Operatorul de conjugare complexă este liniar? Valori proprii și elemente proprii

Fie X un spațiu Banach și A un operator liniar mărginit definit pe X, cu interval în spațiul Banach Y. Fie x ÎХ și f ÎY*. Atunci se determină valoarea lui f(Ax), iar inegalitățile | f(Ax)| £ ||f ||?||Topor|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Aceste inegalități arată că funcționarea liniară j(x), definită de j(x) = f(Ax), este o funcțională mărginită. Astfel, cu ajutorul operatorului A, fiecare funcțională liniară mărginită f ОY este asociată cu o funcțională liniară continuă j ОХ*. Schimbând elementul f vom obține, în general, elemente diferite j; astfel obținem operatorul

definit pe Y*, cu un interval în spațiul X*. Acest operator A* este legat de operatorul A prin egalitatea (A*f)(x) = f(Ax). Dacă aplicăm notația introdusă în paragraful 2 pentru funcționalitatea liniară f(x) = (x, f), atunci conexiunea dintre operatori va părea simetrică:

(Ax, f)=(x, A*f). (1)

Operatorul A* este determinat în mod unic prin formula (1) și este numit operator conjugat cu operatorul A.

Într-adevăr, dacă pentru toate x și y egalitățile sunt valabile

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

apoi de aici, prin Corolarul 4 din teorema Hahn-Banach, rezultă că A 1 *y= A*y pentru tot y, ceea ce înseamnă că A*=A 1 *.

Teorema 11. Operatorul adjunct A* este liniar şi .

Dovada. Să demonstrăm aditivitatea operatorului A*. Într-adevăr, dacă y, z ОY*, atunci din raționamentul de mai sus rezultă că există un element unic (y + z)* ОX, astfel încât (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) pentru toate x ОX.

Pe de altă parte, folosind formula (1) avem

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

aceste. (y+z)* = A*x + A*y, de unde A*(y+z)=A*y+A*z. Aceasta dovedește aditivitatea operatorului A*. Uniformitatea este, de asemenea, ușor de verificat.

Pentru a calcula norma operatorului A*, efectuăm estimările

Rezultă că operatorul A* este mărginit și .

Operatorul A*, la rândul său, are un adjunct – A**, definit printr-o egalitate similară cu (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Dar, deoarece din (2) A**x este determinat unic pentru fiecare xОХ, atunci dintr-o comparație a egalităților (1) și (2) rezultă că

(Ax, y) = (A**x, y) "хОХ, "yОY.

Prin corolarul 4 din teorema Hahn-Banach, acesta din urmă înseamnă că A**x=Ax pentru toate xÎX, adică. A**= A pe spațiul X. Aplicând inegalitatea dovedită pentru norma operatorului adjunct la A* și A**, avem , care dă egalitatea cerută: . Teorema a fost demonstrată.

Teorema. 12. Dacă A și B sunt operatori liniari mărginiți de la un spațiu Banach X la un spațiu Banach Y, atunci

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λA)*= λA*

3. În ipoteza X = Y, egalitatea (AB)*=B*A* este adevărată.

Dovada. Proprietățile de mai sus rezultă din următoarele relații:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*) )y);

2. ((λA)x,y) = λ(Ax,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y ).

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 8. În spațiul L 2, se consideră operatorul integral Fredholm

cu un miez având un pătrat integrabil. Avem, folosind teorema lui Fubini,

, Unde

Astfel, trecerea la operatorul conjugat constă în faptul că integrarea se realizează peste prima variabilă. În timp ce în operatorul inițial se realizează conform celui de-al doilea.

Mai multe despre subiectul 6. Operator conjugat. Condiții de existență a operatorului conjugat. Închiderea operatorului adjunct. Conjugați operatorul cu operatorul restricționat și norma acestuia:

2. Teorema lui Schauder privind continuitatea completă a operatorului adjunct. Ecuații de primul și al doilea fel cu operatori complet continui. Teorema privind închiderea intervalului de valori al unui operator
1. Operatori liniari în spații normate liniare. Echivalența continuității și a mărginirii unui operator liniar. Conceptul de normă de operator limitat. Diverse formule de calcul a normelor. Exemple de operatori liniari mărginiți.
4. Nucleul operatorului. Criteriu pentru mărginirea unui operator invers. Teoreme de operator invers
2. Spațiul operatorilor liniari continui și completitatea acestuia în raport cu convergența uniformă a operatorilor
5. Exemple de operatori inversi. Invertibilitatea operatorilor de forma (I - A) și (A - C).
1. Operatori complet continui și proprietățile acestora. Operatori Fredholm și Hilbert-Schmidt
6. Graficul operator și operatori închiși. Criteriul de închidere. Teorema lui Banach asupra graficelor închise. Deschide teorema de cartografiere

Un element diferit de zero x G V se numește element propriu operator liniar A: V V, dacă există un număr A - valoarea proprie a operatorului liniar A, astfel încât Exemplul 1. Fiecare polinom de gradul zero este un element propriu al operatorului de diferențiere, valoarea proprie corespunzătoare este egală cu zero: Exemplul 2. Operatorul de diferențiere Valori propriiŞi elemente proprii. Operator conjugat. nu are elemente proprii. Fie un polinom trigonometric a cos t + 0 sin t după diferențiere să devină proporțional: Aceasta înseamnă că sau, care este același, Ultima egalitate este satisfăcută dacă și numai dacă rezultă că a = p = 0 și, Aceasta înseamnă că un polinom poate fi doar zero. Teorema 6. Un număr real A este o valoare proprie a unui operator liniar A dacă și numai dacă acest număr este rădăcina polinomului său caracteristic: x(A) = 0. Necesitate. Fie A valoarea proprie a operatorului A. Atunci există un element diferit de zero x pentru care Ax = Ax. Să fie baza spațiului. Apoi, ultima egalitate poate fi rescrisă într-o formă de matrice echivalentă sau, care este aceeași, Și deoarece x este un element propriu, rezultă că coloana sa de coordonate x(c) este diferită de zero. Aceasta înseamnă că sistemul liniar (1) are o soluție diferită de zero. Aceasta din urmă este posibilă numai cu condiția ca sau, ceea ce este la fel, Suficiența. O modalitate de a-ți construi propriul element. Fie A rădăcina polinomului Să considerăm un sistem liniar omogen cu matricea A(c) - AI: Datorită condiției (2), acest sistem are o soluție diferită de zero. Să construim un element x după regula: coloana de coordonate x(c) a acestui element satisface condiția sau, care este, de asemenea, aceeași, aceasta din urmă este echivalentă cu faptul că sau, mai detaliat, x este un element propriu al operatorului liniar A, iar A este valoarea proprie corespunzătoare. Comentariu. Pentru a găsi toate elementele proprii corespunzătoare unei valori proprii date A, este necesar să se construiască FSR-ul sistemului (3). Exemplul 1. Găsiți vectorii proprii ai unui operator liniar care acționează conform regulii (operatorul de proiecție) (Fig. 6). M Să considerăm acțiunile operatorului liniar P pe vectorii de bază. Avem Să scriem matricea operatorului: Valori proprii și elemente proprii. Operator conjugat. Să construim un polinom caracteristic și să îi găsim rădăcinile. Avem Să construim omogene cu matrice: Obţinem, respectiv: Să găsim sisteme fundamentale de soluţii pentru fiecare dintre aceste sisteme. Avem 1 Astfel, vectorii proprii ai acestui operator de proiecție sunt: vectorul k cu valoare proprie 0 și orice vector cu valoare proprie Exemplul 2. Aflați elementele proprii ale operatorului de diferențiere liniară V care acționează în spațiul Afj al polinoamelor de gradul cel mult doi: Matrice D al operatorului dat în baza I, t, O are forma polinom caracteristic -A3 are exact o rădăcină A = 0. Soluția sistemului este mulțimea 1,0,0, care corespunde unui polinom de grad zero. §5. Operator de conjugare În spațiul euclidian peste operatori liniari, se poate introduce o acțiune - operația de conjugare. Fie V un spațiu euclidian n-dimensional. Cu fiecare operator liniar care acționează în acest spațiu; Un alt operator liniar conjugat cu acesta este asociat în mod natural. Definiţie. Se spune că un operator liniar (a se citi: „a cu o stea”) este conjugat cu operatorul liniar A: V -* V dacă pentru orice elemente x și y din spațiul V egalitatea Operatorul liniar A*, conjugat la acest operator Ah, există întotdeauna. Fie c = (et,..., en) ortobaza spațiului V și A = A(c) = (o^) fie matricea operatorului liniar A în această bază, adică prin calcule directe putem verifica că pentru operatorul liniar A": V -" V, determinat de regula egalitatea (1) este satisfăcută pentru orice x și y Reamintim că conform teoremei 1, pentru a construi un operator liniar, este suficient să specificați acțiunea acestuia. asupra elementelor de bază Exemplu Să introducem în spaţiul liniar M\ polinoame cu coeficienţi reali de grad nu mai mari decât prima operaţie de înmulţire scalară.. Să presupunem deci că M\ este un spațiu euclidian bidimensional. Fie V: M\ - M\ operatorul de diferențiere: V(a + d»f) = b. Să construim operatorul conjugat. Matricea operatorului V în această bază are forma. Atunci este matricea operatorului conjugat V, acţionând conform regulii: Pentru un polinom arbitrar obţinem Proprietăţile operaţiei de conjugare 1. Pentru fiecare operator liniar există exact un operator conjugat la acesta.

Fie B și C operatori conjugați la un operator A dat. Aceasta înseamnă că pentru orice elemente x și y din spațiul V sunt valabile egalitățile. Rezultă că valorile proprii și elementele proprii. Operator conjugat. și, mai departe, Datorită arbitrarului alegerii elementului x, concluzionăm că elementul Wu-Su este ortogonal cu orice element al spațiului V și, în special, cu el însuși. Aceasta din urmă este posibilă numai în cazul în care By - Cy = 0 și, prin urmare, By = C y. Datorită faptului că y este un element arbitrar, obținem B ~ C. 2. (a.4)* = aL*, unde a este un număr real arbitrar. Fie A:V -+ V și B:V -+ V operatori liniari. Apoi, proprietățile 2-5 urmează cu ușurință din unicitatea operatorului adjunct. 6. Fie c ortobaza spatiului V. Pentru ca operatorii A: V V si B: V -» V sa fie reciproc conjugati, i.e. sunt îndeplinite egalitățile B = A", A = B*, este necesar și suficient ca matricele lor A = A(c) și B = B(c) să fie obținute una de la alta prin transpunere. Notă: Subliniem că proprietatea 6 este valabil numai pentru matricea construită pe o bază ortonormală nu este adevărată 7. Dacă operatorul liniar A este nedegenerat, atunci operatorul A* conjugat cu acesta este de asemenea nedegenerat și egalitatea este valabilă.

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

Spațiul liniar general $Lasă$ E, \, L $- spații liniare, și$ E^*, \, L^* $Lasă$ - spații liniare conjugate (spații ale funcționalelor liniare definite pe $). Apoi pentru orice operator liniar$ A\colon E\la L $și orice funcțional liniar$ g \in L^* $funcţional liniar definit$ f \în E^* $- suprapunerea$ Şi $g$ : $O$ f(x)=g(A(x)) $. Afişa$ g\mapsto f $se numește operator liniar conjugat și se notează$ .

A^*\colon L^* \to E^* $Pe scurt, atunci$ (A^*g, x) = (g, Ax) $, Unde$ (B, x) $- acţiunea funcţionalităţii$ B $a vector$ .

x

Spațiul liniar general $Lasă$ Spațiu liniar topologic $- spații liniare, și$ sunt spații liniare topologice și - conjugă spații liniare topologice (spații continuu $Lasă$ funcţionale liniare definite pe $). Apoi pentru orice operator liniar$ ). Pentru orice operator liniar continuu $și orice funcțional liniar$ este definită o funcțională liniară continuă $funcţional liniar definit$ f \în E^* $- suprapunerea$ Şi $g$ : $O$ . Este ușor să verificați dacă maparea $. Afişa$ liniară și continuă. Se numește operator conjugat și este, de asemenea, notat $se numește operator liniar conjugat și se notează$ .

Spațiul Banach

Spațiul liniar general $A\coloan X\la Y$ este un operator liniar continuu care actioneaza dintr-un spatiu Banach $X$ într-un spațiu Banach $Y$ si lasa $X^*, Y^*$ - spații conjugate. Să notăm $\forall x\in X, f\in Y^* =f(Ax)$ . Dacă $f$ - fix, atunci - liniar continuu functional in $X, \în X^*$ . Astfel, pentru $\forall f\in Y^*$ o funcţională liniară continuă este definită din $X^*$ , prin urmare operatorul este definit $A^*\colon Y^*\la X^*$ , astfel încât $=$ .

$A^*$ numit operator conjugat. În mod similar, puteți defini operatorul conjugat la un operator liniar nemărginit, dar acesta nu va fi definit pe întreg spațiul.

Pentru $A^*$ sunt valabile următoarele proprietăți:

Operator $A^*$ - liniară.
Dacă $g$ este un operator liniar continuu, atunci $A^*$ de asemenea un operator liniar continuu.
Spațiul liniar general $O$ este operatorul nul și $E$ - operator de unitate. Apoi $O^*=O, E^*=E$ .
$(A+B)^*=A^*+B^*$ .
$\forall\alpha\in\mathbb C, (\alpha A)^*=\bar(\alpha)A^*$ .
$(AB)^*=B^*A^*$ .
$(A^(-1))^*=(A^*)^(-1)$ .

Spațiul Hilbert

În spațiul Hilbert $H$ Teorema lui Riesz identifică un spațiu cu conjugatul său, deci pentru operator $A\coloană H\la H$ egalitate $(Ax, y) = (x, A^*y)$ definește operatorul conjugat $A^*\colon H \la H$ . Aici $(x, y)$ - produs scalar în spațiu $H$ .

Vezi de asemenea

Scrieți o recenzie despre articolul „Operator conjugat”

Note

Literatură

Schaefer H. Spații vectoriale topologice. - M.: Mir, 1971.
Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Analiza funcțională și aplicațiile sale în mecanica continuumului. - M.: Carte universitară, . - 320 s.
Trenogin V. A. Analiza functionala. - M.: Știință, . - 495 s.
Analiza functionala / editor S.G. Crane. - al 2-lea, revizuit și extins. - M.: Știință, . - 544 p. - (Bibliotecă matematică de referință).
Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite. - M.: Fizmatgiz, . - 264 s.
Shilov G.E. Analiza matematică(funcțiile unei variabile), partea 3. - M.: Știință, . - 352 s.

