Что называется определителем матрицы n го порядка. Перестановки и подстановки
ортогональный унитарный матрица полилинейный
Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.
Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при
При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому
Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка
Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (рис.2.1).
Для определителя третьего порядка имеем
При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:
Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка
Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других -- со знаком минус.
Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).
Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, -- со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).
Вычисление определителей порядка N>3.
Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.
Пример 2.1. Вычислить определители
Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим;
Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)
Пусть дана квадратная матрица порядка.
Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на
Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(разложение по i-й строке);
(разложение по j-му столбцу).
Замечания 2.1.
1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.
2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.
Пример 2.2. Найти определитель матрицы
Решение. Разложим определитель по 3-й строке:
Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:
Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):
Определитель матрицы треугольного вида
Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы
Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):
где -- дополнительный минор элемента. Обозначим. Тогда. Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя, получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как, но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель, по последней строке ((n-1)-й строке), получаем. Продолжая аналогичным образом и учитывая, что, приходим к формулет.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Замечания 2.2
1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
2. Определитель единичной матрицы равен 1.
3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Основные свойства определителей (детерминантов)
1. Для любой квадратной матрицы, т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.
2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю:.
3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметричности):
4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:
5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:
6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:
7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов, то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:
8. Определитель линеен по любому столбцу:
9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:
10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:
Замечания 2.3
1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е.):
Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя
у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.
2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.
3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что
4. Пусть -- квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и, называется присоединенной по отношению к, если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы. Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:
а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением, при этом получим матрицу;
б) найти присоединенную матрицу, транспонируя матрицу.
Из формул (2.4) следует, что, где -- единичная матрица того же порядка, что и.
Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы, где -- произвольная квадратная матрица, -- единичная, а -- нулевая матрица соответствующего порядка, -- транспонированная.
Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы. Следовательно,
Рассмотрим квадратную таблицу А.
Определение. Определителем n-го порядка называется число, полученное из элементов данной таблицы по следующему правилу:
1 .Определитель n-го порядка равен алгебраической сумме n! членов.
Каждый член представляет собой произведение n-элементов взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы.
2 .Член берется со знаком плюс, если перестановки образованные первыми и вторыми индексами элементов , входящие в произведения одинаковой четности (либо обе четные, либо нечетные) и со знаком минус в противоположном случае.
Определитель обозначается символом:
или краткоdet
A=.(детерминант
А)
Согласно определению = -.
Правило вычисления определителя 3ого порядка:
=
Миноры и алгебраические дополнения
Пусть дан определитель n-го порядка (n>1)
Определение 1. Минором элементаопределителяn-го порядка называется определитель (n-1)-ого порядка полученный из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент .
Например:
=
Определение 2 . Алгебраическим дополнением элемента называется число
Основные свойства определителей n-го порядка
1.О равносильности строк и столбцов.
Величина определителя n-го порядка не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.
2.Если у определителей поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.
=
k
Если все элементы какой-либо строки (или столбца) определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.
4.Величина определителя равна нулю, если все элементы какой-либо его строки нули (или столбца).
5.Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.
Например:
6.Величина определителя не изменится, если к его элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
7.Если элементы какой-либо строки i определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки кроме i-й такие же, как в заданном определителе, а i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых, а второго из вторых.
8.Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения.
=
9.Сумма произведений всех элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Например:
=
Теорема Лапласа
Теорема. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1.Тогда сумма произведений всех миноровk-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Следствие . Частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:
Разложение по i-й строке:
Разложение по j-й строке:
где - алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j.
Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.
Примеры для самостоятельного решения .
1.Найти х из уравнений и проверить подстановкой корень в определитель.
а);
б)
Определители, их свойства и вычисление
1.Определители второго и третьего порядков; их вычисление .
Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.
Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки
Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки
Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.
Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали .
Определители n-го порядка; миноры и алгебраические дополнения. Свойства и вычисление определителей n-го порядка.
Определителем n-го порядка, соответствующим матрице
, называется алгебраическая сумма слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае.
Замечание:
Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления.
.
1) «алгебраическая сумма слагаемых» - . И да, действительно, здесь шесть слагаемых.
2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» - рассмотрим например слагаемое . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго.
3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» - рассмотрим для примера слагаемые (со знаком плюс) и (со знаком минус).
Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов.
Для слагаемого : (первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.)
Для слагаемого : .
Определим четность этих перестановок:
а) - элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара,
3 левее 1 – одна пара.
Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле).
б) - элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара.
Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус (да, это так).
Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
Методы вычисления определителей n
–
го порядка
1. Метод приведения к треугольному виду
Этот метод заключается в преобразовании определителя к
такому виду, где
все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны
нулю.
Пример 1. Вычислить определитель порядка n
d=
01
01
01
01
11110
xxx
xxx
xxx
xxx
.
Решение. Прибавим первую строку, умноженную на (–
x) ко всем
остальным:
d=
x
x
x
x
−
−
−
−
0001
0001
0001
0001
11110
.
К первому столбцу прибавим все последующие столбцы,
умноженные на (1/x). Получим
d=
.
0000
0000
0000
0000
1111)1(x
x
x
x
x
n
−
−
−
−
−
Мы получили треугольный вид, следовательно, определитель
равен произведению элементов главной диагонали
d=(–
1)
n
–
1
(n
–
1)x
n
–
2
.
Пример 2. Вычислить определитель
2221
2212
2122
1222
−
−
−
−
=d
.
Решение. Прибавим к первой строке все остальные, тогда в
первой строке все элементы будут равны 2(n
–
1)
–
1=2n
–
3 и,
следовательно, общий множитель можно вынести за знак
определителя:
.
2221
2212
2122
1111)32(−
−
−
−= nd
Теперь воспользуемся тем, что в первой строке все элементы равны
1. Умножая первую строку на (–
2) и прибавляя её ко всем остальным
строкам, мы получим.
0003
0030
0300
1111)32(−
−
−
−= nd
Побочная диагональ в определитель n-го порядка входит со
знаком
2)1()1(−
−
nn
(это легко проверить, если подсчитать число инверсий в
подста-
новке −− 1...21
...321
nnn
n). Тогда получим
()
()() ()
()
.32313321
1
1
2)1(1
2)1(−−=−−−=
−
−
+
−
−
nnd
n
nn
n
nn
Пример 3. Вычислить определитель.
000
00330
00022
1321
nn
nn
d
−
−
−
−
=
Решение. Прибавим к (n
–
1)-му столбцу n-ый, затем полученный (n
–
1)-ый столбец прибавим к (n
–
2)-му, и т. д. Тогда получим
определитель треугольного вида.
2)1(!
0000
00300
00020
123
2)1(1
2)1(2)1(+
=
−−
+
−
++
=
nn
n
n
nn
nnnnnn
d
2. Разложение определителя по строке (столбцу)
Пример 1. Вычислить определитель d разложением по третьей
строке, если
d=
2164
7295
4173
2152
−
−−
−−
−
.
Решение. Мы знаем, что имеет место, следующее разложение
определителя по i-ой строке: d=a
i1
A
i1
+a
i2
A
i2
+…+a
in
A
in
, где A
ij
, j=
n,1
–
алгебраические дополнения элементов определителя. В нашем
случае формула принимает вид d=a
31
A
31
+a
32
A
32
+a
33
A
33
+a
34
A
34
, т. е.
мы имеем следующее разложение:
d=5∙ (–
1)
3+1
∙
216
417
215
−
−
−
+(–
9)∙(–
1)
3+2
∙ 214
413
212
−−
+2∙(–
1)
3+3
∙
264
473
252
−
−
−
+
+ (-7)∙ (–
1)
3+4
∙
164
173
152
−
−−
−
.
Вычисляя полученные определители третьего порядка,
получим
d=5∙(–
6)+9∙12+2∙(–
54)
+
7∙(–
3)= –51.
Пример 2. Вычислить определитель
d=
78102
4552
5882
6593
−−−
.
Решение. Прибавляя третью строку, умноженную на (–
1) ко всем
остальным, получим
d=
3350
4552
913130
2041
−−−
.
Прибавляя к третьей строке первую, умноженную на (–
2),
получим
d=
3350
0530
913130
2091
−
−−−
.
Разложив этот определитель по первому столбцу,
содержащему лишь один, не равный нулю элемент (с суммой
индексов 1+1=2, т. е. чётной), получим
d=
335
053
91313
−
−−−
.
Преобразуем полученный определитель. Прибавляя к первой
строке третью, умноженную на 3, получим
d=
335
053
042
−
−
.
Полученный определитель в третьем столбце содержит лишь
один, не равный нулю элемент (с суммой индексов 3+3, т. е. чётной).
Поэтому его удобно разложить по третьему столбцу:
d=3
53
42
−
−
=3(10
–
12)=
–
6.
Пример 3. Вычислить определитель.
000
11000
00300
00220
00011
nn
nn
d
−
−−
−
−
=
Решение. Разложим определитель по 1-му столбцу, тогда
()
() ()
.
1100
0030
0022
0001
1
000
1100
0030
0022
1
12
nn
n
n
nn
d
n
−−
−
−
−−+
−−
−
−=
+
В этом равенстве первый и второй определители имеют
треугольный вид, поэтому первый определитель равен n!, а второй
определитель равен
(–
1)(–
2) . . . (1
–
n)=(–
1)
n–1
(n
–
1)!. Тогда получим:
() ()
()
.011!1!!
1212
=−+=−+=
+−++ nnn
nnnd
3. Теорема Лапласа
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k
строк (или k столбцов), 1≤k≤n
–
1. Тогда сумма произведений всех
миноров k
–
го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их
алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример 1. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить
определитель, предварительно преобразовав его.
d=
43220
50300
20100
34523
12532
−
−
−−
−−
.
Выберем третью и четвёртую строки. В них находится
единственный минор отличный от нуля, поэтому
d=
53
21 −
∙(–
1)
3+4+4+5
∙
320
423
232
−
−−
.
Воспользовавшись формулами для вычисления определителей
второго и третьего порядков, получим d=12–12+16+27=43.
Пример 2. Вычислить определитель.
005000
050000
500000
000500
000010
000001
−
=
d
Решение. Данный определитель имеет вид, указанный в
следствии из теоремы Лапласа, поэтому мы можем этим следствием
воспользоваться. Тогда
()
.51
005
050
500
,5
500
010
001
3
2)4)(3(3
−
−−
−
−==−=−=
n
nn
n
BA
По следствию из теоремы Лапласа имеем:
()
.51
2
2
147
2
−
+−
−==
n
nn
BAd
4. Метод выделения линейных множителей
Определитель рассматривается как многочлен от одной или
нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают,
что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти
множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая
отдельные члены определителя с членами произведения линейных
множителей, находят частное от деления определителя на это
произведение и тем самым находят выражение определителя.
Пример. Вычислить определитель методом линейных
множителей
d=
2
2
9132
5132
32x-21
3211
x
−
.
Решение. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на (–
1), а к третьей –
четвёртую, умноженную на (–
1):
d=
2
2
2
2
9132
4000
32x-21
0010
x
x
x
−
−
−
.
Воспользуемся тем, что в первой строке и в третьей строке
стоит лишь по одному неравному нулю элементу, и обнулим
элементы стоящие во втором и третьем столбцах:
d=
0102
4000
0201
0010
2
2
−
−
x
x
.
Прибавим ко второй строке четвёртую, тогда
d=
0102
4000
0303
0010
2
2
−
−
x
x
.
Из первой строки видно, что определитель делится на x
2
–
1, из
второй строки видно, что определитель делится на 3, а из третьей
строки видно, что он делится на x
2
–
4. Так как все эти множители
взаимно просты, то определитель делится на их произведение 3(x
2
–
1)(x
2
–
4). В данном произведении член x
4
имеет знак «+», а в
определителе он содержится со знаком «
–
», поэтому d= –
3(x
2
–
1)(x
2
–
4).
5. Метод представления определителя в виде суммы
определителей
Некоторые определители легко вычисляются путём
разложения их в сумму определителей того же порядка
относительно строк или столбцов.
Пример. Вычислить определитель
d=
add
acc
abb
aaa
42
32
22
12
+
+
+
+
.
Элементы первого столбца являются суммами двух слагаемых,
это даёт возможность данный определитель представить как сумму
двух определителей:
d=
ad
ac
ab
aa
42
32
22
12
+
add
acc
abb
aaa
4
3
2
1
.
В первом определителе первый и четвёртый столбцы
пропорциональны, следовательно, он равен нулю. Во втором
определителе первый и третий столбцы равны, следовательно, он
тоже равен нулю. Таким образом, d=0.
6. Метод изменения элементов определителя
Этот метод основан на следующем свойстве: если ко всем
элементам определителя D прибавить одно и то же число x, то
определитель увеличится на произведение числа x на сумму
алгебраических дополнений всех элементов определителя D.
D′=D+x
=
n
ji
ij
A
1,
.
Таким образом, вычисление определителя D′ сводится к
вычислению определителя D и суммы его алгебраических
дополнений. Этот метод применяют в тех случаях, когда путём
изменения всех элементов определителя на одно и то же число он
приводится к такому виду, в котором легко сосчитать
алгебраические дополнения всех элементов.
Пример. Вычислить определитель
D=
n
axxxx
xaxx
xxax
xxxa
3
2
1
.
Прибавим ко всем элементам число (–
x), тогда
D′=
xa
xa
xa
xa
n
−
−
−
−
0000
000
000
000
3
2
1
.
Алгебраические дополнения элементов определителя D, не
лежащих на главной диагонали, равны нулю. Остальные
алгебраические дополнения имеют положительный знак, поскольку
все суммы индексов чётные. В нашем случае формула принимает
вид:
D′=(a
1
–
x)…(a
n
–
x),
x
=
n
ji
ij
A
1,
=
–
x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
.
Тогда искомый определитель
D=D′–x
=
n
ji
ij
A
1,
=(a
1
–
x)…(a
n
–
x)+x)()()()(1
1
11
xaxaxaxa
ni
n
i
i
−…−−…−
+
=
−
=
=x(a
1
–
x)(a
2
–
x)…(a
n
–
x)
−
+…+
−
+
xaxax
n
111
1
.
7. Метод рекуррентных соотношений
Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают,
преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через
определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное
равенство называется рекуррентным соотношением. Этот метод
используется для вычисления определителей вида.)(000
00
0
00
21
−−
−+=
+
+
+
+
=
nnn
DDD
αββα
βα
βαα
ββαα
ββα
D
n
–
(α+β)D
n
–
1
+αβD
n
–
2
=0 или, в общем виде D
n
–
pD
n
–
1
+qD
n
–
2
=0, где
p=α+β, q=αβ.
Пусть рекуррентное соотношение имеет вид:
D
n
=pD
n
–
1
–
qD
n
–
2
, n>2, (5)
где p, q – постоянные не зависящие от n.
При q=0 D
n
вычисляется как член геометрической прогрессии:
D
n
=p
1
−
n
D
1
; здесь D
1 – определитель 1
–
го порядка данного вида, т. е.
элемент определителя D
n
, стоящий в левом верхнем углу.
Пусть q>0 и α, β –
корни квадратного уравнения x
2
–
px+q=0. Тогда
р=α+β, q=αβ и равенство (5) можно переписать так:
D
n
–
αD
n
–
1
=β (D
n
–
1
–
αD
n
–
2)
(6)
или
D
n
–
βD
n
–
1
=α(D
n
–
1
–
βD
n
–
2).
(7)
Предположим сначала, что α≠β. По формуле (n
–
1)
–
го члена
геометрической прогрессии находим из равенств (6) и (7):
D
n
–
αD
n
–
1
=β
2
−
n
(D
2
–
αD
1) и D
n
–
βD
n
–
1
=α
2
−
n
(D
2
–
βD
1).
Откуда.)()(12
1
12
1
βα
αββα
−
−−−
=
−−
DDDD
D
nn
n
(8)
Пусть теперь α=β. Равенства (6) и (7) обращаются в одно и то же
D
n
–
αD
n
–
1
=α (D
n
–
1
–
αD
n
–
2),
откуда
D
n
–
αD
n
–
1
=Aα
2
−
n
, (9)
где A=D
2
–
αD
1
.
Заменяя здесь n на n
–
1, получим:
D
n
–
1
–
αD
n
–
2
=Aα
3
−
n
, откуда D
n
–
1
=αD
n
–
2
+Aα
3
−
n
.
Подставляя это выражение в равенство (9), найдём D
n
=α
2
D
n
–
2
+2Aα
2
−
n
. Повторяя тот же приём несколько раз, получим
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
,
где A=D
2
–
αD
1
.
Пример 1. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений.
d=
21...0000
12...0000
.....................
00...2100
00...1210
00...0121
00...0012
.
Решение. Разложим определитель по первой строке, тогда
D
n
=2(–
1)
1+1
D
n
–
1
+(–
1)
2+1
2...000
...............
0...210
0...120
0...011
.
Определитель в последнем равенстве разложим по первому столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле
D
n
=α
1
−
n
D
1
+(n
–
1)Aα
2
−
n
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=2, D
2
=3, тогда A=3
–
2=1. Следовательно,
D
n
=2+(n
–
1)=n+1.
Пример 2. Вычислить определитель методом рекуррентных
соотношений:
d=
210...000
121...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Решение. Разлагая d по последней строке, получим
D
n
=2(–
1)
nn
+
D
n
–
1
+(–
1))1(−+
nn
110...000
021...000
012...000
.....................
000...210
000...122
000...043
.
Определитель в последнем равенстве разложим по (n
–
1)
–
му столбцу,
тогда D
n
примет вид: D
n
=2D
n
–
1
–
D
n
–
2
. Значит p=2, q=1. Решая
уравнение x
2
–
2x+1=0, находим α, β и придём к случаю, когда α=β.
Тогда по формуле D
n
= α
n
–
1
D
1
+(n
–
1)Aα
n
–
2
, где A=D
2
–
αD
1
находим, при
α=1, D
n
=D
1
+(n
–
1)A. В нашем случае D
1
=3, D
2
=
–
2, тогда A=
–
5.
Следовательно, D
n
=3+(n
–
1)(–
5)=8
–
5n.
8. Определитель Вандермонда
Определителем Вандермонда называется определитель вида.
1111
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
−−−−
=
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
d
Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен
произведению всевозможных разностей a
i
–
a
j
, где 1≤j Пусть дана матрица Определение:
Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых является произведением n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А. Знак перед слагаемым определяется по правилу знаков: Определение:
Пусть – произвольная перестановка чисел 1,2,3...n. Говорят, что элементы и образуют инверсию (нарушение порядка), если, а. Перестановка чисел 1,2,3...n называется четной, если число инверсий, образованных ее элементами, четно, в противном случае она называется нечетной. Чтобы определить знак перед слагаемым, нужно расположить сомножители, в него входящие, в порядке возрастания первых индексов и рассмотреть перестановку, образованную вторыми индексами. Если эта перестановка четная, то ставим ²+², если нечетная, то ²–². Определение:
Рассмотрим перестановку: Поменяем местами и, получим перестановку: Говорят, что перестановка В получается из А транспозицией элементов и. Утверждение:
Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
Доказательство:
Частный случай: транспозиция соседних элементов меняет четность перестановки. Все элементы перестановок А и В, кроме и, образуют одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Если элементы и в перестановке А не образовывали инверсии, то в В – образуют, если в А – образовывали, то в В уже не будут образовывать. Таким образом, в результате транспозиции соседних элементов число инверсий либо увеличилось, либо уменьшилось на единицу. Четность поменялась. Общий случай. Чтобы совершить транспозицию двух произвольных элементов перестановки, будем последовательно переставлять соседние элементы. Для того, чтобы поменять местами элементы и, сначала k раз меняем элемент с, ..., затем раз меняем до. Таким образом, перестановка совершается раз. Четность меняется на противоположную. Утверждение:
Рассмотрим все перестановки
n символов
1,2,3,...,n. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно
. Доказательство:
Выпишем все четные перестановки и зададим отображение с нечетными по правилу: Все перестановки являются нечетными согласно предыдущей теореме. Указанное нами отображение является биекцией множества всех четных перестановок на множество всех нечетных перестановок, в самом деле, по указанному правилу каждой четной перестановке ставится в соответствие единственная нечетная, т.е. это отображение, очевидно, инъективно: . Указанное отображение сюрьективно, в самом деле, каждая нечетная перестановка В является образом той четной перестановки А, которая получается из В заменой в В местами первого и второго символов, следовательно, отображение биективно, следовательно, число четных перестановок равно числу нечетных равно. Определение:
Всякое биективное отображение множества на себя называется подстановкой. Подстановку, заданную на множестве 1,2,3,...,n удобно записывать виде: или, где первая и вторая строчки – подстановки. Подстановка определяется с точностью до расположения столбцов: если в подстановке поменять местами любые два столбца, то получится та же подстановка. Определение:
Подстановка называется четной, если перестановки, записанные в первой и второй строчках либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка называется нечетной. Четность подстановки не изменится, если поменять в ней любые два столбца, следовательно, число четных подстановок равно числу нечетных, равно. Теперь правило знаков в определении определителя можно сформулировать так: – произведение n сомножителей, взятых по одному из различных строчек и различных столбцов. Рассмотрим подстановку. Если она четная, то перед слагаемым ставится знак ²+², если нечетная, то ²–². Пример:
1) Пусть дана матрица, тогда через обозначим транспонированную матрицу: Докажем, что определитель равен определителю А. (). Доказательство:
Рассмотрим слагаемое входящее в det A. Элемент а является произведением сомножителей, принадлежащих разным строкам и столбцам матрицы А, и, следовательно, разным строкам и столбцам матрицы, следовательно, каждый элемент является слагаемым и в и наоборот. Знак элемента а в определителе определяется четностью подстановки, а в – четностью подстановки. Но эти две подстановки одновременно либо четные либо нечетные. 2) Если в определителе все элементы какой-либо, скажем i-ой строки равны 0, то этот определитель равен 0. Доказательство:
В самом деле, по определению определителя все элементы нулевой строки будут входить в каждое слагаемое, из которых состоит определитель, следовательно, определитель есть сумма n! нулей. 3) Если в определителе поменять местами i и j строчки, то его значение изменится на противоположный. В самом деле, пусть получена из матрицы а заменой двух строк: i и j. Все слагаемые вида входят и в определитель матрицы А и в определитель матрицы, знак перед этим слагаемым определяется с помощью подстановки: , а знак перед этим же слагаемым в определяется с помощью подстановки Эти подстановки различной четности. Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с. 2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с. 3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с Лекция №8 (2 семестр)
Тема:
Ранг матрицы. Базисные строки – база векторов – строк. Определитель Грамма и линейная зависимость. Определение:
Дана матрица Пусть в А выделены строчки с номерами и столбцы. Элементы, стоящие на пересечении выбранных столбцов и строк образуют матрицу k-того порядка. Определитель М этой матрицы называется минором k-того порядка. Если в матрице А вычеркнуты выбранные строки и столбцы, то оставшиеся элементы образуют матрицу n-k-того порядка. Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору М. Определение:
Пусть выбраны строки с номерами и столбцы с номерами. Выражение называется алгебраическим дополнением минора М. Теорема Лапласа:
Пусть в квадратной матрице
А выбраны
k строк с номерами
, где
. Сумма произведений всевозможных миноров
k-того порядка, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения равны определителю матрицы
А.
