Eenvoudige sinusongelijkheden oplossen. Eenvoudige trigonometrische ongelijkheden oplossen
De meeste studenten houden niet van trigonometrische ongelijkheden. Maar tevergeefs. Zoals een personage altijd zei:
“Je weet gewoon niet hoe je ze moet koken”
Dus hoe we moeten 'koken' en waarmee we ongelijkheid met sinus moeten indienen, zullen we in dit artikel ontdekken. Wij zullen beslissen op een eenvoudige manier– met behulp van een eenheidscirkel.
Dus allereerst hebben we nodig volgende algoritme.
Algoritme voor het oplossen van ongelijkheden met sinus:
- op de sinusas plotten we het getal $a$ en tekenen we een rechte lijn evenwijdig aan de cosinusas totdat deze de cirkel snijdt;
- de snijpunten van deze lijn met de cirkel worden gearceerd als de ongelijkheid niet strikt is, en niet gearceerd als de ongelijkheid strikt is;
- het oplossingsgebied van de ongelijkheid bevindt zich boven de lijn en tot aan de cirkel als de ongelijkheid het teken “$>$” bevat, en onder de lijn en tot aan de cirkel als de ongelijkheid het teken “$” bevat<$”;
- om de snijpunten te vinden, lossen we de trigonometrische vergelijking $\sin(x)=a$ op, we krijgen $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- Als we $n=0$ instellen, vinden we het eerste snijpunt (dit bevindt zich in het eerste of vierde kwartaal);
- om het tweede punt te vinden, kijken we in welke richting we door het gebied gaan naar het tweede snijpunt: als het in een positieve richting is, dan moeten we $n=1$ nemen, en als het in een negatieve richting is, dan $n=- 1$;
- als reactie hierop wordt het interval opgeschreven vanaf het kleinere snijpunt $+ 2\pi n$ naar het grotere $+ 2\pi n$.
Beperking van het algoritme
Belangrijk: D gegeven algoritme werkt niet voor ongelijkheden van de vorm $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Speciale gevallen bij het oplossen van ongelijkheden met sinus
Het is ook belangrijk om op te merken volgende gevallen, die veel handiger zijn om logisch op te lossen zonder het bovenstaande algoritme te gebruiken.
Speciaal geval 1. Ongelijkheid oplossen:
$\sin(x)\leq 1.$
Vanwege het feit dat het bereik van waarden van de trigonometrische functie $y=\sin(x)$ niet groter is modulo $1$, dan linkerkant ongelijkheden op enige$x$ uit het definitiedomein (en het definitiedomein van de sinus bestaat uit allemaal reële getallen) is niet meer dan $1$. En daarom schrijven we in het antwoord: $x \in R$.
Gevolg:
$\sin(x)\geq -1.$
Speciaal geval 2. Ongelijkheid oplossen:
$\sin(x)< 1.$
Door argumenten toe te passen die vergelijkbaar zijn met speciaal geval 1, ontdekken we dat de linkerkant van de ongelijkheid kleiner is dan $1$ voor alle $x \in R$, behalve voor punten die oplossingen zijn voor de vergelijking $\sin(x) = 1$. Als we deze vergelijking oplossen, krijgen we:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
En daarom schrijven we in het antwoord: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
Gevolg: de ongelijkheid wordt op dezelfde manier opgelost
$\sin(x) > -1.$
Voorbeelden van het oplossen van ongelijkheden met behulp van een algoritme.
Voorbeeld 1: Ongelijkheid oplossen:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- Laten we de coördinaat $\frac(1)(2)$ op de sinusas markeren.
- Laten we een rechte lijn trekken evenwijdig aan de cosinus-as en door dit punt gaan.
- Laten we de snijpunten markeren. Ze zullen in de schaduw staan omdat de ongelijkheid niet strikt is.
- Het ongelijkheidsteken is $\geq$, wat betekent dat we het gebied boven de lijn schilderen, d.w.z. kleinere halve cirkel.
- We vinden het eerste snijpunt. Om dit te doen, zetten we de ongelijkheid om in gelijkheid en lossen we deze op: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. We stellen verder $n=0$ in en vinden het eerste snijpunt: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- We vinden het tweede punt. Ons gebied gaat vanaf het eerste punt in de positieve richting, wat betekent dat we $n$ gelijk stellen aan $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
De oplossing zal dus de vorm aannemen:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$
Voorbeeld 2: Ongelijkheid oplossen:
$\sin(x)< -\frac{1}{2}$
Laten we de coördinaat $-\frac(1)(2)$ op de sinusas markeren en een rechte lijn trekken, evenwijdig aan de cosinusas, die door dit punt gaat. Laten we de snijpunten markeren. Ze zullen niet in de schaduw staan, omdat de ongelijkheid groot is. Het ongelijkheidsteken $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
Als we verder uitgaan van $n=0$, vinden we het eerste snijpunt: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Ons gebied gaat vanaf het eerste punt in de negatieve richting, wat betekent dat we $n$ gelijk stellen aan $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
De oplossing voor deze ongelijkheid is dus het interval:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$
Voorbeeld 3: Ongelijkheid oplossen:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$
Dit voorbeeld kan niet onmiddellijk worden opgelost met behulp van een algoritme. Eerst moet je het transformeren. We doen precies wat we zouden doen met een vergelijking, maar vergeet het teken niet. Delen of vermenigvuldigen met een negatief getal keert het om!
Laten we dus alles dat geen trigonometrische functie bevat naar de rechterkant verplaatsen. We krijgen:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
Laten we de linker- en rechterkant delen door $-2$ (vergeet het teken niet!). Zal hebben:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$
Opnieuw hebben we te maken met een ongelijkheid die we niet kunnen oplossen met behulp van een algoritme. Maar hier is het voldoende om de variabele te wijzigen:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
We verkrijgen een trigonometrische ongelijkheid die kan worden opgelost met behulp van het algoritme:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
Deze ongelijkheid werd opgelost in voorbeeld 1, dus laten we het antwoord daar vandaan nemen:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\rechts].$
De beslissing is echter nog niet voorbij. We moeten teruggaan naar de oorspronkelijke variabele.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\rechts].$
Laten we ons het interval voorstellen als een systeem:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n
Aan de linkerkant van het systeem bevindt zich een uitdrukking ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), die bij het interval hoort. De linkergrens van het interval is verantwoordelijk voor de eerste ongelijkheid, en de rechtergrens is verantwoordelijk voor de tweede. Bovendien spelen haakjes een belangrijke rol: als de haak vierkant is, zal de ongelijkheid versoepeld zijn, en als deze rond is, zal deze strikt zijn. onze taak is om $x$ van links te krijgen in beide ongelijkheden.
Laten we $\frac(\pi)(6)$ van de linkerkant naar de rechterkant verplaatsen, we krijgen:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.
Vereenvoudigend hebben we:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$
Als we de linker- en rechterkant vermenigvuldigen met $4$, krijgen we:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $
Als we het systeem in het interval assembleren, krijgen we het antwoord:
$x \in \links[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$
De eenvoudigste trigonometrische ongelijkheden van de vorm sin x>a vormen de basis voor het oplossen van meer complexe trigonometrische ongelijkheden.
Laten we eens kijken naar het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische ongelijkheden van de vorm sin x>a op de eenheidscirkel.
1) op 0
Met behulp van de associatie cosinus-bun (beide beginnen met co-, beide zijn "rond"), onthouden we dat cosinus respectievelijk x is en sinus y. Vanaf hier bouwen we een grafiek y=a - een rechte lijn evenwijdig aan de os-as. Als de ongelijkheid strikt is, worden de snijpunten van de eenheidscirkel en de rechte lijn y=a doorboord. Als de ongelijkheid niet strikt is, schilderen we over de punten heen (hoe gemakkelijk is het om te onthouden wanneer een punt doorboord is en wanneer het is gearceerd, zie). De grootste moeilijkheid bij het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische ongelijkheden wordt veroorzaakt door het correct vinden van de snijpunten van de eenheidscirkel en de lijn y=a.
Het eerste punt is gemakkelijk te vinden: het is boog-in-a. We bepalen het pad waarlangs we van het eerste punt naar het tweede gaan. Op de lijn y=a sinx=a, boven, boven de lijn, sin x>a, en onder, onder de lijn, sin x
2) a=0, dat wil zeggen sin x>0
In dit geval is het eerste punt van het interval 0, het tweede is n. Aan beide uiteinden van het interval voegen we, rekening houdend met de periode van de sinus, 2n toe.
3) voor a=-1 is dat sinx>-1
In dit geval is het eerste punt p/2, en om bij het tweede punt te komen, gaan we de hele cirkel tegen de klok in rond. We komen op het punt -p/2+2p=3p/2. Om rekening te houden met alle intervallen die oplossingen zijn voor deze ongelijkheid, voegen we aan beide uiteinden 2n toe.
4) sinx>-a, op 0
Het eerste punt is, zoals gewoonlijk, arcsin(-a)=-arcsina. Om bij het tweede punt te komen, gaan we de bovenste weg, dat wil zeggen in de richting van het vergroten van de hoek.
Deze keer gaan we verder dan n. Hoe lang gaan we? Op boogsin x. Dit betekent dat het tweede punt n+boogsin x is. Waarom is er geen minpunt? Omdat de min in de notatie -bogen een beweging met de klok mee betekent, maar we gingen tegen de klok in. En voeg ten slotte 2pn toe aan elk uiteinde van het interval.
5) sinx>a, als a>1.
De eenheidscirkel ligt geheel onder de rechte lijn y=a. Er is geen enkel punt boven de rechte lijn. Er zijn dus geen oplossingen.
6) sinx>-a, waarbij a>1.
In dit geval ligt de gehele eenheidscirkel geheel boven de rechte lijn y=a. Daarom voldoet elk punt aan de voorwaarde sinx>a. Dit betekent dat x een willekeurig getal is.
En hier is x een willekeurig getal, aangezien de punten -n/2+2nn in de oplossing zijn opgenomen, in tegenstelling tot de strikte ongelijkheid sinx>-1. Er is geen noodzaak om iets uit te sluiten.
Het enige punt op de cirkel dat aan deze voorwaarde voldoet is n/2. Rekening houdend met de periode van de sinus, is de oplossing voor deze ongelijkheid de verzameling punten x=n/2+2n.
Los bijvoorbeeld de ongelijkheid sinx>-1/2 op:
Leonard Euler. De tijd verstrijkt en trigonometrie keert terug naar schoolkinderen. Jacob Bernoulli. Het komt voor in het systeem van het begin van de wiskundige analyse. Tot nu toe is trigonometrie gevormd en ontwikkeld. De leer van het meten van veelvlakken. Ontwikkelingsrichtingen van vlakke trigonometrie. De student moet drie keer kennismaken met trigonometrie. De ontwikkeling van trigonometrie van de 16e eeuw tot heden. Constructie van een algemeen systeem van trigonometrische en aanverwante kennis.
""Afgeleide van een functie" graad 10" - "Methode van fluctuaties." Afgeleide formules worden tegenwoordig veel gebruikt, bijvoorbeeld in economische analyses. Bepaal de intervallen van toename en afname van de functie: y = x3 - x2 - 8x + 2. Historische informatie. Definitie. De afgeleide formule wordt vaak aangetroffen in de werken van beroemde wiskundigen uit de 17e eeuw. Toepassing van derivaten in de economie. Toepassing van derivaten in de wiskunde. Afgeleide is een van de fundamentele concepten van de wiskunde.
""Trigonometrische vergelijkingen" 10e leerjaar" - Doe nooit wat u niet weet. Definitie. Zorg voor wortels. Vergelijking kinderbed t = a. Zonde x. Ga verder met de zin. Zoek de wortels van de vergelijking. Waarden uit het interval. Laten we een monster van de wortels nemen. X= bruin x. Los De vergelijking op. Reeks wortels. Klopt de uitdrukking? Trigonometrische vergelijkingen. De vergelijking. Ctg x = 1. Vergelijking tg t = a. Cos 4x. Zonde x = 1. Is de gelijkheid waar?
"Vergelijkingen" - Scheikunde. Wiskunde van de islamitische middeleeuwen. Wiskunde in het oude India. Vergelijkingen zijn overal om ons heen. Het verschijnen van het gelijk-symbool. Wiskunde in het oude Egypte. Algebraïsche methode. Natuurkunde. Waar worden vergelijkingen tegenwoordig gebruikt? Algebra. Rekenkunde van Diophantus. Biologie. Het verschijnen van lettersymbolen. Een beetje geschiedenis. Economie. Methoden voor het oplossen van vergelijkingen. Oplossing. Analytische methode. Onbekend nummer. Wat is een vergelijking?
"Fysische en geometrische betekenis van afgeleide" - Differentiatie. Newton is de schepper van het eerste wetenschappelijke ‘mechanische beeld van de wereld’. Geometrische betekenis van de afgeleide van een functie. Afgeleide van een functie. Fysische en geometrische betekenis van de afgeleide van een functie. Veranderingen en processen die plaatsvinden in het universum. Differentiatie is een unieke wiskundige methode. Uitleg van de fysieke betekenis van de afgeleide functie. Fysieke betekenis afgeleide van een functie. Bedankt voor uw aandacht.
"Trigonometrische ongelijkheden" - Vergelijking. Zonde x > a. Omdat x
Bij het oplossen van ongelijkheden die trigonometrische functies bevatten, worden ze teruggebracht tot de eenvoudigste ongelijkheden van de vorm cos(t)>a, sint(t)=a en soortgelijke. En de eenvoudigste ongelijkheden zijn al opgelost. Laten we eens kijken diverse voorbeelden manieren om eenvoudige trigonometrische ongelijkheden op te lossen.
voorbeeld 1. Los de ongelijkheid sin(t) > = -1/2 op.
Teken een eenheidscirkel. Omdat sin(t) per definitie de y-coördinaat is, markeren we het punt y = -1/2 op de Oy-as. We trekken er een rechte lijn doorheen, parallel aan de Os-as. Markeer op het snijpunt van de rechte lijn met de grafiek van de eenheidscirkel de punten Pt1 en Pt2. We verbinden de oorsprong van coördinaten met de punten Pt1 en Pt2 door twee segmenten.
De oplossing voor deze ongelijkheid zijn alle punten van de eenheidscirkel die zich boven deze punten bevinden. Met andere woorden, de oplossing zal boog l zijn. Nu is het nodig om de voorwaarden aan te geven waaronder een willekeurig punt tot boog l zal behoren.
Pt1 ligt in de rechter halve cirkel, de ordinaat is -1/2, en dan is t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Om punt Pt1 te beschrijven, kunt u de volgende formule schrijven:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Als resultaat verkrijgen we de volgende ongelijkheid voor t:
Wij houden de ongelijkheid in stand. En aangezien de sinusfunctie periodiek is, betekent dit dat de oplossingen elke 2*pi worden herhaald. We voegen deze voorwaarde toe aan de resulterende ongelijkheid voor t en schrijven het antwoord op.
Antwoord: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Voorbeeld 2. Los cos(t)-ongelijkheid op<1/2.
Laten we een eenheidscirkel tekenen. Omdat cos(t) volgens de definitie de x-coördinaat is, markeren we het punt x = 1/2 in de grafiek op de Ox-as.
Door dit punt trekken we een rechte lijn evenwijdig aan de Oy-as. Markeer op het snijpunt van de rechte lijn met de grafiek van de eenheidscirkel de punten Pt1 en Pt2. We verbinden de oorsprong van coördinaten met de punten Pt1 en Pt2 door twee segmenten.
De oplossingen zijn alle punten van de eenheidscirkel die bij boog l horen. Laten we de punten t1 en t2 zoeken.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
We hebben de ongelijkheid voor t: pi/3 Omdat cosinus een periodieke functie is, worden de oplossingen elke 2*pi herhaald. We voegen deze voorwaarde toe aan de resulterende ongelijkheid voor t en schrijven het antwoord op. Antwoord: pi/3+2*pi*n Voorbeeld 3. Ongelijkheid tg(t) oplossen< = 1. De raakperiode is gelijk aan pi. Laten we oplossingen vinden die tot het interval (-pi/2;pi/2) rechter halve cirkel behoren. Vervolgens schrijven we, gebruikmakend van de periodiciteit van de raaklijn, alle oplossingen voor deze ongelijkheid op. Laten we een eenheidscirkel tekenen en er een raaklijn op markeren. Als t een oplossing is voor de ongelijkheid, dan moet de ordinaat van het punt T = tg(t) kleiner dan of gelijk zijn aan 1. De verzameling van dergelijke punten zal de straal AT vormen. De reeks punten Pt die overeenkomt met de punten van deze straal is de boog l. Bovendien behoort punt P(-pi/2) niet tot deze boog. Ongelijkheden zijn relaties van de vorm a › b, waarbij a en b uitdrukkingen zijn die ten minste één variabele bevatten. Ongelijkheid kan strikt zijn - ‹, › en niet-streng - ≥, ≤. Trigonometrische ongelijkheden zijn uitdrukkingen van de vorm: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, waarbij F(x) wordt weergegeven door een of meer goniometrische functies . Een voorbeeld van de eenvoudigste trigonometrische ongelijkheid is: sin x ‹ 1/2. Het is gebruikelijk om dergelijke problemen grafisch op te lossen; hiervoor zijn twee methoden ontwikkeld. Om een interval te vinden dat voldoet aan de voorwaarden ongelijkheid sin x ‹ 1/2, moet je de volgende stappen uitvoeren: Wanneer strikte tekens aanwezig zijn in een uitdrukking, zijn de snijpunten geen oplossingen. Omdat de kleinste positieve periode van een sinusoïde 2π is, schrijven we het antwoord als volgt: Als de tekens van de uitdrukking niet strikt zijn, moet het oplossingsinterval tussen vierkante haken worden geplaatst - . Het antwoord op het probleem kan ook worden geschreven als de volgende ongelijkheid: Soortgelijke problemen kunnen eenvoudig worden opgelost met behulp van een trigonometrische cirkel. Het algoritme voor het vinden van antwoorden is heel eenvoudig: Laten we de stadia van de oplossing analyseren aan de hand van het voorbeeld van de ongelijkheid sin x › 1/2. Punten α en β zijn gemarkeerd op de cirkel - waarden De punten van de boog die zich boven α en β bevinden, zijn het interval voor het oplossen van de gegeven ongelijkheid. Als u een voorbeeld voor cos moet oplossen, wordt de antwoordboog symmetrisch ten opzichte van de OX-as geplaatst, en niet OY. Het verschil tussen de oplossingsintervallen voor sin en cos kun je bekijken in de diagrammen hieronder in de tekst. Grafische oplossingen voor raaklijn- en cotangensongelijkheden zullen verschillen van zowel sinus als cosinus. Dit komt door de eigenschappen van functies. Arctangens en arccotangens raken een trigonometrische cirkel, en de minimale positieve periode voor beide functies is π. Om de tweede methode snel en correct te gebruiken, moet je onthouden op welke as de waarden van sin, cos, tg en ctg zijn uitgezet. De raaklijn loopt parallel aan de OY-as. Als we de waarde van arctan a op de eenheidscirkel uitzetten, bevindt het tweede vereiste punt zich in het diagonale kwart. Hoeken Het zijn breekpunten voor de functie, aangezien de grafiek ernaar neigt, maar ze nooit bereikt. In het geval van cotangens loopt de raaklijn evenwijdig aan de OX-as en wordt de functie onderbroken op de punten π en 2π. Als het argument van de ongelijkheidsfunctie niet alleen wordt weergegeven door een variabele, maar door een hele uitdrukking die een onbekende bevat, dan hebben we het over een complexe ongelijkheid. Het proces en de procedure om het op te lossen verschillen enigszins van de hierboven beschreven methoden. Stel dat we een oplossing moeten vinden voor de volgende ongelijkheid: De grafische oplossing omvat het construeren van een gewone sinusoïde y = sin x met behulp van willekeurig geselecteerde waarden van x. Laten we een tabel berekenen met coördinaten voor de controlepunten van de grafiek: Het resultaat zou een mooie curve moeten zijn. Om het vinden van een oplossing eenvoudiger te maken, vervangen we het complexe functieargumentMethode 1 - Ongelijkheden oplossen door een functie grafisch weer te geven
Methode 2 - Trigonometrische ongelijkheden oplossen met behulp van de eenheidscirkel
Complexe trigonometrische ongelijkheden
