten bij de kenmerken van het digitale circuit. Elk van de symbolen is verantwoordelijk voor een specifieke actie, die vaak twee toestanden impliceert:

• de aanwezigheid of afwezigheid van een gaatje, bijvoorbeeld een ponskaart of papieren rompslomp;
• op magnetische media is verantwoordelijk voor de staat van magnetisatie of demagnetisatie;
• op signaalniveau, hoog of laag.

In de wetenschap waarin SS wordt gebruikt, is een bepaalde terminologie geïntroduceerd, de essentie ervan is als volgt:

• Beetje – binair cijfer, dat bestaat uit twee componenten die een bepaalde betekenis hebben. Aan de linkerkant geplaatst wordt gedefinieerd als de senior en heeft prioriteit, en aan de rechterkant is de junior, die minder belangrijk is.
• Een byte is een eenheid die bestaat uit acht bits.

Veel modules nemen informatie waar en verwerken deze in gedeelten of woorden. Elk woord heeft een ander gewicht en kan bestaan ​​uit: 8, 16 of 32 bits.

Regels voor overdrachten van het ene systeem naar het andere

Een van de belangrijkste factoren in de machinerekenkunde is overstappen van de ene SS naar de andere. Laten we daarom aandacht besteden aan de basisalgoritmen voor het uitvoeren van een proces dat laat zien hoe een getal naar het binaire systeem kan worden geconverteerd.

Het decimale systeem omzetten naar binair

Laten we eerst eens kijken naar de vraag hoe we het systeem kunnen omzetten van een decimaal naar een binair getalsysteem. Hiervoor is er vertaal regel van decimale getallen tot binaire code, wat impliceert wiskundige bewerkingen.

Vereist een getal dat in decimale vorm is geschreven delen door 2. Ga door met delen totdat er geen quotiënten meer over zijn. eenheid. Als een binair getalsysteem vereist is, wordt de vertaling als volgt uitgevoerd:

186:2=93 (resterende 0)

93:2=46 (rust 1)

46:2=23 (rust. 0)

23:2=11 (rust 1)

11:2=5 (resterende 1)

5:2=2 (rust.1)

Nadat het delingsproces is voltooid, schrijft u er één in het quotiënt en schrijft u alle resten opeenvolgend in omgekeerde volgorde van deling. Dat wil zeggen: 18610=1111010. De regel voor het omzetten van decimale getallen naar SS moet altijd worden gevolgd.

Een getal van het decimale systeem naar binair omzetten.

Converteren van decimaal SS naar octaal

Een soortgelijk proces wordt gevolgd bij het converteren van decimaal SS naar octaal. Het wordt ook wel " vervangingsregel" Als in het vorige voorbeeld de gegevens door 2 waren gedeeld, dan is dit hier nodig delen door 8. Het algoritme voor het converteren van het getal X10 naar octaal bestaat uit de volgende stappen:

1. Het getal X10 begint gedeeld te worden door 8. We nemen het resulterende quotiënt voor de volgende deling, en de rest wordt geschreven als minst significante stukje.
2. We gaan door met delen totdat we het resultaat van het quotiënt gelijk krijgen nul of restant, die in zijn waarde is minder dan acht. In dit geval schrijven we alle resten als bits van lage orde.

U moet bijvoorbeeld het getal 160110 naar octaal converteren.

1601:8=200 (resterende 1)

200:8=25 (resterende 0)

25:8=3 (rust.1)

We krijgen dus: 161010=31018.

Omzetten van decimaal naar octaal.

Schrijf een decimaal getal in hexadecimaal

De conversie van decimaal naar hexadecimaal SS wordt op soortgelijke wijze uitgevoerd met behulp van het substitutiesysteem. Maar naast cijfers gebruiken ze ook letters van het Latijnse alfabet A, B, C, D, E, F. Waarbij A de rest 10 aangeeft en F de rest 15. Het decimale getal wordt gedeeld door 16. Converteer bijvoorbeeld 10710 naar hexadecimaal:

107:16=6 (resterende 11 – vervang B)

6 is minder dan zestien. We stoppen met delen en schrijven 10710 = 6B16.

Overstappen van een ander systeem naar binair

De volgende vraag is hoe je een getal van octaal naar binair kunt converteren. Het converteren van getallen van elk systeem naar binair is vrij eenvoudig. Een assistent in deze kwestie is tabel voor nummersystemen.

1. Ordinaal tellen in verschillende getalsystemen.

In het moderne leven gebruiken we positionele getalsystemen, dat wil zeggen systemen waarin het getal dat door een cijfer wordt aangegeven, afhangt van de positie van het cijfer in de notatie van het getal. Daarom zullen we er in de toekomst alleen over praten, waarbij we de term 'positioneel' weglaten.

