Hoe je een logisch circuit bouwt met behulp van een logische expressie. Bepalen van het signaal aan de uitgang van een logisch circuit op basis van de opgegeven signaalwaarden aan alle ingangen van dit circuit

Laboratoriumwerk nr.4 .

Circuitimplementatie van logische elementen. Constructie van logische circuits.

Theoretisch gedeelte.

Computerverwerking van informatie is gebaseerd op de algebra van de logica, ontwikkeld door J. Boole. Het is bewezen dat alle elektronische computercircuits kunnen worden geïmplementeerd met behulp van logische elementen AND, OR, NOT.

Element NIET

Wanneer een signaal met een laag niveau (0) wordt aangeboden aan de ingang van het circuit, wordt de transistor vergrendeld, d.w.z. er zal geen stroom doorheen gaan en de uitgang zal een signaal met hoog niveau zijn (1). Als een signaal van hoog niveau (1) wordt toegepast op de ingang van het circuit, zal de transistor "openen" en elektrische stroom beginnen door te laten. Aan de uitgang zal, als gevolg van de spanningsval, een lage spanning tot stand worden gebracht. Het circuit converteert dus signalen van het ene niveau naar het andere en voert een logische functie uit.

OF-element

De “OR”-functie is een logische optelling (disjunctie), het resultaat is 1 als minstens 1 van de argumenten 1 is. Hier zijn de transistors parallel aan elkaar geschakeld. Als beide gesloten zijn, is hun totale weerstand hoog en is de uitvoer een signaal met een laag niveau (logisch “0”). Het is voldoende om een ​​signaal van hoog niveau ("1") aan te leggen op een van de transistors, het circuit zal stroom gaan doorgeven en er zal ook een signaal van hoog niveau (logisch "1") tot stand worden gebracht bij de belastingsweerstand.

Element I

Als signalen op laag niveau (logische "0") worden toegepast op de ingangen In1 en In2, zijn beide transistoren gesloten, gaat er geen stroom doorheen en is de uitgangsspanning bij Rn bijna nul. Laat een hoge spanning (“1”) op één van de ingangen staan. Dan gaat de overeenkomstige transistor open, maar de andere blijft gesloten en er zal geen stroom door de transistors en weerstand gaan. Als gevolg hiervan schakelt de schakeling niet wanneer een spanning met een hoog niveau wordt aangelegd aan slechts één van de transistoren en blijft er een spanning met een laag niveau aan de uitgang achter. En alleen als er gelijktijdig signalen van hoog niveau (“1”) aan de ingangen worden toegevoerd, krijgen we ook aan de uitgang een signaal van hoog niveau.

Elke logische basisfunctie - "AND", "OR", "NOT" - komt dus overeen met een speciaal ontworpen circuit dat een logisch element wordt genoemd. Door signalen te combineren die logische variabelen aanduiden en uitgangen die overeenkomen met logische functies met behulp van logische elementen, met behulp van een waarheidstabel of CNF- en DNF-weergave van een logische functie, is het mogelijk een blok- of functioneel diagram te creëren (zie onderstaande voorbeelden), wat de basis vormt. voor hardware-implementatieschema.

Door het functionele diagram te analyseren, kunt u begrijpen hoe het logische apparaat werkt, d.w.z. beantwoord de vraag: welke functie vervult het? Een even belangrijke vorm van het beschrijven van logische apparaten is een structuurformule. Laten we met een voorbeeld laten zien hoe een formule wordt geschreven volgens een bepaald functioneel diagram (1 diagram). Het is duidelijk dat het “AND”-element een logische vermenigvuldiging van de waarden en B uitvoert. Er wordt een negatiebewerking uitgevoerd op het resultaat in het “NOT”-element, d.w.z. de waarde van de uitdrukking wordt berekend: De formule is de structuurformule van het logische apparaat.

Dus de belangrijkste logische functies worden aangegeven

Inversie

Voegwoord

Disjunctie

Voorbeeld: het logische diagram wordt gegeven:

Het is gebouwd op basis van de Booleaanse uitdrukking - Y = Ē /\ I \/ Ē /\ A \/ Ā /\ E

Praktisch gedeelte.

Oefening 1. Noteer voor elk van de functionele diagrammen de bijbehorende structuurformule.

2) Maak functionele diagrammen voor CNF en DNF uit laboratoriumwerk 5.

Lesdoelen:

Leerzaam:

  • het inzicht van studenten in de componenten van een computer versterken;
  • vaardigheden versterken bij het construeren van logische circuits.

Leerzaam:

  • vormgeven van de ontwikkeling van algoritmisch denken;
  • ontwerpvaardigheden ontwikkelen;
  • de ontwikkeling van ICT-competentie blijven bevorderen;

Leerzaam:

  • doorgaan met het ontwikkelen van cognitieve interesse in het onderwerp computerwetenschappen;
  • persoonlijke kwaliteiten cultiveren:
  • activiteit,
  • onafhankelijkheid,
  • nauwkeurigheid in het werk;

Vereisten voor kennis en vaardigheden:

Studenten moeten weten:

  • fundamentele basiselementen van logische circuits;
  • regels voor het opstellen van logische diagrammen.

Studenten moeten in staat zijn om:

  • logische diagrammen opstellen.

Lestype: les over het consolideren van het geleerde materiaal

Lestype: gecombineerd

Methoden voor het organiseren van educatieve activiteiten:

  • frontaal;
  • individueel;

Software en lessoftware:

  • PC, SMART Board, kaarten met individueel huiswerk.

De les is ontwikkeld met behulp van het programma Macromedia-flitser.

Tijdens de lessen

I. Lesdoelen stellen.

Goedemiddag

Vandaag vervolgen we onze studie over het onderwerp 'Logische circuits bouwen'.

Hand-outs voorbereiden" Logische grondslagen van computers. Constructie van logische circuits" bijlage 1

Vraag van de leraar. Noem de belangrijkste logische elementen. Welk logisch element komt overeen met de logische bewerking AND, OR, NOT?

Reactie van leerling. Een computerlogisch element is een onderdeel van een elektronisch logisch circuit dat een elementaire logische functie implementeert. Logische basiselementen: conjunctor (komt overeen met logische vermenigvuldiging), disjunctor (komt overeen met logische optelling), inverter (komt overeen met logische negatie).

Vraag van de leraar. Volgens welke regels zetten logische elementen ingangssignalen om? Laten we het element AND bekijken. In welk geval zal er een stroom aan de uitgang zijn (signaal gelijk aan 1).

Reactie van leerling. Aan de eerste ingang is er een stroom (1, waar), aan de tweede is er (1, waar), aan de uitgang is er een stroom (1, waar).

Vraag van de leraar. Er is stroom aan de eerste ingang, niet aan de tweede, maar er vloeit stroom aan de uitgang. Er is geen stroom aan de ingangen en geen stroom aan de uitgang. Welke logische bewerking implementeert dit element?

Reactie van leerling. Het OR-element is een disjunctor.

Vraag van de leraar. Laten we het NIET logische element bekijken. In welk geval zal er geen stroom aan de uitgang zijn (signaal gelijk aan 0)?

Reactie van leerling. Er staat stroom op de ingang, het signaal is 1.

Vraag van de leraar. Wat is het verschil tussen een logisch circuit en een logisch element?

Reactie van leerling. Logische circuits bestaan ​​uit logische elementen die logische bewerkingen uitvoeren.

Laten we het circuit analyseren en het uitgangssignaal bepalen.

II. Consolidatie van het bestudeerde materiaal.

Waarom is het nodig om logische circuits te kunnen bouwen?

Feit is dat poorten worden gebruikt om complexere circuits te vormen waarmee u rekenkundige bewerkingen kunt uitvoeren en informatie kunt opslaan. Bovendien kan een circuit dat bepaalde functies vervult, worden opgebouwd uit verschillende combinaties en aantallen poorten. Daarom is het belang van een formele weergave van een logisch diagram buitengewoon groot. Het is noodzakelijk dat de ontwikkelaar de mogelijkheid heeft om de meest geschikte optie te kiezen voor het construeren van een circuit uit poorten. Het proces van het ontwikkelen van het algemene logische circuit van een apparaat (inclusief de computer als geheel) wordt hiërarchisch en op elk volgend niveau worden de logische circuits die in de vorige fase zijn gemaakt, gebruikt als "bouwstenen".

Thuis moest je logische circuits construeren die correspondeerden met logische uitdrukkingen.

Vraag van de leraar. Wat is het algoritme voor het construeren van logische circuits?

Reactie van leerling. Algoritme voor het construeren van logische circuits:

Bepaal het aantal logische variabelen.

Bepaal het aantal logische basisbewerkingen en hun volgorde.

Teken voor elke logische bewerking het overeenkomstige element (poort).

Verbind de poorten in volgorde van het uitvoeren van logische bewerkingen.

Huiswerk controleren bijlage 1. Huiswerk. Deel 1

Construeer een logisch circuit voor een logische uitdrukking:

Construeer een logisch circuit voor een logische uitdrukking:

Construeer een logisch circuit voor een logische uitdrukking:

Construeer een logisch circuit voor een logische uitdrukking:

Construeer een logisch circuit voor een logische uitdrukking:

Logische algebra gaf ontwerpers een krachtig middel om logische circuits te ontwikkelen, analyseren en verbeteren. Het is gemakkelijker en sneller om de eigenschappen te bestuderen en de juiste werking van een circuit te bewijzen met behulp van een formule die deze uitdrukt, dan om een ​​echt technisch apparaat te creëren.

Het doel van onze volgende les is dus het bestuderen van de wetten van de logische algebra.

IV. Huiswerk. Deel 2

V. Praktisch werk.

Programma - simulator "Bouw van logische circuits"

www.Kpolyakov.narod.ru "Logic" -programma,

4) Antwoord: l v 0 & l = 1.

Voorbeeld 2

Construeer een logisch circuit dat overeenkomt met de logische uitdrukking

F = X & Y v (Y v X).

Bereken de waarden van de uitdrukking voor X = 1, Y = 0.

1) Er zijn twee variabelen: X en Y;

2) Er zijn drie logische bewerkingen: conjunctie en twee disjuncties: 14 3 2 X & Y v (Y v X).

3) We bouwen het circuit van links naar rechts in overeenstemming met de volgorde van logische bewerkingen:


3) Bereken de waarde van de uitdrukking: F = l & 0 v (0 v 1) = 0

Doe de oefening

Construeer een logisch circuit dat overeenkomt met de logische expressie en vind de waarde van de logische expressie:

A) F = A v B & C, als A = 1, B = 1, C = 1.

B) F = (A v B & C), als A=0, B=1, C=1.

B) F = A v B & C, als A=1, B=0, C=1.

D) F = (A v B) & (C v B), als A = 0, B = 1, C = 0.

D) F = (A & B & C), als A=0, B=0, C=1.

E) F = (A & B & C) v (B & C vA), als A=1, B=1, C=0.

G) F = B&A v B&A, als A=0, B=0.

Wetten van de logica

Als een logische expressie een groot aantal bewerkingen bevat, is het samenstellen van een waarheidstabel daarvoor behoorlijk moeilijk, omdat je een groot aantal opties moet doorlopen. In dergelijke gevallen is het handig om de formules terug te brengen tot normale vorm.

Een formule heeft een normale vorm als deze geen equivalentie-, implicatie- of dubbele ontkenningstekens bevat, terwijl ontkenningstekens alleen voor logische variabelen worden gevonden.

Om de formule tot de normale vorm terug te brengen, worden de wetten van de logica en de regels van logische transformaties gebruikt.

EEN= EEN Wet van identiteit
A&A=0 Wet van tegenspraak
Gem A = l Wet van het exclusieve midden
EEN = EEN Wet van dubbele ontkenning
A&0 = 0 A v 0 = A Wetten voor de eliminatie van constanten
A&1=A A v 1 = 1 Wetten voor de eliminatie van constanten
A&A=A A tegen A=A Idempotentie regel
AvA = l
(A→B)=A&B
A → B = A v B
A& (Geav B)= A Wet van absorptie
EEN v (A & B) = A Wet van absorptie
A& (Geav B) = A & B
AvA&B = A tegen B
(AvB) vC =Av(BvC) (A&B)&C = A&(B&C) Associativiteitsregel
(A&B) v(A&C) = A&(BvC) (AvB)&(AvC) = Av(B&C) Distributiviteitsregel
AvB = BvA A&B = B&A Commutativiteitsregel
AóB = A&Bv(A&B)
(AvB)=A&B Morgans wetten
(A&B)=Av B Morgans wetten

Voorbeeld

Vereenvoudig de Booleaanse expressie F= ((A v B) → (B v MET)). Deze logische uitdrukking moet worden teruggebracht tot de normale vorm, omdat het bevat implicatie en ontkenning van een logische bewerking.

1. Laten we implicaties en ontkenningen achterwege laten. Laten we (8) gebruiken. Het blijkt: ((AvB) →(BvC))= (AvB)&(BvC).

2. Laten we de wet van de dubbele ontkenning toepassen (4). We krijgen: (AvB)&(BvC)= (AvB)&(BvC)

3. Laten we de distributiviteitsregel (15) toepassen. We krijgen:

(AvB)&(BvC)= (AvB)&Bv(AvB)&C.

4. Laten we de wet van commutativiteit (17) en distributiviteit (15) toepassen. Wij krijgen: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C.

5. Solliciteer (16) en krijg: A&BvB&BvA&CvB&C=A&BvBvA&CvB&C

6. Laten we (15) toepassen, dat wil zeggen, B tussen haakjes zetten. We krijgen:

A&BvBv A&Cv B&C=B&(Av1)v A&Cv B&C

7. Laten we toepassen (6). We krijgen: B &(Avl)v A&Cv B &C= Bv A&Cv B &C.

8. Laten we de termen herschikken, groeperen en B tussen haakjes zetten. We krijgen:
BvA&CvB&C = B&(1vC)vA&C.

9. Pas (6) toe en krijg het antwoord:

Antwoord: F = ((A v B) → (B v C)) = B v A & C.

Vereenvoudig de uitdrukking:

1) F = (A & B) v(B tegen C).

2) F = (A → B) v (B → A).

3) F = A & C vA & C.

4) F = A vB vC v A v B v C.

5) F = (X & Yv(X & Y)).

6) F= X &(YvX).

7) F = (X v Z) & (X vZ) & (Y v Z).

10) F= B&C& (AvA).

11) F= A&B&CvAvB

12) F= (AvB)&(BvA)& (CvB)

Vereenvoudig de uitdrukking:

1.F= A&C vA&C.

2. F= A ↔ B tegen A&C

3. F=A& (B↔C)

4. F = (X v Y) & (Y ↔ X).

5.F= A vB vC v A v B v C.

6. F=(AvB) → (AvC)

7. F= A ↔ (B v C)

8. F = A & B → C & D.

9.F=(X & Y v(X & Y)).

10. F = (X v Y) & (Y v X).

11. F= EEN ↔ B &C

12. F = (A v B) & (B v A → B).

13.F= X &(YvX).

14. F= A → B tegen A&C

15. F = X & Y tegen X.

16. F = ((X v Y) & (Z → X)) & (Z v Y).

17.F=(X v Z) & (X vZ) & (Y v Z).

18. F= A →(B v C)

19. F= A ↔ B tegen C

20. F = ((X v Y) & (Z v X)) & (Z → Y).

21. F= (B en (A → C))

22. F= A → B tegen A&C

23. F= A ↔ (B v C)

24. F = ((X v Y) & (Z v X)) & (Z v Y).

25.F=(A → B) v (B → A).

26. F = A & B & C & D.

27. F= A ↔(B v C)

28. F=A& (B →C).

29.F= A&(AvB)

30. F= A ↔ (B v C)

31. F= A → B tegen A &C

32. F = (A tegen B) en (B tegen A tegen B).

33.F= B&C& (AvA).

34. F= A&B tegen A&C

35. F = X & Y ↔ X.

36. F = ((X v Y) & (Z → X)) & (Z ↔ Y).

37.F= A&B&CvAvB

38. F = (X → Y) & (Y v X).

39. F= A → B & C

40. F = (A ↔ B) & (B v A &B).

41.F=(AvB)&(BvA)& (CvB) .

42. F= A&B tegen A&C

43. F=A& (BvC)

44. F = (X → Y) en (Y ↔ X).

45.F= Gem(A&B)

46. ​​F = A & B ↔ C & D.

47. F= A ↔(B v C)

48. F=(X & Y) v (Y & X).

Doel van de dienst. De online calculator is ontworpen voor het construeren van een waarheidstabel voor een logische uitdrukking.
Waarheidstabel – een tabel met alle mogelijke combinaties van invoervariabelen en de bijbehorende uitvoerwaarden.
De waarheidstabel bevat 2n rijen, waarbij n het aantal invoervariabelen is, en n+m kolommen zijn, waarbij m uitvoervariabelen zijn.

Instructies. Wanneer u via het toetsenbord invoert, gebruikt u de volgende notaties: De logische uitdrukking abc+ab~c+a~bc moet bijvoorbeeld als volgt worden ingevoerd: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Gebruik deze service om gegevens in de vorm van een logisch diagram in te voeren.

Regels voor het invoeren van een logische functie

  1. Gebruik in plaats van het v-symbool (disjunctie, OR) het +-teken.
  2. Het is niet nodig om vóór een logische functie een functieaanduiding op te geven. In plaats van F(x,y)=(x|y)=(x^y) hoeft u bijvoorbeeld eenvoudigweg (x|y)=(x^y) in te voeren.
  3. Het maximale aantal variabelen is 10.

Het ontwerp en de analyse van computerlogische circuits wordt uitgevoerd met behulp van een speciale tak van de wiskunde: logische algebra. In de algebra van de logica kunnen drie belangrijke logische functies worden onderscheiden: "NOT" (negatie), "AND" (conjunctie), "OR" (disjunctie).
Om een ​​logisch apparaat te creëren, is het noodzakelijk om de afhankelijkheid van elk van de uitgangsvariabelen van de bestaande ingangsvariabelen te bepalen; deze afhankelijkheid wordt een schakelfunctie of een logische algebrafunctie genoemd.
Een logische algebrafunctie wordt volledig gedefinieerd genoemd als alle 2n waarden zijn gegeven, waarbij n het aantal uitvoervariabelen is.
Als niet alle waarden zijn gedefinieerd, wordt de functie gedeeltelijk gedefinieerd genoemd.
Een apparaat wordt logisch genoemd als de toestand ervan wordt beschreven met behulp van een logische algebrafunctie.
De volgende methoden worden gebruikt om een ​​logische algebrafunctie weer te geven:

  • verbale beschrijving is een vorm die wordt gebruikt in de initiële ontwerpfase en een conventionele weergave heeft.
  • beschrijving van een logische algebrafunctie in de vorm van een waarheidstabel.
  • beschrijving van een logische algebrafunctie in de vorm van een algebraïsche uitdrukking: er worden twee algebraïsche vormen van FAL gebruikt:
    A) DNF – disjunctieve normale vorm is de logische som van elementaire logische producten. DNF wordt verkregen uit de waarheidstabel met behulp van het volgende algoritme of de volgende regel:
    1) in de tabel worden die rijen met variabelen geselecteerd waarvoor de uitvoerfunctie =1.
    2) voor elke regel variabelen wordt een logisch product geschreven; Bovendien worden variabelen =0 met inversie geschreven.
    3) het resulterende product wordt logisch samengevat.
    Fdnf= X 1 *X 2 *X 3 ∨ X 1 x 2 X 3 ∨ X 1 X 2 x 3 ∨ X 1 X 2 X 3
    Er wordt gezegd dat een DNF perfect is als alle variabelen dezelfde rangorde of volgorde hebben, d.w.z. Elk werk moet alle variabelen in directe of inverse vorm bevatten.
    B) CNF – conjunctieve normale vorm is een logisch product van elementaire logische sommen.
    CNF kan worden verkregen uit de waarheidstabel met behulp van het volgende algoritme:
    1) selecteer sets variabelen waarvoor de uitvoerfunctie =0
    2) voor elke set variabelen schrijven we een elementaire logische som, en de variabelen =1 worden met inversie geschreven.
    3) de resulterende bedragen worden logisch vermenigvuldigd.
    Fsknf=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
    CNF wordt perfect genoemd, als alle variabelen dezelfde rang hebben.
In algebraïsche vorm kunt u een circuit van een logisch apparaat bouwen met behulp van logische elementen.

Figuur 1 - Diagram van logisch apparaat

Alle bewerkingen van de algebra van de logica zijn gedefinieerd waarheid tafels waarden. De waarheidstabel bepaalt het resultaat van een bewerking voor iedereen is mogelijk x logische waarden van de originele uitspraken. Het aantal opties dat het resultaat van het toepassen van bewerkingen weergeeft, zal afhangen van het aantal instructies in de logische expressie. Als het aantal uitspraken in een logische uitdrukking N is, zal de waarheidstabel 2 N rijen bevatten, aangezien er 2 N verschillende combinaties van mogelijke argumentwaarden zijn.

Operatie NOT - logische negatie (inversie)

Een logische bewerking wordt NIET toegepast op een enkel argument, wat een eenvoudige of complexe logische uitdrukking kan zijn. Het resultaat van de operatie is NIET het volgende:
  • als de oorspronkelijke uitdrukking waar is, zal het resultaat van de ontkenning onwaar zijn;
  • als de oorspronkelijke uitdrukking onwaar is, zal het resultaat van de ontkenning waar zijn.
De volgende conventies worden NIET geaccepteerd voor de negatiebewerking:
niet A, À, niet A, ¬A, !A
Het resultaat van de negatieoperatie wordt NIET bepaald door de volgende waarheidstabel:
Aniet A
0 1
1 0

Het resultaat van de negatiebewerking is waar als de oorspronkelijke instructie onwaar is, en omgekeerd.

OF-bewerking - logische optelling (disjunctie, unie)

De logische OR-bewerking voert de functie uit van het combineren van twee instructies, die een eenvoudige of een complexe logische expressie kunnen zijn. Uitspraken die het startpunt vormen voor een logische bewerking worden argumenten genoemd. Het resultaat van de OR-bewerking is een expressie die waar is als en slechts als ten minste één van de oorspronkelijke expressies waar is.
Gebruikte aanduidingen: A of B, A V B, A of B, A||B.
Het resultaat van de OR-operatie wordt bepaald door de volgende waarheidstabel:
Het resultaat van de OR-bewerking is waar als A waar is, of B waar is, of zowel A als B waar zijn, en onwaar als de argumenten A en B onwaar zijn.

Bewerking AND - logische vermenigvuldiging (conjunctie)

De logische bewerking AND voert de functie uit van het kruisen van twee uitspraken (argumenten), die een eenvoudige of een complexe logische uitdrukking kunnen zijn. Het resultaat van de AND-bewerking is een expressie die waar is als en slechts als beide originele expressies waar zijn.
Gebruikte aanduidingen: A en B, A Λ B, A & B, A en B.
Het resultaat van de EN-bewerking wordt bepaald door de volgende waarheidstabel:
ABA en B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Het resultaat van de AND-bewerking is waar dan en slechts dan als de uitspraken A en B beide waar zijn, en in alle andere gevallen onwaar.

Operatie “ALS-DAN” - logisch gevolg (implicatie)

Deze bewerking verbindt twee eenvoudige logische expressies, waarvan de eerste een voorwaarde is, en de tweede een gevolg van deze voorwaarde.
Gebruikte benamingen:
als A, dan B; A impliceert B; als A dan B; A → B.
Waarheidstabel:
ABEEN → B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Het resultaat van de implicatiebewerking is alleen onwaar als premisse A waar is en conclusie B (gevolg) onwaar is.

Operatie “A als en slechts als B” (equivalentie, gelijkwaardigheid)

Gebruikte aanduiding: A ↔ B, A ~ B.
Waarheidstabel:
ABA↔B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Operatie “Addition modulo 2” (XOR, exclusief of strikte disjunctie)

Gebruikte notatie: A XOR B, A ⊕ B.
Waarheidstabel:
ABA⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Het resultaat van de equivalentiebewerking is alleen waar als A en B tegelijkertijd waar of onwaar zijn.

Prioriteit van logische bewerkingen

  • Acties tussen haakjes
  • Inversie
  • Voegwoord (&)
  • Disjunctie (V), exclusieve OR (XOR), som modulo 2
  • Implicatie (→)
  • Equivalentie (↔)

Perfect disjunctieve normaalvorm

Perfect disjunctieve normale vorm van een formule(SDNF) is een equivalente formule, die een disjunctie is van elementaire conjuncties en de volgende eigenschappen heeft:
  1. Elke logische term van de formule bevat alle variabelen die zijn opgenomen in de functie F(x 1,x 2,...x n).
  2. Alle logische termen van de formule zijn verschillend.
  3. Geen enkele logische term bevat een variabele en de ontkenning ervan.
  4. Geen enkele logische term in een formule bevat tweemaal dezelfde variabele.
SDNF kan worden verkregen met behulp van waarheidstabellen of met behulp van gelijkwaardige transformaties.
Voor elke functie zijn de SDNF en SCNF uniek gedefinieerd tot aan permutatie.

Perfecte conjunctieve normale vorm

Perfecte conjunctieve normale vorm van een formule (SCNF) Dit is een equivalente formule, die een conjunctie is van elementaire disjuncties en voldoet aan de eigenschappen:
  1. Alle elementaire disjuncties bevatten alle variabelen die zijn opgenomen in de functie F(x 1 ,x 2 ,...x n).
  2. Alle elementaire disjuncties zijn verschillend.
  3. Elke elementaire disjunctie bevat één keer een variabele.
  4. Geen enkele elementaire disjunctie bevat een variabele en zijn negatie.

Een voorbeeld van het oplossen van logische problemen met behulp van logische algebra

Logica

Logisch circuit is een schematische weergave van een apparaat dat bestaat uit schakelaars en geleiders die deze verbinden, evenals in- en uitgangen waaraan een elektrisch signaal wordt toegevoerd en verwijderd.

Elke schakelaar heeft slechts twee statussen: gesloten En open. We associëren schakelaar X met een logische variabele x, die de waarde 1 aanneemt als en alleen als schakelaar X gesloten is en het circuit stroom geleidt; als de schakelaar open is, dan is x nul.

De twee schema's worden genoemd equivalent , als een stroom door de ene gaat, dan en slechts dan als deze door de andere gaat (voor hetzelfde ingangssignaal).

Van twee equivalente circuits is het eenvoudigere circuit het circuit waarvan de geleidingsfunctie een kleiner aantal logische bewerkingen of schakelaars bevat.

Bij het overwegen van schakelcircuits doen zich twee hoofdproblemen voor: synthese En analyse schema.

SYNTHESE VAN HET REGELING volgens de gegeven omstandigheden van de werking ervan wordt teruggebracht tot de volgende drie fasen:

  1. het samenstellen van een geleidbaarheidsfunctie met behulp van een waarheidstabel die deze omstandigheden weerspiegelt;
  2. het vereenvoudigen van deze functie;
  3. het construeren van een passend diagram.

SCHEMAANALYSE komt neer op:

  1. het bepalen van de waarden van de geleidbaarheidsfunctie voor alle mogelijke sets variabelen die in deze functie zijn opgenomen.
  2. het verkrijgen van een vereenvoudigde formule.

Taak: Maak een waarheidstabel voor deze formule: (x ~ z) | ((xy) ~ (y z)).

Oplossing: Het is nuttig om waarheidstabellen van tussenliggende functies op te nemen in de waarheidstabel van deze formule:

xyz x~z x y y z (xy) ~ (y z) (x~ z)|((xy) ~ (yz)

Richtlijnen voor het voltooien van praktische taak nr. 2. "Algebra van de logica". Constructie van waarheidstabellen.

Doel van het werk: Maak uzelf vertrouwd met elementaire rekenkundige bewerkingen, elementaire logische elementen (AND, NAND, OR, NOR, XOR) en bestudeer methoden voor het construeren van waarheidstabellen op basis daarvan.

Oefening:

1. Selecteer in Bijlage 2 een taakoptie en stel deze op waarheidstabel .

2. Voltooi de taak aan de hand van het voorbeeld van het oplossen van logische problemen met behulp van logische algebra.

Taak:

Construeer een logisch circuit met behulp van een gegeven Booleaanse uitdrukking:



F =`BA + B`A + C`B.

Oplossing:

In de regel wordt de constructie en berekening van elk circuit uitgevoerd vanaf de uitvoer ervan.

Eerste fase: logische optelling, logische OR-bewerking wordt uitgevoerd, waarbij de functies `BA, B`A en C`B als invoervariabelen worden beschouwd:

Tweede fase: AND-logische elementen zijn verbonden met de ingangen van het OR-element, waarvan de ingangsvariabelen al A, B, C en hun inverse zijn:

Derde fase: om inversies `A en `B te verkrijgen, worden omvormers geïnstalleerd op de overeenkomstige ingangen:

Deze constructie is gebaseerd op het volgende kenmerk: aangezien de waarden van logische functies alleen nullen en enen kunnen zijn, kunnen alle logische functies worden weergegeven als argumenten voor andere, meer complexe functies. De constructie van een logisch circuit wordt dus uitgevoerd van uitgang naar ingang.

Richtlijnen voor het voltooien van praktische taak nr. 3. "Algebra van de logica". Constructie van logische circuits

Doel van het werk: Maak kennis met de elementaire rekenkundige bewerkingen, de fundamentele logische elementen (AND, NAND, OR, NOR, XOR) en bestudeer methoden om op basis daarvan de eenvoudigste logische circuits te construeren.

Oefening:

1. Selecteer in bijlage 2 de taakoptie en bouw logisch circuit .

2. Voltooi de taak met behulp van een voorbeeld van het bouwen van logische circuits.

3. Bereid het werk in een notitieboekje voor op praktisch werk.

4. Presenteer het resultaat van het werk aan de leraar.

5. Verdedig het voltooide werk tegenover de leraar.

Bijlage 2. Tabel met taakopties

Maak een waarheidstabel en een logisch diagram voor deze bewerkingen
Keuze Activiteiten

4. Individuele taak. Module 1. “Constructie van logische circuits met behulp van gegeven Booleaanse expressies”

Taken voor IDZ:

  1. Selecteer in Bijlage 3 de optie voor een individuele taak.
  2. Voltooi de taak met behulp van theoretische informatie
  3. Controleer het logicaschema met een docent.
  4. Vul de IDZ in op A4-formaat, titelpagina volgens het voorbeeld in bijlage 4.
  5. Presenteer het resultaat van het werk aan de leraar.
  6. Presenteer je werk aan de docent.

Bijlage 3. Tabel met mogelijkheden voor individuele opdrachten

Opties Maak een waarheidstabel en een logisch diagram met behulp van formules

Bijlage 4. Titelpagina van de IDZ