Chuyển đổi số sang hệ thống số nhị phân, thập lục phân, thập phân, bát phân. Hệ thống số thập lục phân nhị phân bát phân

Để biểu diễn các số trong bộ vi xử lý, nó được sử dụng hệ thống số nhị phân.
Trong trường hợp này, bất kỳ tín hiệu kỹ thuật số nào cũng có thể có hai trạng thái ổn định: "mức cao" và "mức thấp". Trong hệ nhị phân, hai số được dùng để biểu diễn một số bất kỳ, lần lượt là: 0 và 1. Một số tùy ý x = a n a n-1 ..a 1 a 0, a -1 a -2… a -m sẽ được viết dưới dạng nhị phân là

x = an 2 n + a n-1 2 n-1 +… + a 1 2 1 + a 0 2 0 + a -1 2 -1 + a -2 2 -2 +… + a -m 2 -m

ở đâu một tôi- chữ số nhị phân (0 hoặc 1).

Hệ thống số bát phân

Trong hệ bát phân, các chữ số cơ bản là các chữ số từ 0 đến 7. 8 đơn vị có nghĩa nhỏ nhất được kết hợp thành một đơn vị có nghĩa nhất.

Hệ thống số thập lục phân

Trong ký hiệu thập lục phân, các chữ số cơ bản là các chữ số từ 0 đến 15, bao gồm cả. Để chỉ định các chữ số cơ bản nhiều hơn 9 trong một ký tự, ngoài các chữ số Ả Rập 0 ... 9, các chữ cái của bảng chữ cái Latinh được sử dụng trong hệ thống số thập lục phân:

10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16.

Ví dụ: số 175 10 trong ký hiệu thập lục phân sẽ được viết là AF 16. Có thật không,

10 16 1 + 15 16 0 = 160 + 15 = 175

Bảng chứa các số từ 0 đến 16 trong hệ thống ký hiệu thập phân, nhị phân, bát phân và thập lục phân.

Chuyển đổi nhị phân sang bát phân và nhị phân sang thập lục phân

Hệ thống số nhị phân thuận tiện cho việc thực hiện các phép tính số học bằng phần cứng vi xử lý, nhưng không thuận tiện cho nhận thức của con người, vì nó đòi hỏi một số lượng lớn các bit. Do đó, trong công nghệ máy tính, ngoài hệ thống số nhị phân, các hệ thống số bát phân và hệ thập lục phân được sử dụng rộng rãi để biểu diễn số một cách gọn gàng hơn.

Hệ thống số bát phân ba chữ số thực hiện tất cả các kết hợp có thể có của các chữ số bát phân trong hệ thống số nhị phân: từ 0 (000) đến 7 (111). Để chuyển một số nhị phân sang bát phân, bạn cần kết hợp các chữ số nhị phân thành nhóm 3 chữ số (bộ ba) theo hai hướng, bắt đầu từ dấu phân cách thập phân. Nếu cần, hãy thêm các số không không đáng kể vào bên trái của số ban đầu. Nếu số chứa một phần phân số, thì các số không không đáng kể cũng có thể được thêm vào bên phải của nó cho đến khi tất cả các bộ ba được lấp đầy. Sau đó, mỗi bộ ba được thay thế bằng một chữ số bát phân.

Ví dụ: Chuyển 1101110.01 2 sang bát phân.

Chúng tôi kết hợp các chữ số nhị phân thành bộ ba từ phải sang trái. Chúng tôi nhận được

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

Để chuyển đổi một số từ bát phân sang nhị phân, bạn cần viết từng chữ số bát phân trong mã nhị phân:

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

Hệ thống số thập lục phân bốn bit thực hiện tất cả các kết hợp có thể có của các chữ số thập lục phân trong hệ nhị phân: từ 0 (0000) đến F (1111). Để chuyển đổi một số nhị phân sang hệ thập lục phân, bạn cần kết hợp các chữ số nhị phân thành các nhóm 4 chữ số (tứ phân) theo hai hướng, bắt đầu từ dấu phân cách thập phân. Nếu cần, hãy thêm các số không không đáng kể vào bên trái của số ban đầu. Nếu số chứa một phần phân số, thì ở bên phải của nó, bạn cũng cần thêm các số không không đáng kể cho đến khi tất cả các sổ ghi chép được lấp đầy. Sau đó, mỗi sổ tay được thay thế bằng một chữ số thập lục phân.

Ví dụ: Chuyển 1101110.11 2 sang ký hiệu thập lục phân.

Chúng tôi kết hợp các số nhị phân thành tứ phân từ phải sang trái. Chúng tôi nhận được

0110 1110.1100 2 = 6E, C 16.

Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang nhị phân, bạn cần viết từng chữ số thập lục phân dưới dạng mã nhị phân.

Bắt nguồn từ Babylon cổ đại. Ở Ấn Độ, hệ thống này hoạt động dưới hình thức đánh số thập phân vị trí sử dụng số 0, quốc gia Ả Rập này đã mượn hệ thống số này từ người Ấn Độ, và đến lượt người châu Âu, lấy nó từ họ. Ở Châu Âu, hệ thống này bắt đầu được gọi là Ả Rập.

Hệ thống vị trítính toán- nghĩa của tất cả các chữ số phụ thuộc vào vị trí (chữ số) của chữ số đã cho trong số.

Ví dụ về, hệ thống số thập phân tiêu chuẩn là một hệ thống vị trí. Giả sử một số được đưa ra453 ... Con số 4 là viết tắt của hàng trăm và tương ứng với số400, 5 - số hàng chục và tương ứng với giá trị50 , Một 3 - đơn vị và giá trị3 ... Có thể dễ dàng nhận thấy rằng khi lưu lượng càng tăng thì giá trị càng tăng. Do đó, chúng ta viết số đã cho dưới dạng tổng400+50+3=453.

Hệ thống số thập lục phân.

Hệ thống số thập lục phân(số thập lục phân) - hệ thống số vị trí. Cơ số thập lục phân là số 16.

Viết số trong hệ bát phân chúng ta nhận được các biểu thức khá nhỏ gọn, nhưng trong hệ thập lục phân, chúng ta nhận được các biểu thức nhỏ gọn hơn.

Mười chữ số đầu tiên trong số mười sáu chữ số thập lục phân là khoảng cách tiêu chuẩn 0 - 9 , sáu chữ số tiếp theo được thể hiện bằng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái Latinh: MỘT, NS, NS, NS, E, NS... Việc chuyển đổi từ hệ thập lục phân sang hệ nhị phân và ngược lại được thực hiện tương tự như đối với hệ bát phân.

Ứng dụng của hệ thống số thập lục phân.

Hệ thống số thập lục phân được sử dụng khá tốt trong các máy tính hiện đại, Ví dụ với sự trợ giúp của nó chỉ ra màu sắc: #FFFFFF- Màu trắng.

Chuyển đổi số từ hệ thống số này sang hệ thống số khác.

Chuyển đổi số từ thập lục phân sang thập phân.

Để chuyển một số thập lục phân sang hệ thập phân, bạn cần chuyển số được chỉ định sang dạng tổng tích các lũy thừa của cơ số của hệ thập lục phân bằng các chữ số tương ứng trong các chữ số của số thập lục phân.

Ví dụ, hãy dịch số thập lục phân 5A3 sang số thập phân. Ở đây 3 những con số. Dựa trên quy tắc trên, chúng ta đưa nó về dạng tổng độ với cơ số 16:

5A3 16 = 3 16 0 + 10 16 1 + 5 16 2 = 3 1 + 10 16 + 5 256 = 3 + 160 + 1280 = 1443 10

Chuyển đổi số từ nhị phân sang thập lục phân và ngược lại.

Để chuyển đổi một số nhị phân có nhiều chữ số sang hệ thập lục phân, bạn phải chia nó thành các tứ phân từ phải sang trái và thay đổi tất cả các tứ phân bằng chữ số thập lục phân tương ứng. Để chuyển đổi một số từ hệ thập lục phân sang nhị phân, bạn cần thay đổi từng số thành tứ phân tương ứng từ bảng dịch mà bạn sẽ tìm thấy bên dưới.

Ví dụ:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Bảng chuyển đổi đầu số.

Thuật toán dịch số từ hệ số này sang hệ số khác.

1. Từ hệ thống số thập phân:

• chia số cho cơ số của hệ thống số được dịch;
• tìm phần dư của phép chia phần nguyên của số đó;
• viết ra tất cả các phần còn lại của phép chia theo thứ tự ngược lại;

2. Từ hệ thống số nhị phân:

• Để chuyển sang hệ số thập phân, ta tìm tổng các tích của cơ số 2 bằng bậc tương ứng của chữ số;
• để chuyển số thành bát phân, chúng ta chia số thành các bộ ba.

Ví dụ: 1000110 = 1000 110 = 1068

• Để chuyển một số từ hệ nhị phân sang hệ thập lục phân, chúng ta chia số đó thành các nhóm có 4 chữ số.

Ví dụ: 1000110 = 100 0110 = 4616.

Các bảng dịch:

Nhiều người sử dụng máy tính hiểu rằng một máy tính hoạt động trong một hệ thống số nhị phân. Theo truyền thống, các trạng thái của hệ nhị phân được biểu thị bằng các số 0 và 1, mặc dù, chính xác hơn, mỗi trạng thái biểu thị sự có mặt hoặc không có tín hiệu, nghĩa là sẽ đúng hơn nếu gọi các trạng thái là "tắt" và " trên ", hoặc" không "và" có ". Trạng thái "tắt" hoặc "không" tương ứng với số 0, và trạng thái "bật" hoặc "có" cho số 1. Người dùng thông thường thường không cần hiểu đầy đủ về cấu trúc của máy tính, nhưng hệ thống số nhị phân. làm cho bản thân cảm thấy dưới dạng các hạn chế khác nhau dựa trên sức mạnh của hai ... Một phiên bản nhỏ gọn hơn của hệ thống nhị phân được gọi là hệ thập lục phân. Mười sáu là lũy thừa thứ tư của hai. Từ đó dẫn đến việc chuyển đổi các chuỗi nhị phân dài của số không và chuỗi số một thành chuỗi thập lục phân ngắn khá dễ dàng. Để làm điều này, chỉ cần tách dãy nhị phân thành các nhóm gồm bốn chữ số (số), bắt đầu bằng bit có nghĩa nhỏ nhất (ở bên phải) và thay thế mỗi nhóm bằng giá trị thập lục phân tương ứng.

Thông thường sử dụng hệ thập lục phân để thuận tiện cho việc nhận thức dữ liệu nhị phân, vì các phép dịch từ hệ thập lục phân sang hệ nhị phân và ngược lại được thực hiện bằng cách thay thế các chuỗi đơn giản. Máy tính chỉ hoạt động với các chuỗi nhị phân và ký hiệu thập lục phân của chuỗi này nhỏ gọn hơn bốn lần, vì hệ thống này có cơ số 16 (2 16) và hệ nhị phân 2. Dãy nhị phân có thể khá cồng kềnh. Ví dụ: 513 yêu cầu mười chữ số nhị phân (1000000001), nhưng hệ thập lục phân chỉ yêu cầu ba (201). Tuy nhiên, cần có mười sáu ký tự khác nhau để đại diện cho bất kỳ số thập lục phân nào, thay vì mười ký tự được sử dụng trong ký hiệu thập phân quen thuộc của chúng ta. Mười ký tự đầu tiên là các ký tự trong phạm vi từ 0 đến 9, phần còn lại là các ký tự trong bảng chữ cái Latinh trong phạm vi từ A đến F. Các chữ cái thường (nhưng không phải luôn luôn) được viết bằng chữ hoa (in hoa) trong ký hiệu thập lục phân của con số. Mười ký tự đầu tiên (từ 0 đến 9) được viết giống như số thập phân và tương ứng với chúng. Các chữ cái trong phạm vi từ A đến F tương ứng với các giá trị trong phạm vi từ 10 đến 15.

Hãy xem xét sự tương ứng của các số từ 0 đến 15 hệ thống số thập lục phân và nhị phân.

Các mục nhập 10, 11, v.v. trong hệ thập phân, nhị phân và thập lục phân không khớp với nhau. Hãy xem một ví dụ nhỏ. Giả sử chúng ta có một số thập lục phân 1A5E. để chuyển đổi sang hệ nhị phân, chỉ cần thay thế các chữ số thập lục phân bằng các nhóm nhị phân tương ứng. Hóa ra là 0001 1010 0101 1110. Nếu chúng ta loại bỏ các số không không đáng kể phía trước số và viết nó xuống mà không có dấu phân cách, chúng ta nhận được 1101001011110. Để dịch ngược lại, hãy chia số thành các nhóm có bốn chữ số, bắt đầu bằng chữ số thấp nhất (trên bên phải), và cũng để thuận tiện, hãy thêm các số không không đáng kể trong nhóm cao nhất thành 4 chữ số. Ta được 0001 1010 0101 1110. Thay các nhóm bằng các giá trị thập lục phân tương ứng, ta được 1A5E.

Để chuyển đổi một số thập lục phân sang biểu diễn thập phân, bạn có thể sử dụng lược đồ mà chúng tôi viết số thập phân theo đó. Trong hệ thập phân, mỗi chữ số đại diện cho lũy thừa tương ứng của mười, bắt đầu từ 0 và tăng dần từ phải sang trái. Ví dụ: số thập phân 123 có nghĩa là 1 * 10 2 + 2 * 10 1 + 3 * 10 0. Theo cách tương tự, chúng ta chuyển số 1A5E sang hệ thống số thập phân. Trong ký hiệu thập lục phân, cũng như thập phân, mỗi chữ số biểu thị lũy thừa tương ứng của số mười sáu, bắt đầu từ số 0 và tăng dần từ phải sang trái. Các ký tự 1 và 5 trong ký hiệu thập lục phân tương ứng với 1 và 5 trong hệ thập phân, và các ký tự A và E tương ứng với 10 và 14. Sau đó, 1A5E có thể được biểu diễn bằng ký hiệu thập phân là 1 * 16 3 + 10 * 16 2 + 5 * 16 1 + 14 * 16 0 = 6750. Tuy nhiên, để đánh giá các số thập lục phân, không nhất thiết phải chuyển chúng sang thập phân. Các quy tắc so sánh, cộng và nhân trong hệ thống này cũng giống như trong hệ thập phân, điều chính là đừng quên rằng mỗi chữ số có thể chứa các giá trị từ 0 đến 15. Để dịch các số giữa hệ thống số nhanh hơn, bạn có thể sử dụng máy tính tiêu chuẩn trong Windows, đối với điều này là đủ ở chế độ nâng cao của máy tính, hãy chọn một hệ thống số, nhập một số vào đó và chọn hệ thống số mong muốn để hiển thị kết quả.

Vì số thập lục phân, chỉ là số, có thể dễ bị nhầm lẫn với số thập phân, chúng thường được dán nhãn để rõ ràng rằng ký hiệu thập lục phân đang được sử dụng. Các mục nhập hệ thập lục phân thường được đánh dấu bằng cách thêm một chữ cái viết thường "h" vào cuối hoặc bằng cách thêm tiền tố "0x" trước khi viết số. Do đó, số thập lục phân 1A5E có thể được viết là 1A5Eh hoặc 0x1A5E, trong đó “h” ở cuối hoặc “0x” ở đầu biểu thị rằng ký hiệu thập lục phân được sử dụng.