Hoe je een getal met een graad tussen haakjes zet. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes

In deze les leren we over de regels voor bracketing gemeenschappelijke vermenigvuldiger, laten we leren het te vinden diverse voorbeelden en uitdrukkingen. Laten we praten over hoe eenvoudige bediening Als u de gemeenschappelijke factor tussen haakjes plaatst, kunt u de berekeningen vereenvoudigen. We zullen de verworven kennis en vaardigheden consolideren door te kijken naar voorbeelden van verschillende complexiteiten.

Wat is een gemeenschappelijke factor, waarom zoeken en met welk doel wordt het tussen haakjes gezet? Laten we deze vragen beantwoorden door te kijken naar eenvoudigste voorbeeld.

Laten we de vergelijking oplossen. Linkerkant vergelijking is een polynoom dat uit soortgelijke termen bestaat. Het lettergedeelte is gemeenschappelijk voor deze termen, wat betekent dat dit de gemeenschappelijke factor zal zijn. Laten we het tussen haakjes zetten:

IN in dit geval Door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen, konden we de polynoom in een monomiaal omzetten. Zo konden we de polynoom vereenvoudigen en de transformatie ervan hielp ons de vergelijking op te lossen.

In het beschouwde voorbeeld was de gemeenschappelijke factor duidelijk, maar zou het zo gemakkelijk zijn om deze in een willekeurige polynoom te vinden?

Laten we de betekenis van de uitdrukking vinden: .

IN in dit voorbeeld Door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen, werd de berekening aanzienlijk vereenvoudigd.

Laten we nog een voorbeeld oplossen. Laten we de deelbaarheid in uitdrukkingen bewijzen.

De resulterende uitdrukking is deelbaar door , zoals moet worden bewezen. Opnieuw konden we door de gemeenschappelijke factor te nemen het probleem oplossen.

Laten we nog een voorbeeld oplossen. Laten we bewijzen dat de uitdrukking deelbaar is door voor elk natuurlijk getal: .

De uitdrukking is het product van twee aangrenzende natuurlijke getallen. Eén van de twee getallen zal beslist even zijn, wat betekent dat de uitdrukking deelbaar is door .

We hebben het opgelost verschillende voorbeelden, maar ze gebruikten dezelfde oplossingsmethode: ze haalden de gemeenschappelijke factor tussen haakjes. We zien dat deze eenvoudige handeling de berekeningen enorm vereenvoudigt. Het was gemakkelijk om een ​​gemeenschappelijke factor voor deze speciale gevallen te vinden, maar wat te doen algemeen geval, voor een willekeurige polynoom?

Bedenk dat een polynoom een ​​som is van monomialen.

Beschouw het polynoom . Dit polynoom is de som van twee monomialen. Een monomial is het product van een getal, een coëfficiënt en een lettergedeelte. In ons polynoom wordt dus elk monomiaal weergegeven door het product van een getal en machten, het product van factoren. De factoren kunnen voor alle monomialen hetzelfde zijn. Het zijn deze factoren die moeten worden bepaald en uit de beugel moeten worden gehaald. Eerst vinden we de gemeenschappelijke factor voor de coëfficiënten, die gehele getallen zijn.

Het was gemakkelijk om de gemeenschappelijke factor te vinden, maar laten we de ggd van de coëfficiënten definiëren: .

Laten we naar een ander voorbeeld kijken: .

Laten we vinden, waarmee we de gemeenschappelijke factor voor deze uitdrukking kunnen bepalen: .

We hebben een regel afgeleid voor gehele coëfficiënten. Je moet hun ggd vinden en deze uit de beugel halen. Laten we deze regel consolideren door nog een voorbeeld op te lossen.

We hebben gekeken naar de regel voor het toekennen van een gemeenschappelijke factor voor gehele coëfficiënten, laten we verder gaan met het lettergedeelte. Eerst zoeken we naar de letters die in alle monomials voorkomen, en vervolgens bepalen we de hoogste graad van de letter die in alle monomials voorkomt: .

In dit voorbeeld was er slechts één gemeenschappelijke lettervariabele, maar er kunnen er meerdere zijn, zoals in het volgende voorbeeld:

Laten we het voorbeeld ingewikkelder maken door het aantal monomials te vergroten:

Nadat we de gemeenschappelijke factor eruit hadden gehaald, hebben we de algebraïsche som omgezet in een product.

We hebben de aftrekkingsregels voor gehele coëfficiënten en lettervariabelen afzonderlijk bekeken, maar meestal moet je ze samen toepassen om het voorbeeld op te lossen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

Soms kan het moeilijk zijn om te bepalen welke uitdrukking tussen haakjes staat. Laten we eens kijken naar een eenvoudige truc waarmee u dit probleem snel kunt oplossen.

De gemeenschappelijke factor kan ook de gewenste waarde zijn:

De gemeenschappelijke factor kan niet alleen een getal of een monomial zijn, maar ook elke uitdrukking, zoals in de volgende vergelijking.

Onder de verschillende uitdrukkingen die in de algebra worden beschouwd, zijn belangrijke plaats bezetten sommen monomialen. Hier zijn voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

De som van monomialen wordt een polynoom genoemd. De termen in een polynoom worden termen van de polynoom genoemd. Monomialen worden ook geclassificeerd als polynomen, waarbij een monomial wordt beschouwd als een polynoom dat uit één lid bestaat.

