Voorbeelden van vermenigvuldigende matrices met verschillende formaten. Wiskunde voor dummies

We zullen constant onbekenden "uitsluiten". Om dit te doen, laat u de eerste vergelijking van het systeem ongewijzigd en transformeert u de tweede en derde:

1) aan de tweede vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met –2, en brengen deze naar de vorm –3 x 2 –2x 3 = –2;

2) aan de derde vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met - 4, en brengen deze naar de vorm –3 x 2 – 4x 3 = 2.

Als gevolg hiervan wordt het onbekende uitgesloten van de tweede en derde vergelijking x 1 en het systeem zal de vorm aannemen

We vermenigvuldigen de tweede en derde vergelijking van het systeem met –1, we krijgen

Coëfficiënt 1 in de eerste vergelijking voor de eerste onbekende x 1 wordt genoemd leidend element eerste stap eliminatie.

Bij de tweede stap blijven de eerste en tweede vergelijking ongewijzigd en wordt dezelfde methode voor het elimineren van de variabele toegepast op de derde vergelijking x 2 . Leidend element de tweede stap is de coëfficiënt 3. Bij de derde vergelijking voegen we de tweede toe, vermenigvuldigd met –1, waarna het systeem wordt getransformeerd naar de vorm

(1.2)

Het proces van het reduceren van systeem (1.1) naar de vorm (1.2) wordt direct genoemd het verloop van de methode Gauss.

De procedure voor het oplossen van systeem (1.2) wordt aangeroepen omgekeerde. Uit de laatste vergelijking die we verkrijgen x 3 \u003d -2. Door deze waarde in de tweede vergelijking te vervangen, krijgen we x 2 \u003d 2. Daarna geeft de eerste vergelijking x 1 \u003d 1. Dus, is een oplossing van systeem (1.1).

Matrix concept

Overweeg de hoeveelheden die in systeem (1.1) zijn opgenomen. De reeks van negen numerieke coëfficiënten vóór de onbekenden in de vergelijkingen vormt een tabel met gebelde nummers matrix:

De nummers in de tabel worden gebeld elementen matrices. De elementen vormen zich rijen en kolommen matrices. Het aantal rijen en het aantal kolommen dimensie matrices. Matrix EENheeft een afmeting van 3´3 ("drie bij drie"), waarbij het eerste getal het aantal rijen aangeeft en het tweede het aantal kolommen. Vaak wordt een matrix aangeduid met de afmeting A (3 ´ 3). Sinds het aantal rijen en kolommen in de matrix EEN hetzelfde, wordt de matrix genoemd vierkant. Het aantal rijen (en kolommen) in een vierkante matrix wordt its genoemd ordelijk, dus EEN- Matrix derde orde.

De rechterkant van de vergelijkingen vormen ook een tabel met getallen, d.w.z. Matrix:

Elke rij van deze matrix wordt daarom gevormd door een enkel element B (3 ´ 1) wordt aangeroepen kolom-matrix, zijn afmeting is 3´1. Een reeks onbekenden kan ook worden gezien als een kolommatrix:

Een vierkante matrix vermenigvuldigen met een kolommatrix

Met matrices kunnen verschillende bewerkingen worden uitgevoerd, die later in detail zullen worden besproken. Hier analyseren we alleen de regel voor het vermenigvuldigen van een vierkante matrix met een kolommatrix. Door definitie, het resultaat van matrixvermenigvuldiging EEN (3 ´ 3) per kolom IN (3 ´ 1) is de kolom D (3 ´ 1), waarvan de elementen gelijk zijn aan de som van de producten van de elementen van de rijen van de matrix EENop kolomelementen IN:

2)tweede kolomelement Dis gelijk aan de som van producten van elementen tweede matrix rijen EEN op kolomelementen IN:

Het is te zien aan de bovenstaande formules die de matrix vermenigvuldigen met de kolom IN is alleen mogelijk als het aantal matrixkolommen EEN is gelijk aan het aantal elementen in de kolom IN.

Beschouw nog twee numerieke voorbeelden van matrixvermenigvuldiging (3 ´3) per kolom (3 ´1):

Voorbeeld 1.1

AB =
.

Voorbeeld 1.2

AB= .

1e jaar, hogere wiskunde, we studeren matrices en basishandelingen op hen. Hier systematiseren we de belangrijkste bewerkingen die kunnen worden uitgevoerd met matrices. Waar maak je kennis met matrices? Natuurlijk, van de eenvoudigste dingen - definities, basisconcepten en eenvoudigste bewerkingen. We verzekeren u dat de matrices zullen worden begrepen door iedereen die er tenminste wat tijd aan besteedt!

Definitie van een matrix

Matrix Is een rechthoekige tafel met elementen. Nou, in eenvoudige bewoordingen - een tabel met getallen.

Meestal worden matrices aangegeven met Latijnse hoofdletters. Bijvoorbeeld de matrix EEN , Matrix B enzovoort. Matrices kunnen verschillende grootten hebben: rechthoekig, vierkant, er zijn ook rijmatrices en kolommatrices, vectoren genoemd. De grootte van de matrix wordt bepaald door het aantal rijen en kolommen. Laten we bijvoorbeeld een rechthoekige matrix met grootte schrijven m Aan n waar m - het aantal regels, en n - het aantal kolommen.

