Voor studenten en schoolkinderen - boeken, wiskunde, topologie. Topologie van computernetwerken

Lokaal netwerk - belangrijk onderdeel elke moderne onderneming, zonder welke het onmogelijk is om maximale arbeidsproductiviteit te bereiken. Om echter te profiteren van de netwerkmogelijkheden op volledige kracht, moet u ze correct configureren, waarbij u er ook rekening mee moet houden dat de locatie van de aangesloten computers de prestaties van het LAN beïnvloedt.

Topologieconcept

De topologie van lokale computernetwerken is de locatie van werkstations en knooppunten ten opzichte van elkaar en de opties voor hun verbinding. In feite is dit een LAN-architectuur. De plaatsing van computers is bepalend technische specificaties netwerk, en de keuze van welk type topologie dan ook zal van invloed zijn op:

• Rassen en kenmerken netwerkapparatuur.
• Betrouwbaarheid en schaalbaarheid van LAN.
• Lokale netwerkbeheermethode.

Er zijn veel van dergelijke opties voor de locatie van werkknooppunten en methoden om ze te verbinden, en hun aantal neemt toe in directe verhouding tot de toename van het aantal verbonden computers. De belangrijkste topologieën van lokale netwerken zijn "ster", "bus" en "ring".

Factoren waarmee u rekening moet houden bij het kiezen van een topologie

Voordat u uiteindelijk beslist over de keuze van de topologie, moet u rekening houden met verschillende functies die de prestaties van het netwerk beïnvloeden. Op basis hiervan kunt u de meest geschikte topologie selecteren, de voor- en nadelen van elk ervan analyseren en deze gegevens correleren met de beschikbare omstandigheden voor installatie.

• De functionaliteit en bruikbaarheid van elk van de werkstations die op het LAN zijn aangesloten. Sommige soorten lokale netwerktopologieën zijn hier volledig van afhankelijk.
• Onderhoudsgemak van apparatuur (routers, adapters, enz.). Een defect aan netwerkapparatuur kan de werking van het LAN volledig verstoren of de uitwisseling van informatie met één computer stopzetten.
• Betrouwbaarheid van de gebruikte kabel. Schade eraan verstoort de verzending en ontvangst van gegevens over het hele LAN of een segment ervan.
• Beperking van de kabellengte. Deze factor is ook belangrijk bij het kiezen van een topologie. Als er niet veel kabel beschikbaar is, kun je een opstelling kiezen waarbij je er minder van nodig hebt.

Over de stertopologie

Dit type werkstationopstelling heeft een speciaal centrum - een server, waarop alle andere computers zijn aangesloten. Via de server vinden de gegevensuitwisselingsprocessen plaats. Daarom moet de uitrusting complexer zijn.

Voordelen:

• De topologie van lokale netwerken "ster" steekt gunstig af bij andere volledige afwezigheid conflicten in het LAN - dit wordt bereikt door gecentraliseerd beheer.
• Het uitvallen van een van de knooppunten of schade aan de kabel heeft geen enkel effect op het netwerk als geheel.
• Met slechts twee abonnees, hoofd- en randapparatuur, kunt u de netwerkapparatuur vereenvoudigen.
• Een cluster van verbindingspunten binnen een kleine straal vereenvoudigt het proces van netwerkcontrole en verbetert ook de veiligheid ervan door de toegang tot ongeautoriseerde personen te beperken.

Gebreken:

• Zo'n lokaal netwerk wordt volledig onbruikbaar bij een centrale serverstoring.
• De kosten van een ster zijn hoger dan bij andere topologieën, omdat er veel meer kabel nodig is.

Bustopologie: eenvoudig en goedkoop

Bij deze verbindingsmethode zijn alle werkstations op één lijn aangesloten - coaxiale kabel en gegevens van de ene abonnee worden in half-duplex-uitwisselingsmodus naar anderen verzonden. Lokale netwerktopologieën van dit type vereisen de aanwezigheid van een speciale terminator aan elk uiteinde van de bus, zonder welke het signaal wordt vervormd.

Voordelen:

• Alle computers zijn gelijk.
• De mogelijkheid om het netwerk eenvoudig te schalen, zelfs terwijl het actief is.
• Het falen van één knooppunt heeft geen invloed op de andere.
• Het kabelverbruik wordt aanzienlijk verminderd.

Gebreken:

• Onvoldoende netwerkbetrouwbaarheid door problemen met kabelconnectoren.
• Lage prestaties vanwege de verdeling van het kanaal over alle abonnees.
• Moeilijkheden bij het beheren en detecteren van fouten als gevolg van parallel aangesloten adapters.
• De lengte van de communicatielijn is beperkt, daarom worden dit soort lokale netwerktopologieën slechts voor een klein aantal computers gebruikt.

Kenmerken van de ringtopologie

Bij dit type communicatie wordt een werkknooppunt met twee andere verbonden, gegevens worden van een van hen ontvangen en gegevens naar de tweede verzonden. Het belangrijkste kenmerk van deze topologie is dat elke terminal als repeater fungeert, waardoor de mogelijkheid van signaalverzwakking op het LAN wordt geëlimineerd.

Voordelen:

• Creëer en configureer snel deze lokale netwerktopologie.
• Gemakkelijk te schalen, waarbij echter het netwerk moet worden afgesloten tijdens het installeren van een nieuw knooppunt.
• Een groot aantal mogelijke abonnees.
• Weerstand tegen overbelasting en afwezigheid van netwerkconflicten.
• De mogelijkheid om het netwerk enorm uit te breiden door het signaal tussen computers door te geven.

Gebreken:

• Onbetrouwbaarheid van het netwerk als geheel.
• Gebrek aan weerstand tegen kabelbeschadiging, dus er wordt meestal voorzien in een parallelle back-uplijn.
• Hoog kabelverbruik.

Soorten lokale netwerken

De keuze van de lokale netwerktopologie moet ook worden gemaakt op basis van het beschikbare type LAN. Het netwerk kan worden weergegeven door twee modellen: peer-to-peer en hiërarchisch. Functioneel zijn ze niet erg verschillend, waardoor je indien nodig van de een naar de ander kunt overschakelen. Er zijn echter nog steeds een paar verschillen tussen hen.

Wat het peer-to-peer-model betreft, wordt het gebruik ervan aanbevolen in situaties waarin organisatie mogelijk is groot netwerk is afwezig, maar het creëren van een soort communicatiesysteem is nog steeds noodzakelijk. Het wordt aanbevolen om het alleen voor een klein aantal computers te maken. Gecentraliseerde besturingscommunicatie wordt in verschillende ondernemingen vaak gebruikt om werkstations te bewaken.

