Trang Chủ-Cách mở tệp-Giải hệ phương trình đại số tuyến tính trong Excel. Giải hệ phương trình trong Excel bằng phương pháp Cramer và ma trận nghịch đảo

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính trong Excel. Giải hệ phương trình trong Excel bằng phương pháp Cramer và ma trận nghịch đảo

RKhTU chúng. D. B. Mendeleev Khoa PCM Hướng dẫn phương pháp học Excel

Hoạt động ma trận trongExcel

Như với số, một số phép toán có thể được thực hiện trên ma trận và trong trường hợp ma trận, một số phép toán là cụ thể.

    Transpose.

Ma trận (A T) được gọi là chuyển vị, trong đó các cột của ma trận ban đầu (A) được thay thế bằng các hàng có số tương ứng.

Thí dụ... Cho ma trận 2x5 được nhập vào phạm vi ô A1: E2. Bạn cần có một ma trận chuyển vị.

    Khi nhấn nút bên trái, hãy chọn khối ô nơi chứa ma trận chuyển vị. Trong ví dụ của chúng tôi, một khối 5x2 trong phạm vi A4: B8.

    Tiêu chuẩnchèn hàm.

    Trình hướng dẫn hàm trong lĩnh vực làm việc Loại lựa chọn Tham chiếu và mảng, và trong khu vực làm việc Hàm số- tên của hàm TRASP (Hình 1)

hình 1

    Di chuyển hộp thoại TRASP xuất hiện bằng chuột ra khỏi ma trận ban đầu và nhập phạm vi của ma trận ban đầu A1: E2 vào trường làm việc Mảng(bằng con trỏ chuột khi nhấn nút bên trái). Sau đó, không cần nhấn nút OK, nhấn tổ hợp phím CTRL + SHIFT + ENTER (Hình 2)

    Nếu ma trận chuyển vị không xuất hiện trong phạm vi được chỉ định A4: B8, hãy nhấp bằng con trỏ chuột trong thanh công thức và lặp lại nhấn CTRL + SHIFT + ENTER.

Kết quả là, một ma trận chuyển vị sẽ xuất hiện trong phạm vi A4: B8.

Hình 2

    Tính định thức của ma trận

Cho ma trận được nhập vào dãy A1: C3. Cần tính toán xác định của ma trận

    Ví dụ: đặt con trỏ bảng vào ô mà bạn muốn lấy giá trị của định thức. Trong A4.

    Nhấp vào thanh công cụ Tiêu chuẩn cái nút Chèn một hàm

    Trong hộp thoại xuất hiện Trình hướng dẫn hàm trong lĩnh vực làm việc Thể loại lựa chọn Toán học, và trong lĩnh vực làm việc Hàm số- tên của hàm MOPRED. Sau đó bấm vào nút OK.

    Di chuyển hộp thoại MOPRED xuất hiện bằng chuột ra khỏi ma trận ban đầu và nhập phạm vi của ma trận ban đầu A1: C3 vào trường làm việc Mảng(bằng con trỏ chuột khi nhấn nút bên trái). Sau đó nhấn nút OK.

Giá trị của định thức ma trận sẽ xuất hiện trong ô A4.

    Tìm ma trận nghịch đảo

Cho ma trận được nhập vào dãy A1: C3. Cần phải thu được ma trận nghịch đảo trong phạm vi A5: C7.

    Chọn một khối ô cho ma trận nghịch đảo (trong ví dụ của chúng tôi là A5: C7)

    Nhấp vào thanh công cụ Tiêu chuẩn cái nút Chèn một hàm

    Trong hộp thoại xuất hiện Trình hướng dẫn hàm trong lĩnh vực làm việc Thể loại lựa chọn Toán học, và trong lĩnh vực làm việc Hàm số- tên của hàm MOBR. Sau đó bấm vào nút OK.

    Di chuyển hộp thoại MOBRM xuất hiện bằng chuột ra khỏi ma trận ban đầu và nhập phạm vi của ma trận ban đầu A1: C3 vào trường làm việc Mảng(bằng con trỏ chuột khi nhấn nút bên trái). Sau đó, không cần nhấn nút OK, nhấn tổ hợp phím CTRL + SHIFT + ENTER

    Nếu ma trận nghịch đảo không xuất hiện trong phạm vi được chỉ định A1: C3, hãy nhấp vào con trỏ chuột trong thanh công thức và lặp lại nhấn các phím CTRL + SHIFT + ENTER.

Kết quả là, một ma trận nghịch đảo sẽ xuất hiện trong phạm vi A1: C3.

    Phép cộng và phép trừ ma trận, phép nhân và phép chia ma trận với một số

Thí dụ. Cho ma trận A được nhập vào phạm vi A1: C2 và ma trận B - vào phạm vi A4: C5. Cần tìm ma trận C, là tổng của chúng, trong khoảng E1: G2.

    Đặt con trỏ bảng ở góc trên bên trái của ma trận kết quả - ô E1.

    Nhập công thức tính phần tử đầu tiên của ma trận kết quả = A1 + A4 (đặt trước bố cục bàn phím tiếng Anh)

    Sao chép công thức đã nhập vào phần còn lại của các ô của ma trận kết quả.

Kết quả là một ma trận sẽ xuất hiện trong các ô E1: G2, bằng tổng của các ma trận ban đầu.

Hiệu số của các ma trận được tính theo cách tương tự, chỉ khác ở công thức thay vì dấu + thì người ta đặt dấu -.

Nếu cần nhân (chia) ma trận A với số k thì công thức sẽ có dạng = A1 * k.

Hình 3

Phép nhân ma trận

Tích của hai ma trận được xác định nếu số cột của ma trận thứ nhất của tích bằng số hàng của ma trận thứ hai của tích.

Thí dụ... Cho ma trận được nhập trong phạm vi A1: D3 và ma trận B - trong phạm vi A4: B7. Cần tìm tích của các ma trận này C = Ax B.

    Chọn một khối ô bằng con trỏ chuột trong khi giữ nút bên trái dưới ma trận kết quả. Nếu ma trận A có kích thước 3 x 4 và ma trận B có kích thước 4 x 3, thì ma trận kết quả C có kích thước 3 x 3. Do đó, bạn nên cẩn thận rằng kích thước của ma trận C chính xác tương ứng với định nghĩa của tích của hai ma trận. Cho ma trận C nằm trong khoảng F1: G3.

    Nhấp vào thanh công cụ Tiêu chuẩn cái nút Chèn một hàm

    Trong hộp thoại xuất hiện Trình hướng dẫn hàm trong lĩnh vực làm việc Thể loại lựa chọn Toán học, và trong lĩnh vực làm việc Hàm số- tên của hàm MUM. Sau đó bấm vào nút OK.

    Di chuyển hộp thoại MULTIPLE xuất hiện bằng chuột ra khỏi ma trận ban đầu và nhập phạm vi của ma trận đầu tiên A1: D3 vào trường làm việc Array1(bằng con trỏ chuột và nhấn nút bên trái), và nhập phạm vi ma trận B - A4: B7 vào trường làm việc Array2... Sau đó, không cần nhấn nút OK, nhấn tổ hợp phím CTRL + SHIFT + ENTER (Hình 3)

Hình 4

    Nếu tích của ma trận không xuất hiện trong phạm vi được chỉ định A1: C3, thì bạn cần nhấp bằng con trỏ chuột vào thanh công thức và lặp lại nhấn tổ hợp phím CTRL + SHIFT + ENTER.

Kết quả là, ma trận nghịch đảo sẽ xuất hiện trong phạm vi F1: G3.

Hãy tính định thức (định thức) của ma trận bằng cách sử dụng hàm MOPRED () hoặc tiếng Anh. MDETERM, phân tách hàng / cột (cho 3 x 3) và theo định nghĩa (lên đến thứ tự 6).

Định thức của ma trận (det) chỉ có thể được tính cho ma trận vuông, tức là trong đó số hàng bằng số cột.

Để tính định thức trong MS EXCEL có một hàm đặc biệt MOPRED (). Trong đối số hàm, bạn phải chỉ định một tham chiếu đến phạm vi ô (mảng) chứa các phần tử của ma trận (xem tệp ví dụ).

Mảng có thể được chỉ định không chỉ dưới dạng khoảng các ô, ví dụ: A7: B8 , nhưng cũng giống như, ví dụ = MOPRED ((5; 4: 3; 2)). Viết bằng cách sử dụng một mảng hằng số cho phép bạn không chỉ định các phần tử trong các ô riêng biệt, mà đặt chúng vào ô cùng với hàm. Trong trường hợp này, mảng được chỉ định từng dòng: ví dụ: đầu tiên dòng đầu tiên 5; 4, sau đó dòng tiếp theo 3; 2 được viết cách nhau bằng dấu hai chấm. Các mục được phân tách bằng dấu chấm phẩy.

Đối với ma trận bậc 2, định thức có thể được tính toán mà không cần sử dụng hàm MOPRED (). Ví dụ, đối với ma trận trên, biểu thức = A7 * B8-B7 * A8 sẽ trả về cùng một kết quả.

Ví dụ: đối với ma trận bậc 3, được đặt trong phạm vi A16: C18 , biểu thức trở nên phức tạp hơn = A16 * (B17 * C18-C17 * B18) -B16 * (A17 * C18-C17 * A18) + C16 * (A17 * B18-B17 * A18)(phân rã chuỗi).

Trong tệp ví dụ cho ma trận 3 x 3, định thức cũng được tính thông qua phân rã cột và quy tắc Sarrus.