Elementen waarvoor ik \u003d j (a11, a22, .. ) vormen de hoofddiagonaal van de matrix en worden diagonaal genoemd.

Wat kunt u doen met matrices? Optellen / aftrekken, vermenigvuldigen met een getal, vermenigvuldigen zich onder elkaar, transponeren... Nu ongeveer al deze basisbewerkingen op matrices op volgorde.

Matrix optellen en aftrekken operaties

We waarschuwen je meteen dat je alleen matrices van dezelfde grootte kunt toevoegen. Het resultaat is een matrix van dezelfde grootte. Matrices optellen (of aftrekken) is eenvoudig - voeg gewoon hun respectievelijke elementen toe ... Laten we een voorbeeld geven. Laten we twee matrices A en B in maat twee bij twee optellen.

Aftrekken wordt naar analogie uitgevoerd, alleen met het tegenovergestelde teken.

Elke matrix kan worden vermenigvuldigd met een willekeurig getal. Om dit te doen, je moet elk van de elementen met dit getal vermenigvuldigen. Laten we bijvoorbeeld de matrix A uit het eerste voorbeeld vermenigvuldigen met het getal 5:

Matrixvermenigvuldiging

Niet alle matrices kunnen onderling worden vermenigvuldigd. We hebben bijvoorbeeld twee matrices - A en B.Ze kunnen alleen met elkaar worden vermenigvuldigd als het aantal kolommen van matrix A gelijk is aan het aantal rijen van matrix B. In dit geval elk element van de resulterende matrix, staande in de i-de rij en j-de kolom, zal gelijk zijn aan de som van de producten van de overeenkomstige elementen in de i-de rij van de eerste factor en de j-de kolom van de tweede... Laten we, om dit algoritme te begrijpen, opschrijven hoe twee vierkante matrices worden vermenigvuldigd:

En een voorbeeld met echte cijfers. Laten we matrices vermenigvuldigen:

Matrix transponeren

Matrixtransponering is een bewerking waarbij de overeenkomstige rijen en kolommen worden verwisseld. Laten we bijvoorbeeld de matrix A uit het eerste voorbeeld transponeren:

Matrixdeterminant

Determinant, maar determinant is een van de basisconcepten van lineaire algebra. Ooit vonden mensen lineaire vergelijkingen uit, en daarachter moesten ze een determinant verzinnen. Hierdoor heb je met dit alles te maken, de laatste spurt dus!

Een determinant is een numeriek kenmerk van een vierkante matrix, dat nodig is om veel problemen op te lossen.
Om de determinant van de eenvoudigste vierkante matrix te berekenen, moet u het verschil berekenen tussen de producten van de elementen van de hoofd- en secundaire diagonalen.

De determinant van een matrix van de eerste orde, dat wil zeggen bestaande uit één element, is gelijk aan dit element.

Wat als de matrix drie bij drie is? Dit is ingewikkelder, maar u kunt het aan.

Voor een dergelijke matrix is \u200b\u200bde waarde van de determinant gelijk aan de som van de producten van de elementen van de hoofddiagonaal en de producten van elementen die op driehoeken liggen met een rand evenwijdig aan de hoofddiagonaal, waarvan het product van de elementen van de secundaire diagonaal en het product van de elementen die op de driehoeken liggen met een vlak van de parallelle secundaire diagonaal worden afgetrokken.

Gelukkig is het in de praktijk zelden nodig om determinanten van grote matrices te berekenen.

Hier hebben we de basisbewerkingen op matrices behandeld. Natuurlijk kom je in het echte leven misschien nooit een hint van een matrixsysteem van vergelijkingen tegen, of vice versa - om veel moeilijkere gevallen onder ogen te zien waarin je echt je hoofd moet breken. Voor dergelijke gevallen is er een professionele studentenservice. Vraag om hulp, ontvang een hoogwaardige en gedetailleerde oplossing, geniet van je academische succes en vrije tijd.

Toevoeging van matrices:

Aftrekken en optellen van matrices wordt teruggebracht tot de overeenkomstige bewerkingen op hun elementen. Matrix-optelbewerking alleen geïntroduceerd voor matrices dezelfde maat, d.w.z. voor matrices, die respectievelijk het aantal rijen en kolommen hebben. Som van matrices A en B worden genoemd matrix C, waarvan de elementen gelijk zijn aan de som van de overeenkomstige elementen. С \u003d А + В c ij \u003d een ij + b ij verschil in matrices.

Een matrix vermenigvuldigen met een getal:

Matrixvermenigvuldiging (delen) elke grootte door een willekeurig getal wordt gereduceerd tot het vermenigvuldigen (delen) van elk element matrices door dat aantal. Het product van de matrix En het nummer k wordt gebeld matrix B, zodanig dat

b ij \u003d k × een ij. В \u003d k × A b ij \u003d k × een ij. Matrix - A \u003d (-1) × A wordt het tegenovergestelde genoemd matrix EEN.