Extras care caracterizează operatorul Conjugate

Adjutanții au galopat înaintea lui în curte. Kutuzov, împingându-și nerăbdător calul, care umbla sub greutatea lui, și dând constant din cap, și-a dus mâna pe șapca gărzii de cavalerie (cu bandă roșie și fără vizor) pe care o purta. După ce s-a apropiat de garda de onoare a curajoșilor grenadieri, de cele mai multe ori domnii salutându-l, el i-a privit în tăcere un minut cu o privire încăpățânată poruncitoare și s-a întors spre mulțimea de generali și ofițeri care stăteau în jurul lui. Fața lui căpătă dintr-o dată o expresie subtilă; îşi ridică umerii cu un gest de nedumerire.
- Și cu astfel de oameni, continuă să te retragi și să te retragi! - a spus el. „Ei bine, la revedere, generale”, a adăugat el și a pornit calul prin poartă, pe lângă prințul Andrei și Denisov.
- Ura! ură! ură! – au strigat din spatele lui.
De când prințul Andrei nu-l văzuse, Kutuzov devenise și mai gras, flasc și umflat de grăsime. Dar familiarul ochi alb, rana și expresia de oboseală din chipul și silueta lui erau aceleași. Era îmbrăcat într-o redingotă uniformă (un bici atârnat de o centură subțire peste umăr) și o șapcă albă de pază de cavalerie. El, încețoșându-se puternic și legănându-se, s-a așezat pe calul său vesel.
„Uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuieră el abia auzit în timp ce intră în curte. Chipul lui exprima bucuria de a calma un bărbat care intenționează să se odihnească după misiune. Și-a scos piciorul stâng din etrier, căzând cu tot corpul și tresărind de efort, l-a ridicat cu greu pe șa, și-a sprijinit cotul pe genunchi, a mormăit și a coborât în brațele cazacilor și adjutanților care. îl sprijineau.
Și-a revenit, s-a uitat în jur cu ochii mijiți și, aruncând o privire către prințul Andrei, aparent nerecunoscându-l, a mers cu mersul lui de scufundare spre pridvor.
„Uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuieră și se uită din nou la Prințul Andrei. Impresia feței prințului Andrei abia după câteva secunde (cum se întâmplă adesea cu bătrânii) a devenit asociată cu amintirea personalității sale.
„Ah, salut, prinț, salut, dragă, hai să mergem...” spuse el obosit, uitându-se în jur și intră cu greu în verandă, scârțâind sub greutatea lui. S-a descheiat și s-a așezat pe o bancă de pe verandă.
- Ei bine, ce zici de tată?
„Ieri am primit vestea morții lui”, a spus scurt prințul Andrei.
Kutuzov este speriat cu ochii deschisi s-a uitat la prințul Andrei, apoi și-a scos șapca și și-a făcut cruce: „Împărăția cerurilor lui! Fie ca voia lui Dumnezeu să fie peste noi toți El a oftat din greu, cu tot pieptul și a tăcut. „L-am iubit și respectat și vă simpatizez din toată inima.” L-a îmbrățișat pe prințul Andrei, l-a lipit de pieptul lui gras și nu l-a lăsat să plece multă vreme. Când l-a eliberat, prințul Andrei a văzut că buzele umflate ale lui Kutuzov tremurau și că erau lacrimi în ochi. Oftă și apucă banca cu ambele mâini ca să se ridice.
„Hai, hai să venim la mine și să vorbim”, a spus el; dar în acest moment Denisov, la fel de puțin timid în fața superiorilor săi, pe cât era în fața inamicului, în ciuda faptului că adjutanții de la pridvor l-au oprit în șoapte furioase, cu îndrăzneală, bătându-și pintenii pe trepte, a intrat în verandă. Kutuzov, lăsându-și mâinile sprijinite pe bancă, se uită nemulțumit la Denisov. Denisov, identificându-se, a anunțat că trebuie să informeze domnia sa despre o problemă de mare importanță pentru binele patriei. Kutuzov a început să se uite la Denisov cu o privire obosită și cu un gest enervat, luându-și mâinile și îndoindu-le pe burtă, a repetat: „Pentru binele patriei? Ei bine, ce este? Vorbi." Denisov s-a înroșit ca o fată (era atât de ciudat să vezi culoarea pe această față cu mustață, bătrână și beată) și a început cu îndrăzneală să-și contureze planul de tăiere. linie de operare dușman între Smolensk și Vyazma. Denisov locuia în aceste părți și cunoștea bine zona. Planul lui părea fără îndoială bun, mai ales din puterea de convingere care era în cuvintele lui. Kutuzov se uită la picioarele lui și aruncă din când în când o privire spre curtea colibei vecine, de parcă s-ar fi așteptat la ceva neplăcut de acolo. Un general cu o servietă sub braț a apărut de fapt din coliba la care se uita în timpul discursului lui Denisov.
- Ce? – a spus Kutuzov în mijlocul prezentării lui Denisov. - Ești încă gata?
— Gata, domnia ta, spuse generalul. Kutuzov a clătinat din cap, ca și cum ar fi spus: „Cum poate o persoană să gestioneze toate acestea” și a continuat să-l asculte pe Denisov.
„Îmi dau cuvântul meu cinstit și nobil ofițerului husian”, a spus Denisov, „că am confirmat mesajul lui Napoleon.

Fie dat un operator liniar arbitrar într-un spațiu unitar -dimensional.

Definiția 4. Un operator liniar se numește conjugat în raport cu operatorul dacă și numai dacă pentru oricare doi vectori din egalitate este valabil

. (46)

Vom demonstra că pentru fiecare operator liniar există un operator adjunct și doar unul. Pentru a demonstra acest lucru, haideți să alegem o bază ortonormală. Apoi [vezi (41)] pentru operatorul necesar și un vector arbitrar din egalitate trebuie îndeplinit

În virtutea (46), această egalitate poate fi rescrisă după cum urmează:

. (47)

Să luăm acum egalitatea (47) ca definiție a operatorului .

Este ușor de verificat dacă operatorul astfel definit este liniar și satisface egalitatea (46) pentru vectori arbitrari și din . În plus, egalitatea (47) determină în mod unic operatorul . Astfel, se stabilește existența și unicitatea operatorului conjugat.

Fie un operator liniar într-un spațiu unitar și fie matricea corespunzătoare acestui operator pe bază ortonormală. Apoi, aplicând formula (41) vectorului obținem:

Fie că acum matricea corespunde operatorului conjugat în aceeași bază. Apoi, conform formulei (48)

Din (48) și (49) datorită (46) rezultă:

Matricea este transpusă și conjugată complexă pentru . O astfel de matrice este de obicei numită (a se vedea capitolul I) conjugată în raport cu .

Astfel, pe o bază ortonormală, operatorilor conjugați corespund matricilor conjugate.

Următoarele proprietăți rezultă din definiția operatorului conjugat:

2. ,

3. ( – scalar),

Să introducem acum un concept important. Fie un subspațiu arbitrar în . Să notăm prin mulțimea tuturor vectorilor de la , ortogonală la . Este ușor de observat că există și un subspațiu în și că fiecare vector în este reprezentat în mod unic ca o sumă, unde , adică are loc divizarea

Obținem această împărțire prin aplicarea expansiunii (15) din secțiunea anterioară la un vector arbitrar. se numeste complement ortogonal al lui . Evident, va fi complementul ortogonal al lui . Scriem prin sensul că orice vector din este ortogonal cu orice vector din .

Acum putem formula proprietatea fundamentală a operatorului adjunct:

5. Dacă un subspațiu este invariant față de , atunci complementul ortogonal al acestui subspațiu va fi invariant față de .

Într-adevăr, să fie. Apoi urmează de la și de aici la (46). Deoarece este un vector arbitrar din , acesta este ceea ce trebuia demonstrat.

Să introducem următoarea definiție:

Definitie 5. Doua sisteme de vectori si se numesc biortononormali daca

unde este simbolul Kronecker.

Acum demonstrăm următoarea propoziție:

6. Dacă este un operator liniar de structură simplă, atunci operatorul conjugat are și structură simplă și puteți alege în acest fel sisteme complete vectori proprii și operatori și astfel încât să fie biorthonormalized:

Într-adevăr, să fie sistemul complet de vectori proprii ai operatorului . Să introducem notația

Să considerăm complementul ortogonal unidimensional al subspațiului –dimensional. Apoi invariant sub:

Rezultă: , deoarece altfel vectorul ar trebui să fie egal cu zero. Înmulțind cu factorii numerici corespunzători, obținem:

Din biortononormalitatea sistemelor vectoriale rezultă că vectorii fiecăruia dintre aceste sisteme sunt independenți liniar.

Să notăm și această propunere:

7. Dacă operatorii au un vector propriu comun, atunci numerele caracteristice ale acestor operatori corespunzătoare vectorului propriu comun sunt conjugate complexe.

De fapt, lasă . Atunci, presupunând în (46) , vom avea , unde .

8. Fie vectorul propriu al operatorului și fie complementul ortogonal la subspațiul unidimensional . Deoarece , atunci conform afirmației 5. subspațiul este invariant sub operatorul . Astfel, fiecare operator liniar dintr-un spațiu unitar -dimensional are un subspațiu invariant -dimensional., atunci pentru și, prin urmare, matricea operatorului este triunghiulară superioară. Am ajuns la următoarea teoremă:

Pentru orice operator liniar dintr-un spațiu unitar -dimensional, se poate construi o bază ortonormală în care matricea acestui operator este triunghiulară.

Această propunere este de obicei numită teorema lui Schur. Desigur, folosind teorema generală privind reducerea matricei operatorului la forma Jordan, este ușor de demonstrat teorema lui Schur prin ortogonalizarea secvențială a bazei Jordan. Dovada de mai sus folosește în esență doar existența unui vector propriu pentru un operator liniar care acționează într-un spațiu unitar -dimensional.