Acceptabel waardebereik (APV): theorie, voorbeelden, oplossingen. Hoe het domein van een functie te vinden

Wij zijn erachter gekomen dat dat zo is X- een set waarop de formule die de functie definieert zinvol is. In wiskundige analyses wordt deze verzameling vaak aangeduid als D (domein van een functie ). Op hun beurt velen Y aangeduid als E (functie bereik ) en tegelijkertijd D En E subsets genoemd R(reeks reële getallen).

Als een functie wordt gedefinieerd door een formule, wordt het domein van de definitie ervan, bij gebrek aan speciale voorbehouden, beschouwd als de grootste set waarop deze formule zinvol is, dat wil zeggen de grootste set argumentwaarden die leidt naar echte waarden van de functie . Met andere woorden: de set argumentwaarden waarop de ‘functie werkt’.

Voor algemeen begrip bevat het voorbeeld nog geen formule. De functie wordt gespecificeerd als paren van relaties:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Zoek het domein van de definitie van deze functies.

Antwoord. Het eerste element van het paar is een variabele X. Omdat de functiespecificatie ook de tweede elementen van de paren bevat: de waarden van de variabele j, dan heeft de functie alleen zin voor die waarden van X die overeenkomen met een bepaalde waarde van Y. Dat wil zeggen, we nemen alle X’en van deze paren in oplopende volgorde en verkrijgen daaruit het domein van de definitie van de functie:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Dezelfde logica werkt als de functie wordt gegeven door een formule. Alleen de tweede elementen in paren (dat wil zeggen de waarden van de i) worden verkregen door bepaalde x-waarden in de formule te vervangen. Om het domein van een functie te vinden hoeven we echter niet alle paren X en Y te doorlopen.

Voorbeeld 0. Hoe vind je het domein van de definitie van de functie i is gelijk aan de vierkantswortel van x min vijf (radicaaluitdrukking x min vijf) ()? Je hoeft alleen maar de ongelijkheid op te lossen

X - 5 ≥ 0 ,

Omdat we, om de werkelijke waarde van het spel te kunnen bepalen, de radicale uitdrukking groter dan of gelijk aan nul moet zijn. We krijgen de oplossing: het definitiedomein van de functie is alle waarden van x groter dan of gelijk aan vijf (of x behoort tot het interval van vijf tot en met plus oneindig).

Op de tekening hierboven staat een fragment van de getallenas. Daarop is het definitiegebied van de beschouwde functie gearceerd, terwijl in de "plus"-richting de arcering voor onbepaalde tijd doorgaat samen met de as zelf.

Als u computerprogramma's gebruikt die een antwoord produceren op basis van de ingevoerde gegevens, zult u merken dat het programma voor sommige waarden van de ingevoerde gegevens een foutmelding weergeeft, dat wil zeggen dat het antwoord niet met dergelijke gegevens kan worden berekend. Een dergelijke boodschap wordt geleverd door de auteurs van het programma als de uitdrukking voor het berekenen van het antwoord tamelijk complex is of een beperkt onderwerpgebied betreft, of wordt geleverd door de auteurs van de programmeertaal als het algemeen aanvaarde normen betreft, bijvoorbeeld dat men kan niet door nul delen.

Maar in beide gevallen kan het antwoord (de waarde van een bepaalde uitdrukking) niet worden berekend, omdat de uitdrukking voor sommige gegevenswaarden geen betekenis heeft.

Een voorbeeld (nog niet helemaal wiskundig): als het programma de naam van de maand weergeeft op basis van het maandnummer in het jaar, dan krijg je door het invoeren van “15” een foutmelding.

Meestal is de uitdrukking die wordt berekend slechts een functie. Daarom zijn dergelijke ongeldige gegevenswaarden niet opgenomen in domein van een functie . En bij handmatige berekeningen is het net zo belangrijk om het domein van een functie weer te geven. U berekent bijvoorbeeld een bepaalde parameter van een bepaald product met behulp van een formule die een functie is. Voor sommige waarden van het invoerargument krijg je niets bij de uitvoer.

Domein van definitie van een constante

Constant (constant) gedefinieerd voor elke echte waarde X R echte cijfers. Dit kan ook als volgt worden geschreven: het definitiedomein van deze functie is de gehele getallenlijn ]- ∞; + ∞[ .

Voorbeeld 1. Zoek het domein van een functie j = 2 .

Oplossing. Het definitiedomein van de functie is niet aangegeven, wat betekent dat op grond van de bovenstaande definitie het natuurlijke definitiedomein wordt bedoeld. Uitdrukking F(X) = 2 gedefinieerd voor eventuele reële waarden X Daarom is deze functie voor de gehele set gedefinieerd R echte cijfers.

Daarom is de getallenlijn in de bovenstaande tekening helemaal gearceerd van min oneindig tot plus oneindig.

Worteldefinitiegebied N e graad

In het geval dat de functie wordt gegeven door de formule en N- natuurlijk getal:

Voorbeeld 2. Zoek het domein van een functie .

Oplossing. Zoals uit de definitie volgt, is een wortel van een even graad zinvol als de radicale uitdrukking niet-negatief is, dat wil zeggen als - 1 ≤ X≤ 1. Daarom is het definitiedomein van deze functie [- 1; 1].

Het gearceerde gebied van de getallenlijn in de bovenstaande tekening is het definitiedomein van deze functie.

Domein van machtsfunctie

Domein van een machtsfunctie met een gehele exponent

Als A- positief, dan is het definitiedomein van de functie de verzameling van alle reële getallen, dat wil zeggen ]- ∞; + ∞[ ;

Als A- negatief, dan is het definitiedomein van de functie de verzameling ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , dat wil zeggen, de gehele getallenlijn behalve nul.

In de overeenkomstige tekening hierboven is de gehele getallenlijn gearceerd en is het punt dat overeenkomt met nul uitgestanst (dit valt niet onder het domein van de definitie van de functie).

Voorbeeld 3. Zoek het domein van een functie .

Oplossing. De eerste term is een gehele macht van x gelijk aan 3, en de macht van x in de tweede term kan worden weergegeven als één - ook een geheel getal. Bijgevolg is het definitiedomein van deze functie de gehele getallenlijn, dat wil zeggen ]- ∞; + ∞[ .

Domein van een machtsfunctie met een fractionele exponent

In het geval dat de functie wordt gegeven door de formule:

als positief is, dan is het definitiedomein van de functie de verzameling 0; + ∞[ .

Voorbeeld 4. Zoek het domein van een functie .

Oplossing. Beide termen in de functie-uitdrukking zijn machtsfuncties met positieve fractionele exponenten. Bijgevolg is het definitiedomein van deze functie de verzameling - ∞; + ∞[ .

Domein van exponentiële en logaritmische functies

Domein van de exponentiële functie

In het geval dat een functie wordt gegeven door een formule, is het definitiedomein van de functie de gehele getallenlijn, dat wil zeggen ] - ∞; + ∞[ .

Domein van de logaritmische functie

De logaritmische functie wordt gedefinieerd op voorwaarde dat het argument positief is, dat wil zeggen dat het definitiedomein de verzameling ]0 is; + ∞[ .

Zoek zelf het domein van de functie en kijk dan naar de oplossing

Domein van goniometrische functies

Functie Domein j= cos( X) - ook veel R echte cijfers.

Functie Domein j= tg( X) - set R echte getallen anders dan getallen .

Functie Domein j= ctg( X) - set R reële getallen, behalve getallen.

Voorbeeld 8. Zoek het domein van een functie .

Oplossing. De externe functie is een decimaal logaritme en het definitiedomein ervan is onderworpen aan de voorwaarden van het definitiedomein van een logaritmische functie in het algemeen. Dat wil zeggen, haar argument moet positief zijn. Het argument hier is de sinus van "x". Als we een denkbeeldig kompas rond een cirkel draaien, zien we dat de toestand zonde is X> 0 wordt geschonden als “x” gelijk is aan nul, “pi”, twee, vermenigvuldigd met “pi” en in het algemeen gelijk is aan het product van “pi” en een even of oneven geheel getal.

Het definitiedomein van deze functie wordt dus gegeven door de uitdrukking

Waar k- een geheel getal.

Domein van definitie van inverse trigonometrische functies

Functie Domein j= arcsin( X) - stel [-1 in; 1].

Functie Domein j= arccos( X) - ook de set [-1; 1].

Functie Domein j= arctan( X) - set R echte cijfers.

Functie Domein j= boogctg( X) - ook veel R echte cijfers.

Voorbeeld 9. Zoek het domein van een functie .

Oplossing. Laten we de ongelijkheid oplossen:

Zo verkrijgen we het domein van de definitie van deze functie: het segment [- 4; 4].

Voorbeeld 10. Zoek het domein van een functie .

Oplossing. Laten we twee ongelijkheden oplossen:

Oplossing voor de eerste ongelijkheid:

Oplossing voor de tweede ongelijkheid:

Zo verkrijgen we het domein van de definitie van deze functie: het segment.

Fractiebereik

Als een functie wordt gegeven door een fractionele uitdrukking waarin de variabele in de noemer van de breuk staat, dan is het definitiedomein van de functie de verzameling R reële getallen, behalve deze X, waarbij de noemer van de breuk nul wordt.

Voorbeeld 11. Zoek het domein van een functie .

Oplossing. Door de gelijkheid van de noemer van de breuk op te lossen tot nul, vinden we het definitiedomein van deze functie - de verzameling ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Een functie is een model. Laten we X definiëren als een reeks waarden van een onafhankelijke variabele // onafhankelijk betekent elk.

Een functie is een regel waarmee voor elke waarde van een onafhankelijke variabele uit de verzameling X een unieke waarde van de afhankelijke variabele kan worden gevonden. // dat wil zeggen voor elke x is er één y.

Uit de definitie volgt dat er twee concepten zijn: een onafhankelijke variabele (die we aanduiden met x en deze kan elke waarde aannemen) en een afhankelijke variabele (die we aanduiden met y of f (x) en deze wordt berekend op basis van de functie wanneer wij vervangen x).

VOORBEELD y=5+x

1. Onafhankelijk is x, wat betekent dat we elke waarde aannemen, laat x=3

2. Laten we nu y berekenen, wat betekent y=5+x=5+3=8. (y hangt af van x, want welke x we ook vervangen, we krijgen dezelfde y)

Er wordt gezegd dat de variabele y functioneel afhankelijk is van de variabele x en wordt als volgt aangegeven: y = f (x).

BIJVOORBEELD.

1.y=1/x. (zogenaamde hyperbool)

2. y=x^2. (parabool genoemd)

3.y=3x+7. (rechte lijn genoemd)

4. y= √x. (parabooltak genoemd)

De onafhankelijke variabele (die we aangeven met x) wordt het functieargument genoemd.

Functie Domein

De verzameling van alle waarden die een functieargument aanneemt, wordt het domein van de functie genoemd en wordt aangeduid met D(f) of D(y).

Beschouw D(y) voor 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) en (0;+∞) //de volledige reeks reële getallen behalve nul.

2. D (y)= (∞; +∞)//alle aantallen reële getallen

3. D (y)= (∞; +∞)//alle aantallen reële getallen

4. D (j)= )