Peer-to-peer-netwerk

Dit type LAN impliceert gelijke rechten voor iedereen werkstation, waarbij gegevens onderling worden verdeeld. Toegang tot informatie die op een knooppunt is opgeslagen, kan door de gebruiker ervan worden toegestaan ​​of geweigerd. In dergelijke gevallen zal in de regel de topologie van lokale computernetwerken "bus" het meest geschikt zijn.

Een peer-to-peer-netwerk impliceert de beschikbaarheid van werkstationbronnen voor andere gebruikers. Dit betekent de mogelijkheid om een ​​document op de ene computer te bewerken terwijl u op een andere computer werkt, en op afstand applicaties af te drukken en te starten.

Voordelen van een peer-to-peer LAN-type:

• Gemak van implementatie, installatie en onderhoud.
• Kleine financiële kosten. Dit model elimineert de noodzaak om een ​​dure server aan te schaffen.

Gebreken:

• De netwerkprestaties nemen af ​​in verhouding tot de toename van het aantal verbonden werkknooppunten.
• Afwezig uniform systeem beveiliging.
• Beschikbaarheid van informatie: wanneer u uw computer uitzet, worden de gegevens erop ontoegankelijk voor anderen.
• Er is niet één informatiebasis.

Hiërarchisch model

De meest gebruikte lokale netwerktopologieën zijn gebaseerd op dit type LAN. Het wordt ook wel “client-server” genoemd. De essentie van dit model is dat als er een bepaald aantal abonnees is, er ook één is belangrijkste element- server. Deze besturingscomputer slaat alle gegevens op en verwerkt deze.

Voordelen:

• Uitstekende netwerkprestaties.
• Verenigd betrouwbaar systeem beveiliging.
• Eén informatiebasis die voor iedereen gemeenschappelijk is.
• Eenvoudiger beheer van het gehele netwerk en zijn elementen.

Gebreken:

• De behoefte aan een speciale personeelseenheid: een beheerder die de server bewaakt en onderhoudt.
• Grote financiële kosten voor de aanschaf van een hoofdcomputer.

De meest gebruikte configuratie (topologie) van local computernetwerk in het hiërarchische model is het een “ster”.

De keuze van de topologie (indeling van netwerkapparatuur en werkstations) is uitsluitend belangrijk punt bij het organiseren van een lokaal netwerk. Het gekozen type communicatie moet het meest effectief en efficiënt zijn veilig werken LAN. Ook is het belangrijk om aandacht te besteden aan de financiële kosten en de mogelijkheid tot verdere uitbreiding van het netwerk. Vind een rationele oplossing - geen gemakkelijke taak, wat wordt bereikt door zorgvuldige analyse en een verantwoorde aanpak. In dit geval zullen correct geselecteerde lokale netwerktopologieën maximale prestaties van het gehele LAN als geheel garanderen.

Een verzameling wordt een topologische ruimte genoemd wanneer een bepaalde familie van zijn open deelverzamelingen wordt gegeven die aan de axioma's voldoet. Er zijn veel manieren om de structuur van een topologische ruimte op één set te definiëren: van discrete tot niet-Hausdorff “anti-discrete (= triviale) topologie”, waarbij alle punten aan elkaar worden gelijmd.

De basisconcepten van de verzamelingenleer (verzameling, functie, rangtelwoorden en hoofdtelwoorden, keuzeaxioma, het lemma van Zorn, enz.) zijn niet het onderwerp van de algemene topologie, maar worden er actief door gebruikt. Algemene topologie omvat de volgende secties: eigenschappen van topologische ruimten en hun afbeeldingen, bewerkingen op topologische ruimtes en hun afbeeldingen, classificatie van topologische ruimtes.

Algemene topologie omvat de dimensietheorie.

Verhaal

De algemene topologie ontstond aan het einde van de 19e eeuw. en werd aan het begin van de 20e eeuw een onafhankelijke wiskundige wetenschap. De fundamentele werken zijn van F. Hausdorff, A. Poincaré, P. S. Aleksandrov, P. S. Uryson, L. Brouwer. In het bijzonder werd een van de belangrijkste problemen van de algemene topologie opgelost: het vinden van noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor de metriseerbaarheid van een topologische ruimte.

De snelste ontwikkeling van de algemene topologie als een onafhankelijke tak van kennis vond plaats in het midden van de 20e eeuw en aan het begin van de 21e eeuw. het is eerder een hulpdiscipline die vele gebieden van de wiskunde ‘dient’ met zijn conceptuele apparaat: topologie, functionele analyse, complexe analyse, grafentheorie, enz.

Zie ook

Opmerkingen

• Het concept van de limiet van een functie, geïntroduceerd in de algemene topologie, maakt verdere generalisatie mogelijk binnen het raamwerk van de theorie van pseudotopologische ruimten.

Literatuur

• P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Hoofdpunten in de ontwikkeling van de verzamelingstheoretische topologie
• Alexandrov P.S. Inleiding tot de verzamelingenleer en algemene topologie - M.: Nauka, 1977
• Arkhangelsky A.V., Ponomarev V.I. Grondbeginselen van de algemene topologie in problemen en oefeningen - M.: Nauka, 1974
• Bourbaki N. Elementen van de wiskunde. Algemene topologie. Basisstructuren - M.: Nauka, 1968
• Kelly J.L. Algemene topologie - M.: Nauka, 1968
• Engelking R. Algemene topologie - M.: Mir, 1986
• Viro O. Ya., Ivanov O.A., Kharlamov VM, Netsvetaev N. Yu. Elementaire topologie. Leerboek in problemen (Russisch, Engels)

Wikimedia Stichting.

• 2010.
• GOELAG

Topologische ruimte

Kijk wat "Algemene topologie" is in andere woordenboeken: ALGEMENE TOPOLOGIE - een tak van de meetkunde gewijd aan de studie van continuïteit en doorgang tot het uiterste op dat natuurlijke niveau van algemeenheid, dat wordt bepaald door de aard van deze concepten. De initiële concepten van O. t. de concepten van topologische ruimte en continue... ...

Wiskundige encyclopedie Algemene algebra - (ook abstracte algebra, hogere algebra) een tak van de wiskunde die bestudeert algebraïsche systemen

(ook wel algebraïsche structuren genoemd), zoals groepen, ringen, velden, gedeeltelijk geordende verzamelingen, roosters, evenals ... ... Wikipedia Topologie

(ook wel algebraïsche structuren genoemd), zoals groepen, ringen, velden, gedeeltelijk geordende verzamelingen, roosters, evenals ... ... Wikipedia- Niet te verwarren met topografie. Deze term heeft andere betekenissen, zie Topologie (betekenissen). Möbius stripoppervlak... Wikipedia - (van het Griekse topos plaats en ... logica (zie ... Logia) een deel van de geometrie gewijd aan de studie van het fenomeen continuïteit (bijvoorbeeld uitgedrukt in het concept van limiet). Een verscheidenheid aan manifestaties van continuïteit in wiskunde en een breed scala aan verschillende ... ...

Grote Sovjet-encyclopedie Zariski-topologie

- Dit artikel zou Wikiified moeten zijn. Formatteer het volgens de opmaakregels van het artikel. Zariski-topologie in de algebraïsche meetkunde is een speciale topologie die de algebraïsche weergeeft op ... Wikipedia TOPOLOGIE - een tak van de wiskunde die de eigenschappen bestudeert van figuren (of ruimtes) die behouden blijven onder voortdurende vervormingen, zoals uitrekken, samendrukken of buigen. Continue vervorming is een vervorming van de figuur waarbij er geen... ...

Collier's Encyclopedie Gemeenschappelijk punt (wiskunde)

- Deze term heeft andere betekenissen, zie Algemeen punt. Een gemeenschappelijk punt is een punt in een topologische ruimte waarvan de afsluiting samenvalt met de gehele ruimte. Een topologische ruimte met een gemeenschappelijk punt is onherleidbaar... ... Wikipedia topologie - Fysieke of logische distributie van netwerkknooppunten. Fysieke topologie definieert fysieke verbindingen (kanalen) tussen knooppunten. Logische topologie beschrijft mogelijke verbindingen tussen netwerkknooppunten. IN de meest voorkomende zijn drie... Handleiding voor technische vertalers

- Dit artikel zou Wikiified moeten zijn. Formatteer het volgens de opmaakregels van het artikel. Zariski-topologie in de algebraïsche meetkunde is een speciale topologie die de algebraïsche weergeeft op ... Wikipedia- in brede zin: het vakgebied van de wiskunde dat de topologie bestudeert. eigenschappen ontleden. wiskunde. en fysiek voorwerpen. Intuïtief, tot topologisch Deze omvatten hoogwaardige, stabiele eigenschappen die niet veranderen bij vervorming. Wiskunde. formalisering van het idee van topologie eigenschappen... ... Fysieke encyclopedie

Algemene systeemtheorie- (systeemtheorie) wetenschappelijk en methodologisch concept van het bestuderen van objecten die systemen zijn. Het is nauw verwant aan systematische aanpak en is een concretisering van de principes en methoden ervan. De eerste versie van de algemene systeemtheorie was... ... Wikipedia

Boeken

• Algemene topologie. Basisstructuren, N. Bourbaki. In deze nieuwe uitgave zijn op detailniveau een flink aantal wijzigingen aangebracht; Bovendien is het gehele plan van Ch. I en II met als doel het materiaal beter te ordenen in overeenstemming met algemene ideeën ...

Cursussen

over het onderwerp: “Elementen van algemene topologie”

Invoering

Topologie is een van de jongste takken van de meetkunde. Topologie is een van de meest abstracte takken van de moderne wiskunde. In de ongeveer honderd jaar van zijn bestaan ​​heeft het resultaten geboekt die van belang zijn voor veel takken van de wiskunde.

Topologie (van het Griekse “τοποξ” - plaats, buurt, “λογοξ” - wet) is een tak van de wiskunde die de ideeën van continuïteit bestudeert. In de topologie worden voor het eerst strikte definities gegeven van fundamentele geometrieconcepten als lijn en oppervlak. Het onderwerp topologie zijn de eigenschappen van figuren die bewaard blijven onder homeomorfismen, dat wil zeggen afbeeldingen die één-op-één zijn en continu in beide richtingen. Topologie is als wetenschap ontstaan ​​uit de behoeften die daarmee samenhangen wiskundige analyse. Hoewel deze wetenschap als jong wordt beschouwd, is ze eigenlijk al heel lang bekend, juist vanwege haar nauwe banden met wiskundige analyse. De ideeën van de topologie komen uit de werken van zulke grote wiskundigen uit de 19e eeuw. zoals Rimmmann, Poincaré, Cantor, Euler. De ontwikkeling van de topologie vordert in een snel tempo groot aantal Dit proces is op dit moment nog niet voltooid, hoewel een aantal grote problemen waarmee de topologie wordt geconfronteerd, met succes zijn opgelost. Topologische staalmethoden krachtig hulpmiddel wiskundig onderzoek. De topologische benadering stelt ons in staat veel bewijzen van fundamentele stellingen van de klassieke wiskunde te vereenvoudigen en deze stellingen te generaliseren naar bredere klassen van ruimten.

De geometrie van de schoolcursus behandelt voornamelijk de eigenschappen van figuren die verband houden met de concepten lengte, oppervlakte, volume, dat wil zeggen de metrische eigenschappen van figuren. Slechts een paar stellingen en problemen in de cursus geometrie op school houden rekening met eigenschappen van een andere aard. Topologie is precies een tak van de meetkunde die de eigenschappen bestudeert van figuren die kunnen worden vastgesteld zonder hoeveelheden te meten en te vergelijken, maar tegelijkertijd een geometrische betekenis hebben.

Het doel van het eerste hoofdstuk cursus werk Het was noodzakelijk om de belangrijkste elementen van de algemene topologie te overwegen.

· een definitie geven van topologische ruimte;

· de eigenschappen van topologische ruimtes overwegen;

· karakteriseren van topologische transformaties.

In het tweede hoofdstuk van het werk probeerden we de topologische eigenschappen van oppervlakken te overwegen. De volgende taken zijn vastgelegd:

· geef een definitie van een tweedimensionaal verdeelstuk;

· denk aan de Euler-karakteristiek van het oppervlak;

· karakteriseren van oriënteerbare en niet-oriënteerbare oppervlakken.

1. Elementen van algemene topologie

1.1 Het concept van topologische ruimte

1.1.1 Het concept van metrische ruimte

Definitie 1. Het Cartesiaanse product van verzamelingen A en B wordt gedefinieerd als de verzameling van alle geordende paren (x, y), waarbij xОА, уОВ, dat wil zeggen

A´B = ((x, y) | xОА, уОВ).

In het bijzonder is het mogelijk dat A = B.

Definitie 2. Er wordt gezegd dat een set X een bepaalde metriek r heeft als de mapping

r: X ´ X ®R,

voldoen aan de volgende axioma's:

1. " x, y Î X (r (x, y) ³ 0), met r (x, y) = 0 Û x = y.

2. " x, y О Х (r (x, y) = r (y, x)).

3. " x, y, zО Х (r (x, y) + r (y, z) ³r (x, z)).

