Основные законы регулирования. П, ПД, ПИ, ПИД регуляторы

Различают 5 основных законов регулирования:

¾ интегральный (И – закон);

¾ пропорциональный (П – закон);

¾ пропорционально-интегральный (ПИ – закон);

¾ пропорционально-дифференциальный (ПД – закон);

¾ пропорционально-интегральный-дифференциальный (ПИД-закон).

Законы регулирования получают включением дополнительных элементов к основным элементам регулятора.

Под законом регулирования понимают зависимость регулирующего воздействия m рег от регулируемого параметра в динамических режимах работы системы (m рег =f (j)). Получим уравнения этих законов, используя предыдущие знания по автоматике.

И – закон регулирования

Структурная схема этого закона представлена на рис. 50.

M рег =f (j) – закон регулирования (закон перемещения регулирующего органа).

Основные элементы регулятора: измерительное устройство И.У. , элемент сравнения Э.С. ; усилитель У.У. ; исполнительный механизм И.М. Они соединены в регуляторе последовательно, поэтому для получения передаточной функции регулятора необходимо знать передаточные функции этих элементов, считая их простейшими.

1. И.У. Это датчик для измерения параметра j (давление, температура, уровень и т.п.). Будем считать его пропорциональным элементом.

Тогда , где k ИУ – коэффициент усиления измерительного устройства. Передаточная функция: .

2. Э.С. В элементе сравнения происходит сложение сигналов от датчика и задатчика с учетом знаков и вырабатывается сигнал рассогласования.

.

Передаточная функция элемента сравнения будет

.

3. У.У. Усилитель предназначен для усиления слабого сигнала Dy в мощный сигнал s, который управляет работой исполнительного механизма, поэтому будем считать его пропорциональным элементом. Тогда уравнение У.У. будет

где k УУ – коэффициент усиления управляющего устройства (У.У.). Передаточная функция усилителя

.

4. И.М. Исполнительный механизм перемещает регулирующий орган (Р.О. ). Чаще всего перемещение происходит с постоянной скоростью, так как он снабжен электродвигателем, имеющим постоянную скорость. Тогда И.М. можно отнести к идеальному интегрирующему элементу. Уравнение ИМ

,

а передаточная функция

.

Передаточная функция регулятора

Из последнего соотношения получаем уравнение регулятора в операторном виде

из которого дифференциальное уравнение регулятора будет

. (9.2)

Решение этого уравнения дает закон регулирования

. (9.3)

Из этого уравнения следует, что перемещение регулирующего органа m рег пропорционально интегралу от измеряемой величины по времени t (И-закон). В литературе по автоматике этот закон описывают в виде

,

где Т и - время интегрирования; k р – коэффициент усиления регулятора.

Разгонная характеристика регулятора

При j=const имеем

. (9.5)

Регулирующий орган перемещается с постоянной скоростью, (µ рег - линейная функция времени), что и показывает разгонная характеристика.

При Т и ®¥ регулирующий орган будет перемещаться с большой скоростью и быстро достигать своих крайних положений («открыт» или «закрыт»). В процессе регулирования регулирующий орган будет все основное время находиться в крайних положениях, то есть имеем позиционное регулирование (Пз- закон) как частный случай интегрального закона .

Достоинства И закона: точное регулирование в статических режимах (без статической ошибки).

Недостатки : плохие динамические свойства: большое динамическое отклонение А 1 и время регулирования t р. Это связано с тем, что регулирующий орган непрерывно перемещается, пока не входит в пределы зоны нечувствительности регулятора.

Достоинства и недостатки можно увидеть на графике процесса регулирования, под которым понимается изменение регулируемого параметра j во времени при нанесении на объект возмущения.

Для улучшения динамических свойств регулятора необходимо регулирующий орган периодически останавливать в промежуточном положении, не давая ему непрерывно перемещаться. С этой целью вводятся обратные связи по положению регулирующего органа, которые изменяют закон регулирования.

П - закон регулирования

Этот закон получается введением в регулятор жесткой отрицательной обратной связи по положению регулирующего органа. Жесткая связь означает, что в обратную связь включен пропорциональный элемент. Структурная схема регулятора с обратной связью имеет вид (рис. 49):

Уравнение жесткой обратной связи будет

.

