Cô lập thừa số chung ra khỏi ngoặc. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc
\(5x+xy\) có thể được biểu diễn dưới dạng \(x(5+y)\). Đây thực sự là những biểu thức giống hệt nhau, chúng ta có thể xác minh điều này nếu chúng ta mở ngoặc: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Như bạn có thể thấy, kết quả là chúng ta có được biểu thức ban đầu. Điều này có nghĩa là \(5x+xy\) thực sự bằng \(x(5+y)\). Nhân tiện, đây là một cách đáng tin cậy để kiểm tra tính đúng đắn của các thừa số chung - mở dấu ngoặc kết quả và so sánh kết quả với biểu thức ban đầu.
Nguyên tắc chính cho dấu ngoặc:
Ví dụ: trong biểu thức \(3ab+5bc-abc\) chỉ \(b\) có thể được đưa ra khỏi ngoặc, bởi vì nó là từ duy nhất có mặt trong cả ba số hạng. Quá trình lấy các thừa số chung ra khỏi ngoặc được thể hiện ở sơ đồ dưới đây:
Quy tắc đóng khung
Trong toán học, người ta thường loại bỏ tất cả các thừa số chung cùng một lúc.
Ví dụ:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Xin lưu ý rằng ở đây chúng ta có thể mở rộng như thế này: \(3(xy-xz)\) hoặc như thế này: \(x(3y-3z)\). Tuy nhiên, đây sẽ là những phân hủy không đầy đủ. Cả C và X đều phải được loại bỏ.
Đôi khi các thành viên chung không được nhìn thấy ngay lập tức.
Ví dụ:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Trong trường hợp này, thuật ngữ chung (năm) đã bị ẩn. Tuy nhiên, sau khi mở rộng \(10\) thành \(2\) nhân với \(5\) và \(15\) thành \(3\) nhân với \(5\) - chúng tôi đã kéo năm vào ánh sáng của Chúa”, sau đó họ dễ dàng đưa nó ra khỏi khung.
Nếu một đơn thức bị loại bỏ hoàn toàn thì còn lại một đơn thức.
Ví dụ: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Chúng ta đặt \(x\) ra khỏi ngoặc và đơn thức thứ ba chỉ bao gồm x. Tại sao người ta vẫn còn ở lại với nó? Bởi vì nếu bất kỳ biểu thức nào được nhân với một thì nó sẽ không thay đổi. Nghĩa là, \(x\) này có thể được biểu diễn dưới dạng \(1\cdot x\). Khi đó ta có chuỗi biến đổi sau:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Hơn nữa, đây là cách duy nhất để trích xuất nó, bởi vì nếu chúng ta không để lại một dấu ngoặc, thì khi mở dấu ngoặc, chúng ta sẽ không trở về biểu thức ban đầu. Thật vậy, nếu chúng ta thực hiện trích xuất như thế này \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), thì khi mở rộng chúng ta sẽ nhận được \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Thành viên thứ ba đang mất tích. Điều này có nghĩa là tuyên bố như vậy là không chính xác.
Bạn có thể đặt dấu trừ bên ngoài ngoặc và dấu của các số hạng trong ngoặc sẽ bị đảo ngược.
Ví dụ:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Về cơ bản, ở đây chúng ta đang đưa ra “số trừ”, có thể được “chọn” trước bất kỳ đơn thức nào, ngay cả khi không có số trừ nào ở phía trước nó. Ở đây chúng ta sử dụng thực tế là một cái có thể được viết là \((-1) \cdot (-1)\). Đây là ví dụ tương tự, được mô tả chi tiết:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Dấu ngoặc đơn cũng có thể là một yếu tố phổ biến.
Ví dụ:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Chúng ta thường gặp phải tình huống này nhất (bỏ dấu ngoặc khỏi ngoặc) khi phân tích nhân tử bằng phương pháp nhóm hoặc
Bài học đại số lớp 7 “Chép dấu nhân chung”
Komarova Galina Aleksandrovna
Mục tiêu: nâng cao kỹ năng thực hành của học sinh về phân tích nhân tử của đa thức bằng cách lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc và sử dụng khi giải phương trình. Tiến hành chẩn đoán sự đồng hóa của hệ thống kiến thức và kỹ năng cũng như ứng dụng của nó để thực hiện các nhiệm vụ thực tế ở cấp độ tiêu chuẩn với sự chuyển đổi lên cấp độ cao hơn. Phát triển kỹ năng: áp dụng các quy tắc, phân tích, so sánh, khái quát hóa, nêu bật nội dung chính.
Nhiệm vụ:
tạo tình huống thành công trong bài học, tạo điều kiện cho học sinh hoạt động độc lập trong bài học;
thúc đẩy sự hiểu biết về tài liệu bài học;
trau dồi khả năng giao tiếp và khoan dung trong các mối quan hệ của sinh viên.
Loại bài học: kết hợp.
Phương pháp: kích thích, tìm kiếm, trực quan, thực tế, bằng lời nói, chơi game, công việc khác biệt.