Voorwaarden 1, 2, 3 worden metrische axioma's genoemd, terwijl voorwaarde 2 het symmetrie-axioma wordt genoemd en 3 het driehoeksaxioma.

Definitie 3. Een verzameling X met een metriek r erop wordt een metrische ruimte genoemd en wordt aangegeven met (X, r).

In gevallen waarin het duidelijk is over welke statistiek we het hebben waar we het over hebben, wordt de metrische ruimte (X,r) eenvoudigweg aangegeven met X.

Het getal r(x, y) wordt de afstand tussen de punten x en y in de X-ruimte genoemd.

1.1.2 Voorbeelden van metrische spaties

Voorbeeld 1. Laten we de afstand voor elementen van een willekeurige niet-lege verzameling X als volgt definiëren:

Het is duidelijk dat aan de axioma's 1 – 3 is voldaan, en daarom is (X, r) een metrische ruimte.

Voorbeeld 2 . Verzameling van reële getallen R met afstand

r(x, y) = (y – x) 2 is geen metrische ruimte.

Aan het derde axioma is inderdaad niet voldaan. Voor drie punten 2, 3 en 4 krijgen we bijvoorbeeld:

r(2, 3) = (3 – 2) 2 = 1, r(3, 4) = (4 – 3) 2 = 1,

r(2, 4) = (4 – 2) 2 = 4 en r(2, 3) + r(3, 4)< r(2, 4).

Definitie 1. Laat (X, r) een metrische ruimte zijn, x 0 О X,

r > 0 is een reëel getal. Laten we een open bal met middelpunt op punt x 0 en straal r de verzameling noemen

U (x 0, r) = (x | xÎX, r (x, x 0)

Definitie 2. We noemen de deelverzameling GÌ X open in

(X, r) als een van zijn punten het middelpunt is van een open bal in G.

De lege verzameling Æ wordt ook als een open verzameling beschouwd.

Definitie 3. Een buurt van een punt in de ametrische ruimte is elke open verzameling die dit punt bevat.

Laten we de verzameling van alle open verzamelingen in (X, r) eenvoudigweg aangeven met Ф r.

Dan geldt de volgende stelling.

Stelling. 1) De vereniging van elke verzameling (G a) verzamelingen uit Ф r behoort tot Ф r.

2) Het snijpunt van twee willekeurige verzamelingen G 1 en G 2 uit Ф r behoort tot Ф r.

G 1 ÇG 2 О Ф r .

3) De metrische ruimte X is dus een open verzameling

X Î Ф r , ÆО Ф r .

Bewijs. 1) Laat

Laten we een willekeurig punt x 0 ОG nemen. Dan bestaat er een 0 zodat x 0 О

U (x 0 , r 0) М

0 ÌG, dan U (x 0, r 0) ÌG.

G is dus een open verzameling.

2) Zij G = G 1 ÇG 2, waarbij G 1, G 2 О Ф r en G

Als x 0 ÎG, dan x 0 ÎG 1 en x 0 ÎG 2.

Dan zijn er stralen r 1 en r 2 zodanig dat

U(x 0, r 1) ÌG 1, U(x 0, r 2) ÌG 2.

Laten we dan r= min(r 1 , r 2 ) aanduiden

U (x 0, r) ÌG 1 ÇG 2 = G.

G is dus een open verzameling.

3. Omdat je het je altijd kunt voorstellen

Als de unie over alle punten van de ruimte wordt beschouwd, verkrijgen we op grond van 1 dat de ruimte X open is. We nemen aan dat de lege verzameling altijd open is.

In wat volgt zullen we de familie Ф r van alle open verzamelingen in de door ons beschreven metrische ruimte (X, r) de topologie noemen die wordt geïnduceerd door de metriek r in X.

1.1.3 Definitie en voorbeelden van topologische ruimtes

Veel concepten van de theorie van metrische ruimten (limiet, limietpunt, contactpunt, afsluiting van een verzameling, grens van een verzameling, continuïteit, enz.) worden geïntroduceerd op basis van het concept van een buurt of, wat hetzelfde is, op het concept van een open verzameling. Het concept van buurt en open set wordt gedefinieerd met behulp van een metriek.

Definitie 1. De eigenschappen van open verzamelingen in een metrische ruimte worden als axioma's beschouwd. Dit pad leidt ons naar topologische ruimten, waarbij metrische ruimten een speciaal geval zijn.

1. De verzameling X zelf en de lege verzameling Æ behoren tot de familie F.

2. De vereniging van elke familie van verzamelingen uit Φ behoort ook tot Φ.

3. Het snijpunt van twee willekeurige verzamelingen uit Φ behoort ook tot Φ.

Dan wordt de familie Φ een topologie of topologische structuur genoemd.

Het paar (X, Ф) of, met andere woorden, de verzameling X, waarin een bepaalde topologie wordt gegeven, wordt een topologische ruimte genoemd.

De elementen van de verzameling X worden punten van de topologische ruimte genoemd, de elementen van de familie Φ worden open verzamelingen genoemd in (X, Φ).

Als er geen misverstanden kunnen ontstaan, mag men eenvoudigweg schrijven: X is een topologische ruimte, G

Voorbeelden van topologische ruimtes.

Voorbeeld 1. X is een willekeurige verzameling. Uit Axioma 1 van een topologische ruimte volgt dat er onder open verzamelingen van elke topologische structuur in X noodzakelijkerwijs een lege verzameling Æ moet zijn en de verzameling X zelf. Uiteraard voor een familie

Ft = (Æ, X),

die alleen uit deze twee sets bestaat, wordt ook aan axioma 2 en 3 voldaan.

Daarom is Φ t = (Æ, X) de eenvoudigste topologische structuur in X. Deze topologie wordt triviaal genoemd, en het paar (X, Φ) wordt een triviale topologische ruimte genoemd. Soms wordt dit paar een anti-discrete topologische ruimte genoemd.

Voorbeeld 2. Het andere uiterste is de zogenaamde discrete topologische ruimte (X, Ф d), waarbij Ф d de familie is van alle deelverzamelingen van de verzameling X. Het is duidelijk dat in dit geval aan alle axioma's 1 – 3 is voldaan.

1. Algemene topologie. Algemene topologie bestaat sinds de ontwikkeling van Cantors verzamelingenleer, toen de theorie van puntverzamelingen in de Euclidische ruimte werd gecreëerd. De Euclidische ruimte is een ruimte waarin afstand wordt geïntroduceerd, zodat deze als een reeks punten zijn eigen topologie krijgt.

Dankzij dit werden de concepten van gesloten en open buurtsets en accumulatiepunten ontwikkeld. Deze concepten zijn van fundamenteel belang in verschillende gebieden van de wiskunde, in het bijzonder in de analyse.

De theorie van puntensets in de Euclidische ruimte diende als uitgangspunt bij de ontwikkeling van het algemene idee van topologische ruimte. Dit begon met Fréchets (1878-1973) werk uit 1907 over -ruimtes. Terwijl Fréchet onderzoek deed op het gebied van functionele analyse, definieerde hij de ruimte met behulp van het concept van convergentie, dat de kern vormt van alle topologie. De verdienste van Frechet is dat hij de basisprincipes van de abstracte ruimte naar voren bracht. Dit was een afwijking van de gebruikelijke overwegingen in de Euclidische ruimte. Een punt in de abstracte ruimte is niet langer een punt in de zin dat het in de Euclidische meetkunde wordt begrepen. Als we het hebben over een verzameling waarin het concept van convergentie is gedefinieerd, dan is dit al een topologische ruimte. De abstracte ruimtetheorie ging geleidelijk op in wat nu wordt gedefinieerd als de theorie van de topologische ruimten. Abstractie van het idee van ruimte opende de weg voor de vorming van veel belangrijke concepten in verschillende takken van de wiskunde.

We zullen slechts de namen noemen van enkele wiskundigen die een fundamentele bijdrage hebben geleverd aan de ontwikkeling van de fundamentele principes van de topologie.

In 1909 onderzocht Rees (1880-1956) de grenspunten van een verzameling. In 1914 kwam Hausdorff (1868-1942) met het concept op de proppen

buurtsystemen. In 1922 introduceerde Kuratowski (geb. 1896) de axiomatiek van afsluiting, in 1925 bouwde Aleksandrov (geb. 1896) de theorie van open verzamelingen, en in 1927 Sierpiński (1882-1969) de theorie van gesloten verzamelingen.

Ongeveer veertig jaar geleden werd, in tegenstelling tot de huidige staat van de algebraïsche topologie, algebraïsche apparatuur schuchter gebruikt. In die tijd werden zeer visuele methoden gebruikt om geometrische figuren te bestuderen, die de geometrische topologie van de verzamelingenleer vormden. Er werd onderzoek gedaan naar de theorie van gebogen lijnen, de dimensietheorie, die momenteel deel uitmaakt van de algemene topologie.

2. Combinatorische topologie. Bij het bestuderen van de geometrische eigenschappen van spruitstukken gebruikte Poincaré de verdeling van het spruitstuk in elementaire simplexen en creëerde omgekeerd complexe combinatorische structuren uit de simplexen. In dit geval gebruikte Poincaré het door hem geïntroduceerde apparaat van homologiegroepen. Verdere vooruitgang in de combinatorische topologie gaat gepaard met zulke significante resultaten als die van Hopf (1895-1971), de stellingen over vaste punten van de Lefschetz-kaart (1884-1972), en de dualiteitsstellingen van Poincaré en Alexander. Deze geometrische theorieën, die deel uitmaken van de combinatorische topologie, zijn een tak van de algebraïsche topologie. Sinds ongeveer 1940 heeft het een belangrijke ontwikkeling doorgemaakt in verband met de studie van lineaire beelden van combinatorische structuren, waarbij Whitehead (1904-1960) opmerkelijke resultaten behaalde. Deze discipline werd topologie genoemd.

De positieve oplossing voor het algemene vermoeden van Poincaré is hierboven al besproken. Terwijl we de kwestie van het definiëren van combinatorische variëteiten aanroerden, hadden we het niet over de bekende basisaanname van combinatorische topologie, die in 1961 werd weerlegd door Mazur en Milnor (geb. 1931).

Basisaanname van combinatorische topologie (Hauptvermutung). Aan het begin van de 20e eeuw ontwikkelde de combinatorische topologie zich bijzonder sterk in Duitsland, en de overgrote meerderheid van de werken werd in het Duits gepubliceerd. De hier genoemde basishypothese werd voor het eerst ook in het Duits geformuleerd. Tot op de dag van vandaag wordt het in verschillende werken in het Duits vaak Hauptvermutung genoemd. De formulering van deze aanname is als volgt: als de veelvlakken van twee complexen K tot K homeomorf zijn, dan kunnen ze zodanig worden onderverdeeld dat de resulterende complexen gelijke complexen zijn.

Complexen waarvan de onderverdelingen gelijk zijn, worden combinatorisch equivalent genoemd. Bij het definiëren van een combinatorisch verdeelstuk lijkt het logisch om te vereisen dat het sterveelvlak en de -dimensionale simplex homeomorf zijn. In het algemene geval blijft het echter onbekend of ze als gelijkwaardig kunnen worden beschouwd. Daarom is het handiger om te eisen dat ze combinatorisch gelijkwaardig zijn.

3. Algebraïsche topologie. Algebraïsche topologie is een tak van de meetkunde waarvan het doel is om topologische invarianten vast te stellen op basis van

toepassingen van groepentheorie. Algebraïsche topologie wordt beschouwd als de leidende tak van de topologie. De hierboven genoemde homologietheorie is ook van toepassing op dit gebied van de geometrie. Andere verworvenheden van de algebraïsche topologie zijn onder meer de cohomologiegroepen die zijn geïntroduceerd in de werken van Alexander en Kolmogorov (geb. 1903).

In recentere tijden maakte de algebraïsche topologie een sprong voorwaarts met het werk van Steenrod (1910–1971) over de cohomologietheorie, gepubliceerd in 1947, en Serre's (geb. 1926) onderzoek naar spectrale reeksen in 1951.

4. Differentiële topologie. Er is een gebied van de topologie, waarvan het onderzoeksobject differentieerbare variëteiten is. De essentie van een differentieerbaar verdeelstuk is de mogelijkheid om differentieerbare functies te beschouwen die op dit verdeelstuk zijn gedefinieerd. Als we het specifieker hebben over differentieerbare verdeelstukken, moeten we allereerst bedenken dat elk punt van het verdeelstuk een buurt heeft die homeomorf is met de open schijf (of, wat hetzelfde is, de gehele Euclidische ruimte). Coördinaten gegeven in de Euclidische ruimte worden via homeomorfismen overgebracht naar de buurt van elk punt van het verdeelstuk. Dit zijn de zogenaamde lokale coördinaten. Omdat een punt van een verdeelstuk tegelijkertijd tot veel buurten behoort, komt het overeen met evenveel verschillende systemen van lokale coördinaten. Een verdeelstuk is differentieerbaar als de transformatiefuncties van het ene lokale coördinatensysteem naar het andere differentieerbaar zijn.

Waarschijnlijk hadden er specifieke formules moeten worden gegeven, maar de essentie kan, denk ik, zelfs zonder deze duidelijk zijn.

De onmiddellijke indruk van een differentieerbaar verdeelstuk komt tot uiting in het veelvuldig gebruik van de term "gladde verdeelstuk". Gladheid bestaat in feite uit het feit dat de omgeving van elk punt op een differentieerbare manier kan worden uitgebreid. Gladde rondingen van een oppervlak, zoals een bol of een torusoppervlak, zijn differentieerbare spruitstukken.

In de differentiële topologie kan men daarom niet alleen rekening houden met afbeeldingen die continu zijn ten opzichte van de punten van de variëteit, maar ook met differentieerbare afbeeldingen. Als we differentiatievoorwaarden toevoegen aan de algemene voorwaarden voor het homeomorfisme van het ene verdeelstuk naar het andere, verkrijgen we een isomorfisme van hun gladde structuren, of het zogenaamde diffeomorfisme.

Met andere woorden, gladde structuren die diffeomorf zijn en van elkaar kunnen differentiëren

variëteiten zijn gelijk. Dergelijke verdeelstukken zijn het belangrijkste studieobject in de differentiële topologie. Dit deel van de geometrie houdt verband met de studie van de globale eigenschappen van spruitstukken, en hier zullen we niet specifiek dergelijke kwesties van differentiële geometrie als kromming, enz. beschouwen.

Fundamenteel onderzoek op het gebied van differentiële topologie werd in 1930 uitgevoerd door Whitney (geb. 1907). Toen nam de onderzoeksactiviteit op dit gebied enigszins af.

In 1952 construeerde Tom (geb. 1923), winnaar van de Fields Prize van 1958, gebaseerd op de theorie van homologie en homotopiegroepen, de theorie van cobordisme. Onlangs ontwikkelde hij de inmiddels algemeen bekende catastrofetheorie.

In 1956 ontdekte Milnor verbazingwekkende kenmerken van de differentiële structuur die inherent is aan de zevendimensionale sfeer. De essentie van Milnors vertrek, wat in een notendop volkomen onverwacht was, niet alleen vanuit geometrisch oogpunt, maar ook vanuit analytisch oogpunt. is dat er gladde zevendimensionale bollen zijn die ertussenin zijn, homeomorf, maar niet diffeomorf. Het bewijs van dit feit is gebaseerd op een voorbereidende studie van de eigenschappen en hoeveelheden die behouden blijven onder diffeomorfismen, waarvan de daaropvolgende vergelijking tot de conclusie leidde dat er verschillende differentiële structuren zijn op de zevendimensionale sfeer.

In de differentiële topologie werden een aantal diepe stellingen verkregen, waardoor deze bekend werd als een van de meest opmerkelijke

gebieden van alle wiskunde. Een aantal prestaties op het gebied van differentiële topologie houden verband met combinatorische topologie. Dit wordt bijvoorbeeld bevestigd door de stelling dat elke differentieerbare variëteit een combinatorische variëteit is.

5. Geometrische topologie. Deze naam, en het deel van de topologie zelf, wordt geenszins universeel erkend. Bij de studie van topologische eigenschappen van geometrische figuren is er een richting waarin de algebraïsche methode niet wordt gebruikt, zoals het geval was bij de studie van combinatorische en gladde structuren, en de studie van geometrische eigenschappen direct wordt uitgevoerd. Dit verklaart de naam “geometrische topologie”. Het belangrijkste studieobject van de geometrische topologie zijn ongebruikelijke geometrische figuren in de Euclidische ruimte. De woorden 'ongebruikelijke geometrische figuren' worden hier gebruikt omdat we het enerzijds hebben over ongebruikelijke figuren, waarop het bijzonder moeilijk is om algebraïsche methoden toe te passen. , en aan de andere kant zijn deze figuren geometrisch genoeg om er een visuele weergave van te hebben. De richting waarin ongebruikelijke figuren worden bestudeerd, zou geometrische pathologie van figuren kunnen worden genoemd.

Het onderzoeksinstrument vertegenwoordigt in dit geval geen methodologisch ontwikkelde theorie. De studie van bepaalde geometrische figuren bestaat uit direct

visuele waarneming gevolgd door een keten van strikt onderbouwde redeneringen. Daarom zijn scherpte van perceptie en juistheid van logische conclusies hier noodzakelijk. Tot de nieuwste prestaties op het gebied van de studie van pathologische (wilde) geometrische figuren behoort bijvoorbeeld de studie van driedimensionale spruitstukken. Het probleem van de topologische classificatie van driedimensionale variëteiten is, zoals al duidelijk blijkt uit de redenering over het vermoeden van Poincaré, nog lang niet opgelost en lijkt uiterst moeilijk. Het was vanuit de kant van de Poincaré-hypothese dat veel onderzoekers het probleem van classificatie nauw benaderden en significante resultaten behaalden. Bekend is het onderzoek van Papakirvyakopoulos (1914-1976), waardoor deze ‘gerespecteerde Pap’ in 1957 het probleem van Deng (1878-1952) over de bol oploste. De bolstelling is als volgt geformuleerd: als er een driedimensionaal oriënteerbaar verdeelstuk c (een tweedimensionale homotopiegroep) bestaat, dan bestaat er een ingebedde niet-samentrekbare tweedimensionale bol. Deze bol 52 verzekert precies de niet-trivialiteit van het tweedimensionale homotopiegroep Deze stelling onthult een ander verband tussen combinatorische en algebraïsche topologie. Gezegd moet worden dat veel resultaten van het ene gebied tot op zekere hoogte onderling bruikbaar zijn in een aangrenzend gebied, alhoewel in elk specifiek geval de essentie van de problematiek direct aan toetsing onderhevig is.

Wat het zojuist genoemde probleem betreft, werd de oplossing ervan, die gebaseerd was op een aantal hulplemma's, aangekondigd door

in 1910, toen hij de geometrie van driedimensionale spruitstukken bestudeerde. Kneser (geb. 1898) en anderen wezen echter al snel op hiaten in het verstrekte bewijsmateriaal. Pas veel later, in 1957, werd het definitieve bewijs verkregen.

Bij de vragen over het construeren van driedimensionale spruitstukken uit eenvoudigere spruitstukken stelde Kneser een belangrijke stelling voor, die in 1962 door Milnor werd verbeterd. Hoewel we deze stellingen vermelden, presenteren we hun formuleringen hier niet eens vanwege hun complexiteit.

Onder de werken gewijd aan de studie van ‘wilde’ variëteiten moet ook het werk van Alexander uit 1924 worden opgemerkt, dat volgde op het werk van Antoine in 1921, waarin hij de constructie van de zogenaamde gehoornde bol voorstelde. De gehoornde Alexander-bol, die wordt getoond in Fig. 107, een ongewone, moeilijk waar te nemen wilde figuur. Vervolgens werd het onderzoek in deze richting voortgezet door Stallings, Bing (geb. 1914) en anderen.

We hebben dus een algemeen overzicht gegeven van de belangrijkste gebieden van de topologie. Deze gebieden hebben onderling uiteraard geen scherpe grenzen. Combinatorische topologie is dus zeer nauw verwant aan zowel geometrische als differentiële topologie. In elk van deze gebieden wordt het apparaat van de algebraïsche topologie gebruikt.

Verder moet worden benadrukt dat topologische methoden op verschillende gebieden van de wiskunde worden gebruikt. Dus hoewel we het probleem van het classificeren van geometrische figuren bijna niet hebben aangeroerd, merken we op dat er hier veel vragen van topologische aard zijn. Het is voldoende om het knopenprobleem in herinnering te brengen, dat een speciaal geval is van het meer algemene probleem van het inbedden van verdeelstukken in de Euclidische ruimte of in een ander verdeelstuk. Als eenvoudig voorbeeld kunnen we wijzen op het topologische probleem van het plaatsen van een gesloten gebogen lijn - een cirkel - op gesloten gebogen oppervlakken van geslacht 1, 2, enz.

Topologie is een moderne tak van de wiskunde, en een presentatie van de inhoud van een van de gebieden ervan leidt onvermijdelijk tot een discussie over urgente problemen met betrekking tot de huidige staat van de wiskunde en de vooruitzichten voor de ontwikkeling ervan. Omdat we ons echter genoodzaakt zien te beperken tot een korte beschrijving van slechts enkele van de meest algemene wiskundige principes en ideeën, moest veel tot een minimum worden beperkt of helemaal worden weggelaten.

Een tak van de meetkunde gewijd aan de studie van continuïteit en doorgang tot het uiterste op dat natuurlijke niveau van algemeenheid, dat wordt bepaald door de aard van deze concepten. De initiële concepten van O. t topologische ruimte En continue weergave, geïsoleerd in 1914 door F. Hausdorf.

Een speciaal geval van continue mappings zijn homeomorfismen: continue, onderling identificerende topologische mappings. ruimtes met een continue inverse kaart. Ruimten die door middel van homeomorfisme (dat wil zeggen homeomorfe ruimtes) op elkaar kunnen worden afgebeeld, worden in de wiskundige theorie als identiek beschouwd. Een van de hoofdtaken van O. t. invarianten - een eigenschap van ruimtes die behouden blijven door homeomorfismen. Uiteraard is elke eigenschap van ruimte exclusief geformuleerd

Daarom is het, in termen van zijn topologie, automatisch topologisch. invariant. Bewijs van topologie Invariantie van een eigenschap van ruimte is alleen vereist als deze wordt geformuleerd met behulp van aanvullende structuren die zijn gedefinieerd op een reeks punten in de ruimte en die op de een of andere manier verband houden met de topologie ervan. Een voorbeeld is topologisch. invariantie van homologiegroepen.

Topologisch de invariant wordt niet noodzakelijkerwijs uitgedrukt als een getal; bijvoorbeeld connectiviteit, compactheid, metriseerbaarheid - topologisch. invarianten. Onder de numerieke invarianten (die numerieke waarden aannemen voor specifieke topologische ruimtes) zijn de dimensionale invarianten de belangrijkste: de kleine inductieve dimensie ind, de grote inductieve dimensie Ind en de Lebesgue-dimensie dim (dimensie in de zin van bedekkingen) .

Topologische factoren spelen een belangrijke rol. invarianten van een andere aard, waarvan de waarden zijn hoofdtelwoorden. Onder hen: gewicht, karakter.

In verband met het topologische systeem. uit invarianten ontstaan ​​topologische klassen. spaties - elke klasse wordt bepaald door een beperking op een of andere topologie. in variant. De belangrijkste klassen metrizabele ruimten, bicompacte ruimten, Tikhonovruimten, paracompacte ruimten, cirrusruimten.

De belangrijkste “interne” taken van O. t. zijn als volgt: 1) het identificeren van nieuwe belangrijke klassen van topologie. spaties; 2) vergelijking van verschillende klassen van topologie. spaties; 3) de studie van ruimtes binnen een bepaalde klasse en de categorische eigenschappen van deze klasse als geheel. Centraal bij deze groep staat uiteraard taak 2), gericht op het waarborgen van de interne eenheid van O. t.

Identificatie van nieuwe belangrijke klassen van topologie. ruimten (dat wil zeggen nieuwe topologische invarianten) wordt vaak geassocieerd met de overweging van aanvullende structuren in de ruimte (numeriek, algebraïsch, ordinaal), die uiteraard consistent zijn met de topologie ervan. Er worden dus metriseerbare ruimtes, geordende ruimtes en ruimtes van topologische groepen onderscheiden. symmetrische ruimtes, enz. De afdekmethode speelt een belangrijke rol bij het oplossen van problemen 1), 2), 3). In de taal van omhulsels en relaties tussen omhulsels, waarvan de belangrijkste de relaties tussen inscriptie en sterreninscriptie zijn, worden de fundamentele klassen van compacte en paracompacte ruimtes onderscheiden en worden theologische theorieën geformuleerd. eigenschappen zoals compactheid. De coatingmethode speelt hierbij een belangrijke rol pas-dimensies van de theorie.

Om het centrale probleem 2) op te lossen is vooral de methode van onderlinge classificatie van ruimtes en mappings belangrijk. Het is gericht op het leggen van verbindingen tussen verschillende klassen van topologie. ruimtes door middel van continue mappings, onderworpen aan bepaalde eenvoudige beperkingen. In dit geval kunnen ruimtes van zeer algemene aard worden omschreven als afbeeldingen van eenvoudigere ruimtes onder ‘goede’ mappings. Ruimten met het eerste axioma van telbaarheid worden bijvoorbeeld gekarakteriseerd als afbeeldingen van metriek. ruimtes onder continue open mappings. Dit soort verbindingen vormen een effectief systeem van referentiepunten bij het overwegen van topologische klassen. ruimtes.

Omgekeerde methode spectra, nauw verwant aan de dekkingsmethode en de karteringsmethode, maakt het het mogelijk de studie van complexe topologie te verminderen ruimten tot het overwegen van systemen voor het in kaart brengen van eenvoudiger ruimten.

Ten slotte omvat de oplossing van probleem 2) in wezen de methode van topologische topologische waarden. invarianten, of kracht kenmerken. Dit soort invarianten komen het meest overeen met de verzamelingstheoretische aard van de topologische theorie. In dit opzicht is het systeem van kardinaal gewaardeerde invarianten zeer vertakt en beïnvloedt het bijna alle andere topologische invarianten. eigenschappen. Een ander belangrijk kenmerk van kardinaal gewaardeerde invarianten is hun nauwe relatie, die gebaseerd is op het vermogen om rekenkundige berekeningen uit te voeren over dergelijke invarianten. activiteiten en vergelijk ze op omvang. Dankzij deze kenmerken speelt de theorie van kardinaal gewaardeerde invarianten een verenigende rol in de theoretische theorie en biedt ze een benadering voor elk van de secties ervan.

Onder de externe taken van OT valt allereerst de volgende algemene taak op: hoe de eigenschappen van de topologie en andere structuren die consistent zijn met deze topologie met elkaar verbonden zijn en op elkaar inwerken. Dit soort specifieke problemen hebben betrekking op topologische groepen, topologische vectorruimten en metingen op topologische ruimten. Elke compacte ruimte komt overeen met Banach-algebra van alle continue reële functies op deze compacte ruimte. Deze theorie is topologisch. ruimten wordt in nauw verband geplaatst met de theorie van de Banach-algebra's. Speel een belangrijke rol bij functionele analyse zwakke topologieën op Banach-ruimtes. Dit is een klasse van niet-metrizeerbare topologieën die belangrijk is voor toepassingen. Elke Tikhonov-ruimte wordt op unieke wijze gekenmerkt door de ring van alle continue reële functies erop in de topologie van puntsgewijze convergentie. Dit soort resultaten verbinden O. t topologische algebra.

Concept bi-compacte uitbreiding toepassing gevonden in de potentiaaltheorie ( Ringgrens, Martinagrens).

O. t. belangrijk in methodologisch opzicht. houding bij het wiskundeonderwijs. Alleen binnen het raamwerk van zijn concepten en constructies worden de fundamentele concepten van continuïteit, convergentie en parallelle transitie volledig duidelijk en transparant. Het is moeilijk om gebieden van de wiskunde te noemen waarin de concepten en taal van de wiskundige wiskunde helemaal niet zouden worden gebruikt. Dit toont in het bijzonder de verenigende rol ervan in de wiskunde aan. De positie van de wiskundige theorie in de wiskunde wordt mede bepaald door het feit dat een aantal principes en stellingen een algemene wiskundige relevantie hebben. betekenis, krijgt zijn natuurlijke (d.w.z. overeenkomend met de aard van deze principes, stellingen) formulering alleen binnen het raamwerk van O.T. Voorbeelden zijn onder meer het concept van compactheid - een abstractie van het lemma van Heine-Borel over de keuze van een eindige deeldekking van een interval. , de stelling over de compactheid van een product van compacte ruimten (hierachter staat, als voorafbeelding, de uitspraak over de compactheid van een eindig-dimensionale kubus), de stelling dat een continue reële functie op een compacte ruimte begrensd is en zijn doel bereikt grootste en kleinste waarden. Deze reeks voorbeelden kan worden voortgezet: het concept van een verzameling van de tweede categorie, het concept van volledigheid, het concept van uitbreiding (de aard zelf van deze concepten en de daaraan gerelateerde resultaten, belangrijk voor de wiskunde als geheel, maakt hun studeren in het kader van de meest natuurlijke en transparante wiskundige theorie).

Verlicht.: Aleksandrov P. S., Theorie van functies van een reële variabele en de theorie van topologische ruimtes, M., 1978, p. 280-358; hem, "Uspekhi Matematicheskikh Nauk", 1960, deel 15, eeuw. 2, blz. 25-95; hem, op dezelfde plaats, 1964, deel 19, eeuw. 6, blz. 3-46; 1965, deel 20, eeuw. 1, blz. 253-54; Aleksndrov P.S., Fedorchuk V.V., ibid., 1978, deel 33, eeuw. 3, blz. 3- 48; Arkhangelsky A.V., ibid., 1966, deel 21, eeuw. 4, blz. 133-84; hem, op dezelfde plaats, 1978, deel 33, ca. 6, blz. 29-84.

• - in brede zin: het vakgebied van de wiskunde dat de topologie bestudeert. eigenschappen ontleden. wiskunde. en fysiek voorwerpen...

  Fysieke encyclopedie

• - een vakgebied in de wiskunde dat is ontstaan ​​om dergelijke eigenschappen van de meetkunde te bestuderen. figuren en hun reflecties in elkaar, die niet veranderen bij voortdurende vervormingen...

  Wiskundige encyclopedie

• - een tak van de wiskunde waarvan het doel is om, binnen het raamwerk van de wiskunde, het idee van continuïteit te verduidelijken en te bestuderen...

  Wiskundige encyclopedie

• - een wiskundige discipline die eigenschappen bestudeert van figuren die niet veranderen onder vervormingen die worden geproduceerd zonder te breken of te lijmen - dit zijn topologische eigenschappen...

  Het begin van de moderne natuurwetenschappen

• - een tak van de wiskunde die topologie bestudeert. eigenschappen van figuren, d.w.z. eigenschappen die niet veranderen onder vervormingen die worden uitgevoerd zonder scheuren of lijmen. Voorbeelden van topologische...

  Natuurwetenschappen. Encyclopedisch woordenboek

• - deel van de geometrie gewijd aan de studie van het fenomeen continuïteit...

  Grote Sovjet-encyclopedie

• - een tak van de wiskunde die de eigenschappen bestudeert van figuren die behouden blijven onder voortdurende vervormingen, zoals uitrekken, samendrukken of buigen. Continue vervorming is de vervorming van een figuur, waarbij...

  Collier's Encyclopedie

• - een tak van de wiskunde die de topologische eigenschappen van figuren bestudeert, d.w.z. eigenschappen die niet veranderen onder vervormingen die worden veroorzaakt zonder te breken of te lijmen...

  Groot encyclopedisch woordenboek

• - R., D., Pr....

  Spellingwoordenboek van de Russische taal

• - TOPOLOGIE, topologieën, veel. nee, vrouwtje . Een deel van de geometrie dat de kwalitatieve eigenschappen van figuren bestudeert...

  Ushakovs verklarend woordenboek

• - topologie Een tak van de wiskunde die de kwalitatieve eigenschappen van geometrische figuren bestudeert, onafhankelijk van hun lengte, hoeken, rechtheid en...

  Verklarend woordenboek door Efremova

• - ...

  Spellingwoordenboek-naslagwerk

• - populier "...

  Russisch spellingwoordenboek

• - Wetenschap, de studie van plaatsen...

  Woordenboek van buitenlandse woorden van de Russische taal

• - ...

  Woordvormen

• - zelfstandig naamwoord, aantal synoniemen: 1 wiskunde...

  Woordenboek van synoniemen

"ALGEMENE TOPOLOGIE" in boeken

Leonardo's topologie