Phép nhân ma trận với số c. Toán cho hình nộm

Năm thứ nhất, toán cao hơn, chúng tôi học ma trận và các hành động cơ bản đối với chúng. Sau đây chúng tôi hệ thống hóa các thao tác cơ bản có thể thực hiện với ma trận. Bắt đầu làm quen với ma trận từ đâu? Tất nhiên, từ điều đơn giản nhất - định nghĩa, khái niệm cơ bản và các phép toán đơn giản nhất. Chúng tôi đảm bảo với bạn rằng ma trận sẽ được hiểu bởi tất cả những người dành ít nhất một chút thời gian cho chúng!

Định nghĩa ma trận

Ma trận Là một bảng các nguyên tố hình chữ nhật. Vâng, nếu nói một cách đơn giản - một bảng số.

Thông thường, ma trận được biểu thị bằng các chữ cái Latinh viết hoa. Ví dụ, ma trận MỘT , ma trận NS Vân vân. Ma trận có thể có nhiều kích thước khác nhau: hình chữ nhật, hình vuông, ngoài ra còn có ma trận hàng và ma trận cột, gọi là vectơ. Kích thước của ma trận được xác định bởi số hàng và số cột. Ví dụ, hãy viết một ma trận hình chữ nhật có kích thước NS trên n , ở đâu NS - số dòng, và n - số lượng cột.

Các yếu tố mà i = j (a11, a22, .. ) tạo thành đường chéo chính của ma trận, và được gọi là đường chéo.

Bạn có thể làm gì với ma trận? Cộng / trừ, nhân với một số, nhân lên giữa chúng, đổi chỗ... Bây giờ về tất cả các phép toán cơ bản này trên ma trận theo thứ tự.

Phép toán cộng và trừ ma trận

Chúng tôi cảnh báo bạn ngay rằng bạn chỉ có thể thêm ma trận có cùng kích thước. Kết quả là một ma trận có cùng kích thước. Việc thêm (hoặc trừ) ma trận rất đơn giản - chỉ cần thêm các yếu tố tương ứng của chúng ... Hãy cho một ví dụ. Hãy thêm hai ma trận A và B với kích thước hai nhân hai.

Phép trừ được thực hiện bằng phép loại suy, chỉ với dấu hiệu ngược lại.

Bất kỳ ma trận nào cũng có thể được nhân với một số tùy ý. Để làm điều này, bạn cần nhân từng phần tử của nó với số này. Ví dụ, hãy nhân ma trận A từ ví dụ đầu tiên với số 5:

Phép toán nhân ma trận

Không phải tất cả các ma trận đều có thể được nhân với nhau. Ví dụ, chúng ta có hai ma trận - A và B. Chúng chỉ có thể nhân với nhau nếu số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Trong trường hợp này mỗi phần tử của ma trận kết quả, đứng ở hàng thứ i và cột thứ j, sẽ bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng trong hàng thứ i của yếu tố đầu tiên và cột thứ j của thư hai... Để hiểu thuật toán này, hãy viết ra cách nhân hai ma trận vuông:

Và một ví dụ với số thực. Hãy nhân ma trận:

Hoạt động chuyển vị ma trận

Chuyển vị ma trận là một hoạt động trong đó các hàng và cột tương ứng được hoán đổi. Ví dụ, hãy chuyển ma trận A từ ví dụ đầu tiên:

Định thức của ma trận

Định thức, nhưng định thức là một trong những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính. Đã có thời người ta phát minh ra phương trình tuyến tính, và đằng sau chúng phải phát minh ra một định thức. Kết quả là, bạn phải đối phó với tất cả những điều này, vì vậy, đợt bùng phát cuối cùng!

Định thức là một đặc tính số của ma trận vuông, cần thiết để giải nhiều bài toán.
Để tính định thức của ma trận vuông đơn giản nhất, bạn cần tính hiệu giữa tích của các phần tử của đường chéo chính và phụ.

Định thức của ma trận bậc nhất, tức là, bao gồm một phần tử, bằng phần tử này.

Điều gì sẽ xảy ra nếu ma trận là ba bởi ba? Điều này phức tạp hơn, nhưng bạn có thể đối phó.

Đối với ma trận như vậy, giá trị của định thức bằng tổng tích các phần tử của đường chéo chính và tích của các phần tử nằm trên tam giác có cạnh song song với đường chéo chính, từ đó tích các phần tử của đường chéo phụ và tích của các phần tử nằm trên tam giác có cạnh bằng đường chéo phụ song song bị trừ.

May mắn thay, hiếm khi cần tính toán xác định của ma trận lớn trong thực tế.

Ở đây chúng ta đã trình bày các thao tác cơ bản trên ma trận. Tất nhiên, trong cuộc sống thực, bạn thậm chí có thể không bao giờ bắt gặp một gợi ý về hệ phương trình ma trận, hoặc ngược lại - để đối mặt với những trường hợp khó khăn hơn nhiều khi bạn thực sự phải vỡ đầu. Đó là đối với những trường hợp như vậy mà có một dịch vụ sinh viên chuyên nghiệp. Yêu cầu giúp đỡ, nhận được một giải pháp chất lượng cao và chi tiết, tận hưởng thành công trong học tập và thời gian rảnh rỗi của bạn.

Nhân một ma trận với một số là một phép toán trên ma trận, là kết quả của mỗi phần tử của nó được nhân với một số thực hoặc số phức. Nó trông giống như thế này trong ngôn ngữ toán học:

$$ B = \ lambda \ cdot A \ Rightarrow b_ (ij) = \ lambda a_ (ij) $$

Cần lưu ý rằng ma trận $ B $ kết quả phải có cùng thứ nguyên với ma trận ban đầu $ A $. Bạn cũng có thể chú ý đến thực tế sau: $ \ lambda \ cdot A = A \ cdot \ lambda $, nghĩa là bạn có thể hoán đổi các số nhân và điều này sẽ không thay đổi sản phẩm.

Sẽ rất hữu ích khi sử dụng phép toán nhân ma trận với một số khi chuyển nhân tử chung ra khỏi ma trận. Trong trường hợp này, mỗi phần tử của ma trận được chia cho số $ \ lambda $ và chính nó được đặt trước ma trận.

Tính chất

1. Luật phân phối liên quan đến ma trận: $$ \ lambda \ cdot (A + B) = \ lambda A + \ lambda B $$ Phép nhân tổng của ma trận với một số có thể được thay thế bằng tổng các tích của từng ma trận riêng lẻ bằng a số đã cho
2. Luật phân phối về số thực (phức): $$ (\ lambda + \ mu) \ cdot A = \ lambda A + \ mu A $$ Phép nhân ma trận với tổng các số có thể được thay thế bằng tổng các tích của mỗi số bởi ma trận
3. Luật liên kết: $$ \ lambda \ cdot (\ mu \ cdot A) = (\ lambda \ cdot \ mu) A $$ Có thể sử dụng thuận tiện nếu bạn cần lấy ra thừa số chung từ ma trận phía trước nó, trong khi nhân hệ số đã có trước nó
4. Có một số đặc biệt $ \ lambda = 1 $, do đó ma trận không thay đổi $$ 1 \ cdot A = A \ cdot 1 = A $$
5. Nhân ma trận với số 0 dẫn đến thực tế là mỗi phần tử của ma trận đều bị 0 và ma trận trở thành 0 có cùng kích thước như ban đầu: $$ 0 \ cdot A = 0 $$

Ví dụ về các giải pháp

Để nhân ma trận A với một số α tùy ý, bạn cần các phần tử của ma trận MỘT nhân với số α, tức là tích của một ma trận với một số sẽ như sau:

Ví dụ 1. Tìm ma trận 3 MỘT cho ma trận

Dung dịch. Theo định nghĩa, chúng tôi nhân các phần tử của ma trận MỘT bằng 3 và chúng tôi nhận được

Đó là một ví dụ rất đơn giản về nhân ma trận với một số với số nguyên. Ngoài ra còn có các ví dụ đơn giản ở phía trước, nhưng đã có như vậy khi trong số các thừa số và phần tử của ma trận có phân số, biến (ký hiệu chữ cái), bởi vì luật nhân không chỉ áp dụng cho số nguyên, vì vậy việc lặp lại chúng không bao giờ có hại.

Ví dụ 2. MỘT bằng số α nếu
, .

MỘT với α, đừng quên rằng khi nhân phân số, tử số của phân số đầu tiên được nhân với tử số của phân số thứ nhất và tích được viết thành tử số, và mẫu số của phân số thứ nhất được nhân với mẫu số của phân số thứ hai và tích được viết thành mẫu số. Khi nhận phần tử thứ hai của hàng đầu tiên của ma trận mới, phân số thu được đã giảm đi 2, điều này phải được thực hiện. Chúng tôi nhận được

Ví dụ 3. Thực hiện phép nhân ma trận MỘT bằng số α nếu
, .

Dung dịch. Nhân các phần tử của ma trận MỘT bởi α, không bị nhầm lẫn trong ký hiệu chữ cái, không quên để lại dấu trừ trước phần tử thứ hai của hàng thứ hai của ma trận mới và nhớ rằng kết quả của phép nhân một số với số nghịch đảo của nó là một (đầu tiên phần tử của hàng thứ ba). Chúng tôi nhận được

.

Ví dụ 4. Thực hiện phép nhân ma trận MỘT bằng số α nếu
, .

Dung dịch. Hãy nhớ rằng khi bạn nhân một số trong lũy ​​thừa với một lũy thừa, các số mũ sẽ được cộng. Chúng tôi nhận được

.

Ví dụ này, trong số những điều khác, chứng minh rõ ràng rằng các phép toán nhân ma trận với một số có thể được đọc (và viết) theo thứ tự ngược lại, và điều này được gọi là đặt một thừa số không đổi trước ma trận.

Kết hợp với cộng và trừ ma trận phép toán nhân ma trận với một số có thể tạo thành nhiều biểu thức ma trận khác nhau, ví dụ: 5 MỘT − 3NS , 4MỘT + 2NS .

Tính chất của phép nhân ma trận với một số

(ở đây A, B - ma trận, - số, 1 - số một)

1.

2.

3.

Các thuộc tính (1) và (2) kết nối phép nhân ma trận với một số với phép cộng ma trận. Cũng có một mối liên hệ rất quan trọng giữa nhân ma trận với một số và nhân ma trận với chính nó:

nghĩa là, nếu trong tích của ma trận một trong các thừa số được nhân với một số, thì tích toàn bộ sẽ được nhân với một số.

Bài giảng số 1

MATRIX

Định nghĩa và các loại ma trận

Định nghĩa 1.1.Ma trận kích thước NS NSđược gọi là một bảng hình chữ nhật gồm các số (hoặc các đối tượng khác) chứa NS dòng và n cột.

Ma trận được chỉ định bằng các chữ cái viết hoa (viết hoa) trong bảng chữ cái Latinh, ví dụ: A, B, C, ... Các số (hoặc các đối tượng khác) tạo nên ma trận được gọi là các yếu tố ma trận. Các phần tử của ma trận có thể là các hàm. Để chỉ định các phần tử của ma trận, các chữ cái viết thường của bảng chữ cái Latinh với lập chỉ mục kép được sử dụng: aij, nơi chỉ mục đầu tiên tôi(đọc - và) - số dòng, chỉ mục thứ hai NS(đọc - zhi) – số cột.

Định nghĩa 1.2. Ma trận được gọi là hình vuông n- thứ tự nếu số hàng của nó bằng số cột và bằng cùng một số NS

Đối với ma trận vuông, các khái niệm được giới thiệu chính và phụđường chéo.

Định nghĩa 1.3.Đường chéo chính ma trận vuông bao gồm các phần tử có cùng chỉ số, tức là Đây là các yếu tố: Một 11, một 22, ...

Định nghĩa 1.4. đường chéo nếu tất cả các phần tử, ngoại trừ các phần tử của đường chéo chính, đều bằng 0

Định nghĩa 1.5. Ma trận vuông được gọi là hình tam giác nếu tất cả các phần tử của nó nằm bên dưới (hoặc bên trên) thì đường chéo chính bằng không.

Định nghĩa 1.6. Ma trận vuông NS- thứ tự, trong đó tất cả các phần tử của đường chéo chính bằng một và phần còn lại bằng 0, được gọi là Độc thân ma trận n-thứ tự, và nó được ký hiệu bằng chữ cái E.

Định nghĩa 1.7. Một ma trận có kích thước bất kỳ được gọi là vô giá trị, hoặc ma trận null, nếu tất cả các phần tử của nó bằng không.

Định nghĩa 1.8. Ma trận một hàng được gọi là ma trận-hàng.

Định nghĩa 1.9. Một ma trận cột đơn được gọi là ma trận cột.

A = (a 11 Một 12 ... Một 1n) - ma trận hàng;

Định nghĩa 1.10. Hai ma trận MỘT và V có cùng kích thước được gọi là bình đẳng, nếu tất cả các phần tử tương ứng của các ma trận này bằng nhau, tức là aij = bij bất cứ gì tôi= 1, 2, ..., NS; j = 1, 2,…, n.

Hoạt động ma trận

Một số hoạt động có thể được thực hiện trên ma trận, cũng như trên số. Các phép toán chính trên ma trận là cộng (trừ) ma trận, nhân ma trận với một số và nhân ma trận. Các phép toán này tương tự như các phép toán trên số. Một hoạt động cụ thể là chuyển vị ma trận.

Nhân một ma trận với một số

Định nghĩa 1.11.Tích của ma trận A bằng sốλ được gọi là ma trận B = A, mà các phần tử của nó có được bằng cách nhân các phần tử của ma trận MỘT bởi số λ .

Ví dụ 1.1. Tìm tích của ma trận A = đến số 5.

Dung dịch... .◄ 5A =

Quy tắc nhân ma trận với một số: để nhân một ma trận với một số, tất cả các phần tử của ma trận phải được nhân với số này.

Hậu quả.

1. Nhân tử chung của tất cả các phần tử của ma trận có thể lấy ra ngoài dấu ma trận.

2. Tích của ma trận MỘT có một ma trận 0 cho số 0: MỘT· 0 = 0 .

Thêm ma trận

Định nghĩa 1.12.Tổng của hai ma trận A và B Cùng kích cỡ t nđược gọi là ma trận VỚI= MỘT+ V, mà các phần tử của nó có được bằng cách thêm các phần tử tương ứng của ma trận MỘT và ma trận V, I E. cij = aij + bij vì tôi = 1, 2, ..., NS; NS= 1, 2, ..., n(nghĩa là các ma trận được thêm vào từng phần tử).

Hậu quả. Tổng ma trận MỘT với ma trận 0 bằng với ma trận ban đầu: A + O = A.

1.2.3. Phép trừ ma trận

Hiệu của hai ma trận cùng kích thước được xác định thông qua các hoạt động trước đó: A - B = A + (- 1) V.

Định nghĩa 1.13. Ma trận –A = (- 1)MỘT gọi là trái nghĩa ma trận MỘT.

Hậu quả. Tổng của các ma trận đối diện bằng ma trận 0 : A + (–A) = O.

Phép nhân ma trận

Định nghĩa 1.14.Phép nhân ma trận A với ma trận B nó được xác định khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. sau đó sản phẩm của ma trận một ma trận như vậy được gọi là , mỗi yếu tố trong số đó cij bằng tổng các tích của các phần tử tôi- hàng thứ của ma trận MỘT trên các yếu tố tương ứng NS cột thứ của ma trận NS.

Ví dụ 1.4. Tính tích của ma trận А В,ở đâu

A =

=

Ví dụ 1.5. Tìm sản phẩm ma trận AB và VA,ở đâu

Nhận xét. Từ các ví dụ 1.4–1.5, sau đây là phép toán nhân ma trận có một số khác biệt so với phép nhân các số:

1) nếu tích của ma trận AB tồn tại, sau đó sau khi sắp xếp lại các yếu tố ở các vị trí, tích của ma trận VA có thể không tồn tại. Thật vậy, trong Ví dụ 1.4, tích của ma trận AB tồn tại, nhưng tích BA không tồn tại;

2) ngay cả khi công việc AB và VA tồn tại, khi đó kết quả của sản phẩm có thể là các ma trận có kích thước khác nhau. Trong trường hợp khi cả hai hoạt động AB và VA cả hai đều tồn tại - các ma trận có cùng kích thước (điều này chỉ có thể thực hiện được khi nhân các ma trận vuông có cùng thứ tự), sau đó quy luật giao hoán (có thể thay thế) của phép nhân vẫn không giữ, những thứ kia. A B B A, như trong ví dụ 1.5;

3) tuy nhiên, nếu chúng ta nhân ma trận vuông MỘT trên ma trận nhận dạng E cùng một thứ tự, sau đó AE = EA = A.

Như vậy, ma trận đồng dạng trong phép nhân ma trận đóng vai trò giống như số 1 trong phép nhân các số;

4) tích của hai ma trận khác không có thể bằng ma trận 0, nghĩa là A B= 0, nó không tuân theo điều đó A = 0 hoặc B = 0.

Hướng dẫn phương pháp luận này sẽ giúp bạn học cách thực hiện hoạt động với ma trận: cộng (trừ) ma trận, chuyển vị ma trận, nhân ma trận, tìm ma trận nghịch đảo. Tất cả tài liệu được trình bày ở dạng đơn giản và dễ tiếp cận, các ví dụ tương ứng được đưa ra, vì vậy ngay cả một người chưa chuẩn bị cũng có thể học cách thực hiện các hành động với ma trận. Để tự kiểm tra và tự kiểm tra, các bạn có thể tải miễn phí công cụ tính ma trận >>>.

Tôi sẽ cố gắng giảm thiểu các tính toán lý thuyết, ở một số nơi có thể giải thích "trên đầu ngón tay" và việc sử dụng các thuật ngữ phi khoa học là hoàn toàn có thể. Những người yêu thích một lý thuyết vững chắc, xin đừng chỉ trích, nhiệm vụ của chúng tôi là học cách thực hiện các hành động với ma trận.

Để chuẩn bị SIÊU NHANH về chủ đề này (người đang "cháy"), có một khóa học pdf chuyên sâu Ma trận, định thức và kiểm tra!

Ma trận là một bảng hình chữ nhật bất kỳ các yếu tố... Như các yếu tố chúng ta sẽ xem xét các số, tức là các ma trận số. YẾU TỐ Là một thuật ngữ. Nên nhớ thuật ngữ sẽ gặp phải, không phải ngẫu nhiên mà mình dùng kiểu chữ đậm để bôi đậm.

Chỉ định: ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh viết hoa

Thí dụ: Hãy xem xét một ma trận hai nhân ba:

Ma trận này bao gồm sáu các yếu tố:

Tất cả các số (phần tử) bên trong ma trận tồn tại bởi chính chúng, nghĩa là không có bất kỳ phép trừ nào:

Nó chỉ là một bảng (tập hợp) các con số!

Chúng tôi cũng sẽ đồng ý không sắp xếp lại số, trừ khi được nêu khác trong phần giải thích. Mỗi số có vị trí riêng và không thể bị xáo trộn!

Ma trận được đề cập có hai hàng:

và ba cột:

TIÊU CHUẨN: khi nói về kích thước của ma trận, thì lúc đầu cho biết số hàng và chỉ sau đó - số cột. Chúng tôi vừa tách ra một ma trận hai nhân ba.

Nếu số hàng và số cột của ma trận bằng nhau thì ma trận được gọi là Quảng trường, Ví dụ: - ma trận ba nhân ba.

Nếu ma trận có một cột hoặc một hàng, thì các ma trận như vậy cũng được gọi là vectơ.

Trên thực tế, chúng ta đã biết khái niệm ma trận từ khi còn đi học, chẳng hạn, hãy xem xét một điểm có tọa độ "x" và "trò chơi":. Về cơ bản, tọa độ của một điểm được viết trong ma trận một x hai. Nhân tiện, đây là một ví dụ cho bạn tại sao thứ tự của các con số lại quan trọng: và là hai điểm hoàn toàn khác nhau của mặt phẳng.

Bây giờ chúng ta hãy trực tiếp đi vào nghiên cứu hành động với ma trận:

1) Hành động đầu tiên. Xóa số trừ khỏi ma trận (thêm số trừ vào ma trận).

Quay lại ma trận của chúng tôi ... Như bạn có thể nhận thấy, có quá nhiều số âm trong ma trận này. Điều này rất bất tiện từ quan điểm thực hiện các hành động khác nhau với ma trận, thật bất tiện khi viết quá nhiều chi tiết nhỏ, và nó trông xấu xí về mặt thiết kế.

Di chuyển dấu trừ ra ngoài ma trận bằng cách thay đổi dấu của MỖI phần tử ma trận:

Ở mức 0, như bạn hiểu, dấu hiệu không thay đổi, không - nó cũng bằng 0 ở Châu Phi.

Ví dụ ngược lại: ... Nó trông thật xấu xí.

Hãy thêm một số trừ vào ma trận bằng cách thay đổi dấu của MỖI phần tử ma trận:

Chà, hóa ra đẹp hơn nhiều. Và, quan trọng nhất, nó sẽ DỄ DÀNG HƠN khi thực hiện bất kỳ hành động nào với ma trận. Bởi vì có một điềm báo dân gian toán học như vậy: càng nhiều khuyết điểm, càng nhiều nhầm lẫn và sai lầm.

2) Hành động thứ hai. Nhân một ma trận với một số.

Thí dụ:

Thật đơn giản, để nhân một ma trận với một số, bạn cần mỗi phần tử của ma trận được nhân với số đã cho. Trong trường hợp này, ba người đứng đầu.

Một ví dụ hữu ích khác:

- phép nhân ma trận với một phân số

Hãy xem những gì cần làm đầu tiên. KHÔNG CẦN:

Việc nhập một phân số vào ma trận là KHÔNG CẦN THIẾT, thứ nhất, nó chỉ làm phức tạp thêm các thao tác với ma trận và thứ hai, nó gây khó khăn cho giáo viên trong việc kiểm tra lời giải (đặc biệt là nếu - câu trả lời cuối cùng của nhiệm vụ).

Và đặc biệt, KHÔNG CẦN chia mỗi phần tử của ma trận cho trừ đi bảy:

Từ bài báo Toán cho hình nộm hoặc bắt đầu từ đâu, chúng tôi nhớ rằng các phân số thập phân có dấu phẩy trong toán học cao hơn được cố gắng theo mọi cách có thể để tránh.

Điều duy nhất mà mong muốn trong ví dụ này phải làm là đưa một số trừ vào ma trận:

Nhưng nếu TẤT CẢ CÁC các phần tử ma trận chia hết cho 7 không có phần còn lại, thì có thể (và cần thiết!) để phân chia.

Thí dụ:

Trong trường hợp này, bạn có thể và CẦN THIẾT nhân tất cả các phần tử của ma trận với, vì tất cả các số trong ma trận đều chia hết cho 2 không có phần còn lại.

Lưu ý: trong lý thuyết của toán học cao hơn không có khái niệm trường học về "phép chia". Thay vì cụm từ "chia cái này cho cái này", bạn luôn có thể nói "nhân cái này với một phân số." Tức là phép chia là một trường hợp đặc biệt của phép nhân.

3) Hành động thứ ba. Chuyển vị ma trận.

Để chuyển vị một ma trận, bạn cần viết các hàng của nó vào các cột của ma trận đã chuyển vị.

Thí dụ:

Ma trận Transpose

Chỉ có một dòng ở đây và theo quy tắc, nó phải được viết thành một cột:

- ma trận chuyển vị.

Ma trận chuyển vị thường được biểu thị bằng chỉ số trên hoặc dấu gạch ngang ở trên cùng bên phải.

Ví dụ từng bước:

Ma trận Transpose

Đầu tiên, chúng tôi viết lại hàng đầu tiên thành cột đầu tiên:

Sau đó, chúng tôi viết lại dòng thứ hai thành cột thứ hai:

Cuối cùng, chúng tôi viết lại dòng thứ ba thành cột thứ ba:

Sẵn sàng. Nói một cách đại khái, hoán vị có nghĩa là chuyển ma trận sang một phía.

4) Hành động bốn. Tổng (hiệu số) của các ma trận.

Tổng các ma trận là một phép toán đơn giản.
KHÔNG PHẢI TẤT CẢ CÁC CHẾ ĐỘ ĂN CÓ THỂ GẤP. Để thực hiện phép cộng (trừ) các ma trận, điều cần thiết là chúng phải có cùng KÍCH THƯỚC.

Ví dụ, nếu ma trận hai x hai được cho, thì nó chỉ có thể được thêm với ma trận hai nhân hai và không có ma trận nào khác!

Thí dụ:

Thêm ma trận và

Để thêm ma trận, cần thêm các phần tử tương ứng của chúng:

Đối với sự khác biệt của ma trận, quy tắc tương tự, cần phải tìm ra sự khác biệt của các phần tử tương ứng.

Thí dụ:

Tìm sự khác biệt của các ma trận ,

Và làm thế nào để giải quyết ví dụ này dễ dàng hơn để không bị nhầm lẫn? Bạn nên loại bỏ những điểm tối thiểu không cần thiết, vì điều này, chúng tôi thêm một dấu trừ vào ma trận:

Lưu ý: trong lý thuyết của toán học cao hơn không có khái niệm trường học về "phép trừ". Thay vì nói "trừ số này cho số này", bạn luôn có thể nói "thêm một số âm vào số này". Tức là phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng.

5) Hành động năm. Phép nhân ma trận.

Những ma trận nào có thể được nhân lên?

Để nhân ma trận với ma trận, bạn cần sao cho số cột của ma trận bằng số hàng của ma trận.

Thí dụ:
Có thể nhân một ma trận với một ma trận không?

Điều này có nghĩa là bạn có thể nhân các ma trận này.

Nhưng nếu các ma trận được sắp xếp lại, thì, trong trường hợp này, phép nhân đã không thể thực hiện được!

Do đó, không thể thực hiện phép nhân:

Không hiếm trường hợp các nhiệm vụ với một mẹo nhỏ gặp phải khi học sinh được yêu cầu nhân ma trận, việc nhân ma trận rõ ràng là không thể.

Cần lưu ý rằng trong một số trường hợp có thể nhân ma trận theo một trong hai cách.
Ví dụ, đối với ma trận, và cả phép nhân và phép nhân đều có thể