Oscillerend circuit. Thomsons formule

Les nr. 48-169 Oscillerend circuit. Vrije elektromagnetische trillingen. Omzetting van energie in een oscillerend circuit. Thompsons formule.Oscillaties- bewegingen of toestanden die zich in de loop van de tijd herhalen.Elektromagnetische trillingen -dit zijn elektrische trillingen enmagnetische velden die weerstand biedengedreven door periodieke ontrouwlading, stroom en spanning. Een oscillerend circuit is een systeem dat bestaat uit een inductor en een condensator(Afb. a). Als de condensator wordt opgeladen en kortgesloten naar de spoel, zal er stroom door de spoel stromen (Fig. b). Wanneer de condensator wordt ontladen, stopt de stroom in het circuit niet vanwege zelfinductie in de spoel. De inductiestroom zal, in overeenstemming met de regel van Lenz, in dezelfde richting stromen en de condensator opladen (figuur c). De stroom in deze richting stopt en het proces herhaalt zich in de tegenovergestelde richting (Fig. G).

Dus, bij schommelingentelny-contour van de oorsprongelektromagnetische trillingennia als gevolg van energieconversiecondensatie van elektrische veldenra( W E =
) omgezet in de energie van het magnetische veld van een spoel met stroom(WM =
), en vice versa.

Harmonische oscillaties zijn periodieke veranderingen in een fysieke grootheid, afhankelijk van de tijd, die plaatsvinden volgens de wet van sinus of cosinus.

De vergelijking die vrije elektromagnetische oscillaties beschrijft, neemt de vorm aan

q"= - ω 0 2 q (q" is de tweede afgeleide.

Belangrijkste kenmerken van oscillerende beweging:

De oscillatieperiode is de minimale tijdsperiode T waarna het proces volledig wordt herhaald.

De amplitude van harmonische oscillaties is de modulus van de grootste waarde van de oscillerende grootheid.

Als u de periode kent, kunt u de frequentie van trillingen bepalen, d.w.z. het aantal trillingen per tijdseenheid, bijvoorbeeld per seconde. Als er één oscillatie optreedt in tijd T, dan wordt het aantal oscillaties in 1 s ν als volgt bepaald: ν = 1/T.

Bedenk dat in het Internationale Systeem van Eenheden (SI) de frequentie van oscillaties gelijk is aan één als één oscillatie plaatsvindt in 1 s. De eenheid van frequentie wordt Hertz (afgekort: Hz) genoemd, naar de Duitse natuurkundige Heinrich Hertz.

Na een periode gelijk aan de periode T, dat wil zeggen, wanneer het cosinusargument toeneemt met ω 0 T, de ladingswaarde wordt herhaald en de cosinus neemt zijn vorige waarde aan. Uit de wiskundecursus weten we dat de kleinste periode van de cosinus 2n is. Daarom ω 0 T=2π, vanwaar ω 0 = =2πν Dus de waarde ω 0 - dit is het aantal oscillaties, maar niet voor 1 s, maar voor 2 s. Het heet cyclisch of circulaire frequentie.

De frequentie van vrije oscillaties wordt genoemd natuurlijke trillingsfrequentiesystemen. Vaak zullen we in het volgende kortheidshalve eenvoudigweg naar de cyclische frequentie verwijzen als frequentie. Onderscheid cyclische frequentie ω 0 vanaf frequentie ν kan volgens de notatie worden gebruikt.

Naar analogie met de oplossing van de differentiaalvergelijking voor een mechanisch oscillerend systeem cyclische frequentie van gratis elektriciteithemelschommelingen is gelijk aan: ω 0 =

De periode van vrije oscillaties in het circuit is gelijk aan: T= =2π
- Thomsons formule.

De fase van oscillaties (van het Griekse woord fase - uiterlijk, stadium van ontwikkeling van een fenomeen) is de waarde van φ, die onder het teken van cosinus of sinus staat. De fase wordt uitgedrukt in hoekeenheden - radialen. De fase bepaalt, voor een gegeven amplitude, op elk moment de toestand van het oscillerende systeem.

Oscillaties met dezelfde amplitudes en frequenties kunnen in fases van elkaar verschillen.

Sinds ω 0 = , dan φ= ω 0 Т=2π. De verhouding laat zien hoeveel van de periode is verstreken sinds het begin van de oscillatie. Elke tijdswaarde uitgedrukt in fracties van een periode komt overeen met een fasewaarde uitgedrukt in radialen. Dus na tijd t= (kwartperiode) φ= , na de helft van de periode φ = π, na de hele periode φ = 2π, enz. Je kunt de afhankelijkheid uitzetten

De lading is niet afhankelijk van de tijd, maar van de fase. De figuur toont dezelfde cosinusgolf als de vorige, maar op de horizontale as zijn ze uitgezet in plaats van de tijd

verschillende fasewaarden φ.

Correspondentie tussen mechanische en elektrische grootheden in oscillerende processen

Mechanische hoeveelheden

942(932). De aanvankelijke lading die aan de condensator van het oscillatiecircuit werd gegeven, werd tweemaal verminderd. Hoe vaak gebeurde: a) de spanningsamplitude; b) stroomamplitude;

c) de totale energie van het elektrische veld van de condensator en het magnetische veld van de spoel?

943(933). Met een toename van de spanning op de condensator van het oscillatiecircuit met 20 V, nam de amplitude van de stroom met 2 keer toe. Zoek de beginspanning.

945(935). Het oscillatiecircuit bestaat uit een condensator met een capaciteit C = 400 pF en een inductiespoel L = 10 mH. Zoek de amplitude van de huidige oscillaties I T , als de amplitude van spanningsschommelingen U T = 500 V.

952(942). Na hoe laat (in fracties van de periode t/T) er voor de eerste keer een lading op de condensator van het oscillerende circuit zal zijn die gelijk is aan de helft van de amplitudewaarde?

957(947). Welke inductiespoel moet in het oscillatiecircuit worden opgenomen om een ​​vrije oscillatiefrequentie van 10 MHz te verkrijgen met een condensatorcapaciteit van 50 pF?

Oscillerend circuit. Periode van vrije oscillaties.

