Trang Chủ-Hệ thống thanh toán-Tìm giá trị của biểu thức: quy tắc, ví dụ, lời giải. Dấu ngoặc nhọn để biểu thị một hàm mảnh

Tìm giá trị của biểu thức: quy tắc, ví dụ, lời giải. Dấu ngoặc nhọn để biểu thị một hàm mảnh

Khai triển dấu ngoặc là một kiểu biến đổi biểu thức. Trong phần này, chúng tôi sẽ mô tả các quy tắc để mở rộng dấu ngoặc, cũng như xem xét các ví dụ phổ biến nhất về các tác vụ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mở rộng dấu ngoặc là gì?

Dấu ngoặc đơn được sử dụng để chỉ ra thứ tự thực hiện các hành động trong các biểu thức số và bảng chữ cái, cũng như trong các biểu thức có biến. Thật tiện lợi khi chuyển từ một biểu thức có dấu ngoặc sang một biểu thức giống hệt nhau mà không có dấu ngoặc. Ví dụ: thay thế biểu thức 2 (3 + 4) bằng một biểu thức như 2 3 + 2 4 không có dấu ngoặc. Kỹ thuật này được gọi là mở ngoặc.

Định nghĩa 1

Dưới phần mở ngoặc, chúng tôi muốn nói đến các phương pháp loại bỏ dấu ngoặc và thường được xem xét liên quan đến các biểu thức có thể chứa:

  • dấu "+" hoặc "-" trước dấu ngoặc chứa tổng hoặc hiệu;
  • tích của một số, chữ cái hoặc một số chữ cái và tổng hoặc hiệu số, được đặt trong dấu ngoặc.

Đây là cách chúng tôi sử dụng để xem xét quá trình mở rộng dấu ngoặc trong khóa học chương trình giáo dục. Tuy nhiên, không ai ngăn cản chúng ta nhìn hành động này một cách rộng rãi hơn. Chúng ta có thể gọi sự mở rộng dấu ngoặc là sự chuyển đổi từ một biểu thức chứa số âm trong dấu ngoặc đơn thành một biểu thức không có dấu ngoặc đơn. Ví dụ, chúng ta có thể đi từ 5 + (- 3) - (- 7) đến 5 - 3 + 7. Trên thực tế, đây cũng là mở rộng dấu ngoặc đơn.

Theo cách tương tự, ta có thể thay tích các biểu thức trong ngoặc có dạng (a + b) · (c + d) bằng tổng a · c + a · d + b · c + b · d. Kỹ thuật này cũng không mâu thuẫn với ý nghĩa của việc mở rộng dấu ngoặc đơn.

Đây là một ví dụ khác. Chúng ta có thể giả định rằng trong biểu thức, thay vì số và biến, bất kỳ biểu thức nào cũng có thể được sử dụng. Ví dụ, biểu thức x 2 1 a - x + sin (b) sẽ tương ứng với một biểu thức không có ngoặc có dạng x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b).

Một điểm nữa đáng được quan tâm đặc biệt, liên quan đến tính đặc thù của cách viết lời giải khi mở ngoặc. Chúng ta có thể viết biểu thức ban đầu bằng dấu ngoặc và kết quả nhận được sau khi mở dấu ngoặc là bằng nhau. Ví dụ, sau khi mở dấu ngoặc đơn, thay vì biểu thức 3 − (5 − 7) chúng tôi nhận được biểu thức 3 − 5 + 7 . Chúng ta có thể viết cả hai biểu thức này dưới dạng đẳng thức 3 - (5 - 7) = 3 - 5 + 7.

Thực hiện các hành động với các biểu thức rườm rà có thể yêu cầu ghi lại các kết quả trung gian. Khi đó lời giải sẽ có dạng một chuỗi các bằng nhau. Ví dụ, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 hoặc 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Quy tắc mở ngoặc, ví dụ

Hãy bắt đầu với quy tắc mở ngoặc đơn.

Các số đơn trong ngoặc

Số âm trong ngoặc thường xuất hiện trong biểu thức. Ví dụ, (- 4) và 3 + (- 4). Số dương trong ngoặc cũng diễn ra.

Hãy để chúng tôi xây dựng quy tắc để mở dấu ngoặc chứa các số dương duy nhất. Giả sử a là một số dương bất kỳ. Khi đó chúng ta có thể thay (a) bằng a, + (a) bằng + a, - (a) bằng - a. Nếu thay vì một, chúng ta lấy một số cụ thể, thì theo quy tắc: số (5) sẽ được viết là 5 , biểu thức 3 + (5) không có dấu ngoặc sẽ có dạng 3 + 5 , vì + (5) được thay thế bằng + 5 và biểu thức 3 + (- 5) tương đương với biểu thức 3 − 5 , như + (− 5) được thay thế bởi − 5 .

Các số dương thường được viết mà không sử dụng dấu ngoặc đơn, vì dấu ngoặc đơn là thừa trong trường hợp này.

Bây giờ hãy xem xét quy tắc mở ngoặc chứa một số âm. + (−a) chúng tôi thay thế bằng - một, - (- a) được thay thế bằng + a. Nếu biểu thức bắt đầu bằng một số âm (-một), được viết trong ngoặc, sau đó bỏ qua ngoặc và thay vào đó là (-một) còn lại - một.

Dưới đây là một số ví dụ: (- 5) có thể được viết thành - 5, (- 3) + 0, 5 trở thành - 3 + 0, 5, 4 + (- 3) trở thành 4 − 3 , và - (- 4) - (- 3) sau khi mở ngoặc có dạng 4 + 3, vì - (- 4) và - (- 3) được thay thế bằng + 4 và + 3.

Cần hiểu rằng biểu thức 3 · (- 5) không thể viết thành 3 · - 5. Điều này sẽ được thảo luận trong các đoạn sau.

Hãy xem các quy tắc mở rộng dấu ngoặc được dựa trên những gì.

Theo quy tắc, hiệu a - b bằng a + (- b). Dựa trên các thuộc tính của các hành động với các con số, chúng ta có thể tạo một chuỗi các hàm bằng nhau (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = ađiều đó sẽ công bằng. Chuỗi bằng nhau này, nhờ ý nghĩa của phép trừ, chứng minh rằng biểu thức a + (- b) là hiệu a-b.

Dựa vào tính chất của số đối và quy tắc trừ các số âm, ta có thể khẳng định rằng - (- a) = a, a - (- b) = a + b.

Có những biểu thức được tạo thành từ một số, dấu trừ và một số cặp dấu ngoặc. Sử dụng các quy tắc trên cho phép bạn tuần tự loại bỏ dấu ngoặc đơn, chuyển từ dấu ngoặc bên trong ra bên ngoài hoặc ngược lại. Ví dụ về biểu thức như vậy sẽ là - (- ((- (5)))). Hãy mở dấu ngoặc, di chuyển từ trong ra ngoài: - (- ((- (5)))) = - (- ((- 5))) = - (- (- 5)) = - (5) = - 5. Ví dụ này cũng có thể được phân tích cú pháp ngược lại: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Ở dưới một và b có thể được hiểu không chỉ là số, mà còn là các biểu thức số hoặc chữ tùy ý với dấu "+" ở phía trước không phải là tổng hoặc hiệu. Trong tất cả các trường hợp này, bạn có thể áp dụng các quy tắc theo cách giống như cách chúng tôi đã làm với các số đơn trong ngoặc.

