Преобразовать двоичное число в десятичное онлайн. Как переводить из двоичной системы в десятичную

2.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

2.3.1. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q :

1. Основание новой системы счислениявыразитьцифрамиисходной системы счисления ивсепоследующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числаиполучаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученныеостатки,являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Пример 2.12. Перевестидесятичное число 173 10 в восьмеричную систему счисления:

Получаем:173 10 =255 8

Пример 2.13. Перевести десятичное число 173 10 в шестнадцатеричную систему счисления:

Получаем: 173 10 =AD 16 .

Пример 2.14. Перевести десятичное число 11 10 в двоичную систему счисления. Рассмотреннуювыше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

Получаем: 11 10 =1011 2 .

Пример 2.15. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363 10 в двоичное число.

Получаем: 363 10 =101101011 2

2.3.2. Перевод дробных чисел из одной системысчисленияв другую

Можно сформулировать алгоритм перевода правильнойдроби с основанием p в дробь с основанием q:

1. Основание новой системы счислениявыразитьцифрамиисходной системы счисленияивсепоследующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательноумножатьданноечислои получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведенияне станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений,являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,привести в соответствие с алфавитомновой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 2.17. Перевести число 0,65625 10 в восьмеричную систему счисления.

Получаем: 0,65625 10 =0,52 8

Пример 2.17. Перевести число 0,65625 10 вшестнадцатеричнуюсистему счисления.

Получаем: 0,65625 10 =0,А8 1

Пример 2.18. Перевестидесятичнуюдробь 0,5625 10 в двоичную систему счисления.

Получаем: 0,5625 10 =0,1001 2

Пример 2.19. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.7 10 .

Очевидно, чтоэтот процесс может продолжаться бесконечно,давая все новые и новые знакивизображениидвоичногоэквивалентачисла 0,7 10 . Так,за четыре шага мы получаем число 0,1011 2 , а за семь шагов число 0,1011001 2 ,которое является более точным представлениемчисла 0,7 10 в двоичной системе счисления,и т.д.Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.

2.3.3. Перевод произвольных чисел

Перевод произвольных чисел,т.е. чисел, содержащих целую и дробную части,осуществляется в два этапа.Отдельно переводится целая часть, отдельно - дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример 2.20 . Перевести число 17,25 10 в двоичную систему счисления.

Получаем: 17,25 10 =1001,01 2

Пример 2.21. Перевести число 124,25 10 в восьмеричную систему.

Получаем: 124,25 10 =174,2 8

2.3.4. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2 n и обратно

Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счисления является степеньючисла 2, топереводчисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по nцифр в каждой.

2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

Пример 2.22. Число 101100001000110010 2 переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062 8 .

Пример 2.23. Число 1000000000111110000111 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем числосправа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

Получаем шестнадцатеричноепредставлениеисходногочисла: 200F87 16 .

Перевод дробных чисел. Длятого,чтобыдробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по nцифр в каждой.

2. Еслив последней правой группе окажется меньше n разрядов,то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число изаписать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n .

Пример 2.24. Число0,10110001 2 переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542 8 .

Пример 2.25. Число0,100000000011 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

Получаем шестнадцатеричноепредставлениеисходногочисла: 0,803 16

Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:

1. Целую часть данногодвоичногочисларазбитьсправа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулямидо нужного числа разрядов;

3.Рассмотретькаждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n

Пример 2.26. Число 111100101,0111 2 переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34 8 .

Пример 2.27. Число11101001000,11010010 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем целую и дробную части числа на тетрадыи под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2 16 .

Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2 n в двоичную систему. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2 n , перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Пример 2.28 .Переведем шестнадцатеричное число 4АС35 16 вдвоичную систему счисления.

В соответствии с алгоритмом:

Получаем: 1001010110000110101 2 .

Задания для самостоятельного выполнения (Ответы )

2.38. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

2.39. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.

2.40. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.

Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:

Способы представления чисел

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую

Пример №1 .



Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

Пример №2 . 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3 . 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.

Пример №4 .
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС

1. Из десятичной системы счисления:
   • разделить число на основание переводимой системы счисления;
   • найти остаток от деления целой части числа;
   • записать все остатки от деления в обратном порядке;
2. Из двоичной системы счисления
   • Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
   • Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
     Например, 1000110 = 1 000 110 = 106 8
   • Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
     Например, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления

Результат уже получен!

Системы счисления

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Инструкция

Видео по теме

В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.

Вам понадобится

• - листок бумаги;
• - карандаш или ручка;
• - калькулятор.

Инструкция

Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.

Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Обратная задача - десятичного числа систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.

Чтобы число из шестнадцатеричной системы , нужно каждую его цифру умножить на соответствующую степень шестнадцати и сложить результаты. Например, число #11A в десятичной записи равняется 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Обратный перевод из десятичной системы в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите:
10000/16 = 625 (остаток 0).
625/16 = 39 (остаток 1).
39/16 = 2 (остаток 7).
2/16 = 0 (остаток 2).
Результатом вычислений станет шестнадцатеричное число #2710.
Проверьте правильность ответа: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Переводить числа из шестнадцатеричной системы в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули.
Например, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Проверьте правильность ответа: оба числа в десятичной записи равны 8062.

Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой.
Например, 11000110101001 превращается в (0011)(0001)(1010)(1001), что в шестнадцатеричной записи дает #31A9. Правильность ответа подтверждается переводом в десятичную запись: оба числа равны 12713.

Совет 5: Как перевести число в двоичную систему исчисления

Благодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров.

Инструкция

Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Широким распространением среди позиционных систем пользуются также восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы . И если для первых двух более применим второй метод, то для перевода из применимы оба.

Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в

Сдающим ЕГЭ и не только…

Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.

Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему:

Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102

Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

Таблица степеней числа 2:

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

Перевод целых чисел

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

1. Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512.
2. Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
3. Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
4. У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Способ 1 : Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

Способ 2 : Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

810 =

А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010 .

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

Ответ - столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

Теперь пример попроще.

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 - это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.

Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

Переведем в двоичную систему число 547 8 .

Ещё одно, например 7D6A 16 .

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Перевод отрицательных чисел

Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать - в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.

Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.

Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.

Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ - 4.

Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.

Перевод дробных чисел

Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.

Переведем число 0,6752 в двоичную систему.

Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.

Получается 0,6752 = 0,101011 .

Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 .