Các hình thức thực hiện: cá nhân, tập thể, nhóm.
Kiến thức được đánh giá bằng hệ thống 5 điểm.
Loại bài học: khái quát hóa, hệ thống hóa kiến thức bằng trò chơi giáo khoa.
Kết quả học tập: Có thể đưa ước chung ra khỏi ngoặc, có thể sử dụng phương pháp này khi phân tích nhân tử, có thể sử dụng được ước chung ra khỏi ngoặc khi giải phương trình.
Trong các lớp học
1. Thời điểm tổ chức.
Chào các em học sinh.
Khi các đệ tử của Pythagoras thức dậy, họ phải đọc những câu thơ sau:
“Trước khi bạn thức dậy từ những giấc mơ ngọt ngào gợi lên trong đêm,
Hãy suy nghĩ xem ngày hôm nay sẽ có những gì dành cho bạn.”
2. Khởi động - kiểm tra đồ họa của tài liệu lý thuyết.
Tuyên bố, định nghĩa, tính chất có đúng không?
1. Đơn thức được gọi là số lượng yếu tố số và chữ cái. (KHÔNG -)
2. Số thừa số của đơn thức viết dưới dạng chuẩn gọi là hệ số của đơn thức. (vâng)
3. Các số hạng giống nhau hoặc khác nhau về hệ số gọi là số hạng tương tự. (vâng)
4. Tổng đại số của một số đơn thức được gọi là đơn thức. (KHÔNG -)
5. Khi nhân bất kỳ số hoặc biểu thức nào với 0, kết quả sẽ bằng 0. (vâng)
6. Nhân một đơn thức với một đa thức sẽ được một đa thức. (vâng)
7. Khi mở dấu ngoặc đứng trước dấu “-”, chúng ta bỏ dấu ngoặc và dấu của các thành viên nằm trong ngoặc, đừng thay đổi ngược lại. (KHÔNG-)
8. Thừa số chung là ước số chung lớn nhất của các hệ số của đơn thức. (vâng)
9. Trong số các thừa số theo nghĩa đen giống nhau của đơn thức, chúng ta lấy nó ra khỏi ngoặcnhỏ nhất bằng cấp . (vâng)
Bài kiểm tra: ––ΛΛ- ΛΛ-ΛΛ
Hãy tự đánh giá:
“5” - không có lỗi “4” - hai lỗi “3” - bốn lỗi “2” - nhiều hơn bốn lỗi
3. Cập nhật kiến thức cơ bản.
Cá nhân làm bài trên thẻ số 1, số 2, số 3 (3 học sinh).
Làm việc trực tiếp với lớp:
Bài tập 1 . Tiếp tục câu:
Một cách để phân tích một đa thức là... (bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc );
Khi lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc,... (tài sản phân phối );
Nếu mọi số hạng của đa thức đều chứa một ước chung thì...(yếu tố này có thể được đưa ra khỏi dấu ngoặc đơn )
Nhiệm vụ 2 .
Yếu tố số nào sẽ phổ biến trong các biểu thức sau: 12 y 3 -8 y 2 ; 15 lần 2 - 75x. (4у 2 ; 15x)
Số nhân ở mức độ nào MỘT Và X có thể được đưa ra khỏi dấu ngoặc
a 2 x - a 5 x 3 + 3a 3 x 2 ( MỘT 2 X )
Xây dựng thuật toán loại bỏ nhân tử chung.
Thuật toán:
Tìm gcd cho tất cả các hệ số của đơn thức và đưa nó ra khỏi ngoặc:
2) nhỏ nhất bằng cấp:
chia :
4. Nghiên cứu tài liệu mới.
Xác định hệ số chung trong các biểu thức này và đưa nó ra khỏi ngoặc:
2a+6=
3 xy-3y=
18m-9nm=
x 2 -x 3 +x 6 =
3y+3xy=
(Làm việc theo cặp, nhận xét ngang hàng )
Sử dụng khóa mật mã, giải mã từ đó.
MỘT
L
G
bạn
T
3y(x-1) hoặc
-3у(-х+1)
9m(2-n)
2(a+3)
X 2 (1-x +x 4)
3(7c 2 -5a 3)
Trả lời: Galois.
Evariste Galois (1811-1832)
Galois là niềm tự hào của khoa học Pháp. Khi còn là một đứa trẻ, ông đã đọc hình học của Legendre như một cuốn sách hấp dẫn. Đến năm 16 tuổi, tài năng của Galois đã bộc lộ đến mức người ta xếp ông vào số những nhà toán học vĩ đại nhất thời bấy giờ. . Các công trình khoa học của Galois về lý thuyết phương trình đại số bậc cao hơn đã đặt nền móng cho sự phát triển của đại số hiện đại.
Nhà toán học lỗi lạc, niềm tự hào của khoa học thế giới, chỉ sống được 20 năm, trong đó có 5 năm ông cống hiến cho toán học. Năm 2011 đánh dấu kỷ niệm 200 năm ngày sinh của ông.