Eigenschappen voor matrixoptelling en matrixvermenigvuldiging:

Matrix-optelbewerkingen en matrix vermenigvuldiging op een getal hebben de volgende eigenschappen: 1. A + B \u003d B + A; 2. A + (B + C) \u003d (A + B) + C; 3. A + 0 \u003d A; 4. A - A \u003d 0; 5,1 x A \u003d A; 6. α × (A + B) \u003d αA + αB; 7. (α + β) × A \u003d αA + βA; 8. α × (βA) \u003d (αβ) × A; , waarbij А, В en С matrices zijn, α en β getallen.

Matrixvermenigvuldiging (Matrixproduct):

De bewerking van het vermenigvuldigen van twee matrices wordt alleen ingevoerd voor het geval wanneer het aantal kolommen van de eerste matrices gelijk aan het aantal regels van de tweede matrices. Het product van de matrix En m × n aan matrix In n × p, wordt genoemd matrix Met m × p zodanig dat met ik \u003d a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk, d.w.z. bepaal de som van de producten van de elementen van de i-de rij matrices En op de overeenkomstige elementen van de j-de kolom matrices B. Als matrices A en B zijn vierkant van dezelfde grootte, dan bestaan \u200b\u200bde producten AB en BA altijd. Het is gemakkelijk aan te tonen dat A × E \u003d E × A \u003d A, waarbij A vierkant is matrix, E - eenheid matrix dezelfde grootte.

Eigenschappen van matrixvermenigvuldiging:

Matrix vermenigvuldiging niet commutatief, d.w.z. AB ≠ BA zelfs als beide werken zijn gedefinieerd. Echter, indien van toepassing matrices aan de verhouding AB \u003d BA is voldaan, dan is dat zo matrices worden permutationeel genoemd. Het meest typische voorbeeld is een single matrixdie permuteerbaar is met elk ander matrix dezelfde grootte. Permutatie kan alleen vierkant zijn matrices van dezelfde volgorde. EEN × E \u003d E × A \u003d EEN

Matrix vermenigvuldiging heeft de volgende eigenschappen: 1. A × (B × C) \u003d (A × B) × C; 2. A × (B + C) \u003d AB + AC; 3. (A + B) x C \u003d AC + BC; 4. α × (AB) \u003d (αA) × B; 5. A x 0 \u003d 0; 0 × A \u003d 0; 6. (AB) T \u003d B T A T; 7. (ABC) T \u003d C T B T A T; 8. (A + B) T \u003d EEN T + B T;

2. Determinanten van de 2e en 3e orde. Bepalende eigenschappen.

De determinant van de matrix tweede orde, of bepalend tweede orde, is een getal dat wordt berekend met de formule:

De determinant van de matrix derde orde, of bepalend van de derde orde, wordt een nummer genoemd, dat wordt berekend met de formule:

Dit getal vertegenwoordigt de algebraïsche som van zes termen. Elke term bevat precies één element uit elke rij en elke kolom matrices... Elke term bestaat uit een product van drie factoren.

Tekenen met welke leden determinant van matrix zijn opgenomen in de formule het vinden van de determinant van de matrix de derde orde kan worden bepaald met behulp van het bovenstaande schema, dat de regel van driehoeken of de regel van Sarrus wordt genoemd. De eerste drie termen worden genomen met een plusteken en worden bepaald op basis van de linkerfiguur, en de volgende drie termen worden genomen met een minteken en worden bepaald op basis van de rechterfiguur.

Bepaal het aantal termen dat moet worden gevonden determinant van matrix, in de algebraïsche som, kun je de faculteit berekenen: 2! \u003d 1 × 2 \u003d 2 3! \u003d 1 × 2 × 3 \u003d 6

Eigenschappen van matrixdeterminanten

Eigenschappen van matrixdeterminanten:

Eigenschap # 1:

Matrixdeterminant verandert niet als de rijen worden vervangen door kolommen, elke rij met een kolom met hetzelfde nummer en vice versa (Transpose). | A | \u003d | A | T

Gevolg:

Kolommen en rijen determinant van matrix zijn gelijk, daarom wordt aan de eigenschappen die inherent zijn aan rijen voldaan voor kolommen.

Eigenschap # 2:

Bij het verwisselen van 2 rijen of kolommen determinant van een matrix zal het teken omkeren terwijl de absolute waarde behouden blijft, d.w.z.:

Eigenschap # 3:

Matrixdeterminantmet twee identieke rijen is nul.

Woning # 4:

Gemeenschappelijke factor van elementen van een rij determinant van matrix kan uit het merkteken worden gehaald bepalend.

Gevolgen van eigenschappen # 3 en # 4:

Als alle elementen van een bepaalde rij (rij of kolom) evenredig zijn met de overeenkomstige elementen van een parallelle rij, dan is dat zo determinant van een matrix is nul.

Woning # 5:

determinant van matrix gelijk aan nul, dan zichzelf determinant van een matrix is nul.

Woning # 6:

Als alle elementen van een rij of kolom bepalend worden weergegeven als een som van 2 termen, dan bepalend matrices kan worden weergegeven als de som van 2 determinanten volgens de formule:

Woning # 7:

If naar een rij (of kolom) bepalend voeg de overeenkomstige elementen van een andere rij (of kolom) toe, vermenigvuldigd met hetzelfde getal, en vervolgens determinant van een matrix verandert de grootte niet.