Ее передаточная функция будет

Передаточная функция регулятора получается произведением передаточной функции сложного соединения, выделенного на схеме и обозначенной I и передаточной функции И.У.

.

Передаточная функция W I определится как

.

.

Из последнего соотношения получаем уравнение регулятора

. (9.6)

Это уравнение инерционного объекта первого порядка. При упрощении (Т И.М. =0) получим упрощенное уравнение регулятора

, (9.7)

из которого видно, что m рег пропорционально изменению регулируемого параметра (П-закон).

В литературе по автоматике этот закон обычно записывается в виде

где - коэффициент усиления регулятора.

Достоинства П-закона – в хороших динамических свойствах регулятора. Регулирующий орган останавливается в промежуточном положении из-за воздействия обратной связи, величина которой растет по мере перемещения регулирующего органа (m рег).

; Dy = 0 при y = y 0 + x.

Недостаток – в статических режимах работы системы появляется ошибка регулирования (статическая ошибка регулирования), поскольку обратная связь при отключении регулятора не снимается.

x = y – y 0 при Dy=0 – регулятор отключился, не работает.

Разгонная характеристика П-регулятора (рис. 54)

Т И.М. =0, соответствует последнему уравнению П-регулятора. При Т И.М. ¹0 регулирующий орган будет перемещаться по кривой (экспонента), которую можно получить, решив дифференциальное уравнение первого порядка (9.7).

Достоинства и недостатки регулятора можно увидеть на графике процесса регулирования (рис. 55):

При использовании этого закона динамическое отклонение А 1 и время регулирования t р меньше, чем у И-закона, поэтому П-закон используется при допустимых статических ошибках регулирования Dj ст.

ПИ-закон регулирования

Этот закон получается введением гибкой отрицательной обратной связи по положении регулирующего органа. Гибка связь означает, что в обратную связь включен реальный дифференцирующий элемент, входной сигнал которого максимален в начальный момент времени и исчезает с течением времени. Следовательно, в начальные моменты времени регулятор работает по П-закону, а в конце, когда обратная связь снимается, он работает по И-закону.

Структурная схема ПИ-регулятора такая же, как у П-регулятора, только обратная связь другая – гибкая. При тех же самых основных элементах регулятора: ИУ, ЭС, УУ, ИМ, остается учесть передаточную функцию обратной связи.

Из этого уравнения видно, что перемещение регулирующего органа (m рег) пропорционально регулируемому параметру j и интегралу от него по времени (ПИ-закон).

В литературе это уравнение записывается в виде

(9.12)

где k р и Т и – параметры настройки ПИ-регулятора (коэффициент усиления и время интегрирования).

Разгонная характеристика ПИ-регулятора имеет вид (рис. 56)

Характеристика, построенная при Т И.М. =0, соответствует последнему полученному уравнению. Если Т И.М. ¹0, то регулирующий орган будет перемещаться по кривой, которую можно получить из решения дифференциального уравнения второго порядка (9.9).

Такое перемещение регулирующего органа существенно улучшает процесс регулирования по сравнению с И-законом. Это можно увидеть по графику процесса регулирования (рис. 57).

Из графика видно, что динамическое отклонение параметра А 1 меньше, чем у И-закона и время регулирования t р – меньше. К тому же, в статических режимах нет ошибки регулирования, так как среднее значение параметра j в пределах зоны нечувствительности регулятора D неч равно заданному значению j 0 .

В связи с этими достоинствами ПИ-закон является наиболее употребительным законом при регулировании технологических процессов.

Значительно улучшить точность регулирования можно применением ПИД-закона (Пропорционально-Интегрально-Дифференциальный закон регулирования).
Для реализации ПИД-закона используются три основные переменные:
P – зона пропорциональности, %;
I – время интегрирования, с;
D – время дифференцирования, с.
Ручная настройка ПИД-регулятора (определение значений параметров Р, I, D), обеспечивающая требуемое качество регулирования, достаточно сложна и на практике редко используется. ПИД-регуляторы серии UT/UP обеспечивают автоматическую настройку ПИД-параметров под конкретный процесс регулирования, сохраняя при этом возможность их ручной корректировки.

Пропорциональная составляющая
В зоне пропорциональности, определяемой коэффициентом Р, сигнал управления будет изменяться пропорционально разнице между уставкой и действительным значением параметра (рассогласованию):

сигнал управления = 100/P E,

где E – рассогласование.
Коэффициент пропорциональности (усиления) К является величиной обратнопропорциональной Р:

Зона пропорциональности определяется относительно заданной уставки регулирования, и внутри этой зоны сигнал регулирования изменяется от 0 до 100%, т. е. при равенстве действительного значения и уставки выходной сигнал будет иметь значение 50%.

где Р – зона пропорциональности;
ST – уставка регулирования.
Например:
диапазон измерения 0…1000 °С;
уставка регулирования ST = 500 °С;
зона пропорциональности P = 5%, что составляет 50 °С (5% от 1000 °С);
при значении температуры 475 °С и ниже управляющий сигнал будет иметь величину 100%; при 525 °С и выше – 0%. В диапазоне 475…525 °С (в зоне пропорциональности) управляющий сигнал будет изменяться пропорционально величине рассогласования с коэффициентом усиления К = 100/Р = 20.
Уменьшение значения зоны пропорциональности Р увеличивает реакцию регулятора на рассогласование, т. е. малому рассогласованию будет соответствовать большее значение управляющего сигнала. Но при этом, из-за большого усиления, процесс принимает колебательный характер около значения уставки, и точного регулирования добиться не удастся. При излишнем увеличении зоны пропорциональности регулятор будет слишком медленно реагировать на образующееся рассогла­сование и не сможет успевать отслеживать динамику процесса. Для того, чтобы компенсировать эти недостатки пропорционального регулирования, вводится дополнительная временная характеристика – интегральная составляющая.

Интегральная составляющая
Определяется постоянной времени интегрирования I, является функцией времени и обеспечивает изменение коэффициента усиления (сдвиг зоны пропорциональности) на заданном промежутке времени.

сигнал управления = 100/P E + 1/I ∫ E dt.

Как видно из рисунка, если пропорциональная составляющая закона регулирования не обеспечивает уменьшение рассогласования, то интегральная составляющая начинает на периоде времени I плавно увеличивать коэффициент усиления. Через период времени I процесс этот повторяется. Если же рассогласование мало (или быстро уменьшается), то коэффициент усиления не увеличивается и, в случае равенства значения параметра заданной уставке, принимает какое-то минимальное значение. В этом плане об интегральной составляющей говорят как о функции автоматического выключения регулирования. В случае регулирования по ПИД-закону переходная характеристика процесса будет представлять собой колебания, постепенно затухающие к значению уставки.

Дифференциальная составляющая
Многие объекты регулирования достаточно инерционны, т. е. имеют задержку реакции на приложенное воздействие (мертвое время) и продолжают реагировать после снятия управляющего воздействия (время задержки). ПИД-регуляторы на таких обьектах будут всегда запаздывать с включением/выключением управляющего сигнала. Для устранения этого эффекта вводится дифференциальная составляющая, определяемая постоянной времени дифференцирования D, и обеспечивается полная реализация ПИД-закона управления. Дифференциальная составляющая есть производная во времени от рассогласования, т. е. является функцией скорости изменения параметра регулирования. В случае, когда рассогласование становится постоянной величиной, дифференциальная составляющая перестает оказывать воздействие на сигнал управления.

сигнал управ. = 100/P E + 1/I ∫ E dt + D d/dt E.

С введением дифференциальной составляющей регулятор начинает учитывать мертвое время и время задержки, заранее изменяя сигнал управления. Это позволяет значительно уменьшить колебания процесса около значения уставки и добиться более быстрого завершения переходного процесса.
Таким образом, ПИД-регуляторы, генерируя управляющий сигнал, учитывают характеристики самого объекта управления, т.е. проводят анализ рассогласования на величину, на продолжительность и скорость изменения. Иными словами, ПИД-регулятор "предвидит" реакцию объекта регулирования на сигнал управления и начинает изменять управляющее воздействие не при достижении значения уставки, а заранее.

5. Передаточная функция какого звена представлена: К(р) = К/Тр

ПРОПОРЦИОНАЛЬНО­ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ

Статическую ошибку, возникающую при пропорциональном регулировании,

можно исключить, если кроме пропорционального ввести еще и интегральное звено. Последнее образуется путем постоянного суммирования ε за определенный промежуток времени и формирования сигнала управления, пропорционального полученной величине.

Математически этот процесс может быть описан следующей зависимостью:

где – коэффициент пропорциональности интегральной составляющей, а

Тu " постоянная времени интегрирования, параметр настройки регулятора.

Если 0, то даже при незначительных отклонениях регулируемой величины сигнал со временем может достичь любой величины, что приведет к перемещению регулирующего органа до момента, пока ε не станет равным 0.

Рассмотрим физический смысл постоянной времени интегрирования. Предположим, что на вход регулятора поступил сигнал , а пропорциональная составляющая отсутствует (= 0). При этом выходной сигнал будет меняться по закону

По истечении времени t = значение выходного сигнала будет равно

(рис.1.13а).

Таким образом, постоянная времени интегрирования в ПИ-регуляторе равна времени, в течение которого с момента поступления на вход регулятора постоянного сигнала сигнал на выходе регулятора достигнет значения, равного значению входного сигнала.

Переходной процесс в ПИ-регуляторе показан на рис.1.13б. Устраняя статическую ошибку интегральный регулятор, однако, ухудшает качество переходного процесса. Поэтому на практике применяют комбинированные ПИ-регуляторы.

Рисунок 1 - Закон регулирования (а) и переходной процесс (б) при интегральном (И) регулировании.

При этом используется как параллельное соединение пропорционального и интегрального звена (рис.2а), так и последовательное соединение (рис.2б).

Рисунок 2 - Структурная схема идеальных ПИ-регуляторов.

ПИ-регулятор оказывает воздействие на регулирующий орган пропорционально отклонению и интегралу от отклонения регулируемой величины.

Для схемы на рисунке 2а частотная характеристика ПИ-регулятора имеет вид:

При скачкообразном изменении регулируемой величины на значение ε0 ПИ-регулятор со скоростью, определяемой быстродействием привода, перемещает исполнительный механизм на величину (), после чего исполнительный механизм дополнительно перемещается в ту же сторону со скоростью, пропорциональной отклонению регулируемой величины. Следовательно, в ПИ-регуляторе при отклонении регулируемой величины от заданного значения мгновенно срабатывает пропорциональная (статическая) составляющая регулятора, а затем постепенно увеличивается интегральная (астатическая) составляющая регулятора.

Переходная характеристика ПИ-регулятора для параллельного соединения на рисунке 2а показана на рисунке 3(прямая 1).

Рисунок 3 - Закон ПИ-регулирования регуляторов: 1 - для схемы на рисунке2а, 2 - для схемы на рисунке 2б.

Параметрами настойки являются независящие друг от друга коэффициенты усиления и постоянная времени интегрирования.

Схема на рисунке 3б реализует закон регулирования

где – постоянная времени изодрома.

Частотная характеристика ПИ-регулятора по схеме рисунке 3б имеет вид:

Таким образом, ПИ-регулятор со структурной схемой, приведенной на рисунке 3б, имеет взаимосвязанные параметры настройки статической и астатической частей по коэффициенту . Так, при настройке коэффициента усилениябудет изменяться и постоянная времени интегрирования:

Рассмотрим физический смысл постоянной времени изодрома . Предположим, что на вход регулятора поступил постоянный сигнал. Тогда

При поступлении на вход регулятора сигнала в начальный момент сработает пропорциональная составляющая и на выходе регулятора появится сигнал. В дальнейшем линейно начинает нарастать выходной сигнал от интегральной составляющей и придостигнет значения.

–это время, в течение которого от начала действия интегральной (астатической) составляющей регулятора пропорциональная (статическая) составляющая удваивается. Переходной процесс при ПИ-регулировании показан на рисунке 4.

Рисунок 4 - Переходной процесс при пропорционально-интегральном регулировании.

ПИ-регулятор обеспечивает нулевую ошибку в установившемся состоянии.

Варианты структурных схем промышленных ПИ-регуляторов приведены на

Рисунке 5.

Рисунок 5 - Структурные схемы промышленных ПИ-регуляторов.

Выбирая ту или иную схему, можно подобрать наиболее подходящую структуру для Вашей задачи.

Рассмотрим следящую систему управления зеркалом телескопа, представленную на рисунке 6:

Электромеханическая постоянная времени ДПТ - Т м = 0.3 с

Постоянная времени якоря ДПТ - Т я = 0.015 с

Постоянная времени короткозамкнутой цепи ЭМУ - Т кз = 0.06 с

Постоянная времени цепи управления ЭМУ - Т у = 0.007 с

Постоянные времени последовательного корректирующего устройства:

Коэффициент усиления скорректированной системы - К sk = 77

Коэффициент усиления нескорректированной системы - К nesk = 5

Коэффициент усиления ЭМУ - К ЭМУ = 7

Коэффициент передачи редуктора - К р = 0.075

Коэффициент усиления разомкнутой системы по возмущению - К f = 0.039

Время регулирования - t p = 1 с

Показатель колебательности - M = 1.2

Для составления функциональной схемы САР необходимо знать все элементы, из которых состоит система.

В следящей системе управления зеркалом телескопа используются сельсин-датчик СД, сельсин-приемник СП, фазочувствительный выпрямитель ФЧВ, электромашинный усилитель ЭМУ, двигатель постоянного тока ДПТ и редуктор Р.

Функциональная схема системы автоматического регулирования представлена на рисунке 7:

Рисунок 7 – Функциональная схема

Принцип работы системы.

Система находится в покое, когда заданное и фактическое положение телескопа соответствуют друг другу.

Для измерения угла рассогласования следящей системы применяются сельсины, работающие в трансформаторном режиме.

При повороте ротора сельсина-датчика на угол  вх на выходе сельсина-приемника создается напряжение соответствующей фазы и амплитуды.

Выходной сигнал сельсина-приемника поступает на фазочувствительный выпрямитель, задачей которого является преобразование входного переменного напряжения в постоянный ток, причем полярность выходного напряжения определяется фазой входного напряжения.

Выходной сигнал выпрямителя воздействует на обмотку управления электромашинного усилителя. Двигатель через редуктор воздействует на зеркало телескопа и управляет положением однофазной обмотки сельсина-приемника (ротор сельсина-приемника с помощью обратной связи возвращается в согласованное положение с ротором сельсина датчика и двигатель останавливается).

Если заданное и фактическое положения зеркала телескопа совпадают, то положения однофазных обмоток сельсинов одинаковы и система находится в покое. В противном случае система будет находиться в движении.

П, ПД, ПИ, ПИД регуляторы. Они же P, PD, PI, PID регуляторы.

Во первых, упомянем, что сами понятия П, ПД, ПИ, ПИД (P, PD, PI, PID) регуляторы являются неким сокращением от понятия: "устройство регулирования () обеспечивающие на своем выходе регулируемого параметра, или его изменения, описываемую типа П, ПИ и т.д....... ". При этом:

• П, (P) - означает "пропорциональный"
• И(I) - "интегральный"
• Д(D) - "дифференциальный"
• ПИ (PI) - "пропорциональный и интегральный"
• ПД (PD) - "пропорциональный и дифференциальный"
• ПИД (PID) - "пропорциональный, интегральный и дифференциальный"

Очень важное замечание - в подавляющем большинстве случаев эти регуляторы обеспечивают изменения регулируемого параметра на регулирующий параметр (воздействие). Для ясности в данной статье мы будем говорить о регулировании комнатной температуры (поддержании ее значения X градусов) с помощью некоего комнатного электронагревателя, выходная мощность которого зависит от уровня входного сигнала. Т.е. при изменении температуры на некую положительную величину e (при повышении температуры до уровня X+e ) к стандартному входному сигналу U нагревателя будет добавлен отрицательный сигнал регулятора u . Результирующим сигналом на входе нагревателя будет, таким образом, U-u , что уменьшит выходную мощность нагревателя, и, следовательно, комнатную температуру.

Очень часто e называют "ошибкой" или "отклонением", Х - "заданным уровнем" или "заданным значением", причем Х , в общем случае, может быть и регулируемым сигналом в каком-то другом контуре регулирования. ! Во избежания автоколебательных явлений желательно, чтобы "верхний" контур регулирования был "медленным" по отношению к нижнему!

Рассмотрим работу ПИД (PID) регулятора , как наиболее универсального представителя класса. Любой другой может быть получен путем обнуления коэффициента передачи при соответствующем слагаемом передаточной функции. Итак,

Передаточная функция ПИД регулятора описывается уравнением:

где "тау" - время с того момента, как изменение e регулируемой величины стало отличным от нуля (значимо отличным), а жаргон инженеров-автоматчиков еще требует нижеследующих названий для компонент уравнения и их производных величин:

• Kp - пропорциональный коэффициент усиления
• Pb=1/Kp - относительный диапазон регулирования
• Ki - интегральный коэффициент усиления
• Ti=1/Ki - постоянная интегрирования (размерность - время)
• Kd - дифференциальный коэффициент усиления
• Td=Kd - постоянная дифференицирования (размерность - время)

Очевидно, что функция содержит 3 слагаемых, первое - пропорциональное к изменению заданного параметра, второе - интегральное, а третье - дифференциальное. В дальнейшем будем использовать в рассуждениях обозначения из уравнения (2). Рассмотрим, что это такое по порядку:

Пропорциональное регулирование (П или P регуляторы) : - величина поправки в регулирующее воздействие пропорциональна величине отклонения. Логично, чем больше отклонение температуры в компате от заданного уровня, тем сильнее следует изменить мощность нагревателя для компенсации изменения. u(t)=P (коэффициенты Kd и Ki уравнения (2) равны нулю).

Интегральное регулирование: - величина поправки в регулирующее воздействие зависит от накопленного действия отклонения регулируемой величины. Спокойно, тут ничего нет сложного. Рассмотрим наш пример -если в комнате низкая температура недопустима, ибо на подоконнике находятся ценные теплолюбивые кактусы, а какой-то клоун открыл окно зимой, то пропорциональное регулирование в силу разумности своих настроек попросту не позволяет прогреть комнату. Если накопленное действие пониженной температуры растет (интеграл от изменения) , то это слагаемое даст дополнительное приращение мощности нагревателя.

Дифференциальное регулирование: - величина поправки в регулирующее воздействие зависит от скорости изменения регулируемого параметра. Тут ничего сложного нет, поскольку - если, например, температура на улице резко упала, то лучше поскорее прогреть комнату и стены, и не дать им набрать влажность. ! В гидравлических системах и в системах, имеющих собственные частоты колебаний близкие к характерным временам запуска процессов регулирования, данный вид регулирования малоприменим, так как легко вызывает гироудары или резонансы!

ПД или PD регуляторы, описать просто: Передаточная функция П (P) регулятора описывается уравнением: u(t)=P+D

ПИ или PI регуляторы описываются тоже просто: Передаточная функция П (P) регулятора описывается уравнением: u(t)=P+I (коэффициент Ki уравнения (2) равен нулю).

Уравнение (2), для целей упрощения настройки часто может быть записано как:

тут нет никакого подвоха, все то же самое, просто другая запись.

В частном случае пропорциональная, интегральная или дифференциальная компоненты могут отсутствовать и такие упрощенные регуляторы называют П, И или ПИ регуляторами.

Распространены также следующие модификации выражения (5.36):

,
.

Между параметрами выражений (5.36) - (5.38) существует простая связь. Однако отсутствие общепринятой системы параметров часто приводит к путанице. Это нужно помнить при замене одного ПИД контроллера на другой, при задании его параметров или использовании программ настройки параметров. Мы будем пользоваться выражением (5.36).

Следует подчеркнуть, что входом объекта управления на всех рисунках является выход регулятора, т.е. величина u , которая в соответствии c (5.36)-(5.38) и рис. 5.34 имеет ту же размерность, что и рассогласование e , выходная величина y и уставка r . Т.е., если объект управляется, например, ШИМ-регулятором, током, или частотой вращения вала, во всех этих случаях управляющей величиной является u , а в модель объекта управления P следут ввести преобразователь величины u в ширину импульса ШИМ-регулятора, в ток или в частоту вращения вала соответственно. Это надо учитывать также при задании входного воздействия в экспериментах для настройки регулятора (см. раздел "Расчет параметров"). Таким воздействием во всех случаях должна быть величина u (выходная величина регулятора).

Используя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях u (0)=0 , выражение (5.36) можно представить в операторной форме:

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристика передаточной функции (5.40) при параметрах =1 с, =1 с, =10 показаны на рис. 5.36 . Переходная характеристика ПИД-регулятора (реакция на единичный скачок) представляет собой сумму постоянной составляющей , прямой линии , полученной при интегрировании единичного скачка и дельта-функции Дирака , полученной при дифференцировании единичного скачка.

Рассмотрим теперь несколько частных случаев.

5.2.1. П-регулятор

Пусть интегральная и дифференциальная компоненты отсутствуют, т.е. . Тогда из (5.40) получим и (5.42) можно преобразовать к виду

В установившемся режиме, при или передаточная функция процесса равна коэффициенту передачи . При этом выражение (5.43) преобразуется к виду

.

Как следует из полученной формулы, влияние возмущений d снижается с ростом петлевого усиления и при обратно пропорционально коэффициенту регулятора . Однако проблема устойчивости не позволяет выбирать как угодно большим.

Влияние помехи n также уменьшается с ростом петлевого усиления и пропорционального коэффициента регулятора. Дополнительно влияние помехи можно уменьшить применением экранирования, правильного заземления, витых пар, уменьшением длины проводников в цепи обратной связи и др., см. [Денисенко ]).

При пренебрежимо малых помехах и внешних возмущениях погрешность П-регулятора , как следует из (5.44), определяется величиной пропорционального коэффициента усиления:

.

Эта погрешность обычно не может быть сделана как угодно малой путем увеличения усиления регулятора, поскольку с ростом сначала падает запас по фазе и усилению системы с обратной связью, что ухудшает ее робастность и качество регулирования, затем возникают периодические колебания (система теряет устойчивость), см. рис. 5.37 . Поэтому в П-регуляторах для снижения погрешности используют метод компенсации. Для этого к входу объекта регулирования прикладывают компенсирующее воздействие , которое аддитивно добавляется к возмущению d , чтобы суммарное воздействие возмущения и компенсирующего воздействия стало равно . Отметим, что при изменении значения уставки компенсацию нужно выполнить заново, поскольку погрешность (5.45) пропорциональна (т.е. является мультипликативной), а компенсация в виде является аддитивной (не зависит от ).

Скомпенсировать погрешность можно также с помощью коррекции величины . Для этого управляющее воздействие после коррекции (обозначим его ), как следует из (5.44) и (5.45), должно иметь вид

.

Переходный процесс в контуре с П-регулятором при и разных показан на рис. 5.37 . При малых система имеет малое перерегулирование, но большую статическую погрешность (50%). С ростом погрешность уменьшается, но возрастает перерегулирование.

Объясняется поведение П-регулятора следующим образом. С ростом усиления вся АЧХ разомкнутой системы (АЧХ петлевого усиления , рис. 5.19) сдвигается вверх, в том числе возрастает усиление на частоте , где фазовый сдвиг в контуре с обратной связью равен 180˚. Это приводит к уменьшению запаса по фазе и усилению, возрастает колебательность и перерегулирование. Если петлевое усиление на частоте достигает 1, в системе устанавливаются незатухающие колебания. Подробнее описание этого процесса см. в разделе "Частотная идентификация в режиме релейного регулирования"

5.2.2. И-регулятор

Рассмотрим теперь случай, когда в ПИД-регуляторе остается только интегральный член, т.е. и . Из (5.39) получим

АЧХ И-регулятора в логарифмическом масштабе представляет собой прямую линию с наклоном ‑20дб/дек во всем диапазоне частот, от 0 до , которая пересекает ось частот (проведенную при ) в точке . ФЧХ представляет собой горизонтальную линию с ординатой .

На низких частотах, при , коэффициент передачи регулятора (5.48) больше единицы и стремится к бесконечности при . Поскольку случаю во временной области соответствует , или установившийся (равновесный) режим для асимптотически устойчивых систем, то передаточная функция любого устойчивого объекта (за исключением объектов с интегрирующими процессами, см. раздел "Модели интегрирующих процессов") при будет равна статическому коэффициенту передачи . Поэтому, подставляя в (5.42) и , получим для системы с И-регулятором

Это означает, что система с И-регулятором не имеет ошибки в установившемся режиме.

Отметим аналогию между И-регулятором и операционным усилителем. Операционный усилитель (ОУ) имеет передаточную функцию вида , параметры которой для типовых микросхем ОУ равны , . Поэтому практически во всем рабочем диапазоне частот и передаточная функция ОУ описывается упрощенным выражением , т.е. совпадает с передаточной функцией И-регулятора. Схемы включения ОУ также подобны структурам систем управления с И-регулятором.

На рис. 5.38 показаны переходные характеристики замкнутой системы с И-регулятором и объектом второго порядка вида

, где .

При больших постоянных интегрирования переходная характеристика имеет вид, сходный с характеристикой апериодического звена. С уменьшением растет усиление регулятора в соответствии с (5.48) и когда на частоте петлевое усиление контура с обратной связью приближается к 1, в системе появляются колебания (рис. 5.38 , кривая ).

Вторым фактором, влияющим на устойчивость замкнутой системы, является дополнительный сдвиг фаз величиной -, вносимый И-регулятором в контур регулирования. Поэтому объект 1‑го порядка с малой транспортной задержкой, или объект 2-го порядка, устойчивый в контуре с П-регулятором, может потерять устойчивость в контуре с И-регулятором.

5.2.3. ПИ-регулятор

В ПИ-регуляторе только постоянная дифференцирования равна нулю, :

.

АЧХ ПИ-регулятора можно получить из рис. 5.36 , если отбросить правую ветвь АЧХ с наклоном +20 дБ/дек. При этом сдвиг фаз на частотах выше 1 Гц (на рис. 5.36) не превысит уровень 0˚. Таким образом, ПИ-регулятор имеет два существенных положительных отличия от И-регулятора: во-первых, его усиление на всех частотах не может стать меньше , следовательно, увеличивается динамическая точность регулирования, во-вторых, по сравнению с И-регулятором, он вносит дополнительный сдвиг фаз только в области низких частот, что увеличивает запас устойчивости замкнутой системы. Оба фактора дают дополнительные степени свободы для оптимизации качества регулирования. В то же время, как и в И-регуляторе, модуль коэффициента передачи регулятора с уменьшением частоты стремится к бесконечности, обеспечивая тем самым нулевую ошибку в установившемся режиме. Отсутствие сдвига фаз на высоких частотах позволяет увеличить скорость нарастания управляемой переменной (по сравнению с И-регулятором) без снижения запаса устойчивости. Однако это справедливо до тех пор, пока пропорциональный коэффициент не станет настолько большой, что увеличит усиление контура до единицы на частоте .

Переходный процесс в ПИ-регуляторе при разных сочетаниях и показан на рис. 5.39 , рис. 5.40 . При (рис. 5.39) получаем И-регулятор. С ростом пропорционального коэффициента появляется дополнительная ошибка во время переходного процесса (см. также рис. 5.37 и (5.45)), которая уменьшается с ростом , однако при этом снижается запас устойчивости системы, поскольку с ростом увеличивается усиление на частоте . Это приводит к появлению затухающих колебаний в начале переходного процесса (рис. 5.39). Когда величина становится достаточно большой для компенсации ослабления сигнала в объекте на частоте , в системе появляются незатухающие колебания. полюс

,

откуда следует, что на высоких частотах (в начале переходного процесса) ПД-регулятор имеет высокое усиление и, следовательно, точность, а в установившемся режиме (при ) он вырождается в П-регулятор со свойственной ему статической ошибкой. Если статическую ошибку скомпенсировать, как это делается в П-регуляторах, то возрастет ошибка в начале переходного процесса. Таким образом, ПД-регулятор по своим потребительским свойствам оказывается хуже П-регулятора, поэтому на практике он используется крайне редко. П-регулятор имеет только одно положительное свойство: он вносит в контур регулирования положительный фазовый сдвиг (рис. 5.36), что повышает запас устойчивости системы при малых . Однако с увеличением рис. 5.36), затем, при дальнейшем увеличении , система переходит в колебательный режим.