Ví dụ, sau khi mở ngoặc, biểu thức - (- 2 x) - (x 2) + (- 1 x) - (2 x y 2: z) có dạng 2 x - x 2 - 1 x - 2 x y 2: z. chúng tôi đã làm nó như thế nào? Chúng ta biết rằng - (- 2 x) là + 2 x, và vì biểu thức này đứng trước nên + 2 x có thể được viết thành 2 x, - (x 2) = - x 2, + (- 1 x) = - 1 x và - (2 x y 2: z) = - 2 x y 2: z.

Trong các tích của hai số

Hãy bắt đầu với quy tắc mở rộng dấu ngoặc trong tích của hai số.

Hãy giả vờ như vậy một và b là hai số dương. Trong trường hợp này, tích của hai số âm - một và - b có dạng (- a) (- b) có thể được thay thế bằng (a b), và tích của hai số có dấu đối nhau ở dạng (- a) b và a (- b) có thể được thay thế bằng (- a b). Nhân một trừ với một trừ sẽ cho ra một cộng và nhân một trừ với một cộng, giống như nhân một cộng với một trừ, sẽ cho một trừ.

Tính đúng đắn của phần đầu tiên của quy tắc đã viết được xác nhận bởi quy tắc nhân các số âm. Để xác nhận phần thứ hai của quy tắc, chúng ta có thể sử dụng quy tắc nhân các số có dấu hiệu khác nhau.

Hãy xem một vài ví dụ.

ví dụ 1

Xét thuật toán mở ngoặc trong tích của hai số âm - 4 3 5 và - 2, có dạng (- 2) · - 4 3 5. Để làm điều này, chúng tôi thay thế biểu thức ban đầu bằng 2 · 4 3 5. Hãy mở rộng dấu ngoặc và nhận được 2 · 4 3 5.

Và nếu chúng ta lấy thương của số âm (- 4): (- 2), thì bản ghi sau khi mở ngoặc sẽ có dạng 4: 2

Thay vì số âm - một và - b có thể là bất kỳ biểu thức nào có dấu trừ đứng đầu không phải là tổng hoặc hiệu. Ví dụ, chúng có thể là tích, phần, phân số, lũy thừa, căn, logarit, hàm lượng giác, v.v.

Hãy mở dấu ngoặc trong biểu thức - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5). Theo quy tắc, ta có thể thực hiện các phép biến hình sau: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Biểu hiện (- 3) 2 có thể được chuyển đổi thành biểu thức (- 3 2). Sau đó, bạn có thể mở dấu ngoặc: - 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Việc phân chia các số có các dấu hiệu khác nhau cũng có thể yêu cầu mở rộng sơ bộ các dấu ngoặc: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 và 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

Quy tắc có thể được sử dụng để thực hiện phép nhân và chia các biểu thức có dấu hiệu khác nhau. Hãy đưa ra hai ví dụ.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) \ u003d (- sin (x) x 2) \ u003d - sin (x) x 2

Trong các sản phẩm của ba số trở lên

Hãy chuyển sang sản phẩm và các thương số, chứa số lượng lớn những con số. Để mở rộng dấu ngoặc đơn, ở đây sẽ hành động quy tắc tiếp theo. Với một số chẵn các số âm, bạn có thể bỏ dấu ngoặc đơn, thay thế các số bằng các số đối lập của chúng. Sau đó, bạn cần đặt biểu thức kết quả trong dấu ngoặc mới. Đối với một số lẻ các số âm, bỏ dấu ngoặc, thay các số bằng các số đối lập của chúng. Sau đó, biểu thức kết quả phải được đặt trong dấu ngoặc mới và đặt dấu trừ trước nó.

Ví dụ 2

Ví dụ, hãy lấy biểu thức 5 · (- 3) · (- 2), là tích của ba số. Có hai số âm, vì vậy chúng ta có thể viết biểu thức dưới dạng (5 3 2) rồi cuối cùng mở ngoặc ta được biểu thức 5 3 2.

Trong tích (- 2, 5) (- 3): (- 2) 4: (- 1, 25): (- 1) năm số âm. vậy (- 2, 5) (- 3): (- 2) 4: (- 1, 25): (- 1) = (- 2. 5 3: 2 4: 1, 25: 1). Cuối cùng mở ngoặc, chúng ta nhận được −2,5 3: 2 4: 1,25: 1.

Quy tắc trên có thể được chứng minh như sau. Đầu tiên, chúng ta có thể viết lại các biểu thức như một tích, thay thế phép chia bằng phép nhân với số nghịch đảo. Chúng tôi biểu diễn mỗi số âm dưới dạng tích của một cấp số nhân và thay thế - 1 hoặc - 1 bằng (- 1) a.

Sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân, chúng ta hoán đổi các thừa số và chuyển tất cả các thừa số bằng − 1 , lên đầu biểu thức. Tích của một số chẵn trừ một số bằng 1 và một số lẻ bằng − 1 , cho phép chúng ta sử dụng dấu trừ.

Nếu chúng ta không sử dụng quy tắc, thì chuỗi hành động để mở ngoặc trong biểu thức - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 sẽ giống như sau:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Quy tắc trên có thể được sử dụng khi mở rộng dấu ngoặc trong biểu thức là tích và thương có dấu trừ không phải là tổng hoặc hiệu. Lấy ví dụ về biểu thức

x 2 (- x): (- 1 x) x - 3: 2.

Nó có thể được rút gọn thành một biểu thức không có ngoặc x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Mở ngoặc trước dấu +

Hãy xem xét một quy tắc có thể được áp dụng để mở rộng các dấu ngoặc đứng trước dấu cộng và "nội dung" của các dấu ngoặc đó không được nhân hoặc chia cho bất kỳ số hoặc biểu thức nào.

Theo quy tắc, dấu ngoặc cùng với dấu hiệu phía trước chúng được bỏ qua, trong khi dấu hiệu của tất cả các thuật ngữ trong ngoặc được giữ nguyên. Nếu không có dấu nào đứng trước số hạng đầu tiên trong ngoặc, thì bạn cần đặt một dấu cộng.

Ví dụ 3

Ví dụ, chúng tôi đưa ra biểu thức (12 − 3 , 5) − 7 . Bằng cách bỏ qua dấu ngoặc, chúng ta giữ nguyên các dấu của các số hạng trong ngoặc và đặt một dấu cộng trước số hạng đầu tiên. Mục nhập sẽ có dạng (12 - 3, 5) - 7 = + 12 - 3, 5 - 7. Trong ví dụ trên, không nhất thiết phải đặt dấu trước số hạng đầu tiên, vì + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Ví dụ 4

Hãy xem xét thêm một ví dụ. Lấy biểu thức x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x và thực hiện các thao tác với nó x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Đây là một ví dụ khác về mở rộng dấu ngoặc đơn:

Ví dụ 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Cách mở rộng dấu ngoặc trước dấu trừ

Hãy xem xét các trường hợp có dấu trừ trước dấu ngoặc và không được nhân (hoặc chia) với bất kỳ số hoặc biểu thức nào. Theo quy tắc mở rộng dấu ngoặc đứng trước dấu “-”, dấu ngoặc có dấu “-” bị bỏ qua, trong khi dấu của tất cả các số hạng bên trong dấu ngoặc được đảo ngược.

Ví dụ 6

Ví dụ:

1 2 \ u003d 1 2, - 1 x + 1 \ u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \ u003d x 2

Biểu thức biến có thể được chuyển đổi bằng cách sử dụng cùng một quy tắc:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

ta được x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2.

Mở ngoặc đơn khi nhân một số với một dấu ngoặc, các biểu thức với một dấu ngoặc

Ở đây chúng ta sẽ xét các trường hợp cần mở ngoặc là nhân hoặc chia với bất kỳ số hoặc biểu thức nào. Đây là công thức dạng (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) hoặc b (a 1 ± a 2 ±… ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ±… ± b a n), ở đâu a 1, a 2,…, a n và b là một số số hoặc biểu thức.

Ví dụ 7

Ví dụ: hãy mở rộng dấu ngoặc trong biểu thức (3 - 7) 2. Theo quy tắc, ta có thể thực hiện các phép biến hình sau: (3 - 7) 2 = (3 2 - 7 2). Ta được 3 · 2 - 7 · 2.

Mở rộng dấu ngoặc trong biểu thức 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, ta được 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Nhân một dấu ngoặc đơn với một dấu ngoặc đơn

Xét tích của hai dấu ngoặc có dạng (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2). Điều này sẽ giúp chúng ta có được quy tắc mở rộng dấu ngoặc khi nhân một dấu ngoặc với một dấu ngoặc.

Để giải quyết ví dụ trên, chúng ta ký hiệu biểu thức (b 1 + b 2) thích b. Điều này sẽ cho phép chúng tôi sử dụng quy tắc nhân biểu thức dấu ngoặc. Ta được (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b. Bằng cách thay thế ngược lại b trên (b 1 + b 2), áp dụng lại quy tắc nhân biểu thức với dấu ngoặc: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Nhờ một số thủ thuật đơn giản, chúng ta có thể tính tổng các tích của mỗi số hạng từ dấu ngoặc thứ nhất và mỗi số hạng từ dấu ngoặc thứ hai. Quy tắc có thể được mở rộng cho bất kỳ số thuật ngữ nào bên trong dấu ngoặc.

Hãy xây dựng quy tắc nhân hai tổng với dấu ngoặc: để nhân hai tổng với nhau ta phải nhân từng số hạng của tổng thứ nhất với từng số hạng của tổng thứ hai rồi cộng kết quả.

Công thức sẽ giống như sau:

(a 1 + a 2 +... + a m) (b 1 + b 2 +... + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 +. . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 +. . . + a 2 b n + +. . . + + a m b 1 + a m b 1 +. . . a m b n

Hãy mở rộng dấu ngoặc trong biểu thức (1 + x) · (x 2 + x + 6) Nó là một tích của hai tổng. Viết nghiệm: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Riêng biệt, điều đáng chú ý là ở những trường hợp đó khi có dấu trừ trong ngoặc cùng với dấu cộng. Ví dụ, hãy lấy biểu thức (1 - x) · (3 · x · y - 2 · x · y 3).

Đầu tiên, chúng tôi biểu diễn các biểu thức trong ngoặc dưới dạng tổng: (1 + (- x)) (3 x y + (- 2 x y 3)). Bây giờ chúng ta có thể áp dụng quy tắc: (1 + (- x)) (3 x y + (- 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (- 2 x y 3) + (- x) 3 x y + ( - x) (- 2 x y 3))

Hãy khai triển dấu ngoặc: 1 3 x y - 1 2 x y 3 - x 3 x y + x 2 x y 3.

Mở rộng dấu ngoặc trong các tích của một số dấu ngoặc và biểu thức

Nếu trong biểu thức có từ ba biểu thức trở lên trong ngoặc thì cần mở rộng tuần tự các dấu ngoặc. Cần phải bắt đầu chuyển đổi với thực tế là hai yếu tố đầu tiên được lấy trong ngoặc. Bên trong các dấu ngoặc này, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi theo các quy tắc đã thảo luận ở trên. Ví dụ, dấu ngoặc đơn trong biểu thức (2 + 4) 3 (5 + 7 8).

Biểu thức chứa ba yếu tố cùng một lúc (2 + 4) , 3 và (5 + 7 8). Chúng tôi sẽ mở rộng các dấu ngoặc một cách tuần tự. Chúng tôi đặt hai yếu tố đầu tiên trong một dấu ngoặc nữa, chúng tôi sẽ làm cho màu đỏ cho rõ ràng: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Theo quy tắc nhân một dấu ngoặc với một số, ta có thể thực hiện các thao tác sau: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8).

Nhân dấu ngoặc với dấu ngoặc: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8.

Dấu ngoặc đơn

Bậc, cơ số của một số biểu thức được viết trong ngoặc, với số mũ tự nhiên có thể được coi là tích của một số dấu ngoặc. Hơn nữa, theo các quy tắc từ hai đoạn trước, chúng có thể được viết mà không có dấu ngoặc đơn này.

Xét quá trình biến đổi biểu thức (a + b + c) 2. Nó có thể được viết như một tích của hai dấu ngoặc (a + b + c) (a + b + c). Ta nhân ngoặc với dấu ngoặc và được a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c.

Hãy lấy một ví dụ khác:

Ví dụ 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Chia dấu ngoặc đơn cho một số và một dấu ngoặc đơn cho một dấu ngoặc đơn

Chia dấu ngoặc đơn cho một số gợi ý rằng bạn phải chia cho số đó tất cả các thuật ngữ được đặt trong dấu ngoặc. Ví dụ, (x 2 - x): 4 = x 2: 4 - x: 4.

Trước đây phép chia có thể được thay thế bằng phép nhân, sau đó bạn có thể sử dụng quy tắc thích hợp để mở dấu ngoặc trong sản phẩm. Quy tắc tương tự cũng được áp dụng khi chia một dấu ngoặc đơn.

Ví dụ, chúng ta cần mở ngoặc trong biểu thức (x + 2): 2 3. Để làm điều này, trước tiên hãy thay phép chia bằng phép nhân với số nghịch đảo của (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Nhân dấu ngoặc với số (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3.

Đây là một ví dụ khác về phân chia dấu ngoặc đơn:

Ví dụ 9

1 x + x + 1: (x + 2).

Hãy thay phép chia bằng phép nhân: 1 x + x + 1 1 x + 2.

Hãy thực hiện phép nhân: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2.

Thứ tự mở rộng dấu ngoặc

Bây giờ hãy xem xét thứ tự áp dụng các quy tắc được thảo luận ở trên trong các biểu thức nhìn chung, I E. trong biểu thức có chứa tổng bằng hiệu, tích bằng thương, dấu ngoặc bằng hiện vật.

Thứ tự của các hành động:

  • bước đầu tiên là nâng dấu ngoặc lên thành lũy thừa tự nhiên;
  • ở giai đoạn thứ hai, dấu ngoặc được mở trong tác phẩm và tư nhân;
  • bước cuối cùng là mở dấu ngoặc trong phần tổng và phần chênh lệch.

Hãy xem xét thứ tự của các hành động bằng cách sử dụng ví dụ của biểu thức (- 5) + 3 · (- 2): (- 4) - 6 · (- 7). Hãy biến đổi từ các biểu thức 3 (- 2): (- 4) và 6 (- 7), chúng sẽ có dạng (3 2: 4) và (- 6 7). Thay kết quả thu được vào biểu thức ban đầu, ta được: (- 5) + 3 (- 2): (- 4) - 6 (- 7) = (- 5) + (3 2: 4) - (- 6 7 ). Mở rộng dấu ngoặc: - 5 + 3 2: 4 + 6 7.

Khi xử lý các biểu thức có chứa dấu ngoặc trong dấu ngoặc, sẽ thuận tiện khi thực hiện các phép biến đổi từ trong ra ngoài.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Bài viết này thảo luận về cách tìm giá trị của các biểu thức toán học. Hãy bắt đầu với các biểu thức số đơn giản và sau đó chúng ta sẽ xem xét các trường hợp khi độ phức tạp của chúng tăng lên. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một biểu thức có chứa chỉ định thư, dấu ngoặc, gốc, đặc biệt dấu hiệu toán học, độ, chức năng, v.v. Toàn bộ lý thuyết, theo truyền thống, sẽ được cung cấp với các ví dụ phong phú và chi tiết.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Làm thế nào để tìm giá trị của một biểu thức số?

Biểu thức số, trong số những thứ khác, giúp mô tả điều kiện của vấn đề bằng ngôn ngữ toán học. Nói chung, các biểu thức toán học có thể rất đơn giản, bao gồm một cặp số và dấu số học, hoặc rất phức tạp, chứa các hàm, độ, căn, dấu ngoặc, v.v. Là một phần của nhiệm vụ, thường cần tìm giá trị của một biểu thức. Làm thế nào để làm điều đó và sẽ được thảo luận phía dưới.

Các trường hợp đơn giản nhất

Đây là những trường hợp trong đó biểu thức không chứa gì ngoài số và các phép tính toán học. Để tìm thành công giá trị của các biểu thức như vậy, bạn sẽ cần kiến ​​thức về thứ tự thực hiện các phép toán số học mà không có dấu ngoặc, cũng như khả năng thực hiện các phép toán với các số khác nhau.

Nếu biểu thức chỉ chứa các số và dấu số học "+", "·", "-", "÷" thì các phép toán được thực hiện từ trái sang phải theo thứ tự sau: nhân và chia trước, sau đó cộng và trừ. Hãy đưa ra các ví dụ.

Ví dụ 1. Giá trị của một biểu thức số

Giả sử cần tìm các giá trị của biểu thức 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Hãy thực hiện phép nhân và phép chia trước. Chúng tôi nhận được:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Bây giờ chúng ta trừ đi và nhận được kết quả cuối cùng:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Ví dụ 2. Giá trị của một biểu thức số

Hãy tính: 0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12.

Đầu tiên, chúng ta thực hiện chuyển đổi các phân số, phép chia và phép nhân:

0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện cộng và trừ. Hãy nhóm các phân số và đưa chúng về một mẫu số chung:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Giá trị mong muốn được tìm thấy.

Biểu thức có dấu ngoặc

Nếu một biểu thức chứa dấu ngoặc, thì chúng xác định thứ tự của các hành động trong biểu thức này. Đầu tiên, các hành động trong ngoặc được thực hiện, sau đó là tất cả các hành động còn lại. Hãy cho thấy điều này với một ví dụ.

Ví dụ 3. Giá trị của một biểu thức số

Tìm giá trị của biểu thức 0. 5 · (0. 76 - 0. 06).

Biểu thức chứa dấu ngoặc, vì vậy trước tiên chúng ta thực hiện phép trừ trong dấu ngoặc và chỉ sau đó thực hiện phép nhân.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Giá trị của biểu thức chứa dấu ngoặc trong ngoặc được tìm theo nguyên tắc tương tự.

Ví dụ 4. Giá trị của một biểu thức số

Hãy tính giá trị 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4.

Chúng ta sẽ thực hiện các hành động bắt đầu từ dấu ngoặc trong cùng, chuyển sang các dấu ngoặc bên ngoài.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Khi tìm giá trị của biểu thức có dấu ngoặc, điều chính là tuân theo chuỗi hành động.

Biểu thức với rễ

Biểu thức toán học có giá trị mà chúng ta cần tìm có thể chứa dấu căn. Hơn nữa, bản thân biểu thức có thể nằm dưới dấu của gốc. Làm thế nào để ở trong trường hợp đó? Đầu tiên, bạn cần tìm giá trị của biểu thức dưới gốc, sau đó trích xuất gốc từ số kết quả. Nếu có thể, tốt hơn là loại bỏ gốc rễ trong biểu thức số, thay thế bằng các giá trị số.

Ví dụ 5. Giá trị của một biểu thức số

Hãy tính giá trị của biểu thức với căn - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5.

Đầu tiên, chúng tôi tính toán các biểu thức căn.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Bây giờ chúng ta có thể tính toán giá trị của toàn bộ biểu thức.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Thông thường, để tìm giá trị của một biểu thức có gốc, trước tiên cần phải biến đổi biểu thức ban đầu. Hãy giải thích điều này với một ví dụ khác.

Ví dụ 6. Giá trị của một biểu thức số

3 + 1 3 - 1 - 1 là gì

Như bạn có thể thấy, chúng tôi không có khả năng thay thế giá trị gốc bằng một giá trị chính xác, điều này làm phức tạp quá trình đếm. Tuy nhiên, trong trường hợp này Bạn có thể sử dụng công thức cho phép nhân viết tắt.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Như vậy:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Biểu thức với quyền hạn

Nếu biểu thức chứa lũy thừa, giá trị của chúng phải được tính toán trước khi tiếp tục với tất cả các hành động khác. Nó xảy ra rằng bản thân số mũ hoặc cơ sở của mức độ là biểu thức. Trong trường hợp này, giá trị của các biểu thức này được tính trước, sau đó đến giá trị của mức độ.

Ví dụ 7. Giá trị của một biểu thức số

Tìm giá trị của biểu thức 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4.

Chúng tôi bắt đầu tính toán theo thứ tự.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Nó vẫn chỉ để thực hiện thao tác cộng và tìm ra giá trị của biểu thức:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Nó cũng thường được khuyến khích để đơn giản hóa biểu thức bằng cách sử dụng các thuộc tính của mức độ.

Ví dụ 8. Giá trị của một biểu thức số

Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

Các số mũ một lần nữa sao cho không thể thu được các giá trị số chính xác của chúng. Đơn giản hóa biểu thức ban đầu để tìm giá trị của nó.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Biểu thức với phân số

Nếu một biểu thức chứa phân số, thì khi tính toán một biểu thức như vậy, tất cả các phân số trong biểu thức đó phải được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường và các giá trị của chúng \ u200b \ u200 được tính toán.

Nếu có biểu thức ở tử số và mẫu số của phân số, thì giá trị của các biểu thức này được tính trước và giá trị cuối cùng của chính phân số đó được ghi lại. Các phép toán số học được thực hiện theo thứ tự chuẩn. Hãy xem xét một giải pháp ví dụ.

Ví dụ 9. Giá trị của một biểu thức số

Hãy tìm giá trị của biểu thức chứa phân số: 3, 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Như bạn có thể thấy, có ba phân số trong biểu thức ban đầu. Đầu tiên chúng ta hãy tính toán các giá trị của chúng.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Hãy viết lại biểu thức của chúng ta và tính giá trị của nó:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Thông thường, khi tìm giá trị của biểu thức, việc rút gọn phân số sẽ rất tiện lợi. Có một quy tắc bất thành văn: trước khi tìm giá trị của nó, cách tốt nhất là đơn giản hóa bất kỳ biểu thức nào đến mức tối đa, giảm mọi phép tính xuống những trường hợp đơn giản nhất.

Ví dụ 10. Giá trị của một biểu thức số

Hãy tính biểu thức 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Chúng ta không thể trích xuất hoàn toàn gốc của năm, nhưng chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức ban đầu thông qua các phép biến đổi.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Biểu thức ban đầu có dạng:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Hãy tính giá trị của biểu thức này:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Biểu thức với logarit

Khi logarit xuất hiện trong một biểu thức, giá trị của chúng, nếu có thể, được tính ngay từ đầu. Ví dụ, trong biểu thức log 2 4 + 2 4, bạn có thể viết ngay giá trị của logarit này thay vì log 2 4, sau đó thực hiện tất cả các hành động. Ta được: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Biểu thức số cũng có thể được tìm thấy dưới dấu của lôgarit và ở cơ số của nó. Trong trường hợp này, bước đầu tiên là tìm giá trị của chúng. Hãy lấy biểu thức log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Chúng ta có:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Nếu không thể tính giá trị chính xác của lôgarit, việc đơn giản hóa biểu thức sẽ giúp tìm ra giá trị của nó.

Ví dụ 11. Giá trị của một biểu thức số

Tìm giá trị của biểu thức log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.

Theo tính chất của logarit:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Một lần nữa áp dụng các tính chất của logarit, đối với phân số cuối cùng trong biểu thức, chúng ta nhận được:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Bây giờ bạn có thể tiến hành tính giá trị của biểu thức ban đầu.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Biểu thức với các hàm lượng giác

Điều xảy ra là trong biểu thức có các hàm lượng giác của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang, cũng như các hàm ngược với chúng. Từ giá trị được tính toán trước khi tất cả các phép tính số học khác được thực hiện. Nếu không, biểu thức được đơn giản hóa.

Ví dụ 12. Giá trị của một biểu thức số

Tìm giá trị của biểu thức: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Đầu tiên, chúng ta tính giá trị của các hàm lượng giác có trong biểu thức.

sin - 5 π 2 \ u003d - 1

Thay các giá trị trong biểu thức và tính giá trị của nó:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \ u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \ u003d 3 + 1 - 1 \ u003d 3.

Giá trị của biểu thức được tìm thấy.

Thông thường, để tìm giá trị của một biểu thức với các hàm lượng giác, trước hết nó phải được chuyển đổi. Hãy giải thích bằng một ví dụ.

Ví dụ 13. Giá trị của một biểu thức số

Cần tìm giá trị của biểu thức cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Để biến đổi, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cho côsin của góc kép và côsin của tổng.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Trường hợp chung của biểu thức số

TẠI trường hợp chung Biểu thức lượng giác có thể chứa tất cả các yếu tố trên: dấu ngoặc, độ, căn, logarit, hàm số. Hãy xây dựng nguyên tắc chung tìm giá trị của các biểu thức đó.

Cách tìm giá trị của một biểu thức

  1. Rễ, lũy thừa, logarit, v.v. được thay thế bởi các giá trị của chúng.
  2. Các hành động trong ngoặc đơn được thực hiện.
  3. Các bước còn lại thực hiện theo thứ tự từ trái qua phải. Đầu tiên - nhân và chia, sau đó - cộng và trừ.

Hãy lấy một ví dụ.

Ví dụ 14. Giá trị của một biểu thức số

Hãy tính giá trị của biểu thức là - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Cách diễn đạt khá phức tạp và rườm rà. Không phải ngẫu nhiên mà chúng tôi chỉ chọn một ví dụ như vậy, cố gắng đưa vào tất cả các trường hợp được mô tả ở trên. Làm thế nào để tìm giá trị của biểu thức đó?

Biết rằng khi tính giá trị của một dạng phân số phức, trước hết các giá trị của tử số và mẫu số của phân số được tìm riêng biệt. Chúng tôi sẽ liên tiếp biến đổi và đơn giản hóa biểu thức này.

Trước hết, ta tính giá trị của biểu thức căn 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Để làm điều này, bạn cần tìm giá trị của sin và biểu thức là đối số của hàm lượng giác.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Bây giờ bạn có thể tìm ra giá trị của sin:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Chúng tôi tính giá trị của biểu thức căn:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Với mẫu số của một phân số, mọi thứ dễ dàng hơn:

Bây giờ chúng ta có thể viết ra giá trị của toàn bộ phân số:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Với ý nghĩ này, chúng tôi viết toàn bộ biểu thức:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Kết quả cuối cùng:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Trong trường hợp này, chúng tôi có thể tính toán các giá trị chính xác cho gốc, logarit, sin, v.v. Nếu không được, bạn có thể thử loại bỏ chúng bằng các phép biến đổi toán học.

Tính toán biểu thức theo cách hợp lý

Các giá trị số phải được tính toán nhất quán và chính xác. Quá trình này có thể được sắp xếp hợp lý và tăng tốc bằng cách sử dụng tài sản khác nhau các hành động với các con số. Ví dụ, biết rằng tích bằng 0 nếu ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Với tính chất này, ngay lập tức chúng ta có thể nói rằng biểu thức 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 bằng không. Trong trường hợp này, không cần thiết phải thực hiện các bước theo thứ tự được mô tả trong bài viết ở trên.

Nó cũng thuận tiện để sử dụng tính chất của phép trừ các số bằng nhau. Không cần thực hiện bất kỳ thao tác nào, có thể sắp xếp giá trị của biểu thức 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 cũng bằng không.

Một kỹ thuật khác cho phép bạn tăng tốc quá trình là sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau, chẳng hạn như nhóm các thuật ngữ và yếu tố và lấy số nhân chung cho dấu ngoặc. Một cách tiếp cận hợp lý để tính các biểu thức với phân số là giảm các biểu thức giống nhau ở tử số và mẫu số.

Ví dụ, hãy lấy biểu thức 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Không thực hiện các hành động trong ngoặc nhưng bằng cách rút gọn phân số, chúng ta có thể nói rằng giá trị của biểu thức là 1 3.

Tìm giá trị của biểu thức có biến

Ý nghĩa của một biểu thức chữ và một biểu thức với các biến được tìm thấy cho các thiết lập các điểm các chữ cái và các biến.

Tìm giá trị của biểu thức có biến

Để tìm giá trị của một biểu thức chữ và một biểu thức có biến, bạn cần thay thế các giá trị đã cho của các chữ cái và biến vào biểu thức ban đầu, sau đó tính giá trị của biểu thức số kết quả.

Ví dụ 15. Giá trị của một biểu thức với các biến

Tính giá trị của biểu thức 0; 5 x - y cho trước x = 2, 4 và y = 5.

Chúng tôi thay thế các giá trị của các biến vào biểu thức và tính toán:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

Đôi khi có thể biến đổi một biểu thức sao cho nhận được giá trị của nó bất kể giá trị của các chữ cái và biến có trong nó. Để làm điều này, bạn cần loại bỏ các chữ cái và biến trong biểu thức, nếu có thể, sử dụng biến đổi giống hệt nhau, các thuộc tính của phép toán số học và tất cả các cách khác có thể.

Ví dụ, biểu thức x + 3 - x hiển nhiên có giá trị là 3, và không cần biết giá trị của x để tính giá trị này. Nghĩa biểu thức đã cho bằng ba với tất cả các giá trị của biến x từ diện tích của nó giá trị cho phép.

Thêm một ví dụ nữa. Giá trị của biểu thức x x bằng một giá trị của biểu thức x dương.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter


Vì vậy, nếu một biểu thức số bao gồm các số và dấu +, -, · và :, thì theo thứ tự từ trái sang phải, trước tiên bạn phải thực hiện phép nhân và chia, sau đó là cộng và trừ, điều này sẽ cho phép bạn tìm được giá trị mong muốn giá trị của biểu thức.

Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ để làm rõ.

Ví dụ.

Tính giá trị của biểu thức 14−2 · 15: 6−3.

Quyết định.

Để tìm giá trị của một biểu thức, bạn cần thực hiện tất cả các hành động được chỉ định trong nó theo thứ tự được chấp nhận để thực hiện các hành động này. Đầu tiên, theo thứ tự từ trái sang phải, chúng ta thực hiện phép nhân và chia, chúng ta nhận được 14−2 15: 6−3 = 14−30: 6−3 = 14−5−3. Bây giờ, theo thứ tự từ trái sang phải, chúng ta thực hiện các hành động còn lại: 14−5−3 = 9−3 = 6. Vì vậy, chúng tôi tìm thấy giá trị của biểu thức ban đầu, nó bằng 6.

Trả lời:

14−2 15: 6−3 = 6.

Ví dụ.

Tìm giá trị của biểu thức.

Quyết định.

TẠI ví dụ nàyđầu tiên chúng ta cần thực hiện phép nhân 2 (−7) và phép chia với phép nhân trong biểu thức. Nhớ lại cách tìm, ta tìm được 2 (−7) = - 14. Và để thực hiện các hành động trong biểu thức, trước tiên , sau đó và thực hiện: .

Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào biểu thức ban đầu:.

Nhưng còn khi có một biểu thức số dưới dấu căn thì sao? Để nhận giá trị của một gốc như vậy, trước tiên bạn phải tìm giá trị của biểu thức gốc, tuân theo thứ tự hoạt động được chấp nhận. Ví dụ, .

Trong biểu thức số, các gốc phải được coi là một số số và nên thay ngay các gốc bằng các giá trị của chúng, sau đó tìm giá trị của biểu thức kết quả không có gốc, thực hiện các hành động trong dãy được chấp nhận.

Ví dụ.

Tìm giá trị của biểu thức có nghiệm nguyên.

Quyết định.

Lúc đầu tìm giá trị nguồn gốc . Để làm điều này, trước tiên, chúng tôi tính giá trị của biểu thức căn, chúng tôi có −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8. Và thứ hai, chúng tôi tìm giá trị của gốc.

Bây giờ hãy tính giá trị của căn thứ hai từ biểu thức ban đầu:.

Cuối cùng, chúng ta có thể tìm giá trị của biểu thức ban đầu bằng cách thay thế các gốc bằng các giá trị của chúng:.

Trả lời:

Thông thường, để có thể tìm giá trị của một biểu thức có gốc, trước tiên bạn phải chuyển đổi nó. Hãy đưa ra một giải pháp ví dụ.

Ví dụ.

Ý nghĩa của biểu thức là gì .

Quyết định.

Chúng tôi không thể thay thế gốc của ba bằng giá trị chính xác của nó, điều này không cho phép chúng tôi tính giá trị của biểu thức này theo cách được mô tả ở trên. Tuy nhiên, chúng ta có thể tính giá trị của biểu thức này bằng cách thực hiện các phép biến đổi đơn giản. Áp dụng sự khác biệt của công thức bình phương:. Xem xét, chúng tôi nhận được . Vậy giá trị của biểu thức ban đầu là 1.

Trả lời:

.

Với độ

Nếu cơ số và số mũ là số, thì giá trị của chúng được tính bằng định nghĩa của bậc, chẳng hạn, 3 2 = 3 3 = 9 hoặc 8 −1 = 1/8. Cũng có các mục nhập khi cơ số và / hoặc số mũ là một số biểu thức. Trong những trường hợp này, bạn cần tìm giá trị của biểu thức trong cơ số, giá trị của biểu thức trong số mũ, rồi tính giá trị của chính bậc.

Ví dụ.

Tìm giá trị của một biểu thức có dạng lũy ​​thừa 2 3 4−10 +16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4.

Quyết định.

Biểu thức ban đầu có hai lũy thừa 2 3 4−10 và (1−1 / 2) 3,5−2 1/4. Giá trị của chúng phải được tính toán trước khi thực hiện các bước còn lại.

Hãy bắt đầu với lũy thừa 2 3 · 4−10. Chỉ báo của nó chứa một biểu thức số, hãy tính giá trị của nó: 3 · 4−10 = 12−10 = 2. Bây giờ bạn có thể tìm giá trị của chính độ: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.

Có các biểu thức trong cơ số và số mũ (1−1 / 2) 3,5−2 1/4, ta tính giá trị của chúng để tìm giá trị của hoành độ sau này. Chúng ta có (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Bây giờ chúng ta quay lại biểu thức ban đầu, thay thế các độ trong nó bằng các giá trị của chúng và tìm giá trị của biểu thức chúng ta cần: 2 3 4−10 +16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.

Trả lời:

2 3 4−10 +16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 6.

Điều đáng lưu ý là có nhiều trường hợp phổ biến hơn khi nên tiến hành sơ đơn giản hóa biểu thức với quyền hạn trên cơ sở.

Ví dụ.

Tìm giá trị của một biểu thức .

Quyết định.

Đánh giá theo số mũ trong biểu thức này, không thể thu được giá trị chính xác của các độ. Hãy cố gắng đơn giản hóa biểu thức ban đầu, có thể nó sẽ giúp tìm ra giá trị của nó. Chúng ta có

Trả lời:

.