Thuộc tính xác định

Bây giờ về một số thuộc tính của định thức (xem tệp ví dụ):

  • Định thức bằng định thức của ma trận ban đầu
  • Nếu trong ma trận tất cả các phần tử của ít nhất một trong các hàng (hoặc cột) bằng 0, thì định thức của ma trận đó bằng 0
  • Nếu chúng ta sắp xếp lại hai hàng (cột) bất kỳ, thì định thức của ma trận kết quả sẽ ngược lại với định thức ban đầu (nghĩa là dấu hiệu sẽ thay đổi)
  • Nếu tất cả các phần tử của một trong các hàng (cột) được nhân với cùng một số k, thì định thức của ma trận kết quả sẽ là bằng với định thức của ma trận ban đầu nhân với k
  • Nếu ma trận chứa các hàng (cột) là sự kết hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác, thì định thức = 0
  • det (A) = 1 / det (A -1), trong đó A -1 là ma trận A (A là ma trận vuông không sinh).


Tính toán định thức của ma trận theo định nghĩa (lên đến bậc 6 bao gồm)

LỜI KHUYÊN: Phần này chỉ nên được đọc bởi những người dùng MS EXCEL nâng cao. Ngoài ra, tài liệu chỉ mang tính học thuật, vì có một hàm MOPRED ().

Như hình trên, có những công thức và quy tắc tính ma trận bậc 2 và bậc 3 khá đơn giản. Để tính toán yếu tố quyết định của ma trận bậc cao (mà không sử dụng hàm MOPRED ()), bạn sẽ phải nhớ lại định nghĩa:

Định thức của ma trận vuông bậc n x n là tổng chứa n! điều khoản (= FACTR (n)). Mỗi số hạng là một tích của n phần tử của ma trận và mỗi tích chứa một phần tử từ mỗi hàng và từ mỗi cột của ma trận A. Hệ số (-1) xuất hiện trước số hạng thứ k nếu các phần tử của ma trận A trong tích được sắp xếp theo số hàng và số nghịch đảo trong hoán vị thứ k của tập hợp các cột là số lẻ.

trong đó (α 1, α 2, ..., α n) là một hoán vị của các số từ 1 đến n, N (α 1, α 2, ..., α n) là một số, tổng là tổng có thể các hoán vị bậc n.

Chúng ta hãy cố gắng hiểu định nghĩa khó này bằng cách sử dụng ví dụ về ma trận 3x3.

Đối với ma trận 3 x 3, theo định nghĩa, số hạng là 3! = 6, và mỗi số hạng bao gồm tích của 3 phần tử ma trận. Dưới đây là tất cả 6 số hạng cần thiết để tính định thức của ma trận 3x3:

  • a21 * a12 * a33
  • a21 * a32 * a13
  • a11 * a32 * a23
  • a11 * a22 * a33
  • a31 * a22 * a13
  • a31 * a12 * a23

a21, a12, v.v. là các phần tử của ma trận. Bây giờ chúng ta hãy giải thích cách các chỉ số của các phần tử được hình thành, tức là tại sao, chẳng hạn, có một thuật ngữ a11 * a22 * a33, nhưng không phải là a11 * a22 * a13.

Hãy xem công thức trên (xem định nghĩa). Giả sử rằng chỉ số thứ hai của mỗi phần tử của ma trận (từ 1 đến n) tương ứng với số của cột ma trận (mặc dù đây có thể là số hàng (điều này không quan trọng vì các định thức của ma trận và của nó bằng nhau). Do đó, chỉ số thứ hai của phần tử đầu tiên trong sản phẩm luôn bằng 1, phần tử thứ hai có 2, chỉ số thứ ba có 3. Khi đó, chỉ số đầu tiên của các phần tử tương ứng với số hàng và theo định nghĩa, phải được xác định từ các hoán vị của các số từ 1 đến 3, tức là từ các hoán vị của tập hợp (1, 2, 3).

Bây giờ đã rõ tại sao không có a11 * a22 * a13 trong số các thuật ngữ, vì theo định nghĩa ( mỗi sản phẩm chứa một phần tử từ mỗi hàng và từ mỗi cột của ma trận A), và trong addend của chúng tôi không có phần tử nào từ dòng 3.

Ghi chú: Một hoán vị của n số của một tập hợp (không lặp lại) là bất kỳ thứ tự nào của một tập hợp đã cho, chỉ khác nhau về thứ tự của các phần tử có trong chúng. Ví dụ, cho một bộ 3 số: 1, 2, 3. Có thể tạo ra 6 hoán vị khác nhau từ các số sau: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Xem bài báo

Số hoán vị của bộ 3 số = 3! = 6 (tất nhiên bằng số hạng trong biểu thức để tính định thức, vì mỗi số hạng có một hoán vị riêng). Đối với ma trận 3x3, tất cả các hoán vị được đưa ra trong ghi chú ở trên. Bạn có thể đảm bảo rằng trong mỗi số hạng, chỉ số đầu tiên của các phần tử bằng các số tương ứng trong hoán vị. Ví dụ, đối với thuật ngữ a21 * a12 * a33, hoán vị (2, 1, 3) được sử dụng.