Een polynoom bijvoorbeeld
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan worden vereenvoudigd.

Laten we alle termen weergeven in de vorm van monomials standaard weergave:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Laten we vergelijkbare termen presenteren in de resulterende polynoom:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Het resultaat is een polynoom, waarvan alle termen monomialen van de standaardvorm zijn, en er zijn geen vergelijkbare. Dergelijke polynomen worden genoemd polynomen van standaardvorm.

Voor graad van polynoom van een standaardformulier de hoogste bevoegdheden van haar leden overneemt. De binomiale \(12a^2b - 7b\) heeft dus de derde graad, en de trinominale \(2b^2 -7b + 6\) heeft de tweede.

Normaal gesproken worden de termen van polynomen in standaardvorm die één variabele bevatten, gerangschikt in aflopende volgorde van exponenten. Bijvoorbeeld:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

De som van verschillende polynomen kan worden omgezet (vereenvoudigd) in een polynoom met standaardvorm.

Soms moeten de termen van een polynoom in groepen worden verdeeld, waarbij elke groep tussen haakjes wordt geplaatst. Omdat haakjes de omgekeerde transformatie zijn van openingshaakjes, is het gemakkelijk te formuleren regels voor het openen van haakjes:

Als er een “+” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes met dezelfde tekens geschreven.

Als er een “-” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes met tegengestelde tekens geschreven.

Transformatie (vereenvoudiging) van het product van een monomiaal en een polynoom

Met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging kunt u het product van een monomiaal en een polynoom transformeren (vereenvoudigen) in een polynoom. Bijvoorbeeld:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Het product van een monomiaal en een polynoom is identiek gelijk aan de som van de producten van dit monomiaal en elk van de termen van het polynoom.

Dit resultaat wordt meestal als regel geformuleerd.

Om een ​​monomiaal met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je dat monomiaal vermenigvuldigen met elk van de termen van het polynoom.

We hebben deze regel al verschillende keren gebruikt om met een som te vermenigvuldigen.

Product van polynomen. Transformatie (vereenvoudiging) van het product van twee polynomen

Over het algemeen is het product van twee polynomen identiek gelijk aan de som van het product van elke term van de ene polynoom en elke term van de andere.

Meestal wordt de volgende regel gebruikt.

Om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je elke term van de ene polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere en de resulterende producten bij elkaar optellen.

Verkorte vermenigvuldigingsformules. Somkwadraten, verschillen en verschil in kwadraten

Bij algebraïsche transformaties heb je vaker te maken met sommige uitdrukkingen dan met andere. Misschien wel de meest voorkomende uitdrukkingen zijn \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) en \(a^2 - b^2 \), d.w.z. het kwadraat van de som, het kwadraat van het verschil en het verschil van vierkanten. Je hebt gemerkt dat de namen van deze uitdrukkingen onvolledig lijken te zijn. \((a + b)^2 \) is bijvoorbeeld natuurlijk niet alleen het kwadraat van de som, maar het kwadraat van de som van a en b . Het kwadraat van de som van a en b komt echter in de regel niet vaak voor; in plaats van de letters a en b bevat het verschillende, soms behoorlijk complexe, uitdrukkingen.

De uitdrukkingen \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kunnen eenvoudig worden omgezet (vereenvoudigd) in polynomen van de standaardvorm. In feite bent u deze taak al tegengekomen bij het vermenigvuldigen van polynomen:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Het is nuttig om de resulterende identiteiten te onthouden en deze toe te passen zonder tussentijdse berekeningen. Korte verbale formuleringen helpen hierbij.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - het kwadraat van de som is gelijk aan de som van de kwadraten en het dubbele product.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - het kwadraat van het verschil is gelijk aan de som der kwadraten zonder het verdubbelde product.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - het verschil tussen de kwadraten is gelijk aan het product van het verschil en de som.

Deze drie identiteiten maken het mogelijk om bij transformaties de linkerdelen te vervangen door rechtse delen, en vice versa: rechterdelen door linkse delen. Het moeilijkste is om de overeenkomstige uitdrukkingen te zien en te begrijpen hoe de variabelen a en b daarin worden vervangen. Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules.

Algebra les in het 7e leerjaar.

Onderwerp: “De gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.”

Leerboek Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. enz.

Lesdoelen:

Educatief –

het niveau identificeren van de beheersing van een complex van kennis en vaardigheden door studenten bij het gebruik van vermenigvuldigings- en delingsvaardigheden;

het vermogen ontwikkelen om de factorisatie van een polynoom toe te passen door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen;

pas het verwijderen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes toe bij het oplossen van vergelijkingen.

Ontwikkelingsgericht –

het bevorderen van de ontwikkeling van observatie, het vermogen om te analyseren, vergelijken en conclusies te trekken;

zelfbeheersingsvaardigheden ontwikkelen bij het voltooien van taken.

Educatief -

het bevorderen van verantwoordelijkheid, activiteit, onafhankelijkheid en objectief zelfrespect.

Lestype: gecombineerd.

Belangrijkste leerresultaten:

in staat zijn de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten;

kunnen solliciteren deze methode bij het oplossen van oefeningen.

Bewegingles.

1 module (30 min).

1. Organisatorisch moment.

groeten;

het voorbereiden van studenten op het werk.

