Vage en taalkundige variabelen. Vage sets

Het concept van vage en taalkundige variabelen wordt gebruikt om objecten en verschijnselen te beschrijven met behulp van vage verzamelingen.

Vage variabele gekenmerkt door drie (α, X, A), Waar

α — naam van de variabele;

X— universele verzameling (domein α);

A- wazig ingesteld X, het beschrijven van de beperkingen (bijv. μ EEN(X) ) naar de waarden van de fuzzy variabele α.

Taalkundig variabele (LP) is de set ( β , T, X, G, M), waar

β — naam van de taalkundige variabele;

T— een set van zijn waarden (termset), dit zijn de namen van vage variabelen, waarvan het definitiedomein een set is X. Veel T basis genoemd termijn ingesteld taalkundige variabele;

G is een syntactische procedure waarmee u met elementen uit de termenset T kunt werken, in het bijzonder om nieuwe termen (waarden) te genereren. De verzameling T∪G(T), waarbij G(T) de verzameling gegenereerde termen is, wordt de uitgebreide termenverzameling van een taalkundige variabele genoemd;

M— een semantische procedure waarmee u elke nieuwe waarde van een taalkundige variabele gegenereerd door procedure G kunt omzetten in een vage variabele, d.w.z. vormen de overeenkomstige fuzzy set.

Opmerking. Om te vermijden grote hoeveelheid karakters:

1) symbool β gebruikt zowel voor de naam van de variabele zelf als voor al zijn waarden;

2) gebruik hetzelfde symbool om een ​​vage verzameling en de naam ervan aan te duiden, bijvoorbeeld de term ‘Jong’, wat de waarde is van een taalkundige variabele β = “leeftijd”, tegelijkertijd is er een vage set M("Jong").

Het toekennen van meerdere betekenissen aan symbolen veronderstelt dat de context het mogelijk maakt mogelijke dubbelzinnigheden op te lossen.

Voorbeeld. Laat de expert de dikte van het vervaardigde product bepalen met behulp van de begrippen “Kleine dikte”, “Gemiddelde dikte” en “Grote dikte”, terwijl minimale dikte is gelijk aan 10 mm en het maximum is 80 mm.

Het formaliseren van een dergelijke beschrijving kan worden uitgevoerd met behulp van de volgende taalkundige variabele ( β , T, X, G, M ), Waar

β — dikte van het product;

T— (“Kleine dikte”, “Gemiddelde dikte”, “Grote dikte”);

X— ;

G - de procedure voor de vorming van nieuwe termen met behulp van verbindingswoorden "en", "of" en modificatoren zoals "zeer", "niet", "enigszins", enz. Bijvoorbeeld: “Kleine of gemiddelde dikte”, “Zeer kleine dikte”, enz.;

M- taakprocedure voor X= vage subsets A 1 = "Kleine dikte", A 2 = "Gemiddelde dikte", A 3 = “Grote dikte”, evenals vage sets voor termen uit G (T) in overeenstemming met de regels voor de vertaling van vage verbindingswoorden en modificatoren "en", "of", "niet", "zeer", "enigszins" en andere bewerkingen op vage verzamelingen van de vorm: A⋂IN,A∪INA, CON EEN =A 2 , DIL EEN = EEN 0,5 enz.

Opmerking. Samen met de basiswaarden van de taalkundige variabele “Dikte” die hierboven is besproken (T=(“Kleine dikte”, “Gemiddelde dikte”, “Grote dikte”)) mogelijke waarden afhankelijk van het definitiegebied van X. In in dit geval de waarden van de taalkundige variabele “Productdikte” kunnen worden gedefinieerd als “ongeveer 20 mm”, “ongeveer 50 mm”, “ongeveer 70 mm”, d.w.z. in de vorm van vage getallen.

De termijnset en de uitgebreide termijnset in de voorbeeldvoorwaarden kunnen worden gekarakteriseerd door de lidmaatschapsfuncties weergegeven in figuur 1. 1,5 en 1,6.

Rijst. 1.5. Fuzzy set-lidmaatschapsfuncties: “Kleine dikte” = Een 1,"Gemiddelde dikte" = A 2, "Grote dikte" = A 3

Rijst. 1.6. Fuzzy set-lidmaatschapsfunctie “Kleine of gemiddelde dikte” = A 1 ∪ A 2

Vage cijfers

Vage cijfers- vage variabelen gedefinieerd op de getallenas, d.w.z. een fuzzy getal wordt gedefinieerd als een fuzzy set A op de reeks reële getallen ℝmet lidmaatschapsfunctie μ EEN(X) ϵ, waar X- reëel getal, d.w.z. X ϵ ℝ.

vaag nummer Het is oké als tah μ EEN(X) = 1; convex, als dat nodig is X ≤ bij ≤ z rennen

μA (x)≥ μ EEN(bij) ˄ μ EEN(z).

Veel α -fuzzy nummerniveau A gedefinieerd als

Aα= {X/μ α (X) ≥ α } .

Subset SA⊂ ℝ wordt de ondersteuning van het vage getal genoemd A, Als

SA= { X/μ A(X) > 0 }.

vaag nummer En unimodaal, als voorwaarde μ EEN(X) = 1 is slechts geldig voor één punt van de reële as.

Convex vaag getal A genaamd wazig nul, Als

μ EEN(0) = sup ( μ EEN(X)).

vaag nummer En positief, als ∀ Xϵ SA, X> 0 en negatief, als ∀ X ϵ SA, X< 0.

Bewerkingen op vage getallen

Uitgebreid binair getal rekenkundige bewerkingen(optellen, vermenigvuldigen, enz.) voor vage getallen worden als volgt bepaald via de overeenkomstige bewerkingen voor duidelijke getallen, waarbij gebruik wordt gemaakt van het generalisatieprincipe.

Laten A En IN- vage getallen, en - vage bewerking die overeenkomt met een willekeurige algebraïsche bewerking * op gewone getallen. Dan kunnen we schrijven (hier en voortaan de notatie gebruiken in plaats van ).

Fuzzy Numbers (L-R)-type

Fuzzy getallen (L-R)-type zijn een soort vage getallen speciaal soort, d.w.z. gespecificeerd volgens bepaalde regels om het aantal berekeningen te verminderen bij het uitvoeren van bewerkingen daarop.

Lidmaatschapsfuncties van vage getallen van het (L-R)-type worden gespecificeerd met behulp van functies van de reële variabele L( X) en R( X), die aan de volgende eigenschappen voldoet:

a) L(- X) = L( X), R(- X) = R( X);

b) L(0) = R(0).

Het is duidelijk dat de klasse van (L-R)-functies functies omvat waarvan de grafieken er uitzien als die getoond in Fig. 1.7.

Rijst. 1.7. Mogelijk uitzicht(L-R)-functies

Voorbeelden van analytische taken van (L-R) functies kunnen zijn

Laat L( bij) en R( bij)—(L-R)-type (concrete) functies. Unimodaal vaag getal A Met mode een(d.w.z. μ EEN(A) = 1) met L( bij) en R( bij) wordt als volgt gegeven:

waarbij a de modus is; α > 0, β > 0 — wazigheidscoëfficiënten links en rechts.

Dus voor gegeven L( bij) en R( bij) fuzzy getal (unimodaal) wordt gegeven door een triple A = (A, α, β ).

Het tolerante fuzzy-getal wordt respectievelijk gespecificeerd door vier parameters A = (A 1 , A 2 , α, β ), Waar A 1 en A 2 - tolerantiegrenzen, d.w.z. tussen [ A 1 , A 2 ] de waarde van de lidmaatschapsfunctie is 1.

Voorbeelden van grafieken van lidmaatschapsfuncties van vage getallen van het (L-R)-type worden getoond in Fig. 1.8.

Rijst. 1.8. Voorbeelden van grafieken van lidmaatschapsfuncties van het type vage getallen (L-R).

Merk op dat binnen specifieke situaties functies L (y), R (y), evenals parameters A, β vage cijfers (A, α, β ) En ( A 1 , A 2 , α, β ) moet zo worden geselecteerd dat het resultaat van de bewerking (optellen, aftrekken, delen, enz.) exact of ongeveer gelijk is aan een vaag getal met dezelfde L (y) en R (y), en de parameters α" En β" de resultaten gingen niet verder dan de beperkingen op deze parameters voor de oorspronkelijke vage getallen, vooral als het resultaat later aan bewerkingen zal deelnemen.

Opmerking. Het oplossen van problemen bij het wiskundig modelleren van complexe systemen met behulp van het apparaat van vage verzamelingen vereist het uitvoeren van een groot aantal bewerkingen op verschillende soorten taalkundige en andere vage variabelen. Voor het gemak van de uitvoering van bewerkingen, maar ook voor input-output en gegevensopslag, is het raadzaam om met standaardlidmaatschapsfuncties te werken.

Fuzzy-sets, die bij de meeste problemen moeten worden gebruikt, zijn in de regel unimodaal en normaal. Een van mogelijke methoden De benadering van unimodale vage verzamelingen is een benadering met behulp van functies van het (LR)-type.

Voorbeelden van (L-R)-representaties van enkele taalkundige variabelen worden gegeven in de tabel. 1.2.

Tabel 1.2. Mogelijk (L- R)-weergave van enkele taalkundige variabelen

Het concept van vage en taalkundige variabelen wordt gebruikt om objecten en verschijnselen te beschrijven met behulp van vage verzamelingen.

Vage variabele gekenmerkt door drie (α, X, A), Waar

α — naam van de variabele;

X— universele verzameling (domein α);

A- wazig ingesteld X, het beschrijven van de beperkingen (bijv. μ EEN(X) ) naar de waarden van de fuzzy variabele α.

Taalkundig variabele (LP) is de set ( β , T, X, G, M), waar

β — naam van de taalkundige variabele;

T— een set van zijn waarden (termset), dit zijn de namen van vage variabelen, waarvan het definitiedomein een set is X. Veel T basis genoemd termijn ingesteld taalkundige variabele;

G is een syntactische procedure waarmee u met elementen uit de termenset T kunt werken, in het bijzonder om nieuwe termen (waarden) te genereren. De verzameling T∪G(T), waarbij G(T) de verzameling gegenereerde termen is, wordt de uitgebreide termenverzameling van een taalkundige variabele genoemd;

M— een semantische procedure waarmee u elke nieuwe waarde van een taalkundige variabele gegenereerd door procedure G kunt omzetten in een vage variabele, d.w.z. vormen de overeenkomstige fuzzy set.

Opmerking. Om te veel tekens te vermijden:

1) symbool β gebruikt zowel voor de naam van de variabele zelf als voor al zijn waarden;

2) gebruik hetzelfde symbool om een ​​vage verzameling en de naam ervan aan te duiden, bijvoorbeeld de term ‘Jong’, wat de waarde is van een taalkundige variabele β = “leeftijd”, tegelijkertijd is er een vage set M("Jong").

Het toekennen van meerdere betekenissen aan symbolen veronderstelt dat de context het mogelijk maakt mogelijke dubbelzinnigheden op te lossen.

Voorbeeld. Laat de deskundige de dikte van het vervaardigde product bepalen met behulp van de begrippen “Kleine dikte”, “Gemiddelde dikte” en “Grote dikte”, waarbij de minimale dikte 10 mm en de maximale dikte 80 mm is.

Het formaliseren van een dergelijke beschrijving kan worden uitgevoerd met behulp van de volgende taalkundige variabele ( β , T, X, G, M ), Waar

β — dikte van het product;

T— (“Kleine dikte”, “Gemiddelde dikte”, “Grote dikte”);

X— ;

G - de procedure voor de vorming van nieuwe termen met behulp van verbindingswoorden "en", "of" en modificatoren zoals "zeer", "niet", "enigszins", enz. Bijvoorbeeld: “Kleine of gemiddelde dikte”, “Zeer kleine dikte”, enz.;

M- taakprocedure voor X= vage subsets A 1 = "Kleine dikte", A 2 = "Gemiddelde dikte", A 3 = “Grote dikte”, evenals vage sets voor termen uit G (T) in overeenstemming met de regels voor de vertaling van vage verbindingswoorden en modificatoren "en", "of", "niet", "zeer", "enigszins" en andere bewerkingen op vage verzamelingen van de vorm: A⋂IN,A∪INA, CON EEN =A 2 , DIL EEN = EEN 0,5 enz.

Opmerking. Samen met de basiswaarden van de taalkundige variabele “Dikte” die hierboven is besproken (T=(“Kleine dikte”, “Gemiddelde dikte”, “Grote dikte”)) mogelijke waarden zijn afhankelijk van het domein van definitie X. In dit geval kunnen de waarden van de taalkundige variabele “Productdikte” worden gedefinieerd als “ ongeveer 20 mm”, “ongeveer 50 mm”, “ongeveer 70 mm”, d.w.z. in de vorm van vage getallen.

De termijnset en de uitgebreide termijnset in de voorbeeldvoorwaarden kunnen worden gekarakteriseerd door de lidmaatschapsfuncties weergegeven in figuur 1. 1,5 en 1,6.

Rijst. 1.5. Fuzzy set-lidmaatschapsfuncties: “Kleine dikte” = Een 1,"Gemiddelde dikte" = A 2, "Grote dikte" = A 3

Rijst. 1.6. Fuzzy set-lidmaatschapsfunctie “Kleine of gemiddelde dikte” = A 1 ∪ A 2

Vage cijfers

Vage cijfers- vage variabelen gedefinieerd op de getallenas, d.w.z. een fuzzy getal wordt gedefinieerd als een fuzzy set A op de reeks reële getallen ℝmet lidmaatschapsfunctie μ EEN(X) ϵ, waar X- reëel getal, d.w.z. X ϵ ℝ.

vaag nummer Het is oké als tah μ EEN(X) = 1; convex, als dat nodig is X ≤ bij ≤ z rennen

μA (x)≥ μ EEN(bij) ˄ μ EEN(z).

Veel α -fuzzy nummerniveau A gedefinieerd als

Aα= {X/μ α (X) ≥ α } .

Subset SA⊂ ℝ wordt de ondersteuning van het vage getal genoemd A, Als

SA= { X/μ A(X) > 0 }.

vaag nummer En unimodaal, als voorwaarde μ EEN(X) = 1 is slechts geldig voor één punt van de reële as.

Convex vaag getal A genaamd wazig nul, Als

μ EEN(0) = sup ( μ EEN(X)).

vaag nummer En positief, als ∀ Xϵ SA, X> 0 en negatief, als ∀ X ϵ SA, X< 0.

Bewerkingen op vage getallen

Uitgebreide binaire rekenkundige bewerkingen (optellen, vermenigvuldigen, enz.) voor vage getallen worden als volgt gedefinieerd via de overeenkomstige bewerkingen voor scherpe getallen, waarbij gebruik wordt gemaakt van het generalisatieprincipe.

Laten A En IN- vage getallen, en - vage bewerking die overeenkomt met een willekeurige algebraïsche bewerking * op gewone getallen. Dan kunnen we schrijven (hier en voortaan de notatie gebruiken in plaats van ).

Fuzzy Numbers (L-R)-type

Fuzzy getallen (L-R)-type zijn een soort vage getallen van een speciaal type, d.w.z. gespecificeerd volgens bepaalde regels om het aantal berekeningen te verminderen bij het uitvoeren van bewerkingen daarop.

Lidmaatschapsfuncties van vage getallen van het (L-R)-type worden gespecificeerd met behulp van functies van de reële variabele L( X) en R( X), die aan de volgende eigenschappen voldoet:

a) L(- X) = L( X), R(- X) = R( X);

b) L(0) = R(0).

Het is duidelijk dat de klasse van (L-R)-functies functies omvat waarvan de grafieken er uitzien als die getoond in Fig. 1.7.

Rijst. 1.7. Mogelijke vorm van (L-R) functies

Voorbeelden van analytische taken van (L-R) functies kunnen zijn

Laat L( bij) en R( bij)—(L-R)-type (concrete) functies. Unimodaal vaag getal A Met mode een(d.w.z. μ EEN(A) = 1) met L( bij) en R( bij) wordt als volgt gegeven:

waarbij a de modus is; α > 0, β > 0 — wazigheidscoëfficiënten links en rechts.

Dus voor gegeven L( bij) en R( bij) fuzzy getal (unimodaal) wordt gegeven door een triple A = (A, α, β ).

Het tolerante fuzzy-getal wordt respectievelijk gespecificeerd door vier parameters A = (A 1 , A 2 , α, β ), Waar A 1 en A 2 - tolerantiegrenzen, d.w.z. tussen [ A 1 , A 2 ] de waarde van de lidmaatschapsfunctie is 1.

Voorbeelden van grafieken van lidmaatschapsfuncties van vage getallen van het (L-R)-type worden getoond in Fig. 1.8.

Rijst. 1.8. Voorbeelden van grafieken van lidmaatschapsfuncties van het type vage getallen (L-R).

Merk op dat in specifieke situaties de functies L (y), R (y), evenals parameters A, β vage cijfers (A, α, β ) En ( A 1 , A 2 , α, β ) moet zo worden geselecteerd dat het resultaat van de bewerking (optellen, aftrekken, delen, enz.) exact of ongeveer gelijk is aan een vaag getal met dezelfde L (y) en R (y), en de parameters α" En β" de resultaten gingen niet verder dan de beperkingen op deze parameters voor de oorspronkelijke vage getallen, vooral als het resultaat later aan bewerkingen zal deelnemen.

Opmerking. Het oplossen van problemen bij het wiskundig modelleren van complexe systemen met behulp van het apparaat van vage verzamelingen vereist het uitvoeren van een groot aantal bewerkingen op verschillende soorten taalkundige en andere vage variabelen. Voor het gemak van de uitvoering van bewerkingen, maar ook voor input-output en gegevensopslag, is het raadzaam om met standaardlidmaatschapsfuncties te werken.

Fuzzy-sets, die bij de meeste problemen moeten worden gebruikt, zijn in de regel unimodaal en normaal. Een van de mogelijke methoden voor het benaderen van unimodale vage verzamelingen is benadering met behulp van functies van het (L-R)-type.

