Matrixrijen A formulier lijnruimte R(A T).

Matrixkolommen A formulier kolom ruimte matrices en worden aangegeven met R(A).

Kernel- of nulruimte van een matrix

De verzameling van alle oplossingen voor de vergelijking Bijl=0, Waar Ben X N-matrix, X- lengtevector N- formulieren nulruimte of kern matrices A en wordt aangeduid met Ker(A) of N(A).

Tegengestelde matrix

Voor elke matrix A er is een tegengestelde matrix -A zodanig dat EEN+(-A)=0. Uiteraard als matrix -A je moet de matrix nemen (-1)A, waarvan de elementen verschillen van de elementen A bekend.

Scheef-symmetrische (scheef-symmetrische) matrix

Een vierkante matrix wordt scheefsymmetrisch genoemd als deze een factor −1 verschilt van de getransponeerde matrix:

In een scheef-symmetrische matrix verschillen twee elementen die symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal zijn geplaatst, van elkaar met een factor −1, en zijn de diagonale elementen gelijk aan nul.

Een voorbeeld van een scheef-symmetrische matrix:

Matrixverschil

Door verschil C twee matrixen A En B van dezelfde grootte wordt bepaald door de gelijkheid

Om het verschil tussen twee matrices aan te duiden, wordt de volgende notatie gebruikt:

Matrix-graad

Laten we een vierkante matrix van grootte hebben n×n. Vervolgens wordt de graad van de matrix als volgt gedefinieerd:

waarbij E de identiteitsmatrix is.

Uit de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging volgt:

Waar p,q- willekeurige niet-negatieve gehele getallen.

Symmetrische (Symetrische) matrix

Matrix die aan de voorwaarde voldoet A=EEN T wordt een symmetrische matrix genoemd.

Voor symmetrische matrices geldt de gelijkheid:

een ij = een ji; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Definitie 1. Matrix A-formaatM N is een rechthoekige tabel met m rijen en n kolommen, bestaande uit getallen of andere wiskundige uitdrukkingen (matrixelementen genoemd), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, of

Definitie 2. Twee matrixen
En
dezelfde maat worden genoemd gelijkwaardig, als ze element voor element samenvallen, d.w.z. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Met behulp van matrices is het gemakkelijk om bepaalde economische afhankelijkheden vast te leggen, bijvoorbeeld tabellen met de verdeling van hulpbronnen voor bepaalde sectoren van de economie.

Definitie 3. Als het aantal rijen van een matrix samenvalt met het aantal kolommen, d.w.z. m = n, dan wordt de matrix genoemd vierkante volgordeN, anders rechthoekig.

Definitie 4. De overgang van matrix A naar matrix A m, waarbij de rijen en kolommen worden verwisseld met behoud van de volgorde, wordt genoemd omzetting matrices.

Soorten matrices: vierkant (grootte 33) -
,

rechthoekig (maat 25) -
,

diagonaal -
, enkel -
, nul -
,

matrix-rij -
, matrixkolom -.

Definitie 5. Elementen van een vierkante matrix van orde n met dezelfde indices worden elementen van de hoofddiagonaal genoemd, d.w.z. dit zijn de elementen:
.

Definitie 6. Elementen van een vierkante matrix van orde n worden elementen van de secundaire diagonaal genoemd als de som van hun indices gelijk is aan n + 1, d.w.z. dit zijn de elementen: .

1.2. Bewerkingen op matrices.

1 0 . Hoeveelheid twee matrixen
En
van dezelfde grootte wordt een matrix C = (met ij) genoemd, waarvan de elementen worden bepaald door de gelijkheid met ij = a ij + bij ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Eigenschappen van de matrixoptelling.

Voor alle matrices A, B, C van dezelfde grootte gelden de volgende gelijkheden:

1) A + B = B + A (commutativiteit),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (associativiteit).

2 0 . Het werk matrices
per nummer  een matrix genoemd
dezelfde grootte als matrix A, en bij ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Eigenschappen van de bewerking van het vermenigvuldigen van een matrix met een getal.

(A) = ()A (associativiteit van vermenigvuldiging);

(A+B) = A+B (distributiviteit van vermenigvuldiging ten opzichte van matrixoptelling);

(+)A = A+A (distributie van vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van getallen).

Definitie 7. Lineaire combinatie van matrices
En
van dezelfde grootte wordt een uitdrukking van de vorm A+B genoemd, waarbij  en  willekeurige getallen zijn.

3 0 . Product A  In matrixen A en B, respectievelijk van grootte mn en nk, wordt een matrix C van grootte mk genoemd, zodat het element met ij gelijk is aan de som van de producten van de elementen van de i-de rij van matrix A en de j-de kolom van matrix B, d.w.z. met ij = a ik 1 b 1 j +a ik 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Het product AB bestaat alleen als het aantal kolommen van matrix A samenvalt met het aantal rijen van matrix B.

Eigenschappen van deg:

(AB)C = A(BC) (associativiteit);

(A+B)C = AC+BC (distributiviteit met betrekking tot matrixoptelling);

A(B+C) = AB+AC (distributiviteit met betrekking tot matrixoptelling);

AB  BA (niet commutatief).

Definitie 8. Matrices A en B, waarvoor AB = BA, worden woon-werkverkeer of woon-werkverkeer genoemd.

Het vermenigvuldigen van een vierkante matrix van welke orde dan ook met de overeenkomstige identiteitsmatrix verandert de matrix niet.

Definitie 9. Elementaire transformaties De volgende bewerkingen worden matrices genoemd:

Verwissel twee rijen (kolommen).

Elk element van een rij (kolom) vermenigvuldigen met een ander getal dan nul.

Aan de elementen van een rij (kolom) de overeenkomstige elementen van een andere rij (kolom) toevoegen.

Definitie 10. Matrix B verkregen uit matrix A met behulp van elementaire transformaties wordt genoemd equivalent(aangeduid met BA).

Voorbeeld 1.1. Zoek een lineaire combinatie van matrices 2A–3B als

,
.

,
,

.

Voorbeeld 1.2. Vind het product van matrices
, Als

.

Oplossing: aangezien het aantal kolommen van de eerste matrix samenvalt met het aantal rijen van de tweede matrix, bestaat er een product van matrices. Als gevolg hiervan verkrijgen we een nieuwe matrix
, Waar

Als resultaat krijgen we
.

Lezing 2. Determinanten. Berekening van determinanten van de tweede en derde orde. Eigenschappen van determinantenN-de bestelling.

Deze handleiding helpt u te leren hoe u moet optreden bewerkingen met matrixen: optellen (aftrekken) van matrices, transponeren van een matrix, vermenigvuldigen van matrices, vinden van de inverse matrix. Al het materiaal wordt in een eenvoudige en toegankelijke vorm gepresenteerd, er worden relevante voorbeelden gegeven, zodat zelfs een onvoorbereid persoon kan leren hoe hij acties met matrices moet uitvoeren.

Voor zelfcontrole en zelftesten kunt u gratis een matrixcalculator downloaden >>>. Ik zal proberen theoretische berekeningen te minimaliseren. Op sommige plaatsen zijn verklaringen ‘op de vingers’ en het gebruik van niet-wetenschappelijke termen mogelijk. Liefhebbers van solide theorie, laat u alstublieft niet in met kritiek, dat is onze taak.

bewerkingen leren uitvoeren met matrices Voor SUPER SNELLE voorbereiding op het onderwerp (wie staat “in brand”) is er een intensieve pdf-cursus

Matrix, bepalend en test! Een matrix is ​​een rechthoekige tafel van sommigen elementen Een matrix is ​​een rechthoekige tafel van sommigen. Als we zullen getallen beschouwen, dat wil zeggen numerieke matrices. ELEMENT

is een term. Het is raadzaam om de term te onthouden, deze zal vaak voorkomen, het is geen toeval dat ik een vetgedrukt lettertype heb gebruikt om deze te benadrukken. Aanduiding:

matrices worden meestal aangegeven met Latijnse hoofdletters Voorbeeld:

Beschouw een matrix van twee bij drie: Een matrix is ​​een rechthoekige tafel van sommigen:

Deze matrix bestaat uit zes

Alle getallen (elementen) binnen de matrix bestaan ​​op zichzelf, dat wil zeggen dat er geen sprake is van aftrekken:

Het is gewoon een tabel (set) met getallen! Wij zullen het ook eens zijn niet herschikken

nummers, tenzij anders vermeld in de toelichting. Elk nummer heeft zijn eigen locatie en kan niet worden geschud!

De betreffende matrix heeft twee rijen:

en drie kolommen: STANDAARD : als we het over matrixgroottes hebben, dan in eerste instantie

geef het aantal rijen aan, en pas daarna het aantal kolommen. We hebben zojuist de matrix van twee bij drie opgesplitst. Als het aantal rijen en kolommen van een matrix hetzelfde is, dan wordt de matrix aangeroepen vierkant , Bijvoorbeeld:

– een matrix van drie bij drie. Als een matrix één kolom of één rij heeft, worden dergelijke matrices ook wel genoemd.

In feite kennen we het concept van een matrix al sinds school; denk bijvoorbeeld aan een punt met de coördinaten “x” en “y”: . In wezen worden de coördinaten van een punt in een één-op-twee-matrix geschreven. Trouwens, hier is een voorbeeld van waarom de volgorde van de getallen ertoe doet: en het zijn twee totaal verschillende punten in het vlak.

Laten we nu verder gaan met studeren bewerkingen met matrixen:

1) Handeling één. Een min uit de matrix verwijderen (een min in de matrix introduceren).

Laten we terugkeren naar onze matrix . Zoals je waarschijnlijk hebt gemerkt, staan ​​er te veel negatieve getallen in deze matrix. Dit is erg lastig vanuit het oogpunt van het uitvoeren van verschillende acties met de matrix, het is lastig om zoveel minnen te schrijven, en het ziet er gewoon lelijk uit qua ontwerp.

Laten we de min buiten de matrix verplaatsen door het teken van ELK element van de matrix te veranderen:

Bij nul verandert, zoals u begrijpt, het teken niet; nul is ook nul in Afrika.

Omgekeerd voorbeeld: . Het ziet er lelijk uit.

Laten we een minteken in de matrix introduceren door het teken van ELK element van de matrix te veranderen:

Nou, het is veel leuker geworden. En, belangrijker nog, het zal GEMAKKELIJKER zijn om acties met de matrix uit te voeren. Omdat er zo'n wiskundig volksteken is: hoe meer minnen, hoe meer verwarring en fouten.

2) Akte twee. Een matrix vermenigvuldigen met een getal.

matrices worden meestal aangegeven met Latijnse hoofdletters

Het is eenvoudig, om een ​​matrix met een getal te vermenigvuldigen, heb je nodig elk matrixelement vermenigvuldigd met een bepaald getal. In dit geval - een drie.

Nog een handig voorbeeld:

– een matrix vermenigvuldigen met een breuk

Laten we eerst eens kijken wat we moeten doen GEEN BEHOEFTE:

Het is NIET NODIG om een ​​breuk in de matrix in te voeren. Ten eerste maakt dit verdere handelingen met de matrix alleen maar ingewikkelder, en ten tweede maakt het het moeilijk voor de leraar om de oplossing te controleren (vooral als dit het geval is); – eindantwoord van de taak).

En bovendien GEEN BEHOEFTE deel elk element van de matrix door min zeven:

Uit het artikel Wiskunde voor dummies of waar te beginnen, we herinneren ons dat ze in de hogere wiskunde op alle mogelijke manieren decimale breuken met komma's proberen te vermijden.

Het enige is bij voorkeur Wat u in dit voorbeeld moet doen, is een minteken aan de matrix toevoegen:

Maar als dat maar is ALLE matrixelementen werden gedeeld door 7 spoorloos, dan zou het mogelijk (en noodzakelijk!) zijn om te delen.

matrices worden meestal aangegeven met Latijnse hoofdletters

In dit geval kan dat MOET vermenigvuldig alle matrixelementen met , aangezien alle matrixgetallen deelbaar zijn door 2 spoorloos.