2. Inspectie huiswerk.

Beschikbaarheid controleren (dienst), bespreken van problemen die zich hebben voorgedaan.

3 . Basiskennis bijwerken.

N Zoek GCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).

Wat is GCD?

Hoe wordt de verdeling van bevoegdheden met dezelfde grondslagen uitgevoerd?

Hoe wordt de vermenigvuldiging van machten met dezelfde bases uitgevoerd?

Voor deze graden (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Noem de graad met de laagste exponent, dezelfde grondtallen, dezelfde exponenten

Laten we de distributieve wet van vermenigvuldiging herhalen. Schrijf het op in briefvorm

een (b + c) = ab + ac

* - vermenigvuldigingsteken

Mondelinge taken uitvoeren over de toepassing van de distributieve eigendom. (Bereid je voor op het bord).

1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5

2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)

3) een*(4 + x) 6) -2*(c – a)

De taken worden op een gesloten bord geschreven, de jongens lossen het op en schrijven het resultaat op het bord. Problemen bij het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom.

Om te beginnen geef ik je een voorbeeld van het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom:

2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 y – 6x Niet wassen!

Schrijf de regel voor het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom in de vorm van een diagram.

Er verschijnt een opmerking op het bord:

Ik kan deze eigenschap schrijven als:

In deze vorm hebben we de opname al gebruikt eenvoudige manier expressieberekeningen.

a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

De rest is mondeling, controleer de antwoorden:

e) 55*682 – 45*682 = 6820

g) 7300*3 + 730*70 = 73000

h) 500*38 – 50*80 = 15000

Welke wet heeft u geholpen een eenvoudige manier te vinden om te berekenen? (Verdeling)

De distributieve wet helpt inderdaad uitdrukkingen te vereenvoudigen.

4 . Het doel en het onderwerp van de les bepalen. Mondeling tellen. Raad het onderwerp van de les.

Werk in paren.

Kaarten voor koppels.

Het blijkt dat het ontbinden van een uitdrukking in factoren de omgekeerde bewerking is van het term-voor-term vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom.

Laten we hetzelfde voorbeeld bekijken dat de leerling heeft opgelost, maar dan in omgekeerde volgorde. Factoring houdt in dat je de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zet.

2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).

Vandaag zullen we in de les kijken naar de concepten van het ontbinden van een polynoom en het tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor, en we zullen leren deze concepten toe te passen bij het doen van oefeningen.

Algoritme om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten

De grootste gemene deler van de coëfficiënten.

Dezelfde lettervariabelen.

Voeg de kleinste graad toe aan de verwijderde variabelen.

Vervolgens worden de resterende monomialen van de polynoom tussen haakjes geschreven.

De grootste gemene deler werd gevonden in de lagere klassen, de gemeenschappelijke variabele in de kleinste mate is onmiddellijk zichtbaar. En om snel de polynoom tussen haakjes te vinden, moet je oefenen met nummer 657.

5. Basisonderwijs met hardop spreken.

Nr. 657 (1 kolom)

Module 2 (30 min).

1. Het resultaat van de eerste 30 minuten.

A) Welke transformatie wordt factorisatie van een polynoom genoemd?

B) Welke eigenschap is gebaseerd op het wegnemen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes?

V) Hoe wordt de gemeenschappelijke factor tussen haakjes verwijderd?

2. Primaire consolidatie.

Uitdrukkingen worden op het bord geschreven. Vind eventuele fouten in deze gelijkheden en corrigeer ze.

1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8 x + 12 j = 4 (2 x - 3 j).

4) een 6 – een 2 = een 2 (een 2 – 1).

5) 4 -2a = – 2 (2 – a).

3. Eerste controle op begrip.

Werken met zelftest. 2 personen per achterkant

Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

Mondeling controleren door vermenigvuldigen.

4. Studenten voorbereiden op algemene activiteiten.

Laten we de polynomiale factor tussen haakjes zetten (uitleg van de leraar).

Ontbind de polynoom in factoren.

IN deze uitdrukking we zien dat dezelfde factor aanwezig is, die tussen haakjes kan worden gehaald. Dus we krijgen:

De uitdrukkingen en zijn tegengesteld, dus in sommige gevallen kun je deze gelijkheid gebruiken . We veranderen het bord twee keer! Ontbind de polynoom in factoren

Er zijn hier tegenovergestelde uitdrukkingen en als we de vorige identiteit gebruiken, krijgen we de volgende invoer: .

En nu zien we dat de gemeenschappelijke factor tussen haakjes kan worden verwijderd.

\(5x+xy\) kan worden weergegeven als \(x(5+y)\). Dit zijn inderdaad identieke uitdrukkingen, dit kunnen we verifiëren als we de haakjes openen: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Zoals je kunt zien, krijgen we als resultaat de oorspronkelijke uitdrukking. Dit betekent dat \(5x+xy\) inderdaad gelijk is aan \(x(5+y)\). Trouwens, dit betrouwbare manier om de juistheid van de gemeenschappelijke factoren te controleren - open het resulterende haakje en vergelijk het resultaat met de originele uitdrukking.

De hoofdregel voor bracketing:

In de uitdrukking \(3ab+5bc-abc\) kan bijvoorbeeld alleen \(b\) uit de haakjes worden gehaald, omdat dit de enige is die in alle drie de termen voorkomt. Het proces waarbij gemeenschappelijke factoren tussen haakjes worden gezet, wordt weergegeven in het onderstaande diagram:

Bracketing-regels

In de wiskunde is het gebruikelijk om alle gemeenschappelijke factoren in één keer eruit te halen.

Voorbeeld:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Houd er rekening mee dat we hier als volgt kunnen uitbreiden: \(3(xy-xz)\) of als volgt: \(x(3y-3z)\). Dit zouden echter onvolledige ontledingen zijn. Zowel de C als de X moeten eruit.


Soms zijn de gemeenschappelijke leden niet onmiddellijk zichtbaar.


Voorbeeld:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
In dit geval was de gebruikelijke term (vijf) verborgen. Nadat we echter \(10\) hebben uitgebreid als \(2\) vermenigvuldigd met \(5\), en \(15\) als \(3\) vermenigvuldigd met \(5\) - hebben we “de vijf in de light of God”, waarna ze hem met gemak uit de beugel konden halen.


Als een monomiaal volledig wordt verwijderd, blijft er één van over.

Voorbeeld: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
We zetten \(x\) tussen haakjes, en de derde monomial bestaat alleen uit x. Waarom blijft men ervan af? Want als een uitdrukking met één wordt vermenigvuldigd, verandert deze niet. Dat wil zeggen dat dezelfde \(x\) kan worden weergegeven als \(1\cdot x\). Dan hebben we de volgende keten van transformaties:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\)\()\)

Bovendien is dit de enige de juiste manier verwijdering, want als we er geen achterlaten, zullen we, wanneer we de haakjes openen, niet terugkeren naar de oorspronkelijke uitdrukking. Als we de extractie als volgt uitvoeren: \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), dan krijgen we bij uitbreiding \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Het derde lid ontbreekt. Dit betekent dat een dergelijke verklaring onjuist is.

U kunt een minteken buiten de haakjes plaatsen en de tekens van de termen in de haakjes worden omgedraaid.


Voorbeeld:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
In wezen brengen we hier de ‘min één’ uit, die voor elke monomial kan worden ‘geselecteerd’, zelfs als er geen min voor staat. We maken hier gebruik van het feit dat men kan schrijven als \((-1) \cdot (-1)\). Hier is hetzelfde voorbeeld, in detail beschreven:

\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

Een haakje kan ook een gemeenschappelijke factor zijn.


Voorbeeld:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Deze situatie (het verwijderen van haakjes) komen we het vaakst tegen bij factoring met behulp van de groeperingsmethode of

We blijven de basisprincipes van algebra begrijpen. Vandaag zullen we ermee werken, we zullen namelijk een actie overwegen zoals door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten.

Basisprincipe

Met de distributieve wet van vermenigvuldiging kun je een getal vermenigvuldigen met een bedrag (of een bedrag met een getal). Als u bijvoorbeeld de waarde van de uitdrukking 3 × (4 + 5) wilt vinden, kunt u het getal 3 vermenigvuldigen met elke term tussen haakjes en de resultaten optellen:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Het getal 3 en de uitdrukking tussen haakjes kunnen worden verwisseld (dit volgt uit de commutatieve wet van vermenigvuldiging). Vervolgens wordt elke term tussen haakjes vermenigvuldigd met het getal 3

(4+5)× 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Voorlopig berekenen we niet de constructie 3 × 4 + 3 × 5 en tellen we de verkregen resultaten 12 en 15 op. Laten we de uitdrukking in het formulier laten staan 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Hieronder hebben we het precies in deze vorm nodig om de essentie te begrijpen van het tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor.

De distributieve wet van vermenigvuldiging wordt ook wel het plaatsen van een factor tussen haakjes genoemd. In de uitdrukking 3 × (4 + 5) werd de factor 3 tussen haakjes gelaten. Door het te vermenigvuldigen met elke term tussen haakjes, brachten we het feitelijk binnen de haakjes. Voor de duidelijkheid kun je het zo schrijven, al is het niet gebruikelijk om het zo te schrijven:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Sinds in de uitdrukking 3 × (4 + 5) het getal 3 wordt vermenigvuldigd met elke term tussen haakjes, dit getal is een gemeenschappelijke factor voor de termen 4 en 5

Zoals eerder vermeld, plaatsen we deze gemeenschappelijke factor tussen haakjes door deze gemeenschappelijke factor te vermenigvuldigen met elke term tussen haakjes. Maar het omgekeerde proces is ook mogelijk: de gemeenschappelijke factor kan weer tussen haakjes worden gezet. In dit geval in de uitdrukking 3×4 + 3×5 de algemene vermenigvuldiger is duidelijk zichtbaar - dit is een vermenigvuldiger van 3. Het moet uit de vergelijking worden gehaald. Om dit te doen, schrijft u eerst de factor 3 zelf op

en daarnaast staat tussen haakjes de uitdrukking 3×4 + 3×5 maar zonder de gemeenschappelijke factor 3, aangezien deze tussen haakjes staat

3 (4 + 5)

Als resultaat van het verwijderen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes, verkrijgen we de uitdrukking 3 (4 + 5) . Deze uitdrukking is identiek aan de vorige uitdrukking 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Als we beide zijden van de resulterende gelijkheid berekenen, verkrijgen we de identiteit:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Hoe komt de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te staan?

Het plaatsen van de gemeenschappelijke factor buiten de haakjes is in wezen het omgekeerde van het plaatsen van de gemeenschappelijke factor binnen de haakjes.

Als we bij het invoeren van een gemeenschappelijke factor tussen haakjes deze factor vermenigvuldigen met elke term tussen haakjes, moeten we, wanneer we deze factor weer buiten de haakjes plaatsen, elke term tussen haakjes delen door deze factor.

In expressie 3×4 + 3×5, wat hierboven werd besproken, dit is wat er gebeurde. Elke term werd gedeeld door een gemeenschappelijke factor 3. De producten 3 × 4 en 3 × 5 zijn termen, want als we ze berekenen, krijgen we de som 12 + 15

Nu kunnen we in detail zien hoe de algemene factor tussen haakjes wordt gezet:

Het is duidelijk dat de gemeenschappelijke factor 3 eerst tussen haakjes wordt gezet en vervolgens tussen haakjes elke term wordt gedeeld door deze gemeenschappelijke factor.

Het delen van elke term door een gemeenschappelijke deler kan niet alleen worden gedaan door de teller te delen door de noemer, zoals hierboven weergegeven, maar ook door deze breuken te verkleinen. In beide gevallen krijgt u hetzelfde resultaat:

We hebben gekeken naar het eenvoudigste voorbeeld van het tussen haakjes zetten van een gemeenschappelijke factor om het basisprincipe te begrijpen.

Maar niet alles is zo eenvoudig als het op het eerste gezicht lijkt. Nadat het getal met elke term tussen haakjes is vermenigvuldigd, worden de resultaten bij elkaar opgeteld en verdwijnt de gemeenschappelijke factor uit het zicht.

Laten we terugkeren naar ons voorbeeld 3 (4 + 5). Laten we de distributieve wet van vermenigvuldiging toepassen, dat wil zeggen, het getal 3 vermenigvuldigen met elke term tussen haakjes en de resultaten optellen:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Nadat de constructie 3 × 4 + 3 × 5 is berekend, krijgen we de nieuwe uitdrukking 12 + 15. We zien dat de gemeenschappelijke factor 3 uit het zicht is verdwenen. Laten we nu in de resulterende uitdrukking 12 + 15 proberen de gemeenschappelijke factor weer tussen haakjes te zetten, maar om deze gemeenschappelijke factor eruit te halen, moeten we deze eerst vinden.

Meestal komen we bij het oplossen van problemen precies zulke uitdrukkingen tegen waarin de gemeenschappelijke factor eerst moet worden gevonden voordat deze kan worden verwijderd.

Om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking 12 + 15 te verwijderen, moet je de grootste gemene deler (GCD) van de termen 12 en 15 vinden. De gevonden GCD zal de gemeenschappelijke factor zijn.

Laten we dus de GCD voor de getallen 12 en 15 vinden. Bedenk dat om de GCD te vinden, je de oorspronkelijke getallen moet ontleden in priemfactoren, vervolgens de eerste ontleding moet uitschrijven en daaruit de factoren moet verwijderen die niet in de ontleding zijn opgenomen. van het tweede nummer. De overige factoren moeten worden vermenigvuldigd om de gewenste ggd te verkrijgen. Als u op dit punt problemen ondervindt, herhaal dit dan.

GCD voor 12 en 15 is het getal 3. Dit nummer is een gemeenschappelijke factor voor termen 12 en 15. Deze moet tussen haakjes worden geplaatst. Om dit te doen, schrijven we eerst de factor 3 zelf op en daarnaast tussen haakjes schrijven we een nieuwe uitdrukking waarin elke term van de uitdrukking 12 + 15 wordt gedeeld door een gemeenschappelijke factor 3

Nou ja, verder berekenen is niet moeilijk. De uitdrukking tussen haakjes is eenvoudig te berekenen: twaalf gedeeld door drie is vier, A vijftien gedeeld door drie is vijf:

Als we dus de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten in de uitdrukking 12 + 15, wordt de uitdrukking 3(4 + 5) verkregen. De gedetailleerde oplossing is als volgt:

De korte oplossing slaat de notatie over die laat zien hoe elke term wordt gedeeld door een gemeenschappelijke factor:

Voorbeeld 2. 15 + 20

Laten we de ggd voor termen 15 en 20 vinden

GCD voor 15 en 20 is het getal 5. Dit getal is een gemeenschappelijke factor voor de termen 15 en 20. Laten we het tussen haakjes zetten:

We hebben de uitdrukking 5(3 + 4). De resulterende expressie kan worden gecontroleerd. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de vijf met elke term tussen haakjes. Als we alles goed hebben gedaan, zouden we de uitdrukking 15 + 20 moeten krijgen

Voorbeeld 3. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking 18+24+36

Laten we de ggd zoeken voor de termen 18, 24 en 36. Om te vinden, moet je deze getallen ontbinden in priemfactoren en vervolgens het product van gemeenschappelijke factoren vinden:

GCD voor 18, 24 en 36 is het getal 6. Dit getal is de gemeenschappelijke deler voor de termen 18, 24 en 36. Laten we het tussen haakjes zetten:

Laten we de resulterende expressie controleren. Om dit te doen, vermenigvuldigt u het getal 6 met elke term tussen haakjes. Als we alles goed hebben gedaan, zouden we de uitdrukking 18+24+36 moeten krijgen

Voorbeeld 4. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking 13 + 5

De termen 13 en 5 zijn priemgetallen. Ze ontleden slechts in één en zichzelf:

Dit betekent dat de termen 13 en 5 geen andere gemeenschappelijke factoren hebben dan één. Het heeft dus geen zin om dit apparaat buiten haakjes te zetten, omdat het niets oplevert. Laten we dit laten zien:

Voorbeeld 5. Neem de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking 195+156+260

Laten we de ggd zoeken voor de termen 195, 156 en 260

GCD voor 195, 156 en 260 is het getal 13. Dit getal is de gemeenschappelijke deler voor de termen 195, 156 en 260. Laten we het tussen haakjes zetten:

Laten we de resulterende expressie controleren. Om dit te doen, vermenigvuldigt u 13 met elke term tussen haakjes. Als we alles goed hebben gedaan, zouden we de uitdrukking 195+156+260 moeten krijgen

Een uitdrukking waarin je de gemeenschappelijke factor tussen haakjes moet zetten, kan niet alleen een som van getallen zijn, maar ook een verschil. Laten we bijvoorbeeld de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten in de uitdrukking 16 − 12 − 4. De grootste gemene deler van de getallen 16, 12 en 4 is het getal 4. Laten we dit getal tussen haakjes zetten:

Laten we de resulterende expressie controleren. Om dit te doen, vermenigvuldigt u vier met elk getal tussen haakjes. Als we alles goed hebben gedaan, zouden we de uitdrukking 16 − 12 − 4 moeten krijgen

Voorbeeld 6. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking 72+96−120

Laten we GCD zoeken voor de nummers 72, 96 en 120

GCD voor 72, 96 en 120 is het getal 24. Dit getal is de gemeenschappelijke factor voor de termen 195, 156 en 260. Laten we het tussen haakjes zetten:

Laten we de resulterende expressie controleren. Om dit te doen, vermenigvuldigt u 24 met elk getal tussen haakjes. Als we alles goed hebben gedaan, zouden we de uitdrukking 72+96−120 moeten krijgen

De totale factor tussen haakjes kan ook negatief zijn. Laten we bijvoorbeeld de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten in de uitdrukking −6−3. Er zijn twee manieren om de gemeenschappelijke factor in deze uitdrukking tussen haakjes te zetten. Laten we ze allemaal bekijken.

Methode 1.

Laten we aftrekken vervangen door optellen:

−6 + (−3)

Nu vinden we de gemeenschappelijke factor. De gemeenschappelijke factor van deze uitdrukking zal de grootste gemene deler van de termen −6 en −3 zijn.

De modulus van de eerste term is 6. En de modulus van de tweede term is 3. GCD(6 en 3) is gelijk aan 3. Dit getal is een gemeenschappelijke factor voor de termen 6 en 3. Laten we het tussen haakjes zetten:

De op deze manier verkregen uitdrukking was niet erg nauwkeurig. Veel haakjes en negatieve getallen maken de uitdrukking niet eenvoudig. Daarom kun je de tweede methode gebruiken, waarvan de essentie is om niet 3, maar −3 tussen haakjes te zetten.

Methode 2.

Net als de vorige keer vervangen we aftrekken door optellen.

−6 + (−3)

Deze keer halen we tussen haakjes niet 3, maar −3

De uitdrukking die deze keer wordt verkregen, ziet er veel eenvoudiger uit. Laten we de oplossing korter schrijven om het nog eenvoudiger te maken:

Het toestaan ​​dat een negatieve factor tussen haakjes wordt verwijderd, is te wijten aan het feit dat de uitbreiding van de getallen −6 en (−3) op twee manieren kan worden geschreven: maak eerst het vermenigvuldigtal negatief en de vermenigvuldiger positief:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

in het tweede geval kan de vermenigvuldiger positief worden gemaakt en de vermenigvuldiger negatief:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

Dit betekent dat we vrij zijn om de factor die we willen tussen haakjes te zetten.

Voorbeeld 8. Neem de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking −20−16−2

Vervang aftrekken door optellen

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

De grootste gemeenschappelijke factor voor de termen −20, −16 en −2 is het getal 2. Dit getal is de gemeenschappelijke factor voor deze termen. Laten we eens kijken hoe het eruit ziet:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Maar de gegeven uitbreidingen kunnen worden vervangen door identiek gelijke uitbreidingen. Het verschil zal zijn dat de gemeenschappelijke factor niet 2 zal zijn, maar −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Daarom kunnen we voor het gemak niet 2 tussen haakjes zetten, maar −2

Laten we de bovenstaande oplossing in het kort opschrijven:

En als we 2 tussen haakjes zouden nemen, zouden we een niet geheel nauwkeurige uitdrukking krijgen:

Voorbeeld 9. Neem de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking −30−36−42

Laten we aftrekken vervangen door optellen:

−30 + (−36) + (−42)

De grootste gemene deler van de termen −30, −36 en −42 is het getal 6. Dit getal is de gemeenschappelijke factor voor deze termen. Maar we zullen niet 6 tussen haakjes zetten, maar −6, ​​aangezien de getallen −30, −36 en −42 als volgt kunnen worden weergegeven:

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Haal de min tussen haakjes

Bij het oplossen van problemen kan het soms handig zijn om het minteken tussen haakjes te zetten. Hiermee kunt u de uitdrukking vereenvoudigen en op orde brengen.

Beschouw het volgende voorbeeld. Haal de min tussen haakjes in de uitdrukking −15+(−5)+(−3)

Laten we voor de duidelijkheid deze uitdrukking tussen haakjes zetten, omdat we het hebben over het verwijderen van de min tussen haakjes

(−15 + (−5) + (−3))

Dus om de min uit de haakjes te halen, moet je de min vóór de haakjes schrijven en alle termen tussen haakjes schrijven, maar met tegengestelde tekens

We haalden de min uit de haakjes in de uitdrukking −15+(−5)+(−3) en kregen −(15+5+3). Beide uitdrukkingen zijn gelijk aan dezelfde waarde −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Daarom kunnen we een gelijkteken plaatsen tussen de uitdrukkingen −15+(−5)+(−3) en −(15+5+3), omdat ze dezelfde betekenis hebben:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

Wanneer de min tussen haakjes wordt verwijderd, werkt de distributieve wet van vermenigvuldiging weer:

a(b+c) = ab+ac

Als je links en rechterkant deze identiteit, het blijkt dat de factor A tussen haakjes

ab + ac = a(b+c)

Hetzelfde gebeurt als we de gemeenschappelijke factor uit andere uitdrukkingen halen en als we de min tussen haakjes zetten.

Als je een min tussen haakjes haalt, wordt er uiteraard niet een min verwijderd, maar een min. We hebben al gezegd dat het gebruikelijk is om coëfficiënt 1 niet op te nemen.

Daarom wordt er vóór de haakjes een minteken gevormd, en de tekens van de termen die tussen de haakjes stonden, veranderen hun teken naar het tegenovergestelde, aangezien elke term wordt gedeeld door min één.

Laten we terugkeren naar het vorige voorbeeld en in detail bekijken hoe de min daadwerkelijk tussen haakjes werd gezet

Voorbeeld 2. Plaats de min tussen haakjes in de uitdrukking −3 + 5 + 11

We plaatsen een minteken en daarnaast schrijven we tussen haakjes de uitdrukking −3 + 5 + 11 met voor elke term het tegenovergestelde teken:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Net als in het vorige voorbeeld wordt hier niet min tussen haakjes gezet, maar min één. De gedetailleerde oplossing is als volgt:

In eerste instantie kregen we de uitdrukking −1(3 + (−5) + (−11)), maar we hebben deze uitgebreid binnenbeugels en kreeg de uitdrukking −(3 − 5 − 11) . Het uitbreiden van haakjes is het onderwerp van de volgende les, dus als dit voorbeeld moeilijk voor je is, kun je het voorlopig overslaan.

Door de gemeenschappelijke factor letterlijk tussen haakjes te zetten

Het is veel interessanter om de gemeenschappelijke factor letterlijk tussen haakjes te zetten.

Laten we eerst eens kijken naar een eenvoudig voorbeeld. Laat er een uitdrukking zijn 3a + 2a. Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

In dit geval is de totale vermenigvuldiger met het blote oog zichtbaar: dit is de vermenigvuldiger A. Laten we het uit de haakjes halen. Om dit te doen, schrijven we de vermenigvuldiger zelf op A en ernaast tussen haakjes schrijven we de uitdrukking 3a + 2a, maar zonder vermenigvuldiger A omdat het tussen haakjes staat:

Net als bij een numerieke uitdrukking wordt hier elke term gedeeld door de eruit genomen gemeenschappelijke factor. Het ziet er zo uit:

Variabelen in beide breuken A werden verminderd met A. A In plaats daarvan hebben de teller en de noemer eenheden. De eenheden zijn verkregen vanwege het feit dat in plaats van een variabele

kan elk getal zijn. Deze variabele bevond zich zowel in de teller als in de noemer. En als de teller en de noemer dezelfde getallen hebben, dan zal de grootste gemene deler voor hen dit getal zelf zijn. A Bijvoorbeeld als in plaats van een variabele 4 , dan zal de constructie de volgende vorm aannemen: . Dan kunnen de viertallen in beide breuken met 4 worden verminderd:

Het blijkt hetzelfde als voorheen, toen er in plaats van vier een variabele was A .

Daarom hoeft u zich geen zorgen te maken over de vermindering van variabelen. Een variabele is een volwaardige vermenigvuldiger, zelfs als deze wordt uitgedrukt in een letter. Zo'n vermenigvuldiger kan tussen haakjes worden gezet, verminderd en andere acties worden uitgevoerd die voor gewone getallen zijn toegestaan.

Een letterlijke uitdrukking bevat niet alleen cijfers, maar ook letters (variabelen). Daarom is de gemeenschappelijke factor die tussen haakjes staat vaak een letterfactor, bestaande uit een cijfer en een letter (coëfficiënt en variabel). De volgende uitdrukkingen zijn bijvoorbeeld letterlijke factoren:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Voordat u een dergelijke factor tussen haakjes zet, moet u beslissen welk getal in het numerieke deel van de gemeenschappelijke deler zal staan ​​en welke variabele in het lettergedeelte van de gemeenschappelijke deler zal staan. Met andere woorden, u moet uitzoeken welke coëfficiënt de gemeenschappelijke factor zal hebben en welke variabele daarin zal worden opgenomen.

Neem de uitdrukking 10 een+ 15A. Laten we proberen de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten. Laten we eerst beslissen waaruit de gemeenschappelijke factor zal bestaan, dat wil zeggen, we zullen de coëfficiënt ervan ontdekken en welke variabele erin zal worden opgenomen.

De coëfficiënt van de gemeenschappelijke vermenigvuldiger moet de grootste gemene deler zijn van de coëfficiënten van de letterlijke uitdrukking 10 een+ 15A.

10 en 15, en hun grootste gemene deler is het getal 5. Dit betekent dat het getal 5 de coëfficiënt is van de gemeenschappelijke factor, tussen haakjes gezet. een+ 15A Laten we nu beslissen welke variabele in de gemeenschappelijke factor zal worden opgenomen. Om dit te doen, moet je naar uitdrukking 10 kijken A en zoek de letterfactor die in alle termen voorkomt. In dit geval is het een factor een+ 15A. Deze factor is opgenomen in elke term van de uitdrukking 10 A. De variabele dus

wordt opgenomen in het letterlijke deel van de gemeenschappelijke factor, tussen haakjes gezet: Nu hoeft u alleen nog maar de gemeenschappelijke factor te berekenen 5a buiten haakjes. Om dit te doen, verdelen we elke term van de uitdrukking 10.00 uur + 15.00 uur Nu hoeft u alleen nog maar de gemeenschappelijke factor te berekenen op

. Voor de duidelijkheid zullen we coëfficiënten en getallen scheiden met een vermenigvuldigingsteken (×) Nu hoeft u alleen nog maar de gemeenschappelijke factor te berekenen Laten we de resulterende expressie controleren. Om dit te doen, laten we vermenigvuldigen buiten haakjes. Om dit te doen, verdelen we elke term van de uitdrukking

voor elke term tussen haakjes. Als we alles correct hebben gedaan, krijgen we de uitdrukking

De letterfactor kan niet altijd tussen haakjes staan. Soms bestaat de gemeenschappelijke factor alleen uit een getal, omdat er niets geschikt is voor het lettergedeelte in de uitdrukking. Laten we bijvoorbeeld de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking zetten 2a−2b 2 , en onder de letterfactoren zijn er geen gemeenschappelijke factoren in de uitdrukking. Daarom wordt in dit geval alleen de vermenigvuldiger eruit gehaald 2

Voorbeeld 2. Haal de gemeenschappelijke factor uit de uitdrukking 3x + 9j + 12

De coëfficiënten van deze uitdrukking zijn getallen 3, 9 En 12, hun ggd is gelijk 3 3 . En onder de letterfactoren (variabelen) is er geen gemeenschappelijke factor. Daarom is de laatste gemeenschappelijke factor 3

Voorbeeld 3. Plaats de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking 8x + 6j + 4z + 10 + 2

De coëfficiënten van deze uitdrukking zijn getallen 8, 6, 4, 10 En 2, hun ggd is gelijk 2 . Dit betekent dat de coëfficiënt van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes het getal zal zijn 2 . En onder de letterfactoren is er geen gemeenschappelijke factor. Daarom is de laatste gemeenschappelijke factor 2

Voorbeeld 4. Haal de gemeenschappelijke factor eruit 6ab + 18ab + 3abc

De coëfficiënten van deze uitdrukking zijn getallen 6, 18 en 3, hun ggd is gelijk 3 . Dit betekent dat de coëfficiënt van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes het getal zal zijn 3 . Het letterlijke deel van de gemeenschappelijke factor omvat variabelen A En B, sinds in de uitdrukking 6ab + 18ab + 3abc deze twee variabelen zijn in elke term opgenomen. Daarom is de laatste gemeenschappelijke factor 3ab

Bij gedetailleerde oplossing de uitdrukking wordt omslachtig en zelfs onbegrijpelijk. In dit voorbeeld is dit meer dan merkbaar. Dit komt doordat we de factoren in de teller en de noemer weglaten. Je kunt dit het beste in je hoofd doen en de divisieresultaten meteen opschrijven. Dan wordt de uitdrukking kort en netjes:

Net als bij een numerieke uitdrukking kan bij een letterlijke uitdrukking de gemeenschappelijke factor negatief zijn.

Laten we bijvoorbeeld het algemene tussen haakjes in de uitdrukking plaatsen −3a − 2a.

Voor het gemak vervangen we aftrekken door optellen

−3a − 2a = −3a + (−2a )

De gemeenschappelijke factor in deze uitdrukking is de factor A. Maar voorbij de haakjes kan niet alleen worden genomen A, maar ook −een. Laten we het tussen haakjes zetten:

Het bleek een nette uitdrukking te zijn −a (3+2). We mogen niet vergeten dat de vermenigvuldiger −een zag er eigenlijk uit −1a en na reductie van beide fracties van variabelen A, min één blijft in de noemers staan. Daarom krijgen we uiteindelijk positieve antwoorden tussen haakjes

Voorbeeld 6. Plaats de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking −6x − 6j

Vervang aftrekken door optellen

−6x−6y = −6x+(−6y)

Laten we het tussen haakjes zetten −6

Laten we de oplossing kort opschrijven:

−6x − 6y = −6(x + y)

Voorbeeld 7. Plaats de gemeenschappelijke factor tussen haakjes in de uitdrukking −2a − 4b − 6c

Vervang aftrekken door optellen

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Laten we het tussen haakjes zetten −2

Vond je de les leuk?
Sluit je aan bij onze nieuwe groep VKontakte en ontvang meldingen over nieuwe lessen