LỜI KHUYÊN: Đối với ma trận bậc 4, có 4! hoán vị, tức là 26, tương ứng với 26 số hạng, mỗi số hạng là tích của 4 phần tử ma trận khác nhau. Tất cả 26 hoán vị có thể được tìm thấy trong bài báo.

Bây giờ chúng ta đã xử lý các điều khoản, chúng ta xác định hệ số ở phía trước mỗi thuật ngữ (nó có thể là +1 hoặc -1). Nhân tử được xác định thông qua tính chẵn của số lần nghịch biến của hoán vị tương ứng.

Ghi chú: Bạn có thể đọc về nghịch đảo của hoán vị (và tính chẵn lẻ của số nghịch đảo), ví dụ, trong bài báo

Ví dụ, số hạng đầu tiên tương ứng với hoán vị (2, 1, 3), trong đó 1 nghịch đảo (số lẻ) và theo đó, -1 với lũy thừa của 1 là -1. Số hạng thứ hai tương ứng với hoán vị (2, 3, 1), trong đó 2 nghịch đảo (một số chẵn) và theo đó, -1 đối với lũy thừa của 2 bằng 1, v.v.

Thêm tất cả các số hạng: (-1) * (a21 * a12 * a33) + (+ 1) * (a21 * a32 * a13) + (- 1) * (a11 * a32 * a23) + (+ 1) * ( a11 * a22 * a33) + (- 1) * (a31 * a22 * a13) + (+ 1) * (a31 * a12 * a23) ta được giá trị của định thức.

V tệp ví dụ trên trang tính 4+, và Bằng cách thay đổi thứ tự của ma trận bằng cách sử dụng, bạn có thể tính toán yếu tố quyết định của ma trận lên đến bậc 6 bao gồm.

Cần lưu ý rằng khi tính toán ma trận bậc 6, 720 số hạng đã được sử dụng trong biểu thức (6!). Đối với đơn hàng thứ 7, cần phải lập một bảng cho 5040 hoán vị và theo đó, tính 5040 số hạng! Những thứ kia. bạn không thể làm mà không sử dụng MOPRED () (tốt, hoặc bạn có thể tính toán định thức theo cách thủ công bằng phương pháp Gaussian).

Phương pháp 1

Xem xét ma trận MỘT kích thước 3x4... Chúng tôi nhân ma trận này với số k... Khi nhân ma trận với một số thì thu được ma trận có cùng thứ nguyên với thứ nguyên, với mỗi phần tử của ma trận MỘT nhân với một số k.

Hãy giới thiệu các phần tử của ma trận vào phạm vi B3: E5 và số k- vào một phòng giam H4... Trong phạm vi K3:n5 tính toán ma trận V thu được bằng cách nhân ma trận MỘT bằng số k: B = A *k... Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu công thức = B3 * $ H $ 4 vào phòng giam K3 , ở đâu TẠI 3- yếu tố một 11 ma trận MỘT.

Ghi chú: địa chỉ ô NS4 chúng ta nhập nó như một liên kết tuyệt đối để khi sao chép công thức, liên kết không thay đổi.

Sử dụng điểm đánh dấu tự động hoàn thành, sao chép công thức ô K3 V.

Như vậy, chúng ta đã nhân ma trận MỘT trong Excel và lấy ma trận V.

Để chia một ma trận MỘT bởi số k trong một ô K3 chúng tôi giới thiệu công thức = B3 / $ H $ 4 V.

Phương pháp 2

Phương pháp này khác ở chỗ kết quả của phép nhân / chia ma trận với một số chính nó là một mảng. Trong trường hợp này, bạn không thể xóa phần tử mảng.

Để chia ma trận cho một số theo cách này, hãy chọn phạm vi mà kết quả sẽ được tính, nhập dấu "=", chọn phạm vi chứa ma trận ban đầu A, nhấn dấu nhân (*) trên bàn phím và chọn ô có số k Ctrl +Shift +Vào


Để thực hiện phép chia trong ví dụ này, vào phạm vi, hãy nhập công thức = B3: E5 / H4, tức là dấu "*" được đổi thành "/".

Cộng và trừ ma trận trong Excel

Phương pháp 1

Cần lưu ý rằng các ma trận có cùng thứ nguyên có thể được cộng và trừ (cùng số hàng và số cột cho mỗi ma trận). Hơn nữa, mỗi phần tử của ma trận kết quả VỚI sẽ bằng tổng các phần tử tương ứng của ma trận MỘT và V, I E. với ij =và tôi + NSij.