Tôi đề nghị bạn giải một phương trình ở vế trái của nó là đa thức bậc hai.
12x
2
+6
x
=0.
Hãy đặt 3x ra khỏi ngoặc. Chúng tôi sẽ có được nó.
6x(2x+1)=0 Tích bằng 0 khi ít nhất 6x=0 hoặc 2x+1=0. một trong những yếu tố bằng không.
x=0:6 2x=-1
x=0 x = -1:2
x=-0,5
và chúng tôi tìm thấy x=0 hoặc x= -0,5
Trả lời: x 1 = 0, x 2 = -0,5
5. Phút giáo dục thể chất.
Các báo cáo được đọc cho học sinh. Nếu câu nói đúng thì học sinh giơ tay lên, nếu sai thì ngồi xuống và vỗ tay.
7 2 =49 (Có).
30 = 3 (Không).
Thừa số chung lớn nhất của đa thức 5a-15b là 5 (Da).
5 2 =10 (Không).
Có 10 ngón tay trên bàn tay. Có 100 ngón tay trên 10 bàn tay (Không).
5 0 =1 (Đúng)
0 chia hết cho mọi số không có số dư (Đúng).
câu hỏi điền 5:0=0
6. Bài tập về nhà.
Nhóm I, II
Quy định trong sổ tay, số 709(e,f), 718(g,)719(g),
Nhóm III:
Nội quy ghi vào sổ số 710 (a, b), 715 (c, d)
Nhiệm vụ bổ sung (tùy chọn)
Được biết, với một số giá trị một vàb giá trị biểu thức MỘT-b bằng 3. Giá trị của biểu thức của a và b giống nhau là bao nhiêu?
a) 5a-5 b ; b) 12b - 12a; V) (MỘT -b ) 2 ; G) (b -a) 2 ;
7. Hợp nhất.
,Nhóm II quyết định số 710(a,c)
Nhóm III quyết định số 709(a,c)
Tự mình tìm ra phương trình bậc hai
Học sinh làm bài tập trên thẻ số 5-6 trên bảng và vào vở. (khác biệt)
Tìm lỗi sai
5. Làm việc độc lập.
Học sinh được yêu cầu hoàn thành công việc giáo dục độc lập dưới hình thức một bài kiểm tra, sau đó là phần tự kiểm tra; các câu trả lời đúng có thể được ghi ở mặt sau của bảng.
6. Tóm tắt bài học.
Sự phản xạ: Ai đã làm tốt nhất trong bài học hôm nay của chúng ta?
Chúng ta sẽ đánh giá gì cho họ?
TÔI
làm việc tốt
Đã hiểu cách giải phương trình bằng cách lấy ra
Số nhân chung trong ngoặc
Hài lòng với bài học
Tôi cần sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc nhà tư vấn
CHÚNG TÔI MỘT Hôm nay chúng ta đã làm việc cùng nhau như thế nào?
Ví dụ về thẻ.
Thẻ số 1.
2x-2y
5ab+10a
2a 3 -a 5
a(x-2)+b(x-2)
-7xy+y
Thẻ số 2.
Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
5ab-10ac
4xy-16x2
a 2 -4a+3a 5
0,3a 2 b+0,6ab 2
x 2 (y-6)-x(y-6)
Thẻ số 3.
Loại bỏ hệ số tổng
ngoài dấu ngoặc:
-3x 2 y-12y 2
5a 2 -10a 3 +15a 5
6c 2 x 3 -4c 3 x 3 +2x 2 c
7a 2 b 3 -1,4a 3 b 4 +2,1a 2 b 5
3a(x-5)+7(5-x)
Lá bài số 5-1
Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
3x + 3y;
5a – 15b;
8x+12y;
Giải phương trình
1) 2x 2 + 5x = 0
Thẻ số 5-2
1) 10a – 10v
2) 3 xy – x 2 y 2
3) 5 cho 2 + 15 cho 3
2.Giải phương trình
2x² - 9x = 0
Thẻ số 6
1. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc:
1) 8 a + 8 c.
2) 4 x y + x 3 y 3
3) 3 inch y – 6 inch.
2. Giải phương trình
2x2 +7x = 0
Nhiệm vụ bổ sung
1.Tìm lỗi:
3x(x-3)=3x 2 -6x; 2x+3xy=x(2+y);
2. Chèn biểu thức còn thiếu:
5x(2x 2 -x)=10x 3 -…; -3ау-12у=-3у (а+...);
3. Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:
5a - 5b; 3x + 6 y; 15a – 25b; 2,4x + 7,2y.
7a + 7b; 8x – 32a; 21a + 28b; 1,25x – 1,75a.
8x – 8y; 7a + 14b; 24x – 32a; 0,01a + 0,03y.
4.Thay thế “M” bằng một đơn thức để đẳng thức thu được là đúng:
a) M × (a – b) = 4 AC – 4 bc;
b) M × (3a – 1) = 12a 3 – 4a 2;
c) M × (2a – b) = 10a 2 – 5a b.
