Er wordt een complexe functie of superpositie genoemd. Onderwerp: “Functie: concept, toewijzingsmethoden, belangrijkste kenmerken

In de wetenschappelijke gemeenschap is een algemeen bekende grap over dit onderwerp dat “niet-lineariteit” wordt vergeleken met een “niet-olifant” – alle wezens behalve “olifanten” zijn “niet-olifanten”. De overeenkomst ligt in het feit dat de meeste systemen en verschijnselen in de wereld om ons heen niet-lineair zijn, op enkele uitzonderingen na. In tegenstelling hiermee wordt ons op school ‘lineair’ denken geleerd, wat erg slecht is in termen van onze bereidheid om de alomtegenwoordige niet-lineariteit van het heelal waar te nemen, of het nu de fysieke, biologische, psychologische of sociale aspecten ervan zijn. Niet-lineariteit concentreert op zichzelf een van de belangrijkste problemen bij de cognitie van de omringende wereld, omdat de effecten, in hun totale massa, niet evenredig zijn aan de oorzaken; twee oorzaken zijn, wanneer ze op elkaar inwerken, niet additief, dat wil zeggen dat de effecten complexer zijn dan een eenvoudige superpositie, functies van de oorzaken. Dat wil zeggen dat het resultaat dat voortvloeit uit de aanwezigheid en invloed van twee gelijktijdig werkende oorzaken niet de som is van de resultaten die worden verkregen in aanwezigheid van elk van de oorzaken afzonderlijk, in afwezigheid van de andere oorzaak.

Definitie 9. Als op een bepaald interval X een functie z-φ(lz) met een verzameling waarden Z is gedefinieerd en op de verzameling Z een functie y =/(z) is gedefinieerd, dan is de functie y een complexe functie van x (of een superpositie van de functie), en de variabele z - een tussenliggende variabele van een complexe functie.

Controlling kan worden weergegeven als een superpositie van drie klassieke managementfuncties: boekhouding, controle en analyse (retrospectief). Controleren als geïntegreerde managementfunctie maakt het niet alleen mogelijk om een besluit voor te bereiden, maar ook om de controle over de uitvoering ervan te garanderen met behulp van passende managementinstrumenten.

Zoals bekend is /50/, kan elke tijdfunctie worden weergegeven als een superpositie (set) van eenvoudige harmonische functies met verschillende perioden, amplitudes en fasen. Over het algemeen geldt P(t) = f(t),

De transiënte of impulskarakteristieken worden experimenteel bepaald. Wanneer ze worden gebruikt met behulp van de superpositiemethode, wordt het geselecteerde model van de invoerinvloed eerst ontleed in elementaire 'tijdfuncties', en vervolgens worden de reacties daarop samengevat. Deze laatste bewerking wordt soms convolutie genoemd, en de integralen in uitdrukkingen ( 24) ... (29) zijn convolutie-integralen. Van Ze kiezen degene waarvan de integrand eenvoudiger is.

Deze stelling reduceert het conditionele extremumprobleem tot een superpositie van onvoorwaardelijke extremumproblemen. Laten we inderdaad de functie R (g) definiëren

Superpositie ((>(f(x)), waarbij y(y) een niet-afnemende convexe functie is van één variabele, /(x) een convexe functie is, is een convexe functie.

Voorbeeld 3.28. Laten we terugkeren naar voorbeeld 3.27. In afb. Figuur 3.24 toont in de vorm van een gestippelde curve het resultaat van de superpositie van twee lidmaatschapsfuncties die overeenkomen met de kwantoren die in dit voorbeeld aanwezig zijn. Met een grenswaarde van 0,7 worden vage intervallen op de x-as verkregen. Nu kunnen we zeggen dat de coördinator een wijziging in het plan mag verwachten

Een andere manier om de functie F te definiëren, die verschilt van de superpositiemethode, is dat wanneer een kwantor wordt toegepast op een andere kwantor, er een bepaalde monotone transformatie van de oorspronkelijke lidmaatschapsfunctie plaatsvindt, wat neerkomt op het uitrekken en verschuiven van het maximum van de functie in één. richting of een andere.

Voorbeeld 3.29. In afb. Figuur 3.25 toont twee resultaten die zijn verkregen met behulp van superpositie en rekverschuiving voor het geval waarin XA en X vaak overeenkomen met de kwantor. Het verschil lijkt te zijn dat superpositie in de lidmaatschapsfunctie die waarden isoleert die vaak voorkomen. In het geval van verschuiving en rek kunnen we het resultaat interpreteren als het verschijnen van een nieuwe kwantificator met de waarde vaak-vaak, die desgewenst bijvoorbeeld door de waarde heel vaak kan worden benaderd.

Laat zien dat de superpositie van een strikt stijgende functie en een nutsfunctie die een voorkeursrelatie vertegenwoordigt ook een nutsfunctie is die die voorkeursrelatie vertegenwoordigt. Welke van de volgende functies kan als een dergelijke transformatie fungeren?

De eerste van de relaties (2) is niets meer dan een registratie van de regel volgens welke elke functie F(x) die tot de familie van monotoon niet-dalende, absoluut continue functies behoort, geassocieerd is met slechts één continue functie w(j). Deze regel is lineair, d.w.z. het principe van superpositie geldt voor hem

Bewijs. Als de afbeelding F continu is, is de functie MO continu als een superpositie van continue functies. Om het tweede deel van de bewering te bewijzen, beschouwen we de functie

Complexe functies (superposities)

De methode van functionele transformaties impliceert ook het gebruik van een heuristische benadering. Het gebruik van logaritmische transformaties als B- en C-operatoren leidt bijvoorbeeld tot informatiecriteria voor het construeren van identificeerbare modellen en het gebruik van een krachtig instrument uit de informatietheorie. Laat operator B een superpositie vertegenwoordigen van de operators van vermenigvuldiging met de functie,(.) en verschuiving met de functie K0(), operator C is de operator

Hier zullen we de resultaten schetsen van het oplossen van een aantal variatieproblemen (1)-(3). Ze werden opgelost door de methode van sequentiële linearisatie (19-21) in 1962-1963, toen de technologie van de methode nog maar net vorm begon te krijgen en werd getest. Daarom zullen we ons slechts op enkele details concentreren. Allereerst merken we op dat de functies C en C2 werden gespecificeerd door tamelijk complexe uitdrukkingen, die een superpositie zijn van hulpfuncties, inclusief die gespecificeerd in tabellen. Daarom is bij het oplossen van het geconjugeerde systeem φ = -fx met behulp van functies die in een tabel zijn gespecificeerd. Meestal bevatten dergelijke tabellen een klein aantal waarden voor een reeks knooppunten in het bereik van veranderingen in het onafhankelijke argument, en daartussen wordt de functie lineair geïnterpoleerd, omdat het gebruik van nauwkeurigere interpolatiemethoden niet gerechtvaardigd is vanwege de onnauwkeurigheid van de tabelwaarden zelf (in de regel worden functionele afhankelijkheden van experimentele aard gespecificeerd door tabellen). Voor onze doeleinden hebben we echter differentieerbare functies /(x, u) nodig, dus we zouden de voorkeur moeten geven aan soepele methoden voor het voltooien van een in een tabel gespecificeerde functie (bijvoorbeeld met behulp van splines).

Laten we nu (DA en (q) willekeurige functies zijn die overeenkomen met sommige waarden van de frequentiekwantificatoren. Figuur 3.23 toont twee krommen met één bult die overeenkomen met deze functies. Het resultaat van hun superpositie is een kromme met twee bulten, weergegeven door een stippellijn Wat is de betekenis ervan Als, bijvoorbeeld, (JA, er is zelden, en (d - vaak,.

Het voordeel van deze methode om F te bepalen is dat tijdens monotone transformaties de vorm van de lidmaatschapsfunctie niet dramatisch verandert. De unimodaliteit of monotoniciteit ervan blijft behouden, en de overgang van een nieuw type functie (2.16) heeft een trapeziumvorm, waarna de lineaire superpositie (2.15) een trapeziumvormig vaag getal is (wat gemakkelijk kan worden bewezen met behulp van de segmentberekeningsregel). En we kunnen operaties met lidmaatschapsfuncties reduceren tot operaties met hun hoekpunten. Als we het trapeziumvormige getal (2.16) noteren als (ab a2, az, a4), waarbij a overeenkomt met de abscis van de hoekpunten van de trapezium, dan

Stel dat er een functie f(x 1 , x 2 , ... , x n) en functies zijn

dan zullen we de functie aanroepen superpositie van een functie f(x 1 , x 2 , ... , x n) en functies .

Met andere woorden: laat F = ( f j ) - een reeks logische algebrafuncties, die niet noodzakelijkerwijs eindig zijn. Een functie f wordt een superpositie van functies uit de verzameling F of een functie over F genoemd als deze wordt verkregen uit een functie door een of meer van zijn variabelen te vervangen door functies uit de verzameling F.

Voorbeeld.

Laat een reeks functies worden gegeven

F = (f 1 (x 1), f 2 (x 1, x 2, x 3), f 3 (x 1, x 2)).

Dan zijn superposities van functies uit F bijvoorbeeld de functies:

j 1 (x 2, x 3) = f 3 (f 1 (x 2), f 1 (x 3));

j 2 (x 1, x 2) = f 2 (x 1, f 1 (x 1), f 3 (x 1, x 2)).

Perfecte DNF - superpositie van functies uit een set

. ð

Definitie.

Het systeem van functies wordt genoemd vol Als we de bewerkingen van superpositie en vervanging van variabelen gebruiken, kan elke functie van de algebra van de logica worden verkregen uit de functies van dit systeem. ð

We hebben al een bepaalde set complete systemen:

;

Omdat ;

(x+y, xy, 1). ð

Hoe kunnen we bepalen onder welke omstandigheden het systeem compleet is? Nauw verwant aan het concept van volledigheid is het concept van een gesloten klasse.

Gesloten lessen.

De verzameling (klasse) K van functies van de algebra van de logica wordt genoemd gesloten klasse, als het alle functies bevat die uit K zijn verkregen door bewerkingen van superpositie en verandering van variabelen, en geen andere functies bevat.

Laat K een deelverzameling van functies uit P 2 zijn. De sluiting van K is de verzameling van alle Booleaanse functies die kunnen worden weergegeven met behulp van de bewerkingen van superpositie en verandering van variabele functies uit de verzameling K. De sluiting van een verzameling K wordt aangegeven met [K].

In termen van afsluiting kunnen we andere definities van afsluiting en volledigheid geven (gelijkwaardig aan de oorspronkelijke):

K is een gesloten klasse als K = [K];

K is een compleet systeem als [K] = P 2 .

Voorbeelden.

* (0), (1) - gesloten lessen.

* Een reeks functies van één variabele is een gesloten klasse.

* - gesloten les.

* Klasse (1, x+y) is geen gesloten klasse.

Laten we eens kijken naar enkele van de belangrijkste gesloten klassen.

1. T0- klasse van functies die 0 behouden.

Laten we met T 0 de klasse van alle functies van de logische algebra f(x 1 , x 2 , ... , x n) aanduiden met behoud van de constante 0, dat wil zeggen functies waarvoor f(0, ... , 0 ) = 0.

Het is gemakkelijk in te zien dat er functies zijn die tot T 0 behoren, en functies die niet tot deze klasse behoren:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

Uit het feit dat Ï T 0 volgt bijvoorbeeld dat het niet via disjunctie en conjunctie kan worden uitgedrukt.

Omdat de tabel voor de functie f uit de klasse T 0 de waarde 0 op de eerste regel bevat, kunt u voor functies uit T 0 alleen willekeurige waarden instellen op 2 n - 1 set variabele waarden, dat wil zeggen

waar is de reeks functies die 0 behouden en afhankelijk zijn van n variabelen.

Laten we aantonen dat T 0 een gesloten klasse is. Sinds xÎT 0 is het, om de geslotenheid te rechtvaardigen, voldoende om de geslotenheid aan te tonen met betrekking tot de werking van superpositie, aangezien de werking van veranderende variabelen een speciaal geval van superpositie is met de functie x.

Laten . Dan is het voldoende om dat aan te tonen. Dit laatste volgt uit de keten van gelijkheid

2. T1- klasse van functies die 1 behouden.

Laten we met T 1 de klasse van alle functies van de logische algebra f(x 1, x 2, ... , x n) aanduiden met behoud van de constante 1, dat wil zeggen functies waarvoor f(1, ... , 1 ) = 1.

Het is gemakkelijk in te zien dat er functies zijn die tot T 1 behoren, en functies die niet tot deze klasse behoren:

1, x, xy, xÚy, xºy О T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

Uit het feit dat x + y Ï T 0 volgt bijvoorbeeld dat x + y niet kan worden uitgedrukt in termen van disjunctie en conjunctie.

De resultaten over de klasse To worden triviaal overgedragen naar de klasse T 1 . Zo hebben we:

T 1 - gesloten klasse;

3. L- klasse van lineaire functies.

Laten we met L de klasse van alle functies van de algebra van de logica f(x 1 , x 2 , ... , x n) aanduiden die lineair zijn:

Het is gemakkelijk in te zien dat er functies zijn die tot L behoren en functies die niet tot deze klasse behoren:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;

Laten we bijvoorbeeld bewijzen dat xÚy Ï L .

Laten we het tegenovergestelde aannemen. We gaan op zoek naar een uitdrukking voor xÚy in de vorm van een lineaire functie met onbepaalde coëfficiënten:

Voor x = y = 0 geldt a=0,

voor x = 1, y = 0 hebben we b = 1,

voor x = 0, y = 1 geldt g = 1,

maar dan hebben we voor x = 1, y = 1 1v 1 ¹ 1 + 1, wat de niet-lineariteit van de functie xy bewijst.

Het bewijs van de geslotenheid van de klasse van lineaire functies ligt voor de hand.

Omdat een lineaire functie uniek wordt bepaald door de waarden n+1 van de coëfficiënt a 0 , ... , a n te specificeren, is het aantal lineaire functies in de klasse L (n) van functies afhankelijk van n variabelen gelijk aan 2 n+1 .

4. S- klasse van zelf-dubbele functies.

De definitie van de klasse van zelf-duale functies is gebaseerd op het gebruik van het zogenaamde principe van dualiteit en dubbele functies.

De functie gedefinieerd door de gelijkheid wordt aangeroepen dubbel aan de functie .

Het is duidelijk dat de tabel voor de dubbele functie (met de standaardvolgorde van sets variabele waarden) wordt verkregen uit de tabel voor de originele functie door de kolom met functiewaarden om te keren (dat wil zeggen, 0 te vervangen door 1 en 1 door 0). en het omdraaien.

Het is gemakkelijk om dat te zien

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

Uit de definitie volgt dat (f*)* = f, dat wil zeggen dat de functie f duaal is ten opzichte van f*.

Laat een functie worden uitgedrukt door middel van superpositie via andere functies. De vraag is: hoe construeer je een formule die ? Laten we alle verschillende variabele symbolen in de sets aanduiden met = (x 1, ..., x n).

Stelling 2.6. Als functie j wordt verkregen als een superpositie van functies f, f 1, f 2, ..., f m, dat wil zeggen

een functie die dubbel is aan een superpositie is een superpositie van dubbele functies.

Bewijs.

j*(x 1 ,...,x n) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

De stelling is bewezen. ð

Het dualiteitsprincipe volgt uit de stelling: als een formule A de functie f(x 1 , ... , x n) realiseert, dan realiseert de formule verkregen uit A door de daarin opgenomen functies te vervangen door hun dubbele functies de dubbele functie f *(x 1 , ... , xn).

Laten we met S de klasse van alle zelf-duale functies uit P 2 aanduiden:

S = (f | f* = f)

Het is gemakkelijk in te zien dat er functies zijn die tot S behoren en functies die niet tot deze klasse behoren:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

Een minder triviaal voorbeeld van een zelf-duale functie is de functie

h(x, y, z) = xy Ú xz Ú yz;

Met behulp van de stelling over de functie duaal voor superpositie hebben we dat gedaan

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h*; h О S.

Voor een zelf-duale functie geldt de identiteit

dus op sets en , wat we het tegenovergestelde zullen noemen, de zelf-duale functie neemt tegengestelde waarden aan. Hieruit volgt dat de zelf-duale functie volledig wordt bepaald door de waarden in de eerste helft van de rijen van de standaardtabel. Daarom is het aantal zelf-duale functies in de klasse S (n) van functies, afhankelijk van n variabelen, gelijk aan:

Laten we nu bewijzen dat de klasse S gesloten is. Omdat xÎS is het, om de geslotenheid te rechtvaardigen, voldoende om de geslotenheid aan te tonen met betrekking tot de werking van superpositie, aangezien de werking van veranderende variabelen een speciaal geval van superpositie is met de functie x. Laten . Dan is het voldoende om dat aan te tonen. Deze laatste wordt direct geïnstalleerd:

5. M- klasse van monotone functies.

Voordat het concept van een monotone functie in de algebra van de logica wordt gedefinieerd, is het noodzakelijk een ordeningsrelatie te introduceren op de reeks sets van zijn variabelen.

Ze zeggen dat set vóór set komt (of “niet meer dan”, of “kleiner dan of gelijk aan”), en gebruik de notatie if a i £ b i voor alle i = 1, ... , n. Als en , dan zeggen we dat de set strikt voorafgaat aan de set (of “strikt minder”, of “minder dan” de set), en gebruiken we de notatie . Sets en worden vergelijkbaar genoemd als , of . In het geval dat geen van deze relaties geldt, worden de sets en onvergelijkbaar genoemd. Bijvoorbeeld (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), maar de sets (0, 1, 1, 0) en (1, 0, 1, 0) zijn onvergelijkbaar. De relatie £ (vaak de prioriteitsrelatie genoemd) is dus een gedeeltelijke orde op de verzameling B n. Hieronder vindt u diagrammen van de gedeeltelijk bestelde sets B 2, B 3 en B 4.

De geïntroduceerde partiële orderelatie is een uiterst belangrijk concept dat veel verder gaat dan het bestek van onze cursus.

Nu hebben we de mogelijkheid om het concept van een monotone functie te definiëren.

De logische algebrafunctie wordt aangeroepen eentonig, indien voor twee sets en , zodanig dat , de ongelijkheid geldt . De verzameling van alle monotone functies van de logische algebra wordt aangegeven met M, en de verzameling van alle monotone functies die afhankelijk zijn van n variabelen wordt aangegeven met M(n).

Het is gemakkelijk in te zien dat er functies zijn die tot M behoren en functies die niet tot deze klasse behoren:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y, x®y, xºy Ï M .

Laten we aantonen dat de klasse van monotone functies M een gesloten klasse is. Sinds xОМ is het, om de geslotenheid te rechtvaardigen, voldoende om de geslotenheid aan te tonen met betrekking tot de werking van superpositie, aangezien de werking van veranderende variabelen een speciaal geval van superpositie is met de functie x.

Laten . Dan is het voldoende om dat aan te tonen.

Laten we stellen variabelen zijn, respectievelijk functies j, f 1 , ... , f m , en de reeks variabelen van functie j bestaat uit die en alleen die variabelen die voorkomen in de functies f 1 , ... , f m . Laat en zijn twee sets waarden van de variabele, en . Deze sets definiëren de sets variabele waarden , zodanig dat . Vanwege de monotoniciteit van de functies f 1 , ... , f m

en vanwege de monotoniciteit van de functie f

Vanaf hier krijgen we

Het aantal monotone functies afhankelijk van n variabelen is niet precies bekend. De ondergrens kan eenvoudig worden verkregen:

waarbij - het gehele deel van n/2 is.

Het blijkt ook gewoon een te hoge schatting van bovenaf:

Het verfijnen van deze schattingen is een belangrijke en interessante taak van modern onderzoek.

Volledigheidscriterium

Nu zijn we in staat een volledigheidscriterium (de stelling van Post) te formuleren en te bewijzen, dat de noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor de volledigheid van een systeem van functies bepaalt. Laten we de formulering en het bewijs van het volledigheidscriterium voorafgaan door een aantal noodzakelijke lemma's die onafhankelijk van belang zijn.

Lemma 2.7. Lemma over niet-zelf-duale functie.

Als f(x 1 , ... , x n)Ï S , dan kan er een constante uit worden verkregen door de functies x en `x te vervangen.

Bewijs. Sinds fÏS is er een reeks waarden van de variabelen
=(a 1 ,...,een n) zodat

f(`een 1 ,...,`een n) = f(een 1 ,...,een n)

Laten we de argumenten in de functie f vervangen:

x ik wordt vervangen door ,

dat wil zeggen, laten we de functie bekijken en overwegen

We hebben dus een constante verkregen (hoewel niet bekend is welke constante deze is: 0 of 1). ð

Lemma 2.8. Lemma over niet-monotone functie.

Als de functie f(x 1 ,...,x n) niet-monotoon is, f(x 1 ,...,x n) Ï M, dan kan er een negatie uit worden verkregen door variabelen te veranderen en de constanten 0 en 1.

Bewijs. Sinds f(x 1 ,...,x n) Ï M, zijn er sets waarden van de variabelen ervan, , , zodat , en voor ten minste één waarde i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x ik zal worden vervangen door

Na een dergelijke substitutie verkrijgen we een functie van één variabele j(x), waarvoor we:

Dit betekent dat j(x)=`x. Het lemma is bewezen. ð

Lemma 2.9. Lemma over niet-lineaire functie.

Als f(x 1 ,...,x n) Ï L , dan kunnen we daaruit, door de constanten 0, 1 te vervangen en de functie `x te gebruiken, de functie x 1 &x 2 verkrijgen.

Bewijs. Laten we f voorstellen als een DNF (bijvoorbeeld een perfecte DNF) en de relaties gebruiken:

Voorbeeld. Laten we twee voorbeelden geven van de toepassing van deze transformaties.

Een functie geschreven in disjunctieve normaalvorm wordt dus, na toepassing van de aangegeven relaties, het openen van haakjes en eenvoudige algebraïsche transformaties, een polynoom mod 2 (Zhegalkin-polynoom):

waarbij A 0 een constante is, en A i een conjunctie is van enkele variabelen uit het getal x 1,..., x n, i = 1, 2, ..., r.

Als elke conjunctie A i uit slechts één variabele bestaat, dan is f een lineaire functie, wat in tegenspraak is met de voorwaarde van het lemma.

Bijgevolg is er in het Zhegalkin-polynoom voor de functie f een term die minstens twee factoren bevat. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we aannemen dat er onder deze factoren variabelen x 1 en x 2 zijn. Vervolgens kan de polynoom als volgt worden getransformeerd:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 f 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 f 3 (x 3 ,..., x n) + f 4 (x 3,..., x n),

waarbij f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (anders bevat de polynoom geen conjunctie die de conjunctie x 1 x 2 bevat).

Zij (a 3 ,...,a n) zodanig dat f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. Dan

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,

waarbij a, b, g constanten zijn die gelijk zijn aan 0 of 1.

Laten we de negatiebewerking gebruiken die we hebben en de functie y(x 1 ,x 2) verkregen uit j(x 1 ,x 2) als volgt beschouwen:

y(x 1,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g.

Dat is duidelijk

y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.

Vandaar,

y(x 1,x 2) = x 1 x 2 .

Het lemma is volledig bewezen. ð

Lemma 2.10. Het belangrijkste lemma van het volledigheidscriterium.

Als de klasse F=( f ) van logische algebrafuncties functies bevat die de eenheid niet behouden, 0 niet behouden, niet-zelf-duaal en niet-monotoon zijn:

vervolgens kan men uit de functies van dit systeem, door operaties van superpositie en vervanging van variabelen, de constanten 0, 1 en de functie verkrijgen.

Bewijs. Laten we de functie eens bekijken. Dan

Er zijn twee mogelijke gevallen van vervolgoverwegingen, in de volgende presentatie aangeduid als 1) en 2).

1). De functie op de eenheidset heeft de waarde 0:

Laten we alle variabelen van de functie vervangen door de variabele x. Dan de functie

er is, omdat

En .

Laten we een niet-zelf-duale functie nemen. Omdat we de functie al hebben verkregen, kan het lemma over een niet-zelf-duale functie (lemma 2.7. ) waar je een constante uit kunt halen. De tweede constante kan worden verkregen uit de eerste met behulp van de functie. In het eerste beschouwde geval worden dus constanten en negaties verkregen. . Het tweede geval, en daarmee het belangrijkste lemma van het volledigheidscriterium, is volledig bewezen. ð

Stelling 2.11. Een criterium voor de volledigheid van functiesystemen in de algebra van de logica (stelling van Post).

Om het systeem van functies F = (f i) compleet te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat het niet volledig is opgenomen in een van de vijf gesloten klassen T 0, T 1, L, S, M, dat wil zeggen voor voor elk van de klassen To , T 1 , L , S, M en F is er minstens één functie die niet tot deze klasse behoort.

Noodzaak. Laat F een compleet systeem zijn. Laten we aannemen dat F zich in een van de aangegeven klassen bevindt, laten we dit aanduiden met K, d.w.z. FÍ K. De laatste opname is onmogelijk, aangezien K een gesloten klasse is die geen compleet systeem is.

Geschiktheid. Laten we het hele systeem van functies F = (fi) niet in een van de vijf gesloten klassen T 0 , T 1 , L , S , M nemen. Laten we de volgende functies in F nemen:

Vervolgens wordt op basis van het hoofdlemma (lemma 2.10 ) uit een functie die 0 niet behoudt, een functie die 1 niet behoudt, niet-zelf-duale en niet-monotone functies, kan men de constanten 0, 1 en de negatiefunctie verkrijgen:

Gebaseerd op het lemma over niet-lineaire functies (lemma 2.9 ) uit constanten, negatie en een niet-lineaire functie kunnen we de conjunctie verkrijgen:

Functie systeem - een compleet systeem volgens de stelling over de mogelijkheid om elke functie van de algebra van de logica weer te geven in de vorm van een perfecte disjunctieve normaalvorm (merk op dat disjunctie kan worden uitgedrukt door conjunctie en negatie in de vorm ).

De stelling is volledig bewezen. ð

Voorbeelden.

1. Laten we laten zien dat de functie f(x,y) = x|y een compleet systeem vormt. Laten we een tabel met waarden van de functie x½y bouwen:

X	j	x\|y

f(0,0) = 1, dus x | yÏT 0 .

f(1,1) = 0, dus x | yÏT 1 .

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0, dus x | jÏM.

f(0,1) = f(1,0) = 1, - op tegengestelde verzamelingen x | y heeft dezelfde waarden, dus x | yÏS.

Wat betekent ten slotte de niet-lineariteit van de functie?
x | j.

Op basis van het volledigheidscriterium kunnen we stellen dat f(x,y) = x | y vormt een compleet systeem. ð

2. Laten we laten zien dat het systeem van functies vormt een compleet systeem.

Echt, .

Zo vonden we onder de functies van ons systeem: een functie die 0 niet behoudt, een functie die 1 niet behoudt, niet-zelf-duale, niet-monotone en niet-lineaire functies. Op basis van het criterium van volledigheid kan worden beargumenteerd dat het systeem functioneert vormt een compleet systeem. ð

We zijn er dus van overtuigd dat het volledigheidscriterium een constructieve en effectieve manier biedt om de volledigheid van functiesystemen in de algebra van de logica te bepalen.

Laten we nu drie uitvloeisels van het volledigheidscriterium formuleren.

Gevolg 1. Elke gesloten klasse K van functies van de algebra van de logica die niet samenvalt met de gehele reeks functies van de algebra van de logica (K¹P 2) is vervat in ten minste één van de geconstrueerde gesloten klassen.

Definitie. De gesloten klasse K wordt genoemd voorvol, als K onvolledig is en voor elke functie fÏ K is de klasse K È (f) compleet.

Uit de definitie volgt dat de precomplete klasse gesloten is.

Gevolg 2. In de algebra van de logica zijn er slechts vijf precomplete klassen, namelijk: T 0, T 1, L, M, S.

Om het gevolg hiervan te bewijzen, hoeft u alleen maar te controleren of geen van deze klassen in de andere zit, wat bijvoorbeeld wordt bevestigd door de volgende tabel met functies die tot verschillende klassen behoren:

T0	T 1	L	S	M
+	-	+	-	+
-	+	+	-	+
-	-	+	+	-

Gevolg 3. Van elk compleet systeem van functies is het mogelijk een compleet subsysteem te onderscheiden dat niet meer dan vier functies bevat.

Uit het bewijs van het volledigheidscriterium volgt dat er niet meer dan vijf functies kunnen worden onderscheiden. Uit het bewijs van het hoofdlemma (Lemma 2.10 ) volgt hieruit ofwel niet-zelf-duaal ofwel de eenheid niet bewarend en niet monotoon. Daarom zijn er niet meer dan vier functies nodig.

Definitie van functie, reikwijdte en waardenset. Definities gerelateerd aan functienotatie. Definities van complexe, numerieke, reële, monotone en meerwaardige functies. Definities van maximum-, minimum-, boven- en ondergrenzen voor begrensde functies.

Inhoud

Functie y = f (X) wordt een wet (regel, mapping) genoemd, volgens welke elk element x van de verzameling X geassocieerd is met één en slechts één element y van de verzameling Y.

De verzameling X wordt aangeroepen domein van de functie.
Verzameling elementen y ∈ Y, die voorafbeeldingen hebben in de set X, wordt genoemd reeks functiewaarden(of bereik van waarden).

Domein van definitie functies worden soms genoemd definitie ingesteld of veel taken functies.

Element x ∈ X genaamd functie-argument of onafhankelijke variabele.
Element y ∈ Y genaamd functie waarde of afhankelijke variabele.

De afbeelding f zelf wordt genoemd kenmerkend voor de functie.

Het kenmerk f heeft de eigenschap dat als twee elementen en uit de definitieset gelijke waarden hebben: , dan .

Het symbool dat een kenmerk aanduidt kan hetzelfde zijn als het symbool van het functiewaarde-element. Dat wil zeggen, je kunt het als volgt schrijven: .

Het is de moeite waard om te onthouden dat y een element is uit de reeks functiewaarden, en de regel is waarmee het element x wordt geassocieerd met het element y.

Het proces voor het berekenen van een functie zelf bestaat uit drie stappen. In de eerste stap selecteren we een element x uit de verzameling X. Vervolgens wordt met behulp van de regel het element x geassocieerd met een element van de verzameling Y.

In de derde stap wordt dit element toegewezen aan de variabele y. Privéwaarde van de functie

roep de waarde van een functie aan, gegeven een geselecteerde (bepaalde) waarde van zijn argument.

Grafiek van functie f
een set paren genoemd. Complexe functies: .

Definitie Laat de functies en gegeven worden. Bovendien bevat het definitiedomein van de functie f een reeks waarden van de functie g.

In de wiskundige analyse wordt algemeen aanvaard dat als een kenmerk van een functie wordt aangegeven met één letter of symbool, deze dezelfde correspondentie specificeert. In andere disciplines bestaat er echter een andere manier van noteren, waarbij afbeeldingen met hetzelfde kenmerk, maar verschillende argumenten, als verschillend worden beschouwd. Dat wil zeggen dat de mappings als verschillend worden beschouwd. Laten we een voorbeeld uit de natuurkunde geven. Laten we zeggen dat we de afhankelijkheid van momentum van coördinaten beschouwen.

En laten we een afhankelijkheid van coördinaten van tijd hebben.

Dan is de afhankelijkheid van de impuls van de tijd een complexe functie.
Maar kortheidshalve wordt het als volgt aangeduid: .
Met deze aanpak zijn er verschillende functies. Gegeven dezelfde argumentwaarden kunnen ze verschillende waarden geven. Deze notatie wordt in de wiskunde niet geaccepteerd. Als een reductie nodig is, moet een nieuw kenmerk worden geïntroduceerd. Bijvoorbeeld . Dan is duidelijk zichtbaar dat en verschillende functies zijn.
Geldige functies

Het domein van een functie en de set van zijn waarden kan elke set zijn.

Nummerreeksen zijn bijvoorbeeld functies waarvan het domein de verzameling natuurlijke getallen is, en de verzameling waarden bestaat uit reële of complexe getallen. Het kruisproduct is ook een functie, aangezien er voor twee vectoren slechts één waarde van de vector is.

Hier is het definitiedomein de verzameling van alle mogelijke vectorparen. De reeks waarden is de verzameling van alle vectoren.

Een Booleaanse expressie is een functie. Het definitiedomein ervan is de verzameling reële getallen (of elke verzameling waarin de vergelijkingsoperatie met het element “0” is gedefinieerd). De reeks waarden bestaat uit twee elementen: "waar" en "onwaar".

Numerieke functies spelen een belangrijke rol bij wiskundige analyse.

Numerieke functie is een functie waarvan de waarden reële of complexe getallen zijn. Echte of echte functie
.

is een functie waarvan de waarden reële getallen zijn. Maximaal en minimaal Reële getallen hebben een vergelijkingsoperatie. Daarom kan de reeks waarden van een echte functie beperkt zijn en de grootste en kleinste waarden hebben.
.

De eigenlijke functie wordt aangeroepen functie f, op een bepaalde verzameling X wordt de waarde van de functie aangeroepen voor een bepaalde waarde van zijn argument, waarvoor voor iedereen,
.

Bovenrand of exacte bovengrens Een echte functie die hierboven is begrensd, is het kleinste getal dat zijn waardenbereik van bovenaf begrenst. Dat wil zeggen, dit is een getal s waarvoor, voor iedereen en voor iedereen, een argument bestaat waarvan de functiewaarde groter is dan s′: .
De bovengrens van een functie kan als volgt worden aangegeven:
.

De bovengrens van een bovenbegrensde functie

Onderrand of exacte ondergrens Een echte functie die van onderaf wordt begrensd, is het grootste getal dat zijn waardenbereik van onderaf begrenst. Dat wil zeggen, dit is een getal i waarvoor, voor iedereen en voor iedereen, een argument bestaat waarvan de functiewaarde kleiner is dan i′: .
Het infimum van een functie kan als volgt worden aangegeven:
.

Het infimum van een ondergrensfunctie is het punt op oneindig.

Elke echte functie op een niet-lege verzameling X heeft dus een boven- en ondergrens. Maar niet elke functie heeft een maximum en een minimum.

Beschouw als voorbeeld een functie die is gedefinieerd op een open interval.
Het wordt op dit interval van bovenaf beperkt door de waarde 1 en hieronder - de waarde 0 :
voor iedereen.
Deze functie heeft een boven- en ondergrens:
.
Maar er is geen maximum en minimum.

Als we dezelfde functie op het segment beschouwen, dan is deze in deze verzameling boven en onder begrensd, heeft een boven- en ondergrens en heeft een maximum en een minimum:
voor iedereen;
;
.

Monotone functies

Definities van toenemende en afnemende functies
Laat de functie worden gedefinieerd op een reeks reële getallen X. De functie wordt aangeroepen
.
strikt stijgend (strikt dalend) De functie wordt aangeroepen niet-afnemend (niet-stijgend)
.

, als voor iedereen de volgende ongelijkheid geldt:
strikt stijgend (strikt dalend) eentonig Definitie van een monotone functie

, als het niet-afnemend of niet-toenemend is.

Meerwaardige functies

Een voorbeeld van een meerwaardige functie. De takken worden aangegeven met verschillende kleuren. Elke tak is een functie.

Zoals volgt uit de definitie van de functie, is elk element x uit het definitiedomein geassocieerd met slechts één element uit de reeks waarden. Maar er zijn afbeeldingen waarin het element x meerdere of een oneindig aantal afbeeldingen heeft. Neem als voorbeeld de functie boogsinus : . Het is het omgekeerde van de functie
(1) .
sinus

Laten we een beperking opleggen aan de oplossingen van vergelijking (1). Laten
(2) .
Onder deze voorwaarde komt een gegeven waarde overeen met slechts één oplossing van vergelijking (1). Dat wil zeggen dat de correspondentie gedefinieerd door vergelijking (1) onder voorwaarde (2) een functie is.

In plaats van voorwaarde (2) kunt u elke andere voorwaarde van het formulier opleggen:
(2.n) ,
waarbij n een geheel getal is. Als gevolg hiervan krijgen we voor elke waarde van n onze eigen functie, die verschilt van andere. Er zijn veel vergelijkbare functies meerwaardige functie. En de functie bepaald uit (1) onder voorwaarde (2.n) is tak van een meerwaardige functie.

Dit is een reeks functies die op een bepaalde set zijn gedefinieerd.

Meerwaardige functietak is een van de functies in de meerwaardige functie.

Functie met één waarde is een functie.

Gebruikte literatuur:
O.I. Besov. Lezingen over wiskundige analyse. Deel 1. Moskou, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Cursus wiskundige analyse. Deel 1. Moskou, 2003.
CM. Nikolski. Cursus wiskundige analyse. Deel 1. Moskou, 1983.

Correspondentie G tussen sets A En IN een subset genoemd. Als dat zo is, zeggen ze dat B

komt overeen A. De verzameling van alle overeenkomstige elementen

Genaamd manier element een. De verzameling van alles waarmee het element correspondeert, wordt aangeroepen

prototype element B.

Veel koppels (b, een) zodanig dat dit omgekeerd wordt genoemd

richting G en wordt aangewezen. De concepten van beeld en prototype voor

"G en zijn onderling omgekeerd.

Voorbeelden. 1) Laten we het vergelijken met een natuurlijk getal N

reeks reële getallen . Afbeelding van het getal 5

er zal een halve pauze zijn

(dit betekent het grootste gehele getal, kleiner dan of gelijk aan X). Het omgekeerde beeld van het getal 5 in deze correspondentie is een oneindige set: halfinterval)