Xem xét các ma trận MỘT và V kích thước 3x4... Hãy tính tổng của các ma trận này. Để làm điều này, trong ô n3 chúng tôi giới thiệu công thức = B3 + H3, ở đâu B3 và H3- các phần tử đầu tiên của ma trận MỘT và V tương ứng. Trong trường hợp này, công thức chứa các tham chiếu tương đối ( TẠI 3 và NS3 ) để khi sao chép công thức vào toàn bộ phạm vi của ma trận VỚI họ có thể thay đổi.

Sử dụng điểm đánh dấu tự động hoàn thành, sao chép công thức từ ô n3 xuống dưới và sang phải cho toàn bộ phạm vi của ma trận VỚI.

Để trừ một ma trận V từ ma trận MỘT (C = A - B) vào ô n3 chúng tôi giới thiệu công thức = B3 - H3 và sao chép nó vào toàn bộ phạm vi của ma trận VỚI.

Phương pháp 2

Phương pháp này khác ở chỗ kết quả của phép cộng / trừ ma trận chính nó là một mảng. Trong trường hợp này, bạn không thể xóa phần tử mảng.

Để chia ma trận cho một số theo cách này, hãy chọn phạm vi mà kết quả sẽ được tính, nhập dấu "=", chọn phạm vi chứa ma trận đầu tiên MỘT, nhấn dấu cộng (+) trên bàn phím và chọn ma trận thứ hai V... Sau khi nhập công thức, hãy nhấn phím tắt Ctrl +Shift +Vàođể điền vào toàn bộ phạm vi với các giá trị.

Phép nhân ma trận trong Excel

Cần lưu ý rằng ma trận chỉ có thể được nhân lên nếu số cột của ma trận đầu tiên là MỘT bằng số hàng của ma trận thứ hai V.

Xem xét các ma trận MỘT kích thước 3x4 và V kích thước 4x2... Khi các ma trận này được nhân lên, bạn sẽ nhận được ma trận VỚI kích thước 3x2.

Chúng tôi tính tích của các ma trận này C = A * B sử dụng chức năng tích hợp sẵn = MULTIPLE ()... Để làm điều này, hãy chọn phạm vi L3: NS5 - các phần tử ma trận sẽ nằm trong đó VỚI thu được là kết quả của phép nhân. Trong tab Công thức lựa chọn Chèn chức năng.

Trong hộp thoại Chèn hàm số chọn danh mục Toán học- hàm số MOMNOZH — VÂNG.

Trong hộp thoại Đối số hàm chọn phạm vi chứa ma trận MỘT và V... Để thực hiện việc này, trước array1, hãy nhấp vào mũi tên màu đỏ.

MỘT(tên của phạm vi sẽ xuất hiện trong dòng đối số) và nhấp vào mũi tên màu đỏ.

Hãy làm tương tự cho array2. Bấm vào mũi tên đối diện với mảng 2.

Chọn phạm vi chứa các phần tử của ma trận V và nhấp vào mũi tên màu đỏ.

Trong hộp thoại, bên cạnh các dòng đầu vào của phạm vi ma trận, các phần tử ma trận sẽ xuất hiện và ở dưới cùng - các phần tử ma trận VỚI... Sau khi nhập các giá trị, nhấn tổ hợp phím trên bàn phím Sự thay đổi+ Điều khiển VÂNG.

QUAN TRỌNG. Nếu bạn chỉ cần nhấn VÂNG VỚI.

Chúng tôi nhận được kết quả của phép nhân ma trận MỘT và V.

Chúng ta có thể thay đổi giá trị của ô ma trận MỘT và V, các giá trị của ma trận VỚI sẽ tự động thay đổi.

Chuyển đổi ma trận trong Excel

Chuyển vị ma trận là một phép toán trên ma trận, trong đó các cột được thay thế bằng các hàng có số tương ứng. Chúng tôi biểu thị ma trận chuyển vị TẠI.

Cho một ma trận MỘT kích thước 3x4, sử dụng chức năng = TRANSPOSE () tính toán ma trận chuyển vị TẠI và kích thước của ma trận này sẽ là 4x3.

Chọn phạm vi H3:NS6 , trong đó các giá trị của ma trận chuyển vị sẽ được nhập vào.

Trong tab Công thức lựa chọn Chèn chức năng, Chọn một danh mục Tham chiếu và mảng- hàm số VẬN CHUYỂN — VÂNG.

Trong hộp thoại Đối số hàm chỉ định phạm vi của mảng B3: E5 MỘT Sự thay đổi+ Điều khiển và nhấp chuột trái vào nút VÂNG.

QUAN TRỌNG. Nếu bạn chỉ cần nhấn VÂNG, sau đó chương trình sẽ tính giá trị của chỉ ô đầu tiên của phạm vi ma trận TẠI.

Bấm để phóng to

Chúng tôi có một ma trận chuyển vị.

Tìm nghịch đảo của ma trận trong Excel

Ma trận A -1được gọi là nghịch đảo của ma trận MỘT, nếu như MỘTž A -1 = A -1ž A = E, ở đâu E Là ma trận nhận dạng. Cần lưu ý rằng nghịch đảo của ma trận chỉ có thể được tìm thấy đối với một ma trận vuông (cùng số hàng và số cột).

Cho một ma trận MỘT kích thước 3x3, tìm ma trận nghịch đảo cho nó bằng cách sử dụng hàm = MOBR ().

Để làm điều này, hãy chọn phạm vi NS3: tôi5 , sẽ chứa các phần tử của ma trận nghịch đảo, trong tab Công thức lựa chọn Chèn chức năng.

Trong hộp thoại Chèn hàm số Chọn một danh mục Toán học- hàm số MOBR — VÂNG.

Trong hộp thoại Đối số hàm chỉ định phạm vi của mảng TẠI 3:NS5 chứa các phần tử của ma trận MỘT... Nhấn phím tắt Sự thay đổi+ Điều khiển và nhấp chuột trái vào nút VÂNG.

QUAN TRỌNG. Nếu bạn chỉ cần nhấn VÂNG, sau đó chương trình sẽ tính giá trị của chỉ ô đầu tiên của phạm vi ma trận A -1.

Bấm để phóng to

Chúng tôi có một ma trận nghịch đảo.

Tìm định thức của ma trận trong Excel

Định thức của ma trận là một số là một đặc trưng quan trọng của ma trận vuông.

Cách tìm ma trận xác định trong Excel

Cho một ma trận MỘT kích thước 3x3, tính toán định thức cho nó bằng cách sử dụng hàm = MOPRED ().

Để làm điều này, hãy chọn ô H4, nó sẽ tính toán yếu tố quyết định của ma trận, trên tab Công thức lựa chọn Chèn chức năng.

Trong hộp thoại Chèn hàm số Chọn một danh mục Toán học- hàm số MOPRED — VÂNG.

Trong hộp thoại Đối số hàm chỉ định phạm vi của mảng TẠI 3:NS5 chứa các phần tử của ma trận MỘT... Xô VÂNG.

Bấm để phóng to

Chúng tôi đã tính toán yếu tố quyết định của ma trận MỘT.

Tóm lại, chúng ta hãy chú ý đến một điểm quan trọng. Nó liên quan đến các phép toán trên ma trận mà chúng tôi đã sử dụng các hàm tích hợp của chương trình và kết quả là chúng tôi có một ma trận mới (phép nhân ma trận, tìm ma trận nghịch đảo và chuyển vị). Trong ma trận, là kết quả của phép toán, bạn không thể loại bỏ một số phần tử. Những thứ kia. nếu chúng ta chọn, ví dụ, một phần tử của ma trận và nhấn Del, sau đó chương trình sẽ đưa ra cảnh báo: Không thể thay đổi một phần của mảng.

Bấm để phóng to

Chúng ta chỉ có thể loại bỏ tất cả các phần tử của ma trận này.

Video hướng dẫn

Giáo viên Vật lý, Tin học và Công nghệ thông tin, MCOU "SOSH", tr. Savolenka, Quận Yukhnovsky, Vùng Kaluga. Tác giả và giáo viên của các khóa học từ xa về kiến ​​thức cơ bản của trình độ tin học, các chương trình văn phòng. Tác giả của các bài báo, video hướng dẫn và phát triển.

Một trong những phép toán thường xuyên được thực hiện khi làm việc với ma trận là phép nhân một trong số chúng với một ma trận khác. Excel là một bộ xử lý bảng tính mạnh mẽ, cũng được thiết kế để hoạt động với ma trận. Do đó, anh ấy có những công cụ cho phép bạn nhân chúng với nhau. Chúng ta hãy tìm hiểu làm thế nào điều này có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau.

Phải nói ngay rằng không phải tất cả các ma trận đều có thể nhân với nhau, mà chỉ những ma trận thỏa mãn một điều kiện nào đó: số cột của một ma trận phải bằng số hàng của ma trận kia và ngược lại. Ngoài ra, sự hiện diện của các phần tử trống trong ma trận bị loại trừ. Trong trường hợp này, hoạt động được yêu cầu cũng sẽ không thành công.

Vẫn không có quá nhiều cách để nhân ma trận trong Excel - chỉ có hai cách. Và cả hai đều liên quan đến việc sử dụng các hàm Excel tích hợp sẵn. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn từng tùy chọn này.

Phương pháp 1: hàm MULTIPLE

Tùy chọn đơn giản và phổ biến nhất của người dùng là sử dụng hàm MOMNOZH... Nhà điều hành MOMNOZHđề cập đến nhóm toán học của các chức năng. Nhiệm vụ trước mắt của nó là tìm tích của hai mảng ma trận. Cú pháp MOMNOZH trông như thế này:

MOUNT (array1, array2)

Do đó, toán tử này có hai đối số, là tham chiếu đến phạm vi của hai ma trận được nhân.

Bây giờ chúng ta hãy xem hàm được sử dụng như thế nào MOMNOZH với một ví dụ cụ thể. Có hai ma trận, số hàng trong một ma trận tương ứng với số cột trong ma trận kia và ngược lại. Chúng ta cần nhân hai yếu tố này.


Phương pháp 2: sử dụng công thức hợp chất

Ngoài ra, có một cách khác để nhân hai ma trận. Nó phức tạp hơn cái trước, nhưng nó cũng đáng được nhắc đến như một giải pháp thay thế. Phương thức này giả định việc sử dụng công thức mảng tổng hợp, công thức này sẽ bao gồm hàm GIỚI THIỆU và toán tử lồng trong nó như một đối số VẬN CHUYỂN.

  1. Lần này, chỉ chọn trên trang tính phần tử phía trên bên trái của mảng các ô trống mà chúng ta muốn sử dụng để hiển thị kết quả. Bấm vào biểu tượng "Chèn chức năng".

  2. Trình hướng dẫn hàm khởi nghiệp. Chuyển đến khối các toán tử "Toán học", nhưng lần này chúng tôi chọn tên GIỚI THIỆU... Nhấn nút "VÂNG".

  3. Cửa sổ đối số cho hàm trên được mở. Toán tử này dùng để nhân các mảng khác nhau với nhau. Cú pháp của nó như sau:

    SUMPRODUCT (array1; array2; ...)

    Là đối số từ nhóm "Mảng" tham chiếu đến một phạm vi cụ thể được sử dụng cần được nhân lên. Tổng số từ hai đến 255 đối số như vậy có thể được sử dụng. Nhưng trong trường hợp của chúng ta, vì chúng ta đang xử lý hai ma trận, chúng ta chỉ cần hai đối số.

    Chúng tôi đặt con trỏ vào trường "Mảng 1"... Ở đây chúng ta sẽ cần nhập địa chỉ của hàng đầu tiên của ma trận đầu tiên. Để làm điều này, nhấn giữ chuột trái, bạn chỉ cần chọn nó trên trang tính bằng con trỏ. Tọa độ của phạm vi này sẽ được hiển thị trong trường tương ứng của cửa sổ đối số. Sau đó, tọa độ của liên kết kết quả phải được cố định trong các cột, tức là, các tọa độ này phải được đặt là tuyệt đối. Để thực hiện việc này, trước các chữ cái trong biểu thức được ghi trong trường, hãy đặt dấu đô la ( $ ). Điều này không nên được thực hiện trước khi tọa độ được hiển thị bằng số (dòng). Ngoài ra, thay vào đó, bạn có thể chọn toàn bộ biểu thức trong trường và nhấn phím chức năng ba lần F4... Trong trường hợp này, chỉ tọa độ của các cột cũng sẽ trở thành tuyệt đối.

  4. Sau đó, chúng tôi đặt con trỏ vào trường "Mảng 2"... Sẽ khó hơn với lập luận này, vì theo quy tắc nhân ma trận, ma trận thứ hai phải được "lật". Để làm điều này, chúng tôi sử dụng hàm lồng nhau VẬN CHUYỂN.

    Để chuyển đến nó, hãy nhấp vào biểu tượng có dạng hình tam giác với góc nhọn hướng xuống, nằm ở bên trái của thanh công thức. Danh sách các công thức được sử dụng gần đây sẽ mở ra. Nếu bạn tìm thấy trong đó tên "VẬN CHUYỂN", sau đó nhấp vào nó. Nếu bạn đã sử dụng toán tử này trong một thời gian dài hoặc chưa bao giờ sử dụng nó, thì bạn sẽ không tìm thấy tên được chỉ định trong danh sách này. Trong trường hợp này, bạn cần nhấp vào mục "Cac chưc năng khac ...".

  5. Cửa sổ quen thuộc sẽ mở ra Trình hướng dẫn chức năng... Lần này chúng tôi chuyển sang danh mục "Tham chiếu và Mảng" và chọn một cái tên "VẬN CHUYỂN"... Nhấn nút "VÂNG".

  6. Cửa sổ đối số hàm được khởi chạy VẬN CHUYỂN... Toán tử này nhằm chuyển đổi các bảng. Đó là, nói một cách đơn giản, nó hoán đổi các cột và các hàng. Đây là những gì chúng ta cần làm cho đối số thứ hai của toán tử GIỚI THIỆU... Cú pháp hàm VẬN CHUYỂN cực kỳ đơn giản:

    TRANSPOSE (mảng)

    Đó là, đối số duy nhất của toán tử này là một tham chiếu đến mảng cần được "lật". Đúng hơn, trong trường hợp của chúng ta, không phải đối với toàn bộ mảng mà chỉ đối với cột đầu tiên của nó.