VIII. Công việc trực tiếp (về sự chú ý, học các quy tắc mới).
Các biểu thức được viết trên bảng. Tìm lỗi trong các đẳng thức này nếu có và sửa chúng.
2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).
2 x + 6 = 2 (x + 3).
8 x + 12 y = 4 (2 x - 3y).
a 6 – a 2 = a 2 (a 2 – 1).
4 -2a = – 2 (2 – a).
Thuật toán:
Tìm gcd cho tất cả các hệ số của đơn thức và đưa nó ra khỏi ngoặc
2) Trong số các thừa số chữ cái giống hệt nhau của đơn thức, hãy xóa nó khỏi dấu ngoặcnhỏ nhất bằng cấp
3) Mỗi đơn thức của một đa thứcchia theo nhân tử chung và viết kết quả phép chia trong ngoặc đơn
Phiếu kiểm tra kiến thức lớp 7A học sinh ________________________________________
Đồ họa
sự đọc chính tả
2. mã hóa
3. Cá nhân Làm việc với thẻ
4.kiểm tra
5.Tổng số điểm
6. Điểm của giáo viên
trả lời
Bài kiểm tra
1. lũy thừa nào của số nhân a có thể được lấy ra khỏi ngoặc cho đa thức
a²x - ax³
a) a b) a2 c) một³
2 x³ -8x²
a) 4 b) 8 c) 2
a²+ab – ac +a
MỘT ) a(a+b-c+1) b) a (a+b-c)
V) a 2 (a+b-c+1)
7m³ + 49m2
a) 7 m2 (m +7m2) b) 7m2 (m +7)
vào lúc 7 giờ m2 (7m +7)
5. Yếu tố hóa:
x(x – y) + a(x – y)
MỘT ) (x-y)(x+a) b) (y-x)(x+a)
V. ) (x+a)(x+y)
6. Giải phương trình
6y-(y-1)=2(2y-4)
a) -9 b) 8 c) 9
d) câu trả lời khác
7. Cộng nhân tử chung
x(x – y) + a(y- x)
MỘT ) (x-y)(x- a) b) (y-x)(x+a)
V. ) (x+a)(x+y)
Câu trả lời
Bài kiểm tra
1. Có thể lấy lũy thừa nào của hệ số b ra khỏi dấu ngoặc của đa thức
b2 - a³b³
MỘT) b b) b 2 c) b ³
2. Hệ số nào có thể được bỏ ra khỏi ngoặc cho một đa thức
15a³ - 25a
MỘT) 15 b) 5 c) 25
3. Nêu ước số chung của các số hạng của đa thức
x² - xy + xp – x
MỘT) x (x -y +p -1) b) x (x -y +p )
V) x 2 (x-y+p-1)
4. Biểu diễn đa thức dưới dạng tích
9b² - 81b
MỘT) 9b(b-81) b) 9b 2 (b-9)
V) 9b(b-9)
5. Yếu tố hóa:
a(a + 3) – 2(a +3)
MỘT ) (a+3)(a+2) b) (a+3)(a-2)
V. ) (a-2)(a-3)
6. Giải phương trình
3x-(12x-x)=4(5-x)
a) -4 b) 4 c) 2
d) câu trả lời khác
7. Cộng nhân tử chung
một (a - 3) – 2(3-a)
MỘT ) (a -3)(a+2) b) (a+3)(a-2)
V. ) (a-2)(a-3)
Câu trả lời
Lựa chọn tôi
Diễn:
(3x+10y) – (6x+3y)
a) 9x+7y; b) 7u-3x; c) 3x-7y; d) 9x-7y
6x 2 -3x
MỘT ) 3x(2x-1); b) 3x(2x-x); c) 3x 2 (2-x); d)3x(2x+1)
3. Rút gọn đa thức về dạng chuẩn:
X+5x 2 +4x-x 2
a) 6x 2 +3x; b) 4x 2 +3x; c)4x2 +5x; G) 6x 2 -3x
4. Diễn:
3x2 (2x-0.5y)
a) 6x 2 -1,5x 2 y; b) 6x 2 -1,5xy; V) 6x 3 -1,5 lần 2 Tại; d) 6x 3 -0,5x 2 y;
5. Giải phương trình:
8x+5(2-x)=13
a) x=3; b) x=-7; c)x=-1; G) x=1;
6. Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
x(x-y)-6y(x-y)
MỘT) (x-y)(x-6y)) ; b) (x-y)(x+6y);
c) (x+y)(x-6y); d) (x-y)(6y-x);
7. Giải phương trình:
X 2 +8x=0
a) 0 và -8 b) 0 và 8; c) 8 và -8
Phương án II
Diễn:
(2a-1)+(3+6a)
a) 8a+3; b) 8a+4; V) 8a+2; d) 6a+2
Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
7a-7b
MỘT) 7(a-c); b) 7(a+c); c)7(c-a); d) a(7-c);
Rút gọn đa thức về dạng chuẩn:
4x2 +3x-5x2
MỘT) -X 2 +3x; b) 9x 2 +3x; c) 2x2; d) –x 2 -3x;
Thực hiện phép nhân:
4a 2 (a-c)
a) 4a 3 -c; b) 4a 3 -4av; V) 4a 3 -4a 2 V.; d) 4a 2 -4a 2 c;
Nhân tử hóa:
a(v-1)-3(v-1)
MỘT) (c-1)(a-3); b) (c-1)(a+3) ; c) (c+1)(a-3) ; d) (c-3)(a-1) ;
Giải phương trình:
4(a-5)+a=5
a) a=1; b) a=-5; c) a=3; G) a=5;
7. Giải phương trình:
6x 2 -30x=0
a) 0 và 5 b) 0 và -5 c) 5 và -5
Galois
Một cậu bé bước vào trong bộ áo choàng nghèo nàn,
Để mua thuốc lá và Madeira trong cửa hàng.
Cô ấy mời tôi một cách ân cần như một người em trai,
Cô chủ tan vỡ và tiếp tục đến.
Cô ấy tiễn tôi ra cửa, thở dài mệt mỏi,
Theo sau anh, cô giơ tay: “Lập dị!
Tôi lại lừa dối bốn xu,
Và bốn centime bây giờ không phải là chuyện nhỏ!
Có người nói với tôi, giống như một nhà khoa học lỗi lạc,
Một nhà toán học nào đó, ông Galois.
Làm thế nào luật pháp của thế giới có thể được tiết lộ?
Nếu tôi có thể nói thì đây là cái đầu phải không?!”
Nhưng anh đã lên gác mái, bị cô lừa dối,
Tôi đã lấy bức phác họa quý giá trong bụi gác mái
Và anh lại chứng minh một lần nữa bằng tất cả sự tàn nhẫn,
Rằng chủ nhân của cái bụng no là con số không. (A. Markov
lựa chọn 1
1 . 4-2x
A. 2(2 + x).B. 4(1 - x).
B. 2(2).G. 4(1 + x).
2. MỘT 3 V. 2 - MỘT 4 V.
A. a 4 c(c - a).B. một 3 trong (trong - a).
B. a 3 trong 2 (1 - a). một 3 trong (1 - a).
3. 15 lần y 2 + 5x y - 20x 2 y
A. 5x y(3y + 1 - 4x).B. 5xy (3y - 4x).
B. 5x(3 y 2 + y - 2x).G. 5x(3y 2 + y - 4x).
4. MỘT( b +3) +( b + 3).
MỘT. ( b + 3) (a + 1).B. (b + 3)a.
B. (3 + b ) (a - 1).G. (3 + b )(1-a).
5. X(y - z ) - (z - y ).
A. (x - 1) ( y - z).B. (x - 1) (z - y).
B.(x + 1)(y- z).T.(x + 1)(z -y).
6. Giải phương trình
3y - 12 y 2 =0
Phân tích đa thức thành nhân tử
Lựa chọn 2
1. 6a-3.
A. 3(2a-1).B. 6(a-1).
B. 3(2a+1).G. 3(a-1).
2. MỘT 2 b 3 – Một 3 b 4
A. a 2 b 3 (1 - ab).B. a 3 (b 3 – b 4).
Ba b 3 (1 - a 2 b).G. b 3 (x 2 - x 3).
3. 12x 2 y - 6xy - 24xy 2 .
A. 6xy(2x - 1 - 4y).B. 6xy (2x - 4y).
B. 6xy (6x - 1 - 4y). 6xy(2x + 4y + 1).
4. X( y + 5) + ( y +5).
A. (x - 1) (y + 5).B. (x + 1) (y + 5).
B.(y + 5)x.G. (x - 1) (5 - y).
5. AC-b )- (b -Với).
A. (a - 1) ( b + c).B. (a - 1) (b - c).
B. (a + 1) (c - b).G. (a + 1) (b - c).
6. Giải phương trình
Trong khuôn khổ nghiên cứu các phép biến đổi bản sắc, chủ đề lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc là rất quan trọng. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích chính xác sự chuyển đổi như vậy là gì, rút ra quy tắc cơ bản và phân tích các ví dụ điển hình của vấn đề.
Yandex.RTB RA-339285-1
Khái niệm lấy hệ số ra khỏi ngoặc
Để áp dụng thành công phép biến đổi này, bạn cần biết nó được sử dụng cho biểu thức nào và cuối cùng bạn muốn nhận được kết quả gì. Hãy để chúng tôi làm rõ những điểm này.
Bạn có thể lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc trong các biểu thức biểu thị tổng trong đó mỗi số hạng là tích và trong mỗi tích có một thừa số chung (giống nhau) cho mọi người. Đây được gọi là yếu tố chung. Đó là điều mà chúng tôi sẽ đưa ra khỏi dấu ngoặc đơn. Vì vậy, nếu chúng ta có tác phẩm 5 3 Và 5 4, thì chúng ta có thể lấy thừa số chung 5 ra khỏi ngoặc.
Sự chuyển đổi này bao gồm những gì? Trong thời gian đó, chúng ta biểu diễn biểu thức ban đầu dưới dạng tích của một thừa số chung và một biểu thức trong ngoặc đơn chứa tổng của tất cả các số hạng ban đầu ngoại trừ thừa số chung.
Hãy lấy ví dụ được đưa ra ở trên. Hãy cộng ước số chung của 5 vào 5 3 Và 5 4 và chúng tôi nhận được 5 (3 + 4) . Biểu thức cuối cùng là tích của thừa số chung 5 với biểu thức trong ngoặc, là tổng của các số hạng ban đầu không có 5.
Phép biến đổi này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân mà chúng ta đã nghiên cứu trước đây. Ở dạng chữ, nó có thể được viết là a (b + c) = a b + a c. Bằng cách thay đổi vế phải bằng vế trái, chúng ta sẽ thấy sơ đồ lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.
Quy tắc lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc
Sử dụng mọi điều đã nói ở trên, chúng ta rút ra quy tắc cơ bản cho sự chuyển đổi như vậy:
Định nghĩa 1
Để loại bỏ thừa số chung khỏi ngoặc, bạn cần viết biểu thức ban đầu dưới dạng tích của thừa số chung và dấu ngoặc bao gồm tổng ban đầu không có thừa số chung.
ví dụ 1
Hãy lấy một ví dụ đơn giản về kết xuất. Chúng ta có một biểu thức số 3 7 + 3 2 − 3 5, là tổng của ba số hạng 3 · 7, 3 · 2 và thừa số chung 3. Lấy quy tắc rút ra làm cơ sở, chúng ta viết tích dưới dạng 3 (7 + 2 − 5). Đây là kết quả của sự chuyển đổi của chúng tôi. Toàn bộ giải pháp trông như thế này: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).
Chúng ta có thể đặt hệ số ra khỏi ngoặc không chỉ bằng số mà còn bằng biểu thức nghĩa đen. Ví dụ, trong 3 x − 7 x + 2 bạn có thể lấy biến x ra và nhận 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, trong biểu thức (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- nhân tố chung (x2+y) và cuối cùng nhận được (x 2 + y) · (x · y − x 3).
Không phải lúc nào cũng có thể xác định ngay yếu tố nào là phổ biến. Đôi khi một biểu thức trước tiên phải được chuyển đổi bằng cách thay thế các số và biểu thức bằng các tích giống hệt nhau.
Ví dụ 2
Vì vậy, ví dụ, trong biểu thức 6 x + 4 y có thể rút ra thừa số chung 2 không được viết ra một cách rõ ràng. Để tìm nó, chúng ta cần biến đổi biểu thức ban đầu, biểu thị sáu là 2 · 3 và bốn là 2 · 2. Đó là 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Hoặc trong cách diễn đạt x 3 + x 2 + 3 x chúng ta có thể loại bỏ thừa số chung x ra khỏi ngoặc, được tìm thấy sau khi thay thế x 3 TRÊN x · x 2 . Sự chuyển đổi này có thể thực hiện được do các tính chất cơ bản của mức độ. Kết quả là, chúng ta nhận được biểu thức x (x 2 + x + 3).
Một trường hợp khác cần được thảo luận riêng là việc loại bỏ dấu trừ khỏi ngoặc. Sau đó, chúng ta không lấy ra dấu mà là trừ một. Ví dụ: chúng ta hãy biến đổi biểu thức theo cách này − 5 − 12 x + 4 x y. Hãy viết lại biểu thức như (- 1) 5 + (- 1) 12 x − (- 1) 4 x y, để hệ số nhân tổng thể được nhìn thấy rõ ràng hơn. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc và nhận được − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Ví dụ này cho thấy rằng trong ngoặc thu được cùng một lượng, nhưng có dấu hiệu ngược lại.
Trong phần kết luận, chúng tôi lưu ý rằng phép biến đổi bằng cách đặt hệ số chung ra khỏi ngoặc thường được sử dụng trong thực tế, chẳng hạn như để tính giá trị của các biểu thức hữu tỉ. Phương pháp này cũng hữu ích khi bạn cần biểu diễn một biểu thức dưới dạng tích, chẳng hạn như để phân tích một đa thức thành các thừa số riêng lẻ.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
§ 10. Phân tích đa thức bằng phương pháp bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc
Ở lớp 6, chúng ta đã phân tích các số tổng hợp thành thừa số nguyên tố, tức là chúng ta trình bày các số tự nhiên dưới dạng tích. Ví dụ: 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.
Một số đa thức cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích. Điều này có nghĩa là các đa thức này có thể được phân tích thành nhân tử. Ví dụ: 5a: - 5y - 5(x - y); a 3 và 3a 2 = a 2 (a + 3) và tương tự.
Chúng ta hãy xem xét một trong những cách phân tích đa thức - lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc. Một trong những ví dụ về cách khai triển như vậy mà chúng ta đã biết là tính chất phân phối của phép nhân a(b + c) = ab + ac, nếu viết theo thứ tự ngược lại: ab + ac - a(b + c). Điều này có nghĩa là đa thức ab + ac đã được phân tích thành hai thừa số a và b + c.
Khi phân tích nhân tử của đa thức có hệ số nguyên, hệ số được lấy ra khỏi ngoặc được chọn sao cho các số hạng của đa thức nằm trong ngoặc không có thừa số chữ cái chung và mô đun hệ số của chúng không có ước chung.
Hãy xem xét một vài ví dụ.
Ví dụ 1. Phân tích biểu thức thành nhân tử:
3) 15a 3 b - 10a 2 b 2.
R a s i z a n i .
1) Ước chung là số 4 nên
8m + 4 = 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).
2) Nhân tử chung là biến a, do đó
tại + 7ap = a(t + 7p).
3) Trong trường hợp này, thừa số chung là ước số chung lớn nhất của các số 10 và 15 - số 5, và thừa số chung là chữ cái đơn thức a 2 b. Vì thế,
15a 3 b - 10a 2 b 2 = 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b(3a - 2b).
Ví dụ 2. Phân tích thành:
1) 2m(b - s) + 3р(b - s);
2) x(y - t) + c(t - c).
R az v’ i z a n i.
1) Trong trường hợp này, nhân tử chung là nhị thức b = c.
Do đó, 2m( b - Với) + 3р( b - c) = (b - с)(2m + 3р).
2) Các số hạng có các thừa số in - t và t - in là các biểu thức trái ngược nhau. Do đó, trong số hạng thứ hai, lấy hệ số -1 ra khỏi ngoặc, chúng ta nhận được: c(t - в) = -с(у - t).
Do đó, x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).
Để kiểm tra tính đúng đắn của việc phân tích nhân tử, bạn nên nhân các thừa số thu được. Kết quả phải bằng đa thức đã cho.
Phân tích nhân tử đa thức thường đơn giản hóa quá trình giải phương trình.
Ví dụ 3. Tìm nghiệm của phương trình 5x 2 - 7x = 0.
R az v’ i z a n i. Hãy phân tích vế trái của phương trình bằng cách lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc: x(5x - 7) = 0. Xét rằng tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0, chúng ta sẽ có: x = 0 hoặc 5x - 7 = 0, do đó x = 0 hoặc x = 1,4.
Trả lời: 0; 1.4.
Phép biến đổi nào được gọi là phân tích nhân tử của một đa thức? Sử dụng ví dụ về đa thức ab + ac, giải thích cách thực hiện phân tích nhân tử bằng cách đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc.
- (Nói) Tìm ước chung của biểu thức:
- (Bằng miệng) Phân tích thành:
- Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
- (Bằng miệng) đã thực hiện đúng các phép nhân hóa:
1) 7a + 7 = 7a;
2) 5m - 5 = 5(m - 5);
3) 2a - 2 = 2(a - 1);
4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);
5) 5mn + bn = 5m(n + 3);
6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?
- Viết số tiền dưới dạng sản phẩm:
- Yếu tố đó ra:
- Yếu tố đó ra:
4) 7a + 21ау;
5) 9x2 - 27x;
6) 3a - 9a 2;
8) 12ax - 4a 2;
9) -18xy + 24v 2;
10) a 2 b - ab 2 ;
11) rm - p 2 m;
12) -x 2 y 2 - xy.
- Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
4) 15xy + 5x;
6) 15m - 30m 2 ;
7) 9xy + 6x 2;
9) -p 2 q - pq 2.
- Yếu tố đó ra:
5) 3b 2 - 9b 3;
7) 4y 2 + 12y 4 ;
8) 5m 5 + 15m 2 ;
9) -16a 4 - 20a.
- Yếu tố đó ra:
4) 18p 3 - 12p 2 ;
5) 14b 3 + 7b 4 ;
6) -25m 3 - 20m.
- Viết tổng 6x 2 in + 15x dưới dạng tích và tìm giá trị của nó nếu x = -0,5, y = 5.
- Viết biểu thức 12a 2 b - 8a dưới dạng tích và tìm giá trị của nó nếu a = 2, 6 = .
- Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
1) a 4 + a 3 - a 2;
2) m9 - m2 + m7;
3) b 6 + b 5 - b 9 ;
4) - lúc 7 - lúc 12 - lúc 3.
- Trình bày nó như một sản phẩm:
1) p 7 + p 3 - p 4;
2) a 10 - a 5 + a 8;
3) b 7 - b 5 - b 2;
4) -m 8 - m 2 - m 4.
- Tính toán một cách thuận tiện:
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;
2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.
- Giải phương trình:
1) x 2 - 2x = 0;
2) x 2 + 4x = 0.
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
1) x 2 + 3x = 0;
2) x 2 -7x = 0.
1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;
2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;
3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3;
4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.
- Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;
2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;
3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;
4) 21b - 28b 4 - 14b 3.
- Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;
2) 12a 2 b - 18ab 2 + 30ab 3;
3) 8x 2 y 2 - 4x 3 trong 5 + 12x 4 trong 3;
4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.
- Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;
2) 12b 2in - 18b 3 - 30b 4in;
3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;
4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5.
- Tính toán một cách thuận tiện:
1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;
2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.
- Tìm ý nghĩa của biểu thức:
1) 4,23 a - a 2, nếu a = 5,23;
2) x 2 y + x 3, nếu x = 2,51, b = -2,51;
3) sáng 5 - m 6, if = -1, a = -5;
4) -xy - x 2, nếu x = 2,7, b = 7,3.
- Tìm ý nghĩa của biểu thức:
1) 9,11 a + a 2, nếu a = -10,11;
2) 5x 2 + 5a 2 x, nếu a = ; x = .
- Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) 2p(x - y) + q(x - y);
2) a(x + y) - (x + y);
3) (a - 7) - b(a - 7);
4) 5(a + 1) + (a + 1) 2;
5) (x + 2) 2 - x(x + 2);
6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .
- Hãy tưởng tượng biểu thức như một sản phẩm:
1) a(x - y) + b(y - x);
2) g(b - 5) - n(5 - b);
3) 7x - (2b - 3) + 5y(3 - 2b);
4) (x - y) 2 - a(y - x);
5) 5(x - 3) 2 - (3 - x);
6) (a + 1)(2b - 3) - (a + 3)(3 - 2b).
- Yếu tố đó ra:
1) 3x(b - 2) + y(b - 2);
2) (m 2 - 3) - x(m 2 - 3);
3) a(b - 9) + c(9 - b);
4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;
5) (s - m) 2 - 5(m - s);
6) -(x + 2y) - 5(x + 2y) 2.
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
1) 4x2 - x = 0;
2) 7x 2 + 28x = 0;
3) x 2 + x = 0;
4)x2 - x = 0.
- Giải phương trình:
1) 12x2 + x = 0;
2) 0,2 x 2 - 2x = 0;
3) x 2 - x = 0;
4) 1 - x 2 + - x = 0.
- Giải phương trình:
1) x(3x + 2) - 5(3x + 2) = 0;
2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.
- Giải phương trình:
1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;
2) 7(x - 3) - 2x(3 - x) = 0.
1) 17 3 + 17 2 là bội số của 18;
2) 9 14 - 81 6 là bội số của 80.
- Chứng minh rằng ý nghĩa của biểu thức là:
1) 39 9 - 39 8 chia cho 38;
2) 49 5 - 7 8 chia cho 48.
- Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
1) (5m - 10) 2 ;
2) (18a + 27b) 2 .
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
1) x(x - 3) = 7x - 21;
2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.
- Giải phương trình:
1) x(x - 2) = 4x - 8;
2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.
- Chứng minh rằng số:
1) 10 4 + 5 3 chia hết cho 9;
2) 4 15 - 4 14 + 4 13 chia cho 13;
3) 27 3 - 3 7 + 9 3 chia cho 25;
4) 21 3 + 14 a - 7 3 chia cho 34.
Bài tập lặp lại
- Rút gọn biểu thức và tìm ý nghĩa của nó:
1) -3x 2 + 7x 3 – 4x 2 + 3x 2, nếu x = 0,1;
2) 8m + 5n - 7m + 15n, nếu m = 7, n = -1.
- Viết các hệ số đơn thức sau đây thay vì dấu hoa thị để đẳng thức trở thành đẳng thức:
1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;
2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.
- Chiều dài của hình chữ nhật gấp ba lần chiều rộng của nó. Nếu chiều dài của hình chữ nhật giảm đi 5 cm thì diện tích của nó sẽ giảm đi 40 cm 2 . Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Nhiệm vụ thú vị dành cho học sinh lười biếng
Được biết, một< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| và |b|< |с|?
Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.
Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.
Chúng ta hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức của dạng chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của chúng đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.
Phía sau bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức \(12a^2b - 7b\) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6\) có bậc hai.
Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.
Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn kèm theo là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc đơn mở nên dễ dàng lập công thức Quy tắc mở ngoặc:
Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.
Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.
Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức
Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, bạn có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức thành đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.
Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.
Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với mỗi số hạng của đa thức.
Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.
Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức
Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.
Thông thường quy tắc sau được sử dụng.
Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.
Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương
Bạn phải xử lý một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số thường xuyên hơn những biểu thức khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không thường xuyên xảy ra; theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.
Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn trên thực tế, bạn đã gặp phải nhiệm vụ này khi nhân các đa thức:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng của các bình phương và tích kép.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích nhân đôi.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.
Ba đặc tính này cho phép người ta thay thế phần bên trái bằng phần bên phải trong các phép biến đổi và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.