Een voorbeeld van het toepassen van eigenschappen voor berekening determinant van matrix:

Daarom hebben we in de vorige les de regels besproken voor het optellen en aftrekken van matrices. Dit zijn zulke eenvoudige bewerkingen dat de meeste studenten ze letterlijk meteen begrijpen.

Je verheugt je echter vroeg. De freebie is voorbij - laten we verder gaan met vermenigvuldigen. Ik waarschuw je meteen: twee matrices vermenigvuldigen is helemaal niet de getallen in cellen met dezelfde coördinaten vermenigvuldigen, zoals je misschien denkt. Alles is hier veel leuker. En je moet beginnen met de voorlopige definities.

Consistente matrices

Een van de belangrijkste kenmerken van een matrix is \u200b\u200bde grootte. We hebben het hier al honderd keer over gehad: de notatie $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ betekent dat de matrix precies $ m $ rijen en $ n $ kolommen bevat. We hebben al besproken hoe je rijen met kolommen niet kunt verwarren. Nu is er iets anders belangrijk.

Definitie. Matrices met de vorm $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ en $ B \u003d \\ left [n \\ times k \\ right] $, waarin het aantal kolommen in de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen in de tweede, worden consistent genoemd.

Nogmaals: het aantal kolommen in de eerste matrix is \u200b\u200bgelijk aan het aantal rijen in de tweede! Vanaf hier trekken we twee conclusies tegelijk:

1. De volgorde van de matrices is belangrijk voor ons. Matrices $ A \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $ en $ B \u003d \\ left [2 \\ times 5 \\ right] $ zijn bijvoorbeeld consistent (2 kolommen in de eerste matrix en 2 rijen in de tweede), maar omgekeerd - matrices $ B \u003d \\ left [2 \\ times 5 \\ right] $ en $ A \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $ - komen niet meer overeen (5 kolommen in de eerste matrix zijn als 3 rijen in de tweede ).
2. De consistentie is gemakkelijk te controleren als u alle dimensies achter elkaar opschrijft. Bijvoorbeeld uit de vorige paragraaf: "3 2 2 5" - dezelfde getallen in het midden, dus de matrices zijn consistent. Maar "2 5 3 2" - niet consistent, want in het midden staan \u200b\u200bverschillende nummers.

Bovendien lijkt de aanvoerder van de overduidelijkheid te suggereren dat vierkante matrices van dezelfde grootte $ \\ left [n \\ times n \\ right] $ altijd consistent zijn.

Wanneer in de wiskunde de volgorde van opsomming van objecten belangrijk is (bijvoorbeeld in de bovenstaande definitie is de volgorde van matrices belangrijk), spreekt men vaak van geordende paren. We ontmoetten ze terug op school: ik denk dat het een goed idee is dat de coördinaten $ \\ left (1; 0 \\ right) $ en $ \\ left (0; 1 \\ right) $ verschillende punten in het vliegtuig zetten.

Dus: coördinaten zijn ook geordende paren die uit getallen bestaan. Maar niets belet je om zo'n paar matrices samen te stellen. Dan kunnen we zeggen: "Een geordend paar matrices $ \\ left (A; B \\ right) $ is consistent als het aantal kolommen in de eerste matrix overeenkomt met het aantal rijen in de tweede."

Nou, wat dan nog?

Definitie van vermenigvuldiging

Beschouw twee overeenkomende matrices: $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ en $ B \u003d \\ left [n \\ times k \\ right] $. En bepaal de vermenigvuldigingsoperatie voor hen.

Definitie. Het product van twee overeenkomende matrices $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ en $ B \u003d \\ left [n \\ times k \\ right] $ is een nieuwe matrix $ C \u003d \\ left [m \\ times k \\ right] $, waarvan de elementen worden berekend met de formule:

\\ [\\ begin (uitlijnen) & ((c) _ (i; j)) \u003d ((a) _ (i; 1)) \\ cdot ((b) _ (1; j)) + ((a) _ (i; 2)) \\ cdot ((b) _ (2; j)) + \\ ldots + ((a) _ (i; n)) \\ cdot ((b) _ (n; j)) \u003d \\\\ Zo'n product wordt standaard aangeduid met: $ C \u003d A \\ cdot B $.

Degenen die deze definitie voor het eerst zien, hebben twee vragen tegelijk:

Wat is dit woeste spel?

1. Waarom is het zo moeilijk?
2. Nou, eerste dingen eerst. Laten we beginnen met de eerste vraag. Wat betekenen al deze indices? En hoe moet u zich niet vergissen als u met echte matrices werkt?

Allereerst merken we op dat een lange regel voor het berekenen van $ ((c) _ (i; j)) $ (ik heb speciaal een puntkomma tussen de indices geplaatst om niet in de war te raken, maar over het algemeen hoeven ze niet te worden geplaatst - ik werd zelf moe van het typen van de formule in de definitie) eigenlijk komt neer op een simpele regel:

Neem de $ i $ e rij in de eerste matrix;

1. Neem de $ j $ th kolom in de tweede matrix;
2. We krijgen twee getallenreeksen. We vermenigvuldigen de elementen van deze reeksen met dezelfde getallen en voegen vervolgens de resulterende producten toe.
3. Dit proces is gemakkelijk te begrijpen op de foto:

Schema voor het vermenigvuldigen van twee matrices

In feite hebben we matrixvermenigvuldiging al in het schoolcurriculum ontmoet, alleen in een zeer beknotte vorm. Laat vectoren worden gegeven:

\\ [\\ begin (uitlijnen) & \\ vec (a) \u003d \\ left (((x) _ (a)); ((y) _ (a)); ((z) _ (a)) \\ right); \\\\ & \\ overrightarrow (b) \u003d \\ left (((x) _ (b)); ((y) _ (b)); ((z) _ (b)) \\ \u200b\u200bright). \\\\ \\ end (align) \\]

Dan is hun puntproduct precies de som van paarsgewijze producten:

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ times \\ overrightarrow (b) \u003d ((x) _ (a)) \\ cdot ((x) _ (b)) + ((y) _ (a)) \\ cdot ((y ) _ (b)) + ((z) _ (a)) \\ cdot ((z) _ (b)) \\]

Kortom, in de tijd dat de bomen groener waren en de lucht helderder, hebben we de rijvector $ \\ overrightarrow (a) $ simpelweg vermenigvuldigd met de kolomvector $ \\ overrightarrow (b) $.

Er is vandaag niets veranderd. Alleen zijn er nu meer van deze rijvectoren en kolommen.

Maar genoeg theorie! Laten we eens kijken naar voorbeelden uit de praktijk. En laten we beginnen met het eenvoudigste geval: vierkante matrices.

Vermenigvuldiging van vierkante matrices

Taak 1. Voer vermenigvuldiging uit:

{!LANG-9968c5ed513c2561fd8e6ceb312e9bcc!}

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

Besluit. We hebben dus twee matrices: $ A \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] $ en $ B \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] $. Het is duidelijk dat ze consistent zijn (vierkante matrices van dezelfde grootte zijn altijd consistent). Daarom voeren we de vermenigvuldiging uit:

\\ [\\ begin (align) & \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ 1 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) +2 \\ cdot 3 & 1 \\ cdot 4 + 2 \\ cdot 1 \\\\ -3 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) +4 \\ cdot 3 & -3 \\ cdot 4 + 4 \\ cdot 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ \\ end (align) \\]

Dat is alles!

Antwoord: $ \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ end (array) \\ right] $.

Taak 2. Voer vermenigvuldiging uit:

\\ [\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 9 & 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

Besluit. Opnieuw overeenkomende matrices, dus we voeren de volgende acties uit: \\ [\\]

\\ [\\ begin (align) & \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) ( r)) 9 & 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\ cdot 9 + 3 \\ cdot \\ cdot \\ left (-2 \\ right) \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right] ... \\ end (align) \\]

Zoals je kunt zien, hebben we een matrix gevuld met nullen

Antwoord: $ \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right] $.

Uit de gegeven voorbeelden is het duidelijk dat matrixvermenigvuldiging niet zo moeilijk is. In ieder geval voor 2 bij 2 vierkante matrices.

Tijdens de berekeningen hebben we een tussenmatrix samengesteld, waarin we direct hebben opgeschreven welke getallen in deze of gene cel voorkomen. Dit is precies wat u moet doen bij het oplossen van echte problemen.

Basiseigenschappen van het matrixproduct

In een notendop. Matrix vermenigvuldiging:

1. Niet commutatief: $ A \\ cdot B \\ ne B \\ cdot A $ in het algemeen. Er zijn natuurlijk speciale matrices waarvoor de gelijkheid $ A \\ cdot B \u003d B \\ cdot A $ (bijvoorbeeld als $ B \u003d E $ de identiteitsmatrix is), maar in de overgrote meerderheid van de gevallen werkt dit niet;
2. Associatief: $ \\ left (A \\ cdot B \\ right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot \\ left (B \\ cdot C \\ right) $. Er zijn hier geen opties: de matrices die naast elkaar staan, kunnen worden vermenigvuldigd zonder je zorgen te maken over wat er links en rechts van deze twee matrices staat.
3. Distributief: $ A \\ cdot \\ left (B + C \\ right) \u003d A \\ cdot B + A \\ cdot C $ en $ \\ left (A + B \\ right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot C + B \\ cdot C $ (vanwege de niet-commutativiteit van het product, moeten we de distributiviteit rechts en links apart schrijven.

En nu - alles is hetzelfde, maar in meer detail.

Matrixvermenigvuldiging lijkt veel op klassieke getalvermenigvuldiging. Maar er zijn verschillen, waarvan de belangrijkste dat is matrixvermenigvuldiging is over het algemeen niet-commutatief.