1. Nadat de condensator van het oscillatiecircuit is opgeladen q = 10 -5 C, er ontstonden gedempte trillingen in het circuit. Hoeveel warmte zal er in het circuit vrijkomen tegen de tijd dat de oscillaties erin volledig zijn verdwenen? Capaciteit van de condensator C = 0,01 μF.

2. Het oscillerende circuit bestaat uit een condensator met een capaciteit van 400 nF en een spoel met een inductie van 9 μH. Wat is de periode van natuurlijke oscillatie van het circuit?

3. Welke inductie moet in het oscillatiecircuit worden opgenomen om een ​​natuurlijke oscillatieperiode van 2∙ 10 -6 s te verkrijgen met een capaciteit van 100 pF.

4. Vergelijk de veerstijfheid k1/k2 van twee slingers met een belastingsmassa van respectievelijk 200 g en 400 g, als hun oscillatieperioden gelijk zijn.

5. Onder invloed van een stationaire last die aan een veer hing, was de verlenging gelijk aan 6,4 cm. Vervolgens werd het gewicht teruggetrokken en losgelaten, waardoor het begon te oscilleren. Bepaal de periode van deze oscillaties.

6. Een last werd aan een veer gehangen, uit zijn evenwichtspositie gehaald en losgelaten. De belasting begon te oscilleren met een periode van 0,5 s. Bepaal de verlenging van de veer nadat de trillingen zijn gestopt. Negeer de massa van de veer.

Examenvragen:

1. Welke van de volgende uitdrukkingen bepaalt de periode van vrije oscillaties in een oscillatiecircuit? A.; B.
; IN.
; G.
; D. 2 .

2. Welke van de volgende uitdrukkingen bepaalt de cyclische frequentie van vrije oscillaties in een oscillerend circuit? A.B.
IN.
G.
D. 2π

3. De figuur toont een grafiek van de X-coördinaat van een lichaam dat harmonische oscillaties uitvoert langs de x-as als functie van de tijd. Wat is de trillingsperiode van het lichaam?

4. De figuur toont het golfprofiel op een bepaald moment. Wat is de lengte?

5. De figuur toont een grafiek van de stroom door de oscillerende circuitspoel versus de tijd. Wat is de periode van de huidige oscillatie? A. 0,4 s. B. 0,3 s. V. 0,2 s. G. 0,1 s.

D. Er is geen juist antwoord tussen de antwoorden A-D.

A. 0,2 meter B. 0,4 meter C. 4 meter.

7. Elektrische trillingen in het oscillerende circuit worden gegeven door de vergelijking q =10 -2 ∙ cos 20t (Cl).

Wat is de amplitude van ladingsoscillaties?

A . 10 -2 Cl. B.cos 20t Cl. B.20t Kl. G.20 Kl. D. Van de antwoorden A tot en met D is er geen juist antwoord.

8. Tijdens harmonische trillingen langs de OX-as verandert de coördinaat van het lichaam volgens de wet X=0,2cos(5t+ ). Wat is de amplitude van de lichaamstrillingen?

A.Xm; B. 0,2 meter; сos(5t+) m; (5t+)m; D.m

9. De oscillatiefrequentie van de golfbron is 0,2 s. De voortplantingssnelheid van de golf is 10 m/s. Wat is de golflengte? A. 0,02 m. B. 2 m. C. 50 m.

D. Afhankelijk van de omstandigheden van het probleem is het onmogelijk om de golflengte te bepalen. D. Er is geen juist antwoord tussen de antwoorden A-D.

10. Golflengte 40 m, voortplantingssnelheid 20 m/s. Wat is de oscillatiefrequentie van de golfbron?

A. 0,5 s-1. B. 2s-1. V. 800 s-1.

D. Afhankelijk van de omstandigheden van het probleem is het onmogelijk om de oscillatiefrequentie van de golfbron te bepalen.

D. Er is geen juist antwoord tussen de antwoorden A-D.

3

• Elektromagnetische trillingen– dit zijn periodieke veranderingen in de loop van de tijd in elektrische en magnetische grootheden in een elektrisch circuit.

• Vrij deze worden genoemd schommelingen, die ontstaan ​​in een gesloten systeem als gevolg van de afwijking van dit systeem uit een toestand van stabiel evenwicht.

Tijdens oscillaties vindt er een continu proces plaats waarbij de energie van het systeem van de ene vorm naar de andere wordt omgezet. Bij oscillaties van het elektromagnetische veld kan er alleen uitwisseling plaatsvinden tussen de elektrische en magnetische componenten van dit veld. Het eenvoudigste systeem waarin dit proces kan plaatsvinden is oscillerend circuit.

• Ideaal oscillerend circuit (LC-circuit) - een elektrisch circuit bestaande uit een inductieve spoel L en een condensator met een capaciteit C.

In tegenstelling tot een echt oscillerend circuit, dat elektrische weerstand heeft R, is de elektrische weerstand van een ideaal circuit altijd nul. Daarom is een ideaal oscillerend circuit een vereenvoudigd model van een echt circuit.

Figuur 1 toont een diagram van een ideaal oscillatiecircuit.

Circuit-energieën

Totale energie van het oscillerende circuit

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Waar Wij- energie van het elektrische veld van het oscillerende circuit op een bepaald moment, MET- elektrische capaciteit van de condensator, u- de spanningswaarde op de condensator op een bepaald moment, Q- waarde van de condensatorlading op een bepaald moment, Wm- energie van het magnetische veld van het oscillerende circuit op een bepaald moment, L- spoelinductie, i- de waarde van de stroom in de spoel op een bepaald moment.

Processen in een oscillerend circuit

Laten we eens kijken naar de processen die plaatsvinden in een oscillerend circuit.

Om het circuit uit de evenwichtspositie te halen, laden we de condensator op zodat er een lading op de platen komt Q m(Fig. 2, positie 1 ). Rekening houdend met de vergelijking \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) vinden we de spanningswaarde op de condensator. Er is op dit moment geen stroom in het circuit, d.w.z. i = 0.

Na het sluiten van de sleutel onder invloed van het elektrische veld van de condensator zal er een elektrische stroom in het circuit verschijnen, de huidige sterkte i die in de loop van de tijd zal toenemen. De condensator begint op dit moment te ontladen, omdat elektronen die een stroom opwekken (ik herinner u eraan dat de stroomrichting wordt beschouwd als de bewegingsrichting van positieve ladingen) verlaten de negatieve plaat van de condensator en komen naar de positieve (zie figuur 2, positie 2 ). Samen met lading Q Ook de spanning zal afnemen u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Wanneer de stroomsterkte door de spoel toeneemt, ontstaat er een zelfinductie-emf, die voorkomt dat de stroom verandert. Als gevolg hiervan zal de stroomsterkte in het oscillerende circuit niet onmiddellijk toenemen van nul tot een bepaalde maximale waarde, maar gedurende een bepaalde tijdsperiode, bepaald door de inductantie van de spoel.

Condensator lading Q neemt af en wordt op een gegeven moment gelijk aan nul ( Q = 0, u= 0), zal de stroom in de spoel een bepaalde waarde bereiken Ik ben(zie afb. 2, positie 3 ).

Zonder het elektrische veld van de condensator (en weerstand) blijven de elektronen die de stroom creëren, bewegen door traagheid. In dit geval geven elektronen die de neutrale plaat van de condensator bereiken er een negatieve lading aan, en elektronen die de neutrale plaat verlaten, geven er een positieve lading aan. Er begint een lading op de condensator te verschijnen Q(en spanning u), maar van het tegenovergestelde teken, d.w.z. de condensator wordt opgeladen. Nu verhindert het nieuwe elektrische veld van de condensator dat de elektronen bewegen, dus de stroom i begint af te nemen (zie Fig. 2, positie 4 ). Nogmaals, dit gebeurt niet onmiddellijk, omdat de zelfinductie-EMK nu de neiging heeft de afname van de stroom te compenseren en deze “ondersteunt”. En de huidige waarde Ik ben(zwanger 3 ) blijkt maximale stroomwaarde in het circuit.

En nogmaals, onder invloed van het elektrische veld van de condensator zal er een elektrische stroom in het circuit verschijnen, maar in de tegenovergestelde richting gericht, de stroomsterkte i die in de loop van de tijd zal toenemen. En de condensator zal op dit moment worden ontladen (zie figuur 2, positie 6 )naar nul (zie Fig. 2, positie 7 ). Enzovoort.

Sinds de lading op de condensator Q(en spanning u) bepaalt de elektrische veldenergie Wij\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) en de huidige sterkte in de spoel i- magnetische veldenergie Wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) dan zal, samen met veranderingen in lading, spanning en stroom, ook de energie veranderen.

Benamingen in de tabel:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \ W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2), \; =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) ) (2).\)

De totale energie van een ideaal oscillerend circuit blijft in de loop van de tijd behouden omdat er geen energieverlies is (geen weerstand). Dan

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) +W_(m4) = ...\)

In een ideaalbeeld dus L.C.- het circuit zal periodieke veranderingen in de huidige waarden ondergaan i, aanval Q en spanning u, en de totale energie van het circuit zal constant blijven. In dit geval zeggen ze dat er problemen zijn in het circuit vrije elektromagnetische trillingen.

• Vrije elektromagnetische trillingen in het circuit - dit zijn periodieke veranderingen in de lading op de condensatorplaten, stroom en spanning in het circuit, die plaatsvinden zonder energie uit externe bronnen te verbruiken.

Het optreden van vrije elektromagnetische oscillaties in het circuit is dus te wijten aan het opladen van de condensator en het optreden van een zelfinductieve emf in de spoel, die voor dit opladen “zorgt”. Merk op dat de condensator wordt opgeladen Q en de stroom in de spoel i hun maximale waarden bereiken Q m En Ik ben op verschillende tijdstippen.

Vrije elektromagnetische oscillaties in het circuit vinden plaats volgens de harmonische wet:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot _(2) \right).\)

De kortste periode waarin L.C.- het circuit keert terug naar zijn oorspronkelijke staat (naar de initiële waarde van de lading van een bepaalde plaat), de periode van vrije (natuurlijke) elektromagnetische oscillaties in het circuit genoemd.

De periode van vrije elektromagnetische trillingen in L.C.-contour wordt bepaald door de formule van Thomson:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Vanuit het oogpunt van mechanische analogie komt een veerslinger zonder wrijving overeen met een ideaal oscillerend circuit, en een echt circuit - met wrijving. Door de werking van wrijvingskrachten vervagen de trillingen van een veerslinger na verloop van tijd.

*Afleiding van de formule van Thomson

Sinds de totale energie van het ideaal L.C.-circuit gelijk aan de som van de energieën van het elektrostatische veld van de condensator en het magnetische veld van de spoel blijft behouden, dan is de gelijkheid op elk moment geldig

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const.\)

We verkrijgen de vergelijking van oscillaties in L.C.-circuit dat gebruik maakt van de wet van behoud van energie. Het differentiëren van de uitdrukking voor de totale energie met betrekking tot de tijd, rekening houdend met het feit dat

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; ik"=q"",\)

we verkrijgen een vergelijking die vrije oscillaties in een ideaal circuit beschrijft:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Herschrijf het als:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

we merken op dat dit de vergelijking is van harmonische oscillaties met een cyclische frequentie

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Dienovereenkomstig is de periode van de beschouwde oscillaties

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Literatuur

1. Zhilko, V.V. Natuurkunde: leerboek. handleiding voor het 11e leerjaar algemeen vormend onderwijs. school uit het Russisch taal opleiding / V.V. Zhilko, L.G. Markovitsj. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - blz. 39-43.

Soort activiteit: een les in initiële kennismaking met de materiële en praktische toepassing van kennis en vaardigheden.

Lesduur: 45 minuten.

Doelen:

Didactisch – kennis over fysische processen die plaatsvinden in een elektromagnetisch oscillerend circuit generaliseren en systematiseren

voorwaarden creëren voor het leren van nieuw materiaal met behulp van actieve leermethoden

Leerzaam I– het universele karakter van de theorie van oscillaties aantonen;

Ontwikkelingsgericht – de cognitieve processen van studenten ontwikkelen op basis van de toepassing van de wetenschappelijke methode van cognitie: analogie en modellering; het voorspellen van de situatie; methoden ontwikkelen voor de effectieve verwerking van educatieve informatie onder schoolkinderen, de vorming van communicatieve vaardigheden voortzetten competenties.

Leerzaam – ideeën blijven vormen over de onderlinge relatie van natuurverschijnselen en een verenigd fysiek beeld van de wereld

Lesdoelstellingen:

1. Leerzaam

ü formuleer de afhankelijkheid van de periode van het oscillerende circuit van zijn kenmerken: capaciteit en inductie

ü studietechnieken voor het oplossen van typische problemen op het “oscillerende circuit”

2. Ontwikkelingsgericht

ü de vaardigheden blijven ontwikkelen om verschijnselen te vergelijken, conclusies te trekken en generalisaties te maken op basis van experimenten

ü werken aan het ontwikkelen van de vaardigheden om eigenschappen en verschijnselen te analyseren op basis van kennis.

3. Ouderschap

ü het belang tonen van experimentele feiten en experimenten in het menselijk leven.

ü de betekenis onthullen van de opeenstapeling van feiten en hun verduidelijkingen in de kennis van verschijnselen.

ü leerlingen kennis laten maken met de onderlinge samenhang en conditionaliteit van verschijnselen in de omringende wereld.

Totale eigendomskosten:computer, projector, IAD

Voorbereidende voorbereiding:

- individuele beoordelingsbladen - 24 st.

- routebladen (gekleurd) – 4 st.

Technologische kaart van de les:

Tomsono virpesių formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Thomsons formule vok. Thomsonsche Schwingungsformel, f rus. Thomson's formule, f pranc. formule de Thomson, f … Fizikos terminų žodynas

Afhankelijkheid van de differentiële verstrooiingsdwarsdoorsnede van de verstrooiingshoek voor verschillende fotonenergieën Klein Nishina-formule formule die beschrijft ... Wikipedia

- [volgens Engels. fysica van W. Thomson (W. Thomson; 1824 1907)] f la, die de afhankelijkheid uitdrukt van de periode T van ongedempte natuurlijke oscillaties in het oscillerende circuit van de parameters van inductantie L en capaciteit C: T = 2PI wortel van LC (hier L in Gn, C in F... Groot encyclopedisch polytechnisch woordenboek

Het Thomson-effect is een van de thermo-elektrische verschijnselen, die erin bestaat dat in een homogene, ongelijkmatig verwarmde geleider met gelijkstroom, naast de warmte die vrijkomt in overeenstemming met de wet van Joule Lenz, in het volume ... ... Wikipedia

Expressie voor differentieel ds-doorsnede voor fotonverstrooiing op een elektron (zie Compton-effect). Naar het laboratorium. coördinatensysteem waarbij de frequenties van het invallende en verstrooide foton, het ruimtehoekelement voor het verstrooide foton, de verstrooiingshoek, de parameter r0 = e ... Fysieke encyclopedie

- (Thomson) (in 1892 ontving voor wetenschappelijke diensten de titel van Baron Kelvin, Kelvin) (1824 1907), Engelse natuurkundige, lid (1851) en president (1890 1895) van de Royal Society of London, buitenlands corresponderend lid (1877) en buitenlands erelid...... encyclopedisch woordenboek

- (Thomson, William), Lord Kelvin (1824 1907), Engelse natuurkundige, een van de grondleggers van de thermodynamica. Geboren in Belfast (Ierland) op 26 juni 1824. Hij begon op 8-jarige leeftijd colleges te volgen van zijn vader, een professor in de wiskunde aan de Universiteit van Glasgow, en op 10-jarige leeftijd werd hij... ... Collier's Encyclopedie

I Thomson Alexander Ivanovich, Russische Sovjet-taalkundige, corresponderend lid van de Sint-Petersburg Academie van Wetenschappen (1910). Afgestudeerd aan de Universiteit van Sint-Petersburg (1882). Professor aan de Novorossiejsk Universiteit...

Thomson, Lord Kelvin William (26.6.1824, Belfast - 17.12.1907, Largs, nabij Glasgow; begraven in Londen), Engelse natuurkundige, een van de grondleggers van de thermodynamica en de kinetische theorie van gassen, lid van de Royal Society of London ( Met … Grote Sovjet-encyclopedie

- (Thomson, Joseph John) (1856 1940), Engelse natuurkundige, ontving in 1906 de Nobelprijs voor de natuurkunde voor zijn werk dat leidde tot de ontdekking van het elektron. Geboren op 18 december 1856 in de buitenwijk Cheetham Hill in Manchester. Op 14-jarige leeftijd ging hij naar Owens... ... Collier's Encyclopedie

Een elektromagnetisch veld kan bestaan ​​in de afwezigheid van elektrische ladingen of stromen: het zijn deze ‘zelfonderhoudende’ elektrische en magnetische velden die elektromagnetische golven zijn, waaronder zichtbaar licht, infrarood-, ultraviolet- en röntgenstraling, radiogolven, enz.

§ 25. Oscillerend circuit

Het eenvoudigste systeem waarin natuurlijke elektromagnetische oscillaties mogelijk zijn, is het zogenaamde oscillerende circuit, bestaande uit een condensator en een inductor die met elkaar zijn verbonden (Fig. 157). Net als een mechanische oscillator, bijvoorbeeld een massief lichaam op een elastische veer, gaan natuurlijke oscillaties in het circuit gepaard met energietransformaties.

Rijst. 157. Oscillerend circuit

Analogie tussen mechanische en elektromagnetische trillingen. Voor een oscillerend circuit is een analoog van de potentiële energie van een mechanische oscillator (bijvoorbeeld de elastische energie van een vervormde veer) de energie van het elektrische veld in een condensator. Een analoog van de kinetische energie van een bewegend lichaam is de energie van het magnetische veld in een inductor. In feite is de energie van de veer evenredig met het kwadraat van de verplaatsing vanuit de evenwichtspositie en de energie van de condensator is evenredig met het kwadraat van de lading. De kinetische energie van een lichaam is evenredig met het kwadraat van zijn snelheid de energie van het magnetische veld in de spoel is evenredig met het kwadraat van de stroom.

De totale mechanische energie van de veeroscillator E is gelijk aan de som van de potentiële en kinetische energieën:

Energie van trillingen. Op dezelfde manier is de totale elektromagnetische energie van het oscillerende circuit gelijk aan de som van de energieën van het elektrische veld in de condensator en het magnetische veld in de spoel:

Uit een vergelijking van de formules (1) en (2) volgt dat het analogon van de stijfheid k van een veeroscillator in een oscillerend circuit het omgekeerde is van de capaciteit C, en het analogon van massa de inductantie van de spoel is.

Laten we ons herinneren dat in een mechanisch systeem, waarvan de energie wordt gegeven door uitdrukking (1), zijn eigen ongedempte harmonische oscillaties kunnen optreden. Het kwadraat van de frequentie van dergelijke oscillaties is gelijk aan de verhouding van de coëfficiënten van de kwadraten van verplaatsing en snelheid in de uitdrukking voor energie:

Natuurlijke frequentie. In een oscillerend circuit, waarvan de elektromagnetische energie wordt gegeven door uitdrukking (2), kunnen zijn eigen ongedempte harmonische oscillaties optreden, waarvan het kwadraat van de frequentie uiteraard ook gelijk is aan de verhouding van de overeenkomstige coëfficiënten (dat wil zeggen de coëfficiënten van de kwadraten van lading en stroom):

Uit (4) volgt een uitdrukking voor de oscillatieperiode, de zogenaamde Thomson-formule:

Tijdens mechanische oscillaties wordt de afhankelijkheid van de verplaatsing x van de tijd bepaald door een cosinusfunctie, waarvan het argument de oscillatiefase wordt genoemd:

Amplitude en beginfase. De amplitude A en de beginfase a worden bepaald door de beginvoorwaarden, d.w.z. de waarden van de verplaatsing en snelheid bij

Op dezelfde manier is bij elektromagnetische natuurlijke oscillaties in het circuit de lading van de condensator volgens de wet afhankelijk van de tijd

waarbij de frequentie, in overeenstemming met (4), alleen wordt bepaald door de eigenschappen van het circuit zelf, en de amplitude van ladingoscillaties en de beginfase a, zoals die van een mechanische oscillator, worden bepaald

initiële omstandigheden, d.w.z. de waarden van de condensatorlading en stroomsterkte bij De natuurlijke frequentie is dus niet afhankelijk van de excitatiemethode van oscillaties, terwijl de amplitude en initiële fase nauwkeurig worden bepaald door de excitatieomstandigheden.

Energietransformaties. Laten we de energietransformaties tijdens mechanische en elektromagnetische trillingen nader bekijken. In afb. 158 geeft schematisch de toestanden weer van mechanische en elektromagnetische oscillatoren met tijdsintervallen van een kwart periode

Rijst. 158. Energietransformaties tijdens mechanische en elektromagnetische trillingen

Tijdens de oscillatieperiode wordt energie tweemaal omgezet van het ene type naar het andere en weer terug. De totale energie van het oscillerende circuit blijft, net als de totale energie van een mechanische oscillator, onveranderd als er geen dissipatie is. Om dit te verifiëren, moet u uitdrukking (6) en uitdrukking voor de stroom vervangen in formule (2)

Met behulp van formule (4) verkrijgen we

Rijst. 159. Grafieken van de afhankelijkheid van de energie van het elektrische veld van de condensator en de energie van het magnetische veld in de spoel op het tijdstip van opladen van de condensator

De constante totale energie valt samen met de potentiële energie op de momenten dat de lading op de condensator maximaal is, en valt samen met de energie van het magnetische veld van de spoel – de ‘kinetische’ energie – op de momenten dat de lading op de condensator te groot wordt. nul en de stroom is maximaal. Tijdens wederzijdse transformaties voeren twee soorten energie harmonische trillingen uit met dezelfde amplitude, uit fase met elkaar en met een frequentie ten opzichte van hun gemiddelde waarde. Dit is gemakkelijk te zien uit Fig. 158, en formules gebruiken voor goniometrische functies van een half argument:

Grafieken van de afhankelijkheid van de elektrische veldenergie en magnetische veldenergie van de oplaadtijd van de condensator worden getoond in Fig. 159 voor de beginfase

Kwantitatieve wetten van natuurlijke elektromagnetische trillingen kunnen rechtstreeks worden vastgesteld op basis van de wetten voor quasi-stationaire stromen, zonder toevlucht te nemen tot een analogie met mechanische trillingen.

Vergelijking voor oscillaties in een circuit. Laten we eens kijken naar het eenvoudigste oscillerende circuit getoond in Fig. 157. Als je bijvoorbeeld tegen de klok in door het circuit gaat, is de som van de spanningen op de inductor en de condensator in zo'n gesloten serieschakeling nul:

De spanning op de condensator houdt verband met de lading van de plaat en met de capaciteit. Met de relatie De spanning op de inductantie is op elk moment even groot en tegengesteld van teken aan de zelfinductieve emf, daarom is de stroom in de condensator circuit is gelijk aan de snelheid waarmee de lading van de condensator verandert: vervanging van de stroomsterkte in de uitdrukking voor de spanning op de inductor en aanduiding van de tweede afgeleide van de condensatorlading met betrekking tot de tijd

We verkrijgen nu dat expressie (10) de vorm heeft

Laten we deze vergelijking anders herschrijven, waarbij we per definitie het volgende introduceren:

Vergelijking (12) valt samen met de vergelijking van harmonische oscillaties van een mechanische oscillator met een natuurlijke frequentie. De oplossing voor een dergelijke vergelijking wordt gegeven door een harmonische (sinusvormige) tijdfunctie (6) met willekeurige waarden van de amplitude en initiële fase. A. Dit impliceert alle bovenstaande resultaten met betrekking tot elektromagnetische oscillaties in het circuit.

Verzwakking van elektromagnetische trillingen. Tot nu toe zijn natuurlijke trillingen in een geïdealiseerd mechanisch systeem en een geïdealiseerd LC-circuit besproken. De idealisering bestond uit het verwaarlozen van wrijving in de oscillator en elektrische weerstand in het circuit. Alleen in dit geval zal het systeem conservatief zijn en zal de oscillatie-energie behouden blijven.

Rijst. 160. Oscillerend circuit met weerstand

Met de dissipatie van oscillatie-energie in het circuit kan op dezelfde manier rekening worden gehouden als bij een mechanische oscillator met wrijving. De aanwezigheid van elektrische weerstand van de spoel en de verbindingsdraden gaat onvermijdelijk gepaard met het vrijkomen van Joule-warmte. Net als voorheen kan deze weerstand worden beschouwd als een onafhankelijk element in het elektrische circuit van het oscillerende circuit, gezien de spoel en de draden ideaal zijn (Fig. 160). Wanneer we een quasi-stationaire stroom in een dergelijk circuit overwegen, is het noodzakelijk om de spanning over de weerstand op te tellen bij vergelijking (10)

Vervanging krijgen we

Introductie van aanduidingen

we herschrijven vergelijking (14) in de vorm

Vergelijking (16) voor heeft precies dezelfde vorm als de vergelijking voor wanneer een mechanische oscillator oscilleert

wrijving evenredig met de snelheid (viskeuze wrijving). Daarom treden, in de aanwezigheid van elektrische weerstand in het circuit, elektromagnetische oscillaties op volgens dezelfde wet als de mechanische oscillaties van een oscillator met stroperige wrijving.

Dissipatie van trillingsenergie. Net als bij mechanische trillingen is het mogelijk om de wet van de afname van de energie van natuurlijke trillingen in de loop van de tijd vast te stellen door de wet van Joule-Lenz toe te passen om de vrijkomende warmte te berekenen:

Als gevolg hiervan blijkt, in het geval van een kleine verzwakking voor tijdsintervallen die veel groter zijn dan de oscillatieperiode, de mate van afname van de oscillatie-energie evenredig aan de energie zelf:

De oplossing van vergelijking (18) heeft de vorm

De energie van natuurlijke elektromagnetische trillingen in een circuit met weerstand neemt af volgens een exponentiële wet.

De energie van trillingen is evenredig met het kwadraat van hun amplitude. Voor elektromagnetische oscillaties volgt dit bijvoorbeeld uit (8). Daarom neemt de amplitude van gedempte oscillaties, in overeenstemming met (19), af volgens de wet

Levensduur van trillingen. Zoals uit (20) blijkt, neemt de amplitude van de oscillaties af met een factor tijd gelijk aan, ongeacht de initiële waarde van de amplitude. Deze tijd x wordt de levensduur van de oscillaties genoemd, hoewel, zoals te zien is vanaf (20) gaan de oscillaties formeel voor onbepaalde tijd door. In werkelijkheid is het natuurlijk alleen zinvol om over oscillaties te praten zolang hun amplitude de karakteristieke waarde van het niveau van thermische ruis in een bepaald circuit overschrijdt. Daarom ‘leven’ oscillaties in het circuit in feite gedurende een eindige tijd, die echter meerdere malen groter kan zijn dan de hierboven geïntroduceerde levensduur x.

Het is vaak belangrijk om niet de levensduur van oscillaties x zelf te kennen, maar het aantal volledige oscillaties dat gedurende deze tijd x in het circuit zal optreden. Dit getal vermenigvuldigd met wordt de circuitkwaliteitsfactor genoemd.

Strikt genomen zijn gedempte trillingen niet periodiek. Bij lage verzwakking kunnen we voorwaardelijk spreken van een periode, die wordt opgevat als het tijdsinterval tussen twee

opeenvolgende maximale waarden van de condensatorlading (dezelfde polariteit), of maximale stroomwaarden (één richting).

Demping van oscillaties heeft invloed op de periode, waardoor deze toeneemt in vergelijking met het geïdealiseerde geval van geen demping. Bij een lage demping is de toename van de oscillatieperiode zeer klein. Bij sterke verzwakking kunnen er echter helemaal geen oscillaties optreden: de geladen condensator zal aperiodisch ontladen, dat wil zeggen zonder de richting van de stroom in het circuit te veranderen. Dit zal gebeuren wanneer dat wil zeggen wanneer

Exacte oplossing. De hierboven geformuleerde patronen van gedempte oscillaties volgen uit de exacte oplossing van differentiaalvergelijking (16). Door directe vervanging kunnen we verifiëren dat het de vorm heeft

waar zijn willekeurige constanten, waarvan de waarden worden bepaald op basis van de beginvoorwaarden. Bij lage demping kan de cosinusvermenigvuldiger worden beschouwd als een langzaam variërende amplitude van trillingen.

Taak

Het opladen van condensatoren via een inductor. In het circuit, waarvan het diagram wordt getoond in Fig. 161 is de lading van de bovenste condensator gelijk en is de onderste niet opgeladen. Op dit moment is de sleutel gesloten. Zoek de afhankelijkheid van de oplaadtijd van de bovenste condensator en de stroom in de spoel.

Rijst. 161. Op het eerste moment is slechts één condensator opgeladen

Rijst. 162. Lading van condensatoren en stroom in het circuit na het sluiten van de sleutel

Rijst. 163. Mechanische analogie voor het elektrische circuit getoond in Fig. 162

Oplossing. Nadat de sleutel is gesloten, treden er oscillaties op in het circuit: de bovenste condensator begint zich door de spoel te ontladen, terwijl de onderste wordt opgeladen; dan gebeurt alles in de tegenovergestelde richting. Stel dat bijvoorbeeld de bovenste plaat van de condensator positief geladen is. Dan

na een korte tijd zullen de tekenen van de lading van de condensatorplaten en de richting van de stroom zijn zoals weergegeven in Fig. 162. Laten we dit aangeven met de ladingen van die platen van de bovenste en onderste condensatoren die via een inductor met elkaar zijn verbonden. Gebaseerd op de wet van behoud van elektrische lading

De som van de spanningen op alle elementen van de gesloten lus op elk moment is nul:

Het teken van de spanning op de condensator komt overeen met de ladingsverdeling in Fig. 162. en de aangegeven richting van de stroom. De uitdrukking voor de stroom door de spoel kan in twee vormen worden geschreven:

Laten we uit de vergelijking uitsluiten met behulp van relaties (22) en (24):

Introductie van aanduidingen

Laten we (25) herschrijven in de volgende vorm:

Als in plaats van de functie in te voeren

en houd er rekening mee dat dan (27) de vorm aanneemt

Dit is de gebruikelijke vergelijking van ongedempte harmonische oscillaties, die de oplossing heeft

waarbij en willekeurige constanten zijn.

Terugkomend op de functie verkrijgen we de volgende uitdrukking voor de afhankelijkheid van de oplaadtijd van de bovenste condensator:

Om de constanten en a te bepalen, houden we er rekening mee dat op het beginmoment de lading en stroom Voor de stroomsterkte uit (24) en (31) we hebben

Omdat hieruit volgt dat we nu vervangen en er rekening mee houden dat we krijgen

De uitdrukkingen voor lading en stroom hebben dus de vorm

De aard van ladings- en stroomoscillaties is vooral duidelijk wanneer de condensatorcapaciteiten hetzelfde zijn. In dit geval

De lading van de bovenste condensator oscilleert met een amplitude rond de gemiddelde waarde die gelijk is aan. Over de helft van de oscillatieperiode neemt deze af van de maximale waarde op het beginmoment naar nul, wanneer alle lading zich op de onderste condensator bevindt.

Uitdrukking (26) voor de oscillatiefrequentie zou natuurlijk meteen kunnen worden geschreven, omdat in het beschouwde circuit de condensatoren in serie zijn geschakeld. Het is echter moeilijk om uitdrukkingen (34) direct te schrijven, omdat het onder dergelijke initiële omstandigheden onmogelijk is om de condensatoren in de schakeling te vervangen door een gelijkwaardig exemplaar.

Een visuele weergave van de processen die hier plaatsvinden, wordt gegeven door de mechanische analoog van dit elektrische circuit, getoond in Fig. 163. Identieke veren komen overeen met het geval van condensatoren met dezelfde capaciteit. Op het eerste moment wordt de linkerveer samengedrukt, wat overeenkomt met een geladen condensator, en de rechter bevindt zich in een onvervormde staat, aangezien de analoog van de condensatorlading hier de mate van vervorming van de veer is. Bij het passeren van de middelste positie worden beide veren gedeeltelijk samengedrukt, en in de uiterst rechtse positie is de linkerveer onvervormd en wordt de rechter op het beginmoment op dezelfde manier samengedrukt als de linker, wat overeenkomt met de volledige stroom lading van de ene condensator naar de andere. Hoewel de bal normale harmonische oscillaties ondergaat rond zijn evenwichtspositie, wordt de vervorming van elk van de veren beschreven door een functie waarvan de gemiddelde waarde niet nul is.

In tegenstelling tot een oscillatiecircuit met één condensator, waarbij deze tijdens oscillaties herhaaldelijk wordt opgeladen, wordt in het beschouwde systeem de aanvankelijk geladen condensator niet volledig opgeladen. Bijvoorbeeld wanneer de lading wordt teruggebracht tot nul en vervolgens weer wordt hersteld naar dezelfde polariteit. Voor het overige verschillen deze oscillaties niet van harmonische oscillaties in een conventioneel circuit. De energie van deze trillingen blijft behouden, als uiteraard de weerstand van de spoel en de verbindingsdraden verwaarloosd kan worden.

Leg uit waarom uit een vergelijking van formules (1) en (2) voor mechanische en elektromagnetische energieën werd geconcludeerd dat het analogon van stijfheid k is en het analogon van massa inductantie is en niet andersom.

Geef een reden voor het afleiden van uitdrukking (4) voor de eigenfrequentie van elektromagnetische oscillaties in het circuit, naar analogie met een mechanische veeroscillator.

Harmonische oscillaties in een circuit worden gekenmerkt door amplitude, frequentie, periode, oscillatiefase en beginfase. Welke van deze grootheden worden bepaald door de eigenschappen van het oscillatiecircuit zelf, en welke zijn afhankelijk van de methode van excitatie van oscillaties?

Bewijs dat de gemiddelde waarden van elektrische en magnetische energie tijdens natuurlijke oscillaties in het circuit gelijk zijn aan elkaar en de helft uitmaken van de totale elektromagnetische energie van oscillaties.

Hoe kunnen we de wetten van quasi-stationaire verschijnselen in een elektrisch circuit toepassen om de differentiaalvergelijking (12) van harmonische oscillaties in het circuit af te leiden?

Aan welke differentiaalvergelijking voldoet de stroom in een LC-circuit?

Leid een vergelijking af voor de mate van afname van de oscillatie-energie bij lage demping op dezelfde manier als werd gedaan voor een mechanische oscillator met wrijving evenredig aan de snelheid, en laat zien dat voor tijdsintervallen die de oscillatieperiode aanzienlijk overschrijden, deze afname plaatsvindt volgens een exponentiële wet. Wat is de betekenis van de term “lage demping” die hier wordt gebruikt?

Laat zien dat de functie gegeven door formule (21) voldoet aan vergelijking (16) voor alle waarden van en a.

Beschouw het mechanische systeem getoond in Fig. 163, en vind de afhankelijkheid van het tijdstip van vervorming van de linkerveer en de snelheid van het massieve lichaam.

Een circuit zonder weerstand met onvermijdelijke verliezen. In het hierboven besproken probleem was het, ondanks de niet geheel gewone initiële voorwaarden voor ladingen op condensatoren, mogelijk om gewone vergelijkingen voor elektrische circuits toe te passen, omdat daar aan de voorwaarden voor quasi-stationaire processen werd voldaan. Maar in het circuit, waarvan het diagram wordt getoond in Fig. 164, met formele externe gelijkenis met het diagram in Fig. 162 wordt niet aan de quasi-stationaire voorwaarden voldaan als op het initiële moment één condensator wordt opgeladen en de tweede niet.

Laten we in meer detail de redenen bespreken waarom de voorwaarden van quasi-stationariteit hier worden geschonden. Direct na sluitingstijd

Rijst. 164. Elektrisch circuit waarvoor niet aan quasi-stationaire voorwaarden wordt voldaan

Belangrijk is dat alle processen alleen plaatsvinden in met elkaar verbonden condensatoren, omdat de toename van de stroom door de inductiespoel relatief langzaam plaatsvindt en in eerste instantie de aftakking van de stroom naar de spoel kan worden verwaarloosd.

Wanneer de sleutel gesloten is, treden er snel gedempte oscillaties op in een circuit dat bestaat uit condensatoren en de draden die deze verbinden. De periode van dergelijke oscillaties is erg kort, omdat de inductantie van de verbindingsdraden laag is. Als gevolg van deze oscillaties wordt de lading op de condensatorplaten herverdeeld, waarna de twee condensatoren als één kunnen worden beschouwd. Maar dit kan niet op het eerste moment worden gedaan, omdat er naast de herverdeling van ladingen ook een herverdeling van energie plaatsvindt, waarvan een deel in warmte verandert.

Nadat de snelle oscillaties zijn verdwenen, treden er oscillaties op in het systeem, zoals in een circuit met één condensator, waarvan de lading op het beginmoment gelijk is aan de initiële lading van de condensator. Voorwaarde voor de geldigheid van de bovenstaande redenering is de kleinheid van de inductie van de aansluitdraden vergeleken met de inductie van de spoel.

Net als bij het beschouwde probleem is het nuttig hier een mechanische analogie te vinden. Als er aan beide zijden van een massief lichaam twee veren waren die overeenkomen met condensatoren, dan zouden ze hier aan de ene kant ervan moeten worden geplaatst, zodat de trillingen van de ene naar de andere kunnen worden overgebracht wanneer het lichaam stilstaat. In plaats van twee veren kun je er één nemen, maar alleen op het eerste moment moet deze niet-uniform worden vervormd.

Laten we de veer bij het midden pakken en de linkerhelft ervan tot een bepaalde afstand uitstrekken. De tweede helft van de veer blijft in een onvervormde staat, zodat de belasting op het beginmoment over een afstand van de evenwichtspositie naar rechts wordt verplaatst. Onder de beginvoorwaarden van ons probleem, wanneer de helft van de veer over een afstand wordt uitgerekt, is de energiereserve gelijk aan , zoals gemakkelijk voor te stellen is, is de stijfheid van “de helft” van de veer gelijk aan Als de massa van de veer. de veer is klein vergeleken met de massa van de bal, de frequentie van natuurlijke trillingen van de veer als uitgebreid systeem is veel groter dan de frequentie van de trillingen van de bal op de veer. Deze ‘snelle’ oscillaties zullen uitsterven in een tijd die slechts een klein deel uitmaakt van de periode van de oscillaties van de bal. Nadat de snelle trillingen zijn afgenomen, wordt de spanning in de veer opnieuw verdeeld en blijft de verplaatsing van de last vrijwel gelijk, aangezien de last gedurende deze tijd geen tijd heeft om merkbaar te bewegen. De vervorming van de veer wordt uniform en de energie van het systeem is gelijk

De rol van snelle trillingen van de veer werd dus beperkt tot het feit dat de energiereserve van het systeem afnam tot de waarde die overeenkomt met de uniforme initiële vervorming van de veer. Het is duidelijk dat verdere processen in het systeem niet verschillen van het geval van uniforme initiële vervorming. De afhankelijkheid van de verplaatsing van de last in de tijd wordt uitgedrukt door dezelfde formule (36).

In het beschouwde voorbeeld werd als gevolg van snelle trillingen de helft van het aanvankelijke aanbod aan mechanische energie omgezet in interne energie (warmte). Het is duidelijk dat door niet de helft, maar een willekeurig deel van de veer aan initiële vervorming te onderwerpen, het mogelijk is om elk deel van de initiële hoeveelheid mechanische energie om te zetten in interne energie. Maar in alle gevallen komt de trillingsenergie van de belasting op de veer overeen met de energiereserve voor dezelfde uniforme initiële vervorming van de veer.

In een elektrisch circuit komt als gevolg van gedempte snelle trillingen de energie van een geladen condensator gedeeltelijk vrij in de vorm van Joule-warmte in de verbindingsdraden. Bij gelijke capaciteiten zal dit de helft van de initiële energiereserve zijn. De tweede helft blijft in de vorm van energie van relatief langzame elektromagnetische oscillaties in een circuit bestaande uit een spoel en twee parallel geschakelde condensatoren C, en

In dit systeem is idealisering, waarbij de dissipatie van oscillatie-energie wordt verwaarloosd, dus fundamenteel onaanvaardbaar. De reden hiervoor is dat snelle oscillaties mogelijk zijn zonder de inductor of het massieve lichaam in een soortgelijk mechanisch systeem te beïnvloeden.

Oscillerend circuit met niet-lineaire elementen. Bij het bestuderen van mechanische trillingen zagen we dat trillingen niet altijd harmonisch zijn. Harmonische oscillaties zijn een karakteristieke eigenschap van lineaire systemen waarin

de herstellende kracht is evenredig met de afwijking van de evenwichtspositie, en de potentiële energie is evenredig met het kwadraat van de afwijking. Echte mechanische systemen bezitten deze eigenschappen in de regel niet, en trillingen daarin kunnen alleen als harmonisch worden beschouwd bij kleine afwijkingen van de evenwichtspositie.

Bij elektromagnetische trillingen in een circuit kan men de indruk krijgen dat we te maken hebben met ideale systemen waarin de trillingen strikt harmonisch zijn. Dit geldt echter alleen zolang de capaciteit van de condensator en de inductantie van de spoel als constant kunnen worden beschouwd, dat wil zeggen onafhankelijk van lading en stroom. Een condensator met een diëlektricum en een spoel met een kern zijn strikt genomen niet-lineaire elementen. Wanneer een condensator gevuld is met een ferro-elektrisch materiaal, dat wil zeggen een stof waarvan de diëlektrische constante sterk afhangt van het aangelegde elektrische veld, kan de capaciteit van de condensator niet langer als constant worden beschouwd. Op dezelfde manier hangt de inductie van een spoel met een ferromagnetische kern af van de stroomsterkte, aangezien de ferromagneet de eigenschap van magnetische verzadiging heeft.

Als in mechanische oscillerende systemen de massa in de regel als constant kan worden beschouwd en niet-lineariteit alleen ontstaat als gevolg van de niet-lineaire aard van de werkende kracht, dan kan in een elektromagnetisch oscillerend circuit niet-lineariteit ontstaan ​​zowel als gevolg van een condensator (analoog aan een elastische veer ) en vanwege een inductor (analoog van massa).

Waarom is de idealisering waarin het systeem als conservatief wordt beschouwd niet van toepassing op een oscillatiecircuit met twee parallelle condensatoren (Fig. 164)?

Waarom leiden snelle oscillaties tot dissipatie van oscillatie-energie in het circuit in Fig. 164, kwam niet voor in een circuit met twee seriecondensatoren, getoond in Fig. 162?

Welke redenen kunnen leiden tot niet-sinusvormige elektromagnetische trillingen in het circuit?