Een rijmatrix vermenigvuldigen met een vierkante matrix. Basisbewerkingen op matrices (optellen, vermenigvuldigen, transponeren) en hun eigenschappen

We zullen achtereenvolgens de onbekende factoren ‘uitsluiten’. Om dit te doen laten we de eerste vergelijking van het systeem ongewijzigd en transformeren we de tweede en derde:

1) aan de tweede vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met –2, en brengen deze naar de vorm –3 X 2 –2X 3 = –2;

2) aan de derde vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met – 4, en brengen deze naar de vorm –3 X 2 – 4X 3 = 2.

Als gevolg hiervan wordt het onbekende uitgesloten van de tweede en derde vergelijking X 1 en het systeem zal de vorm aannemen

We vermenigvuldigen de tweede en derde vergelijking van het systeem met –1, wat we krijgen

Coëfficiënt 1 in de eerste vergelijking voor de eerste onbekende X 1 wordt gebeld leidend element de eerste stap van eliminatie.

In de tweede stap blijven de eerste en tweede vergelijkingen ongewijzigd en wordt dezelfde methode voor het elimineren van de variabele toegepast op de derde vergelijking X 2 . Leidend element van de tweede stap is de coëfficiënt 3. Aan de derde vergelijking voegen we de tweede toe, vermenigvuldigd met –1, waarna het systeem wordt getransformeerd naar de vorm

(1.2)

Het proces van het reduceren van systeem (1.1) tot (1.2) wordt direct genoemd voortgang van de methode Gauss.

De procedure voor het oplossen van systeem (1.2) wordt genoemd omgekeerd. Uit de laatste vergelijking die we krijgen X 3 = –2. Als we deze waarde in de tweede vergelijking vervangen, krijgen we X 2 = 2. Hierna geeft de eerste vergelijking X 1 = 1. Dit is dus een oplossing voor systeem (1.1).

Matrix-concept

Laten we eens kijken naar de hoeveelheden die zijn opgenomen in systeem (1.1). Een reeks van negen numerieke coëfficiënten die vóór de onbekenden in vergelijkingen verschijnen, vormt een zogenaamde tabel met getallen matrix:

De tafelnummers worden gebeld elementen matrices. Elementen vormen rijen en kolommen matrices. Het aantal rijen en het aantal kolommen worden gevormd dimensie matrices. Matrix A heeft een afmeting van 3´3 (“drie bij drie”), waarbij het eerste getal het aantal rijen aangeeft, en het tweede het aantal kolommen. Vaak wordt een matrix aangegeven door de dimensie A (3 ´ 3) aan te geven. Sinds het aantal rijen en kolommen in de matrix A hetzelfde wordt de matrix genoemd vierkant. Het aantal rijen (en kolommen) in een vierkante matrix wordt zijn genoemd in volgorde, Daarom A– matrix derde bestelling.

De rechterkant van de vergelijkingen vormt ook een tabel met getallen, d.w.z. matrix:

Elke rij van deze matrix wordt gevormd door een enkel element, dus B(3 ´ 1) wordt genoemd matrix-kolom, de afmeting is 3´1. De reeks onbekenden kan ook worden weergegeven als een kolommatrix:

Een vierkante matrix vermenigvuldigen met een kolommatrix

Met matrices kunnen verschillende bewerkingen worden uitgevoerd, die later in detail zullen worden besproken. Hier zullen we alleen de regel analyseren voor het vermenigvuldigen van een vierkante matrix met een kolommatrix. Door definitie, het resultaat van matrixvermenigvuldiging A(3 ´ 3) per kolom IN(3 ´ 1) is de kolom D(3 ´ 1) , waarvan de elementen gelijk zijn aan de som van de producten van de elementen van de matrixrijen A naar kolomelementen IN:

2)seconde kolom-element D gelijk aan de som van de producten van de elementen seconde matrixrijen A naar kolomelementen IN:

Uit de bovenstaande formules wordt duidelijk dat het vermenigvuldigen van een matrix met een kolom IN is alleen mogelijk als het aantal matrixkolommen A gelijk aan het aantal elementen in de kolom IN.

Laten we nog twee numerieke voorbeelden van matrixvermenigvuldiging bekijken (3 ´3) per kolom (3 ´1) :

Voorbeeld 1.1

AB =
.

Voorbeeld 1.2

AB= .

1e jaar, hogere wiskunde, studeren matrices en basisacties daarop. Hier systematiseren we de basisbewerkingen die met matrices kunnen worden uitgevoerd. Waar kun je beginnen met kennismaken met matrices? Natuurlijk, van de eenvoudigste dingen: definities, basisconcepten en eenvoudige bewerkingen. Wij verzekeren u dat de matrices begrepen zullen worden door iedereen die er op zijn minst een beetje tijd aan besteedt!

Matrixdefinitie

Matrix is een rechthoekige tafel met elementen. Nou ja, in eenvoudige bewoordingen: een tabel met getallen.

Meestal worden matrices aangegeven met Latijnse hoofdletters. Bijvoorbeeld matrix A , matrix B enzovoort. Matrices kunnen verschillende afmetingen hebben: rechthoekig, vierkant, en er zijn ook rij- en kolommatrices die vectoren worden genoemd. De grootte van de matrix wordt bepaald door het aantal rijen en kolommen. Laten we bijvoorbeeld een rechthoekige matrix met afmetingen schrijven M op N , Waar M – aantal regels, en N – aantal kolommen.

Artikelen waarvoor ik=j (a11, a22, .. ) vormen de hoofddiagonaal van de matrix en worden diagonaal genoemd.

Wat kun je met matrixen? Optellen/Aftrekken, vermenigvuldigen met een getal, onderling vermenigvuldigen, transponeren. Nu over al deze basisbewerkingen op matrices in volgorde.

Bewerkingen voor optellen en aftrekken van matrixen

Laten we u meteen waarschuwen dat u alleen matrices van dezelfde grootte kunt toevoegen. Het resultaat is een matrix van dezelfde grootte. Het optellen (of aftrekken) van matrices is eenvoudig: je hoeft alleen maar de overeenkomstige elementen op te tellen . Laten we een voorbeeld geven. Laten we de optelling uitvoeren van twee matrices A en B van grootte twee bij twee.

Aftrekken gebeurt naar analogie, alleen met het tegenovergestelde teken.

Elke matrix kan worden vermenigvuldigd met een willekeurig getal. Om dit te doen je moet elk van de elementen met dit getal vermenigvuldigen. Laten we bijvoorbeeld de matrix A uit het eerste voorbeeld vermenigvuldigen met het getal 5:

Matrixvermenigvuldiging

Niet alle matrices kunnen met elkaar worden vermenigvuldigd. We hebben bijvoorbeeld twee matrices: A en B. Ze kunnen alleen met elkaar worden vermenigvuldigd als het aantal kolommen van matrix A gelijk is aan het aantal rijen van matrix B. In dit geval elk element van de resulterende matrix, gelegen in de i-de rij en de j-de kolom, zal gelijk zijn aan de som van de producten van de overeenkomstige elementen in de i-de rij van de eerste factor en de j-de kolom van de tweede. Laten we, om dit algoritme te begrijpen, opschrijven hoe twee vierkante matrices worden vermenigvuldigd:

En een voorbeeld met reële getallen. Laten we de matrices vermenigvuldigen:

Matrix-transponeerbewerking

Matrixtranspositie is een bewerking waarbij de overeenkomstige rijen en kolommen worden verwisseld. Laten we bijvoorbeeld de matrix A uit het eerste voorbeeld transponeren:

Matrixbepalende factor

Determinant, of determinant, is een van de basisconcepten van lineaire algebra. Er waren eens mensen die lineaire vergelijkingen bedachten, en daarna moesten ze een determinant bedenken. Uiteindelijk is het aan jou om dit allemaal aan te pakken, dus het laatste zetje!

De determinant is een numeriek kenmerk van een vierkante matrix, dat nodig is om veel problemen op te lossen.
Om de determinant van de eenvoudigste vierkante matrix te berekenen, moet u het verschil berekenen tussen de producten van de elementen van de hoofd- en secundaire diagonalen.

De determinant van een matrix van eerste orde, dat wil zeggen bestaande uit één element, is gelijk aan dit element.

Wat als de matrix drie bij drie is? Dit is moeilijker, maar je kunt het wel aan.

Voor een dergelijke matrix is ​​de waarde van de determinant gelijk aan de som van de producten van de elementen van de hoofddiagonaal en de producten van de elementen die op de driehoeken liggen met een vlak evenwijdig aan de hoofddiagonaal, waaruit het product van de hoofddiagonaal elementen van de secundaire diagonaal en het product van de elementen die op de driehoeken liggen met het vlak van de parallelle secundaire diagonaal worden afgetrokken.

Gelukkig is het in de praktijk zelden nodig om determinanten van matrices met grote afmetingen te berekenen.

Hier hebben we gekeken naar basisbewerkingen op matrices. Natuurlijk zul je in het echte leven misschien nooit ook maar een zweem van een matrixsysteem van vergelijkingen tegenkomen, of, integendeel, je kunt veel complexere gevallen tegenkomen waarin je echt je hersens moet pijnigen. Voor dergelijke gevallen bestaan ​​er professionele studentenvoorzieningen. Vraag om hulp, krijg een hoogwaardige en gedetailleerde oplossing, geniet van academisch succes en vrije tijd.

Matrixoptelling:

Aftrekken en optellen van matrices reduceert tot de overeenkomstige bewerkingen op hun elementen. Bewerking van matrixoptelling alleen voor ingevoerd matrices dezelfde maat, d.w.z. voor matrices, waarbij het aantal rijen en kolommen respectievelijk gelijk is. Som van matrices A en B worden gebeld matrix C, waarvan de elementen gelijk zijn aan de som van de overeenkomstige elementen. C = A + B c ij = a ij + b ij Op soortgelijke wijze gedefinieerd matrixverschil.

Een matrix vermenigvuldigen met een getal:

Matrixvermenigvuldiging (deling). van welke grootte dan ook met een willekeurig getal wordt gereduceerd tot het vermenigvuldigen (delen) van elk element matrices voor dit nummer. Matrixproduct En het getal k wordt genoemd matrix B, zodanig dat

bij ij = k × een ij . B = k × EEN bij ij = k × een ij . Matrix- A = (-1) × A heet het tegenovergestelde matrix A.

Eigenschappen van het optellen van matrices en het vermenigvuldigen van een matrix met een getal:

Bewerkingen voor het optellen van matrixen En matrixvermenigvuldiging op een getal hebben de volgende eigenschappen: 1. A + B = B + A; 2. EEN+(B+C) = (A+B)+C; 3. EEN+0=EEN; 4. EEN - EEN = 0; 5. 1 × EEN = EEN; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , waarbij A, B en C matrices zijn, α en β getallen zijn.

Matrixvermenigvuldiging (Matrixproduct):

Werking van het vermenigvuldigen van twee matrices wordt alleen ingevoerd voor het geval dat het aantal kolommen van de eerste is matrices gelijk aan het aantal regels van de seconde matrices. Matrixproduct En m×n aan matrix In n×p, gebeld matrix Met m×p zodanig dat met ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , d.w.z. de som van de producten van de elementen van de i-de rij wordt gevonden matrices En naar de overeenkomstige elementen van de jde kolom matrices B. Als matrices A en B zijn vierkanten van dezelfde grootte, dan bestaan ​​altijd de producten AB en BA. Het is gemakkelijk aan te tonen dat A × E = E × A = A, waarbij A vierkant is matrix, E - eenheid matrix dezelfde maat.