Om te leren hoe we getallen van het ene systeem naar het andere kunnen converteren, zullen we begrijpen hoe de opeenvolgende registratie van getallen plaatsvindt aan de hand van het voorbeeld van het decimale systeem.

Omdat we een decimaal getalsysteem hebben, hebben we 10 symbolen (cijfers) om getallen te construeren. We beginnen te tellen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De cijfers zijn voorbij. We vergroten de bitdiepte van het getal en resetten het minst significante cijfer: 10. Vervolgens verhogen we het lage cijfer weer totdat alle cijfers verdwenen zijn: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. We verhoog het hoge cijfer met 1 en reset het lage cijfer: 20. Wanneer we alle cijfers voor beide cijfers gebruiken (we krijgen het getal 99), vergroten we opnieuw de cijfercapaciteit van het nummer en resetten we de bestaande cijfers: 100. En dus op.

Laten we proberen hetzelfde te doen in het 2e, 3e en 5e systeem (we introduceren de notatie voor het 2e systeem, voor het 3e, enz.):

Als het getalsysteem een ​​grondtal groter dan 10 heeft, zullen we extra tekens moeten invoeren; het is gebruikelijk om letters van het Latijnse alfabet in te voeren. Voor het decimale systeem hebben we bijvoorbeeld naast tien cijfers ook twee letters ( en ):

2.Vertaling van het decimale getalsysteem naar een ander systeem.

Om een ​​decimaal getal met een positief geheel getal om te zetten in een getalsysteem met een ander grondtal, moet je dit getal delen door het grondtal. Verdeel het resulterende quotiënt opnieuw door de basis, en verder totdat het quotiënt kleiner is dan de basis. Schrijf daarom op één regel het laatste quotiënt en alle resten op, beginnend bij de laatste.

Voorbeeld 1. Laten we het decimale getal 46 omzetten naar het binaire getalsysteem.

Voorbeeld 2. Laten we het decimale getal 672 omzetten naar het octale getalsysteem.

Voorbeeld 3. Laten we het decimale getal 934 omzetten naar het hexadecimale getalsysteem.

3. Conversie van elk getalsysteem naar decimaal.

Laten we, om te leren hoe we getallen uit een ander systeem naar decimalen kunnen converteren, de gebruikelijke notatie voor een decimaal getal analyseren.
Het decimale getal 325 is bijvoorbeeld 5 eenheden, 2 tientallen en 3 honderdtallen, d.w.z.

De situatie is precies hetzelfde in andere getalsystemen, alleen zullen we niet vermenigvuldigen met 10, 100, enz., maar met de machten van de basis van het getalsysteem. Laten we bijvoorbeeld het getal 1201 nemen in het ternaire getalsysteem. Laten we de cijfers van rechts naar links nummeren, beginnend bij nul, en ons getal voorstellen als de som van de producten van een cijfer met drie tot de macht van het cijfer van het getal:

Dit is de decimale notatie van ons getal, d.w.z.

Voorbeeld 4. Laten we het octale getal 511 omzetten naar het decimale getalsysteem.

Voorbeeld 5. Laten we het hexadecimale getal 1151 omzetten naar het decimale getalsysteem.

4. Conversie van het binaire systeem naar het systeem met de basis “macht van twee” (4, 8, 16, etc.).

Om een ​​binair getal om te zetten in een getal met een macht van twee basen, is het noodzakelijk om de binaire reeks in groepen te verdelen op basis van het aantal cijfers gelijk aan de macht van rechts naar links en elke groep te vervangen door het overeenkomstige cijfer van het nieuwe getal. nummer systeem.

Laten we bijvoorbeeld het binaire getal 1100001111010110 omzetten naar het octale systeem. Om dit te doen, verdelen we het in groepen van 3 tekens, beginnend vanaf de rechterkant (sinds ), en gebruiken we vervolgens de correspondentietabel en vervangen we elke groep door een nieuw nummer:

In stap 1 hebben we geleerd hoe we een correspondentietabel kunnen maken.

Die.

Voorbeeld 6. Laten we het binaire getal 1100001111010110 omzetten naar hexadecimaal.

5. Conversie van een systeem met de basis “macht van twee” (4, 8, 16, etc.) naar binair.

Deze vertaling is vergelijkbaar met de vorige, maar dan in de tegenovergestelde richting: we vervangen elk cijfer door een groep cijfers in het binaire systeem uit de correspondentietabel.

Voorbeeld 7. Laten we het hexadecimale getal C3A6 omzetten naar het binaire getalsysteem.

Om dit te doen, vervangt u elk cijfer van het getal door een groep van 4 cijfers (sinds ) uit de correspondentietabel, en vult u de groep indien nodig aan met nullen aan het begin: