Lineaire operatoren in Euclidische ruimtes.

In deze sectie zullen we laten zien hoe de definities en resultaten van de voorgaande secties van toepassing zijn op het geval van echte Euclidische ruimtes.

1. Algemene opmerkingen.

Beschouw een willekeurig-dimensionale reële Euclidische ruimte V en de operator A die in V werkt.

Het concept van een lineaire operator voor het geval van een echte lineaire ruimte is volledig analoog geformuleerd met het overeenkomstige concept voor een complexe ruimte.

Definitie 1. Een operator A wordt lineair genoemd als voor alle elementen van reële getallen a en P de gelijkheid is

In volledige analogie met de complexe ruimte wordt het concept van de eigenwaarde en eigenvector van een operator geïntroduceerd.

Het is belangrijk om dat op te merken eigenwaarden zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking van de operator.

De omgekeerde verklaring in het reële geval is alleen waar als de overeenkomstige wortel van de karakteristieke vergelijking reëel is. Alleen in dit geval zal de aangegeven wortel de eigenwaarde zijn van de lineaire operator in kwestie.

In dit opzicht is het normaal om een ​​klasse van lineaire operatoren in de echte Euclidische ruimte uit te lichten, waarvan alle wortels van de karakteristieke vergelijkingen reëel zijn.

In het hierboven bewezen Stelling 5.16 werd vastgesteld dat alle eigenwaarden van een zelfadjunct-operator reëel zijn. Bovendien speelde het concept van een zelfadjunct-operator belangrijke rol in de conclusies van § 6 van dit hoofdstuk over kwadratische vormen. Het is daarom logisch om het concept van een zelf-adjunct-operator uit te breiden naar het geval van een echte ruimte.

Laten we eerst het concept introduceren van een operator A die is geconjugeerd aan de operator A. Er wordt namelijk gezegd dat de operator A geconjugeerd is aan A als voor elke x en y uit V de gelijkheid

Stelling 5.12 over het bestaan ​​en de uniciteit van de conjugaatoperator kan zonder problemen worden overgedragen naar het geval van echte ruimte.

Bedenk dat het bewijs van Stelling 5.12 berust op het concept van een sesquilineaire vorm. In het echte geval zou u in plaats van de sesquilineaire vorm de bilineaire vorm moeten gebruiken

Bij deze gelegenheid is in paragraaf 2 § 4 hfst. 5 werd een overeenkomstige opmerking gemaakt.

Laten we in dit verband de definitie van een bilineaire vorm in herinnering brengen in elke reële, niet noodzakelijkerwijs Euclidische vorm lineaire ruimte Laat B een functie zijn die een reëel getal associeert met elk geordend paar vectoren

Definitie 2. Een functie wordt een bilineaire vorm genoemd, gedefinieerd als voor alle vectoren uit en elk reëel getal X aan de volgende relaties is voldaan:

Een belangrijke rol in deze sectie zal worden gespeeld door een speciale weergave van de bilineaire vorm in de vorm

waarbij A een lineaire operator is. De overeenkomstige stelling (Stelling 5.11) over een soortgelijke representatie van een sesquilineaire vorm in een complexe ruimte was gebaseerd op de conclusies van Lemma § 4 van dit hoofdstuk over een speciale representatie van een lineaire vorm. Aan het eind van deze paragraaf werd opgemerkt dat dit lemma ook geldt in de reële ruimte. We merken alleen op dat bij het bewijs van het lemma de keuze van de elementen niet volgens formule (5.41) moet worden gemaakt, maar met behulp van de formule waarbij de gegeven waarde is lineaire vorm in de echte ruimte.

In § 6 van dit hoofdstuk werden Hermitische vormen geïntroduceerd. Een Hermitische vorm is een sesquilineaire vorm in een complexe ruimte, gekenmerkt door de relatie (de balk boven B betekent dat de complexe conjugaat van B wordt genomen).

In het geval van de echte ruimte dienen symmetrische bilineaire vormen als een analoog van Hermitische vormen. Deze vorm wordt gekenmerkt door de verhouding

Een bilineaire vorm gedefinieerd op een lineaire ruimte wordt scheef-symmetrisch genoemd als voor alle vectoren uit de relatie wordt voldaan. Uiteraard voor elke bilineaire vorm van de functie

zijn respectievelijk symmetrische en scheef-symmetrische bilineaire vormen. Want dan krijgen we de volgende stelling:

Elke bilineaire vorm kan worden weergegeven als de som van een symmetrische en een scheef-symmetrische bilineaire vorm.

Het is gemakkelijk in te zien dat een dergelijke weergave uniek is.

We zullen de volgende stelling bewijzen op symmetrische bilineaire vormen (deze stelling dient als analoog van Stelling 5.25 op Hermitische vormen).

Stelling 5.33. Om een ​​bilineaire vorm gedefinieerd op alle mogelijke vectoren x en y van een echte Euclidische ruimte V symmetrisch te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de lineaire operator A die in representatie (5.113) verschijnt, zelfadjunct is.

Bewijs. Als A een zelfadjunct-operator is, verkrijgen we met behulp van de eigenschappen van het scalaire product

Er is dus voldaan aan relatie (5.114), dat wil zeggen dat de bilineaire vorm symmetrisch is.

Als de vorm symmetrisch is, zijn de relaties geldig

Daarom is operator A zelfadjunct. De stelling is bewezen.

Laten we het concept introduceren van een matrix van een lineaire operator A. Laten we een basis zijn in een -dimensionale reële lineaire ruimte. Laten we zeggen

Dan is het, net als in het complexe geval, niet moeilijk om aan te tonen dat als dan . De vectorcomponenten hebben de volgende weergave:

De matrix wordt in de basis de matrix van de lineaire operator A genoemd

Op dezelfde manier als in § 2 van dit hoofdstuk is gedaan, kan worden bewezen dat de hoeveelheid niet afhangt van de keuze van de basis en dat de determinant van de operator A dus correct is ingevoerd.

De karakteristieke vergelijking die overeenkomt met operator A is de vergelijking van de polynoom aan de linkerkant van deze vergelijking, de karakteristieke polynoom van operator A genoemd.

Laten we nu de stelling bewijzen over de wortels van de karakteristieke polynoom van een zelf-adjunct-operator in een echte Euclidische ruimte.

Stelling 5.34. Alle wortels van de karakteristieke polynoom van een zelf-adjuncte lineaire operator A in de Euclidische ruimte zijn reëel.

Bewijs. Laat de wortel zijn van de karakteristieke vergelijking

zelf-adjunct-operator A.

We leggen een basis vast in V en geven aan met - de elementen van de matrix van operator A in deze basis (merk op dat - reële getallen zijn).

We zullen zoeken naar een oplossing die niet nul is voor het volgende systeem van lineaire homogene vergelijkingen met betrekking tot

Omdat de determinant van systeem (5.116) gelijk is aan (bedenk dat de determinant van de matrix lineaire transformatie niet afhankelijk is van de keuze van de basis en volgens (5.115 is deze determinant gelijk aan nul), dan is het systeem (5.116) van homogene lineaire vergelijkingen heeft een oplossing die niet nul is

Door deze oplossing te vervangen door de rechter- en linkerkant van het systeem (5.116), daarmee rekening houdend en vervolgens de reële en imaginaire delen van de resulterende relaties te scheiden, ontdekken we dat de verzamelingen reële getallen voldoen aan volgende systeem vergelijkingen:

Beschouw in deze basis respectievelijk de vectoren x en y met coördinaten. Vervolgens kunnen relaties (5.117) in de vorm worden herschreven

Laten we de eerste van de verkregen relaties scalair vermenigvuldigen met y, en de tweede met x. Het is duidelijk dat we de gelijkheden krijgen

Omdat de operator A zelfadjunct is, verkrijgen we door het aftrekken van relaties (5.118) de gelijkheid

Maar (als de oplossing dus nul zou zijn, terwijl deze oplossing door de constructie niet nul is). Daarom is a sinds het denkbeeldige deel van de wortel van de karakteristieke vergelijking (5.115), en is het uiteraard een reëel getal. De stelling is bewezen.

Net als in het complexe geval is voor een zelfadjunct-operator het bestaan ​​van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren van deze operator waar (analoog aan Stelling 5.21). Laten we deze bewering bewijzen.

Stelling 5.35. Elke zelf-adjuncte lineaire operator A die in een n-dimensionale reële Euclidische ruimte V werkt, heeft een orthonormale basis van eigenvectoren.

Bewijs. Laat de reële eigenwaarde van de operator A zijn, en laat de eenheidseigenvector zijn die overeenkomt met deze eigenwaarde

Laten we met de -dimensionale deelruimte van de ruimte V, orthogonaal op Uiteraard - de invariante deelruimte van de ruimte V aanduiden (dat wil zeggen, als dan ). Laten we inderdaad, omdat de operator A zelfadjunct is - de eigenwaarde van A verkrijgen we

Les 13 (Fdz 14).

Orthogonale operatoren in de Euclidische ruimte.

Conjugaat en symmetrische lineaire operatoren in de Euclidische ruimte.

13.1. Orthogonale operator en zijn eigenschappen.

13.2. Geconjugeerde lineaire operator

13.3. Symmetrische (zelf-adjuncte) lineaire operator. Bestaan ​​en bepaling van een orthonormale eigenbasis van een symmetrische lineaire operator.

13.1. Een lineaire operator gedefinieerd in een Euclidische ruimte met een inproduct wordt genoemd orthogonale operator, als , waar .

De orthogonale operator verandert de lengtes van vectoren en de hoeken ertussen niet, d.w.z.

.

Op willekeurige basis ruimte

, (1)

waar is de matrix van de orthogonale operator, is de Gram-matrix, zijn de coördinaten van de vectoren in de basis . In het geval van een orthonormale basis wordt en gelijkheid (1) vervangen door gelijkheid

Bijgevolg heeft de orthogonale operator in elke orthonormale ruimtebasis een orthogonale matrix.

Voorbeeld 1. Beschouw een tweedimensionale Euclidische ruimte die alle vectoren in het Cartesische vlak bevat met het standaard puntproduct . Laat een lineaire operator zijn voor het roteren van vectoren rond de oorsprong gespecificeerde hoek. Bewijs dat dit een orthogonale operator is.

Vanuit geometrisch oogpunt is de orthogonaliteit van de gegeven operator duidelijk.

Laten we een rigoureus bewijs uitvoeren.

- eenheidsvectoren van assen. Deze vectoren vormen een standaard orthonormale basis van de ruimte, waaraan het standaard scalaire product is gekoppeld.

Laten we twee willekeurige vectoren bekijken.

Omdat , concluderen we: - orthogonale operator.

Laten we naast het bovenstaande bewijs ook de orthogonaliteit van de operatormatrix op orthonormale basis controleren. Uit formules (3), (2) vinden we

, - orthogonale matrix.

Voorbeeld 2 . We moeten uitzoeken of de operator een orthogonale operator is.

Laten we de gelijkheid controleren.

- Grammatrix in de basis.

Het is geen orthogonale operator.

13.2. Laat twee lineaire operatoren worden gegeven in de Euclidische ruimte met scalair product. De telefoniste wordt gebeld geconjugeerde operator exploitant als, waar .

Als zowel de matrices van een operator als de geconjugeerde operator ervan in de basis staan

Door de aangegeven verbinding tussen de matrices kan men de matrix vinden als de matrix bekend is, en omgekeerd, om de matrix te vinden als de matrix bekend is.

Op een orthonormale basis, waarbij gelijkheid (4) zal worden vervangen door gelijkheid .

Opgemerkt moet worden dat de geconjugeerde operator aan de operator dezelfde is als de operator. Daarom worden de operators gebeld onderling verweven.

Voorbeeld 3. Beschouw een tweedimensionale Euclidische ruimte met een scalair product in de basis. Laten we een lineaire operator zijn met een matrix als basis . We moeten de matrix van de geconjugeerde operator in een gegeven basis vinden. Controleer ook of de matrix van de operator geconjugeerd aan de operator samenvalt met de matrix van de operator.

- Grammatrix in de basis.

Uit matrixgelijkheid (5) leiden we af: .

Laten we nu zoeken naar de matrix van de operator. Volgens formule (5) leiden we af:

13.3. Laten we een lineaire operator zijn die in de Euclidische ruimte werkt met een scalair product. De telefoniste wordt gebeld zelf-adjunct of symmetrisch, als , waar .

If is de matrix van de operator in de basis space , en is dan de Gram-matrix van het scalaire product op deze basis

Op een orthonormale basis (waarin ) zal deze gelijkheid worden vervangen door de gelijkheid

Bijgevolg heeft een symmetrische operator op orthonormale basis een symmetrische matrix.

Belangrijke eigenschappen van de symmetrische operator worden als volgt vastgelegd: stelling .

Alle eigenwaarden van een symmetrische operator zijn reëel, en de eigenvectoren die overeenkomen met verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal.

Uit de eigenvectoren van een symmetrische operator kan men niet alleen een eigenbasis vormen, maar zelfs een orthonormale eigenbasis. Daarom is elke symmetrische operator een operator eenvoudig soort(zie les 7).

Voorbeeld 4. Vind een goede orthonormale basis voor een symmetrische operator die in de tweedimensionale Euclidische ruimte werkt als de operator een matrix in de orthonormale basis heeft .

1. Uit de karakteristieke vergelijking vinden we de eigenwaarden van de operator.

2. Laten we nu de eigenvectoren vinden.

Een eigenvector met een eigenwaarde.

Op orthonormale basis wordt het scalaire product gegeven door de formule

, Waar - coördinaten van vectoren in deze basis.

Orthogonale vectoren (wat consistent is met de conclusies van de bovenstaande stelling) - lineair onafhankelijk systeem. Omdat De Euclidische ruimte is tweedimensionaal, we komen tot de conclusie: - orthogonale eigenbasis.

Om een ​​orthonormale eigenbasis te verkrijgen, moet u de vectoren normaliseren.

Dus, - juiste basis van de symmetrische operator.

Voorbeeld 5. Vind een goede orthonormale basis voor een symmetrische operator die in de driedimensionale Euclidische ruimte werkt als de operator een matrix in de orthonormale basis heeft

.

Laten we de eigenwaarden en vinden eigenmatrices exploitant

Een eigenvector met een eigenwaarde.

Een eigenvector met een eigenwaarde.

Een eigenvector met een eigenwaarde.

De eigenvectoren komen overeen met verschillende eigenwaarden. Het is dus een orthogonaal systeem van vectoren en tegelijkertijd een goede orthogonale basis van de operator. Laten we, om onze eigen orthonormale basis te verkrijgen, de vectoren normaliseren.

Voorbeeld 6. Vind een goede orthonormale basis voor een symmetrische operator die in de driedimensionale Euclidische ruimte werkt als de operator een matrix in de orthonormale basis heeft.

Oplossing. Laten we de eigenwaarden en eigenmatrices van de operator vinden.

Omdat , en het drievoudige van vectoren in de basis

§ 5. Lineaire zelf-adjunct-operatoren
in de Euclidische ruimte .

1. Het concept van de conjugaatoperator. We zullen lineaire operatoren beschouwen in een eindig-dimensionale Euclidische ruimte V. Definitie 1. Van een operator A* uit L(V, V) wordt gezegd dat hij geconjugeerd is met de lineaire operator A als voor elke x en y uit V de relatie

(Bijl, y) = (x, A*y). (5,51)

Het is gemakkelijk te verifiëren dat de operator A*, geconjugeerd aan de lineaire operator A, zelf een lineaire operator is. Dit volgt uit de voor de hand liggende relatie

geldig voor alle elementen x, y 1, y 2 en alle complexe getallen α en β.

Laten we de volgende stelling bewijzen.

Stelling 5.12. Elke lineaire operator A heeft een unieke adjunct.

Bewijs. Het is duidelijk dat het scalaire product (Ax, y) een sesquilineaire vorm is (zie Hoofdstuk 4, § 3, paragraaf 1 en de definitie van een sesquilineaire vorm). Volgens Stelling 5.11 is er een unieke lineaire operator A* zodat deze vorm kan worden weergegeven in de vorm (x, A*y). Dus (Ax, y) = x, A*y.
Bijgevolg is de operator A* de conjugaat van de operator A. Het unieke karakter van de operator A* volgt uit de uniciteit van de representatie van een sesquilineaire operator in de vorm E.44). De stelling is bewezen.

In wat volgt zal het symbool A* de operator aanduiden die geconjugeerd is met operator A.
Laten we de volgende eigenschappen van geconjugeerde operatoren noteren:

De bewijzen van de 1°-4° eigenschappen zijn elementair en laten we aan de lezer over. Laten we een bewijs geven van de 5°-eigenschap. Volgens de definitie van het product van operatoren is de relatie (AB)x = A(Bx) geldig. Met behulp van deze gelijkheid en de definitie van de geconjugeerde operator verkrijgen we de volgende keten van relaties:

((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y) .

Dus ((AB)x, y) = (x, (B*A*)y). Met andere woorden: de operator B*A* is geconjugeerd aan de operator AB. De geldigheid van de 5°-eigenschap is vastgesteld.

Opmerking. Het concept van een geconjugeerde operator voor een reële ruimte wordt op een volledig vergelijkbare manier geïntroduceerd. De conclusies van dit punt en de eigenschappen van geconjugeerde operatoren gelden ook voor dit geval (in dit geval is eigenschap 3° als volgt geformuleerd: (λA)* = λA*).

2. Zelf-adjunct-operatoren. Basiseigenschappen.
Definitie 2. Een lineaire operator A uit L(V, V) wordt zelfadjunct genoemd als de gelijkheid

EEN* =EEN.

Een zelf-adjunct-operator in een echte ruimte wordt op dezelfde manier gedefinieerd.
Het eenvoudigste voorbeeld van een zelfadjunct-operator is de identiteitsoperator I (zie eigenschap 1° van adjoint-operatoren in de vorige paragraaf).
Met behulp van zelf-adjuncte operatoren kunt u een speciale representatie van willekeurige lineaire operatoren verkrijgen. De volgende bewering is namelijk waar.

Stelling 5.13. Laat A een lineaire operator zijn die in de complexe Euclidische ruimte V werkt. Dan de representatie EEN = EEN R + iA Ik, waar A R en A Ik ben zelf-adjunct-operatoren, respectievelijk de reële en imaginaire delen van operator A genoemd.

Bewijs. Volgens de eigenschappen van de geconjugeerde operatoren van 2°, 3° en 4° (zie de vorige paragraaf van deze paragraaf), zijn de operatoren A R = (A + A*)/2 en A I = (A - A*)/2i- zelf-adjunct.

Blijkbaar, EEN = EEN R + iA I De stelling is bewezen.

De volgende stelling verduidelijkt de voorwaarden voor de zelf-adjunctheid van een product van zelf-adjuncte operatoren. We zullen zeggen dat exploitanten A en B pendelen als AB = BA.

Stelling 5.14. Opdat het product AB van zelf-adjunct-operatoren A en B een zelf-adjoint-operator zou zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat zij pendelen.
Bewijs. Aangezien A en B zelf-adjuncte operatoren zijn, gelden, volgens de eigenschap van 5° geconjugeerde operatoren (zie paragraaf 1 van deze sectie), de volgende relaties:
(AB)* = B*A* = BA (5,52)

Daarom, als AB = BA, Dat ( AB)* = AB, d.w.z. operator AB is zelfadjunct. Als AB een zelfadjunct-operator is, dan AB = (AB)*, en vervolgens, gebaseerd op (5.52), AB = BA. De stelling is bewezen.
De volgende stellingen leggen een aantal belangrijke eigenschappen vast van zelfadjunct-operatoren.
Stelling 5.15. Als operator A zelfadjunct is, dan voor elke X ϵ V puntproduct (Ah, x)- reëel getal.
Bewijs. De geldigheid van de stelling volgt uit de volgende eigenschap van het scalaire product in de complexe Euclidische ruimte en definities van een zelfadjunct-operator (Houd er rekening mee dat als complex getal gelijk aan zijn conjugaat, dan
dit nummer is echt.)

Stelling 5.16. De eigenwaarden van een zelfadjunct-operator zijn reëel.
Bewijs. Laat λ de eigenwaarde zijn van de zelf-geadjuncteerde operator A. Volgens de definitie van de eigenwaarde van operator A (zie Definitie 2, Sectie 3 van dit hoofdstuk), bestaat er een vector x die niet nul is
zodat Ax = λx. Uit deze relatie volgt dat het reële (op grond van Stelling 5.15) scalaire product (Ax, x) kan worden weergegeven in de vorm 2)

( 2) Bedenk dat het symbool ||x|| geeft de norm van element x aan.)

Sinds ||x|| en (Ax, x) reëel zijn, dan is λ uiteraard een reëel getal. De stelling is bewezen.

De volgende stelling verduidelijkt de orthogonaliteitseigenschap van eigenvectoren van een zelfadjunct-operator.
Stelling 5.17. Als A een zelfadjunct-operator is, dan zijn de eigenvectoren die overeenkomen met verschillende eigenwaarden van deze operator orthogonaal.

Bewijs. Laat λ 1 en λ 2 verschillende eigenwaarden zijn (λ 1 ≠ λ 2) van de zelf-adjunct-operator A, en laat x 1 en x 2 de overeenkomstige eigenvectoren zijn. Dan gelden de relaties Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Daarom zijn de scalaire producten (Ax 1, x 2) en (x 1, Ax 2) respectievelijk gelijk aan de volgende uitdrukkingen 3):

3) Omdat de eigenwaarden van een zelfadjunct-operator reëel zijn

Omdat de operator A zelfadjunct is, zijn de scalaire producten (Ax 1, x 2) en (x 1, Ax 2) gelijk, en daarom verkrijgen we uit de laatste relaties door aftrekking de gelijkheid

Omdat λ 1 ≠ λ 2 volgt uit de laatste gelijkheid dat het scalaire product (x 1* x 2) gelijk is aan nul, d.w.z. orthogonaliteit van eigenvectoren x 1 en x 2 De stelling is bewezen.

3. Norm van een lineaire operator. Laat A een lineaire operator zijn die de Euclidische ruimte V in dezelfde ruimte in kaart brengt. Laten we het concept van de norm van operator A introduceren.
Definitie 3. De norm || A || lineaire operator A is het getal gedefinieerd door de relatie 1)

1) Laten we ons herinneren dat hieruit volgt dat dit vertegenwoordigt continue functie x, die op de gesloten verzameling ||x|| = 1 bereikt de uiteindelijke grootste waarde.

Uit de definitie van de norm van een lineaire operator volgt de volgende duidelijke ongelijkheid:

(Om het te bewijzen is het voldoende om de relatie Ax = te gebruiken

Uit relatie E.54) volgt dat als ||A|| = O, dan is operator A nul.

De norm van een zelfadjunct-operator A kan ook op een andere manier worden bepaald. De volgende bewering is namelijk waar:

Als A een zelfadjunct-operator is, dan is de hierboven geïntroduceerde norm ||A|| operator A is gelijk aan

Bewijs. Voor elke x uit V is de Cauchy-Bunyakovsky-ongelijkheid geldig (zie paragraaf 2, §3, hoofdstuk 4)

Hieruit en uit de ongelijkheid (5.54) verkrijgen we de volgende ongelijkheid:

Daarom het nummer

voldoet aan de relatie

Merk op dat van de gelijkheid

en de definitie van het getal μ (zie 5.56)) volgt de volgende ongelijkheid:

Laten we nu naar de volgende voor de hand liggende identiteit kijken:

(in deze identiteit duidt het symbool Re (Ax, y) het reële deel van het complexe getal aan (Ax, y); de identiteit zelf volgt gemakkelijk uit de eigenschappen van het scalaire product, zie paragraaf 1, §3, hoofdstuk 4). Links en rechts nemen
delen van deze identiteitsmodulo, met behulp van de eigenschap van de modulus van een som en ongelijkheid E.58), verkrijgen we de volgende relaties 1) :

1 ) We gebruikten de definitie van de norm van een element in de complexe Euclidische ruimte.

Dus voor ||x|| = ||j|| = 1 we krijgen de ongelijkheid

Aangenomen in deze ongelijkheid (uiteraard ||у|| = 1) en rekening houdend met het feit dat het getal (Ax, Ax) = ||Ax|| 2 is echt (zo krijgen we

Vanaf hier vinden we volgens ongelijkheid (5.53).

Om het bewijs te vervolledigen, moeten we de resulterende ongelijkheid nog vergelijken met ongelijkheid (5.57) en de definitie van het getal µ gebruiken (zie 5.56)).

4. Verdere eigenschappen van zelf-adjunct-operatoren. In deze sectie zullen we een aantal belangrijke eigenschappen van lineaire operatoren bewijzen die verband houden met het concept van norm. Ten eerste stellen we een noodzakelijke en voldoende voorwaarde vast voor de operator om zelfadjunct te zijn. Laten we de volgende stelling bewijzen.
Stelling 5.18. Om een ​​lineaire operator A zelf-adjunct te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat 2)

2 ) Het symbool Im (Ax, x) geeft het denkbeeldige deel van het complexe getal (Ax, x) aan. De gelijkheid Im (Ax, x) = 0 betekent dat het getal (Ax, x) reëel is.

Bewijs. Volgens Stelling 5.13 kan een willekeurige lineaire operator A worden weergegeven als

zelf-adjunct-operatoren. Dat is waarom

Bovendien zijn volgens Stelling 5.15 voor elke x de getallen en reëel. Bijgevolg zijn deze getallen respectievelijk gelijk aan de reële en imaginaire delen van het complexe getal (Ax, x):

Laten we aannemen dat A een zelfadjunct-operator is. Volgens Stelling 5.15 is in dit geval (Ax, x) een reëel getal,
en daarom is Im(Ax, x) = 0. De noodzaak van de voorwaarden van de stelling is bewezen.

Laten we de toereikendheid van de voorwaarden van de stelling bewijzen.

Laat Im(Ax, x) = (A I x, x) = 0. Hieruit volgt dat ||A I || = 0, d.w.z. A I = 0. Daarom A = AR, waarbij AR een zelf-adjunct-operator is.
De stelling is bewezen.
De volgende uitspraken verduidelijken enkele eigenschappen van de eigenwaarden van zelfadjunct-operatoren.

Lemma. Elke eigenwaarde X van een willekeurige lineaire zelf-adjunct-operator A in de Euclidische ruimte is gelijk aan het scalaire product (Ax, x), waarbij x een vector is, handig
voldoen aan de voorwaarde ||x|| = 1:

Bewijs. Omdat λ de eigenwaarde is van de operator A, bestaat er een vector z die niet nul is, zodat

Ervan uitgaande dat x = z/||z|| (uiteraard ||x|| = 1), herschrijven we 5.60) als volgt: Ax = λ x, ||x|| = 1. Vanaf hier verkrijgen we de relaties, d.w.z. 5.59) plaatsvindt. Het lemma is bewezen.
Gevolg. Laat A een zelfadjunct-operator zijn en λ een eigenwaarde van deze operator. Laat verder

De volgende ongelijkheden zijn geldig:

Opmerking 1. Omdat het scalaire product (Ax, x) een continue functie is van x, geldt voor de gesloten verzameling ||x|| = 1 deze functie is begrensd en bereikt de exacte randen m en M.
Opmerking 2. Volgens Stelling 5.16 zijn de eigenwaarden van een zelfadjunct-operator reëel. Daarom zijn ongelijkheden 5.62) zinvol.
Bewijs van het onderzoek. Omdat elke eigenwaarde λ voldoet aan relatie (5.59), bevindt elke eigenwaarde zich uiteraard tussen de exacte randen m en M van het scalaire product (Ax, x). Daarom zijn ongelijkheden (5.62) geldig.
We zullen bewijzen dat de getallen m en M gedefinieerd door relaties (5.61) respectievelijk de kleinste en grootste eigenwaarden zijn van de zelf-adjunct-operator A. Laten we eerst de geldigheid van de volgende bewering verifiëren.

Stelling 5.19. Laat A een zelfadjunct-operator zijn en bovendien (Ax, x) ≥ O voor elke x. Dan de norm ||A|| gelijk aan de grootste eigenwaarde van deze operator 1)

1 ) Omdat er een eindig aantal eigenwaarden is en deze reëel zijn, kan de grootste daarvan worden aangegeven.

Bewijs. We hebben dat al opgemerkt (zie de verklaring in de vorige paragraaf).

Aangezien (Ax, x) ≥ O, dan volgens opmerking 1 van deze paragraaf voor sommigen

Als we ons wenden tot de definitie van de norm en de zojuist geschreven gelijkheden gebruiken, verkrijgen we relaties 2)

Dit is dus, of anders, de eigenwaarde van de operator A. Het feit dat λ de grootste eigenwaarde is, volgt uit het zojuist vastgestelde uitvloeisel van het lemma van deze paragraaf. De stelling is bewezen.

Laten we nu bewijzen dat de getallen m en M (zie 5.61)) de kleinste en grootste eigenwaarden zijn van de zelfadjunct-operator A.

Stelling 5.20. Laat A een zelf-adjunct-operator zijn, en m en M zijn exacte vlakken (Ax, x) op de verzameling ||x|| = 1. Deze getallen vertegenwoordigen de kleinste en grootste eigenwaarden van operator A.
Bewijs. Het is uiteraard voldoende om te bewijzen dat de getallen m en M eigenwaarden zijn van de operator A. Dan volgt uit ongelijkheden 5.62) onmiddellijk dat m en M respectievelijk de kleinste en grootste eigenwaarden zijn.
Laten we eerst bewijzen dat M een eigenwaarde is. Om dit te doen, moet u rekening houden met de zelfadjunct-operator B = A - mI. Omdat

dan voldoet operator B aan de voorwaarden van Stelling 5.19, en dus aan de norm ||B|| van deze operator is gelijk aan de grootste eigenwaarde. Aan de andere kant,

(M - m) is dus de grootste eigenwaarde van de operator B. Bijgevolg bestaat er een vector x 0 die niet nul is, zodat

Omdat

Door deze uitdrukking Bx 0 te vervangen door de linkerkant van gelijkheid (5.63), verkrijgen we na eenvoudige transformaties de relatie Ax 0 = Mx 0 - M is dus de eigenwaarde van de operator A. Laten we er nu voor zorgen dat het getal M is ook een eigenwaarde van operator A.
Beschouw de zelf-adjunct-operator B = -A. Dat is duidelijk

Volgens het zojuist uitgevoerde bewijs is dat het geval M vertegenwoordigt de eigenwaarde van operator B. Omdat B = -A, zal m de eigenwaarde van operator A zijn. De stelling is bewezen.

De volgende stelling verduidelijkt een belangrijke eigenschap van de eigenvectoren van een zelfadjunct-operator.

Stelling 5.21. Voor elke zelf-geadjuncteerde lineaire operator A die inwerkt N -dimensionale Euclidische ruimte V, er is N lineair onafhankelijke paarsgewijze orthogonale en eenheidseigenvectoren.

Bewijs. Laten λ 1 - maximale eigenwaarde van de operator

Laten we met e 1 de eigenvector aangeven die overeenkomt met λ 1 en die voldoet aan de voorwaarde ||e 1 || = 1 (de mogelijkheid van zijn keuze volgt uit het bewijs van het lemma van deze sectie).
Laten we met V 1 (n - 1)-dimensionale deelruimte van de ruimte V aangeven, orthogonaal op e 1. Het is duidelijk dat V 1 een invariante deelruimte is van de operator A (dat wil zeggen: als x ϵ V 1, dan Ax ϵ V 1. Inderdaad , zij x ϵ V 1 (dat wil zeggen (x,e 1 =0). Dan 1)

1 ) We gebruikten de zelf-toegevoegde eigenschap van de operator (Ax, e 1 ) = (x, Ae 1 ) en het feit dat e 1 - eigenvector van de operator:

Daarom is Ax een element van V 1 , en daarom v 1 is de invariante deelruimte van operator A. Dit geeft ons het recht om operator A in de deelruimte V te beschouwen 1 . In deze deelruimte zal A een zelfadjunct-operator vertegenwoordigen. Er is dus een maximale eigenwaarde A2 van deze operator, die kan worden gevonden met behulp van de relatie 1 )

1 ) Het symbool geeft de orthogonaliteit van vectoren aan, e 1 en e 2

Bovendien kunt u een vector zo specificeren dat

Als we verder kijken naar de (n - 2)-dimensionale deelruimte V 2, orthogonaal op de vectoren e 1 en e 2, en de bovenstaande redenering herhalen, construeren we een eigenvector е з, ||е з || = 1, orthogonaal e 1 en e 2. Als we op dezelfde manier verder redeneren, zullen we achtereenvolgens n onderling orthogonale eigenvectoren e 1, e 2,..., e n vinden, die aan de voorwaarde voldoen
Opmerking 1. In de toekomst zullen we overeenkomen om de eigenwaarden van een zelfadjunct-operator in aflopende volgorde te nummeren, rekening houdend met herhalende, d.w.z. meerdere eigenwaarden. Tegelijkertijd

en de overeenkomstige eigenvectoren e 1, e 2,..., en kunnen als onderling orthogonaal worden beschouwd en voldoen aan de voorwaarde

Dus,

Opmerking 2. Uit de redenering in het bewijs van de stelling volgt dit

Deze relatie kan ook in de vorm worden geschreven

lineaire spanwijdte van vectoren e 1, e 2,..., e m. De geldigheid van de opmerking volgt uit het feit dat (x, x) = ||x|| 2 en daarom

waarbij de norm van het element x/||x|| gelijk aan 1.

Laten ∑ m is de verzameling van alle m-dimensionale deelruimten van de ruimte V. De volgende belangrijke minimax-eigenschap van eigenwaarden is waar.
Stelling 5.22. Laat A een zelfadjunct-operator zijn en zijn de eigenwaarden ervan, genummerd in de volgorde aangegeven in Opmerking 1. Dan

Beschouw een -dimensionale Euclidische ruimte. Laat een willekeurige lineaire operator in .

Definitie 10. Een lineaire operator wordt een getransponeerde operator genoemd voor de operator als voor alle vectoren en van:

. (106)

Het bestaan ​​en de uniciteit van een getransponeerde operator worden op precies dezelfde manier vastgesteld als in § 8 werd gedaan voor de geconjugeerde operator in een unitaire ruimte.

De getransponeerde operator heeft de volgende eigenschappen:

2. ,

3. ( – reëel getal),

Laten we een aantal definities introduceren.

Definitie 11. Een lineaire operator wordt normaal if genoemd

Definitie 12. Een lineaire operator wordt symmetrisch if genoemd

Definitie 13. Een symmetrische operator wordt niet-negatief genoemd als voor elke vector uit

Definitie 14. Een symmetrische operator wordt positief-definitief genoemd als voor elke vector uit

Definitie 15. Een lineaire operator wordt scheef-symmetrisch if genoemd

Een willekeurige lineaire operator kan altijd en ondubbelzinnig in de vorm worden weergegeven

waarbij is een symmetrische en een scheef-symmetrische operator.

Uit (107) volgt immers

Uit (107) en (108) volgt het volgende

. (109)

Omgekeerd bepalen formules (109) altijd de symmetrische operator en de scheef-symmetrische operator, waarvoor gelijkheid (107) geldt.

En ze worden de symmetrische en scheefsymmetrische componenten van de operator genoemd.

Definitie 16. Een operator wordt orthogonaal genoemd als hij de ruimtemetriek behoudt, d.w.z. als voor alle vectoren uit

. (110)

Gelijkheid (110) met het oog op (106) kan als volgt worden herschreven: . Hieruit volgt:

Omgekeerd impliceert (111) (110) (voor willekeurige vectoren). Uit (111) volgt: , d.w.z.

We noemen een orthogonale operator een operator van de eerste soort, if , en van de tweede soort, if .

Symmetrische, scheef-symmetrische en orthogonale operatoren zijn speciale typen van de normale operator.

Beschouw een willekeurige orthonormale basis in een gegeven Euclidische ruimte. Laat de lineaire operator in deze basis overeenkomen met een matrix (hier zijn het allemaal reële getallen). De lezer kan gemakkelijk aantonen dat de getransponeerde operator op dezelfde basis overeenkomt met de getransponeerde matrix , waar . Hieruit volgt dat op een orthonormale basis de normale operator overeenkomt met de normale matrix, de symmetrische operator correspondeert met de symmetrische matrix, de scheef-symmetrische operator correspondeert met de scheef-symmetrische matrix, en, ten slotte, de orthogonale operator overeenkomt met de orthogonale matrix. .

Vergelijkbaar met hoe het in § 8 werd gedaan voor de conjugaatoperator, wordt hier het volgende voorstel gedaan:

Als een deelruimte in invariant is onder de lineaire operator, dan is het orthogonale complement van in invariant onder de operator.

Om lineaire operatoren in de Euclidische ruimte te bestuderen, breiden we de Euclidische ruimte uit naar een unitaire ruimte. Deze uitbreiding voeren wij als volgt uit:

1. Vectoren uit worden echte vectoren genoemd.

2. Laten we “complexe” vectoren in overweging nemen, waarbij en echte vectoren zijn, d.w.z.

3. De bewerkingen van het optellen van complexe vectoren en het vermenigvuldigen met een complex getal worden op een natuurlijke manier gedefinieerd. Dan vormt de verzameling van alle complexe vectoren een -dimensionale vectorruimte over het veld van complexe getallen, die als onderdeel .

4. Een Hermitische metriek wordt in B geïntroduceerd, zodat deze samenvalt met de Euclidische metriek die daar aanwezig is. De lezer kan eenvoudig verifiëren dat de vereiste Hermitische metriek als volgt wordt gegeven:

Als en, dan

Ervan uitgaande dat en , zullen we hebben:

Als je een reële basis kiest, d.w.z. een basis in , dan zal het een verzameling zijn van alle vectoren met complex, a – met reële coördinaten in deze basis.

Elke lineaire operator breidt zich op unieke wijze uit tot een lineaire operator in:

.

Van alle lineaire operatoren in worden de operatoren die voortkomen uit een dergelijke uitbreiding van operatoren in gekenmerkt door het feit dat ze zich vertalen in . We zullen dergelijke operators echt noemen.

In een reële basis worden echte operatoren gedefinieerd door echte matrices, dat wil zeggen matrices met echte elementen.

De echte operator transformeert complexe geconjugeerde vectoren en opnieuw in complexe conjugaten

Voor een reële operator heeft de seculiere vergelijking reële coëfficiënten, dus je weet dat met een wortel van de e-multipliciteit, deze ook een wortel van de e-multipliciteit heeft. Het volgt: , dwz geconjugeerde karakteristieke getallen komen overeen met geconjugeerde eigenvectoren.

Een tweedimensionale deelruimte heeft een echte basis: . Het vlak met deze basis wordt het invariante vlak van de operator genoemd dat overeenkomt met een paar karakteristieke getallen. Laten .

Dan, zoals gemakkelijk te zien is,

Laten we een echte operator met een eenvoudige structuur met karakteristieke getallen bekijken:

waar zijn reële getallen, en .

Vervolgens kunnen de eigenvectoren die overeenkomen met deze karakteristieke getallen zo worden gekozen

.

vormen een basis in de Euclidische ruimte. Tegelijkertijd

(114)

In basis (113) komt de operator overeen met een echte quasi-diagonale matrix

. (115)

Voor elke operator met een eenvoudige structuur in de Euclidische ruimte is er dus een basis waarin de operator overeenkomt met een matrix van de vorm (115). Hieruit volgt dat elke echte matrix met een eenvoudige structuur echt vergelijkbaar is met een canonieke matrix van de vorm (115):

De getransponeerde operator voor in wordt na expansie de geconjugeerde operator voor in. Bijgevolg worden de normale, symmetrische, scheef-symmetrische, orthogonale operatoren in na expansie respectievelijk normaal, Hermitisch, vermenigvuldigd met Hermitische, unitaire reële operatoren in .

Het is gemakkelijk aan te tonen dat men voor een normale operator in de Euclidische ruimte een canonieke basis kan kiezen – een orthonormale basis (113), waarvoor gelijkheden (114) gelden. Daarom is een echte normale matrix altijd reëel en orthogonaal vergelijkbaar met een matrix van de vorm (115):

(117)

Voor een symmetrische operator in de Euclidische ruimte zijn alle karakteristieke getallen reëel, aangezien deze operator na expansie Hermitisch wordt. Voor een symmetrische operator in formules (114) moet men . Dan krijgen we:

Een symmetrische operator in de Euclidische ruimte heeft altijd een orthonormaal systeem van eigenvectoren met reële karakteristieke getallen. Daarom is een echte symmetrische matrix altijd reëel en orthogonaal vergelijkbaar met een diagonale matrix

Voor een scheef-symmetrische operator in de Euclidische ruimte zijn alle karakteristieke getallen puur imaginair (na expansie is deze operator gelijk aan het product van de Hermitische operator). Voor een scheef-symmetrische operator in formules (114) moeten we het volgende plaatsen:

waarna deze formules de vorm aannemen

(120)

Omdat het een normale operator is, kan basis (113) als orthonormaal worden beschouwd. Elke echte scheef-symmetrische matrix is ​​dus reëel en orthogonaal vergelijkbaar met de canonieke scheef-symmetrische matrix:

. (124)): van de gelijkheden evenwijdig aan de vector . We hebben de stelling van Euler-D'Alembert bewezen:

Willekeurige eindige beweging in de driedimensionale Euclidische ruimte is een spiraalvormige beweging rond een vaste as.