Matemaattiset operaatiot: yhteisen tekijän poistaminen suluista. "yhteisen tekijän poistaminen suluista"
Tällä oppitunnilla opimme haarukoinnin säännöistä yhteinen kerroin, opitaan löytämään se erilaisia esimerkkejä ja ilmaisuja. Puhutaan kuinka yksinkertainen toiminta, sijoittamalla yhteisen tekijän pois suluista voit yksinkertaistaa laskelmia. Vahvistamme hankittuja tietoja ja taitoja tarkastelemalla esimerkkejä erilaisista monimutkaisista asioista.
Mikä on yleinen tekijä, miksi sitä etsitään ja mihin tarkoitukseen se on otettu pois suluista? Vastataan näihin kysymyksiin tarkastelemalla yksinkertaista esimerkkiä.
Ratkaistaan yhtälö. Vasen puoli yhtälö on polynomi, joka koostuu samankaltaisista termeistä. Kirjainosa on yhteinen näille termeille, mikä tarkoittaa, että se on yhteinen tekijä. Laitetaan se pois suluista:
SISÄÄN tässä tapauksessa Yhteisen tekijän haarukointi auttoi meitä muuttamaan polynomin monomiiksi. Näin ollen pystyimme yksinkertaistamaan polynomia ja sen muunnos auttoi meitä ratkaisemaan yhtälön.
Tarkastetussa esimerkissä yhteinen tekijä oli ilmeinen, mutta olisiko se niin helppoa löytää mielivaltaisesta polynomista?
Selvitetään ilmaisun merkitys: .
SISÄÄN tässä esimerkissä yhteisen kertoimen sijoittaminen suluista yksinkertaisti laskemista huomattavasti.
Ratkaistaan vielä yksi esimerkki. Todistetaan jaevuus lausekkeisiin.
Tuloksena oleva lauseke on jaollinen luvulla , kuten vaaditaan todistettavaksi. Jälleen kerran yhteisen tekijän ottaminen antoi meille mahdollisuuden ratkaista ongelma.
Ratkaistaan vielä yksi esimerkki. Osoitetaan, että lauseke on jaollinen millä tahansa luonnollisella luvulla: 
.
Lauseke on kahden vierekkäisen luonnollisen luvun tulo. Toinen kahdesta luvusta on ehdottomasti parillinen, mikä tarkoittaa, että lauseke on jaollinen luvulla .
Olemme selvittäneet sen erilaisia esimerkkejä, mutta he käyttivät samaa ratkaisumenetelmää: he ottivat yhteisen tekijän pois suluista. Näemme, että tämä yksinkertainen toimenpide yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti. Näille erikoistapauksille oli helppo löytää yhteinen tekijä, mutta mitä tehdä yleinen tapaus, mielivaltaiselle polynomille?
Muista, että polynomi on monomioiden summa.
Harkitse polynomia 
. Tämä polynomi on kahden monomin summa. Monomiaali on luvun, kertoimen ja kirjainosan tulo. Näin ollen polynomissamme jokainen monomi esitetään luvun ja potenssien tulona, tekijöiden tulona. Tekijät voivat olla samat kaikille monomiaaleille. Juuri nämä tekijät on määritettävä ja poistettava suluista. Ensin löydämme yhteisen kertoimen kertoimille, jotka ovat kokonaislukuja.
Yhteinen tekijä oli helppo löytää, mutta määritellään kertoimien gcd: 
.
Katsotaanpa toista esimerkkiä: .
Selvitetään, mikä antaa meille mahdollisuuden määrittää yhteinen tekijä annettu ilmaisu: .
Olemme johtaneet säännön kokonaislukukertoimille. Sinun on löydettävä heidän gcd-levynsä ja otettava se pois suluista. Vahvistataan tämä sääntö ratkaisemalla vielä yksi esimerkki.
Olemme tarkastelleet sääntöä yhteisen kertoimen osoittamisesta kokonaislukukertoimille, siirrytään kirjainosaan. Ensin etsimme kirjaimia, jotka sisältyvät kaikkiin monomiineihin, ja sitten määritämme kirjaimen korkeimman asteen, joka sisältyy kaikkiin monomeihin: .
Tässä esimerkissä oli vain yksi yhteinen kirjainmuuttuja, mutta niitä voi olla useita, kuten seuraavassa esimerkissä:
Monimutkaistaan esimerkkiä lisäämällä monomien määrää:
Yhteisen kertoimen poistamisen jälkeen muunnosimme algebrallisen summan tuloksi.
Tarkastelimme kokonaislukukertoimien ja kirjainmuuttujien vähennyssääntöjä erikseen, mutta useimmiten niitä on sovellettava yhdessä esimerkin ratkaisemiseksi. Katsotaanpa esimerkkiä:
Joskus voi olla vaikeaa määrittää, mikä lauseke on jätetty sulkeisiin, katsotaanpa helppoa temppua, jonka avulla voit ratkaista tämän ongelman nopeasti.
Yhteinen tekijä voi olla myös haluttu arvo:
Yhteinen tekijä ei voi olla vain luku tai monomi, vaan myös mikä tahansa lauseke, kuten seuraavassa yhtälössä.
Matematiikan oppitunti 7. luokalla
| 1. | Koko nimi (koko nimi) | Trofimenko Nadezhda Pavlovna |
| 2. | Työpaikka | Kunnan oppilaitos "Miloslavskaya school" |
| 3. | Työnimike | Matematiikan opettaja |
| 4. | Tuote | |
| 5. | Luokka | |
| 6. | Aihe ja oppitunnin numero aiheessa | Yhteisen tekijän poistaminen suluista (1 oppitunti per aihe) |
| 7. | Perusopetusohjelma | Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin. "Algebra 7. luokka" oppikirja yleissivistävälle organisaatiolle. |
8. Oppitunnin tavoitteet
Opettajalle:
koulutuksellinen
järjestää koulutustoimintaa:
Hallitsemalla algoritmin yhteisen tekijän poistamiseksi suluista ja ymmärtämällä sen rakentamisen logiikka;
Kehittää kykyä soveltaa algoritmia yhteisen tekijän poistamiseksi suluista
kehittymässä
luoda edellytykset sääntelytaitojen kehittämiselle:
Määrittele omat tavoitteesi koulutustoimintaa;
Suunnittele tapoja saavuttaa tavoitteet;
Korreloi toimintasi suunniteltujen tulosten kanssa;
Seuraa ja arvioi koulutustoimintaa tulosten perusteella;
Järjestä koulutusyhteistyötä ja yhteistoimintaa opettajan ja vertaisten kanssa.
- koulutuksellinen
Luo olosuhteet vastuullisen asenteen muodostumiselle oppimista kohtaan;
Luo edellytykset opiskelijoiden itsenäisyyden kehittymiselle koulutustoiminnan järjestämisessä ja toteuttamisessa.
Luo olosuhteet isänmaalliseen kasvatukseen
Luo edellytykset ympäristökasvatukselle
Opiskelijoille:
Hallitse algoritmi yhteisen tekijän poistamiseksi suluista ja ymmärrä sen rakentamisen logiikka;
Kehitä kykyä soveltaa algoritmia yhteisen tekijän poistamiseksi suluista
9. Käytetyt UUD:t: sääntely (tavoitteiden asettaminen, toiminnan suunnittelu, valvonta ja arviointi)
10. Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen
11. Opiskelijatyön muodot: edestä, höyrysauna, yksilöllinen
12. Välttämätön Tekninen väline: tietokone, projektori, tuntilogo, matematiikan oppikirjat, sähköinen esitys, valmistettu Virta-ohjelma Piste, moniste
Oppitunnin rakenne ja kulku
| Oppitunnin vaiheet | Opettajan toiminta | Opiskelijoiden toimintaa | Koulutuksellinen | ||
| Organisatorinen | Hei kaverit! Olen erittäin iloinen nähdessäni sinä! Tuntimme motto: kuulen ja unohdan. Annetaan oppitunnille epätavallinen väritys (vihreän puun ja punaisen sydämen tunnus), taululla oleva tunnus. Oppitunnin lopussa paljastamme tämän tunnuksen salaisuuden | Tarkistaa työpaikka, tervehtiä opettajaa, liity oppitunnin työrytmiin | |||
| Tietojen ja motivaation päivittäminen | Tänään tunnilla opit uutta materiaalia. Mutta ensin työstetään sanallisesti. 1. Monomiaalit: 2a 2 * 3av; 2av*(-a 4); 6x 2 *(-2x); -3s*5x; -3x*(-xy 2);-4a 2 b*(-0,2av 2) Jos vastaus on oikein, avaa ensimmäinen kirjain 2) Mitkä monomiaalit tulisi laittaa *:n tilalle oikean tasa-arvon saamiseksi: x 3 * = x 6; - a 6 = a 4*; *y 7 = y 8; -2a3* = 8a5; 5xy 4 * = 25x 2 y 6. Jos vastaus on oikein, avaa toinen kirjain 3) Ota käyttöön monomi 12x 3 klo 4 kahden tekijän tulona, joista toinen on yhtä suuri 2x 3 ; 3u 3 ; -4x ; 6xy ; -2x 3 klo ; 6x 2 klo 2 . Jos vastaus on oikein, kolmas kirjain paljastetaan 4) läsnä eri tavoilla monomiaalinen 6x 2 klo kahden tekijän tuloksena. Avaa neljäs kirjain 5) Opiskelija kertoi monomin polynomilla, minkä jälkeen monomi pyyhittiin pois. Palauta se …*(x – y) = 3ax – 3ay …*(-x + y 2 – 1) = xy 2 – y 4 + y …*(a +b – 1) = 2ah +2in – 2x …*(a – b) = a 2 c – a 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 - 15у 2. Avaa viides kirjain 6. Laske 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Avaa kuudes kirjain. Kirjaimet muodostivat saksalaisen matemaatikon nimen. | Suorita tehtävä suullisesti Kommentoi ratkaisua sääntöjen mukaan Avaa taululla olevat kirjaimet Opiskelija (sai tehtävän etukäteen) Historiallinen viittaus : Michel Stiefel (1487-1567), saksalainen matemaatikko ja kiertävä saarnaaja; kirjoittanut kirjan "Täydellinen aritmetiikka", hän esitteli termin "eksponentti" ja pohti myös polynomien ominaisuuksia ja vaikutti merkittävästi algebran kehitykseen (kuva). | |||
| 3. Tavoitteiden asettaminen ja motivaatio | Motivoinnin tarjoaminen lapsille oppimiseen ja oppitunnin tavoitteiden hyväksyminen. | Taululla: Etsi lausekkeen arvo A 2 – 3 av klo a = 106,45; in = 2,15 . Kuinka tehdä se? a) Voit korvata numeroarvot A Ja V ja löytää ilmaisun merkitys, mutta se on vaikeaa. c) Onko mahdollista toimia toisin? Miten? Kirjoitamme taululle oppiaiheen aiheen: "Yhteisen tekijän jättäminen pois suluista." Pojat, kirjoita huolella! Muista, että tuottaaksesi tonnia paperia, sinun on kaadettava noin 17 kypsää puuta. Yritetään asettaa oppitunnin tavoitteet seuraavan kaavion mukaisesti: Mihin käsitteisiin tulet tutustumaan? Mitä taitoja ja kykyjä hallitsemme? | Tarjoa omia ratkaisujaan | ||
| 4. Uuden tiedon omaksuminen ja assimilaatiomenetelmät (ensimmäinen tutustuminen materiaaliin) | Varmistetaan, että lapset ymmärtävät, ymmärtävät ja muistavat ensisijaisesti opitun aiheen | Avaa oppikirja s. 120-121, lue ja vastaa s. 121 oleviin kysymyksiin. Korosta algoritmin kohdat Algoritmi yhteisen tekijän poistamiseksi suluista Etsi polynomien kertoimien yhteinen tekijä Tuo se ulos kannakkeesta 3.Opettaja: Annan esimerkin kertoimen poistamisesta suluista venäjäksi. Ilmaisussa "Ota kirja, ota kynä, ota muistivihko" yhteisen tekijän tehtävää suorittaa verbi "ottaa", ja kirja, muistikirja ja kynä ovat täydentäviä. 4 Kirjoitin kaavion muodossa säännön monomin kertomiseksi polynomilla. Yritä piirtää kaavamainen sääntö yhteisen tekijän vähentämiseksi | Lue materiaali Vastaa kysymyksiin Etsi taulukko, jossa on algoritmi
Ai, yritä nyt: Piirrä taululle käänteinen kaavio | ||
| 5. Rentoutuminen | Sisältää sarjakuvan "Kesätehtävä" Talvisäistä joudumme lämpimään kesään. Mutta fragmentti on opettavainen, yritä saada pääidea kiinni | He katsovat katkelman sarjakuvasta ja tekevät johtopäätöksen kauneudesta Kotimaa | Sarjakuvan fragmentti "Kesätehtävä" | ||
| 6. Ensisijainen konsolidointi | Aiheen opiskelun oikeellisuuden ja tietoisuuden toteaminen. Puutteiden tunnistaminen opitun materiaalin alkuymmärtämisessä, havaittujen puutteiden korjaaminen ja sen varmistaminen, että heidän tarvitsemansa tiedot ja toimintatavat itsenäinen työ uudella materiaalilla. | Edessä laudalle: № 318, 319, 320,321,324,325,328 Vuorottele halutessasi | Ratkaise taululla kommenteilla | ||
| 6. Ensisijaisen valvonnan järjestäminen | Tiedon ja toimintatapojen omaksumisen laadun ja tason tunnistaminen sekä tiedon ja toimintatapojen puutteiden tunnistaminen sekä havaittujen puutteiden syiden selvittäminen | Ratkaise itsenäisesti paperilla olevan tekstin perusteella ja tarkista vastaukset taululta: ITSENÄINEN TYÖ (eriytetty) 1 vaihtoehto Suorita polynomin tekijöiden jako: 5akh - 30ау = 5а (…………..) x 4 – 5 x 3 – x 2 = x 2 (…………..) Kerroin polynomin - 5ав + 15а 2 в, poistamalla tekijän suluista: a) 5а; b) -5a. Ota se huomioon: 5x + 5y = 7av + 14ac = 20a – 4b= 5min – 5= ah – ay= 3x 2 – 6x= 2a – 10ау= 15a 2 + 5a 3 = 2 vaihtoehto Viimeistele merkintä: 18av +16v = 2v (…………) 4a 2 s – 8ac= 4ac (………..) Kerroin polynomi -15a 2 + 5ab 4:ssä kahdella tavalla: a) tekijä 5ab poissulkeista; b) tekijä -5av poissulkeista. 5х+6ху= 2ав – 3а 3 в= 12av – 9v= x 3 -4x 2 +6x= 6a 4 – 4a 2 = 4a 4 -8a 3 +12a 2 = 24x 2 y -12xy= 9v 2 -6v 4 +3v= 4. Etsi lausekkeen arvo kertomalla se: xy 2 + y 3, jossa x = 97, y = 3. Vaihtoehto 3 Ota yhteinen kerroin pois suluista ja tarkista kertomalla monomi polynomilla: a) 12xy+ 18x= b) 36ab 2 – 12a 2 c= 2. Lopeta tallennus: 18a 3 in 2 +36 av = 18 av (…………) 18a 3 in 2 +36 av = -18 av (…………) 3. Poista yhteinen tekijä suluista: 12a 2 +16a= -11x 2 y 2 +22xy= 2a 4 -6a 2 = -12a 3 in 3 +6av= 30a 4 b- 6av 4 = x 8 -8 x 4 + x 2 = 4. Korvaa M polynomilla tai monomilla niin, että tuloksena oleva yhtälö on identtisyys: 12a 2 b-8av 2 +6av=M*(6a-4b+3) 15x 2v-10x3v2+25x4v3 =5x2v*M 5. Etsi ilmaisun merkitys: a) 2,76a-ab kohdassa a = 1,25 ja b = 0,76; b) 2xy + 2y 2, kun x = 0,27 ja b = 0,73. | He tekevät työnsä, suorittamisen jälkeen he saavat avaimet ja tarkistavat, laittavat + tai miinuksen, arvioivat työnsä taululla olevien kriteerien mukaan: (vastaukset taululla) 10-12 pistettä - "5" 8-9 pistettä - "4" 6-7 pistettä - "3" Alle 6 - sinun täytyy työskennellä enemmän. | Eriytetyt tehtävätaulukot | |
| 7. Oppitunnin yhteenveto. | Antaa laadullinen arviointi luokan ja yksittäisten oppilaiden työt | Merkitse aktiivisesti työskentelevät opiskelijat ja tee yhteenveto itsenäisen työn tuloksista: Nosta kätesi, jolla on 5,4,3. | Analysoi heidän työtään | ||
| 8. Tietoja kotitehtävät | Varmistetaan, että lapset ymmärtävät kotitehtävien tarkoituksen, sisällön ja tavat. | Kohta 19 Teemme sen luokkatyössä esimerkkitehtävien mukaan | Kirjaa tehtävät päiväkirjaan | ||
| 9. Heijastus | Opettaja: Se oli opetus – etsintä. Sinä ja minä etsimme yhteistä säveltä toistensa kanssa, opimme kommunikoimaan ja paljastimme myös yhden menetelmistä aiheen selittämiseen ja lujittamiseen. Palataan oppitunnin tavoitteisiin ja analysoidaan, kuinka saavutimme ne Ai, mistä muusta puhuimme, paitsi yhteisen tekijän poistamisesta suluista? Palataan oppitunnin logoon. | Lue tavoitteet ja analysoi niiden toteutuminen Matematiikan ja venäjän kielen yhteydestä Kotimaamme kauneudesta, ekologiasta |
Määritelmä 1
Ensin muistellaan Säännöt monomin kertomiseksi monomilla:
Jos haluat kertoa monomin monomilla, sinun on ensin kerrottava monomiaalien kertoimet ja kerrottava sitten monomeihin sisältyvät muuttujat käyttämällä sääntöä kertoa potenssit samalla kantalla.
Esimerkki 1
Etsi monomioiden $(2x)^3y^2z$ ja $(\frac(3)(4)x)^2y^4$ tulo
Ratkaisu:
Ensin lasketaan kertoimien tulo
$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ Tässä tehtävässä käytimme sääntöä luvun kertomiseen murtoluvulla - jos haluat kertoa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kertoa luku murtoluvun osoittajalla, ja nimittäjä laitetaan ilman muutoksia
Nyt käytetään murto-osan perusominaisuutta - murtoluvun osoittaja ja nimittäjä voidaan jakaa samalla luvulla, joka eroaa $0$. Jaetaan tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä $2$:lla, eli vähennetään tätä murtolukua $2$:lla $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3)(2)$
Saatu tulos osoittautui vääräksi murtoluvuksi, eli sellaiseksi, jossa osoittaja on suurempi kuin nimittäjä.
Muunnetaan tämä murto-osa eristämällä koko osa. Muistakaamme, että kokonaisluvun osan eristämiseksi on tarpeen kirjoittaa jaon loppuosa murto-osan osoittajaan, jakaja nimittäjään.
Löysimme tulevan tuotteen kertoimen.
Nyt kerromme peräkkäin muuttujat $x^3\cdot x^2=x^5$,
$y^2\cdot y^4 =y^6$. Tässä käytimme sääntöä potenssien kertomiseen samalla kantalla: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$
Sitten monomiaalien kertomisen tulos on:
$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.
Perustuu sitten tästä säännöstä voit suorittaa seuraavan tehtävän:
Esimerkki 2
Esitä annettu polynomi polynomin ja monomin $(4x)^3y+8x^2$ tulona
Esitetään kutakin polynomin sisältämää monomia kahden monomin tulona, jotta voidaan eristää yhteinen monomi, joka on tekijä sekä ensimmäisessä että toisessa monomissa.
Aloitetaan ensin ensimmäisellä monomialilla $(4x)^3y$. Jaetaan sen kerroin yksinkertaisiin tekijöihin: $4=2\cdot 2$. Teemme samoin toisen monomin kertoimella $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Huomaa, että kaksi tekijää $2\cdot 2$ sisältyy sekä ensimmäiseen että toiseen kertoimeen, mikä tarkoittaa $2\cdot 2=4$ - tämä luku sisällytetään yleiseen monomiin kertoimena
Huomaa nyt, että ensimmäisessä monomissa on $x^3$ ja toisessa on sama muuttuja potenssilla $2:x^2$. Tämä tarkoittaa, että on kätevää esittää muuttuja $x^3$ seuraavasti:
Muuttuja $y$ sisältyy vain yhteen polynomin termiin, mikä tarkoittaa, että sitä ei voi sisällyttää yleismonomiin.
Kuvitellaan polynomin ensimmäinen ja toinen monomi tulona:
$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$
$8x^2=4x^2\cdot 2$
Huomaa, että yhteinen monomi, joka on tekijä sekä ensimmäisessä että toisessa monomissa, on $4x^2$.
$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$
Nyt sovelletaan kertolaskua, jolloin tuloksena oleva lauseke voidaan esittää kahden tekijän tulona. Yksi kertoimista on kokonaiskerroin: $4x^2$ ja toinen on jäljellä olevien kertoimien summa: $xy + 2$. Keinot:
$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$
Tätä menetelmää kutsutaan tekijöitä poistamalla yhteinen tekijä.
Yhteinen tekijä tässä tapauksessa oli monomaalinen $4x^2$.
Algoritmi
Huomautus 1
Etsi kaikkien polynomin sisältämien monomien kertoimien suurin yhteinen jakaja - se on yhteiskerroin-monomin kerroin, jonka laitamme pois suluissa
Monomiaali, joka koostuu 2 kohdassa esitetystä kertoimesta ja 3 kohdassa löydetyistä muuttujista, on yhteinen tekijä. joka voidaan ottaa pois suluista yhteisenä tekijänä.
Esimerkki 3
Ota pois yhteinen kerroin $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$
Ratkaisu:
Etsitään kertoimien gcd; tätä varten jaamme kertoimet yksinkertaisiksi tekijöiksi
$45=3\cdot 3\cdot 5$
Ja löydämme tuotteen niistä, jotka sisältyvät kunkin laajennukseen:
Tunnista muuttujat, jotka muodostavat kunkin monomin, ja valitse muuttuja, jolla on pienin eksponentti
$a^3=a^2\cdot a$
Muuttuja $b$ sisältyy vain toiseen ja kolmanteen monomiin, mikä tarkoittaa, että sitä ei sisällytetä yhteiseen tekijään.
Muodostetaan monomi, joka koostuu vaiheessa 2 löydetystä kertoimesta, vaiheessa 3 löydetyistä muuttujista, saamme: $3a$ - tämä tulee olemaan yhteinen tekijä. Sitten:
$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$
Määritelmä 1
Ensin muistellaan Säännöt monomin kertomiseksi monomilla:
Jos haluat kertoa monomin monomilla, sinun on ensin kerrottava monomiaalien kertoimet ja kerrottava sitten monomeihin sisältyvät muuttujat käyttämällä sääntöä kertoa potenssit samalla kantalla.
Esimerkki 1
Etsi monomioiden $(2x)^3y^2z$ ja $(\frac(3)(4)x)^2y^4$ tulo
Ratkaisu:
Ensin lasketaan kertoimien tulo
$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ Tässä tehtävässä käytimme sääntöä luvun kertomiseen murtoluvulla - jos haluat kertoa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kertoa luku murtoluvun osoittajalla, ja nimittäjä laitetaan ilman muutoksia
Nyt käytetään murto-osan perusominaisuutta - murtoluvun osoittaja ja nimittäjä voidaan jakaa samalla luvulla, joka eroaa $0$. Jaetaan tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä $2$:lla, eli vähennetään tätä murtolukua $2$:lla $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3)(2)$
Saatu tulos osoittautui vääräksi murtoluvuksi, eli sellaiseksi, jossa osoittaja on suurempi kuin nimittäjä.
Muunnetaan tämä murto-osa eristämällä koko osa. Muistakaamme, että kokonaisluvun osan eristämiseksi on tarpeen kirjoittaa jaon loppuosa murto-osan osoittajaan, jakaja nimittäjään.
Löysimme tulevan tuotteen kertoimen.
Nyt kerromme peräkkäin muuttujat $x^3\cdot x^2=x^5$,
$y^2\cdot y^4 =y^6$. Tässä käytimme sääntöä potenssien kertomiseen samalla kantalla: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$
Sitten monomiaalien kertomisen tulos on:
$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.
Tämän säännön perusteella voit sitten suorittaa seuraavan tehtävän:
Esimerkki 2
Esitä annettu polynomi polynomin ja monomin $(4x)^3y+8x^2$ tulona
Esitetään kutakin polynomin sisältämää monomia kahden monomin tulona, jotta voidaan eristää yhteinen monomi, joka on tekijä sekä ensimmäisessä että toisessa monomissa.
Aloitetaan ensin ensimmäisellä monomialilla $(4x)^3y$. Jaetaan sen kerroin yksinkertaisiin tekijöihin: $4=2\cdot 2$. Teemme samoin toisen monomin kertoimella $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Huomaa, että kaksi tekijää $2\cdot 2$ sisältyy sekä ensimmäiseen että toiseen kertoimeen, mikä tarkoittaa $2\cdot 2=4$ - tämä luku sisällytetään yleiseen monomiin kertoimena
Huomaa nyt, että ensimmäisessä monomissa on $x^3$ ja toisessa on sama muuttuja potenssilla $2:x^2$. Tämä tarkoittaa, että on kätevää esittää muuttuja $x^3$ seuraavasti:
Muuttuja $y$ sisältyy vain yhteen polynomin termiin, mikä tarkoittaa, että sitä ei voi sisällyttää yleismonomiin.
Kuvitellaan polynomin ensimmäinen ja toinen monomi tulona:
$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$
$8x^2=4x^2\cdot 2$
Huomaa, että yhteinen monomi, joka on tekijä sekä ensimmäisessä että toisessa monomissa, on $4x^2$.
$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$
Nyt sovelletaan kertolaskua, jolloin tuloksena oleva lauseke voidaan esittää kahden tekijän tulona. Yksi kertoimista on kokonaiskerroin: $4x^2$ ja toinen on jäljellä olevien kertoimien summa: $xy + 2$. Keinot:
$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$
Tätä menetelmää kutsutaan tekijöitä poistamalla yhteinen tekijä.
Yhteinen tekijä tässä tapauksessa oli monomaalinen $4x^2$.
Algoritmi
Huomautus 1
Etsi kaikkien polynomin sisältämien monomien kertoimien suurin yhteinen jakaja - se on yhteiskerroin-monomin kerroin, jonka laitamme pois suluissa
Monomiaali, joka koostuu 2 kohdassa esitetystä kertoimesta ja 3 kohdassa löydetyistä muuttujista, on yhteinen tekijä. joka voidaan ottaa pois suluista yhteisenä tekijänä.
Esimerkki 3
Ota pois yhteinen kerroin $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$
Ratkaisu:
Etsitään kertoimien gcd; tätä varten jaamme kertoimet yksinkertaisiksi tekijöiksi
$45=3\cdot 3\cdot 5$
Ja löydämme tuotteen niistä, jotka sisältyvät kunkin laajennukseen:
Tunnista muuttujat, jotka muodostavat kunkin monomin, ja valitse muuttuja, jolla on pienin eksponentti
$a^3=a^2\cdot a$
Muuttuja $b$ sisältyy vain toiseen ja kolmanteen monomiin, mikä tarkoittaa, että sitä ei sisällytetä yhteiseen tekijään.
Muodostetaan monomi, joka koostuu vaiheessa 2 löydetystä kertoimesta, vaiheessa 3 löydetyistä muuttujista, saamme: $3a$ - tämä tulee olemaan yhteinen tekijä. Sitten:
$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$
Osana opintoja identiteetin muunnoksia Aihe yhteisen tekijän poistamisesta suluista on erittäin tärkeä. Tässä artikkelissa selitämme, mitä tällainen muunnos tarkalleen ottaen on, johdamme perussäännön ja analysoimme tyypillisiä esimerkkejä tehtäviä.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Käsite tekijän poistamisesta suluista
Jotta tämä muunnos onnistuu, sinun on tiedettävä, mihin lausekkeisiin sitä käytetään ja minkä tuloksen haluat saada lopulta. Selvennetään näitä kohtia.
Voit ottaa yhteisen tekijän pois suluista lausekkeissa, jotka edustavat summia, joissa kukin termi on tuote, ja jokaisessa tuotteessa on yksi tekijä, joka on yhteinen (sama) kaikille. Tätä kutsutaan yhteiseksi tekijäksi. Juuri tämän otamme pois suluista. Joten jos meillä on töitä 5 3 Ja 5 4, niin voimme ottaa yhteisen kertoimen 5 pois suluista.
Mistä tämä muunnos koostuu? Sen aikana esitämme alkuperäisen lausekkeen yhteisen tekijän ja suluissa olevan lausekkeen tulona, joka sisältää kaikkien alkuperäisten termien summan yhteistä tekijää lukuun ottamatta.
Otetaanpa yllä oleva esimerkki. Lisätään yhteinen kerroin 5 5 3 Ja 5 4 ja saamme 5 (3 + 4) . Lopullinen lauseke on yhteisen tekijän 5 tulo suluissa olevalla lausekkeella, joka on alkuperäisten termien summa ilman viittä.
Tämä muunnos perustuu kertolaskun jakautumisominaisuuteen, jota olemme jo aiemmin tutkineet. Kirjaimellisessa muodossa se voidaan kirjoittaa muodossa a (b + c) = a b + a c. Vaihtamalla oikea puoli vasemmalla, näemme kaavion yhteisen tekijän poistamiseksi suluista.
Sääntö yhteisen tekijän poistamiseksi suluista
Kaiken edellä sanotun avulla johdamme perussäännön tällaiselle muunnokselle:
Määritelmä 1
Jos haluat poistaa yhteisen tekijän suluista, sinun on kirjoitettava alkuperäinen lauseke yhteisen tekijän ja alkuperäisen summan ilman yhteistä tekijää sisältävien sulujen tulona.
Esimerkki 1
Otetaan yksinkertainen esimerkki hahmontamisesta. Meillä on numeerinen lauseke 3 7 + 3 2 - 3 5, joka on kolmen termin 3 · 7, 3 · 2 ja yhteisen kertoimen 3 summa. Ottamalla perustana johtamamme säännön, kirjoitamme tuotteen muodossa 3 (7 + 2 - 5). Tämä on muutoksemme tulos. Koko ratkaisu näyttää tältä: 3 7 + 3 2 - 3 5 = 3 (7 + 2 - 5).
Voimme laittaa tekijän pois sulkeista ei vain numeerisissa, vaan myös kirjaimellisissa lausekkeissa. Esimerkiksi sisään 3 x – 7 x + 2 voit ottaa pois muuttujan x ja saada 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, lausekkeessa (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- yhteinen tekijä (x2+y) ja päästä lopulta (x 2 + y) · (x · y − x 3).
Aina ei ole mahdollista heti määrittää, mikä tekijä on yleinen. Joskus lauseke on ensin muunnettava korvaamalla luvut ja lausekkeet identtisillä tuloilla.
Esimerkki 2
Joten esimerkiksi lausekkeessa 6 x + 4 v on mahdollista johtaa yhteinen tekijä 2, jota ei ole erikseen kirjoitettu. Löytääksemme sen meidän on muutettava alkuperäinen lauseke, joka edustaa kuutta 2 · 3:na ja neljää 2 · 2:na. Tuo on 6 x + 4 v = 2 3 x + 2 2 v = 2 (3 x + 2 v). Tai ilmaisussa x 3 + x 2 + 3 x voimme ottaa pois suluista yhteisen tekijän x, joka paljastuu vaihdon jälkeen x 3 päällä x · x 2 . Tämä muunnos on mahdollinen tutkinnon perusominaisuuksien ansiosta. Tuloksena saamme ilmaisun x (x 2 + x + 3).
Toinen tapaus, josta tulisi keskustella erikseen, on miinuksen poistaminen suluista. Sitten emme poista itse merkkiä, vaan miinus yksi. Muunnetaan esimerkiksi lauseke tällä tavalla − 5 − 12 x + 4 x y. Kirjoitetaan lauseke uudelleen muotoon (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, jotta kokonaiskerroin näkyy selkeämmin. Otetaan se pois suluista ja saadaan − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Tämä esimerkki osoittaa, että suluissa saadaan sama määrä, mutta päinvastaisilla etumerkeillä.
Johtopäätösten perusteella todetaan, että muunnosa sijoittamalla yhteinen tekijä suluista käytetään hyvin usein käytännössä esimerkiksi rationaalisten lausekkeiden arvon laskemiseen. Tämä menetelmä on hyödyllinen myös silloin, kun lauseke on esitettävä tulona, esimerkiksi polynomin laskemiseksi yksittäisiin tekijöihin.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