Let op: in de theorie van de wiskunde op de hogere school bestaat er geen concept van ‘verdeling’. In plaats van te zeggen ‘dit gedeeld door dat’, kun je altijd zeggen ‘dit vermenigvuldigd met een breuk’. Dat wil zeggen: delen is een speciaal geval van vermenigvuldigen.

3) Akte drie. Matrixtransponering.

Om een ​​matrix te transponeren, moet u de rijen ervan in de kolommen van de getransponeerde matrix schrijven.

matrices worden meestal aangegeven met Latijnse hoofdletters

Matrix transponeren

Er is hier maar één regel en volgens de regel moet deze in een kolom worden geschreven:

– getransponeerde matrix.

Een getransponeerde matrix wordt meestal rechtsboven aangegeven met een superscript of een priemgetal.

Stap voor stap voorbeeld:

Matrix transponeren

Eerst herschrijven we de eerste rij in de eerste kolom:

Vervolgens herschrijven we de tweede regel in de tweede kolom:

En ten slotte herschrijven we de derde rij in de derde kolom:

Klaar. Grof gezegd betekent transponeren het op zijn kant draaien van de matrix.

4) Akte vier. Som (verschil) van matrices.

De som van matrices is een eenvoudige bewerking.
NIET ALLE MATRICES KUNNEN WORDEN GEVOUWEN. Om het optellen (aftrekken) van matrices uit te voeren, is het noodzakelijk dat ze DEZELFDE GROOTTE hebben.

Als er bijvoorbeeld een twee-bij-twee-matrix is ​​gegeven, dan kan deze alleen worden opgeteld met een twee-bij-twee-matrix en geen andere!

matrices worden meestal aangegeven met Latijnse hoofdletters

Voeg matrices toe En

Om matrices toe te voegen, moet u de overeenkomstige elementen toevoegen:

Voor het verschil tussen matrices is de regel vergelijkbaar: het is noodzakelijk om het verschil tussen de overeenkomstige elementen te vinden.

matrices worden meestal aangegeven met Latijnse hoofdletters

Zoek matrixverschil ,

Hoe kun je dit voorbeeld gemakkelijker oplossen, zodat je niet in de war raakt? Het is raadzaam om onnodige minnen te verwijderen, voeg hiervoor een min toe aan de matrix:

Let op: in de theorie van de wiskunde op de hogere school bestaat er geen concept van ‘aftrekken’. In plaats van te zeggen ‘trek dit hiervan af’, kun je altijd zeggen ‘voeg hier een negatief getal aan toe’. Dat wil zeggen, aftrekken is een speciaal geval van optellen.

5) Akte vijf. Matrixvermenigvuldiging.

Welke matrices kunnen worden vermenigvuldigd?

Om een ​​matrix met een matrix te kunnen vermenigvuldigen, is dit noodzakelijk zodat het aantal matrixkolommen gelijk is aan het aantal matrixrijen.

matrices worden meestal aangegeven met Latijnse hoofdletters
Is het mogelijk om een ​​matrix te vermenigvuldigen met een matrix?

Dit betekent dat matrixgegevens kunnen worden vermenigvuldigd.

Maar als de matrices opnieuw worden gerangschikt, is vermenigvuldiging in dit geval niet langer mogelijk!

Daarom is vermenigvuldiging niet mogelijk:

Het is niet zo zeldzaam om taken met een truc tegen te komen, wanneer de student wordt gevraagd matrices te vermenigvuldigen, waarvan de vermenigvuldiging uiteraard onmogelijk is.

Opgemerkt moet worden dat het in sommige gevallen mogelijk is om matrices op beide manieren te vermenigvuldigen.
Voor matrices zijn bijvoorbeeld zowel vermenigvuldiging als vermenigvuldiging mogelijk

Tegenwoordig is het echt te gemakkelijk: je kunt naar een computer lopen en, met weinig tot geen kennis van wat je doet, met werkelijk verbazingwekkende snelheid intelligentie en onzin creëren. (J. Box)

Basisinformatie over matrices

In dit gedeelte bieden we de basisinformatie over matrices die nodig is om statistieken en gegevensanalyse te begrijpen.

MaatmatrixM X N (leest M op N) is een rechthoekige tabel met getallen die bevatM lijnen en N kolommen.

De getallen waaruit een matrix bestaat, worden matrixelementen genoemd.

Matrices worden aangegeven met hoofdletters van het Latijnse alfabet, bijvoorbeeld A, B, C,….

Om matrixelementen aan te duiden worden kleine letters met een dubbele index gebruikt, bijvoorbeeld: een ij , Waar i - lijnnummer, J- kolomnummer.

Bijvoorbeeld matrix:

In verkorte notatie duiden we aan EEN =( een ij) ; i=1,2,…m; j =1,2,…,n

Hier is een voorbeeld van een 2 bij 2-matrix:

Je ziet dat A 11 = 1, een 12 = 0, een 21 = 2, een 22 =5

Naast haakjes worden ook andere matrixnotaties gebruikt:

Er worden twee matrices A en B van dezelfde grootte genoemd gelijkwaardig, als ze element voor element samenvallen, een ij = bij voor wie dan ook i=1,2,…m; j =1,2,…n

Soorten matrices

Een matrix die uit één rij bestaat, wordt een matrix (vector) - rij genoemd, en een matrix die uit één kolom bestaat, wordt een matrix (vector) - kolom genoemd:

A =(een 11 ,een 12 ,…,een 1n) - matrix-rij

De matrix wordt vierkant genoemd N-de orde als het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen en gelijk is aan N.

Bijvoorbeeld,

Matrix-elementen een ij , waarvan het kolomnummer gelijk aan regelnummer formulier hoofddiagonaal matrices. Bij een vierkante matrix wordt de hoofddiagonaal gevormd door de elementen een 11 , een 22 ,…, ann.

Als alle niet-diagonale elementen van een vierkante matrix gelijk zijn aan nul, wordt de matrix aangeroepen diagonaal.

Bewerkingen op matrices

Er kunnen een aantal bewerkingen worden uitgevoerd op matrices, maar ook op getallen. Sommige daarvan lijken op bewerkingen op getallen, en andere zijn specifiek.

1. Een matrix vermenigvuldigen met een getal. Het product van matrix A en een getal wordt matrix B=A genoemd, waarvan de elementen bijj =eenij Voor ik=1,2,…m; j=1,2,…n

Gevolg: de gemeenschappelijke factor van alle matrixelementen kan uit het matrixteken worden gehaald.

In het bijzonder is het product van matrix A en het getal 0 de nulmatrix.

2. Toevoeging van matrices. De som van twee matrices A en B van dezelfde grootte m is de matrix C=A+B, waarvan de elementen c ij =a ij+bij Voor ik=1,2,…m; j=1,2,…n(dat wil zeggen dat de matrices element voor element worden toegevoegd).

3. Aftrekken van matrices. Het verschil tussen twee matrices van dezelfde grootte wordt bepaald door de voorgaande bewerkingen: A -B =A +(-1)∙B.

4. Matrixvermenigvuldiging. Vermenigvuldiging van matrix A met matrix B wordt gedefinieerd wanneer het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede. Dan is het product van matrices A m ∙B k een matrix C m, waarvan elk element cij gelijk is aan de som van de producten van de elementen van de i-de rij van matrix A door de overeenkomstige elementen van de j-de kolom van matrix B:

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Veel eigenschappen die inherent zijn aan bewerkingen op getallen gelden ook voor bewerkingen op matrices (zoals volgt uit deze bewerkingen):

A+B=B+A

(A+B)+C=A +(B+C)

λ (A+B)= λA + λB

A( B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA )B=A(λB )

A( BC)=(AB)C

Er zijn echter ook specifieke eigenschappen van matrices. De werking van matrixvermenigvuldiging vertoont dus enkele verschillen met getalvermenigvuldiging:

a) Als AB bestaat, bestaat het product van matrices BA mogelijk niet, na het herschikken van de factoren.