Variabele waardelimiet. Sequentielimiet

2 Variabele waardelimiet. Oneindig kleine en oneindig grote hoeveelheden, de verbinding daartussen.

De limiet van een variabele op een bepaald punt is numeriek gelijk aan dit punt. limx(xàa) = a

De functie wordt oneindig klein genoemd op het punt waar xàa als yà0. limf(x)_(xàa) = 0

Er wordt gezegd dat de functie oneindig groot is op het punt waar xàa als yà0. limf(x)_(xàa) =<><>

Relatie tussen hoeveelheden:

Als y=Ф(х) oneindig klein is, dan is 1/ф(х) oneindig ziek

3 Infinitesimalen, hun basiseigenschappen.

De som van een eindig aantal oneindig kleine hoeveelheden is een oneindig kleine hoeveelheid.

Het product van een eindige functie en is oneindig klein formaat– de hoeveelheid is oneindig klein.

Een functie op punt a heeft een eindige limiet als en slechts als f(x) = A + U(x), waarbij U(x) een oneindig kleine hoeveelheid is. Als alternatief kan dit worden geschreven als f(x) – A à 0

Vergelijking van oneindig kleine functies:

Als de verhoudingslimiet van één b.m. naar een andere b.m. gelijk is aan nul, dan is de b.m witter hogere orde. Als deze limiet gelijk is aan oneindig, dan omgekeerd.

En als de limiet van hun verhouding gelijk is aan een bepaald aantal, dan zijn deze b.m. dezelfde volgorde.

Als de limiet 1 is, dan zijn deze twee b.m. zijn gelijkwaardig.

Stelling 1: het product van oneindig kleine getallen is een oneindig klein getal van een hogere orde dan elk van hen.

ODA . De functie a(x) wordt b/m genoemd als de limiet in dit type gelijk is aan 0. Uit deze definitie volgt de volgende eigenschap van b/m-functies:

a) De algebraïsche som en het product van b/m-functies zijn b/m-functies.

b) Het product van een b/m-functie en een beperkte functie is een b/m-functie, d.w.z. als a(x)®0 voor x®x0, en f(x) gedefinieerd en beperkt is ($ C:½j(x)½£C) => j(x)a(x)®0 voor x®x0

Om voertuigen te onderscheiden op basis van hun snelheid bij het naderen van 0, wordt het volgende geïntroduceerd. concept:

1) Als de verhouding van 2 b/m a(x)/b(x)®0 bij x®x0 is, dan zeggen ze dat b/m a een hogere orde van kleinheid heeft dan b.

2) Als a(x)/b(x)®A¹0 voor x®x0 (A-nummer), dan worden a(x) en b(x) b/m van dezelfde orde genoemd.

3) als a(x)/b(x)®1, dan wordt gezegd dat a(x) en b(x) equivalent zijn b/m (a(x)~b(x)), voor x®x0.

4) Als a(x)/b^n(x)®А¹0, dan wordt a(x) b/m van de n-de orde genoemd ten opzichte van b(x).

Soortgelijke definities voor de gevallen: x®x0-, x®x0+, x®-¥, x®+¥ en x®¥.

4 Functielimiet. Basisstellingen over limieten.

Definitie limiet: laat φ(x) een functie zijn die is gedefinieerd op de verzameling X, en a het limietpunt van deze verzameling. Het nummer A wordt gebeld beperken functies voor x à a dan en slechts dan als er voor elke e een buurt van het punt a bestaat zodat |ф(x) – a|< |е|

Op een andere manier wordt dit geschreven als f(x) à A voor x à a

Stelling 1: Als elke term van een algebraïsche som van een eindig aantal functies een limiet heeft omdat x naar a neigt, dan is de limiet van deze algebraïsche som bij x hetzelfde. ka bestaat en is gelijk aan dezelfde algebraïsche som van de limieten van de termen.

Bewijs: we vertegenwoordigen een functie als de som van zijn limiet en een oneindig klein getal, we voegen functies en oneindig klein toe. Het blijkt dat de som van de functies oneindig klein verschilt van de som van de limieten, wat betekent dat dit de limiet is.

Gevolg: Een functie kan slechts één limiet hebben op x-niveau. naar een. Bewezen door tegenspraak. Het blijkt dat het verschil tussen de oorspronkelijke functies neigt naar het verschil tussen hun limieten, dat wil zeggen dat nul neigt naar het verschil tussen de limieten, en aangezien de limiet van een constante functie is gelijk aan de functie zelf en is uniek, dan krijgen we dat het verschil van de limiet gelijk is aan 0, dat wil zeggen dat de limieten hetzelfde zijn.

Stelling 2: Als elk van de factoren van het product van een eindig aantal functies een limiet heeft bij x à a, dan is de limiet van het product bij x a gelijk aan het product van de grenzen van de factoren.

Bewijs: Er wordt gekeken naar het product van twee factoren

Van de verschillende manieren waarop variabelen zich gedragen, is de belangrijkste de manier waarop de variabele naar een bepaalde grens neigt. In dit geval zijn dit de waarden die door de variabele worden overgenomen X, willekeurig dicht bij een constant getal komen A- de limiet van deze variabele. Ze zeggen dat een variabele de neiging heeft om onbeperkt een constant getal te benaderen. A(tot jouw limiet). Laten we de overeenkomstige definitie in meer detail geven.

De variabele x neigt naar de limiet a (a - constant getal) als de absolute waarde het verschil tussen x en a wordt willekeurig klein tijdens het veranderen van de variabele.

Dezelfde definitie kan met andere woorden worden gezegd.

Definitie.Het constante getal a wordt genoemdvariabele limietx als - de absolute waarde van het verschil tussen x en a wordt willekeurig klein tijdens het veranderen van de variabele x.

Het feit dat het nummer A, is de limiet van de variabele, als volgt geschreven:

( - de eerste letters van het woord limes - limiet) of X-> een

Laten we verduidelijken wat moet worden verstaan onder de woorden ‘de hoeveelheid wordt willekeurig klein’ in de definitie van de limiet. Laten we een willekeurig positief getal instellen, en dan als, beginnend vanaf een bepaald moment in de verandering in de variabele X, de waarden zullen en zullen minder worden dan dit .

De variabele neigt naar de limiet als er iets positiefs is. vanaf een bepaald moment in de verandering van de variabele is aan de ongelijkheid voldaan .

De definitie van de limiet heeft een eenvoudige geometrische betekenis: de ongelijkheid betekent dat het zich in de buurt van het punt bevindt, d.w.z. in het interval (Fig. 26). Dus het definiëren van de limiet in geometrische vorm: een getal is de limiet van een variabele, indien aanwezig (willekeurig klein)-omgeving van een punt u kunt het moment opgeven waarop u een variabele wijzigt, vanaf welk moment al zijn waarden gelden
vallen in de aangegeven buurt van punt a.

Het is noodzakelijk om je het proces voor te stellen van het naderen van de limiet in de dynamiek. Ik heb er een paar genomen - buurt van een punt A; ergens in de verandering beginnen , alle waarden vallen binnen deze buurt. Laten we nu eens dichterbij kijken - buurt van een punt A; beginnend vanaf een (verder weg gelegen in vergelijking met het eerste) moment in de verandering , al zijn waarden zullen erin vallen - buurt van een punt A enz. (Afb. 1).

Nadat we de definitie van de limiet van een variabele waarde hadden geïntroduceerd, probeerden we deze in detail te bespreken en te ontcijferen. In deze definitie bleef één zeer belangrijk detail echter geheim; Wat moet worden verstaan onder de woorden “beginnend vanaf een bepaald moment in de verandering van een variabele”? Dit is duidelijk wanneer het proces van het veranderen van een variabele in de loop van de tijd plaatsvindt: vanaf een bepaald moment (tijd). Maar we hebben niet altijd te maken met variabele hoeveelheden, waarvan de verandering in de loop van de tijd plaatsvindt. Wat te doen in deze gevallen? De oplossing is om deze plaats in de algemene definitie van de limiet van een variabele op een specifieke manier te ontcijferen voor elk type variabele: op zijn eigen manier voor reeksen, op zijn eigen manier voor functies, enz.

Consistentielimiet. Allereerst moeten we de definitie van een reeks onthouden: als alle waarden door een variabele worden overgenomen X, kan worden genummerd met alle mogelijke natuurlijke getallen x), x 2,...x n,..., en de waarde met een hoger getal wordt genomen na de waarde met een lager getal, dan heet de variabele dat X loopt door een reeks waarden x x, x 2,... x n...; of eenvoudigweg dat er een reeks is (een numerieke reeks).

Definitie. Numerieke reeks wordt een reële functie van een natuurlijk argument genoemd, dat wil zeggen een functie waarvan = N En EÌR.

Het wordt aangegeven met het symbool , waarbij , of kortweg , . Een getal dat afhankelijk is van n heet n – e lid van de reeks. Nadat we de waarden van de reeks in numerieke volgorde hebben gerangschikt, ontdekken we dat de reeks kan worden geïdentificeerd met een telbare reeks reële getallen, d.w.z.

Voorbeelden:

a) De reeks is constant en bestaat uit gelijke getallen (eenheden): ;

B) . Voor haar

G) .

Voor reeksen is dit de verklaring in de algemene definitie van de limiet van een variabele “vanaf een bepaald moment in de verandering " moet betekenen "vanaf een bepaald nummer", aangezien leden met hogere nummers (per definitie van de volgorde) het lid met een lager nummer volgen. We krijgen dus de volgende definitie van de limiet van een reeks:

Definitie. Nummer A genaamd beperken reeksen, als er voor elk getal een getal bestaat waarvan alle getallen voldoen aan de ongelijkheid.

Overeenkomstige aanduiding

De ongelijkheid kan ook in de vorm worden geschreven of . Deze inzendingen benadrukken dat de waarde x n zo min mogelijk van elkaar te onderscheiden is A, wanneer het ledenaantal onbeperkt toeneemt. Geometrisch betekent de definitie van een reekslimiet het volgende: for willekeurig kleine buurt van het nummer A er is een getal N zodat alle termen van de reeks groter dan N zijn, aantallen vallen in deze buurt, Slechts een eindig aantal initiële termen van de reeks bevindt zich buiten de buurt (Fig. 2). Zijn het alle of enkele leden? .

x 1 x 2 x N+1 en x N +2 x N x 3

Het aantal in onze definitie hangt af van : N= N(). Zoals eerder vermeld moet de definitie van de limiet worden begrepen in ontwikkeling, in dynamiek, in beweging: als we een andere, kleinere waarde voor dan is er bijvoorbeeld doorgaans sprake van een ander getal Nx > N, zodanig dat er sprake is van ongelijkheid , is voor iedereen tevreden.

We zullen de definitie van een limiet opschrijven met behulp van logische symbolen (kwantificatoren). Het definiëren van de limiet van een reeks met behulp van kwantoren ziet er als volgt uit.

Thuis > Document

BEPERKEN. CONTINUÏTEIT VAN FUNCTIES

VARIABELEN EN CONSTANTEN Als gevolg van meting fysieke hoeveelheden(tijd, oppervlakte, volume, massa, snelheid, etc.) hun numerieke waarden worden bepaald. Wiskunde houdt zich bezig met hoeveelheden en abstraheert van hun specifieke inhoud. In wat volgt zullen we, als we het over hoeveelheden hebben, hun numerieke waarden bedoelen. Bij verschillende verschijnselen veranderen sommige grootheden, terwijl andere hun numerieke waarde behouden. Wanneer een punt bijvoorbeeld uniform beweegt, veranderen tijd en afstand, maar blijft de snelheid constant. Variabele waarde is een grootheid die verschillende numerieke waarden aanneemt. Een grootheid waarvan de numerieke waarden niet veranderen, wordt genoemd constante. Variabele hoeveelheden worden met letters aangegeven x, y, z,…, constante – a, b, c,… Merk op dat in de wiskunde vaak een constante wordt beschouwd als speciaal geval een variabele waarvan de numerieke waarden allemaal hetzelfde zijn. Verander gebied Een variabele is de verzameling van alle numerieke waarden die hij accepteert. Het wijzigingsgebied kan uit één of meer intervallen bestaan, of uit één punt. BESTELDE VARIABELE HOEVEELHEID. NUMERIEKE VOLGORDE We zullen zeggen dat de variabele X Er is geordende variabele, als het gebied van zijn verandering bekend is, en voor elk van twee van zijn waarden kan men zeggen welke de vorige is en welke de volgende is. Een speciaal geval van een bestelde variabele hoeveelheid is een variabele hoeveelheid waarvan de waarden worden gevormd nummerreeks X 1 ,X 2 ,…,X N ,… Voor dergelijke waarden op i< j, i, j Î N , betekenis X i wordt als antecedent beschouwd, en X J– daaropvolgende ongeacht welke van deze waarden groter is. Een nummerreeks is dus een variabele waarvan de opeenvolgende waarden opnieuw kunnen worden genummerd. We zullen een numerieke reeks aangeven met . De afzonderlijke getallen in een reeks worden zijn genoemd elementen. De numerieke reeks wordt bijvoorbeeld gevormd door de volgende grootheden:

FUNCTIE Bij het bestuderen van verschillende natuurlijke fenomenen en het oplossen ervan technische problemen, en daarom moeten we in de wiskunde rekening houden met de verandering in de ene grootheid, afhankelijk van de verandering in een andere. Het is bijvoorbeeld bekend dat de oppervlakte van een cirkel door de formule wordt uitgedrukt in straal S = πr 2 . Indien straal R verschillende numerieke waarden aanneemt, en vervolgens de oppervlakte S neemt ook verschillende numerieke waarden aan, d.w.z. een verandering in de ene variabele veroorzaakt een verandering in een andere. Als elke variabele waarde X behorend tot een bepaald gebied komt overeen met een specifieke waarde van een andere variabele j, Dat j genaamd functie van variabele x. We zullen symbolisch schrijven y=f(x). In dit geval de variabele X genaamd onafhankelijke variabele of argument. Dossier y=C, Waar C– constant, geeft een functie aan waarvan de waarde een willekeurige waarde heeft Xéén en dezelfde en gelijk C. Meerdere betekenissen X, waarvoor de functiewaarden kunnen worden bepaald j volgens de regel f(x), genaamd domein van de functie. Merk op dat een getallenreeks ook een functie is waarvan het definitiedomein samenvalt met de verzameling natuurlijke getallen. De elementaire basisfuncties omvatten alle functies die in de wiskundecursus op school worden bestudeerd: Elementaire functie wordt een functie genoemd die kan worden gespecificeerd door basic elementaire functies en constanten die een eindig aantal bewerkingen gebruiken van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en het nemen van een functie van een functie. HET CONCEPT VAN DE LIMIET VAN EEN NUMERIEKE VOLGORDE In een vervolgcursus wiskunde zal het concept van een limiet een fundamentele rol spelen, omdat de basisconcepten er rechtstreeks verband mee houden wiskundige analyse– afgeleide, integraal, enz. Laten we beginnen met het concept van de limiet van een getallenreeks. Nummer A genaamd beperken sequenties X = {X N), als er voor een willekeurig vooraf bepaald willekeurig klein positief getal ε zo'n natuurlijk getal bestaat N dat waar iedereen bij is n>N de ongelijkheid |x n - a|< ε. Если число A er is een reekslimiet X = {X N), dan zeggen ze dat X N streeft naar A, en schrijf. Om deze definitie in geometrische termen te formuleren, introduceren we het volgende concept. Buurt van punt x 0 wordt een willekeurig interval genoemd ( een, b), dat dit punt in zichzelf bevat. Er wordt vaak gekeken naar de buurt van een punt X 0 , waarvoor X 0 is dan het midden X 0 genaamd centrum buurt, en de waarde ( B–A)/2 – radius buurt. Laten we dus eens kijken wat het concept van de limiet van een getallenreeks geometrisch betekent. Om dit te doen, schrijven we de laatste ongelijkheid uit de definitie in het formulier

Deze ongelijkheid betekent dat alle elementen van de reeks met getallen zijn n>N moet in het interval liggen (a – ε; a + ε). MET dus een constant aantal A er is een limiet aan de nummerreeks ( X N), indien voor een kleine buurt gecentreerd op het punt A straal ε (ε is de buurt van het punt A) er is zo'n element van de reeks met nummer N dat alle volgende elementen zijn genummerd n>N zal zich in deze omgeving bevinden. Voorbeelden.

Laten we bewijzen dat de limiet van deze getallenreeks gelijk is aan 1. Neem een willekeurig positief getal ε. We moeten zo'n natuurlijk getal vinden N dat waar iedereen bij is n>N ongelijkheid blijft bestaan | X N - 1| < ε. Действительно, т.к.

, en vervolgens om aan de relatie |x n - a| te voldoen< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N elk natuurlijk getal dat aan de ongelijkheid voldoet, krijgen we wat we nodig hebben. Dus als we bijvoorbeeld het zetten nemen N= 6, voor iedereen N>6 zullen we hebben

. Laten we een willekeurige ε > 0 nemen. Beschouw . Dan, als of, d.w.z. . Daarom kiezen we elk natuurlijk getal dat aan de ongelijkheid voldoet. Laten we een paar opmerkingen maken. Opmerking 1. Uiteraard als alle elementen van een getallenreeks dezelfde constante waarde hebben X N = c, dan is de limiet van deze reeks gelijk aan de meest constante. Voor elke ε is de ongelijkheid | X N - C| = |c - c| = 0 < ε. Z Opmerking 2. Uit de definitie van een limiet volgt dat een reeks geen twee limieten kan hebben. Stel dat inderdaad X N → een en tegelijkertijd X N →b. Neem er een en markeer de buurten van de punten A En B straal ε (zie figuur). Vervolgens moeten, door de definitie van een limiet, alle elementen van de reeks, beginnend vanaf een bepaald punt, zich in de buurt van het punt bevinden A, en in de buurt van het punt B, wat onmogelijk is. Opmerking 3. Je moet niet denken dat elke getallenreeks een limiet heeft. Laat bijvoorbeeld een variabele de waarden aannemen

. Het is gemakkelijk in te zien dat deze reeks geen grenzen kent.

FUNCTIELIMIET Laat de functie y=f(x) gedefinieerd in een bepaalde buurt van het punt A. Laten we aannemen dat de onafhankelijke variabele X benadert het aantal zonder beperking A. Dit betekent dat we kunnen geven X waarden zo dicht mogelijk bij A, maar niet gelijk A. We zullen het zo aanduiden x → een. Voor zulke X Laten we de overeenkomstige waarden van de functie vinden. Het kan gebeuren dat de waarden f(x) ook onbeperkt een bepaald aantal benaderen B.Dan zeggen ze dat het nummer is B er is een limiet aan de functie f(x) bij x → een. Laten we een strikte definitie van de limiet van een functie introduceren. Functie y=f(x) neigt naar de limiet b als x → a, als men voor elk positief getal ε, hoe klein het ook is, een positief getal δ kan specificeren zodat voor alle x ≠ a uit het definitiedomein van de functie | x-een| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. Если B er is een limiet aan de functie f(x) bij x → een, dan schrijven ze of f(x) → b bij x → een. Laten we deze definitie illustreren met een grafiek van de functie. Omdat van ongelijkheid | x-een| < δ должно следовать неравенство |f(x) - b| < ε, т.е. при X Î ( A - δ, A+ δ) overeenkomstige waarden van de functie f(x) Î ( B - ε, B+ ε), dan kunnen we, door een willekeurig ε > 0 te nemen, een getal δ kiezen zodat we voor alle punten X, liggend in δ – buurt van het punt A, moeten de overeenkomstige punten van de functiegrafiek binnen een strook met breedte 2ε liggen, begrensd door rechte lijnen j = b– ε en j = b+ e. Het is gemakkelijk in te zien dat de limiet van een functie dezelfde eigenschappen moet hebben als de limiet van een numerieke reeks, namelijk als x → een functie een limiet heeft, dan is het de enige. Voorbeelden. Een grafiek gebruiken gegeven functie, het is gemakkelijk op te merken.

HET CONCEPT VAN EEN FUNCTIELIMIET OP EEN ONEINDIG AFGESLOTEN PUNT Tot nu toe hebben we de limieten voor het geval waarin de variabele X streefde naar een bepaald constant aantal. We zullen zeggen dat de variabele x neigt naar oneindig, indien voor elk vooraf bepaald positief getal M(deze kan zo groot zijn als u wilt), u kunt deze waarde opgeven x=x 0 , vanaf welke alle volgende waarden van de variabele aan de ongelijkheid zullen voldoen |x|>M. Laat de variabele bijvoorbeeld X neemt waarden aan X 1 = –1, X 2 = 2, X 3 = –3, …, X n =(–1) N N, ... Het is duidelijk dat dit een oneindig grote variabele is, aangezien dit voor iedereen geldt M> 0 alle waarden van de variabele, beginnend bij enkele, tot absolute waarde er zullen er meer zijn M. Variabele waarde x → +∞, indien voor willekeurig M> 0 alle volgende waarden van de variabele, beginnend vanaf een bepaalde waarde, voldoen aan de ongelijkheid x > M. Insgelijks, X→ – ∞, indien aanwezig M > 0 X< -M . We zullen zeggen dat de functie f(x) neigt tot het uiterste B bij X→ ∞, als je voor een willekeurig klein positief getal ε zo'n positief getal kunt specificeren M, die voor alle waarden X, waarmee de ongelijkheid wordt bevredigd |x|>M, de ongelijkheid | f(x) - b| < ε. Обозначают . Voorbeelden. N Het is al mogelijk om te bewijzen dat voor willekeurige ε de ongelijkheid zo snel zal worden vervuld |x|>M en het nummer M moet worden bepaald door de keuze van ε. De geschreven ongelijkheid is gelijk aan het volgende, wat geldt als |x|> 1/ε=M. Dit betekent dat (zie figuur). ONEINDIG GROTE FUNCTIES Eerder keken we naar gevallen waarbij de functie f(x) streefde naar sommigen eindige limiet B bij x → een of X→ ∞. Laten we nu het geval bekijken waarin de functie y=f(x) een manier om de argumentatie te veranderen. Functie f(x) neigt naar oneindig als x → een, d.w.z. is oneindig groot grootte indien voor een willekeurig getal M, hoe groot deze ook is, het is mogelijk om voor alle waarden een δ > 0 te vinden X≠A, die voldoet aan de voorwaarde | x-een| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M. Als f(x) neigt naar oneindig als x → een, dan schrijven ze of f(x)→∞ op x → een. Formuleer een soortgelijke definitie voor het geval wanneer X→∞. Als f(x) neigt naar oneindig als x → een en neemt tegelijkertijd alleen positieve of alleen negatieve waarden aan, dienovereenkomstig schrijven ze of . Voorbeelden. BEPERKTE FUNCTIES Laat de functie gegeven worden y=f(x), gedefinieerd op een bepaalde set D argumentwaarden. Functie y=f(x) genaamd beperkt op een setje D, als er een positief getal is M zodat voor alle waarden X uit de beschouwde set blijft de ongelijkheid bestaan |f(x)|≤M. Als zo'n nummer M bestaat niet, dan is de functie f(x) genaamd onbeperkt op een setje D. Voorbeelden.

|f(x)| ≤f

Functie y=f(x) genaamd begrensd als x → a, als er een buurt is gecentreerd op het punt A, waarbij de functie beperkt is. Functie y=f(x) genaamd begrensd als x → ∞, als er zo'n nummer is N> 0, wat voor alle waarden geldt X, waarmee de ongelijkheid wordt bevredigd |x|>N, functie f(x) beperkt. Laten we een verband leggen tussen een begrensde functie en een functie die een limiet heeft. Stelling 1. Als en B een eindig getal is, dan is de functie f(x) beperkt wanneer x → een. Bewijs. Omdat , dan is er voor elke ε>0 een getal δ>0 zodat voor alle waarden X, waarmee de ongelijkheid wordt bevredigd |x-a|< δ, de ongelijkheid blijft bestaan |f(x) –b|< ε. Met behulp van de module-eigenschap |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, schrijven we de laatste ongelijkheid in de vorm |f(x)|<|b|+ ε. Dus als we zetten M=|b|+ε, wanneer dan x→a |f(x)| Opmerking. Uit de definitie van een begrensde functie volgt dat als , dan is deze onbegrensd. Het omgekeerde is echter niet waar: een onbegrensde functie hoeft niet oneindig groot te zijn. Geef een voorbeeld. Stelling 2. Als , dan is de functie y=1/f(x) beperkt wanneer x → een. Bewijs. Uit de voorwaarden van de stelling volgt dat voor willekeurig ε>0 in een bepaalde buurt van het punt A wij hebben |f(x) – b|< ε. Omdat |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|, Dat |b| - |f(x)|< ε. Vandaar, |f(x)|>|b| -ε >0. Daarom .
ONEINDIG GROTE EN ONEINDIG KLEINE FUNCTIES
ONEINDIGKLEINE FUNCTIES EN HUN BASISEIGENSCHAPPEN Functie y=f(x) genaamd oneindig klein bij x → een of wanneer X→∞, als of , d.w.z. Een oneindig kleine functie is een functie waarvan de limiet op een bepaald punt nul is. P voorbeelden. Laten we de volgende belangrijke relatie vaststellen: Stelling. Als de functie y=f(x) representatief mee x → een als de som van een constant getal B en oneindig kleine omvang α(x): f(x)=b+ α(x) Dat . Omgekeerd: als, dan f (x)=b+α(x), Waar bijl)– oneindig klein bij x → een. Bewijs. Laten we eens kijken naar de basiseigenschappen van oneindig kleine functies. Stelling 1. De algebraïsche som van twee, drie en in het algemeen elk eindig aantal oneindig kleine getallen is een oneindig kleine functie. Bewijs. Laten we een bewijs geven voor twee termen. Laten f(x)=α(x)+β(x), waar en . We moeten dat bewijzen voor elke willekeurige kleine ε > 0 gevonden δ> 0, zodanig dat voor X, waarmee de ongelijkheid wordt bevredigd |x – een|<δ , wordt geëxecuteerd |f(x)|< ε. Laten we dus een willekeurig getal ε vaststellen > 0. Omdat volgens de voorwaarden van de stelling α(x) een oneindig kleine functie is, dan is er zo'n δ 1 > 0, dat wil zeggen |x – een|< δ 1 hebben we |α(x)|< ε / 2. Zo ook sinds β(x) oneindig klein is, dan is er zo’n δ 2 > 0, dat wil zeggen |x – een|< δ 2 hebben we | β(x)|< ε / 2. Laten we nemen δ=min(δ 1 , δ2 } .Dan in de buurt van het punt A radius δ aan elk van de ongelijkheden zal voldaan worden |α(x)|< ε / 2 en | β(x)|< ε / 2. Daarom zal er in deze buurt wel een zijn |f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε, d.w.z. |f(x)|< ε, wat bewezen moest worden. Stelling 2. Product van een oneindig kleine functie bijl) voor een beperkte functie f(x) bij x → een(of wanneer x →∞) is een oneindig kleine functie. Bewijs. Sinds de functie f(x) beperkt is, dan is er een aantal M zodat voor alle waarden X vanuit een bepaalde buurt van een punt a|f(x)|≤M. Bovendien, sinds bijl) is een oneindig kleine functie bij x → een, dan voor een willekeurige ε > 0 Er is een buurt van het punt A, waarin de ongelijkheid zal blijven bestaan |α(x)|< ε /M. Dan hebben we in de kleinere van deze buurten | ef|< ε /M= ε. En dit betekent dat af– oneindig klein. Voor de gelegenheid x →∞ het bewijs wordt op dezelfde manier uitgevoerd. Uit de bewezen stelling volgt: Gevolg 1. Als en, dan. Gevolg 2. Als en c= const, dan. Stelling 3. Verhouding van een oneindig kleine functie α(x) per functie f(x), waarvan de limiet verschillend is van nul, is een oneindig kleine functie. Bewijs. Laten . Dan 1 /f(x) er is een beperkte functie. Daarom de breuk is het product van een oneindig kleine functie en een begrensde functie, dwz functie is oneindig klein.
1. Algemene culturele en praktische betekenis van het paradigma van continuïteit en differentiaal- en integraalrekening
Abstract
Bijlage 1 Elementen van de toepassing van wiskunde in sociaal-economisch en sociaal-managementonderzoek en in de moderne bedrijfspraktijk - mogelijke toegepaste onderwerpen voor samenvattingen,
Document
Dit hoofdstuk beschrijft geldige namen van Mathcad-variabelen en -functies, vooraf gedefinieerde variabelen-likes en de werking van Mathcad complexe getallen net zo gemakkelijk als bij echte.
"Functies en grafieken"
Abstract
Ik zou graag meer willen weten over wat een functie is en wat grafieken van functies zijn. Vanaf groep 7 studeren we algebra volgens het A.G.-programma. Mordkovich. Ik geloof dat het concept functionele afhankelijkheid is een van de centrale principes in de wiskunde en doordringt al zijn toepassingen.
Een kort overzicht en naslaggids. Het boek is de eerste recensie- en naslaggids over virtuele natuurkunde in zijn soort en is bedoeld voor een breed scala aan lezers die geïnteresseerd zijn in de problemen van de wetenschap in het algemeen en de natuurkunde in het bijzonder.
Boek
Het boek is de eerste recensie- en naslaggids over virtuele natuurkunde in zijn soort en is bedoeld voor een breed scala aan lezers die geïnteresseerd zijn in de problemen van de natuurwetenschappen in het algemeen en de natuurkunde in het bijzonder.
Programma van toelatingsexamens voor masteropleidingen richting 010200. 68 Wiskunde. Toegepaste Wiskunde "Wiskundige Analyse"
Programma
Limiet van nummerreeks. Basiseigenschappen: uniciteit van de limiet; beperkte convergente reeks; convergentie van een deelreeks van een convergente reeks.

Laat x een geordende variabele zijn (bijvoorbeeld een getallenreeks).
Definitie.
Constant aantalAwordt de limiet van een variabele x genoemd als er een willekeurig klein positief getal is we hebben het niet aangenomen, je kunt een waarde voor de variabele x opgeven, zodat alle volgende waarden van de variabele aan de ongelijkheid zullen voldoen X-A .
Symbolisch wordt dit geschreven als xa of limx=a (van het Latijnse limes - limiet).
Geometrisch deze definitie betekent dat ongeacht welke kleine  - buurt van punt a we nemen, alle volgende waarden van x na een bepaald punt in deze buurt zullen liggen.
Uit de tekening is duidelijk dat de ongelijkheid
betekent dat de afstand van punt x tot a kleiner is dan . En dit is het interieur van de buurt. Punt x voldoet uiteraard ook aan de dubbele ongelijkheid a- en deze zijn gelijkwaardig.
OVER definitie: Voor een getallenreeks (x n ) is a een limiet als
je kunt een getalN opgeven zodat voor iedereen

Voor leden van de reeks liggen alle waarden x N , x N +1 en verder binnenin -buurt is een must.
Een variabele x, waarvan de waarden de numerieke reeks x 1,x 2,…,x n vormen, wordt vaak geschreven als lid van de reeks x=x n of (x n). Bijvoorbeeld (1/n). Dit is een variabele grootheid of reeks met een gemeenschappelijke term x n =1/n: 1,1/2,1/3…
Voorbeeld: Laat de variabele x opeenvolgende waarden aannemen: x 1 =2/1, x 2 =3/2, x 3 =4/3, …,x n =(n+1)/n,… d.w.z. een nummerreeks vormen. Laten we dat bewijzen
.
Laten we nemen
.

. Zodra het nummer wordt
, we nemen het als N. Dan blijft de ongelijkheid bestaan
. Maar dan is alles bewezen.
Stelling 1: de limiet van een constante waarde is gelijk aan deze constante. Bewijs: Een constante waarde is een speciaal geval van een variabele - al zijn waarden =c: x=c/ Maar dan limc=c.
Stelling 2: De variabele x kan geen twee limieten hebben.
Bewijs: Laten we zeggen limx=a en limx=b. Dan

En
na wat waardex. Maar dan
Omdat willekeurig klein is, dan is ongelijkheid alleen mogelijk als a=b
Opmerking: De variabele mag geen limiet hebben: x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1. De afstand tot elk punt a vanaf de waarden –1,+1 kan niet minder zijn dan 1/2
(-1) n heeft geen limiet.
We gingen ervan uit dat a een getal was. Maar de variabele x kan ook naar oneindig neigen.
Definitie: De variabele x neigt naar oneindig indien for
uitgaande van een bepaalde waarde x gewicht voldoen de overige waarden aan de ongelijkheid
. Variablex heeft de neiging dat te doen
, als onder dezelfde omstandigheden de ongelijkheid x>M en k - , als onder dezelfde omstandigheden de ongelijkheid x<-M. Если переменная X стремится к бесконечности, то её называют oneindig groot en schrijf
Voorbeeld: x=xn=n2. Laten we nemen
>0. Er moet aan n 2 >M worden voldaan. n>
. Zodra n aan deze ongelijkheid voldoet, dan is voor alle x n = n 2 aan de ongelijkheid voldaan. Dus n2
, of beter gezegd n2
.
§3. Functielimiet.
We nemen aan dat het argument x van de functie y=f(x) neigt naar x 0 of .
Laten we het gedrag van de functie y in deze gevallen eens bekijken.
Definitie.
Laat de functie y=f(x) gedefinieerd worden in een bepaalde buurt van het punt x 0 . Een getal A wordt de limiet van een functie voor xx 0 genoemd als je voor elke , hoe klein ook, een getal  kunt specificeren zodat voor alle xx 0 en aan de ongelijkheid x-x 0  wordt voldaan  aan de ongelijkheid f is voldaan (x)-A.
Als A de limiet is van de functie f(x), dan schrijven ze
orf(x)A op xx 0.
OVER de definitie kan op deze manier worden geïllustreerd geometrisch.
Als A de limiet is van f(x) voor xx 0, kunnen we, uitgaande van een willekeurige -buurt van punt A, altijd zo’n -buurt van punt x 0 aangeven dat voor alle x uit deze -buurt van de waarde van de functie f(x) niet verder dan  van A verwijderd zijn, d.w.z. vallen in de geselecteerde -buurt van punt A, of hoe dan ook, het deel van de grafiek dat overeenkomt met punten x uit de -buurt ligt geheel in een strook met een breedte van 2.
Het is duidelijk dat hoe kleiner , hoe kleiner  zou moeten zijn.
Definitie.
Laat het argument x naar het punt x 0 neigen, waarbij je alle tijd de waarden xx 0 xx 0  neemt. Dan het getal A 1 (A 2), waarnaar de functie f(x) neigt. wordt de limiet van de functie f(x) in punt x 0 naar rechts (links) of rechtshandig (linkshandig) genoemd.
Er staat geschreven: lim x  x0+0 f(x)=A 1, (lim x  x0-0 f(x)=A 2).
Er kan worden bewezen dat als de limiet lim x  x0 f(x) = A bestaat, er op dit punt beide eenzijdige limieten bestaan en dat ze gelijk zijn, A 1 = A 2 = A. Omgekeerd: als er eenzijdige limieten zijn en deze gelijk zijn, dan is er een algemene limiet. Als er tenminste één niet bestaat of als ze niet gelijk zijn, bestaat de limiet van de functie niet.
Voorbeeld.
Bewijs dat f(x)=3x-2 een limiet heeft op x1 gelijk aan 1.
Enige , х 3.
Als  kun je alle positieve getallen /3 nemen; 0</3.
Ze bewezen dat het voor elke  voldoende is om /3 te nemen zodat van 0х f(x)-1, maar dit betekent dat lim X  (3x-2)=1.
Definitie.
H
Het getal A wordt de limiet van de functie y=f(x) voor x genoemd als je voor elke  (hoe klein ook) een positief getal P kunt specificeren zodat voor alle waarden van x die voldoen aan de ongelijkheid  xP de ongelijkheid  f(x)-A.
Schrijf lim x  f(x)=A op.
Geometrisch betekent dit dat voor elke  de grafiek van de functie voor xp en x-p zich in een strook met breedte 2 bevindt.
Voorbeeld.
f(x)=1/x voor x, f(x)0.
Welke 0 ook wordt genomen, de grafiek van de functie voor xP en x-P zal zich in een strook met een breedte van 2 bevinden.
1/х, 1/х, x1/, Р=1/.
Op dezelfde manier gedefinieerd
f(x)=A 1 en
f(x)=A 2. In het eerste geval moet voldaan zijn aan de ongelijkheid f(x)-A 1  voor xP, in het tweede geval aan f(x)-A 2  voor x-P (P0 .
Dus,
1/x=0, en
1/x=0. Hun gelijkheid stelt ons in staat de algemene limiet in overweging te nemen
1/x=0.

VARIABELEN EN CONSTANTEN

Als resultaat van het meten van fysieke grootheden (tijd, oppervlakte, volume, massa, snelheid, enz.) Worden hun numerieke waarden bepaald. Wiskunde houdt zich bezig met hoeveelheden en abstraheert van hun specifieke inhoud. In wat volgt zullen we, als we het over hoeveelheden hebben, hun numerieke waarden bedoelen. Bij verschillende verschijnselen veranderen sommige grootheden, terwijl andere hun numerieke waarde behouden. Wanneer een punt bijvoorbeeld uniform beweegt, veranderen tijd en afstand, maar blijft de snelheid constant.

Variabele waarde is een grootheid die verschillende numerieke waarden aanneemt. Een grootheid waarvan de numerieke waarden niet veranderen, wordt genoemd constante. Variabele hoeveelheden worden met letters aangegeven x, y, z,…, constante – a, b, c,…

Merk op dat in de wiskunde een constante waarde vaak wordt beschouwd als een speciaal geval van een variabele waarin alle numerieke waarden hetzelfde zijn.

Verander gebied Een variabele is de verzameling van alle numerieke waarden die hij accepteert. Het wijzigingsgebied kan uit één of meer intervallen bestaan, of uit één punt.

BESTELDE VARIABELE HOEVEELHEID. NUMERIEKE VOLGORDE

We zullen zeggen dat de variabele X Er is geordende variabele, als het gebied van zijn verandering bekend is, en voor elk van twee van zijn waarden kan men zeggen welke de vorige is en welke de volgende is.

Een speciaal geval van een bestelde variabele hoeveelheid is een variabele hoeveelheid waarvan de waarden worden gevormd nummerreeks x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Voor dergelijke waarden op i< j, i, j Î N , betekenis x ik wordt als antecedent beschouwd, en x j– daaropvolgende ongeacht welke van deze waarden groter is. Een nummerreeks is dus een variabele waarvan de opeenvolgende waarden opnieuw kunnen worden genummerd. We zullen een numerieke reeks aangeven met . De afzonderlijke getallen in een reeks worden zijn genoemd elementen.

De numerieke reeks wordt bijvoorbeeld gevormd door de volgende grootheden:

FUNCTIE

Bij het bestuderen van verschillende natuurverschijnselen en het oplossen van technische problemen, en dus ook in de wiskunde, is het noodzakelijk om de verandering in de ene grootheid te beschouwen, afhankelijk van de verandering in een andere. Het is bijvoorbeeld bekend dat de oppervlakte van een cirkel door de formule wordt uitgedrukt in straal S = πr2. Indien straal R verschillende numerieke waarden aanneemt, en vervolgens de oppervlakte S neemt ook verschillende numerieke waarden aan, d.w.z. een verandering in de ene variabele veroorzaakt een verandering in een andere.

Als elke variabele waarde X behorend tot een bepaald gebied komt overeen met een specifieke waarde van een andere variabele j, Dat j genaamd functie van variabele x. We zullen symbolisch schrijven y=f(x). In dit geval de variabele X genaamd onafhankelijke variabele of argument.

Dossier y=C, Waar C– constant, geeft een functie aan waarvan de waarde een willekeurige waarde heeft Xéén en dezelfde en gelijk C.

Meerdere betekenissen X, waarvoor de functiewaarden kunnen worden bepaald j volgens de regel f(x), genaamd domein van de functie.

Merk op dat een getallenreeks ook een functie is waarvan het definitiedomein samenvalt met de verzameling natuurlijke getallen.

De elementaire basisfuncties omvatten alle functies die in de wiskundecursus op school worden bestudeerd:

Elementaire functie is een functie die kan worden gespecificeerd door elementaire basisfuncties en constanten met behulp van een eindig aantal bewerkingen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en het nemen van een functie van een functie.

HET CONCEPT VAN DE LIMIET VAN EEN NUMERIEKE VOLGORDE

In een verdere cursus wiskunde zal het concept van een limiet een fundamentele rol spelen, omdat de basisconcepten van de wiskundige analyse er rechtstreeks mee verband houden: afgeleide, integraal, enz.

Laten we beginnen met het concept van de limiet van een getallenreeks.

Nummer A genaamd beperken sequenties X = {x n), als er voor een willekeurig vooraf bepaald willekeurig klein positief getal ε zo'n natuurlijk getal bestaat N dat waar iedereen bij is n>N de ongelijkheid |x n - a|< ε.

Als het nummer A er is een reekslimiet X = {x n), dan zeggen ze dat x n streeft naar A, en schrijf.

Om deze definitie in geometrische termen te formuleren, introduceren we het volgende concept.

Buurt van punt x 0 wordt een willekeurig interval genoemd ( een, b), dat dit punt in zichzelf bevat. Er wordt vaak gekeken naar de buurt van een punt x 0, waarvoor x 0 is dan het midden x 0 genaamd centrum buurt, en de waarde ( B–A)/2 – radius buurt.

Laten we dus eens kijken wat het concept van de limiet van een getallenreeks geometrisch betekent. Om dit te doen, schrijven we de laatste ongelijkheid uit de definitie in het formulier

Deze ongelijkheid betekent dat alle elementen van de reeks met getallen zijn n>N moet in het interval liggen (a – ε; a + ε).

Een constant aantal dus A er is een limiet aan de nummerreeks ( x n), indien voor een kleine buurt gecentreerd op het punt A straal ε (ε is de buurt van het punt A) er is zo'n element van de reeks met nummer N dat alle volgende elementen zijn genummerd n>N zal zich in deze omgeving bevinden.

Voorbeelden.

Laten we een paar opmerkingen maken.

Opmerking 1. Uiteraard als alle elementen van een getallenreeks dezelfde constante waarde hebben x n = c, dan is de limiet van deze reeks gelijk aan de meest constante. Voor elke ε is de ongelijkheid | x n - c| = |c - c| = 0 < ε.

Opmerking 2. Uit de definitie van een limiet volgt dat een reeks geen twee limieten kan hebben. Stel dat inderdaad x n → een en tegelijkertijd xn → b. Neem er een en markeer de buurten van de punten A En B straal ε (zie figuur). Vervolgens moeten, door de definitie van een limiet, alle elementen van de reeks, beginnend vanaf een bepaald punt, zich in de buurt van het punt bevinden A, en in de buurt van het punt B, wat onmogelijk is.

Opmerking 3. Je moet niet denken dat elke getallenreeks een limiet heeft. Laat bijvoorbeeld een variabele de waarden aannemen . Het is gemakkelijk in te zien dat deze reeks geen grenzen kent.

FUNCTIELIMIET

Laat de functie y=f(x) gedefinieerd in een bepaalde buurt van het punt A. Laten we aannemen dat de onafhankelijke variabele X benadert het aantal zonder beperking A. Dit betekent dat we kunnen geven X waarden zo dicht mogelijk bij A, maar niet gelijk A. We zullen het zo aanduiden x → een. Voor zulke X Laten we de overeenkomstige waarden van de functie vinden. Het kan gebeuren dat de waarden f(x) ook onbeperkt een bepaald aantal benaderen B.Dan zeggen ze dat het nummer is B er is een limiet aan de functie f(x) bij x → een.

Laten we een strikte definitie van de limiet van een functie introduceren.

Functie y=f(x) neigt naar de limiet b als x → a, als het voor elk positief getal ε, hoe klein het ook is, mogelijk is om een positief getal δ te specificeren zodat voor alle x ≠ a uit het definitiedomein van de functie die voldoet aan de ongelijkheid | x-een| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. Если B er is een limiet aan de functie f(x) bij x → een, dan schrijven ze of f(x) → b bij x → een.

Laten we deze definitie illustreren met een grafiek van de functie. Omdat van ongelijkheid | x-een| < δ должно следовать неравенство |f(x) - b| < ε, т.е. при X Î ( A - δ, A+ δ) overeenkomstige waarden van de functie f(x) Î ( B - ε, B+ ε), dan kunnen we, door een willekeurig ε > 0 te nemen, een getal δ kiezen zodat we voor alle punten X, liggend in δ – buurt van het punt A, moeten de overeenkomstige punten van de functiegrafiek binnen een strook met breedte 2ε liggen, begrensd door rechte lijnen j = b– ε en j = b + ε.

Het is gemakkelijk in te zien dat de limiet van een functie dezelfde eigenschappen moet hebben als de limiet van een numerieke reeks, namelijk als x → een functie een limiet heeft, dan is het de enige.

Voorbeelden.

HET CONCEPT VAN DE GRENZEN VAN EEN FUNCTIE OP EEN ONEINDIG AFGESLOTEN PUNT

Tot nu toe hebben we de limieten voor het geval waarin de variabele X streefde naar een bepaald constant aantal.

We zullen zeggen dat de variabele x neigt naar oneindig, indien voor elk vooraf bepaald positief getal M(deze kan zo groot zijn als u wilt), u kunt deze waarde opgeven x=x0, vanaf welke alle volgende waarden van de variabele aan de ongelijkheid zullen voldoen |x|>M.

Laat de variabele bijvoorbeeld X neemt waarden aan X 1 = –1, X 2 = 2, X 3 = –3, …, X n =(–1) n n, … Het is duidelijk dat dit een oneindig grote variabele is, aangezien dit voor iedereen geldt M> 0 alle waarden van de variabele, beginnend bij een bepaalde waarde, zullen in absolute waarde groter zijn M.

Variabele waarde x → +∞, indien voor willekeurig M> 0 alle volgende waarden van de variabele, beginnend vanaf een bepaalde waarde, voldoen aan de ongelijkheid x > M.

Insgelijks, X→ – ∞, indien aanwezig M > 0 X< -M .

We zullen zeggen dat de functie f(x) neigt tot het uiterste B bij X→ ∞, als je voor een willekeurig klein positief getal ε zo'n positief getal kunt specificeren M, die voor alle waarden X, waarmee de ongelijkheid wordt bevredigd |x|>M, de ongelijkheid | f(x) - b| < ε.

Aanwijzen.

Voorbeelden.

ONEINDIG GROTE FUNCTIES

Eerder keken we naar gevallen waarbij de functie f(x) streefde naar een eindgrens B bij x → een of X → ∞.

Laten we nu het geval bekijken waarin de functie y=f(x) een manier om de argumentatie te veranderen.

Functie f(x) neigt naar oneindig als x → een, d.w.z. is oneindig groot grootte indien voor een willekeurig getal M, hoe groot deze ook is, het is mogelijk om voor alle waarden een δ > 0 te vinden X≠A, die voldoet aan de voorwaarde | x-een| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.

Als f(x) neigt naar oneindig als x → een, dan schrijven ze of f(x)→∞ op x → een.

Formuleer een soortgelijke definitie voor het geval wanneer X→∞.

Als f(x) neigt naar oneindig als x → een en neemt tegelijkertijd alleen positieve of alleen negatieve waarden aan, dienovereenkomstig schrijven ze of .

Voorbeelden.

BEPERKTE FUNCTIES

Laat de functie gegeven worden y=f(x), gedefinieerd op een bepaalde set D argumentwaarden.

Functie y=f(x) genaamd beperkt op een setje D, als er een positief getal is M zodat voor alle waarden X uit de beschouwde set blijft de ongelijkheid bestaan |f(x)|≤M. Als zo'n nummer M bestaat niet, dan is de functie f(x) genaamd onbeperkt op een setje D.

Voorbeelden.

Functie j= zonde X, gedefinieerd bij -∞<X<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях X|zonde X|≤1 = M.
Functie j=x 2 +2 is bijvoorbeeld beperkt op het segment, aangezien voor iedereen X uit dit segment |f(x)| ≤f(3) = 11.
Denk aan de functie j=ln X bij XО (0; 1). Deze functie is onbeperkt op het opgegeven interval, sinds wanneer X→0 logboek X→-∞.

Functie y=f(x) genaamd begrensd als x → a, als er een buurt is gecentreerd op het punt A, waarbij de functie beperkt is.

Functie y=f(x) genaamd begrensd als x → ∞, als er zo'n nummer is N> 0, wat voor alle waarden geldt X |x|>N, functie f(x) beperkt.

Laten we een verband leggen tussen een begrensde functie en een functie die een limiet heeft.

Stelling 1. Als en B een eindig getal is, dan is de functie f(x) beperkt wanneer x → een.

Bewijs. Omdat , dan is er voor elke ε>0 een getal δ>0 zodat voor alle waarden X, waarmee de ongelijkheid wordt bevredigd |x-a|< δ, de ongelijkheid blijft bestaan |f(x) –b|< ε. Met behulp van de module-eigenschap |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, schrijven we de laatste ongelijkheid in de vorm |f(x)|<|b|+ ε. Dus als we zetten M=|b|+ε, wanneer dan x→a |f(x)|

Opmerking. Uit de definitie van een begrensde functie volgt dat als , dan is deze onbegrensd. Het omgekeerde is echter niet waar: een onbegrensde functie hoeft niet oneindig groot te zijn. Geef een voorbeeld.

Stelling 2. Als , dan is de functie y=1/f(x) beperkt wanneer x → een.

Bewijs. Uit de voorwaarden van de stelling volgt dat voor willekeurig ε>0 in een bepaalde buurt van het punt A wij hebben |f(x) – b|< ε. Omdat |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|, Dat |b| - |f(x)|< ε. Vandaar, |f(x)|>|b| -ε >0. Daarom