Beschouw nogmaals de matrices uit probleem 1. We kennen hun directe product al:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

Maar als we de matrices verwisselen, krijgen we een heel ander resultaat:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (matrix) -14 & 4 \\\\ 0 & 10 \\\\\\ end (matrix ) \\ Rechtsaf] \\]

Het blijkt dat $ A \\ cdot B \\ ne B \\ cdot A $. Bovendien is de vermenigvuldigingsbewerking alleen gedefinieerd voor matrices $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ en $ B \u003d \\ left [n \\ times k \\ right] $, maar niemand garandeerde dat ze consistent zouden blijven. als je ze ruilt. De matrices $ \\ left [2 \\ times 3 \\ right] $ en $ \\ left [3 \\ times 5 \\ right] $ zijn bijvoorbeeld redelijk compatibel in de aangegeven volgorde, maar dezelfde matrices $ \\ left [3 \\ times 5 \\ right] $ en $ \\ left [2 \\ times 3 \\ right] $ geschreven in omgekeerde volgorde komen niet meer overeen. Verdriet. :(

Onder vierkante matrices van een gegeven grootte $ n $ zijn er altijd die hetzelfde resultaat geven, zowel bij vermenigvuldiging in voorwaartse als in omgekeerde volgorde. Hoe al dergelijke matrices moeten worden beschreven (en hoeveel in het algemeen) is een onderwerp voor een aparte les. Daar zullen we het vandaag niet over hebben. :)

Matrixvermenigvuldiging is echter associatief:

\\ [\\ left (A \\ cdot B \\ right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot \\ left (B \\ cdot C \\ right) \\]

Daarom is het helemaal niet nodig om meerdere matrices in een rij tegelijk te vermenigvuldigen: het is heel goed mogelijk dat sommige aangrenzende matrices een interessant resultaat opleveren als ze worden vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld een nulmatrix, zoals in probleem 2, hierboven besproken.

In echte problemen is het meestal nodig om vierkante matrices met de grootte $ \\ left [n \\ times n \\ right] $ te vermenigvuldigen. De verzameling van al dergelijke matrices wordt aangegeven met $ ((M) ^ (n)) $ (dat wil zeggen, de notatie $ A \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] $ en \\ betekent hetzelfde), en het moet matrix $ E $, die de identiteitsmatrix wordt genoemd.

Definitie. Een identiteitsmatrix van grootte $ n $ is zo'n matrix $ E $ dat voor elke vierkante matrix $ A \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] $ de volgende gelijkheid geldt:

Zo'n matrix ziet er altijd hetzelfde uit: er staan \u200b\u200benen op de hoofddiagonaal en nullen in alle andere cellen.

\\ [\\ begin (uitlijnen) & A \\ cdot \\ left (B + C \\ right) \u003d A \\ cdot B + A \\ cdot C; \\\\ & \\ left (A + B \\ right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot C + B \\ cdot C. \\\\ \\ end (align) \\]

Met andere woorden, als u een matrix moet vermenigvuldigen met de som van twee andere, dan kunt u deze vermenigvuldigen met elk van deze "andere twee", en vervolgens de resultaten optellen. In de praktijk moeten we meestal de tegenovergestelde bewerking uitvoeren: we merken dezelfde matrix op, plaatsen deze buiten de haakjes, voeren optellingen uit en vereenvoudigen daarmee ons leven. :)

Opmerking: om distributiviteit te beschrijven, moesten we twee formules schrijven: waar de som in de tweede factor zit en waar de som in de eerste is. Dit komt precies door het feit dat matrixvermenigvuldiging niet-commutatief is (en in het algemeen zijn er in niet-commutatieve algebra veel allerhande grappen die niet eens in je opkomen bij het werken met gewone getallen). En als je deze eigenschap bijvoorbeeld op het examen moet beschrijven, schrijf dan beide formules op, anders kan de leraar een beetje boos worden.

Oké, dit waren allemaal vierkante matrixverhalen. Hoe zit het met rechthoekige?

Het geval van rechthoekige matrices

Maar niets - alles is hetzelfde als bij vierkante.

Taak 3. Voer de vermenigvuldiging uit:

\\ [\\ left [\\ begin (matrix) \\ begin (matrix) 5 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\\\ end (matrix) & \\ begin (matrix) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\\\ end (matrix) \\ Besluit. We hebben twee matrices: $ A \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $ en $ B \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] $. Laten we de cijfers achter elkaar schrijven die de maten aangeven:

Zoals u kunt zien, vallen de twee middelste cijfers samen. Dit betekent dat de matrices consistent zijn en kunnen worden vermenigvuldigd. En aan de uitgang krijgen we de matrix $ C \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $:

\\ [\\ begin (uitlijnen) & \\ left [\\ begin (matrix) \\ begin (matrix) 5 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\\\ end (matrix) & \\ begin (matrix) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 5 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) +4 \\ cdot 3 & 5 \\ cdot 5 + 4 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) +5 \\ cdot 3 & 2 \\ cdot 5 + 5 \\ cdot 4 \\\\ 3 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) +1 \\ cdot 3 & 3 \\ cdot 5 + 1 \\ cdot 4 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & 41 \\\\ 11 & 30 \\\\ -3 & 19 \\ \\ end (align) \\]

{!LANG-e23618b457b4116303cd3d93d7f453db!}

Alles is duidelijk: de uiteindelijke matrix heeft 3 rijen en 2 kolommen. Vrij op zichzelf $ \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $.

Antwoord: $ \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) \\ begin (array) (* (35) (r)) 2 \\\\ 11 \\\\ -3 \\\\\\ end (array) & \\ begin (matrix) 41 \\\\ 30 \\\\ 19 \\\\\\ end (matrix) \\\\\\ end (array) \\ right] $.

Nu zullen we een van de beste trainingstaken overwegen voor degenen die net met matrices beginnen te werken. Daarin hoef je niet alleen een paar tafels te vermenigvuldigen, maar moet je eerst bepalen: is zo'n vermenigvuldiging toegestaan?

Opgave 4. Vind alle mogelijke paarsgewijze producten van matrices:

\\\\]; $ B \u003d \\ left [\\ begin (matrix) \\ begin (matrix) 0 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\\\ end (matrix) & \\ begin (matrix) 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\ $ C \u003d \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right] $.

Besluit. Laten we eerst de maten van de matrices opschrijven:

\\; \\ B \u003d \\ left [4 \\ times 2 \\ right]; \\ C \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] \\]

We zien dat de matrix $ A $ alleen kan worden vergeleken met de matrix $ B $, aangezien het aantal kolommen in $ A $ 4 is en alleen $ B $ dit aantal rijen heeft. Daarom kunnen we het product vinden:

\\\\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 0 & 1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\\\ 4 & 0 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ Ik raad de lezer aan om de tussenstappen zelfstandig uit te voeren. Ik zal alleen opmerken dat het beter is om de grootte van de resulterende matrix van tevoren te bepalen, voordat er berekeningen worden gemaakt:

\\\\ cdot \\ left [4 \\ times 2 \\ right] \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] \\]

Met andere woorden, we verwijderen eenvoudig de "transit" -coëfficiënten die voor matrixconsistentie zorgden.

Welke andere mogelijkheden zijn er? Natuurlijk kun je $ B \\ cdot A $ vinden, omdat $ B \u003d \\ left [4 \\ times 2 \\ right] $, $ A \u003d \\ left [2 \\ times 4 \\ right] $, dus het geordende paar $ \\ left (B ; A \\ right) $ is consistent, en de afmeting van het product zal zijn:

\\\\ cdot \\ left [2 \\ times 4 \\ right] \u003d \\ left [4 \\ times 4 \\ right] \\]

Kortom, de uitvoer is een matrix $ \\ left [4 \\ times 4 \\ right] $, waarvan de coëfficiënten gemakkelijk kunnen worden berekend:

\\\\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\\\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ 8 & -8 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

U kunt natuurlijk meer $ C \\ cdot A $ en $ B \\ cdot C $ afspreken - dat is alles. Daarom schrijven we gewoon de resulterende werken op:

Het was gemakkelijk.:)

{!LANG-82a78ac7015a7b32a93cda1ff8a7b294!}

Antwoord: $ AB \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) -10 & 7 \\\\ 10 & 7 \\\\\\ end (array) \\ right] $; $ BA \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & -2 & 4 & -4 \\\\ 3 & 3 & 6 & 6 \\\\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\\\\ end (array) \\ right] $; $ CA \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\\\\ end (array) \\ right] $; $ BC \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\\\ 3 & 0 \\\\ 0 & 4 \\\\\\ end (array) \\ right] $.

Over het algemeen raad ik ten zeerste aan om deze taak zelf uit te voeren. En nog een soortgelijke taak, namelijk huiswerk. Deze ogenschijnlijk eenvoudige gedachten zullen u door alle belangrijke stappen in matrixvermenigvuldiging leiden.

Maar daar houdt het verhaal niet op. Laten we verder gaan met speciale gevallen van vermenigvuldiging. :)

Rijvectoren en kolomvectoren

Een van de meest voorkomende matrixbewerkingen is vermenigvuldiging met een matrix met één rij of één kolom.

Definitie. Een kolomvector is een $ \\ left [m \\ times 1 \\ right] $ matrix, d.w.z. bestaande uit meerdere rijen en slechts één kolom.

Een rijvector is een $ \\ left [1 \\ times n \\ right] $ matrix, d.w.z. bestaande uit één rij en meerdere kolommen.

In feite hebben we deze objecten al ontmoet. Een gewone driedimensionale vector uit stereometrie $ \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left (x; y; z \\ right) $ is bijvoorbeeld niets meer dan een rijvector. Vanuit theoretisch oogpunt is er bijna geen verschil tussen rijen en kolommen. Wees alleen voorzichtig bij het coördineren met de omringende vermenigvuldigingsmatrices.

Taak 5. Voer de vermenigvuldiging uit:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

Besluit. Voor ons is het product van gematchte matrices: $ \\ left [3 \\ times 3 \\ right] \\ cdot \\ left [3 \\ times 1 \\ right] \u003d \\ left [3 \\ times 1 \\ right] $. Laten we dit werk zoeken:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35 ) (r)) 2 \\ cdot 1+ \\ left (-1 \\ right) \\ cdot 2 + 3 \\ cdot \\ left (-1 \\ right) \\\\ 4 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot 2 + 0 \\ cdot 2 \\ ) -3 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

Antwoord: $ \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) - 3 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\\\ end (array) \\ right] $.

Taak 6. Voer vermenigvuldiging uit:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & -1 \\\\ 4 & -1 & 3 \\\\ 2 & 6 & 0 \\\\\\ einde (matrix) \\ rechts] \\]

Besluit. Nogmaals, alles is overeengekomen: $ \\ left [1 \\ times 3 \\ right] \\ cdot \\ left [3 \\ times 3 \\ right] \u003d \\ left [1 \\ times 3 \\ right] $. We tellen het werk:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & -1 \\\\ 4 & -1 & 3 \\\\ 2 & 6 & 0 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) ( r)) 5 & -19 & 5 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

Antwoord: $ \\ left [\\ begin (matrix) 5 & -19 & 5 \\\\\\ end (matrix) \\ right] $.