    Vì vậy, chúng tôi đặt con trỏ vào trường "Mảng" và chọn cột đầu tiên của ma trận thứ hai trên trang tính bằng cách nhấn nút chuột trái. Địa chỉ sẽ được hiển thị trong trường. Như trong trường hợp trước, ở đây bạn cũng cần tạo một số tọa độ tuyệt đối, nhưng lần này không phải tọa độ của các cột mà là địa chỉ của các hàng. Do đó, chúng tôi đặt một ký hiệu đô la phía trước các số trong liên kết được hiển thị trong trường. Bạn cũng có thể chọn toàn bộ biểu thức và nhấp đúp vào phím F4... Sau khi các phần tử cần thiết đã trở thành thuộc tính tuyệt đối, không bấm vào nút "VÂNG", cũng như trong phương pháp trước, chúng tôi áp dụng tổ hợp phím Ctrl + Shift + Enter.

  7. Nhưng lần này, không phải một mảng đã được lấp đầy, mà chỉ có một ô, mà trước đó chúng tôi đã chọn khi gọi Trình hướng dẫn chức năng.

  8. Chúng ta cần điền vào một mảng có cùng kích thước với dữ liệu như trong phương thức đầu tiên. Để thực hiện việc này, hãy sao chép công thức thu được trong ô vào một phạm vi tương đương, phạm vi này sẽ bằng số hàng của ma trận đầu tiên và số cột của ma trận thứ hai. Trong trường hợp cụ thể của chúng tôi, chúng tôi nhận được ba hàng và ba cột.

    Để sao chép, chúng tôi sẽ sử dụng bút đánh dấu. Di con trỏ qua góc dưới bên phải của ô chứa công thức. Con trỏ biến thành một chữ thập đen. Đây là điểm đánh dấu điền. Nhấn giữ chuột trái và kéo con trỏ trên toàn bộ phạm vi trên. Ô bắt đầu có công thức sẽ trở thành phần tử trên cùng bên trái của mảng này.

  9. Như bạn có thể thấy, phạm vi đã chọn chứa đầy dữ liệu. Nếu chúng ta so sánh chúng với kết quả mà chúng ta nhận được nhờ sử dụng toán tử MOMNOZH, chúng ta sẽ thấy rằng các giá trị là hoàn toàn giống nhau. Điều này có nghĩa là phép nhân hai ma trận là đúng.

Như bạn có thể thấy, mặc dù thực tế đã thu được kết quả tương đương, hãy sử dụng hàm để nhân ma trận MOMNOZH dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng cho các mục đích giống nhau, một công thức ghép của các toán tử GIỚI THIỆU và VẬN CHUYỂN... Nhưng vẫn không thể bỏ qua tùy chọn thay thế này khi nghiên cứu tất cả các khả năng của phép nhân ma trận trong Microsoft Excel.

Tính các giá trị của nghiệm nguyên của hệ phương trình đã lập bằng hai phương pháp: ma trận nghịch đảo và phương pháp Cramer.

Hãy nhập các giá trị này vào ô A2: C4 - ma trận A và ô D2: D4 - ma trận B.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận nghịch đảo

Tìm ma trận nghịch đảo A. Để làm điều này, trong ô A9, nhập công thức = MOBR (A2: C4). Sau đó, chọn phạm vi A9: C11, bắt đầu bằng ô chứa công thức. Nhấn phím F2 rồi nhấn tổ hợp phím CTRL + SHIFT + ENTER. Công thức được chèn dưới dạng công thức mảng. = MOBR (A2: C4).
Tìm tích của các ma trận A-1 * b. Trong các ô F9: F11, nhập công thức: = MULTIPLE (A9: C11; D2: D4) làm công thức mảng. Chúng tôi nhận được trong các ô F9: F11 gốc của phương trình:


Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer

Chúng tôi giải hệ thống bằng phương pháp Cramer, vì điều này, chúng tôi tìm ra yếu tố quyết định của ma trận.
Hãy để chúng tôi tìm các định thức của ma trận thu được bằng cách thay thế một cột bằng cột b.

Trong ô B16, nhập công thức = MOPRED (D15: F17),

Trong ô B17, nhập công thức = MOPRED (D19: F21).

Trong ô B18, nhập công thức = MOPRED (D23: F25).

Hãy tìm gốc của phương trình, đối với điều này, chúng tôi nhập vào ô B21: = B16 / $ B $ 15, trong ô B22, chúng tôi nhập: = = B17 / $ B $ 15, trong ô B23 chúng tôi nhập: == B18 / $ B $ 15.

Chúng tôi nhận được nghiệm gốc của phương trình:

Các ấn phẩm tương tự: