Onbepaalde integrale vervangingsmethode. Variabele veranderingsmethode in onbepaalde integraal

A manieren om integralen terug te brengen tot tabellarische integralen Wij hebben voor u op een rij gezet:

variabele vervangingsmethode;

methode van integratie door delen;

Directe integratiemethode

methoden om onbepaalde integralen weer te geven via tabellen voor integralen van rationale breuken;

methoden voor het weergeven van onbepaalde integralen via tabelintegralen voor integralen van irrationele uitdrukkingen;

manieren om onbepaalde integralen uit te drukken via tabellen voor integralen van trigonometrische functies.

Onbepaalde integraal van een machtsfunctie

Onbepaalde integraal van de exponentiële functie

Maar de onbepaalde integraal van de logaritme is geen tabellarische integraal; in plaats daarvan is de formule tabelvormig:

Onbepaalde integralen van trigonometrische functies: integralen van sinus, cosinus en tangens

Onbepaalde integralen met inverse trigonometrische functies

Reductie tot tabelvorm of directe integratiemethode. Met behulp van identieke transformaties van de integrand wordt de integraal gereduceerd tot een integraal waarop de basisregels voor integratie van toepassing zijn en is het mogelijk een tabel met basisintegralen te gebruiken.

Voorbeeld

Oefening. Zoek de integraal

Oplossing. Laten we de eigenschappen van de integraal gebruiken en deze integraal terugbrengen tot een tabelvorm.

Antwoord.

Technisch gezien variabele vervangingsmethode in de onbepaalde integraal wordt op twee manieren geïmplementeerd:

– Een functie onderbrengen onder het differentiaalteken. – Het daadwerkelijk veranderen van de variabele.

Een functie onderbrengen onder het differentiaalteken

Voorbeeld 2

Vind de onbepaalde integraal. Controle uitvoeren.

Laten we de integrandfunctie analyseren. Hier hebben we een breuk, en de noemer is een lineaire functie (met “X” tot de eerste macht). We kijken naar de tabel met integralen en vinden het meest vergelijkbare: .

We brengen de functie onder het differentiaalteken:

Degenen die het moeilijk vinden om meteen uit te vinden met welke breuk ze moeten vermenigvuldigen, kunnen snel het verschil in een concept onthullen: . Ja, het blijkt dat dit betekent dat ik, om niets te veranderen, de integraal moet vermenigvuldigen met . Vervolgens gebruiken we de tabelformule:

Inspectie: De oorspronkelijke integrandfunctie is verkregen, wat betekent dat de integraal correct is gevonden.

Variabele veranderingsmethode in onbepaalde integraal

Voorbeeld 5

Vind de onbepaalde integraal.

Als voorbeeld nam ik de integraal waar we aan het begin van de les naar keken. Zoals we al hebben gezegd, vonden we de tabelformule leuk om de integraal op te lossen , en ik zou de hele zaak tot haar willen beperken.

Het idee achter de vervangingsmethode is om vervang een complexe uitdrukking (of een bepaalde functie) door een enkele letter. IN in dit geval het doet zich voor: de tweede meest populaire letter voor vervanging is de letter . In principe kun je andere letters gebruiken, maar toch blijven we vasthouden aan tradities.

Dus: Maar als we het vervangen, houden we over! Waarschijnlijk hebben velen geraden dat als er een overgang wordt gemaakt naar een nieuwe variabele, alles in de nieuwe integraal moet worden uitgedrukt door middel van de letter , en daar is helemaal geen plaats voor een differentieel. De logische conclusie is dat het nodig is veranderen in een uitdrukking die alleen afhangt van.

De actie is als volgt. Nadat we een vervanging hebben geselecteerd, moeten we in dit voorbeeld het differentieel vinden. Met verschillen denk ik dat iedereen al vriendschap heeft gesloten.

Sindsdien

Nadat ik het verschil heb uitgezocht, raad ik aan het eindresultaat zo kort mogelijk te herschrijven: Nu drukken we, volgens de regels van de verhoudingen, uit wat we nodig hebben:

Als resultaat: Dus: En dit is al de meest tabellarische integraal (de tabel met integralen is uiteraard ook geldig voor de variabele ).

Ten slotte hoeft u alleen nog maar de omgekeerde vervanging uit te voeren. Laten we dat onthouden.

Klaar.

Het uiteindelijke ontwerp van het beschouwde voorbeeld zou er ongeveer zo uit moeten zien:

“

Laten we vervangen:

“

Het pictogram heeft geen enkele wiskundige betekenis; het betekent dat we de oplossing hebben onderbroken voor tussentijdse verklaringen.

Wanneer u een voorbeeld in een notitieboekje voorbereidt, is het beter om de omgekeerde vervanging met een eenvoudig potlood te markeren.

Aandacht! In de volgende voorbeelden zal het vinden van het verschil niet in detail worden beschreven.

En nu is het tijd om de eerste oplossing te onthouden:

Wat is het verschil? Er is geen fundamenteel verschil. Het is eigenlijk hetzelfde. Maar vanuit het oogpunt van het ontwerpen van de taak is de methode om een functie onder het differentiaalteken te plaatsen veel korter. Er rijst een vraag. Als de eerste methode korter is, waarom zou u dan de vervangingsmethode gebruiken? Feit is dat het voor een aantal integralen niet zo eenvoudig is om de functie ‘aan te passen’ aan het teken van het differentieel.

Integratie per onderdeel. Voorbeelden van oplossingen

Integralen van logaritmen

Voorbeeld 1

Vind de onbepaalde integraal.

Klassiek. Af en toe is deze integraal terug te vinden in tabellen, maar het is niet raadzaam om een kant-en-klaar antwoord te gebruiken, aangezien de leraar een tekort aan lentevitamines heeft en zwaar zal vloeken. Omdat de beschouwde integraal geenszins in tabelvorm is, wordt hij in delen genomen. Wij beslissen:

We onderbreken de oplossing voor tussentijdse verklaringen.

We gebruiken de formule voor integratie per delen:

De formule wordt van links naar rechts toegepast

We kijken naar de linkerkant: . Het is duidelijk dat in ons voorbeeld (en in alle andere die we zullen overwegen) iets moet worden aangeduid als , en iets als .

In integralen van het type dat wordt overwogenaltijd aangegeven met logaritme.

Technisch gezien is het ontwerp van de oplossing als volgt geïmplementeerd;

Dat wil zeggen, we hebben de logaritme aangegeven met, en met - de rest integrand expressie.

Volgende fase: vind het verschil:

Een differentiaal is bijna hetzelfde als een afgeleide; we hebben in eerdere lessen al besproken hoe we dit kunnen vinden.

Nu vinden we de functie. Om de functie te vinden die u moet integreren rechterkant lagere gelijkheid:

Nu openen we onze oplossing en construeren we de rechterkant van de formule: . Trouwens, hier is een voorbeeld van de uiteindelijke oplossing met kleine opmerkingen.

In deze les maken we kennis met een van de belangrijkste en meest gebruikte technieken die gebruikt worden bij het oplossen van onbepaalde integralen: de variabele veranderingsmethode. Succesvolle beheersing van de stof vereist initiële kennis en integratievaardigheden. Als je het gevoel hebt dat de ketel leeg is bij integraalrekening, dan moet je eerst vertrouwd raken met het materiaal, waarin ik in een toegankelijke vorm uitlegde wat een integraal is en in detail basisvoorbeelden voor beginners analyseerde.

Technisch gezien wordt de methode voor het veranderen van een variabele in een onbepaalde integraal op twee manieren geïmplementeerd:

– Het onderbrengen van de functie onder het differentiaalteken;
– Feitelijk de variabele vervangen.

In wezen zijn dit hetzelfde, maar het ontwerp van de oplossing ziet er anders uit.

Laten we beginnen met een eenvoudiger geval.

Een functie onderbrengen onder het differentiaalteken

In de klas Onbepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen we hebben geleerd hoe we het differentieel moeten openen, ik herinner je aan het voorbeeld dat ik gaf:

Dat wil zeggen dat het onthullen van een verschil formeel bijna hetzelfde is als het vinden van een afgeleide.

Voorbeeld 1

Controle uitvoeren.

We kijken naar de tabel met integralen en vinden een vergelijkbare formule: . Maar het probleem is dat we onder de sinus niet alleen de letter “X” hebben, maar een complexe uitdrukking. Wat te doen?

We brengen de functie onder het differentiaalteken:

Door het differentieel te openen, kunt u eenvoudig controleren of:

In feite en is een verslag van hetzelfde.

Maar toch bleef de vraag: hoe kwamen we op het idee dat we bij de eerste stap onze integraal precies zo moeten schrijven: ? Waarom is dit en niet anders?

Formule (en alle andere tabelformules) zijn NIET ALLEEN geldig en toepasbaar voor de variabele, maar ook voor elke complexe uitdrukking ALLEEN ALS FUNCTIEARGUMENT( – in ons voorbeeld) EN DE UITDRUKKING ONDER HET DIFFERENTIEEL TEKEN WAS HETZELFDE .

Daarom zou de mentale redenering bij het oplossen ongeveer als volgt moeten zijn: “Ik moet de integraal oplossen. Ik keek in de tabel en vond een vergelijkbare formule . Maar ik heb een complex argument en ik kan de formule niet meteen gebruiken. Als het me echter lukt om het onder het differentieelteken te krijgen, komt alles goed. Als ik het opschrijf, dan. Maar in de oorspronkelijke integraal is er geen factor drie, dus om de integrandfunctie niet te laten veranderen, moet ik deze vermenigvuldigen met ". In de loop van ongeveer zo'n mentaal redeneren ontstaat het volgende:

Nu kunt u de tabelformule gebruiken :

Klaar

Het enige verschil is dat we niet de letter “X” hebben, maar een complexe uitdrukking.

Laten we het controleren. Open de tabel met derivaten en differentieer het antwoord:

De oorspronkelijke integrandfunctie is verkregen, wat betekent dat de integraal correct is gevonden.

Houd er rekening mee dat we tijdens de verificatie de regel hebben gebruikt voor het differentiëren van een complexe functie . In wezen wordt de functie ondergebracht onder het differentiaalteken en - dit zijn twee onderling omgekeerde regels.

Voorbeeld 2

Laten we de integrandfunctie analyseren. Hier hebben we een breuk, en de noemer is een lineaire functie (met “x” tot de eerste macht). We kijken naar de tabel met integralen en vinden het meest vergelijkbare: .

We brengen de functie onder het differentiaalteken:

Inspectie:

De oorspronkelijke integrandfunctie is verkregen, wat betekent dat de integraal correct is gevonden.

Voorbeeld 3

Vind de onbepaalde integraal. Controle uitvoeren.

Voorbeeld 4

Vind de onbepaalde integraal. Controle uitvoeren.

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Het antwoord vindt u aan het einde van de les.

Met enige ervaring in het oplossen van integralen zullen dergelijke voorbeelden eenvoudig lijken en als noten klikken:

Aan het einde van dit gedeelte zou ik ook graag willen stilstaan bij het 'vrije' geval, wanneer in een lineaire functie een variabele binnenkomt met een eenheidscoëfficiënt, bijvoorbeeld:

Strikt genomen zou de oplossing er als volgt uit moeten zien:

Zoals u kunt zien, was het onderbrengen van de functie onder het differentiaalteken “pijnloos”, zonder enige vermenigvuldiging. Daarom wordt zo’n lange oplossing in de praktijk vaak verwaarloosd en meteen opgeschreven . Maar wees bereid om, indien nodig, aan de leraar uit te leggen hoe je het hebt opgelost! Omdat er eigenlijk geen integraal in de tabel staat.

Variabele veranderingsmethode in onbepaalde integraal

Laten we verder gaan met het algemene geval: de methode om variabelen in de onbepaalde integraal te veranderen.

Voorbeeld 5

Vind de onbepaalde integraal.

Het idee achter de vervangingsmethode is om vervang een complexe uitdrukking (of een bepaalde functie) door een enkele letter.
In dit geval vraagt het:
De tweede meest populaire vervangende brief is de letter .
In principe kun je andere letters gebruiken, maar toch blijven we vasthouden aan tradities.

Dus:
Maar als we het vervangen, houden we over! Waarschijnlijk vermoedden velen dat als er een overgang naar een nieuwe variabele wordt gemaakt, alles in de nieuwe integraal via de letter zou moeten worden uitgedrukt, en daar is helemaal geen plaats voor een differentieel.
De logische conclusie is dat het nodig is veranderen in een uitdrukking die alleen afhangt van.

De actie is als volgt. Nadat we een vervanging hebben geselecteerd, moeten we in dit voorbeeld het differentieel vinden. Met verschillen denk ik dat iedereen al vriendschap heeft gesloten.

Sindsdien

Na het demonteren van het differentieel raad ik aan om het eindresultaat zo kort mogelijk te herschrijven:
Nu drukken we, volgens de regels van proportie, uit wat we nodig hebben:

Als resultaat:
Dus:

En dit is al de meest tabellarische integraal (de tabel met integralen geldt uiteraard ook voor de variabele).

Ten slotte hoeft u alleen nog maar de omgekeerde vervanging uit te voeren. Laten we dat onthouden.

Klaar.

Het uiteindelijke ontwerp van het beschouwde voorbeeld zou er ongeveer zo uit moeten zien:

“

Laten we vervangen:

“

Het pictogram heeft geen enkele wiskundige betekenis; het betekent dat we de oplossing hebben onderbroken voor tussentijdse verklaringen.

Wanneer u een voorbeeld in een notitieboekje voorbereidt, is het beter om de omgekeerde vervanging met een eenvoudig potlood te markeren.

Aandacht! In de volgende voorbeelden zal het vinden van het verschil niet in detail worden beschreven.

En nu is het tijd om de eerste oplossing te onthouden:

Er rijst een vraag. Als de eerste methode korter is, waarom zou u dan de vervangingsmethode gebruiken? Feit is dat het voor een aantal integralen niet zo eenvoudig is om de functie ‘aan te passen’ aan het teken van het differentieel.

Voorbeeld 6

Vind de onbepaalde integraal.

Laten we een vervanging maken: (het is moeilijk om hier een andere vervanging te bedenken)

Zoals u kunt zien, werd de oorspronkelijke integraal als resultaat van de vervanging aanzienlijk vereenvoudigd - teruggebracht tot een gewone machtsfunctie. Dit is het doel van de vervanging: de integraal vereenvoudigen.

Luie gevorderde mensen kunnen deze integraal gemakkelijk oplossen door de functie onder het differentiaalteken te plaatsen:

Een ander punt is dat een dergelijke oplossing uiteraard niet voor alle studenten geldt. Bovendien is in dit voorbeeld al gebruik gemaakt van de methode om een functie onder het differentiaalteken te plaatsen verhoogt aanzienlijk het risico om in de war te raken bij een beslissing.

Voorbeeld 7

Vind de onbepaalde integraal. Controle uitvoeren.

Voorbeeld 8

Vind de onbepaalde integraal.

Vervanging:
Het valt nog te bezien wat het zal worden

Oké, we hebben het uitgedrukt, maar wat te doen met de “X” die nog in de teller staat?!
Van tijd tot tijd komen we bij het oplossen van integralen de volgende truc tegen: we zullen uitdrukken van dezelfde vervanging!

Voorbeeld 9

Vind de onbepaalde integraal.

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Het antwoord vindt u aan het einde van de les.

Voorbeeld 10

Vind de onbepaalde integraal.

Sommige mensen hebben vast gemerkt dat er in mijn opzoektabel geen regel voor vervanging van variabelen is. Dit is bewust gedaan. De regel zou verwarring scheppen in de uitleg en het begrip, aangezien deze niet expliciet voorkomt in de bovenstaande voorbeelden.

Nu is het tijd om het te hebben over het uitgangspunt van het gebruik van de variabele-substitutiemethode: de integrand moet een functie en zijn afgeleide bevatten:(functies zitten mogelijk niet in het product)

In dit opzicht moet je bij het vinden van integralen vaak naar de tabel met afgeleiden kijken.

In het beschouwde voorbeeld merken we dat de graad van de teller één minder is dan de graad van de noemer. In de tabel met derivaten vinden we de formule, die de graad met één vermindert. En dat betekent dat als je het als noemer aanwijst, de kans groot is dat de teller in iets goeds verandert.

Directe integratie

Basisintegratieformules

1. C – constant	1*.
2. , n ≠ –1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Berekening van integralen door direct gebruik van de tabel met eenvoudige integralen en de basiseigenschappen van onbepaalde integralen wordt genoemd directe integratie.

Voorbeeld 1.

Voorbeeld 2.

Voorbeeld 3.

Dit is de meest gebruikelijke methode om een complexe functie te integreren, bestaande uit het transformeren van de integraal door naar een andere integratievariabele te gaan.

Als het moeilijk is om de integraal tot een tabelvorm terug te brengen met behulp van elementaire transformaties, dan wordt in dit geval de substitutiemethode gebruikt. De essentie van deze methode is dat het door het introduceren van een nieuwe variabele mogelijk is deze integraal te reduceren tot een nieuwe integraal, die relatief eenvoudig direct te nemen is.

Om te integreren via de substitutiemethode, gebruikt u het oplossingsschema:

2) zoek het differentieel van beide vervangende onderdelen;

3) druk de gehele integrand uit via een nieuwe variabele (waarna een tabelintegraal moet worden verkregen);

4) vind de resulterende tabelintegraal;

5) voer omgekeerde vervanging uit.

Zoek de integralen:

Voorbeeld 1 . Vervanging:cosx=t,-sinxdx=dt,

Oplossing:

Voorbeeld 2.∫e -x3 x 2 dx Vervanging:-x 3 =t, -3x 2dx=dt, Oplossing:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Voorbeeld 3.Vervanging: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Oplossing: .

SECTIE 1.5. Bepaalde integraal, methoden voor de berekening ervan.

item 1 Het concept van een bepaalde integraal

Taak. Zoek de toename van een functie die primitief is van een functie f(x), bij het doorgeven van het argument X van de waarde A te waarderen B.

Oplossing. Laten we aannemen dat integratie heeft gevonden: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Dan F(x)+C 1, Waar C 1- elk gegeven getal zal een van de primitieve functies voor deze functie zijn f(x). Laten we de toename ervan vinden wanneer het argument van de waarde afwijkt A te waarderen B. Wij krijgen:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Zoals we zien, in de uitdrukking voor de toename van de primitieve functie F(x)+C 1 geen constante waarde C 1. En sinds onder C 1 elk gegeven getal werd geïmpliceerd, leidt het verkregen resultaat tot de volgende conclusie: over argumentovergang X van de waarde x=een te waarderen x=b alle functies F(x)+C, primitieve woorden voor een bepaalde functie f(x), hebben dezelfde verhoging gelijk aan F(b)-F(a).

Deze toename wordt gewoonlijk de bepaalde integraal genoemd en aangegeven met het symbool: en luidt: integraal van A naar B van de functie f(x) over dx of, kort gezegd, de integraal van A naar B van f(x)dx.

Nummer A genaamd ondergrens integratie, aantal B - bovenkant; segment a ≤ x ≤ b – segment van integratie. Er wordt aangenomen dat de integrandfunctie f(x) continu voor alle waarden X, die voldoet aan de voorwaarden: A X B

Definitie. Verhoging van primitieve functies F(x)+C over argumentovergang X van de waarde x=een te waarderen x=b, gelijk aan het verschil F(b)-F(a), wordt een bepaalde integraal genoemd en wordt aangegeven met het symbool: zodat als ∫ (x)dx = F(x)+C, dan = F(b)-F(a) - gegeven de gelijkheid wordt de Newton-Leibniz-formule genoemd.

item 2 Basiseigenschappen van de bepaalde integraal

Alle eigenschappen zijn geformuleerd in de stelling dat de beschouwde functies integreerbaar zijn in de overeenkomstige intervallen.

item 3 Directe berekening van de definitieve integraal

Als u de definitieve integraal wilt berekenen, gebruikt u de Newton-Leibniz-formule als u de overeenkomstige onbepaalde integraal kunt vinden

die. de definitieve integraal is gelijk aan het verschil tussen de waarden van elke primitieve functie aan de boven- en ondergrenzen van integratie.

Deze formule toont de procedure voor het berekenen van een bepaalde integraal:

1) vind de onbepaalde integraal van deze functie;

2) vervang in de resulterende primitief eerst de bovengrens en vervolgens de ondergrens van de integraal in plaats van het argument;

3) trek het resultaat van het vervangen van de ondergrens af van het resultaat van het vervangen van de bovengrens.

Voorbeeld 1: Bereken de integraal:

Voorbeeld 2: Bereken de integraal:

p.4 Berekening van een bepaalde integraal via substitutiemethode

De berekening van de definitieve integraal met de substitutiemethode is als volgt:

1) vervang een deel van de integrand door een nieuwe variabele;

2) nieuwe grenzen van de bepaalde integraal vinden;

3) zoek het differentieel van beide vervangende onderdelen;

4) druk de gehele integrand uit via een nieuwe variabele (waarna een tabelintegraal moet worden verkregen); 5) bereken de resulterende definitieve integraal.

Voorbeeld 1: Bereken de integraal:

Vervanging: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

SECTIE 1.6. Geometrische betekenis van een bepaalde integraal.

Oppervlakte van een gebogen trapezium:

Het is bekend dat een bepaalde integraal op een segment het gebied vertegenwoordigt van een kromlijnig trapezium begrensd door de grafiek van de functie f(x).

Het gebied van een figuur dat door bepaalde lijnen wordt begrensd, kan worden gevonden met behulp van bepaalde integralen als de vergelijkingen van deze lijnen bekend zijn.

Laat het segment [a; b] een continue functie wordt gegeven y = ƒ(x) ≥ 0. Laten we de oppervlakte van dit trapezium vinden.

Gebied van de figuur begrensd door as 0 X, twee verticale rechte lijnen x = een, x = b en de grafiek van de functie y = ƒ(x) (figuur), bepaald door de formule:

Dit is de geometrische betekenis van de bepaalde integraal.

Voorbeeld 1: Bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door de lijnen: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

Oplossing: Laten we een tekening maken (merk op dat de vergelijking y=0 de Ox-as definieert).

Antwoord: S = 9 eenheden 2

Voorbeeld 2: Bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door de lijnen: y= - e x, x=1 en coördinaatassen.

Oplossing: Laten we een tekening maken.
Als een gebogen trapezium volledig gelegen onder de Ox-as, dan kan het gebied ervan worden gevonden met behulp van de formule:

In dit geval:

Aandacht! Als je wordt gevraagd de oppervlakte van een figuur te vinden met behulp van een bepaalde integraal, dan is de oppervlakte altijd positief! Daarom verschijnt de min in de zojuist besproken formule.

SECTIE 1.7. Toepassing van de bepaalde integraal

p.1 Berekening van het volume van een rotatielichaam

Als een gebogen trapezium grenst aan de Ox-as, en rechte lijnen y=a, y=b en de grafiek van de functie j= F(x) (Fig. 1), dan wordt het volume van het omwentelingslichaam bepaald door een formule die een integraal bevat.

Het volume van het omwentelingslichaam is gelijk aan:

Voorbeeld:

Zoek het volume van het lichaam dat wordt begrensd door het rotatieoppervlak van de lijn rond de Ox-as op 0≤ x ≤4.

Oplossing: V

eenheden 3. Antwoord: eenheid 3.

SECTIE 3.1. Gewone differentiaalvergelijkingen

item 1 Het concept van een differentiaalvergelijking

Definitie. Differentiële vergelijking is een vergelijking die een functie bevat van een reeks variabelen en hun afgeleiden.

De algemene vorm van een dergelijke vergelijking =0, waarbij F een bekende functie is van zijn argumenten, gespecificeerd in een vast gebied; x - onafhankelijke variabele (variabele waarmee deze wordt gedifferentieerd); y - afhankelijke variabele (degene waaruit afgeleiden worden genomen en de variabele die moet worden bepaald); - afgeleide van de afhankelijke variabele y ten opzichte van de onafhankelijke variabele x.

item 2 Basisconcepten van differentiaalvergelijking

In volgorde van een differentiaalvergelijking wordt de orde van de hoogste afgeleide die erin is opgenomen genoemd.

Bijvoorbeeld:

Een vergelijking van de tweede orde is een vergelijking van de eerste orde.

Elke functie die variabelen met elkaar verbindt en een differentiaalvergelijking in een echte gelijkheid verandert, wordt aangeroepen beslissing differentiaalvergelijking.

Algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de eerste orde is een functie van en een willekeurige constante C die deze vergelijking verandert in een identiteit in .

De algemene oplossing, geschreven in de impliciete vorm =0, wordt aangeroepen algemene integraal.

Privé beslissing vergelijking =0 is een oplossing verkregen uit de algemene oplossing voor een vaste waarde - een vast getal.

Het probleem van het vinden van een bepaalde oplossing voor een differentiaalvergelijking van de n-de orde (n= 1,2,3,...), die voldoet aan de beginvoorwaarden van de vorm

genaamd Cauchy-probleem.

item 3 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde met scheidbare variabelen

Een differentiaalvergelijking van de eerste orde wordt een scheidbare vergelijking genoemd als deze kan worden weergegeven als kan in de vorm worden herschreven . Als . Laten we integreren: .

Om een vergelijking van dit type op te lossen heb je nodig:

1. Afzonderlijke variabelen;

2. Vind de algemene oplossing van deze vergelijking door de vergelijking met gescheiden variabelen te integreren;

3. Zoek een bepaalde oplossing die aan de beginvoorwaarden voldoet (als deze gegeven zijn).

Voorbeeld 1. Los de vergelijking op. Zoek een bepaalde oplossing die voldoet aan de voorwaarde y=4 bij x=-2.

Oplossing: Dit is een vergelijking met gescheiden variabelen. Door te integreren vinden we de algemene oplossing van de vergelijking: . Om een eenvoudigere algemene oplossing te verkrijgen, geven we de constante term aan de rechterkant weer in de vorm C/2. We hebben of is een algemene oplossing. Als we de waarden y=4 en x=-2 in de algemene oplossing vervangen, krijgen we 16=4+C, waaruit C=12.

Een bepaalde oplossing van de vergelijking die aan deze voorwaarde voldoet, heeft dus de vorm

Voorbeeld 2. Zoek een bepaalde oplossing voor de vergelijking als .

Oplossing: , , , , , algemene oplossing.

We vervangen de waarden van x en y in de specifieke oplossing: , , particuliere oplossing.

Voorbeeld 3. Zoek de algemene oplossing van de vergelijking . Oplossing: ,, , - algemene oplossing.

item 4 Differentiaalvergelijkingen van hogere orde dan de eerste

Een vergelijking van de vorm of wordt opgelost door dubbele integratie: , , vanwaar . Nadat we deze functie hebben geïntegreerd, verkrijgen we een nieuwe functie van f(x), die we aanduiden met F(x). Dus, ; . Laten we opnieuw integreren: of y=Ф(x). We hebben een algemene oplossing verkregen voor de vergelijking die twee willekeurige constanten en bevat.

Voorbeeld 1. Los de vergelijking op.

Oplossing:, , ,

Voorbeeld 2. Los de vergelijking op . Oplossing: , , .

SECTIE 3.2. Nummerreeksen, zijn leden

Definitie 1.Nummerreeks wordt een uitdrukking genoemd van de vorm ++…++…, (1)

Waar , , …, , … - nummers die tot een specifiek nummersysteem behoren.

We kunnen dus praten over echte series waarvoor R, over complexe series waarvoor C, ik= 1, 2, …, N, ...

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties in de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u openbaar maken als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen – inclusief administratieve, technische en fysieke – om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Integratie door substitutie (variabele vervanging). Stel dat u een integraal moet berekenen die niet in tabelvorm staat. De essentie van de substitutiemethode is dat in de integraal de variabele x wordt vervangen door de variabele t volgens de formule x = q(t), waaruit dx = q"(t)dt.

Stelling. Laat de functie x=t(t) gedefinieerd en differentieerbaar zijn op een bepaalde verzameling T en laat X de verzameling waarden zijn van deze functie waarop de functie f(x) gedefinieerd is. Als dan op de verzameling X de functie f(x) een primitief heeft, dan is op de verzameling T de formule geldig:

Formule (1) wordt de verandering van de variabele formule in de onbepaalde integraal genoemd.

Integratie per onderdeel. De methode van partiële integratie volgt uit de formule voor het differentieel van het product van twee functies. Laat u(x) en v(x) twee differentieerbare functies zijn van de variabele x. Dan:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

Door beide kanten van gelijkheid te integreren (3), verkrijgen we:

Maar sindsdien:

Relatie (4) wordt de formule voor integratie door delen genoemd. Gebruik deze formule om de integraal te vinden. Het is raadzaam om deze te gebruiken als de integraal aan de rechterkant van formule (4) eenvoudiger te berekenen is dan de oorspronkelijke.

In formule (4) is er geen willekeurige constante C, omdat aan de rechterkant van deze formule een onbepaalde integraal staat die een willekeurige constante bevat.

We presenteren enkele veel voorkomende typen integralen die zijn berekend volgens de methode van integratie door delen.

I. Integralen van de vorm (P n (x) is een polynoom van graad n, k is een bepaald getal). Om deze integralen te vinden volstaat het om u=P n (x) in te stellen en formule (4) n keer toe te passen.

II. Integralen van de vorm (Pn(x) is een polynoom van graad n ten opzichte van x). Ze kunnen worden gevonden met behulp van frequenties, waarbij voor u een functie wordt aangenomen die een vermenigvuldiger is voor P n (x).