Quyền hạn trong biểu thức thường đi đôi với logarit, nhưng chúng ta sẽ nói về việc tìm giá trị của biểu thức với logarit ở một trong hai.

Tìm giá trị của một biểu thức với phân số

Biểu thức số trong bản ghi của chúng có thể chứa phân số. Khi cần tìm giá trị của một biểu thức như vậy, các phân số không phải là phân số thông thường phải được thay thế bằng giá trị của chúng trước khi thực hiện các bước khác.

Tử số và mẫu số của phân số (khác với phân số thông thường) có thể chứa cả một số và biểu thức. Để tính giá trị của một phân số như vậy, bạn cần tính giá trị của biểu thức ở tử số, tính giá trị của biểu thức ở mẫu số, sau đó tính giá trị của chính phân số đó. Thứ tự này được giải thích là do phân số a / b, trong đó a và b là một số biểu thức, trên thực tế là một thương số của dạng (a) :( b), kể từ đó.

Hãy xem xét một giải pháp ví dụ.

Ví dụ.

Tìm giá trị của một biểu thức với phân số .

Quyết định.

Trong biểu thức số ban đầu, ba phân số và . Để tìm giá trị của biểu thức ban đầu, trước tiên chúng ta cần các phân số này và thay thế chúng bằng các giá trị của chúng. Hãy làm nó.

Tử số và mẫu số của một phân số là số. Để tìm giá trị của một phân số như vậy, chúng tôi thay thế thanh phân số bằng một dấu chia và thực hiện hành động này: .

Tử số của phân số chứa biểu thức 7−2 3, giá trị của nó dễ tìm là: 7−2 3 = 7−6 = 1. Vì vậy,. Bạn có thể tiến hành tìm giá trị của phân số thứ ba.

Phân số thứ ba trong tử số và mẫu số chứa các biểu thức số, do đó, trước tiên bạn cần tính giá trị của chúng và điều này sẽ cho phép bạn tìm giá trị của chính phân số đó. Chúng ta có .

Nó vẫn để thay thế các giá trị tìm được vào biểu thức ban đầu và thực hiện các bước còn lại:.

Trả lời:

.

Thông thường, khi tìm giá trị của biểu thức với phân số, bạn phải thực hiện đơn giản hóa các biểu thức phân số, dựa trên việc thực hiện các hành động với phân số và rút gọn phân số.

Ví dụ.

Tìm giá trị của một biểu thức .

Quyết định.

Gốc của năm không được trích xuất hoàn toàn, vì vậy để tìm giá trị của biểu thức ban đầu, chúng ta hãy đơn giản hóa nó trước. Đối với điều này loại bỏ sự bất hợp lý trong mẫu số phân số đầu tiên: . Sau đó, biểu thức ban đầu sẽ có dạng . Sau khi trừ các phân số, các nghiệm nguyên sẽ biến mất, điều này cho phép chúng ta tìm giá trị của biểu thức đã cho ban đầu:.

Trả lời:

.

Với logarit

Nếu biểu thức số có chứa và nếu có thể loại bỏ chúng, thì điều này được thực hiện trước khi thực hiện các hành động khác. Ví dụ, khi tìm giá trị của biểu thức log 2 4 + 2 3, logarit của log 2 4 được thay bằng giá trị 2 của nó, sau đó các phép toán còn lại được thực hiện theo thứ tự thông thường, nghĩa là log 2 4 +2 3 = 2 + 2 3 = 2 + 6 = 8.

Khi có biểu thức số dưới dấu của lôgarit và / hoặc ở cơ số của nó, thì giá trị của chúng trước tiên được tìm thấy, sau đó giá trị của lôgarit được tính. Ví dụ, hãy xem xét một biểu thức có logarit có dạng . Ở cơ số của lôgarit và dưới dấu của nó là các biểu thức số, chúng ta tìm thấy các giá trị của chúng:. Bây giờ chúng ta tìm logarit, sau đó chúng ta hoàn thành các phép tính:.

Nếu logarit không được tính toán chính xác, thì đơn giản hóa sơ bộ của nó bằng cách sử dụng. Trong trường hợp này, bạn cần phải nắm rõ tài liệu của bài báo. biến đổi của biểu thức logarit.

Ví dụ.

Tìm giá trị của một biểu thức với logarit .

Quyết định.

Hãy bắt đầu bằng cách tính log 2 (log 2 256). Vì 256 = 2 8 nên log 2 256 = 8, do đó log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Logarit log 6 2 và log 6 3 có thể được nhóm lại. Tổng của logarit log 6 2 + log 6 3 bằng logarit của tích log 6 (2 3), do đó log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Bây giờ chúng ta hãy đối phó với phân số. Để bắt đầu, chúng ta sẽ viết lại cơ số của logarit ở mẫu số dưới dạng phân số thông thường là 1/5, sau đó chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit, điều này sẽ cho phép chúng ta nhận được giá trị của phân số:
.

Nó vẫn chỉ để thay thế các kết quả thu được vào biểu thức ban đầu và kết thúc việc tìm kiếm giá trị của nó:

Trả lời:

Làm thế nào để tìm giá trị của một biểu thức lượng giác?

Khi một biểu thức số chứa hoặc v.v., thì giá trị của chúng sẽ được tính toán trước khi thực hiện các hành động khác. Nếu có biểu thức số dưới dấu của hàm lượng giác thì giá trị của chúng được tính trước, sau đó giá trị của hàm lượng giác được tìm thấy.

Ví dụ.

Tìm giá trị của một biểu thức .

Quyết định.

Chuyển sang bài báo, chúng tôi nhận được và cosπ = −1. Chúng tôi thay thế các giá trị này thành biểu thức ban đầu, nó có dạng . Để tìm giá trị của nó, trước tiên bạn cần thực hiện phép tính lũy thừa, và sau đó kết thúc các phép tính:.

Trả lời:

.

Cần lưu ý rằng việc tính giá trị của các biểu thức với sin, cosine, v.v. thường yêu cầu trước phép biến đổi biểu thức lượng giác.

Ví dụ.

Giá trị của biểu thức lượng giác là gì .

Quyết định.

Hãy biến đổi biểu thức ban đầu bằng cách sử dụng, trong trường hợp này, chúng ta cần công thức cosin góc kép và công thức cosin tổng:

Các phép biến đổi được thực hiện đã giúp chúng tôi tìm ra giá trị của biểu thức.

Trả lời:

.

Trường hợp chung

Trong trường hợp chung, một biểu thức số có thể chứa căn, độ, phân số và bất kỳ hàm nào cũng như dấu ngoặc. Tìm giá trị của các biểu thức như vậy bao gồm việc bước tiếp theo:

  • rễ đầu tiên, độ, phân số, v.v. được thay thế bằng các giá trị của chúng,
  • các hành động khác trong ngoặc đơn,
  • và theo thứ tự từ trái sang phải, các phép toán còn lại được thực hiện - nhân và chia, sau đó là cộng và trừ.

Các thao tác trên được thực hiện cho đến khi thu được kết quả cuối cùng.

Ví dụ.

Tìm giá trị của một biểu thức .

Quyết định.

Hình thức của biểu thức này khá phức tạp. Trong biểu thức này, chúng ta thấy một phân số, căn, độ, sin và logarit. Làm thế nào để tìm ra ý nghĩa của nó?

Di chuyển dọc theo bản ghi từ trái sang phải, chúng tôi bắt gặp một phần nhỏ của biểu mẫu . Chúng ta biết rằng khi xử lý phân số loại phức tạp, chúng ta cần tính riêng giá trị của tử số - mẫu số, và cuối cùng, tìm giá trị của phân số.

Trong tử số, chúng ta có một gốc của biểu mẫu . Để xác định giá trị của nó, trước tiên bạn phải tính giá trị của biểu thức căn . Có một ô sin ở đây. Chúng ta chỉ có thể tìm thấy giá trị của nó sau khi tính giá trị của biểu thức . Đây là những gì chúng tôi có thể làm:. Sau đó từ đâu và .

Với mẫu số, mọi thứ đều đơn giản:.

Vì vậy, .

Sau khi thay thế kết quả này vào biểu thức ban đầu, nó sẽ có dạng. Biểu thức kết quả chứa mức độ. Để tìm giá trị của nó, trước tiên bạn phải tìm giá trị của chỉ số, chúng ta có .

Cho nên, .

Trả lời:

.

Nếu không thể tính toán chính xác các giá trị của gốc, độ, v.v., thì bạn có thể loại bỏ chúng bằng cách sử dụng bất kỳ phép biến đổi nào, sau đó quay lại tính giá trị theo sơ đồ đã chỉ định.

Các cách hợp lý để tính giá trị của biểu thức

Tính toán các giá trị của biểu thức số đòi hỏi tính nhất quán và chính xác. Đúng, cần tuân thủ trình tự các hành động đã ghi ở các đoạn trước, nhưng không nên thực hiện điều này một cách mù quáng và máy móc. Điều này có nghĩa là chúng tôi thường có thể hợp lý hóa quá trình tìm kiếm giá trị của một biểu thức. Ví dụ: một số thuộc tính của hành động với số cho phép bạn tăng tốc đáng kể và đơn giản hóa việc tìm kiếm giá trị của một biểu thức.

Ví dụ, chúng ta biết tính chất này của phép nhân: nếu một trong các yếu tố trong sản phẩm bằng 0, thì giá trị của sản phẩm bằng 0. Sử dụng thuộc tính này, ngay lập tức chúng ta có thể nói rằng giá trị của biểu thức 0 (2 3 + 893−3234: 54 65−79 56 2.2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) bằng không. Nếu chúng ta tuân theo thứ tự tiêu chuẩn của các phép toán, thì trước tiên chúng ta sẽ phải tính giá trị của các biểu thức cồng kềnh trong dấu ngoặc và điều này sẽ mất rất nhiều thời gian và kết quả vẫn là 0.

Cũng thuận tiện khi sử dụng thuộc tính của phép trừ các số bằng nhau: nếu bạn lấy một số trừ một số bằng nhau, thì kết quả sẽ bằng không. Tính chất này có thể được coi là rộng hơn: hiệu của hai biểu thức số giống nhau bằng không. Ví dụ: không cần tính giá trị của biểu thức trong ngoặc, bạn có thể tìm thấy giá trị của biểu thức (54 6−12 47362: 3) - (54 6−12 47362: 3), nó bằng 0, vì biểu thức ban đầu là hiệu của các biểu thức giống hệt nhau.

Các phép biến đổi giống hệt nhau có thể góp phần vào việc tính toán hợp lý các giá trị của biểu thức. Ví dụ, một nhóm các thuật ngữ và thừa số có thể hữu ích, nhưng không kém phần thường xuyên là việc loại bỏ nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc. Vì vậy, giá trị của biểu thức 53 5 + 53 7−53 11 + 5 rất dễ tìm thấy sau khi lấy thừa số 53 ra khỏi dấu ngoặc: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58. Tính toán trực tiếp sẽ mất nhiều thời gian hơn.

Trong phần kết của đoạn này, chúng ta hãy chú ý đến cách tiếp cận hợp lý để tính giá trị của biểu thức với phân số - cùng tử số và mẫu số của phân số được rút gọn. Ví dụ, giảm các biểu thức giống nhau ở tử số và mẫu số của một phân số cho phép bạn tìm thấy ngay giá trị của nó, là 1/2.

Tìm giá trị của một biểu thức chữ và một biểu thức có các biến

Giá trị của một biểu thức chữ và một biểu thức với các biến được tìm thấy cho các giá trị cụ thể của các chữ cái và biến. I E, chúng tôi đang nói chuyện về cách tìm giá trị của một biểu thức chữ cho các giá trị chữ cái đã cho hoặc về cách tìm giá trị của một biểu thức có các biến cho các giá trị biến đã chọn.

luật lệ việc tìm giá trị của một biểu thức chữ hoặc một biểu thức với các biến cho các giá trị cho trước của các chữ cái hoặc các giá trị đã chọn của các biến như sau: trong biểu thức ban đầu, bạn cần thay thế các giá trị đã cho của các chữ cái hoặc biến, và tính giá trị của biểu thức số kết quả, nó là giá trị mong muốn.

Ví dụ.

Tính giá trị của biểu thức 0,5 x − y với x = 2,4 và y = 5.

Quyết định.

Để tìm giá trị cần thiết của biểu thức, trước tiên bạn cần thay thế các giá trị biến này vào biểu thức ban đầu, sau đó thực hiện các hành động sau: 0,5 2.4−5 = 1.2−5 = −3.8.

Trả lời:

−3,8 .

Kết luận, chúng tôi lưu ý rằng đôi khi việc chuyển đổi các biểu thức chữ và biểu thức với các biến cho phép bạn nhận giá trị của chúng, bất kể giá trị của các chữ cái và biến. Ví dụ, biểu thức x + 3 − x có thể được đơn giản hóa để trở thành 3. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng giá trị của biểu thức x + 3 - x bằng 3 với bất kỳ giá trị nào của biến x trong phạm vi giá trị chấp nhận được \ u200b \ u200b (ODZ) của nó. Một ví dụ khác: giá trị của biểu thức bằng 1 với tất cả các giá trị dương x, vì vậy phạm vi giá trị chấp nhận được của biến x trong biểu thức ban đầu là tập hợp các số dương và sự bình đẳng diễn ra trên khu vực này .

Thư mục.

  • toán học: học. cho 5 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - ấn bản thứ 21, bị xóa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 trang: ốm. ISBN 5-346-00699-0.
  • Toán học. Lớp 6: SGK. cho giáo dục phổ thông các cơ sở / [N. Ya. Vilenkin và những người khác]. - Xuất bản lần thứ 22, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p: bệnh. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Đại số học: sách giáo khoa cho 7 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Đại số học: Lớp 9: sách giáo khoa. cho giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Đại số học và phần mở đầu của phân tích: Proc. cho 10-11 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn và những người khác; Ed. A. N. Kolmogorova. - Xuất bản lần thứ 14. - M.: Khai sáng, 2004. - 384 trang: bệnh. - ISBN 5-09-013651-3.
Bài viết liên quan: