Giải pháp theo phương pháp Gauss Jordan. Phương pháp Gauss-Jordan

Phương pháp Gauss-Jordan. Cách tìm nghịch đảo của ma trận
sử dụng các phép biến hình sơ cấp?

Ngày xửa ngày xưa, nhà toán học người Đức Wilhelm Jordan (chúng tôi đang phiên âm không chính xác từ tiếng ĐứcJordan trong vai Jordan) ngồi giải các hệ phương trình tiếp theo. Anh ấy thích làm điều đó và trong thời gian rảnh rỗi, anh ấy đã cải thiện kỹ năng của mình. Nhưng rồi cũng đến lúc anh cảm thấy nhàm chán với tất cả các phương pháp giải và Phương pháp Gauss bao gồm...

Giả sử một hệ có ba phương trình, ba ẩn số được đưa ra và ma trận mở rộng của nó được viết. Trong trường hợp phổ biến nhất, các bước tiêu chuẩn được thực hiện và cứ như vậy hàng ngày…. Một và điều tương tự - như cơn mưa tháng mười một vô vọng.

Xua tan khao khát một thời cách khác Giảm ma trận về dạng bậc: hơn nữa, nó hoàn toàn tương đương và có thể không thuận tiện chỉ do nhận thức chủ quan. Nhưng sớm muộn gì mọi thứ cũng trở nên nhàm chán…. Và sau đó tôi nghĩ F O rdan - tại sao lại bận tâm đến điều ngược lại của thuật toán Gaussian? Không dễ dàng hơn để có ngay câu trả lời với sự trợ giúp của các phép biến đổi sơ cấp bổ sung?

... vâng, điều này chỉ xảy ra cho tình yêu =)

Để thành thạo bài học này, các "hình nộm" sẽ phải đi theo con đường của F O Các phép biến đổi cơ bản của rdana và máy bơm ít nhất ở mức trung bình, đã giải quyết được ít nhất 15-20 nhiệm vụ tương ứng. Do đó, nếu bạn lờ mờ hiểu nội dung cuộc trò chuyện và / hoặc bạn hiểu sai điều gì đó trong bài học, thì tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chủ đề theo thứ tự sau:

Chà, thật là tuyệt vời nếu nó được giải quyết hạ bậc của định thức.

Như mọi người đã hiểu, phương pháp Gauss-Jordan là một sửa đổi Phương pháp Gauss và chúng ta sẽ gặp nhau ở các màn tiếp theo với việc triển khai ý tưởng chính đã được nói ở trên. Ngoài ra, trong số một vài ví dụ của bài viết này, ứng dụng quan trọng nhất đã được bao gồm: tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Nếu không có thêm lời khuyên:

ví dụ 1

Giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan

Dung dịch: đây là nhiệm vụ đầu tiên của bài Phương pháp Gauss cho hình nộm, nơi chúng tôi đã biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống 5 lần và đưa nó về dạng bậc:

Bây giờ thay vì đảo ngược các phép biến đổi cơ bản bổ sung phát huy tác dụng. Đầu tiên, chúng ta cần lấy các số không tại các vị trí sau: ,
và sau đó là một số 0 khác ở đây: .

Một trường hợp lý tưởng theo quan điểm của sự đơn giản:

(6) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên.

(7) Dòng thứ hai nhân với –2 được thêm vào dòng đầu tiên.

Tôi không thể không minh họa hệ thống kết quả:

Bài giải:

Tôi cảnh báo độc giả chống lại tâm trạng run rẩy - đây là ví dụ demo đơn giản nhất. Phương pháp Gauss-Jordan có các kỹ thuật cụ thể của riêng nó và không phải là cách tính toán thuận tiện nhất, vì vậy hãy điều chỉnh để làm việc nghiêm túc.

Tôi không muốn nghe có vẻ phân loại hay cầu kỳ, nhưng trong phần lớn các nguồn thông tin mà tôi đã thấy, các vấn đề điển hình được coi là cực kỳ kém - bạn cần phải có bảy nhịp và dành nhiều thời gian / thần kinh cho một giải pháp khó xử nặng với phân số. Qua nhiều năm thực hành, tôi đã cố gắng đánh bóng, tôi sẽ không nói rằng kỹ thuật tốt nhất, nhưng hợp lý và khá dễ dàng dành cho tất cả những ai sở hữu các phép toán số học:

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan.

Dung dịch: Phần đầu tiên của bài tập quen thuộc:

(1) Dòng đầu tiên nhân với -1 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba được thêm vào dòng đầu tiên nhân với 3. Dòng thứ tư được thêm vào dòng đầu tiên nhân với –5.

(2) Dòng thứ hai chia 2, dòng thứ ba chia 11, dòng thứ tư chia 3.

(3) Dòng thứ hai và dòng thứ ba tỷ lệ thuận, dòng thứ ba đã bị loại bỏ. Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ tư, nhân với -7

(4) Dòng thứ ba được chia cho 2.

Rõ ràng, hệ thống có vô số giải pháp và nhiệm vụ của chúng tôi là đưa ma trận mở rộng của nó về dạng .

Làm thế nào để tiếp tục? Trước hết, cần lưu ý rằng chúng ta đã mất một phép biến đổi cơ bản ngon lành - hoán vị hàng. Chính xác hơn, bạn có thể sắp xếp lại chúng, nhưng không có ích lợi gì trong việc này (chúng tôi chỉ thực hiện các hành động không cần thiết). Và sau đó, bạn nên tuân thủ các mô hình sau:

Chúng ta tìm thấy bội số chung nhỏ nhất các số trong cột thứ ba (1, –1 và 3), nghĩa là, - số nhỏ nhất chia hết cho 1 và –1 và 3. Trong trường hợp này, tất nhiên, nó là “ba”. Bây giờ trong cột thứ ba, chúng ta cần lấy các số có cùng môđun, và những cân nhắc này xác định phép biến đổi thứ 5 của ma trận:

(5) Hàng đầu tiên được nhân với –3, hàng thứ hai được nhân với 3. Nói chung, hàng đầu tiên cũng có thể được nhân với 3, nhưng sẽ ít thuận tiện hơn cho bước tiếp theo. Bạn nhanh chóng làm quen với những điều tốt đẹp:

(6) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên.

(7) Cột thứ hai có hai giá trị khác không (24 và 6) và một lần nữa chúng ta cần lấy số lượng của cùng một mô-đun... Trong trường hợp này, mọi thứ diễn ra khá tốt - bội số nhỏ nhất của 24 và cách hiệu quả nhất là nhân hàng thứ hai với –4.

(8) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

(9) Lần chạm cuối cùng: dòng đầu tiên được chia cho –3, dòng thứ hai được chia cho –24 và dòng thứ ba được chia cho 3. Hành động này được thực hiện CUỐI CÙNG! Không có phân số sớm!

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, một hệ thống ban đầu tương đương đã thu được:

Chúng ta có thể đơn giản biểu diễn các biến cơ bản dưới dạng biến tự do:

và viết:

Bài giải: quyết định chung:

Trong các ví dụ như vậy, việc áp dụng thuật toán được xem xét thường hợp lý nhất, vì chuyển động ngược lại Phương pháp Gauss thường đòi hỏi các phép tính phân số tốn thời gian và khó chịu.

Và, tất nhiên, việc kiểm tra là rất mong muốn, được thực hiện theo sơ đồ thông thường được thảo luận trong bài học Hệ thống và hệ thống không tương thích với một giải pháp chung.

Đối với một giải pháp độc lập:

Ví dụ 3

Tìm một giải pháp cơ bản bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản

Công thức của bài toán này giả định việc sử dụng phương pháp Gauss-Jordan, và trong dung dịch mẫu, ma trận được giảm về dạng chuẩn với các biến cơ bản. Tuy nhiên, hãy luôn ghi nhớ rằng các biến khác có thể được chọn làm các biến cơ bản... Vì vậy, ví dụ, nếu các số trong cột đầu tiên là cồng kềnh, thì việc đưa ma trận về dạng là hoàn toàn có thể chấp nhận được. (biến cơ bản) hoặc ở dạng (các biến cơ bản), hoặc thậm chí cho biểu mẫu với các biến cơ bản. Ngoài ra còn có các tùy chọn khác.

Nhưng tất cả đều giống nhau, đây là những trường hợp cực đoan - bạn không nên gây sốc cho giáo viên một lần nữa với kiến ​​thức, kỹ thuật giải và hơn thế nữa, bạn không nên đưa ra kết quả Jordan kỳ lạ như ... Tuy nhiên, có thể khó để loại bỏ cơ sở không điển hình khi trong ma trận ban đầu, chẳng hạn, trong cột thứ 4, có hai số không được tạo sẵn.

Ghi chú : thuật ngữ "cơ sở" có ý nghĩa và khái niệm đại số cơ sở hình học Nó không có gì để làm với nó!

Nếu một cặp đột nhiên được tìm thấy trong ma trận kích thước mở rộng phụ thuộc tuyến tính thì bạn nên cố gắng đưa nó về dạng thông thường với các biến cơ bản. Một ví dụ về quyết định như vậy là trong Ví dụ số 7 của bài báo trên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, với chỗ ấy một cơ sở khác được chọn.

Chúng tôi tiếp tục cải thiện kỹ năng của mình đối với vấn đề được áp dụng sau:

Làm thế nào để tìm nghịch đảo của ma trận bằng phương pháp Gaussian?

Thông thường, điều kiện được xây dựng dưới dạng viết tắt, nhưng về bản chất, thuật toán Gauss-Jordan cũng hoạt động ở đây. Một phương pháp tìm kiếm dễ dàng hơn ma trận nghịch đảođối với ma trận vuông, chúng ta đã xem xét từ lâu trong bài học tương ứng, và vào cuối mùa thu khắc nghiệt, học sinh đã nắm được một cách giải thành thạo.

Tóm tắt các hành động sắp tới như sau: đầu tiên, bạn nên viết ma trận vuông song song với ma trận nhận dạng:. Sau đó, sử dụng các phép biến đổi cơ bản, cần có được ma trận đơn vị ở bên trái, trong khi (mà không đi vào chi tiết lý thuyết) ma trận nghịch đảo được vẽ ở bên phải. Giải pháp trông giống như sau:

(Rõ ràng là ma trận nghịch đảo phải tồn tại)

Demo 4

Hãy tìm nghịch đảo của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Để làm điều này, chúng tôi sẽ viết nó ra trong một đội với ma trận đơn vị và "hai con ngựa" chạy đua:

(1) Dòng đầu tiên nhân với –3 được thêm vào dòng thứ hai.

(2) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

(3) Dòng thứ hai được chia cho –2.

Bài giải:

Kiểm tra câu trả lời trong bài học ví dụ đầu tiên Làm cách nào để tìm nghịch đảo của ma trận?

Nhưng đó là một nhiệm vụ hấp dẫn khác - trên thực tế, giải pháp này tốn nhiều thời gian và công sức hơn nhiều. Thông thường, bạn sẽ được trình bày với một ma trận ba nhân ba:

Ví dụ 5

Dung dịch: đính kèm ma trận nhận dạng và bắt đầu thực hiện các phép biến đổi, theo thuật toán "bình thường" Phương pháp Gauss:

(1) Dòng đầu tiên và dòng thứ ba được đảo ngược. Thoạt nhìn, việc hoán vị các hàng có vẻ bất hợp pháp, nhưng trên thực tế, bạn có thể sắp xếp lại chúng - kết quả là bên trái chúng ta cần lấy ma trận nhận dạng, còn bên phải, chúng ta sẽ "cưỡng chế" lấy chính xác ma trận (bất kể chúng ta có sắp xếp lại các dòng trong quá trình giải hay không)... Xin lưu ý rằng thay vì hoán vị, bạn có thể sắp xếp "sixes" trong cột đầu tiên (bội số chung nhỏ nhất (LCM) của 3, 2 và 1)... Giải pháp LCM đặc biệt hữu ích khi không có “cái nào” trong cột đầu tiên.

(2) Hàng thứ nhất được thêm vào hàng thứ 2 và thứ 3, nhân với –2 và –3, tương ứng.

(3) Hàng thứ 2 được thêm vào hàng thứ 3, nhân với -1

Phần thứ hai của giải pháp được thực hiện theo sơ đồ đã biết ở đoạn trước: các hoán vị hàng trở nên vô nghĩa, và chúng ta tìm thấy bội chung nhỏ nhất của các số trong cột thứ ba (1, –5, 4): 20. Có một thuật toán nghiêm ngặt để tìm LCM, nhưng thường có đủ lựa chọn. Sẽ không sao nếu bạn lấy một số lớn hơn chia hết cho 1, –5 và 4, chẳng hạn như số 40. Sự khác biệt sẽ nằm trong các phép tính phức tạp hơn.

Nói về máy tính. Để giải quyết vấn đề, không có gì đáng xấu hổ khi trang bị cho mình một chiếc máy tính vi mô - có khá nhiều con số ở đây, và bạn sẽ rất thất vọng nếu mắc lỗi tính toán.

(4) Dòng thứ ba nhân với 5, dòng thứ hai nhân 4, dòng thứ nhất nhân "trừ hai mươi":

(5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất và thứ hai.

(6) Dòng thứ nhất và dòng thứ ba đã chia cho 5, dòng thứ hai nhân với –1.

(7) Bội số chung nhỏ nhất của các số khác không ở cột thứ hai (–20 và 44) là 220. Hàng đầu tiên nhân với 11, hàng thứ hai nhân 5.

(8) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên.

(9) Dòng đầu tiên được nhân với -1, dòng thứ hai được chia "lùi" cho 5.

(10) Bây giờ trên đường chéo chính của ma trận bên trái, bạn nên lấy bội số chung nhỏ nhất của đường chéo (44, 44 và 4). Rõ ràng là con số này là 44. Dòng thứ ba được nhân với 11.

(11) Chia mỗi hàng cho 44. Hành động này được thực hiện sau cùng!

Vì vậy nghịch đảo của ma trận là:

Về nguyên tắc, việc giới thiệu và loại bỏ -th là những hành động không cần thiết, nhưng điều này được yêu cầu bởi giao thức đăng ký tác vụ.

Bài giải:

Việc kiểm tra được thực hiện theo sơ đồ thông thường được thảo luận trong bài học về ma trận nghịch đảo.

Những người có trình độ cao có thể rút ngắn giải pháp phần nào, nhưng tôi phải cảnh báo bạn, việc vội vàng ở đây đầy rủi ro mắc sai lầm TĂNG LÊN.

Một nhiệm vụ tương tự cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 6

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan.

Mẫu gần đúng của nhiệm vụ ở cuối trang. Và vì lợi ích của việc "không bị trôi qua với các bài hát", tôi đã thiết kế giải pháp theo phong cách đã được đề cập - độc quyền thông qua LCM của các cột mà không có hoán vị hàng duy nhất và các phép biến đổi nhân tạo bổ sung. Theo ý kiến ​​của tôi, kế hoạch này, nếu không phải là nhất, thì một trong những kế hoạch đáng tin cậy nhất.

Đôi khi, rất tiện lợi khi sử dụng một giải pháp ngắn hơn "theo chủ nghĩa hiện đại", bao gồm những điều sau: trong bước đầu tiên, mọi thứ vẫn như bình thường: .

Ở bước thứ hai, bằng kỹ thuật khía (thông qua LCM của các số của cột thứ 2), hai số không được sắp xếp cùng một lúc trong cột thứ hai: ... Đặc biệt khó có thể chống lại hành động này nếu các số có cùng môđun được vẽ ở cột thứ 2, ví dụ, các "đơn vị" tầm thường giống nhau.

Và cuối cùng, trong bước thứ ba, chúng ta nhận được các số không cần thiết trong cột thứ ba theo cách tương tự: .

Đối với số chiều, trong hầu hết các trường hợp, cần phải giải quyết ma trận "ba bằng ba". Tuy nhiên, thỉnh thoảng có một phiên bản nhẹ của vấn đề với ma trận "hai nhân hai" và khó ... - đặc biệt là đối với tất cả độc giả của trang web:

Ví dụ 7

Tìm nghịch đảo của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản

Đây là một bài tập từ bài kiểm tra toán và vật lý của chính tôi trong đại số, ... ơ, khóa học đầu tiên của tôi ở đâu =) Mười lăm năm trước (chiếc lá vẫn chưa chuyển sang màu vàng một cách đáng ngạc nhiên), Tôi đã gặp trong 8 bước, và bây giờ - chỉ 6! Nhân tiện, ma trận rất sáng tạo - ngay từ bước đầu tiên, một số giải pháp hấp dẫn đã có thể nhìn thấy được. Phiên bản sau của tôi ở cuối trang.

Và một mẹo cuối cùng - sau những ví dụ như vậy, thể dục cho mắt và một số bản nhạc hay để thư giãn là rất hữu ích =)

Chúc bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3: Dung dịch: chúng tôi viết ra ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi thu được giải pháp cơ bản:


(1) Dòng thứ nhất và dòng thứ hai được đảo ngược.
(2) Dòng đầu tiên nhân với –2 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ ba.
(3) Dòng thứ ba đã chia hết cho 3.
(4) Hàng thứ hai, nhân với 2, được thêm vào hàng thứ ba.
(5) Dòng thứ ba được chia cho 7.
(6) Bội số nhỏ nhất của cột thứ 3 (–3, 5, 1) là 15. Hàng thứ nhất nhân với 5, hàng thứ hai nhân với –3 và hàng thứ ba nhân với 15.
(7) Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng đầu tiên. Dòng thứ ba đã được thêm vào dòng thứ hai.
(8) Dòng thứ nhất chia cho 5, dòng thứ hai chia cho –3, dòng thứ ba chia cho 15.
(9) Bội số nhỏ nhất của các số khác không ở cột thứ 2 (–2 và 1) là: 2. Nhân hàng thứ hai với 2
(10) Dòng thứ hai đã được thêm vào dòng đầu tiên.
(11) Dòng thứ hai được chia cho 2.
Hãy biểu diễn các biến cơ bản dưới dạng biến tự do:

Bài giải : quyết định chung:

Ví dụ 6: Dung dịch: tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản:


(1) Dòng thứ nhất nhân với –15, dòng thứ hai nhân với 3, dòng thứ ba nhân với 5.
(2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ 2 và 3.
(3) Dòng đầu tiên được chia cho –15, dòng thứ hai được chia bởi –3, dòng thứ ba được chia bởi –5.
(4) Hàng thứ hai nhân với 7, hàng thứ ba nhân với –9.
(5) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba.


(6) Dòng thứ hai được chia cho 7.
(7) Hàng thứ nhất nhân với 27, hàng thứ hai nhân với 6, hàng thứ ba nhân với –4.
(8) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ nhất và dòng thứ hai.
(9) Dòng thứ ba được chia cho –4. Dòng thứ hai nhân với -1 được thêm vào dòng đầu tiên.
(10) Dòng thứ hai được chia cho 2.
(11) Mỗi ​​dòng được chia cho 27.
Kết quả là:
Bài giải :

Ví dụ 7: Dung dịch: tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan:
(1) Dòng thứ 3 được thêm vào dòng thứ nhất và thứ 4.
(2) Dòng đầu tiên và dòng thứ tư đã được đổi chỗ cho nhau.
(3) Dòng thứ nhất được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 2 được thêm vào dòng thứ 3:


(4) Hàng thứ 2 được cộng với hàng thứ 3, nhân với –2. Dòng thứ 2 được thêm vào dòng thứ 4.
(5) Hàng thứ 4, nhân với -1, được thêm vào dòng 1 và 3.
(6) Dòng thứ hai nhân với –1, dòng thứ ba nhân với –2.
Bài giải :

Phương pháp Gauss-Jordan được thiết kế để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE). Nó là một sửa đổi của phương pháp Gauss. Nếu phương pháp Gauss được thực hiện trong hai giai đoạn (tiến và lùi), thì phương pháp Gauss-Jordan cho phép giải hệ thống trong một giai đoạn. Chi tiết và sơ đồ trực tiếp để áp dụng phương pháp Gauss-Jordan được mô tả trong các ví dụ.

Trong tất cả các ví dụ, $ A $ là viết tắt của ma trận hệ thống, $ \ widetilde (A) $ cho ma trận hệ thống mở rộng. Bạn có thể đọc về dạng ma trận của ký hiệu SLAE.

Ví dụ 1

Giải SLAE $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & 4x_1-7x_2 + 8x_3 = -23; \\ & 2x_1-4x_2 + 5x_3 = -13; \\ & -3x_1 + 11x_2 + x_3 = 16. \ End (căn chỉnh ) \ đúng. $ bằng phương pháp Gauss-Jordan.

Hãy chuyển từ ma trận cuối cùng mà chúng ta nhận được sang hệ thống:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & 0 \ cdot x_1 + 1 \ cdot x_2 + 0 \ cdot x_3 = 1; \\ & 1 \ cdot x_1 + 0 \ cdot x_2 + 0 \ cdot x_3 = -2; \\ & 0 \ cdot x_1 + 0 \ cdot x_2 + 1 \ cdot x_3 = -1. \ End (căn chỉnh) \ phải. $$

Đơn giản hóa hệ thống kết quả, chúng ta có:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & x_2 = 1; \\ & x_1 = -2; \\ & x_3 = -1. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Giải pháp hoàn chỉnh trông như thế này mà không cần giải thích:

Mặc dù phương pháp chọn các phần tử phân giải này khá được chấp nhận, nhưng nên chọn các phần tử đường chéo của ma trận hệ thống làm các phần tử phân giải. Chúng ta sẽ xem xét phương pháp này bên dưới.

Sự lựa chọn phân giải các phần tử trên đường chéo chính của ma trận hệ thống.

Vì giải pháp này hoàn toàn tương tự với giải pháp trước (ngoại trừ sự lựa chọn của các yếu tố phân giải), chúng tôi sẽ bỏ qua các giải thích chi tiết. Nguyên tắc chọn phần tử cho phép rất đơn giản: trong cột đầu tiên, chúng tôi chọn một phần tử của hàng đầu tiên, trong cột thứ hai, chúng tôi lấy một phần tử của hàng thứ hai, trong cột thứ ba, chúng tôi lấy một phần tử của hàng thứ ba, và như vậy trên.

Bước đầu tiên

Trong cột đầu tiên, hãy chọn phần tử của hàng đầu tiên, tức là như phần tử phân giải chúng ta có 4. Tôi hiểu rằng lựa chọn số 2 có vẻ thích hợp hơn, vì số này vẫn nhỏ hơn 4. Để số 2 trong cột đầu tiên di chuyển lên vị trí đầu tiên, chúng ta sẽ hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ hai:

$$ \ left (\ begin (array) (ccc | c) 4 & -7 & 8 & -23 \\ 2 & -4 & 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \ end (array) \ right) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccc | c) 2 & -4 & 5 & -13 \\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \ end (mảng) \ phải) $$

Vì vậy, phần tử phân giải được biểu diễn bằng số 2. Theo cách tương tự như trước đây, hãy chia hàng đầu tiên cho 2, sau đó chia 0 các phần tử của cột đầu tiên:

$$ \ left (\ begin (array) (ccc | c) 2 & -4 & 5 & -13 \\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) I: 2 \\\ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccc | c) 1 & - 2 & 5/2 & -13/2 \\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) \ phantom (0) \\ II-4 \ cdot I \\ III + 3 \ cdot I \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccc | c) 1 & -2 & 5/2 & -13 / 2 \ \ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \ end (mảng) \ phải). $$

Bước thứ hai

Bước thứ hai là loại bỏ các phần tử của cột thứ hai. Chúng tôi chọn phần tử của hàng thứ hai làm phần tử phân giải, tức là 1. Phần tử phân giải đã bằng một, vì vậy chúng tôi sẽ không hoán đổi bất kỳ dòng nào. Nhân tiện, nếu chúng ta muốn hoán đổi các dòng, chúng ta sẽ không chạm vào dòng đầu tiên, vì nó đã được sử dụng ở bước đầu tiên. Nhưng dòng thứ hai và thứ ba có thể dễ dàng hoán đổi. Tuy nhiên, tôi nhắc lại, trong tình huống này không cần phải hoán đổi các dòng, bởi vì phần tử phân giải đã tối ưu - nó bằng một.

$$ \ left (\ begin (array) (ccc | c) 1 & -2 & 5/2 & -13/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 5 & 17/2 & -7 / 2 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) I + 2 \ cdot II \\ \ phantom (0) \\ III-5 \ cdot II \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccc | c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \ end (array ) \ đúng). $$

Bước thứ hai kết thúc. Hãy chuyển sang bước thứ ba.

Bước thứ ba

Bước thứ ba là loại bỏ các phần tử của cột thứ ba. Chúng tôi chọn phần tử của hàng thứ ba làm phần tử phân giải, tức là 37/2. Chúng tôi chia các phần tử của hàng thứ ba cho 37/2 (để phần tử phân giải trở thành bằng 1), và sau đó chúng tôi loại bỏ các phần tử tương ứng của cột thứ ba:

$$ \ left (\ begin (array) (ccc | c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 37/2 & -37 / 2 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ III: \ frac (37) (2) \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccc | c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) I + 2 \ cdot III \\ II + 3/2 \ cdot III \\ \ phantom (0) \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) ( ccc | c) 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end (mảng) \ phải). $$

Câu trả lời nhận được: $ x_1 = -2 $, $ x_2 = 1 $, $ x_3 = -1 $. Giải pháp hoàn chỉnh trông như thế này mà không cần giải thích:

Tất cả các ví dụ khác trên trang này sẽ được giải quyết chính xác theo cách thứ hai: chúng ta sẽ chọn các phần tử đường chéo của ma trận hệ thống làm phần tử giải quyết.

Bài giải: $ x_1 = -2 $, $ x_2 = 1 $, $ x_3 = -1 $.

Ví dụ số 2

Giải SLAE $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & 3x_1 + x_2 + 2x_3 + 5x_4 = -6; \\ & 3x_1 + x_2 + 2x_4 = -10; \\ & 6x_1 + 4x_2 + 11x_3 + 11x_4 = -27; \\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4 = 1. \ End (căn chỉnh) \ phải. $ Theo phương pháp Gauss-Jordan.

Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống này: $ \ widetilde (A) = \ left (\ begin (array) (cccc | c) 3 & 1 & 2 & 5 & -6 \\ 3 & 1 & 0 & 2 & - 10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \ end (mảng) \ phải) $.

Chúng tôi sẽ chọn các phần tử đường chéo của ma trận hệ thống làm phần tử giải quyết: ở bước đầu tiên, chúng tôi lấy một phần tử của hàng đầu tiên, ở bước thứ hai, một phần tử của hàng thứ hai, v.v.

Bước đầu tiên

Chúng ta cần loại bỏ các phần tử tương ứng trong cột đầu tiên. Hãy để chúng tôi lấy phần tử của dòng đầu tiên làm phần tử phân giải, tức là 3. Theo đó, dòng đầu tiên sẽ phải được chia cho 3 để phần tử phân giải trở thành bằng một. Và sau đó loại bỏ tất cả các phần tử của cột đầu tiên, ngoại trừ phần cho phép:

$$ \ left (\ begin (array) (cccc | c) 3 & 1 & 2 & 5 & -6 \\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \ \ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) I: 3 \\ \ phantom (0) \\\ phantom (0) \\\ phantom (0) \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) \ phantom (0) \\ II-3 \ cdot I \\ III-6 \ cdot I \\ IV + 3 \ cdot I \ end (array) \ rightarrow \\ \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15 \\ 0 & -1 & 0 & - 5 & ​​-5 \ end (mảng) \ phải). $$

Bước thứ hai

Chúng ta tiến hành làm 0 các phần tử tương ứng của cột thứ hai. Chúng tôi quyết định lấy một phần tử của dòng thứ hai làm phần tử phân giải, nhưng chúng tôi không thể làm điều này, vì phần tử bắt buộc bằng 0. Kết luận: chúng ta sẽ hoán đổi các dòng. Không thể chạm vào dòng đầu tiên, vì nó đã được sử dụng ở bước đầu tiên. Sự lựa chọn không phong phú: hoặc chúng tôi hoán đổi dòng thứ hai và thứ ba, hoặc chúng tôi hoán đổi dòng thứ tư và thứ hai. Vì dòng thứ tư chứa (-1), hãy để dòng thứ tư tham gia vào "trao đổi". Vì vậy, hãy hoán đổi dòng thứ hai và thứ tư:

$$ \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15 \\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5 \ end (array) \ right) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \ end (mảng) \ phải) $$

Bây giờ mọi thứ đều bình thường: phần tử phân giải bằng (-1). Nhân tiện, việc thay đổi vị trí của các dòng là không thể, nhưng chúng ta sẽ thảo luận điều này trong ví dụ tiếp theo # 3. Bây giờ, hãy chia hàng thứ hai cho (-1) và sau đó chia 0 các phần tử trong cột thứ hai. Xin lưu ý rằng trong cột thứ hai, phần tử nằm ở hàng thứ tư đã bằng 0, vì vậy chúng ta sẽ không chạm vào hàng thứ tư.

$$ \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) \ phantom (0) \\ II: (- 1) \\\ phantom (0) \\\ phantom (0) \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) I-1/3 \ cdot II \\ \ phantom (0) \\ III-2 \ cdot II \\\ phantom (0) \ end (array) \ rightarrow \\ \ rightarrow \ left (\ begin ( mảng) (cccc | c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \ end (mảng) \ phải). $$

Bước thứ ba

Hãy bắt đầu xử lý cột thứ ba. Chúng tôi đồng ý lấy các phần tử đường chéo của ma trận hệ thống làm phần tử phân giải. Đối với bước thứ ba, điều này có nghĩa là chọn mục nằm ở hàng thứ ba. Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ lấy phần tử 7 làm trình phân giải, thì toàn bộ dòng thứ ba sẽ phải chia cho 7. Đối với tôi, có vẻ như dễ dàng hơn để chia cho (-2). Do đó, chúng tôi sẽ hoán đổi vị trí của dòng thứ ba và thứ tư, và sau đó phần tử phân giải sẽ trở thành (-2):

$$ \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \ end (array) \ right) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25 \ end (mảng) \ phải) $$

Phần tử cho phép - (-2). Chia hàng thứ ba cho (-2) và bằng không các phần tử tương ứng của cột thứ ba:

$$ \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & -2 & - 3 & -4 \\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ III :( -2) \\\ phantom (0) \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2 \\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) I-2 / 3 \ cdot III \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ IV-7 \ cdot III \ end (array) \ rightarrow \\ \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c ) 1 & 0 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & - 39 \ end (mảng) \ phải). $$

Bước thứ tư

Hãy chuyển sang số 0 ở cột thứ tư. Phần tử phân giải nằm ở dòng thứ tư và bằng số $ - \ frac (39) (2) $.

$$ \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 0 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ IV: \ left (- \ frac (39) (2) \ right) \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 0 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l ) I + IV \\ II-5 \ cdot IV \\ III-3/2 \ cdot IV \\ \ phantom (0) \ end (array) \ rightarrow \\ \ rightarrow \ left (\ begin (array) (cccc | c) 1 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \ end (mảng) \ phải). $$

Quyết định đã kết thúc. Câu trả lời là: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = -5 $, $ x_3 = -1 $, $ x_4 = 2 $. Giải pháp hoàn chỉnh mà không cần giải thích:

Bài giải: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = -5 $, $ x_3 = -1 $, $ x_4 = 2 $.

Ví dụ số 3

Giải SLAE $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & x_1-2x_2 + 3x_3 + 4x_5 = -5; \\ & 2x_1 + x_2 + 5x_3 + 2x_4 + 9x_5 = -3; \\ & 3x_1 + 4x_2 + 7x_3 + 4x_4 + 14x_5 = -1; \\ & 2x_1-4x_2 + 6x_3 + 11x_5 = 2; \\ & -2x_1 + 14x_2-8x_3 + 4x_4-7x_5 = 20; \\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5 = - 9. \ end (align) \ right. $ Bằng phương pháp Gauss-Jordan Nếu hệ thống là không xác định, hãy chỉ ra giải pháp cơ bản.

Các ví dụ tương tự được đề cập trong chủ đề "Các giải pháp chung và cơ bản của SLAE". Trong phần thứ hai của chủ đề được đề cập, ví dụ này được giải quyết bằng phương pháp Gaussian. Chúng tôi sẽ giải quyết nó bằng phương pháp Gauss-Jordan. Chúng tôi sẽ không chia nhỏ giải pháp từng bước, vì nó đã được thực hiện trong các ví dụ trước.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5 \\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3 \\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1 \\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2 \\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20 \\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) \ phantom (0) \\ II-2 \ cdot I \\ III-3 \ cdot I \\ IV-2 \ cdot I \\ V + 2 \ cdot I \\ VI + 4 \ cdot I \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5 \ \ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7 \\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12 \\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10 \\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) \ phantom (0) \\ II: 5 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ rightarrow \\ \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & - 2 & 3 & 0 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5 \\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12 \\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10 \\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) I + 2 \ cdot II \\ \ phantom (0) \\ III-10 \ cdot II \\ IV: 3 \\ V-10 \ cdot II \\ VI + 15 \ cdot II \ end (mảng) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5 \\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1 / 5 & ​​7/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \ end (mảng) \ phải). $$

Tôi tin rằng một trong những phép biến đổi được thực hiện vẫn cần một số lời giải thích: $ IV: 3 $. Tất cả các phần tử của dòng thứ tư hoàn toàn chia hết cho ba, do đó, hoàn toàn vì lý do đơn giản, chúng tôi chia tất cả các phần tử của dòng này thành ba. Hàng thứ ba trong ma trận đã biến đổi trở thành 0. Gạch bỏ dòng 0:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5 \\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \ end (mảng) \ phải) $$

Đã đến lúc chúng ta chuyển sang bước thứ ba, trong đó các phần tử của cột thứ ba nên được làm bằng không. Tuy nhiên, phần tử đường chéo (hàng thứ ba) bằng không. Và thay đổi vị trí của các dòng sẽ không làm gì cả. Chúng tôi đã sử dụng dòng đầu tiên và thứ hai, vì vậy chúng tôi không thể chạm vào chúng. Và không có ích gì khi chạm vào dòng thứ tư và thứ năm, bởi vì vấn đề bình đẳng đến không của phần tử phân giải sẽ không đi đến đâu.

Trong tình huống này, vấn đề được giải quyết một cách cực kỳ đơn giản. Chúng ta không thể xử lý cột thứ ba? Được rồi, hãy chuyển sang phần thứ tư. Có thể trong cột thứ tư, phần tử của hàng thứ ba sẽ khác 0. Tuy nhiên, cột thứ tư cũng gặp phải vấn đề tương tự như cột thứ ba. Phần tử hàng thứ ba trong cột thứ tư bằng không. Và thay đổi vị trí của các dòng, một lần nữa, sẽ không làm gì cả. Không thể xử lý cột thứ tư quá? Được rồi, hãy chuyển sang phần thứ năm. Nhưng trong cột thứ năm, phần tử của hàng thứ ba thậm chí không phải là số không. Nó bằng một, là khá tốt. Vì vậy, phần tử phân giải trong cột thứ năm bằng 1. Phần tử phân giải được chọn, vì vậy chúng tôi sẽ thực hiện các phép biến đổi tiếp theo của phương pháp Gauss-Jordan:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5 \\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \ end (mảng) \ phải) \ begin (mảng) (l) I-22/5 \ cdot III \\ II-1/5 \ cdot III \\ \ phantom (0) \\ IV + III \\ V + 2 \ cdot III \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5 \\ 0 & 1 & -1 / 5 & 2/5 & 0 & 3/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) \ rightarrow \\ \ rightarrow \ left | \ text (Xóa dòng rỗng) \ right | \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5 \\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \ end (array) \ đúng) $$

Chúng tôi đã đưa ma trận hệ thống và ma trận hệ thống mở rộng sang dạng bậc. Xếp hạng của cả hai ma trận đều bằng $ r = 3 $, tức là bạn cần chọn 3 biến cơ bản. Số ẩn số là $ n = 5 $, vì vậy bạn cần chọn $ n-r = 2 $ biến tự do. Kể từ $ r< n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). Для нахождения решений системы составим "ступеньки":

Trên "các bước" là các phần tử từ cột số 1, số 2, số 5. Do đó, các biến cơ bản sẽ là $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_5 $. Các biến tự do, tương ứng sẽ là $ x_3 $, $ x_4 $. Các cột số 3 và số 4, tương ứng với các biến tự do, sẽ được di chuyển ra ngoài dòng, trong khi tất nhiên, không quên thay đổi các dấu hiệu của chúng.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5 \\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \ end (array) \ right) \ rightarrow \ left (\ begin (array) (ccc | ccc) 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5 \\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0 \ end (mảng) \ phải) ... $$

Từ ma trận cuối cùng, chúng ta nhận được nghiệm tổng quát: $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & x_1 = - \ frac (99) (5) - \ frac (13) (5) x_3- \ frac (4) (5 ) x_4; \\ & x_2 = \ frac (3) (5) + \ frac (1) (5) x_3- \ frac (2) (5) x_4; \\ & x_3 \ in R; \\ & x_4 \ trong R; \\ & x_5 = 4. \ end (align) \ right. $. Giải pháp cơ bản được tìm thấy bằng cách lấy các biến tự do bằng 0, tức là $ x_3 = 0 $, $ x_4 = 0 $:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & x_1 = - \ frac (99) (5); \\ & x_2 = \ frac (3) (5); \\ & x_3 = 0; \\ & x_4 = 0; \\ & x_5 = 4. \ End (căn chỉnh) \ phải. $$

Vấn đề đã được giải quyết, nó vẫn chỉ là viết ra câu trả lời.

Bài giải: Giải pháp chung: $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & x_1 = - \ frac (99) (5) - \ frac (13) (5) x_3- \ frac (4) (5) x_4; \\ & x_2 = \ frac (3) (5) + \ frac (1) (5) x_3- \ frac (2) (5) x_4; \\ & x_3 \ in R; \\ & x_4 \ in R; \\ & x_5 = 4. \ end (căn chỉnh) \ phải. $, giải pháp cơ bản: $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & x_1 = - \ frac (99) (5); \\ & x_2 = \ frac (3) (5); \\ & x_3 = 0; \\ & x_4 = 0; \\ & x_5 = 4. \ End (căn chỉnh) \ phải. $.

4. Phương pháp Jordan-Gauss.

Sơ đồ với sự lựa chọn của phần tử chính là yêu cầu của bất đẳng thức về 0 đối với các phần tử đường chéo akk, theo đó phép chia xảy ra trong quá trình loại bỏ, sẽ được thay thế bằng một sơ đồ nghiêm ngặt hơn: từ tất cả các phần tử của K-th , chọn phần tử lớn nhất trong môđun và sắp xếp lại các phương trình sao cho phần tử này thay cho phần tử acc. Việc lựa chọn phần tử chính và hoán vị hàng liên quan là cần thiết trong những trường hợp khi ở bước thứ i nào đó acc = 0 hoặc có rất ít acc cho phần còn lại của cột thứ i: khi chia cho một "nhỏ" như vậy Những acc lớn sẽ nhận được những con số với sai số tuyệt đối lớn, do đó, lời giải có thể bị sai lệch rất nhiều.

Dưới đây là một thuật toán để loại bỏ hoàn toàn ẩn số hoặc phương pháp Jordan - Gauss. Bản chất của phương pháp là, đã coi phương trình đầu tiên là ẩn số với hệ số khác không (sau đây gọi là phần tử phân giải), và chia phương trình đầu tiên cho hệ số này, sử dụng phương trình đầu tiên loại trừ ẩn số này khỏi tất cả các phương trình ngoại trừ đầu tiên. Chọn một ẩn số trong phương trình thứ hai có hệ số khác 0 và chia phương trình thứ hai cho nó, với sự trợ giúp của phương trình thứ hai loại trừ các ẩn số khác khỏi tất cả các phương trình, ngoại trừ phương trình thứ hai, v.v., tức là một phương trình được sử dụng để loại bỏ hoàn toàn một ẩn số. Quá trình tiếp tục cho đến khi tất cả các phương trình đã được sử dụng.

Như bạn đã biết, hệ phương trình đại số tuyến tính có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm hoặc hệ không nhất quán. Với các phép biến đổi cơ bản của các phần tử của ma trận của hệ thống, các trường hợp này được phát hiện như sau:

1. Trong quá trình loại bỏ, vế trái của phương trình thứ I của hệ biến mất, và vế phải bằng một số nào đó khác 0. những thứ kia. 02 + = bc0.

Điều này có nghĩa là hệ không có nghiệm, vì phương trình bậc I không thể được thỏa mãn bởi bất kỳ giá trị nào của ẩn số;

2. Vế trái và vế phải của phương trình bậc I biến mất. Điều này có nghĩa là phương trình thứ I là một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác, nó được thỏa mãn bởi bất kỳ nghiệm nào tìm được của hệ, vì vậy nó có thể bị loại bỏ. Trong hệ, số ẩn số lớn hơn số phương trình và do đó, hệ như vậy có nhiều nghiệm;

3. Sau khi dùng tất cả các phương trình để loại bỏ ẩn số ta thu được nghiệm của hệ.

Do đó, mục tiêu cuối cùng của phép biến đổi Jordan-Gauss là thu được từ một hệ thống tuyến tính đã cho

Ở đây x1, x2,…, xn là các ẩn số cần xác định. a11, a12,…, amn là các hệ số của hệ - và b1, b2,… bm - các số hạng tự do - được cho là đã biết. Chỉ số của các hệ số (aij) của hệ thống biểu thị các số của phương trình (i) và ẩn số (j) tại đó hệ số này tương ứng.

Hệ (1) được gọi là thuần nhất nếu tất cả các số hạng tự do của nó bằng 0 (b1 = b2 =… = bm = 0), ngược lại nó là không thuần nhất.

Hệ (1) được gọi là bình phương nếu số m phương trình bằng số n ẩn số.

Giải hệ (1) là một tập hợp n số c1, c2,…, cn sao cho việc thay thế từng ci thay vì xi trong hệ (1) biến tất cả các phương trình của nó thành đồng nhất.

Hệ thống (1) được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một giải pháp và không tương thích nếu nó không có giải pháp.

Một hệ thống liên kết dạng (1) có thể có một hoặc nhiều nghiệm.

Các nghiệm c1 (1), c2 (1),…, cn (1) và c1 (2), c2 (2),…, cn (2) của một hệ đồng dạng (1) được gọi là khác nếu ít nhất một trong những điểm bằng nhau:

c1 (1) = c1 (2), c2 (1) = c2 (2),…, cn (1) = cn (2).

Một hệ thống liên kết dạng (1) được gọi là xác định nếu nó có một nghiệm duy nhất; nếu nó có ít nhất hai nghiệm khác nhau, thì nó được gọi là vô thời hạn. Nếu có nhiều phương trình hơn ẩn số, nó được gọi là quá xác định.

Hãy giải các hệ phương trình sau:

Chúng tôi viết nó dưới dạng ma trận 3 × 4, trong đó cột cuối cùng là số hạng tự do:

Hãy làm như sau:

· Thêm vào dòng 2: -4 * Dòng 1.

· Thêm vào dòng 3: -9 * Dòng 1.

· Thêm vào dòng 3: -3 * Dòng 2.

Chia dòng 2 cho -2

· Thêm vào dòng 1: -1 * Dòng 3.

· Thêm vào dòng 2: -3/2 * Dòng 3.

· Thêm vào dòng 1: -1 * Dòng 2.

Trong cột bên phải, chúng tôi nhận được giải pháp:

.

Một gia tốc hội tụ của quá trình xấp xỉ được quan sát thấy trong phương pháp của Newton. 5. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton) Phương pháp tiếp tuyến, gắn liền với tên tuổi của I. Newton, là một trong những phương pháp số hiệu quả nhất để giải phương trình. Ý tưởng đằng sau phương pháp này rất đơn giản. Lấy đạo hàm x0 và viết vào đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x): y = f (x0) + f ¢ (x) (x-x0) (1.5) Đồ thị ...

Giải pháp từ các phương pháp tính toán số. Để xác định gốc của phương trình, không cần kiến ​​thức về lý thuyết của các nhóm Abel, Galois, Lie, v.v. và không cần thuật ngữ toán học đặc biệt: vành, trường, iđêan, đẳng cấu, v.v. Để giải một phương trình đại số bậc n, bạn chỉ cần có khả năng giải phương trình bậc hai và rút ra nghiệm nguyên từ một số phức. Rễ có thể được xác định từ ...

Toán thay thế lượng giác và kiểm tra tính hiệu quả của các phương pháp dạy học đã phát triển. Các giai đoạn của công việc: 1. Xây dựng một khóa học tùy chọn về chủ đề: "Sử dụng phép thay thế lượng giác để giải các bài toán đại số" dành cho học sinh các lớp học chuyên sâu về toán học. 2. Thực hiện khóa học tùy chọn đã phát triển. 3. Tiến hành kiểm soát chẩn đoán ...

... "hiện thân" chỉ trong quá trình biến đổi. Chúng tôi sẽ xem xét tính hiển nhiên và "tính che giấu" của biến mới bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể trong chương thứ hai của tác phẩm này. 2. Khả năng sử dụng phương pháp thay thế ẩn số khi giải phương trình đại số Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khả năng sử dụng phương pháp thay thế ẩn số khi giải phương trình đại số ở dạng chuẩn và không chuẩn ...

Phương pháp Gauss - Jordan là một trong những phương pháp nổi tiếng và được sử dụng rộng rãi nhất để giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp ma trận và phương pháp Cramer có nhược điểm là chúng không đưa ra câu trả lời trong trường hợp detA = 0, nhưng chỉ xác định được một nghiệm duy nhất khi detA không bằng 0. Một nhược điểm khác là số lượng các phép tính toán học trong các phương pháp này tăng mạnh với sự gia tăng số lượng phương trình. Phương pháp Gauss thực tế không có những nhược điểm này.

Thuật toán phương pháp Gaussian

1. Trên cơ sở hệ phương trình tuyến tính, ta lập ma trận mở rộng của hệ;
2. Ta đưa ma trận về dạng "tam giác";
3. Chúng tôi xác định cấp bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng, và trên cơ sở này, chúng tôi đưa ra kết luận về tính tương thích của hệ thống và số lượng các giải pháp khả thi;
4. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, ta thực hiện phép thay thế nghịch đảo và tìm, nếu hệ có tập nghiệm: ta biểu diễn các biến cơ bản dưới dạng các biến có thể nhận giá trị tùy ý;

Để giảm ma trận mở rộng ban đầu thành dạng tam giác, chúng ta sử dụng hai tính chất sau của các định thức:

Tính chất 1. Định thức sẽ không thay đổi giá trị của nó nếu các phần tử tương ứng của một hàng (cột) song song được thêm vào tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận, nhân với một tùy ý và cùng một số.

Tính chất 2. Khi hoán đổi hai cột hoặc hàng bất kỳ của ma trận, định thức của nó sẽ bị đảo ngược và giá trị tuyệt đối của định thức không đổi.

Dựa trên các tính chất này của các định thức, chúng tôi sẽ soạn một thuật toán để biến đổi ma trận thành dạng tam giác:

1. Xem xét dòng i (bắt đầu bằng dòng đầu tiên). Nếu phần tử a i i bằng 0, chúng ta hoán đổi hàng thứ i và thứ i + của ma trận. Trong trường hợp này, dấu hiệu của định thức sẽ thay đổi thành ngược lại. Nếu 1 1 không phải là số khác, hãy chuyển sang bước tiếp theo;
2. Đối với mỗi hàng j, bên dưới hàng thứ i, chúng ta tìm thấy giá trị của hệ số K j = a j i / a i i;
3. Chúng ta tính toán lại các phần tử của tất cả các hàng j nằm bên dưới hàng i hiện tại bằng cách sử dụng các hệ số thích hợp theo công thức: a j k new = a j k -K j * a i k; Sau đó, chúng ta quay lại bước đầu tiên của thuật toán và xem xét hàng tiếp theo cho đến khi chúng ta đến hàng i = n-1, trong đó n là số chiều của ma trận A
4. Trong ma trận tam giác kết quả, chúng tôi tính tích của tất cả các phần tử của đường chéo chính Pa i i, sẽ là định thức;

Nói cách khác, bản chất của phương pháp có thể được xây dựng như sau. Chúng ta cần làm cho tất cả các phần tử của ma trận nằm dưới đường chéo chính bằng 0. Đầu tiên chúng ta lấy các số không trong cột đầu tiên. Để thực hiện điều này, chúng ta liên tiếp trừ dòng đầu tiên, nhân với số chúng ta cần (sao cho khi trừ chúng ta nhận được số 0 ở phần tử đầu tiên của dòng), từ tất cả các dòng bên dưới. Sau đó, chúng ta làm tương tự cho hàng thứ hai để lấy các số không ở cột thứ hai bên dưới đường chéo chính của ma trận. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi chúng ta đi đến dòng áp chót.

Đối với mỗi hệ phương trình tuyến tính, chúng tôi đặt tương ứng ma trận mở rộng thu được bằng cách tham gia ma trận MỘT cột thành viên miễn phí:

Jordan - phương pháp Gaussáp dụng cho giải pháp hệ thống NS phương trình tuyến tính với n các loài chưa biết:

Phương pháp này bao gồm thực tế là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ phương trình được rút gọn thành một hệ phương trình tương đương với một ma trận của một loại nhất định.

Chúng tôi thực hiện các phép biến đổi cơ bản sau trên các hàng của ma trận mở rộng:

1. hoán vị của hai dòng;

2. nhân một chuỗi với bất kỳ số nào khác 0;

3. thêm vào một dòng một dòng khác nhân với một số;

4. loại bỏ hàng rỗng (cột).

Ví dụ 2.11. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Jordan - Gauss:

Một) X 1 + X 2 + 2X 3 = -1

2X 1 - X 2 + 2X 3 = -4

4X 1 + X 2 + 4X 3 = -2

Giải pháp: Hãy tạo một ma trận mở rộng:

Lặp lại 1

Chọn một phần tử làm phần tử hướng dẫn. Hãy chuyển đổi cột đầu tiên thành một. Để thực hiện việc này, hãy thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ hai và thứ ba, nhân với (-2) và (-4), tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận:

Điều này hoàn thành lần lặp đầu tiên.

Lặp lại 2

Chọn phần tử hướng dẫn. Từ đó ta chia dòng thứ hai cho -3. Sau đó, chúng tôi nhân hàng thứ hai tương ứng với (-1) và 3, rồi cộng nó vào hàng thứ nhất và thứ ba, tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận

Lặp lại 3

Chọn phần tử hướng dẫn. Từ đó ta chia dòng thứ ba cho (-2). Chuyển đổi cột thứ ba thành một. Để thực hiện việc này, hãy nhân hàng thứ ba với (-4/3) và (-2/3), rồi cộng nó vào hàng thứ nhất và thứ hai, tương ứng. Chúng tôi nhận được ma trận

ở đâu NS 1 = 1, NS 2 = 2, NS 3 = -2.

Sau khi hoàn thành giải pháp, ở giai đoạn huấn luyện, cần thực hiện kiểm tra bằng cách thay thế các giá trị tìm được vào hệ thống ban đầu, các giá trị này sẽ chuyển thành các giá trị bằng nhau.

NS) X 1 - X 2 + X 3 - X 4 = 4

X 1 + X 2 + 2X 3 + 3X 4 = 8

2X 1 + 4X 2 + 5X 3 + 10X 4 = 20

2X 1 - 4X 2 + X 3 - 6X 4 = 4

Giải pháp: Ma trận mở rộng trông giống như sau:

Áp dụng các phép biến đổi cơ bản, chúng ta nhận được:

Hệ ban đầu tương đương với hệ phương trình sau:

X 1 - 3X 2 - 5X 4 = 0

2X 2 + X 3 + 4X 4 = 4

Hai hàng cuối cùng của ma trận MỘT(2) phụ thuộc tuyến tính.

Sự định nghĩa. Hàng ma trận e 1 , e 2 ,…, e mđược gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu đồng thời có các số không bằng 0 sao cho kết hợp tuyến tính của các hàng của ma trận bằng hàng 0:

ở đâu 0 = (0, 0 ... 0). Các hàng của ma trận là độc lập tuyến tính, khi kết hợp của các chuỗi này bằng 0 nếu và chỉ khi tất cả các hệ số đều bằng không.

Trong đại số tuyến tính, khái niệm rất quan trọng thứ hạng của ma trận từ nó đóng một vai trò rất quan trọng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính.

Định lý 2.3 (về hạng của ma trận). Thứ hạng của ma trận bằng số lượng lớn nhất các hàng hoặc cột độc lập tuyến tính của nó, qua đó tất cả các hàng (cột) khác của nó được biểu diễn tuyến tính.

Xếp hạng ma trận MỘT(2) bằng 2, bởi vì số hàng độc lập tuyến tính tối đa trong nó là 2 (đây là hai hàng đầu tiên của ma trận).

Định lý 2.4 (Kronecker - Capeli). Hệ phương trình tuyến tính là nhất quán và chỉ khi hạng của ma trận của hệ bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ này.

1. Nếu thứ hạng của ma trận của hệ thống tương thích bằng số biến, tức là r = n thì hệ có nghiệm duy nhất.

2. Nếu hạng của ma trận của hệ thống nhỏ hơn số biến, tức là NS< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

Trong trường hợp này, hệ thống có 4 biến, và hạng của nó là 2, do đó, nó có vô số nghiệm.

Sự định nghĩa.Để cho được NS< n, NS biến NS 1 , NS 2 ,…, x rđược gọi là căn bản nếu định thức của ma trận từ các hệ số của chúng ( cơ sở nhỏ) là nonzero. Lên đỉnh n - r các biến được gọi là miễn phí.

Sự định nghĩa.Dung dịch hệ thống trong đó tất cả n - r các biến miễn phí bằng 0, được gọi là căn bản.

Hệ thống chung NS phương trình tuyến tính với n biến ( NS< n ) có vô số nghiệm, trong đó có vô số nghiệm cơ bản, không vượt quá, ở đâu.

Trong trường hợp của chúng tôi, tức là hệ thống có không quá 6 giải pháp cơ bản.

Giải pháp chung là:

X 1 = 3X 2 + 5X 4

X 3 = 4 - 2X 2 - 4X 4

Hãy cùng tìm những giải pháp cơ bản. Muốn vậy ta đặt X 2 = 0, X 4 = 0 thì X 1 = 0, X 3 = 4. Giải cơ bản có dạng: (0, 0, 4, 0).

Hãy lấy một giải pháp cơ bản khác. Đối với điều này, chúng tôi lấy X 3 và X 4 là ẩn số miễn phí. Hãy biểu diễn các ẩn số X 1 và X 2 thông qua các ẩn số X 3 và X 4:

X 1 = 6 - 3 / 2X 2 - X 4

X 2 = 2 - 1 / 2X 3 - 2X 4.

Khi đó nghiệm cơ bản có dạng: (6, 2, 0, 0).

Ví dụ 2.12. Giải quyết hệ thống:

X 1 + 2X 2 - X 3 = 7

2X 1 - 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 - X 3 = 16

Giải pháp: Chúng ta biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống

Vì vậy, phương trình tương ứng với hàng thứ ba của ma trận cuối cùng là không nhất quán - dẫn đến sai đẳng thức 0 = –1, do đó, hệ thống này không nhất quán. Kết luận này cũng có thể nhận được nếu chúng ta nhận thấy rằng hạng của ma trận hệ thống là 2, trong khi hạng của ma trận mở rộng của hệ thống là 3.