Eigenschappen van matrixvermenigvuldiging:

Matrixvermenigvuldiging niet commutatief, d.w.z. AB ≠ BA, zelfs als beide producten gedefinieerd zijn. Echter, als dat nodig is matrices aan de relatie AB=BA is voldaan, dan wel zo matrices worden commutatief genoemd. Het meest typische voorbeeld is een single matrix, die pendelt met andere matrix dezelfde maat. Alleen vierkante kunnen permuteerbaar zijn matrices van dezelfde orde. EEN×E=E×A=A

Matrixvermenigvuldiging heeft de volgende eigenschappen: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. EEN × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. EEN × 0 = 0; 0 × EEN = 0; 6. (AB) T = B T EEN T; 7. (ABC) T = C T V T EEN T; 8. (A + B) T = EEN T + B T;

2. Determinanten van de 2e en 3e orde. Eigenschappen van determinanten.

Matrixdeterminant tweede bestelling, of determinant tweede orde is een getal dat wordt berekend met de formule:

Matrixdeterminant derde orde, of determinant derde orde is een getal dat wordt berekend met de formule:

Dit getal vertegenwoordigt een algebraïsche som bestaande uit zes termen. Elke term bevat precies één element uit elke rij en elke kolom matrices. Elke term bestaat uit het product van drie factoren.

Borden met welke leden determinant van de matrix opgenomen in de formule het vinden van de determinant van de matrix de derde orde kan worden bepaald met behulp van het gegeven schema, dat de regel van driehoeken of de regel van Sarrus wordt genoemd. De eerste drie termen zijn genomen met een plusteken en bepaald op basis van de linkerfiguur, en de volgende drie termen zijn genomen met een minteken en bepaald op basis van de rechterfiguur.

Bepaal het aantal termen dat u wilt vinden determinant van de matrix, in een algebraïsche som kun je de faculteit berekenen: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Eigenschappen van matrixdeterminanten

Eigenschappen van matrixdeterminanten:

Eigenschap #1:

Matrixbepalende factor zal niet veranderen als de rijen worden vervangen door kolommen, elke rij door een kolom met hetzelfde nummer, en omgekeerd (transpositie). |EEN| = |EEN| T

Gevolg:

Kolommen en rijen determinant van de matrix zijn gelijk, daarom zijn de eigenschappen die inherent zijn aan rijen ook van toepassing op kolommen.

Eigenschap #2:

Bij het herschikken van 2 rijen of kolommen matrixdeterminant verandert het teken in het tegenovergestelde, waarbij de absolute waarde behouden blijft, d.w.z.:

Eigenschap #3:

Matrixbepalende factor het hebben van twee identieke rijen is gelijk aan nul.

Eigenschap #4:

Gemeenschappelijke factor van elementen van elke reeks determinant van de matrix kan als een teken worden opgevat determinant.

Uitvloeisels van eigendommen nr. 3 en nr. 4:

Als alle elementen van een bepaalde reeks (rij of kolom) evenredig zijn met de overeenkomstige elementen van een parallelle reeks, dan is dat zo matrixdeterminant gelijk aan nul.

Eigenschap #5:

determinant van de matrix zijn dan gelijk aan nul matrixdeterminant gelijk aan nul.

Eigenschap #6:

Als alle elementen van een rij of kolom determinant gepresenteerd als een som van 2 termen determinant matrices kan worden weergegeven als de som van 2 determinanten volgens de formule:

Eigenschap #7:

Als naar een rij (of kolom) determinant voeg vervolgens de overeenkomstige elementen van een andere rij (of kolom) toe, vermenigvuldigd met hetzelfde getal matrixdeterminant zal de waarde ervan niet veranderen.

Voorbeeld van het gebruik van eigenschappen voor berekeningen determinant van de matrix:

Deze handleiding helpt u te leren hoe u moet optreden bewerkingen met matrixen: optellen (aftrekken) van matrices, transponeren van een matrix, vermenigvuldigen van matrices, vinden van de inverse matrix. Al het materiaal wordt in een eenvoudige en toegankelijke vorm gepresenteerd, er worden relevante voorbeelden gegeven, zodat zelfs een onvoorbereid persoon kan leren hoe hij acties met matrices moet uitvoeren.

Ik zal proberen theoretische berekeningen te minimaliseren. Op sommige plaatsen zijn verklaringen “op de vingers” en het gebruik van niet-wetenschappelijke termen mogelijk. Liefhebbers van solide theorie, laat u alstublieft niet in met kritiek, dat is onze taak bewerkingen leren uitvoeren met matrices.

Voor SUPER SNELLE voorbereiding op het onderwerp (wie staat “in brand”) is er een intensieve pdf-cursus Matrix, bepalend en test!

Een matrix is ​​een rechthoekige tafel van sommigen elementen. Als elementen we zullen getallen beschouwen, dat wil zeggen numerieke matrices. ELEMENT is een term. Het is raadzaam om de term te onthouden, deze zal vaak voorkomen, het is geen toeval dat ik een vetgedrukt lettertype heb gebruikt om deze te benadrukken.

Aanduiding: matrices worden meestal aangegeven met Latijnse hoofdletters

Voorbeeld: Beschouw een matrix van twee bij drie:

Deze matrix bestaat uit zes elementen:

Alle getallen (elementen) binnen de matrix bestaan ​​op zichzelf, dat wil zeggen dat er geen sprake is van aftrekken:

Het is gewoon een tabel (set) met getallen!

Wij zullen het ook eens zijn niet herschikken nummers, tenzij anders vermeld in de toelichting. Elk nummer heeft zijn eigen locatie en kan niet worden geschud!

De betreffende matrix heeft twee rijen:

en drie kolommen:

STANDAARD: als we het over matrixgroottes hebben, dan in eerste instantie geef het aantal rijen aan, en pas daarna het aantal kolommen. We hebben zojuist de matrix van twee bij drie opgesplitst.

Als het aantal rijen en kolommen van een matrix hetzelfde is, dan wordt de matrix aangeroepen vierkant, Bijvoorbeeld: – een matrix van drie bij drie.

Als een matrix één kolom of één rij heeft, worden dergelijke matrices ook wel genoemd vectoren.

In feite kennen we het concept van een matrix al sinds school; denk bijvoorbeeld aan een punt met de coördinaten “x” en “y”: . In wezen worden de coördinaten van een punt in een één-op-twee-matrix geschreven. Trouwens, hier is een voorbeeld van waarom de volgorde van de getallen belangrijk is: en het zijn twee totaal verschillende punten in het vlak.

Laten we nu verder gaan met studeren bewerkingen met matrixen:

1) Handeling één. Een min uit de matrix verwijderen (een min in de matrix introduceren).

Laten we terugkeren naar onze matrix . Zoals je waarschijnlijk hebt gemerkt, staan ​​er te veel negatieve getallen in deze matrix. Dit is erg lastig vanuit het oogpunt van het uitvoeren van verschillende acties met de matrix, het is lastig om zoveel minnen te schrijven, en het ziet er gewoon lelijk uit qua ontwerp.

Laten we de min buiten de matrix verplaatsen door het teken van ELK element van de matrix te veranderen:

Bij nul verandert, zoals u begrijpt, het teken niet; nul is ook nul in Afrika.

Omgekeerd voorbeeld: . Het ziet er lelijk uit.

Laten we een minteken in de matrix introduceren door het teken van ELK element van de matrix te veranderen:

Nou, het is veel leuker geworden. En, belangrijker nog, het zal GEMAKKELIJKER zijn om acties met de matrix uit te voeren. Omdat er zo'n wiskundig volksteken is: hoe meer minnen, hoe meer verwarring en fouten.

2) Akte twee. Een matrix vermenigvuldigen met een getal.

Voorbeeld:

Het is eenvoudig, om een ​​matrix met een getal te vermenigvuldigen, heb je nodig elk matrixelement vermenigvuldigd met een bepaald getal. In dit geval - een drie.

Nog een handig voorbeeld:

– een matrix vermenigvuldigen met een breuk

Laten we eerst eens kijken wat we moeten doen GEEN BEHOEFTE:

Het is NIET NODIG om een ​​breuk in de matrix in te voeren. Ten eerste maakt dit verdere handelingen met de matrix alleen maar ingewikkelder, en ten tweede maakt het het moeilijk voor de leraar om de oplossing te controleren (vooral als dit het geval is); – eindantwoord van de taak).

En bovendien GEEN BEHOEFTE deel elk element van de matrix door min zeven:

Uit het artikel Wiskunde voor dummies of waar te beginnen, we herinneren ons dat ze in de hogere wiskunde op alle mogelijke manieren decimale breuken met komma's proberen te vermijden.

Het enige is bij voorkeur Wat u in dit voorbeeld moet doen, is een minteken aan de matrix toevoegen:

Maar als dat maar is ALLE matrixelementen werden gedeeld door 7 spoorloos, dan zou het mogelijk (en noodzakelijk!) zijn om te delen.

Voorbeeld:

In dit geval kan dat MOET vermenigvuldig alle matrixelementen met , aangezien alle matrixgetallen deelbaar zijn door 2 spoorloos.

Let op: in de theorie van de wiskunde op de hogere school bestaat er geen concept van ‘verdeling’. In plaats van te zeggen ‘dit gedeeld door dat’, kun je altijd zeggen ‘dit vermenigvuldigd met een breuk’. Dat wil zeggen: delen is een speciaal geval van vermenigvuldigen.

3) Akte drie. Matrixtransponering.

Om een ​​matrix te transponeren, moet u de rijen ervan in de kolommen van de getransponeerde matrix schrijven.

Voorbeeld:

Matrix transponeren

Er is hier maar één regel en volgens de regel moet deze in een kolom worden geschreven:

– getransponeerde matrix.

Een getransponeerde matrix wordt meestal rechtsboven aangegeven met een superscript of een priemgetal.

Stap voor stap voorbeeld:

Matrix transponeren

Eerst herschrijven we de eerste rij in de eerste kolom:

Vervolgens herschrijven we de tweede regel in de tweede kolom:

En ten slotte herschrijven we de derde rij in de derde kolom:

Klaar. Grof gezegd betekent transponeren het op zijn kant draaien van de matrix.

4) Akte vier. Som (verschil) van matrices.

De som van matrices is een eenvoudige bewerking.
NIET ALLE MATRICES KUNNEN WORDEN GEVOUWEN. Om het optellen (aftrekken) van matrices uit te voeren, is het noodzakelijk dat ze DEZELFDE GROOTTE hebben.

Als er bijvoorbeeld een twee-bij-twee-matrix is ​​gegeven, dan kan deze alleen worden opgeteld met een twee-bij-twee-matrix en geen andere!

Voorbeeld:

Voeg matrices toe En

Om matrices toe te voegen, moet u de overeenkomstige elementen toevoegen:

Voor het verschil tussen matrices is de regel vergelijkbaar: het is noodzakelijk om het verschil tussen de overeenkomstige elementen te vinden.

Voorbeeld:

Zoek matrixverschil ,

Hoe kun je dit voorbeeld gemakkelijker oplossen, zodat je niet in de war raakt? Het is raadzaam om onnodige minnen te verwijderen, voeg hiervoor een min toe aan de matrix:

Let op: in de theorie van de wiskunde op de hogere school bestaat er geen concept van ‘aftrekken’. In plaats van te zeggen ‘trek dit hiervan af’, kun je altijd zeggen ‘voeg hier een negatief getal aan toe’. Dat wil zeggen, aftrekken is een speciaal geval van optellen.

5) Akte vijf. Matrixvermenigvuldiging.

Welke matrices kunnen worden vermenigvuldigd?

Om een ​​matrix met een matrix te kunnen vermenigvuldigen, is dit noodzakelijk zodat het aantal matrixkolommen gelijk is aan het aantal matrixrijen.

Voorbeeld:
Is het mogelijk om een ​​matrix te vermenigvuldigen met een matrix?

Dit betekent dat matrixgegevens kunnen worden vermenigvuldigd.

Maar als de matrices opnieuw worden gerangschikt, is vermenigvuldiging in dit geval niet langer mogelijk!

Daarom is vermenigvuldiging niet mogelijk:

Het is niet zo zeldzaam om taken met een truc tegen te komen, wanneer de student wordt gevraagd matrices te vermenigvuldigen, waarvan de vermenigvuldiging uiteraard onmogelijk is.

Opgemerkt moet worden dat het in sommige gevallen mogelijk is om matrices op beide manieren te vermenigvuldigen.
Voor matrices zijn bijvoorbeeld zowel vermenigvuldiging als vermenigvuldiging mogelijk

De belangrijkste toepassingen van matrices houden verband met de bewerking vermenigvuldiging.

Er worden twee matrices gegeven:

A – maat mn

B – maat nr k

Omdat de lengte van een rij in matrix A valt samen met de hoogte van een kolom in matrix B, je kunt een matrix C=AB definiëren, die de afmetingen m zal hebben k. Element matrix C, gelegen in een willekeurige i-de rij (i=1,...,m) en een willekeurige j-de kolom (j=1,...,k), is per definitie gelijk aan het scalaire product van twee vectoren uit
:i-de rij van matrix A en j-de kolom van matrix B:

Eigenschappen:

Hoe wordt de werking van het vermenigvuldigen van een matrix A met een getal λ gedefinieerd?

Het product van A en het getal λ is een matrix waarin elk element gelijk is aan het product van het overeenkomstige element van A en λ. Gevolg: de gemeenschappelijke factor van alle matrixelementen kan uit het matrixteken worden gehaald.

13. Definitie van de inverse matrix en zijn eigenschappen.

Definitie. Als er vierkante matrices X en A van dezelfde orde zijn die aan de voorwaarde voldoen:

waar E de identiteitsmatrix is ​​van dezelfde orde als de matrix A, dan wordt de matrix X genoemd achteruit aan de matrix A en wordt aangegeven met A -1.

Eigenschappen van inverse matrices

Laten we de volgende eigenschappen van inverse matrices aangeven:

1) (A -1) -1 = EEN;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (A -1) T .

1. Als de inverse matrix bestaat, is deze uniek.

2. Niet elke vierkante matrix die niet nul is, heeft een inverse.

14. Geef de belangrijkste eigenschappen van determinanten. Controleer de geldigheid van de eigenschap |AB|=|A|*|B| voor matrixen

EEN= en B=

Eigenschappen van determinanten:

1. Als een rij van de determinant uit nullen bestaat, dan is de determinant zelf gelijk aan nul.

2. Bij het herschikken van twee rijen wordt de determinant vermenigvuldigd met -1.

3. De determinant bij twee identieke rijen is gelijk aan nul.

4. De gemeenschappelijke factor van de elementen van elke rij kan uit het determinantenteken worden gehaald.

5. Als de elementen van een bepaalde rij van determinant A worden gepresenteerd als de som van twee termen, dan is de determinant zelf gelijk aan de som van twee determinanten B en D. Bij determinant B bestaat de opgegeven lijn uit de eerste termen, in D - van de tweede termen. De overige lijnen van determinanten B en D zijn dezelfde als in A.

6. De waarde van de determinant verandert niet als er nog een lijn wordt toegevoegd aan een van de lijnen, vermenigvuldigd met een willekeurig getal.

7. De som van de producten van elementen van een rij door algebraïsche complementen met de overeenkomstige elementen van een andere rij is gelijk aan 0.

8. De determinant van de matrix A is gelijk aan de determinant van de getransponeerde matrix Am, d.w.z. de determinant verandert niet bij transpositie.

15. Definieer de modulus en het argument van een complex getal. Schrijf de getallen √3+ in trigonometrische vormi, -1+ i.

Elk complex getal z=a+ib kan geassocieerd worden met een vector (a,b)€R 2. De lengte van deze vector gelijk aan √a 2 + b 2 heet modulus van een complex getal z en wordt aangegeven met |z|. De hoek φ tussen een gegeven vector en de positieve richting van de Ox-as wordt genoemd argument voor complexe getallen z en wordt aangegeven met arg z.

Elk complex getal z≠0 kan worden weergegeven als z=|z|(cosφ +isinφ).

Deze vorm van schrijven van een complex getal wordt trigonometrisch genoemd.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Aan elk complex getal Z = a + ib kan een vector (a; b) worden toegewezen die bij R^2 hoort. De lengte van deze vector, gelijk aan KB uit a^2 + b^2, wordt de modulus van een complex getal genoemd en wordt aangegeven met de modulus Z. De hoek tussen deze vector en de positieve richting van de Ox-as wordt de argument van het complexe getal (aangeduid met arg Z).