Zoals je kunt zien, krijgen we bij het vermenigvuldigen van een rijvector en een kolomvector met een vierkante matrix altijd een rij of kolom van dezelfde grootte in de uitvoer. Dit feit kent vele toepassingen - van het oplossen van lineaire vergelijkingen tot allerlei coördinatentransformaties (die uiteindelijk ook leiden tot stelsels van vergelijkingen, maar laten we het niet hebben over de trieste dingen).

Ik denk dat alles hier duidelijk was. Laten we verder gaan met het laatste deel van de les van vandaag.

Exponentiatie van een matrix

Van alle vermenigvuldigingsbewerkingen verdient de machtsverheffing speciale aandacht - dit is wanneer we hetzelfde object verschillende keren met zichzelf vermenigvuldigen. Matrices zijn geen uitzondering, ze kunnen ook in verschillende mate worden verhoogd.

Dergelijke werken zijn altijd consistent:

\\\\ cdot \\ left [n \\ times n \\ right] \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] \\]

En ze worden op dezelfde manier aangeduid als gewone graden:

\\ [\\ begin (uitlijnen) & A \\ cdot A \u003d ((A) ^ (2)); \\\\ & A \\ cdot A \\ cdot A \u003d ((A) ^ (3)); \\\\ & \\ underbrace (A \\ cdot A \\ cdot \\ ldots \\ cdot A) _ (n) \u003d ((A) ^ (n)). \\\\ \\ end (align) \\]

Op het eerste gezicht is alles eenvoudig. Laten we eens kijken hoe het er in de praktijk uitziet:

Probleem 7. Verhoog de matrix tot het aangegeven vermogen:

$ ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) $

Besluit. Oké, laten we bouwen. Laten we eerst eens kijken:

\\ [\\ begin (uitlijnen) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (2)) \u003d \\ left [\\ begin (matrix ) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ 0 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\

\\ [\\ begin (uitlijnen) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) \u003d ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end ( matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [ \\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 3 \\\\ Dat is alles.:)

Antwoord: $ \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] $.

Probleem 8. Verhoog de matrix tot het aangegeven vermogen:

\\ [((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (10)) \\]

Besluit. Huil nu maar niet over het feit dat "het diploma te hoog is", "de wereld is niet alleen" en "de leraren hebben hun kust volledig verloren". In feite is alles eenvoudig:

\\ [\\ begin (uitlijnen) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (10)) \u003d ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) \\ cdot ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left (\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ right) \\ cdot \\ left (\\ left [ \\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right ] \\ right) \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 6 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 4 \\\\ ]

Merk op dat we in de tweede regel associatieve vermenigvuldiging hebben gebruikt. Eigenlijk hebben we het in de vorige taak gebruikt, maar daar was het impliciet.

Antwoord: $ \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 10 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] $.

Zoals je kunt zien, is er niets moeilijks om een \u200b\u200bmatrix tot een macht te verheffen. Het laatste voorbeeld kan worden gegeneraliseerd:

\\ [((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (n)) \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & n \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

Dit feit is gemakkelijk te bewijzen door middel van wiskundige inductie of directe vermenigvuldiging. Het is echter lang niet altijd mogelijk om dergelijke patronen op te vangen bij het verhogen van de macht. Wees daarom voorzichtig: het is vaak gemakkelijker en sneller om meerdere matrices "recht vooruit" te vermenigvuldigen dan om daar enkele regelmatigheden te zoeken.

{!LANG-c84a83b9886efca0da7ac028be0c77e8!}

Zoek in het algemeen niet naar de hoogste betekenis waar deze niet bestaat. Overweeg tot slot te verhogen tot een macht van een grotere matrix - maar liefst $ \\ left [3 \\ times 3 \\ right] $.

Probleem 9. Verhoog de matrix tot het aangegeven vermogen:

\\ [((\\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) \\]

Besluit. Laten we niet naar patronen zoeken. We werken hard:

\\ [((\\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) \u003d (( \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (2)) \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ einde (matrix) \\ rechts] \\]

Laten we eerst deze matrix kwadrateren:

\\ [\\ begin (uitlijnen) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ ( 2)) \u003d \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix ) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r )) 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ end (align) \\]

Laten we nu kubussen:

\\ [\\ begin (uitlijnen) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ ( 3)) \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin ( array) (* (35) (r)) 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ end (align) \\]

Dat is alles. Het probleem is opgelost.

Antwoord: $ \\ left [\\ begin (matrix) 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\\\ end (matrix) \\ right] $.

Zoals je kunt zien, is het aantal berekeningen toegenomen, maar de betekenis is helemaal niet veranderd. :)

Deze les kan worden afgemaakt. De volgende keer kijken we naar de omgekeerde operatie: we zoeken naar de oorspronkelijke factoren met behulp van het bestaande product.

Zoals je waarschijnlijk al vermoedde, zullen we het hebben over de inverse matrix en methoden om deze te vinden.