Voorbeelden van (L-R)-representaties van enkele taalkundige variabelen worden gegeven in de tabel. 1.2.

Tabel 1.2. Mogelijk (L- R)-weergave van enkele taalkundige variabelen

Van natuurlijke of kunstmatige taal. De taalkundige variabele ‘snelheid’ kan bijvoorbeeld de waarden ‘hoog’, ‘medium’, ‘zeer laag’, enz. hebben. De zinnen waarvan de waarde de variabele aanneemt, zijn op hun beurt namen van vage variabelen en worden beschreven door een vaag geheel.

Wiskundige definitie

De taalkundige variabele wordt vijf genoemd $\backslash (\; x,\; T(x),\; X,\; G,\; M\; \backslash )$, Waar $X$- variabelenaam; $T(x)$- een bepaalde reeks waarden van een taalkundige variabele $X$, die elk een vage variabele op de set zijn $X$; $G$ er is een syntactische regel voor de vorming van namen van nieuwe waarden $X$; $M$ er is een semantische procedure waarmee u een nieuwe naam kunt converteren die door de procedure is gevormd $G$, in een fuzzy variabele (specificeer het type lidmaatschapsfunctie), associeert een naam met zijn waarde, concept.

$T(x)$ ook wel de basistermset genoemd omdat deze definieert minimale hoeveelheid waarden, op basis waarvan, met behulp van regels $G$ En $M$ de rest kun je vormen geldige waarden taalkundige variabele. Veel $T(x)$ en nieuwelingen die met hulp zijn opgeleid $G$ En $M$ de waarden van een taalkundige variabele vormen een uitgebreide termenset.

Voorbeeld: vage leeftijd

Beschouw een taalkundige variabele die de leeftijd van een persoon beschrijft, en dan:

• $X$: "leeftijd";
• $X$: set gehele getallen uit het interval;
• $T(x)$: betekent “jong”, “volwassen”, “oud”. veel $T(x)$- een reeks vage variabelen, voor elke waarde: "jong", "volwassen", "oud", is het noodzakelijk om een ​​lidmaatschapsfunctie in te stellen, die informatie specificeert over welke leeftijd mensen als jong, volwassen of oud moeten worden beschouwd;
• $G$: “zeer”, “niet zeer”. Dergelijke toevoegingen maken de vorming van nieuwe betekenissen mogelijk: "heel jong", "niet erg oud", enz.
• $M$: een wiskundige regel die het type lidmaatschapsfunctie bepaalt voor elke waarde die met behulp van de regel wordt gevormd $G$.

Schrijf een recensie over het artikel "Taalkundige Variabele"

Fragment dat de taalvariabele karakteriseert

Een belangrijk aspect van het concept taalkundige variabele is dat deze variabele van een hogere orde is dan de vage variabele, in de zin dat de waarden taalkundige variabele zijn vage variabelen. De waarden bijvoorbeeld taalkundige variabele“LEEFTIJD” kan zijn: “JONG, NIET JONG, OUD, ZEER OUD, NIET JONG EN NIET OUD”, etc. Elk van deze waarden is een naam vage variabele. Als de naam van een vage variabele is, kan de beperking die door deze naam wordt opgelegd, worden geïnterpreteerd als de betekenis vage variabele .

Een andere belangrijk aspect concepten taalkundige variabele is dat taalkundige variabele Er zijn twee regels:

1. Syntactisch, dat kan worden gespecificeerd in de vorm van een grammatica die de naam van de variabelewaarden genereert;
2. Semantisch, dat een algoritmische procedure definieert voor het berekenen van de betekenis van elke waarde.

Definitie. Taalkundige variabele gekenmerkt door een reeks eigenschappen waarin:

Variabele naam;

Geeft de termset van een variabele aan, d.w.z. reeks namen van taalkundige waarden van de variabele, en elk van deze waarden is vage variabele met waarden uit een universele set met een basisvariabele;

Een syntactische regel die de namen van variabelewaarden genereert;

Een semantische regel die bij elk past vage variabele de betekenis ervan, d.w.z. vage ondergroep universele set .

Specifieke naam gegenereerd door een syntactische regel, wordt een term genoemd. Een term die bestaat uit één woord of meerdere woorden die altijd samen voorkomen, wordt een atomaire term genoemd. Een term die uit meer dan één atomaire term bestaat, wordt genoemd.

samengestelde term Voorbeeld . Laten we eens overwegen taalkundige variabele met de naam "KAMERTEMPERATUUR". Dan de overige vier