Phương pháp Gaussian trực tuyến. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Jordan-Gauss

Nó được viết dưới dạng một ma trận mở rộng, tức là trong cột các thuật ngữ tự do được đặt trong một ma trận với các hệ số của ẩn số. Thuật toán bao gồm việc rút gọn ma trận ban đầu, đặc trưng của hệ phương trình tuyến tính, thành ma trận đơn vị thông qua các phép biến đổi tương đương (nhân một hàng ma trận với một hằng số và cộng với một hàng ma trận khác). 1/a[i][i] được sử dụng như một hằng số, tức là nghịch đảo của phần tử đường chéo. Đương nhiên, trong một số trường hợp, các vấn đề phát sinh liên quan đến việc chia cho 0, được giải quyết bằng cách sắp xếp lại các hàng và cột:

Toàn bộ thuật toán có thể được biểu diễn trong 10 điểm:

Chúng ta chọn hàng đầu tiên của ma trận làm hàng tham chiếu.

Nếu một phần tử của hàng tham chiếu, chỉ số của nó bằng số của hàng tham chiếu, bằng 0, thì chúng ta thay đổi toàn bộ hàng tham chiếu thành hàng đầu tiên từ dưới lên, cột không có số 0 .

Chúng tôi chia tất cả các phần tử của hàng tham chiếu cho phần tử khác 0 đầu tiên của hàng này tính từ bên trái.

Từ các hàng còn lại bên dưới, hàng tham chiếu được trừ đi, nhân với phần tử có chỉ số bằng số của hàng tham chiếu.

Chọn dòng sau làm dòng tham chiếu.

Lặp lại các bước 2 – 5 cho đến khi số dòng tham chiếu vượt quá số dòng.

Chúng tôi chọn dòng cuối cùng làm dòng tham chiếu.

Trừ mỗi dòng phía trên dòng tham chiếu, nhân với phần tử của dòng này có chỉ số bằng số của dòng tham chiếu.

Chọn dòng trên làm dòng tham chiếu.

Lặp lại 8 - 9 cho đến khi số dòng tham chiếu nhỏ hơn số dòng đầu tiên.

Ví dụ tính toán 1

Cho hệ phương trình:

Viết ma trận mở rộng của hệ:

và thực hiện các phép biến đổi cơ bản của chuỗi của nó.

Để làm điều này, hãy nhân dòng đầu tiên với 1 và trừ đi dòng thứ hai; sau đó nhân dòng đầu tiên với 2 và trừ đi dòng thứ ba.

Kết quả là chúng ta sẽ loại bỏ biếnx 1 từ tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên. Chúng tôi nhận được:

Bây giờ trừ dòng 3 dòng 2 nhân với 3:

Bây giờ chúng ta trừ từ dòng 1 dòng 3 đầu tiên và sau đó là dòng 2:

Sau khi biến đổi ta thu được hệ phương trình:

Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm:

x1 = 1, x2 = 3, x3 = -1

Ví dụ tính toán 2

Ví dụ, chúng ta hãy giải hệ phương trình được trình bày dưới dạng ma trận (Bảng 1) bằng phương pháp Gauss–Jordan.

Chia hàng đầu tiên cho 3 (phần tử của hàng đầu tiên nằm trên đường chéo chính), chúng ta nhận được:

Nhân dòng đầu tiên với 1 và trừ đi dòng thứ hai. Nhân dòng đầu tiên với 6 và trừ đi dòng thứ ba. Chúng tôi nhận được:

Trong cột đầu tiên, tất cả các phần tử ngoại trừ đường chéo đều bằng 0, hãy quan tâm đến cột thứ hai, vì điều này chúng ta chọn hàng thứ hai làm hàng tham chiếu. Thứ hai Chia cho 17/3:

Nhân dòng 2 với -6 và trừ đi dòng thứ ba:

Bây giờ dòng thứ ba là dòng hỗ trợ, chia nó cho-33/17:

Chúng tôi nhân đường tham chiếu với 3/17 và trừ nó khỏi giây. Nhân dòng thứ ba với 1 và trừ nó với dòng đầu tiên

Ta thu được ma trận tam giác, thuật toán đảo ngược(trong thời gian đó chúng tôi nhận được ma trận nhận dạng). Dòng thứ hai trở thành dòng tham chiếu. Nhân dòng thứ ba với 4/3 và trừ nó khỏi dòng đầu tiên:

Cột cuối cùng của ma trận là nghiệm của hệ phương trình.

Chúng ta hãy liên kết từng hệ phương trình tuyến tính với ma trận mở rộng, thu được bằng cách thêm vào ma trận MỘT cột thành viên miễn phí:

Phương pháp Jordan–Gauss dùng để giải hệ tôi phương trình tuyến tính với N các loại chưa biết:

Phương pháp này bao gồm thực tế là, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình được rút gọn thành một hệ phương trình tương đương với ma trận thuộc một loại nhất định.

Chúng ta thực hiện các phép biến đổi cơ bản sau trên các hàng của ma trận mở rộng:

1. sắp xếp lại hai chuỗi;

2. nhân một chuỗi với bất kỳ số nào khác 0;

3. thêm vào một chuỗi một chuỗi khác nhân với một số nhất định;

4. loại bỏ một hàng (cột) bằng 0.

Ví dụ 2.11. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Jordan–Gauss:

MỘT) X 1 + X 2 + 2X 3 = -1

2X 1 - X 2 + 2X 3 = -4

4X 1 + X 2 + 4X 3 = -2

Giải pháp: Hãy tạo một ma trận mở rộng:

Lặp lại 1

Chọn phần tử làm phần tử hướng dẫn. Hãy chuyển đổi cột đầu tiên thành một cột duy nhất. Để thực hiện việc này, hãy thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ hai và dòng thứ ba, nhân tương ứng với (-2) và (-4). Chúng tôi nhận được ma trận:

Điều này hoàn thành lần lặp đầu tiên.

Lặp lại 2

Chọn một phần tử hướng dẫn. Vì , chúng ta chia dòng thứ hai cho -3. Sau đó, chúng ta nhân dòng thứ hai lần lượt với (-1) và 3 rồi cộng nó với dòng thứ nhất và dòng thứ ba tương ứng. Hãy lấy ma trận

Lặp lại 3

Chọn một phần tử hướng dẫn. Vì , chúng ta chia dòng thứ ba cho (-2). Hãy chuyển đổi cột thứ ba thành đơn vị. Để thực hiện việc này, hãy nhân dòng thứ ba với (-4/3) và (-2/3) tương ứng rồi cộng nó với dòng thứ nhất và dòng thứ hai tương ứng. Hãy lấy ma trận

Ở đâu X 1 = 1, X 2 = 2, X 3 = -2.

Sau khi hoàn thành lời giải, ở giai đoạn huấn luyện cần thực hiện kiểm tra bằng cách thay thế các giá trị tìm được vào hệ thống ban đầu, hệ thống này sẽ chuyển thành các đẳng thức chính xác.

b) X 1 – X 2 + X 3 – X 4 = 4

X 1 + X 2 + 2X 3 + 3X 4 = 8

2X 1 +4X 2 + 5X 3 +10X 4 = 20

2Х 1 – 4Х 2 + Х 3 – 6Х 4 = 4

Lời giải: Ma trận mở rộng có dạng:

Áp dụng các phép biến đổi cơ bản, ta có:

Hệ phương trình ban đầu tương đương với hệ phương trình sau:

X 1 – 3X 2 – 5X 4 = 0

2X 2 + X 3 + 4X 4 = 4

Hai hàng cuối cùng của ma trận MỘT(2) phụ thuộc tuyến tính.

Sự định nghĩa. Hàng ma trận e 1 , e 2 ,…, ừmđược gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có các số không đồng thời bằng 0, sao cho tổ hợp tuyến tính của các hàng ma trận bằng hàng 0:

Ở đâu 0 =(0, 0…0). Các hàng của ma trận là độc lập tuyến tính, khi sự kết hợp của các hàng này bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số bằng 0.

Trong đại số tuyến tính, khái niệm rất quan trọng thứ hạng ma trận, bởi vì nó đóng một vai trò rất quan trọng trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính.

Định lý 2.3 (về hạng của ma trận). Thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng hoặc cột độc lập tuyến tính của nó, qua đó tất cả các hàng (cột) khác của nó được biểu diễn tuyến tính.

Xếp hạng ma trận MỘT(2) bằng 2, vì trong đó số hàng độc lập tuyến tính tối đa là 2 (đây là hai hàng đầu tiên của ma trận).

Định lý 2.4 (Kronecker–Kapeli). Một hệ phương trình tuyến tính chỉ nhất quán nếu hạng của ma trận của hệ đó bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ đó.

1. Nếu hạng của ma trận của một hệ khớp bằng số lượng biến, tức là r = n thì hệ có nghiệm duy nhất.

2. Nếu thứ hạng của ma trận hệ thống nhỏ hơn số lượng biến, tức là. r< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

Trong trường hợp này, hệ có 4 biến và hạng của nó là 2, do đó, nó có vô số nghiệm.

Sự định nghĩa. Cho phép r< N, r biến x 1 , x 2 ,…, x rđược gọi là nền tảng, nếu định thức của ma trận từ các hệ số của chúng ( thứ yếu cơ bản) khác 0. Nghỉ ngơi n–r các biến được gọi miễn phí.

Sự định nghĩa.Giải pháp hệ thống trong đó mọi thứ n–r các biến tự do bằng 0 được gọi là nền tảng.

Hệ thống khớp tôi phương trình tuyến tính với N biến ( tôi< n ) có vô số nghiệm, trong đó có hữu hạn nghiệm cơ bản không vượt quá , trong đó .

Trong trường hợp của chúng tôi, tức là hệ thống không có quá 6 giải pháp cơ bản.

Giải pháp chung là:

X 1 = 3X 2 + 5X 4

X 3 = 4 – 2X 2 – 4X 4

Hãy tìm giải pháp cơ bản. Để làm điều này, chúng ta giả sử X 2 = 0, X 4 = 0, sau đó X 1 = 0, X 3 = 4. Giải cơ bản có dạng: (0, 0, 4, 0).

Hãy lấy một giải pháp cơ bản khác. Để làm điều này, chúng ta lấy X 3 và X 4 làm ẩn số tự do. Ta biểu diễn ẩn số X 1 và X 2 thông qua ẩn số X 3 và X 4:

X 1 = 6 – 3/2X 2 – X 4

X 2 = 2 – 1/2X 3 – 2X 4.

Khi đó nghiệm cơ bản có dạng: (6, 2, 0, 0).

Ví dụ 2.12. Giải hệ phương trình:

X 1 + 2X 2 – X 3 = 7

2X 1 – 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

Giải pháp: Chuyển đổi ma trận mở rộng của hệ thống

Vì vậy, phương trình tương ứng với hàng thứ ba của ma trận cuối cùng là mâu thuẫn - dẫn đến đẳng thức sai 0 = –1, do đó hệ thống này không nhất quán. Kết luận này cũng có thể rút ra bằng cách lưu ý rằng hạng của ma trận hệ thống là 2, trong khi hạng của ma trận hệ thống mở rộng là 3.

Phương pháp Gauss-Jordan được thiết kế để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE). Nó là một sửa đổi của phương pháp Gauss. Nếu phương pháp Gauss được thực hiện theo hai giai đoạn (tiến và lùi), thì phương pháp Gauss-Jordan cho phép bạn giải hệ thống trong một giai đoạn. Chi tiết và ứng dụng trực tiếp của phương pháp Gauss-Jordan được mô tả trong các ví dụ.

Trong tất cả các ví dụ, $A$ biểu thị ma trận hệ thống, $\widetilde(A)$ biểu thị ma trận hệ thống mở rộng. Bạn có thể đọc về dạng ma trận ghi SLAE.

Ví dụ số 1

Giải SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end(aligned ) \right.$ bằng phương pháp Gauss-Jordan.

Hãy chuyển từ ma trận cuối cùng mà chúng tôi nhận được sang hệ thống:

$$ \left\( \begin(căn chỉnh) & 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2; \\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1.

Đơn giản hóa hệ thống kết quả, chúng ta có:

$$ \left\( \begin(aligned) & x_2=1;\\ & x_1=-2;\\ & x_3=-1. \end(aligned) \right. $$

Giải pháp hoàn chỉnh không có lời giải thích trông như thế này:

Mặc dù phương pháp chọn phần tử phân giải này khá chấp nhận được nhưng tốt hơn là chọn các phần tử đường chéo của ma trận hệ thống làm phần tử phân giải. Chúng ta sẽ xem xét phương pháp này dưới đây.

Lựa chọn các phần tử phân giải trên đường chéo chính của ma trận hệ thống.

Vì phương pháp giải này hoàn toàn giống với phương pháp trước (ngoại trừ việc lựa chọn các yếu tố kích hoạt), chúng tôi sẽ bỏ qua phần giải thích chi tiết. Nguyên tắc chọn phần tử kích hoạt rất đơn giản: ở cột đầu tiên, chúng tôi lấy phần tử của hàng đầu tiên, ở cột thứ hai, chúng tôi lấy phần tử của hàng thứ hai, ở cột thứ ba, chúng tôi lấy phần tử của hàng thứ ba, v.v. TRÊN.

Bước đầu tiên

Trong cột đầu tiên, chọn phần tử của hàng đầu tiên, tức là chúng ta có phần tử 4 làm phần tử giải quyết. Tôi hiểu rằng chọn số 2 có vẻ thích hợp hơn, vì số này vẫn nhỏ hơn 4. Để số 2 ở cột đầu tiên chuyển về vị trí đầu tiên, chúng ta hãy hoán đổi phần tử đầu tiên. và hàng thứ hai:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(array) \ right)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(mảng ) \phải) $$

Vì vậy, phần tử kích hoạt được biểu thị bằng số 2. Tương tự như trước, chia hàng đầu tiên cho 2, sau đó đặt lại các phần tử của cột đầu tiên về 0:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(array) \ right) \begin(array) (l) I:2 \\\phantom(0) \\ \phantom(0) \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & - 2& 5/2 & -13/2 \\4 & -7 & 8 & -23\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ II-4\cdot I\\ III+3\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -2& 5/2 & -13/2\ \0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end(mảng) \right). $$

Bước thứ hai

Bước thứ hai yêu cầu loại bỏ các phần tử của cột thứ hai. Chúng tôi chọn phần tử của dòng thứ hai làm phần tử phân giải, tức là. 1. Phần tử phân giải đã bằng 1 nên chúng ta sẽ không hoán đổi bất kỳ dòng nào. Nhân tiện, nếu chúng ta muốn hoán đổi các hàng, chúng ta sẽ không chạm vào hàng đầu tiên vì nó đã được sử dụng ở bước đầu tiên. Nhưng dòng thứ hai và thứ ba có thể dễ dàng hoán đổi cho nhau. Tuy nhiên, tôi nhắc lại, trong tình huống này không cần phải hoán đổi các dòng vì phần tử phân giải đã tối ưu - nó bằng một.

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/ 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) I+2\cdot II \\ \phantom(0)\\ III-5\cdot II \end(array) \rightarrow \left(\begin (mảng) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end(mảng) \Phải). $$

Bước thứ hai đã hoàn thành. Hãy chuyển sang bước thứ ba.

Bước thứ ba

Bước thứ ba yêu cầu loại bỏ các phần tử của cột thứ ba. Là phần tử phân giải, chúng tôi chọn phần tử của dòng thứ ba, tức là. 37/2. Chia các phần tử của hàng thứ ba cho 37/2 (sao cho phần tử phân giải trở thành bằng 1), sau đó đặt lại các phần tử tương ứng của cột thứ ba về 0:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37 /2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ III:\frac(37)(2) \end(array) \rightarrow \ left(\begin(array) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end(array) \right) \begin(array) (l) I+2\cdot III\\II+3/2\cdot III\\ \phantom(0) \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) ( ccc|c) 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end(array) \right). $$

Câu trả lời nhận được: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Giải pháp hoàn chỉnh không có lời giải thích trông như thế này:

Tất cả các ví dụ khác trên trang này sẽ được giải chính xác theo cách thứ hai: chúng ta sẽ chọn các phần tử đường chéo của ma trận hệ thống làm phần tử giải.

Trả lời: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Ví dụ số 2

Giải SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27; \\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1. \end(aligned) \right.$ bằng phương pháp Gauss-Jordan.

Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống này: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1& 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end(array) \right)$.

Chúng ta sẽ chọn các phần tử đường chéo của ma trận hệ thống làm phần tử phân giải: ở bước đầu tiên chúng ta sẽ lấy phần tử của hàng đầu tiên, ở bước thứ hai chúng ta sẽ lấy phần tử của hàng thứ hai, v.v.

Bước đầu tiên

Chúng ta cần đặt lại các phần tử tương ứng của cột đầu tiên. Hãy lấy phần tử của dòng đầu tiên làm phần tử phân giải, tức là 3. Theo đó, dòng đầu tiên sẽ phải chia cho 3 để phần tử phân giải bằng một. Và sau đó đặt lại tất cả các thành phần của cột đầu tiên, ngoại trừ phần cho phép:

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\ \ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end(array)\right) \begin(array) (l) I:3\\ \phantom(0)\\\phantom(0)\\\ phantom(0)\end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\III-6\cdot I\\IV+3\cdot I\end(array) \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & - 5 & ​​​​-5\end(mảng)\right). $$

Bước thứ hai

Chúng tôi tiến hành zeroing các phần tử tương ứng của cột thứ hai. Chúng tôi đã đồng ý lấy phần tử của hàng thứ hai làm phần tử phân giải, nhưng chúng tôi không thể thực hiện điều này vì phần tử bắt buộc bằng 0. Kết luận: chúng ta sẽ trao đổi các dòng. Không thể chạm vào dòng đầu tiên vì nó đã được sử dụng ở bước đầu tiên. Sự lựa chọn không phong phú: hoặc chúng ta hoán đổi dòng thứ hai và thứ ba, hoặc chúng ta hoán đổi dòng thứ tư và thứ hai. Vì dòng thứ tư chứa (-1) nên hãy để dòng thứ tư tham gia “trao đổi”. Vì vậy, trao đổi dòng thứ hai và thứ tư:

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end(mảng)\right)\rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \end(mảng)\right) $$

Bây giờ mọi thứ đều bình thường: phần tử độ phân giải bằng (-1). Nhân tiện, việc thay đổi vị trí của các đường là không thể, nhưng chúng ta sẽ thảo luận vấn đề này trong ví dụ số 3 tiếp theo. Hiện tại, chúng tôi chia hàng thứ hai cho (-1), sau đó đặt lại các phần tử của cột thứ hai. Xin lưu ý rằng trong cột thứ hai, phần tử nằm ở hàng thứ tư đã bằng 0 nên chúng ta sẽ không chạm vào hàng thứ tư.

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\II:(-1) \\\phantom(0)\\\phantom(0)\end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(mảng)\right) \begin(mảng) (l) I-1/3\cdot II\\ \phantom(0) \\III-2\cdot II\\\phantom(0)\end(array) \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin( mảng)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(mảng)\right). $$

Bước thứ ba

Hãy bắt đầu xử lý cột thứ ba. Chúng tôi đã đồng ý lấy các phần tử đường chéo của ma trận hệ thống làm phần tử phân giải. Đối với bước thứ ba, điều này có nghĩa là chọn phần tử nằm ở hàng thứ ba. Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ lấy phần tử 7 làm phần tử phân giải thì toàn bộ dòng thứ ba sẽ phải chia cho 7. Đối với tôi, việc chia cho (-2) đơn giản hơn. Do đó, hãy hoán đổi dòng thứ ba và thứ tư, khi đó phần tử phân giải sẽ trở thành (-2):

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(mảng)\right) \rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end(mảng)\right) $$

Phần tử độ phân giải - (-2). Chia hàng thứ ba cho (-2) và đặt lại các phần tử tương ứng của cột thứ ba:

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & - 3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\III:( -2)\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end(mảng)\right) \begin(mảng) (l) I-2 /3\cdot III\\ \phantom(0) \\ \phantom(0)\\IV-7\cdot III\end(array)\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(array)(cccc|c ) 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & - 39\end(mảng)\phải). $$

Bước thứ tư

Hãy chuyển sang zeroing cột thứ tư. Phần tử phân giải nằm ở dòng thứ tư và bằng số $-\frac(39)(2)$.

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \\IV:\left(-\frac(39)(2)\right) \end(array)\rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end(mảng)\right) \begin(mảng) (l ) I+IV\\ II-5\cdot IV \\ III-3/2\cdot IV \\ \phantom(0) \end(array)\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(array)(cccc |c) 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end (mảng)\phải). $$

Quyết định đã kết thúc. Câu trả lời là: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Giải pháp hoàn chỉnh mà không cần giải thích:

Trả lời: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.

Ví dụ số 3

Giải SLAE $\left\(\begin(aligned) & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4 +14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=- 9. \end(aligned)\right.$ bằng phương pháp Gauss-Jordan. Nếu hệ thống chưa chắc chắn, hãy chỉ ra giải pháp cơ bản.

Các ví dụ tương tự được thảo luận trong chủ đề “Các giải pháp tổng quát và cơ bản của SLAEs”. Trong phần thứ hai của chủ đề đã đề cập, ví dụ này được giải bằng phương pháp Gaussian. Chúng ta sẽ giải nó bằng phương pháp Gauss-Jordan. Chúng tôi sẽ không chia nhỏ giải pháp ra từng bước vì điều này đã được thực hiện trong các ví dụ trước.

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-2\cdot I\\ III-3\cdot I\\ IV-2\cdot I \\ V+2\cdot I\\VI+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\ \\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II:5 \\ \ phantom(0)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom(0)\end(array) \rightarrow \\ \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & - 2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end(array)\right) \ bắt đầu (mảng) (l) I+2\cdot II \\ \phantom(0)\\ III-10\cdot II\\ IV:3\\ V-10\cdot II\\VI+15\cdot II \ kết thúc (mảng) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2 /5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & - 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(array)\right). $$

Tôi tin rằng một trong những phép biến đổi được thực hiện vẫn cần có lời giải thích: $IV:3$. Tất cả các phần tử của dòng thứ tư hoàn toàn chia hết cho ba, do đó, vì lý do đơn giản hóa, chúng tôi chia tất cả các phần tử của dòng này thành ba. Hàng thứ ba trong ma trận được chuyển đổi trở thành số 0. Hãy xóa dòng số 0:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(mảng)\right) $$

Đã đến lúc chúng ta chuyển sang bước thứ ba, tại đó các thành phần của cột thứ ba sẽ được đặt lại. Tuy nhiên, phần tử đường chéo (hàng thứ ba) bằng 0. Và việc thay đổi vị trí của các dòng sẽ không có tác dụng gì. Chúng ta đã sử dụng dòng thứ nhất và dòng thứ hai rồi nên không thể chạm vào chúng. Nhưng chẳng ích gì khi chạm vào dòng thứ tư và thứ năm, bởi vì vấn đề phần tử độ phân giải bằng 0 sẽ không biến mất.

Trong tình huống này, vấn đề có thể được giải quyết một cách cực kỳ đơn giản. Chúng tôi không thể xử lý cột thứ ba? Được rồi, hãy chuyển sang số bốn. Có thể ở cột thứ tư phần tử của hàng thứ ba sẽ không bằng 0. Tuy nhiên, cột thứ tư cũng gặp phải vấn đề tương tự như cột thứ ba. Phần tử hàng thứ ba trong cột thứ tư bằng 0. Và việc thay đổi vị trí của các dòng một lần nữa sẽ không mang lại kết quả gì. Chúng tôi cũng không thể xử lý cột thứ tư? Được rồi, hãy chuyển sang số năm. Nhưng ở cột thứ năm, phần tử của hàng thứ ba thậm chí không bằng 0. Nó bằng một, khá tốt. Vì vậy, phần tử phân giải ở cột thứ năm bằng 1. Phần tử phân giải đã được chọn nên chúng ta sẽ tiến hành các phép biến đổi tiếp theo của phương pháp Gauss-Jordan:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(array)\right) \begin(array) (l) I-22/5\cdot III \\ II-1/5\cdot III \\ \phantom(0)\\ IV+III\\ V+ 2 \cdot III \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1 / 5 & ​​2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right) \rightarrow \\ \rightarrow\left|\text(Xóa 0 hàng)\right|\rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end(array)\ bên phải )$$

Chúng ta đã rút gọn ma trận hệ thống và ma trận hệ thống mở rộng về dạng từng bước. Thứ hạng của cả hai ma trận đều bằng $r=3$, tức là. bạn cần chọn 3 biến cơ bản. Số ẩn số là $n=5$, vì vậy chúng ta cần chọn $n-r=2$ biến tự do. Vì $r< n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). Для нахождения решений системы составим "ступеньки":

Trên “bậc thang” có các phần tử từ cột số 1, số 2, số 5. Do đó, các biến cơ bản sẽ là $x_1$, $x_2$, $x_5$. Các biến tự do tương ứng sẽ là $x_3$, $x_4$. Chúng ta sẽ di chuyển cột số 3 và số 4, tương ứng với các biến tự do, ra ngoài dòng, đồng thời tất nhiên không quên đổi dấu của chúng.

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end(array)\right)\rightarrow \left(\begin(array)(ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end(mảng)\right) . $$

Từ ma trận cuối cùng, chúng ta thu được nghiệm tổng quát: $\left\(\begin(aligned) & x_1=-\frac(99)(5)-\frac(13)(5)x_3-\frac(4)(5 )x_4; \\ & x_2=\frac(3)(5)+\frac(1)(5)x_3-\frac(2)(5)x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\ trong R; \\ & x_5=4. \end(aligned)\right.$. Chúng tôi tìm ra giải pháp cơ bản bằng cách lấy các biến miễn phí bằng 0, tức là $x_3=0$, $x_4=0$:

$$ \left\(\begin(aligned) & x_1=-\frac(99)(5);\\ & x_2=\frac(3)(5);\\ & x_3=0;\\ & x_4= 0;\\ & x_5=4. \end(căn chỉnh)\phải.

Vấn đề đã được giải quyết, việc còn lại là viết ra câu trả lời.

Trả lời: Giải pháp chung: $\left\(\begin(aligned) & x_1=-\frac(99)(5)-\frac(13)(5)x_3-\frac(4)(5)x_4;\\ & x_2=\frac(3)(5)+\frac(1)(5)x_3-\frac(2)(5)x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4.\end(aligned)\right.$, giải pháp cơ bản: $\left\(\begin(aligned) & x_1=-\frac(99)(5);\\ & x_2=\frac(3) (5);\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4.\end(căn chỉnh)\right.$.

4. Phương pháp Jordan - Gauss.

Sơ đồ với việc lựa chọn phần tử chính là yêu cầu rằng các phần tử đường chéo akk, mà sự phân chia xảy ra trong quá trình loại trừ, không bằng 0, sẽ được thay thế bằng một phần tử nghiêm ngặt hơn: từ tất cả các phần tử của Cột thứ K, chọn mô đun lớn nhất và sắp xếp lại các phương trình sao cho phần tử này kết thúc ở vị trí của phần tử acc. Việc lựa chọn phần tử chính và sắp xếp lại các hàng liên quan là cần thiết trong trường hợp ở bước thứ i bất kỳ ACC = 0 hoặc có rất ít ACC cho các phần tử còn lại của cột thứ i: khi chia cho một phần tử nhỏ như vậy ” ACC, ACC lớn sẽ thu được những con số có sai số tuyệt đối lớn, do đó lời giải có thể bị sai lệch rất nhiều.

Dưới đây là một thuật toán để loại bỏ hoàn toàn các ẩn số hoặc phương pháp Jordan–Gauss. Bản chất của phương pháp là, khi xem xét phương trình đầu tiên, nó chứa một ẩn số có hệ số khác 0 (sau đây gọi là phần tử giải) và chia phương trình đầu tiên cho hệ số này, sử dụng phương trình đầu tiên, ẩn số này được loại trừ khỏi tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên. Sau khi chọn một ẩn số trong phương trình thứ hai có hệ số khác 0 và chia phương trình thứ hai cho nó, sử dụng phương trình thứ hai sẽ loại bỏ các ẩn số khác khỏi tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình thứ hai, v.v., tức là. sử dụng một phương trình, họ loại bỏ hoàn toàn một phương trình chưa biết. Quá trình tiếp tục cho đến khi tất cả các phương trình đã được sử dụng.

Như đã biết, hệ phương trình đại số tuyến tính có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm hoặc các hệ có thể không nhất quán. Với các phép biến đổi cơ bản của các phần tử của ma trận hệ thống, các trường hợp này được bộc lộ như sau:

1. Trong quá trình loại trừ, vế trái của phương trình thứ nhất của hệ trở thành 0 và vế phải bằng một số nào đó khác 0. những thứ kia. 02+=bc0.

Điều này có nghĩa là hệ thống không có nghiệm, vì phương trình thứ I không thể được thỏa mãn bởi bất kỳ giá trị nào của ẩn số;

2. Vế trái và vế phải của phương trình thứ nhất biến mất. Điều này có nghĩa là phương trình đầu tiên là sự kết hợp tuyến tính của các phương trình khác; bất kỳ nghiệm nào tìm được cho hệ đều thỏa mãn nó, vì vậy nó có thể bị loại bỏ. Trong một hệ, số ẩn số lớn hơn số phương trình và do đó hệ đó có nhiều nghiệm;

3. Sau khi sử dụng tất cả các phương trình để loại bỏ các ẩn số, ta thu được nghiệm của hệ.

Vì vậy, mục tiêu cuối cùng của phép biến đổi Jordan-Gauss là thu được từ một hệ tuyến tính cho trước

Ở đây x1, x2, …, xn là ẩn số cần xác định. a11, a12, …, amn - các hệ số của hệ - và b1, b2, ... bm - các số hạng tự do - được coi là đã biết. Các chỉ số của các hệ số (aij) của hệ thống lần lượt chỉ ra các số của phương trình (i) và ẩn số (j) mà hệ số này đứng ở đó.

Hệ (1) được gọi là đồng nhất nếu mọi số hạng tự do của nó đều bằng 0 (b1 = b2 = … = bm = 0), ngược lại thì gọi là không đồng nhất.

Hệ (1) được gọi là hệ bậc hai nếu số m của phương trình bằng số n ẩn số.

Nghiệm của hệ (1) là một tập gồm n số c1, c2, …, cn, sao cho việc thay thế mỗi ci thay vì xi vào hệ (1) sẽ biến tất cả các phương trình của nó thành đẳng thức.

Hệ (1) được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm và không nhất quán nếu nó không có nghiệm nào.

Hệ thống liên hợp loại (1) có thể có một hoặc nhiều nghiệm.

Các nghiệm c1(1), c2(1), …, cn(1) và c1(2), c2(2), …, cn(2) của một hệ khớp loại (1) được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một sự bình đẳng bị vi phạm:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Một hệ thống đồng thời có dạng (1) được gọi là xác định nếu nó có nghiệm duy nhất; nếu nó có ít nhất hai nghiệm khác nhau thì gọi là vô định. Nếu có nhiều phương trình hơn ẩn số thì được gọi là xác định quá mức.

Hãy giải hệ phương trình sau:

Hãy viết nó dưới dạng ma trận 3x4, trong đó cột cuối cùng là thành viên miễn phí:

Hãy làm như sau:

· Đến dòng 2 thêm: -4 * Dòng 1.

· Đến dòng 3 thêm: -9 * Dòng 1.

· Đến dòng 3 thêm: -3 * Dòng 2.

· Chia dòng 2 cho -2

· Vào dòng 1 thêm: -1 * Dòng 3.

· Đến dòng 2 thêm: -3/2 * Dòng 3.

· Vào dòng 1 thêm: -1 * Dòng 2.

Ở cột bên phải, chúng tôi nhận được giải pháp:

.

Trong phương pháp của Newton, người ta quan sát thấy gia tốc hội tụ của quá trình gần đúng. 5. Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton) Phương pháp tiếp tuyến gắn liền với tên tuổi của I. Newton, là một trong những phương pháp số hiệu quả nhất để giải phương trình. Ý tưởng của phương pháp này rất đơn giản. Lấy đạo hàm x0 và viết vào đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Đồ thị...

Giải pháp từ phương pháp tính toán số. Để xác định nghiệm của một phương trình, không cần phải có kiến ​​thức về lý thuyết các nhóm Abel, Galois, Lie, v.v. và sử dụng thuật ngữ toán học đặc biệt: vành, trường, iđêan, đẳng cấu, v.v. Để giải phương trình đại số bậc n, bạn chỉ cần có khả năng giải phương trình bậc hai và rút ra nghiệm từ một số phức. Rễ có thể được xác định bằng...

Toán học thay thế lượng giác và kiểm tra tính hiệu quả của phương pháp giảng dạy đã phát triển. Các giai đoạn công việc: 1. Xây dựng môn học tự chọn về chủ đề: “Ứng dụng phép thay thế lượng giác để giải các bài toán đại số” cho học sinh ở các lớp Toán cao cấp. 2. Tiến hành học phần tự chọn đã xây dựng. 3. Thực hiện xét nghiệm chẩn đoán...

... “tự biểu hiện” chỉ trong quá trình chuyển hóa. Chúng ta sẽ xem xét tính hiển nhiên và tính “che giấu” của biến số mới bằng các ví dụ cụ thể trong chương thứ hai của tác phẩm này. 2. Khả năng sử dụng phương pháp thay ẩn số khi giải phương trình đại số Trong chương này chúng ta sẽ xác định khả năng sử dụng phương pháp thay ẩn số khi giải phương trình đại số chuẩn và phi chuẩn...

Phương pháp Gauss-Jordan. Cách tìm nghịch đảo của ma trận
sử dụng các phép biến đổi cơ bản?

Ngày xửa ngày xưa, nhà toán học người Đức Wilhelm Jordan (chúng tôi đang phiên âm sai từ tiếng ĐứcJordan là Jordan) ngồi xuống để giải một hệ phương trình khác. Anh ấy thích làm việc này và cải thiện kỹ năng của mình trong thời gian rảnh rỗi. Nhưng rồi cũng đến lúc anh cảm thấy nhàm chán với tất cả các phương pháp giải và phương pháp Gaussian bao gồm...

Giả sử chúng ta được cho một hệ có ba phương trình, ba ẩn số và ma trận mở rộng của nó được viết ra. Trong trường hợp phổ biến nhất, bạn nhận được các bước tiêu chuẩn, v.v. mỗi ngày... Điều tương tự - giống như cơn mưa tháng mười một vô vọng.

Xua tan nỗi buồn một thời cách khácđưa ma trận về dạng bậc thang: , và nó hoàn toàn tương đương và có thể chỉ bất tiện do nhận thức chủ quan. Nhưng sớm hay muộn mọi thứ cũng trở nên nhàm chán... Và rồi tôi nghĩ ồ rdan - tại sao lại phải bận tâm đến chuyển động ngược của thuật toán Gaussian? Chẳng phải sẽ dễ dàng hơn để nhận được câu trả lời ngay lập tức bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản bổ sung sao?

...đúng, điều này chỉ xảy ra vì tình yêu =)

Để nắm vững bài này, “ngu ngốc” sẽ phải đi đường F ồ rdan và nâng cấp các phép biến đổi cơ bản lên ít nhất ở mức trung bình, sau khi hoàn thành ít nhất 15-20 nhiệm vụ liên quan. Vì vậy, nếu bạn mơ hồ hiểu nội dung cuộc trò chuyện và/hoặc bạn hiểu nhầm điều gì đó trong bài học, thì tôi khuyên bạn nên làm quen với chủ đề theo thứ tự sau:

Chà, thật tuyệt vời nếu nó thành công giảm thứ tự của định thức.

Như mọi người đều hiểu, phương pháp Gauss-Jordan là một sự sửa đổi Phương pháp Gauss và chúng ta sẽ gặp việc thực hiện ý tưởng chính đã được nêu ở trên trên màn hình gần nhất. Ngoài ra, một trong số ít ví dụ trong bài viết này bao gồm ứng dụng quan trọng nhất - tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi cơ bản.

Không cần phải quảng cáo thêm:

ví dụ 1

Giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan

Giải pháp: đây là nhiệm vụ đầu tiên của bài học Phương pháp Gaussian cho người giả, trong đó chúng tôi đã biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống 5 lần và đưa nó về dạng từng bước:

Bây giờ thay vì đảo ngược Các phép biến đổi cơ bản bổ sung phát huy tác dụng. Đầu tiên chúng ta cần lấy số 0 ở những nơi này: ,
và sau đó là một số 0 khác ở đây: .

Một trường hợp lý tưởng xét theo quan điểm đơn giản:

(6) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên.

(7) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên, nhân với –2.

Tôi không thể không minh họa hệ thống cuối cùng:

Trả lời:

Tôi cảnh báo độc giả không nên có tâm trạng tinh nghịch - đây là một ví dụ minh họa đơn giản. Phương pháp Gauss-Jordan có những kỹ thuật riêng và không phải là phép tính thuận tiện nhất, vì vậy hãy sẵn sàng cho công việc nghiêm túc.

Tôi không muốn tỏ ra phân loại hay kén chọn, nhưng trong phần lớn các nguồn thông tin mà tôi đã xem, những vấn đề điển hình được coi là cực kỳ kém - bạn cần phải có một bộ não tuyệt vời và dành nhiều thời gian/thần kinh cho một vấn đề khó khăn, giải pháp vụng về với phân số. Qua nhiều năm thực hành, tôi đã cố gắng trau dồi, tôi sẽ không nói rằng đó là phương pháp tốt nhất mà là một phương pháp hợp lý và khá dễ dàng mà tất cả những ai biết phép tính số học đều có thể tiếp cận được:

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan.

Giải pháp: Phần đầu tiên của nhiệm vụ rất quen thuộc:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –1. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba Dòng đầu tiên nhân với –5 được thêm vào dòng thứ tư.

(2) Dòng thứ hai chia cho 2, dòng thứ ba chia cho 11, dòng thứ tư chia cho 3.

(3) Dòng thứ hai và thứ ba tỷ lệ thuận, dòng thứ 3 đã bị loại bỏ. Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –7

(4) Dòng thứ ba chia cho 2.

Rõ ràng là hệ có vô số nghiệm và nhiệm vụ của chúng ta là đưa ma trận mở rộng của nó về dạng .

Làm thế nào để tiến hành? Trước hết, cần lưu ý rằng chúng ta đã mất đi một phép biến đổi cơ bản thú vị - sắp xếp lại các chuỗi. Chính xác hơn, có thể sắp xếp lại chúng, nhưng việc này chẳng ích gì (chúng ta sẽ chỉ thực hiện những hành động không cần thiết). Và sau đó nên tuân theo mẫu sau:

Chúng ta tìm thấy bội số chung nhỏ nhất các số ở cột thứ ba (1, –1 và 3), tức là – số nhỏ nhất có thể chia hết không có số dư cho 1, –1 và 3. Trong trường hợp này, tất nhiên là “ba”. Hiện nay ở cột thứ ba, chúng ta cần lấy các số giống hệt nhau về mô đun và những cân nhắc này xác định phép biến đổi thứ 5 của ma trận:

(5) Ta nhân dòng đầu tiên với –3, dòng thứ hai nhân 3. Nói chung, dòng đầu tiên cũng có thể nhân với 3, nhưng sẽ không thuận tiện cho thao tác tiếp theo. Bạn nhanh chóng làm quen với những điều tốt đẹp:

(6) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên.

(7) Cột thứ hai có hai giá trị khác 0 (24 và 6) và một lần nữa chúng ta cần lấy số giống hệt nhau trong mô-đun. Trong trường hợp này, mọi thứ diễn ra khá tốt - bội số nhỏ nhất của 24 và hiệu quả nhất là nhân dòng thứ hai với -4.

(8) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

(9) Chạm cuối cùng: dòng đầu tiên chia cho -3, dòng thứ hai chia cho -24 và dòng thứ ba chia cho 3. Hành động này được thực hiện LẦN CUỐI CÙNG! Không có phân số sớm!

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản là thu được hệ ban đầu tương đương:

Chúng ta chỉ đơn giản biểu diễn các biến cơ bản dưới dạng biến tự do:

và viết:

Trả lời: quyết định chung:

Trong các ví dụ như vậy, việc sử dụng thuật toán được xem xét thường hợp lý nhất, vì ngược lại Phương pháp Gauss thường đòi hỏi những phép tính tốn thời gian và khó chịu liên quan đến phân số.

Và, tất nhiên, rất nên kiểm tra việc này được thực hiện theo sơ đồ thông thường đã thảo luận trong bài học Hệ thống không tương thích và hệ thống có giải pháp chung.

Để tự giải quyết:

Ví dụ 3

Tìm lời giải cơ bản bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản

Công thức của bài toán này giả định việc sử dụng phương pháp Gauss-Jordan và trong giải pháp mẫu, ma trận được rút gọn về dạng chuẩn với các biến cơ bản. Tuy nhiên, hãy luôn nhớ rằng Bạn có thể chọn các biến khác làm biến cơ bản. Vì vậy, ví dụ, nếu cột đầu tiên chứa các số rườm rà thì việc rút gọn ma trận về dạng là hoàn toàn có thể chấp nhận được. (các biến cơ bản), hoặc theo dạng (các biến cơ bản), hoặc thậm chí ở dạng với các biến cơ bản. Có những lựa chọn khác.

Tuy nhiên, đây vẫn là những trường hợp cực đoan - không cần phải gây sốc cho giáo viên một lần nữa bằng kiến ​​thức, kỹ thuật giải của bạn, và hơn thế nữa là không cần phải tạo ra những kết quả kỳ lạ kiểu Jordan như . Tuy nhiên, có thể khó cưỡng lại việc sử dụng cơ sở không điển hình khi ma trận ban đầu, chẳng hạn như ở cột thứ 4, có hai số 0 được tạo sẵn.

Ghi chú : thuật ngữ “cơ sở” có ý nghĩa và khái niệm đại số cơ sở hình học không có gì để làm với nó!

Nếu trong ma trận mở rộng kích thước dữ liệu, một cặp đột nhiên được phát hiện phụ thuộc tuyến tính thì bạn nên cố gắng đưa nó về dạng thông thường với các biến cơ bản. Một ví dụ về quyết định như vậy là ở Ví dụ số 7 của bài viết về hệ thống đồng nhất của phương trình tuyến tính, với chỗ ấy cơ sở khác được chọn.

Chúng tôi tiếp tục nâng cao kỹ năng của mình về vấn đề ứng dụng sau:

Làm cách nào để tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gaussian?

Thông thường, điều kiện được viết tắt, nhưng về bản chất, thuật toán Gauss-Jordan cũng hoạt động ở đây. Một phương pháp tìm kiếm đơn giản hơn ma trận nghịch đảođối với ma trận vuông, chúng ta đã xem xét nó từ lâu trong bài học tương ứng, và vào cuối mùa thu khắc nghiệt, những học sinh dày dặn kinh nghiệm đang nắm vững một phương pháp giải tuyệt vời.

Tóm tắt các hành động sắp tới như sau: đầu tiên bạn nên viết ma trận vuông song song với ma trận đơn vị: . Sau đó, bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, cần thu được ma trận nhận dạng ở bên trái, trong khi (không đi sâu vào chi tiết lý thuyết) ma trận nghịch đảo sẽ được vẽ ở bên phải. Về mặt sơ đồ, giải pháp trông như thế này:

(Rõ ràng ma trận nghịch đảo phải tồn tại)

Bản trình diễn 4

Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản. Để làm điều này, chúng tôi viết nó vào một dây nịt có ma trận danh tính và “hai con ngựa” phóng đi:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3.

(2) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

(3) Dòng thứ hai được chia cho –2.

Trả lời:

Kiểm tra câu trả lời trong bài học mẫu đầu tiên Làm thế nào để tìm nghịch đảo của một ma trận?

Nhưng đó chỉ là một vấn đề hấp dẫn khác - trên thực tế, giải pháp tốn nhiều thời gian và công sức hơn nhiều. Thông thường, bạn sẽ thấy một ma trận ba nhân ba:

Ví dụ 5

Giải pháp: chúng tôi đính kèm ma trận nhận dạng và bắt đầu thực hiện các phép biến đổi, tuân thủ thuật toán “thông thường” Phương pháp Gauss:

(1) Dòng đầu tiên và dòng thứ ba đã được hoán đổi cho nhau. Thoạt nhìn, việc sắp xếp lại các hàng có vẻ bất hợp pháp, nhưng trên thực tế, có thể sắp xếp lại chúng - kết quả là ở bên trái chúng ta cần lấy ma trận nhận dạng, và ở bên phải chúng ta sẽ “buộc” lấy chính xác ma trận (bất kể chúng ta có sắp xếp lại các dòng trong quá trình giải pháp hay không). Xin lưu ý rằng ở đây, thay vì hoán vị, bạn có thể sắp xếp “sáu” ở cột đầu tiên (bội số chung nhỏ nhất (LCM) của 3, 2 và 1). Giải pháp LCM đặc biệt thuận tiện khi không có “đơn vị” nào ở cột đầu tiên.

(2) Dòng thứ 1 được thêm vào dòng thứ 2 và thứ 3, nhân tương ứng với –2 và –3.

(3) Dòng thứ 2 cộng vào dòng thứ 3 nhân với –1

Phần thứ hai của giải pháp được thực hiện theo sơ đồ đã biết ở đoạn trước: hoán vị của các hàng trở nên vô nghĩa và chúng ta tìm thấy bội số chung nhỏ nhất của các số trong cột thứ ba (1, –5, 4): 20 Có một thuật toán nghiêm ngặt để tìm LCM, nhưng việc lựa chọn ở đây thường là đủ. Sẽ không sao nếu bạn lấy một số lớn hơn chia hết cho 1, -5 và 4, chẳng hạn như số 40. Sự khác biệt sẽ nằm ở những phép tính rườm rà hơn.

Nói đến tính toán. Để giải quyết vấn đề, không có gì phải xấu hổ khi trang bị cho mình một chiếc máy tính vi mô - có rất nhiều con số liên quan và sẽ rất đáng thất vọng nếu mắc phải một lỗi tính toán.

(4) Nhân dòng thứ ba với 5, dòng thứ hai với 4, dòng đầu tiên với “trừ hai mươi”:

(5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất và thứ hai.

(6) Dòng thứ nhất và dòng thứ ba chia cho 5, dòng thứ hai nhân với –1.

(7) Bội số chung nhỏ nhất của các số khác 0 ở cột thứ hai (–20 và 44) ​​là 220. Nhân hàng đầu tiên với 11, hàng thứ hai với 5.

(8) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

(9) Dòng đầu tiên nhân với –1, dòng thứ hai chia “back” cho 5.

(10) Bây giờ trên đường chéo chính của ma trận bên trái, nên lấy bội số chung nhỏ nhất của các số chéo (44, 44 và 4). Hoàn toàn rõ ràng rằng con số này là 44. Chúng ta nhân dòng thứ ba với 11.

(11) Chia mỗi dòng cho 44. Hành động này được thực hiện cuối cùng!

Vậy ma trận nghịch đảo là:

Về nguyên tắc, việc chèn và xóa thứ này là những hành động không cần thiết, nhưng điều này được yêu cầu bởi giao thức đăng ký tác vụ.

Trả lời:

Việc kiểm tra được thực hiện theo sơ đồ thông thường đã thảo luận trong bài về ma trận nghịch đảo.

Những người tiên tiến có thể rút ngắn giải pháp phần nào, nhưng tôi phải cảnh báo bạn rằng sự vội vàng ở đây có nguy cơ mắc sai lầm TĂNG CAO.

Một nhiệm vụ tương tự cho giải pháp độc lập:

Ví dụ 6

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan.

Một ví dụ gần đúng về một nhiệm vụ ở cuối trang. Và để bạn “không vừa hát vừa lái xe”, tôi đã thiết kế giải pháp theo phong cách đã được đề cập - độc quyền thông qua LCM của các cột mà không cần sắp xếp lại các hàng và các phép biến đổi nhân tạo bổ sung. Theo tôi, kế hoạch này, nếu không phải là tốt nhất, thì là một trong những kế hoạch đáng tin cậy nhất.

Đôi khi một giải pháp “hiện đại” ngắn hơn lại thuận tiện, như sau: ở bước đầu tiên, mọi thứ vẫn như bình thường: .

Ở bước thứ hai, sử dụng một kỹ thuật đã được thiết lập tốt (thông qua LCM của các số ở cột thứ 2), hai số 0 được sắp xếp cùng một lúc trong cột thứ hai: . Đặc biệt khó có thể cưỡng lại hành động này nếu cột thứ 2 chứa các số có cùng giá trị tuyệt đối, chẳng hạn như các “đơn vị” tầm thường giống nhau.

Và cuối cùng, ở bước thứ ba, chúng ta lấy các số 0 cần thiết ở cột thứ ba theo cách tương tự: .

Đối với kích thước, trong hầu hết các trường hợp, cần phải giải ma trận “ba nhân ba”. Tuy nhiên, đôi khi có một phiên bản nhẹ của vấn đề với ma trận “hai nhân hai” và một phiên bản khó... - một trang web dành riêng cho tất cả độc giả:

Ví dụ 7

Tìm nghịch đảo của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Đây là bài tập trong bài kiểm tra Vật lý và Toán đại số của chính tôi, ... ồ, năm đầu tiên của tôi đâu rồi =) Mười lăm năm trước (ngạc nhiên thay chiếc lá vẫn chưa chuyển sang màu vàng), Mình làm 8 bước mà giờ chỉ còn 6 thôi! Nhân tiện, ma trận rất sáng tạo - ngay từ bước đầu tiên đã có thể nhìn thấy một số giải pháp hấp dẫn. Phiên bản mới nhất của tôi nằm ở cuối trang.

Và lời khuyên cuối cùng - sau những ví dụ như vậy, các bài tập thể dục cho mắt và một số bản nhạc hay để thư giãn đều rất hữu ích =)

Chúc các bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3: Giải pháp: chúng ta viết ma trận mở rộng của hệ và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để thu được nghiệm cơ bản:


(1) Dòng đầu tiên và dòng thứ hai đã được hoán đổi cho nhau.
(2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với 5.
(3) Dòng thứ ba chia cho 3.
(4) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 2.
(5) Dòng thứ ba chia cho 7.
(6) Bội số nhỏ nhất của các số ở cột thứ 3 (–3, 5, 1) là 15. Hàng đầu tiên nhân với 5, hàng thứ hai nhân với –3, hàng thứ ba nhân với 15.
(7) Dòng thứ 3 được thêm vào dòng đầu tiên. Dòng thứ 3 được thêm vào dòng thứ hai.
(8) Dòng thứ nhất chia cho 5, dòng thứ hai chia cho –3, dòng thứ ba chia cho 15.
(9) Bội số nhỏ nhất của các số khác 0 ở cột thứ 2 (–2 và 1) bằng: 2. Hàng thứ hai nhân với 2
(10) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.
(11) Dòng thứ hai được chia cho 2.
Hãy biểu diễn các biến cơ bản dưới dạng các biến tự do:

Trả lời : quyết định chung:

Ví dụ 6: Giải pháp: ta tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi cơ bản:


(1) Dòng đầu tiên nhân với –15, dòng thứ hai nhân với 3, dòng thứ ba nhân với 5.
(2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 2 và thứ 3.
(3) Dòng đầu tiên chia cho –15, dòng thứ hai chia cho –3, dòng thứ ba chia cho –5.
(4) Dòng thứ hai nhân với 7, dòng thứ ba nhân với –9.
(5) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba.


(6) Dòng thứ hai chia cho 7.
(7) Dòng đầu tiên nhân với 27, dòng thứ hai nhân với 6, dòng thứ ba nhân với –4.
(8) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất và dòng thứ hai.
(9) Dòng thứ ba được chia cho –4. Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên, nhân với –1.
(10) Dòng thứ hai chia cho 2.
(11) Mỗi ​​dòng được chia cho 27.
Kết quả là:
Trả lời :

Ví dụ 7: Giải pháp: hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan:
(1) Dòng thứ 3 được thêm vào dòng thứ 1 và thứ 4.
(2) Dòng đầu tiên và dòng thứ tư đã được hoán đổi cho nhau.
(3) Dòng thứ 1 được thêm vào dòng thứ 2. Dòng thứ 1 cộng vào dòng thứ 3, nhân với 2:


(4) Dòng thứ 2 cộng vào dòng thứ 3, nhân với –2. Dòng thứ 2 được thêm vào dòng thứ 4.
(5) Dòng thứ 4 được cộng vào dòng thứ 1 và thứ 3, nhân với –1.
(6) Dòng thứ hai nhân với –1, dòng thứ ba chia cho –2.
Trả lời :